El Problema de Cauchy en Teorías de Campos y Estudio Numérico de La Estabilidad Clásica Del Átomo de Hidrógeno

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIA

Departamento de Matematica y Cs. de la Computacion

EL PROBLEMA DE CAUCHY EN TEORIAS DECAMPOS Y ESTUDIO NUMERICO DE LAESTABILIDAD CLASICA DEL ATOMO DE

HIDROGENO

Miguel Angel Bezares Figueroa

Profesores gua:

Enrique Reyes Garca

Guillermo Palma Aguirre

Tesis presentada al Departamento de Ma-

tematica y Cs. de la Computacion de la Fa-

cultad de Ciencia de la Universidad de San-

tiago de Chile, para optar al ttulo profesio-

nal Ingeniero Matematico

Santiago, Chile

2014

2014, Miguel Angel Bezares Figueroa

Se autoriza la reproduccion total o parcial, con fines academicos, por cualquier medio

o procedimiento, incluyendo la cita bibliografica que acredita al trabajo y a su autor.

i

Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia

Departamento de Matematica y Cs. de la Computacion

Los miembros de la Comision Calificadora certifican que han ledo y recomiendan a la

Facultad de Ciencia para la aceptacion de la tesis titulada El Problema de Cauchy

en Teoras de Campos y Estudio Numerico de la Estabilidad Clasica del

Atomo de Hidrogeno de Miguel Angel Bezares Figueroa en cumplimiento

parcial de los requisitos para obtener el ttulo de Ingeniero Matematico . Comision

compuesta por:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Profesor guaDr. Enrique Reyes Garca

aaaaa

Profesor guaDr. Guillermo Palma Aguirre

aaaaa

Profesor InformanteDr. Norman Cruz Marn

aaaaa

Profesor InformanteDr. Galina Garca Mokina

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Director Depto. Matematicay Ciencia de la Computacion

Pedro Marn Alvarezaaaa

Jefe de CarreraIngeniera Matematica

Dr. Ignacio Guerra Benavente

Diciembre 2014

ii

Informe de Tesis Ingeniera Matematica

Ttulo: El Problema de Cauchy en Teora de Campos y Estudio Numerico de la EstabilidadClasica del Atomo de Hidrogeno.

Autor: Miguel Bezares Figueroa.

El trabajo de tesis de Ingeniera Matematica de Miguel Bezares es una revision exhaustivadel problema de Cauchy en teoras de campos con enfasis en Relatividad General. Su tesistambien incluye un estudio numerico de la estabilidad del atomo de hidrogeno. El estudiodel problema de Cauchy en teoras de campos es un tema reconocidamente sofisticado. Porejemplo, no es posible aplicar teoremas generales de existencia y unicidad a las ecuacionesde Einstein, sin antes estudiarlas detalladamente en sistemas de coordenadas especiales. Enel presente trabajo Miguel realiza este estudio con gran cuidado. Se trata de una tesis muycompleta que combina elementos de analisis funcional, analisis numerico, geometra diferencialy fsica. El trabajo tambien incluye el manuscrito de un artculo aceptado en la revista ISIInternational Journal of Geometric Methods in Modern Physics.Evaluo el trabajo de tesis con calificacion 7,0 (siete coma cero).

Prof. Enrique Reyes Garca.

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIN

INGENIERA MATEMTICA El Belloto N 3580

Estacin Central - Santiago - Chile Telfono 71 82 056

INFORME DE TESIS Santiago, 22 de diciembre de 2014.

En relacin al trabajo de titulacin del Sr. Miguel Bezares Figueroa, de la Carrera Ingeniera Matemtica, titulado El Problema de Cauchy en Teoras de Campos y Estudio Numrico de la Estabilidad Clsica del tomo de Hidrgeno, informo lo siguiente:

En esta tesis se estudia el Problema de Cauchy en Relatividad General. El problema es muy relevante pues se trata de una teora de gauge, cuya dinmica est restringida por vnculos que deben ser respetados en la evolucin del sistema, y cuyo tratamiento requiere de una formulacin matemtica delicada basada en teoremas clsicos de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales hiperblicas y el uso de coordenadas particulares. La estabilidad en el sentido de Liapunov de las ecuaciones de Einstein respecto de las condiciones iniciales es esencial en cualquier mtodo numrico que se quiera utilizar para buscar soluciones, dado que errores de truncamiento o aproximacin podran sacar al sistema de su rbita real y alterar el contenido fsico del sistema.

A pesar de que no se menciona explcitamente la motivacin, en una segunda parte se estudia numricamente la inestabilidad clsica del tomo de Hidrgeno, que fue fundamental a inicios del siglo XX contribuyendo a la formulacin de la Mecnica Cuntica. En efecto, la electrodinmica clsica formulada a partir de las ecuaciones de Maxwell corresponde tambin como Relatividad General a una teora de gauge, y a pesar de que su contenido geomtrico es bastante ms simple, presenta muchas de la dificultades tcnicas al momento de buscar soluciones numricas.

La Tesis est escrita claramente y con rigor matemtico, lo que permite entender de manera auto-contenida el problema que aborda, incluyendo muchos detalles de clculo. Sin duda sobrepasa la exigencia de una Tesis de Ingeniera Matemtica en lo formal, pero resulta de gran ayuda como base para una segunda fase ms numrica que aborde una simