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Chapitre3:lesondes,gnralits
1 Introduction et motivation
Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur
son passage une variationrversible de proprits physiques
locales.
1Introductionetmotivation
p p p y q
Le passage de londe saccompagne dun transport d'nergie sans
transport de matire.
Physiquement parlant, une onde est un champ, c'est dire une zone
de l'espace dont lesproprits sont modifies, (en physique, on
affecte chaque point de l'espace desgrandeurs physiques scalaires
ou vectorielles, comme la pression, le champ lectrique,etc.).
Le milieu de propagation d'une onde peut tre tridimensionnel
(onde sonore, lumineuse,) bidi i l ( d l f d l' ) idi i l ( d
detc.), bidimensionnel (onde la surface de l'eau), ou
unidimensionnel (onde sur une corde
vibrante).
La vitesse de propagation dune onde de nature dtermine dpend en
gnral du milieuLa vitesse de propagation dune onde de nature
dtermine dpend en gnral du milieude propagation.
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Exemplesdondes:
9 lesondesmcaniques
osepropageuntatdetension,depressionoudevitesse:
vibrationsmcaniquesondessonores,vagueslasurfacedel'eauondessismiquesetc.
99lescourantsalternatifs
osepropageuncourantouunetensionlectrique;
9les ondes lectromagntiques o se propage un tat de champs
lectrique ettimagntique :
lumireondes radioondesradioinfrarougeultravioletrayon
XrayonXrayongamma
9les ondes de spin o se propage un tat d'orientation d'atomes
etc.lesondesdespin osepropageuntatd orientationd atomesetc.
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9En mcanique ondulatoire, premire forme de la mcanique
quantique, la description dela matire seffectue avec des ondes.
Plus prcisment, toute particule de masse m et de vitesse v est
associe une onde delongueur d'onde , de frquence et de quantit de
mouvement p = mv avec :
(longueur donde de Compton).
9 La fonction d'onde en mcanique quantique (introduite par E.
Schrdinger en 1926) est lareprsentation de l'tat quantique dans la
base de dimension infinie des positions. La
b bilit d d ti l t t t t ti t lprobabilit de prsence des
particules reprsentes par cet tat quantique est alorsdirectement le
carr de la norme de cette fonction d'onde. La fonction d'onde est
calcule l'aide de l'quation de Schrdinger.
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ParenthsesurlesconceptsclassiquesdeparticulesetdondesetleurquivalentenMcaniquequantique(Source:Encyclopaedia
Universalis).
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2Ondeslongitudinalesettransversales
Une onde mcanique peut tre transversale (transverse) ou
longitudinale, selon la directionde la vibration par rapport la
direction de propagation de londe.
P l l d i l f d l tPar exemple, londe qui se propage la surface
de leau esttransversale, car la direction de vibration (hautbas)
estperpendiculaire la direction de propagation de londe (situedans
le plan horizontal) Londe parcourant une corde tenduedans le plan
horizontal). Londe parcourant une corde tendueest aussi une onde
transversale.
Par contre, londe qui se propage dans un ressort boudinsest une
onde longitudinale, car la direction de vibration est lamme que la
direction de propagation de londe.
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Les directions longitudinales et transverses se rfrent la
direction de propagation del'nergie qui est prise comme direction
longitudinale.g q p g
Dans les instruments de musique corde la perturbation est
apporte de diffrentesmanires : archet (violon), marteau (piano),
doigt (guitare). Sous l'effet de l'excitationapplique
transversalement, tous les lments des cordes de ces instruments
vibrenttransversalement autour d'une position d'quilibre qui
correspond la corde au repos.L'nergie de vibration des cordes se
transforme en son car les mouvements transverses descordes mettent
en mouvement l'air qui les baigne.
Un son correspond la propagation dans l'air d'une onde de
pression de cet air. En un point del' l i d l' i ill d l l d i ll
lll'espace, la pression de l'air oscille autour de la valeur de sa
pression au repos, elle crot et elledcrot alternativement autour de
cette valeur. Dans une onde sonore se propageant dans lairle
mouvement local des molcules d'air se fait dans la mme direction
que la propagation del'nergie l'onde est longitudinalel'nergie,
l'onde est longitudinale.
Les ondes lectromagntiques sont des ondes qui sont transversales
dans le vide ou dans desmilieux homognes En revanche dans des
milieux particuliers comme par exemple le plasmamilieux homognes.
En revanche, dans des milieux particuliers, comme par exemple le
plasma,les ondes lectromagntiques peuvent tre longitudinales,
transversales ou parfois les deux fois.
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Une onde est un phnomne physique se propageant et qui se
reproduit identique lui l t d d l t t l l i d l C h t
3Grandeursfondamentalescaractrisantuneonde
mme un peu plus tard dans le temps et un peu plus loin dans
lespace. Ce phnomne estdonc caractris par une double priodicit.
La priode (T) est lintervalle de temps ncessaire pour effectuer
une oscillation complte.Elle mesure donc la priodicit temporelle du
phnomne. Elle se mesure en secondes (s)et correspond linverse de la
frquence f :
1T
La frquence (f ou ) dune vibration acoustique correspond au
nombre doscillations parseconde Cette grandeur sexprime en Hertz
(Hz)
Tf
=
seconde. Cette grandeur s exprime en Hertz (Hz).
On peut alors dfinir la longueur donde comme tant la plus courte
distance sparant deuxpoints de londe strictement identiques un
instant donnpoints de l onde strictement identiques un instant
donn.
La longueur donde (communment note par la lettre grecque lambda,
) est la distanceparcourue par londe pendant une priode ; elle
mesure la priodicit du phnomne dansparcourue par l onde pendant une
priode ; elle mesure la priodicit du phnomne danslespace. Elle se
mesure en mtres (m). Cette grandeur est relie la priode et
lafrquence par les formules suivantes :
. ccTf
= =
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Laxe x reprsente la distance parcourue,et lordonne y est la
valeur ( unet lordonne y est la valeur ( uninstant donn) dune
quantit qui variede point en point (par exemple lapression de lair
pour une onde sonorepression de l air pour une onde sonoreou
lintensit du champ lectrique oumagntique dune onde lumineuse).
Laxe x reprsente le temps, etlordonne y est la valeur (en un
pointy ( pparticulier) dune quantit qui varie aufil du temps (par
exemple la pression delair pour une onde sonore ou lintensitdu
champ lectrique ou magntiquedune onde lumineuse).
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Ondessinusodalesdefrquencesdiffrentes
:celledubasalaplushautefrquence et celle du haut la plus
bassefrquenceetcelleduhaut,laplusbasse.
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Frquencesetlongueursdondedessons
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Frquencesetlongueursdondedesondeslectromagntiques
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Longueursdondesdelalumire
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4Equationdelacordevibrante
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5EquationgnraledesondesUne onde se modlise par une fonction
scalaire p(x,y,z;t) ou une fonction vectorielle E(x,y,z;t),les
variables x y et z reprant la position dans l'espace (qui
correspond un vecteur) et tles variables x,y, et z reprant la
position dans l'espace (qui correspond un vecteur) et ttant le
temps.
L'quation gnrale qui dcrit la propagation d'une onde dans
l'espace libre dans un milieuL quation gnrale qui dcrit la
propagation d une onde dans l espace libre, dans un milieuhomogne,
linaire et isotrope est :
2 2 2 21 ( , , ; )( ) ( ) p x y z tt t 2 2 2 2 2( , , ; )( , , ;
) ( , , ; ) p yp x y z t p x y z tx y z c t + + =
pour une fonction scalaire (comme la pression acoustique) et
:
2 2 2 21 ( , , ; )( ) ( ) E x y z tE t E t
JGJG JG2 2 2 2 2
( , , ; )( , , ; ) ( , , ; ) yE x y z t E x y z tx y z c t
+ + = pour une fonction vectorielle (comme le champ
lectrique).
Le facteur c est assimilable la vitesse de propagation de
l'onde.
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Lquation donde pour une grandeur scalaire (ou lquation obtenue
si on s'intresse chacunedes composantes dune grandeur vectorielle
(en projetant la relation dans chacune desdirections de l'espace)
porte le nom dquation de d'Alembert.
Intressonsnouslapropagationselonlaseuledirectionz :
Lasolutiongnrale decettequationestlasommededeuxfonctions :
U(z,t) = f(z - ct) + g(z + ct)
Eneffet,onpeutcrire:
souslaforme:
Etsil'onposea=zctetb=z+ct,onobtient:p ,
quisersouten:U(a,b)=f(a)+g(b)soitU(z,t)=f(zct)+g(z+ct)
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En ralit, l'onde U(z,t) ne dpend pas simplement de z et de t,
mais des quantits z ct et z +ct.
Pour comprendre ce que cela signifie, considrons le cas d'une
onde plane comportantuniquement le premier terme :
U( ) f( )U(z,t) = f(z - ct)
Regardonslastructuredel'ondeaupointz+z :
L'expression cidessus nous montre que la structure de l'onde au
point z + z est la mmeL expressionci
dessusnousmontrequelastructuredel ondeaupointz+z estlammequ'aupoint
zl'instant tt,avec t =z /c.
Ce raisonnement nous permet de comprendre quune dpendance en zct
de l'onde signifieCe raisonnement nous permet de comprendre qu une
dpendance en zct de l onde signifieque celleci se dplace sans
dformation, i.e qu'il s'agit d'une onde progressive.
Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z
croissants (appele ondep p p g ( ppprogressive), et le deuxime
terme se propage dans le sens des z dcroissants (appele
ondergressive).
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Une trs grande famille des solutions d'quations de propagation
des ondes est celle desfonctions sinusodales, sinus et cosinus
(elles ne sont pas les seules).
6Ondesharmoniques
fonctions sinusodales, sinus et cosinus (elles ne sont pas les
seules).
On montre galement que tout phnomne priodique continu peut se
dcomposer enfonctions sinusodales (srie de Fourier), et de manire
gnrale toute fonction continue( ), g(transforme de Fourier).
Les ondes sinusodales sont donc un objet d'tude simple et
utile.
Une onde sinusodale, aussi appele onde harmonique ou onde
monochromatique a pourexpression par exemple :
On vrifie directement que cest bien une solution de lquation de
dAlembert ; elle estgalement doublement priodique :
et la priode T et la longueur donde valent donc :2 2 2et aveccT
k et avec T k
k c = = = =
okestappelnombredonde.
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Pour une propagation de londe dans les trois dimensions, le
nombre donde est remplacpar un vecteur donde, dont le sens est
celui de la propagation de l'onde. :
( ) ( )0 0( , , ; ) cos . . . cos .x y zU x y z t U t k x k y k
z U t k x = = G GOnappelle
9amplitude delondelavaleurmaximaledelaperturbationU0,9
( ) ( )0 0x y z9phasel'argumentdusinus,9 est la pulsation de
londe, en rad/s, qui est le nombre doscillations que londnombre sur
2 units de temps9 k t l b d d d/ i t l b d' ill ti l'9 k est le
nombre donde, en rad/m, qui est le nombre d'oscillations que
l'ondnombre sur 2 units de longueur.
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Le mathmaticien Joseph Fourier (17681830) a
7ThormededcompositionspectraledeFourier
Le mathmaticien Joseph Fourier (1768 1830) amontr que toute
fonction y(t) continue etpriodique (non sinusodale) de frquence f
peuttre dcompose en une srie de termes (unetre dcompose en une srie
de termes (unesrie est une somme avec un nombreventuellement infini
de termes) ; le premierterme est constant, le second terme
est,sinusodal de frquence f, et les autres termessont sinusodaux de
frquences 2f, 3f, 4f, etc.
Chaque terme de la srie est caractris par uneamplitude et une
phase dtermines et estappel partiel harmonique. Le
premierharmonique porte le nom de fondamental.
0 1 1 2 2 3 3( ) sin( ) sin(2 ) sin(3 ) ...y t A A t A t A t = +
+ + + + + +harmonique1harmonique2harmonique3terme q q
qditfondamentalconstant
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Les coefficients des diffrents termes se calculent par
intgration dans la thorie de Fourier.
La dtermination des harmoniques composant un signal porte le nom
danalyse de Fourierdu signal.
Une dcomposition en srie de Fourier peut scrire mathmatiquement
mais se reprsentesouvent sous la forme dun graphique prsentant
lamplitude des diffrents signaux purscomposant le signal en
fonction de la frquence des harmoniques.
Ce diagramme porte le nom de reprsentation spectrale du signal
(ou spectre de Fourier dusignal).
Inversement, pour crer nimporte quel signal priodique, on peut
raliser la synthseFourier en additionnant dans les bonnes
proportions diffrents signaux purs.
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IllustrationsduthormedeFourier
Diagrammestemporelsdusignal
SriedeFourierdusignal
SpectredeFourierdusignal|bn |
2A/
A/2A/3
/
0 2 3 4
2A/4
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8Phnomnesdesuperpositionsdondesacoustiques8.1Superpositiondedeuxondesharmoniquesdemmedirectionetdemmefrquence
Lorsque deux ondes harmoniques de mme direction et de mme
frquence sesuperposent dans un milieu leur rsultante est toujours
une onde harmonique de mme
8.1.1tudethoriquegnrale
superposent dans un milieu, leur rsultante est toujours une onde
harmonique de mmefrquence, mais dont lamplitude varie dun point
lautre du milieu.
En effet, soient deux vibrations harmoniques :( )1 1 1( ) cosp t
p t = +En effet, soient deux vibrations harmoniques : ( )2 2 2( )
cosp t p t = +
La pression acoustique rsultante est la somme algbrique des deux
pressions, donc :
Onpeutrcrirecetteexpressionsouslaforme:
( ) ( )1 1 2 2( ) cos cosp t p t p t = + + +
Parconsquent:
( )( ) cosp t p t = +La somme de deux vibrations de mme frquence
et de mme direction est encore unevibration harmonique de mme
frquence, mais dphase dun angle et dune amplitude p.
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Exemple:additiondedeuxondesharmoniquesdemmefrquenceetdemmedirection
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Pour dterminer les caractristiques de londe acoustiquersultante
(amplitude et dphasage), on peut utiliser lamthode des vecteurs de
Fresnel : on associe chaquemthode des vecteurs de Fresnel : on
associe chaquevibration un vecteur tournant de Fresnel, et
lgalitalgbrique prcdente se traduit par le fait que le
schmavectoriel cicontre doit tre vrifi :vectoriel cicontre doit tre
vrifi :
Calculonspet.En appliquant par exemple le thorme de
Pythagoregnralis dans le triangle OBC, on peut crire :
2 2 22 2 2 2 cosOC OB BC OB BC= + OBC
Comme les angles et ( ) sont supplmentaires (puisque la somme
des anglesComme les angles et (21) sont supplmentaires (puisque la
somme des anglesdun quadrilatre fait 360),
( )2 1cos cosOBC = et on trouve, en substituant :
( )2 2 21 2 1 2 2 12 cos (*)p p p p p = + + et finalement :
( )2 21 2 1 2 2 12 cosp p p p p = + +
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De manire plus simple, les rgles de laddition vectorielle
appliques au diagramme deFresnel permettent dcrire :
1 1 2 2
1 1 2 2
donc .cos cos cos (1)
donc .sin sin sin (2)
OG OF FG OF OE p p p
OJ OI IJ OI OH p p p
= + = + = += + = + = +
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG JJG JJG JJG JJJJG
On retrouve directement la relation (*) entre les amplitudes, en
sommant membre membre le carr des relations (1) et (2) :
1 1 2 2 ( )p p p
( )( )
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 cos cos sin sin
2 cos
p p p p p
p p p p
= + + ++ +
Deplus,endivisant(2)par(1)membremembre,onobtientaussiledphasage:
( )1 2 1 2 2 12 cosp p p p = + + 1 1 2 2
1 1 2 2
sin sintancos cos
p pp p
+= +
La valeur de lamplitude p et du dphasage sont fonctions des
amplitudes p1 et p2 et desdphasages 1 et 2.Si les amplitudes p1 et
p2 sont fixes, lamplitude rsultante ne dpend que du dphasagerelatif
2 1.
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Casparticuliers:
9 lesdeuxvibrationssontenphase :21=0ou2k. (okentierquelconque)2
1
L ib ti lt t t i h ( ) t lit d d it
Lavibrationrsultanteestaussienphase(=1=2)etsonamplitudeserduit:
cest dire :
2 2 2 21 2 1 2 1 22 .1 ( )A A A A A A A= + + = +
c estdire:1 2A A A= +
Lorsquelesondessontenphase,lamplitudersultanteestlasommedesamplitudes.
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9 les deux vibrations sont en opposition de phase : 21= ou
(2k+1). (o k entier quelconque)
Comme cos(21)=1, la vibration rsultante est en phase avec lune
des ondes et enopposition avec lautre, et lamplitude rsultante est
telle que :
2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 22 .( 1) ( )A A A A A A A= + + =
1 2A A A= etvautdonc:Lorsque les ondes sont en opposition de
phase, lamplitude rsultante est la diffrence desamplitudes.
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Remarque :
Dans ce dernier cas, si les amplitudes sont gales, la rsultante
des deux vibrations sannule :il ny a plus de vibration (la somme de
deux sons peut tre le silence).
Conclusionsdeltudethorique:q
La somme de deux vibrations harmoniques de mme direction et de
mme frquence estune vibration harmonique de mme frquence dont
lamplitude est comprise entre lasomme et la diffrence des deux
amplitudes.
Si 21=0 (cestdire si les ondes sont en phase), lamplitude
rsultante est la somme desamplitudes.
Si 21= (cestdire si les ondes sont en opposition de phase),
lamplitude rsultante estla diffrence des amplitudes.
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8.1.2InterfrencesrsultantsdelasuperpositiondedeuxsourcessynchronesDeux
sources sont dites synchrones lorsquelles vibrent la mme frquence
et sont de plusen phase.p
Considrons deux sources synchrones S1 et S2, mettant des ondes
demme amplitude dans un milieu, par exemple des ondes planes de
laforme : t forme : ( , ) cos 2 t xp x t A
T =
Si l d t t i t M d ili it di t d d l S t
P i l t h l l ti d d d li t t t
Si les ondes se rencontrent en un point M du milieu, situ une
distance d1 de la source S1 etd2 de la source S2, le point M est
soumis la rsultante de ces deux vibrations. On parle alorsdun
phnomne dinterfrences.
1 2( ) cos 2 et ( ) cos 2d dt tp t A p t A = =
Puisque les sources sont synchrones, les longations des deux
ondes reues linstant t aupoint M sont donnes par :
1 1 2 2( ) cos 2 et ( ) cos 2p t A p t AT T = =
La diffrence de phase (note dans ltude gnrale) entre les deux
vibrations est ici de :La diffrence de phase (note dans l tude
gnrale) entre les deux vibrations est ici de :
( )1 22 2d d m = = o lon a introduit la diffrence de marche
m=d1d2 entre les chemins parcourus par les deuxondes.
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Si lon applique les conclusions de ltude thorique prcdente, le
point M va vibrer avecune amplitude rsultante maximale A=A1+A2
lorsque la diffrence de phase entre les deuxondes sera gale un
nombre entier de fois pair de fois , cestdire lorsque la
diffrencede marche entre les deux ondes sera gale un nombre pair de
fois la demi longueur donde ;ces points o lamplitude rsultante est
maximale sont appels les ventres du phnomnedinterfrence :
2ventres 2 2 (o k )2
m k m k = = = ]2
De la mme manire, le point M va vibrer avec une amplitude
minimale A=A1A2 (nulle siA1=A2, cestdire si le point M nest pas
trop loign des sources S1 et S2) lorsque ladiffrence de phase entre
les deux ondes sera gale un nombre impair de fois , cestdire
lorsque la diffrence de marche entre les deux ondes sera gale un
nombre impair defois la demi longueur donde ; ces points o
lamplitude rsultante est minimale sont appelsnuds du phnomne
dinterfrence :
2noeuds (2 1) (2 1) (o k )m k m k = = + = + ]noeuds (2 1) (2 1)
(o k )2
m k m k = = + = + ]
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Si on reprsente dans un milieu bidimensionnel la position des
nuds et des ventres devibration du phnomne dinterfrence produit par
deux sources S1 et S2, on trouve deuxp p p 1 2rseaux dhyperboles
dont les sources sont les foyers (chaque valeur de k correspond
unehyperbole).
Rappel : le lieu gomtrique des points du plan tels que la
diffrence de leurs distances deuxpoints fixes est une constante est
une hyperbole dont les points fixes sont les foyers ; unehyperbole
est une courbe forme de deux branches infinies, prsentant des
asymptotes.
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Visualisationdurseaudeventresobtenusparinterfrencesdedeuxsourcesponctuellessynchrones
http://www.univlemans.fr/enseignements/physique/02/optiphy/interfer.html
p y
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Explicationondulatoireduphnomnedinterfrences
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8.1.3Phnomnedebattement
Ce phnomne rsulte de la superposition de deux mouvements
oscillatoires harmoniques demme direction damplitudes voisines mais
de frquences lgrement diffrentes Lemme direction, d amplitudes
voisines, mais de frquences lgrement diffrentes. Lephnomne se
manifeste pour le son par la perception sun mouvement vibratoire
unique,mais dont lamplitude est variable lentement dans le temps
(do le terme de battement).
Cette priode est appele priode du battement ; son inverse est
appel frquence dub l l d ff d d f
En particulier, cette amplitude sannule toutes les priodes
Tb.
battement et est gale la diffrence des deux frquences.
1 1bT f f f= =
Par exemple, pour deux sons de frquences 440 et 444 Hz, on
trouve une frquence debattement de 4 Hz cest dire une priode
battement de 1/4 s tout fait audible
2 1 bf f f
battement de 4 Hz, c estdire une priode battement de 1/4 s, tout
fait audible.
Illustrationsonoreduphnomnedebattements
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400Hz 401Hz400 410Hz400
600HzBattementslentsBattementsrapidesPasdebattementsperceptibles
AnalysedeFourierdubattementrapideentrelessons400Hzet410Hz
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Analysetemporelledubattementrapideentrelessons400Hzet410Hz
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Soient deux mouvements oscillatoires harmoniques dont les
pulsations (et donc les
8.1.3.aAnalyseapproche
( ) ( )1 1 1 2 2 2( ) cos et ( ) cosx t A t x t A t = + =
+frquences) sont voisines, reus en un point du milieu :
( ) ( )Comme les pulsations diffrent peu, on peut en premire
approximation traiter la deuximeonde comme si elle avait la mme
pulsation que la premire, mais avec une diffrence dephase (t) par
rapport la premire variable lentement dans le temps donne par
:phase (t) par rapport la premire variable lentement dans le temps
donne par :
( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 1 2 1( ) cos ( ) cosx t A t t A t t =
+ + = + + + Puisqu prsent les deux ondes ont mme direction et mme
frquence, on peut appliquerles rsultats de lanalyse thorique
prcdente :
( ) ( )lamplitude rsultante est maximale (gale la somme des
amplitudes) lorsque (t)=2k(ondes en phase) et minimale (gale la
diffrence des amplitudes) lorsque (t)=(2k+1)(ondes en opposition de
phase). Entre ces deux extrmes, lamplitude rsultante prend desl i t
di i i t l t l diff d lit d L lit dvaleurs intermdiaires comprises
entre la somme et la diffrence des amplitudes. Lamplitude
rsultante est donc fonction du temps. ( )1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
cosx t x t x t t t= + +ALa vibration rsultante peut donc tre
assimile une vibration harmonique de pulsationquasiment gale 1 mais
damplitude lentement variable dans le temps.
( )
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Graphiquement,londersultantealaforme:
On appelle priode du battement la dure Tb qui scoule entre deux
amplitudes maximalesconscutives. La frquence du battement fb est
linverse de cette priode.
Pour la calculer, considrons deux maxima conscutifs, qui se
produisent en des temps t1 et t2ltels que : ( )
( )1 2 1 1 2 1
2 2 1 2 2 1
( ) 2 - ( ) 2
( ) 2 ( 1) - ( ) 2 ( 1)
t k t k
t k t k
= + = = + + = +
En soustrayant membre membre ces deux galits, on obtient :
( )( )2 1 2 1 2t t =et la priode du battement vaut donc :
( )( )2 1
2 1 2 1
2 1 1b
b
T t tf f f
= = = =
La frquence du battement est bien gale la diffrence des deux
frquences.
-
8.1.3.bAnalyseexacteSi on ne veut pas faire dapproximation pour
se ramener ltude thorique prcdente, dela superposition de deux
ondes harmoniques de mme frquence, on peut calculer lersultat exact
de la superposition des deux ondes harmoniques, damplitudes gales
et defrquences diffrentes ; on obtient, laide dune des formules de
Simpson :
1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= +( ) ( )
( )
1 2
1 1 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
( ) ( ) ( )cos cos
( )
A t A t
= + + + + + A ( )2 1 2 1 1 2 1 22 cos cos ( )cos2 2 2 2
A t t t t + + = + + = + AOn voit que londe rsultante x(t) est
forme du produit dune onde harmonique dont laOn voit que l onde
rsultante x(t) est forme du produit d une onde harmonique, dont
lapulsation est la moyenne arithmtique des pulsations 1 et 2, mais
dont lamplitude A(t)est lentement variable dans le temps, selon une
fonction (co)sinusodale.Cette formule rend tout fait compte du
profil graphique de londe rsultante (cf. diapositiveCette formule
rend tout fait compte du profil graphique de l onde rsultante (cf.
diapositiveprcdente) : une fonction (co)sinusodale oscillant
rapidement multiplie par une amplitudevariable dans la courbe
enveloppe est une (co)sinusode variant lentement.
Deux maxima damplitude conscutifs correspondent bien sr deux
valeurs du tempsconscutives solutions de lquation :
et on retrouve donc bien la mme priode de battement que dans
lanalyse approche.
2 1 2 1
2 2t k + =
-
8.1.3.cApplicationsduphnomnedebattement
Lors de laccord des instruments cordes dun orchestre, un
violoniste ne peut pas percevoirune diffrence dun demihertz entre
deux cordes (sa corde la et celle de son voisin par( pexemple)
joues conscutivement ; par contre, une oreille un tant soit peu
entrane peutentendre le battement produit par deux cordes accordes
un demihertz prs jouessimultanment.
Pour saccorder, les violonistes liminent donc le battement en
modifiant lgrement la tensionde leur corde.
A d d l iBattement entre Accorddelunissonparliminationdes
battements
Battemententre440Hzet442Hz
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Le mme procd peut tre employ pour accorder dautres intervalles
que lunisson, mais cene sont plus les battements entre les
fondamentaux quil faut couter, mais les battementsqui se produisent
entre les harmoniques, de rangs variables, selon les notes
accorder.
Par exemple, supposons accord lefa2, 174,6 Hz (en tempramentgal)
Le fa 3 son octave doit tregal). Le fa3, son octave doit treaccord
2 174,6=349,2 Hz. Si lefa3 est accord initialement trophaut (par
exemple 351 2 Hz) lehaut (par exemple 351,2 Hz), lesecond
harmonique du fa2 qui apour frquence 349,2 Hz produiraavec le
fondamental du fa3 unavec le fondamental du fa 3 unbattement de
351,2349,2=2 Hz. Cebattement est perceptible etlaccord se fera en
diminuant lafrquence du fa3 jusqu ladisparition du battement.
D l i d l l 2 ( d d l ti j ) d t l f d t lDe la mme manire, pour
accorder le la2 (accord de la tierce majeure), dont le
fondamentalthorique vaut 220 Hz, on peut se baser sur le battement
qui se produit entre la quatrimeharmonique du la2 (de frquence 4
220=880 Hz) et la cinquime harmonique du fa2(situe 5 174 6 Hz=873
Hz) Laccord ne se fait pas ici par limination du battement
mais(situe 5 174,6 Hz=873 Hz). Laccord ne se fait pas ici par
limination du battement, maispar ajustement de sa vitesse.
-
Accorddelaquintepar limination des
Accorddelatiercepar ajustement de la
Accorddeloctavepar limination desparliminationdes
battementsparajustementdelavitessedubattement
parliminationdesbattements
-
Frquencesdesdixoctavesdelagammechromatiquetempre.
-
8.2 Superposition dondes harmoniques de mme frquence mais se
propageant dans desdirections diffrentes
C id d d i d l d f t l lit d
t8.2.1Ondesstationnairesunedimension,dfinitionetpropritsprincipalesConsidrons
deux ondes sinusodales de mme frquence, ayant la mme amplitude et
sedplaant dans des directions opposes (lanalyse gnrale prcdente
nest donc pasapplicable). Lorsqu'elles se rencontrent, elles se
superposent, donnant lieu une onde ditestationnaire :stationnaire
:
-
Observations :
Londe stationnaire est caractrise par le fait que :
9 tous les points du milieu passent en mme temps par leur
position dquilibre, et tous lespoints passent en mme temps par leur
position extrme, cestdire que tous les pointsvibrent en phase.
9 les amplitudes de vibration des diffrents points du milieu ne
sont pas identiques : elles( )varient entre lamplitude nulle (ces
points sont les nuds de londe stationnaire) et lamplitude
maximale (ces points sont les ventres de londe stationnaire) ;
de plus, les maximums(ventres) et les minimums (nuds) de vibration
sont rgulirement rpartis et fixes.
-
Une mthode particulirement simple dobtenir des ondes
stationnaires est dutiliser laproprit de rflexion des ondes sur un
obstacle fixe
8.2.2Obtentiondondesstationnairesunedimensionparrflexionsurunobstacle
proprit de rflexion des ondes sur un obstacle fixe.
http://www.ubourgogne.fr/PHYSIQUE/OndeStat/OndeStat.html
-
8.2.2.aCasdelacordevibrante,fixeauxdeuxextrmits
Prenons l'exemple d'une corde vibrante deplongueur l, fixe ses
deux extrmits S1 et S2.
On montre que la vitesse de propagation des ondes
Tc =mcaniques dans la corde vaut :
o T est la tension dans la corde et la masse linique de la
corde.
Une perturbation sinusodale yS (t)=A sin(2t/T) produite une
extrmit S1 de la corde (la
Une perturbation sinusodale yS1(t) A.sin(2t/T) produite une
extrmit S1 de la corde (lagauche pour notre exemple) se propage
dans la corde(vers la droite) sous la forme :
( , ) sin 2St xy x t A =
Arrive lautre extrmit, soit aprs un temps t*=l/c, elle se
rflchit, et engendre ainsi uneonde de mme frquence mais se
propageant dans lautre direction dans la corde :
1( , )Sy T
2
( *) ( ) 2( , ) sin 2 sin 2 *St t l x t l xy x t A A t tT T
= + = +
-
LondersultanteenPlinstanttvautdonc:
2( ) sin 2 sin 2t x t l xy t A AT T
= + + T T
En appliquant la formule de Simpson bien connue sin p+sin
q=2sin[(p+q)/2]cos[(pq)/2], onobtient :
( ) 2 sin 2 cos 2l x t ly t AT
=
On voit que londe rsultante est le produit dune fonction
harmonique du temps,indpendante de la position du point P et dune
fonction dpendant uniquement del' b i L f ti d t l d lt t t d d l f
f ( ) (t) Diff tl'abscisse x. La fonction donnant londe rsultante
est donc de la forme f (x) g (t). Diffrentspoints de la corde
vibrent donc avec des amplitudes diffrentes (lamplitude dpend de
laposition x), mais tous les points vibrent avec la mme priode et
en phase.
On remarque que lamplitude de la vibration rsultante sannule
bien en x=l (extrmit fixe).La position x=l est bien entendu
toujours un nud, puisque cest le point S2 o londe serflchit une
premire foisrflchit une premire fois.Mais en fait, S1 doit aussi
toujours tre un nud (pour qu la rflexion suivante, aprs
unallerretour dans le tube, londe rflchie reconstitue londe
initiale produite en S1. On doitdonc imposer quen x=0 on ait
toujours un nud cestdire :donc imposer qu en x 0, on ait toujours
un nud, c est dire :
sin 2 0 sinl n = =
-
Une onde stationnaire ne peut donc exister dans un milieu fini
que pour certaines longueursdonde, et donc certaines frquences,
appeles frquences propres du milieu.
Pour notre corde, fixe ses deux extrmits, ces frquences propres
valent :
c ncf2n n
fl= =
o n est un entier et c la clrit des ondes mcaniques dans la
corde.o n est un entier et c la clrit des ondes mcaniques dans la
corde.
Ce sont les frquences des ondes sinusodales qui peuvent s'tablir
dans la corde enrespectant les conditions aux limites. On les
appelle frquences propres de vibration de lap pp f q p pcorde.
La frquence propre fondamentale de la corde est :
11
2 2c Tfl l = =
Les frquences propres suprieures sont des multiples de la
frquence fondamentale(harmoniques).
2 2l l
Pour chaque frquence propre fn de la corde, on a donc une onde
stationnaire; on parle aussidemodes propres de vibration.
-
Remarque :
La condition de frquence pour obtenir une onde stationnaire dans
un milieuunidimensionnel de longueur l peut aussi sinterprter
simplement de la manire suivante :il faut que la longueur donde de
londe soit telle le temps de parcours allerretour del d i ( l 2l/ )
it lti l ti d l i d T d l d (londe progressive (gal 2l/c) soit un
multiple entier de la priode T de londe (pourredmarrer un nouveau
cycle doscillation dans le mme tat de phase, par un ventre),
cestdire, en formule :
t nT=parcours .2 . .
t nTl nT nc c
=
= =2 .c cl n =
Les longueurs donde donnant lieu des ondes stationnaires sont
donc donnes par :
2n
ln
=et par consquent, les frquences valent bien :
c n c.2n n
c n cfl= =
-
Voyons o sont situs les nuds et les ventres de londe
stationnaire.
Les positions des nuds sobtiennent en rsolvant lquation :
sin 2 0 sinl x k = =n
Ilssontdoncsitusdesdistancesy=lxdelextrmitS2donnespar:
2 4k k
y l x k k Z= =
Deuxnudsconscutifssontdoncsparsparunedistancede/2.De la mme
manire, les ventres de londe stationnaire sont situs des positions
x qui sontsolution de lquation :
sin 2 sin2
l x k = +
cestdireen:
(2 1) 4k k
y l x k k Z= = + 4
Biensr,deuxventresconscutifssontaussisparsparunedistancede/2.
-
Voici les premiers modes normaux de vibration de la corde
vibrante, fixe aux deux extrmits :
Modesnormauxdevibrationd'unecordevibrante
-
8.2.2.bCasdelacordevibrante,fixeuneseuleextrmit
Si la corde nest fixe qu une extrmit, lautre extrmit est libre
et correspond un ventre,tandis que lextrmit fixe correspond
toujours un nud.q f p jOn trouve aprs un calcul analogue les
frquences propres et les modes propres suivants :
( ) ( )2 1 2 1 T( ) ( )2 1
2 1 2 1 1
4 4nn c n Tf nl l = =
Seuls sont prsent les modes associs aux harmoniques impairs et
la frquence fondamentaleest la moiti de la frquence fondamentale de
la corde fixe aux deux extrmits.
1c Tf11
4 4c Tfl l = =
RRemarque :
Cette formule se comprend facilement puisquil faut deux
allersretours de londe sur lacorde (soit une distance 4l) pour
retrouver londe dans le mme tat de phase (maximumcorde (soit une
distance 4l) pour retrouver l onde dans le mme tat de phase
(maximumpositif, par exemple), mais aprs une, ou trois, ou cinq
priodes doscillation complte, cestdire 4l/c=(2n1).T, avec n=1,2,3
etc.
-
Voici les premiers modes normaux de vibration de la corde
vibrante, dont une seuleextrmit est fixe :
-
On peut effectuer exactement le mme genre de raisonnement dans
le cas dune colonnedair, dans laquelle lair est mis en vibration
une extrmit, toujours ouverte, et dont lautreextrmit peuttre soit
ouverte (on parle alors de tuyau ouvert), soit ferme (tuyau
ferm).
Pour un tuyau ouvert, londe stationnaire est caractrise par un
ventre de vibration chaqueextrmit ouverte (un ventre de vibration
est ici un ventre de vitesse ce qui signifie que lair
8.2.2.cCasdutuyausonoreouvert(tubeouvertouvert)
extrmit ouverte (un ventre de vibration est ici un ventre de
vitesse, ce qui signifie que l airvibre beaucoup, trs vite, mais
que la pression y est nulle).
Les frquences propres dun tuyau ouvert, pour lesquelles la
colonne dair peut produire desLes frquences propres d un tuyau
ouvert, pour lesquelles la colonne d air peut produire desondes
stationnaires, sont donc donnes par la mme relation que pour la
corde vibrante fixeaux deux extrmits:
c nc 12n n
c ncfl= =
o n est un entier et c la clrit du son dans le tuyau
avec:1.
c =o n est un entier et c la clrit du son dans le tuyau.
La frquence fondamentale vaut donc :
1 11
1 12 2 .cfl l = =
Les frquences suprieures appeles harmoniques sont des multiples
(pairs et impairs) de lafrquence fondamentale.
-
Les modes de vibration dun tuyau sonore ouvert aux deux extrmits
ont la forme suivante(un ventre de vibration signifiant que lair
vibre beaucoup, mais que la pression acoustique estnulle) :
-
Pour un tuyau ferm, londe stationnaire est caractrise par un
ventre de vibration lextrmit ouverte et un nud lextrmit ferme
8.2.2.dCasdutuyausonoreferm(tubeouvertferm)
l extrmit ouverte et un nud l extrmit ferme.
Les frquences propres dun tuyau ouvert, pour lesquelles la
colonne dair peut produire desondes stationnaires, sont donc donnes
par la mme relation que pour la corde vibrante libreondes
stationnaires, sont donc donnes par la mme relation que pour la
corde vibrante libre une extrmit :
avec :1c =( )2 1 1n cf
t ti t l l it d d l t
avec:
.c =
( )2 1 14nf n
l=
o n est un entier et c la clrit du son dans le tuyau.
La frquence fondamentale vaut donc :
11 1
4 4 .cfl l = =
Les frquences suprieures appeles harmoniques sont des multiples
impairs de la frquencefondamentale.
-
Les modes de vibration dun tuyau sonore ouvert une extrmit et
ferm lautre ont laforme suivante (un ventre de vibration signifiant
que lair vibre beaucoup, mais que lapression acoustique est nulle)
:
-
Lesondesstationnairessontdiffrentesdansuntubeouvertouferm
Tubeouvertouvert Tubefermouvert
-
8.2.2.e explication intuitive des ondes stationnaires dans un
tuyau ferm ou ouvert
9Cas du tuyau ferm :
Considrons le dplacement dune onde progressive plane dans un
tuyau ouvert uneextrmit et ferm lautre (tuyau ferm). Lorsque londe,
issue du ct ouvert du tuyau,arrive contre le fond du tuyau
(obstacle solide) londe est rflchie sans changement de signearrive
contre le fond du tuyau (obstacle solide), l onde est rflchie sans
changement de signede la pression, suivant le principe
dactionraction de Newton.
Une compression progressant dans le tuyau reste donc une
compression aprs rflexion. Il enp p g y p pest de mme si londe
progressive tait une dpression et non une compression. De plus,
uneextrmit ferme correspond alors un ventre de pression (et donc un
nud de vibration).
9 Cas du tuyau ouvert :
Considrons prsent une onde progressive envoye dans un tuyau dont
lextrmit est cettefois ouverte (tuyau ouvert). Lorsque, par
exemple, une compression arrive au niveau delorifice, elle sort du
tuyau mais cre juste en arrire du trou une brusque dpression qui
sepropage alors vers la source. Cest donc comme si londe
progressive de compression setaitrflchie dans le milieu, mais en
changeant de signe. Le mme processus prend place si londeincidente
est une dpression. Une extrmit ouverte correspond donc toujours un
nud depression (et donc un ventre de vibration).
Ces notions permettent de comprendre comment est dtermine la
frquence propre duntuyau ferm ou ouvert.
-
Illustration:ondesstationnairesdanslestuyauxouvertetferm
Ondeprogressivedansuntuyaufermp g y
Ondeprogressivedansuntuyauouvert
-
Considrons un tuyau ferm, de longueur L. Le raisonnement prcdent
montre que londeprogressive doit parcourir 4 longueurs du tuyau
avant de se retrouver dans les mmesconditions que les conditions
initiales (signe de londe, cestdire surpression ou dpression,
d d l d ) d d f d det sens de propagation de londe ). La priode
caractristique dun tuyau ferm est donc de4L/c, ou c est la vitesse
du son dans lair. Nous obtenons ainsi la frquence
proprefondamentale du tuyau ferm, f1= c/4L.
Pour le tuyau ouvert, le mme raisonnement aboutit la conclusion
suivante : londeprogressive doit parcourir 2 longueurs de tuyau
pour raliser un cycle complet, cause duchangement de signe de la
perturbation du ct de louverture et du ct de la source Lachangement
de signe de la perturbation du ct de l ouverture et du ct de la
source. Lapriode caractristique dun tuyau ouvert est donc de 2L/c,
ou c est la vitesse du son dans lair.La frquence propre
fondamentale du tuyau ouvert est donc donne par f1=c/2L.
Tuyaufermetouvert.
-
Illustrationsonore:ondesstationnairesdansunecolonnedair(tuyauferm)
-
8.2.3OndesstationnairesdeuxdimensionsDes surfaces mises en
vibration peuvent tre le sige d'ondes
stationnairesbidimensionnelles.
Par exemple, des plaques mtalliques convenablement excites
prsentent des points o ledplacement est maximum (les ventres de
vibration) et d'autres o le dplacement est nul(les nuds de
vibrations). Pour visualiser ces points, on saupoudre la plaque
vibrante desable.
Le sable est ject des rgions ou l'amplitude des vibrations est
maximale (lignes ventrales)et se rassemble dans les rgions o
l'amplitude est faible ou nulle (lignes nodales). Onobtient ainsi
des figures symtriques appeles figures de Chladni (du nom de
ErnstFlorentFd i Chl d i (1756 1827) h i i ll d)Fdric Chladni
(17561827), physicien allemand).
Une mme plaque peut fournir, selon la faon dont elle est
attaque, des figures de Chladnidistinctes ; chacune d'elles
correspond un mode de vibration et une frquence (audible)distinctes
; chacune d'elles correspond un mode de vibration et une frquence
(audible)distincte. Plus il y a de lignes et plus rapproches elles
sont, plus la frquence est leve. Onpeut aussi faire varier la
figure de Chladni en immobilisant un point de la plaque (entouchant
la plaque en ce point) on oblige ainsi une ligne nodale passer par
ce point outouchant la plaque en ce point), on oblige ainsi une
ligne nodale passer par ce point ouencore en changeant le point
d'attaque.Les membranes tendues (tambour, timbale, grosse
caisse...) satisfont aux mmes lois.
Ondesstationnairesuruneplaquerectangulaireexciteparunarchet
Ondesstationnairessuruneplaquerectangulaireexciteparunvibreur
-
De la mme manire, pour la table dharmonie dun instrument de
musique, on peutobserver des ondes stationnaires pour certaines
frquences :
-
9EffetDopplerLeffet Doppler (aussi appel effet DopplerFizeau
pour les ondes lectromagntiques) setraduit par un dcalage entre la
frquence de l'onde mise par la source et la frquence detraduit par
un dcalage entre la frquence de l onde mise par la source et la
frquence del'onde reue par lobservateur, lorsque l'metteur et le
rcepteur sont en mouvement l'un parrapport l'autre ; il apparat
aussi lorsque l'onde se rflchit sur un objet en mouvement
parrapport l'metteur ou au rcepteur, qui joue alors le rle de
source secondaire.rapport l metteur ou au rcepteur, qui joue alors
le rle de source secondaire.
9.1Descriptionintuitiveduphnomne
S it S i bil ( t
9.1.1Observateuretsourceimmobiles
Soit une source S immobile (reprsente envert) qui met un son de
priode T, et delongueur donde =c.T, et un observateurimmobile
(reprsent en rouge) Si onimmobile (reprsent en rouge). Si ondessine
londe mise intervalles rguliers(par exemple toute les priodes), on
faitapparatre des sphres concentriquesapparatre des sphres
concentriques,centres sur la source, mais spares lunede lautre par
une longueur donde. Lors dela rception des ondes par lobservateur,
lala rception des ondes par l observateur, ladistance sparant les
fronts donde est lamme que lors de lmission des frontsdonde par la
source : la longueur dondep greue (resp. la frquence reue) est
lamme que la longueur donde mise par lasource (resp. la frquence
mise).
-
9.1.2Observateurimmobileetsourcesloignant
La source (point vert) se dplace vers lagauche avec une vitesse
constante
aj stableajustable.A des intervalles de temps gaux, cettesource
met une onde sphrique qui sepropage avec la vitesse c = 340 m/s
Lapropage avec la vitesse c = 340 m/s. Lavitesse de la source est
mesure enunits relatives (la valeur de 10correspond la clrit du
son)correspond la clrit du son).
Quand la source sloigne de l'observateur (point rouge), les
fronts d'onde reus parg (p g ), plobservateur sont plus distants
que si la source tait immobile : la longueur d'onde reueaugmente,
la frquence reue diminue et l'observateur peroit un son plus
grave.
-
9.1.3Observateurimmobileetsourceapprochant
La source (point vert) se dplace vers ladroite avec une vitesse
constante
aj stableajustable.A des intervalles de temps gaux, cettesource
met une onde sphrique qui sepropage avec la vitesse c = 340 m/s
Lapropage avec la vitesse c = 340 m/s. Lavitesse de la source est
mesure enunits relatives (la valeur de 10correspond la clrit du
son)correspond la clrit du son).
Quand la source se rapproche de l'observateur (point rouge), les
fronts d'onde reus parpp (p g ), plobservateur sont plus resserrs
que si la source tait immobile : la longueur d'onde reuediminue, la
frquence reue augmente et l'observateur peroit un son plus
aigu.
-
Casparticulier:lasourcesedplacelavitessedusondanslemilieu(coulementsonique)
La source (point vert) se dplace vers ladroite avec une vitesse
constante gale la clrit du son. La source constitue lela clrit du
son. La source constitue lesommet dun cne form par les frontsdonde
quelle entrane avec elle, cest lecne de Mach.
On dit ainsi d'un avion qu'il vole Mach 1si sa vitesse est gale
celle du son(environ 340 m.s1 ou 1200 km.h1 danslair aux conditions
normales), Mach 2 sisa vitesse correspond deux fois lavitesse du
son, et ainsi de suite. Il estnomm en l'honneur du physicien
etphilosophe autrichien Ernst Mach.
Quand la vitesse du mobile atteint celle de l'onde dans le
milieu, il y a une concentration del'nergie vibratoire sur le
mobile qui provoque des phnomnes non linaires complexes(ondes de
choc, mur du son).
-
9.1.4Sourceimmobile,observateurmobile
Le point vert reprsente la source immobile; le rond rouge le
rcepteur mobile serapprochant ou s'loignant de la source. La
vitesse de dplacement du rcepteur est uneconstante. On observer sur
les courbes traces droite que la priode pour le rcepteur esten
gnral diffrente de celle de la source (sauf lorsque le rcepteur est
immobile) et leschangements de priode lors d'un demitour ou au
passage par la source (correspondants la transition se rapproche /
s'loigne ).
-
9.2Descriptionmathmatiquegnraleduphnomne
On peut dmontrer que dans le cas le plus gnral (source et
observateur mobiles), lamodification de frquence entre londe mise
(de frquence f) et londe reue (de frquencemodification de frquence
entre l onde mise (de frquence f) et l onde reue (de frquencef) est
donne par la relation :
cos' O Oc Vf f +=cosS S
f fc V = +
o VO et VS sont les vitesses de la source et delobservateur, et
O et S les angles orientsforms par les vecteurs vitesses
delobservateur et de la source par rapport ladirection
observateursource OS.
Cette formule est valable tant que les vitesses de la source et
de lobservateur sont petitespar rapport la clrit de londe. Elle est
aussi non relativiste et ne sapplique donc pastelle quelle aux
ondes lectromagntiques.telle quelle aux ondes lectromagntiques.
-
9.3Casparticuliers9 si lobservateur O est immobile et que la
source S sapproche :
10 ' 1 i 'Svcf f f f f f
l t l i
0, ' 1 si ; '1
SO S S
SS
v f f f f v c f fvc v cc
= = = = + le son est plus aigu.
9 si lobservateur O est immobile et que la source S sloigne :
10, 0 ' 1 si ; '
1
SO S S
SS
vcv f f f f v c f fvc v cc
= = = = le son est plus aigu.
9 si lobservateur O sloigne de la source S immobile :g
le son est plus grave.
0, ' 1 ; 'O OS Oc v vv f f f f f fc c
= = = = <
-
9.4IllustrationsdeleffetDoppleravecdesondesacoustiques
Miseenmouvementdundiapason Diapasontournantp p
Klaxondunevoituremobileentenduparunobservateurextrieurlavoitureetfixe.
Klaxondunevoituremobileentenduparunobservateurintrieurlavoiture.
Klaxondunevoituremobileentenduparunobservateurextrieurlavoituremais
p
mobileensensinverse.
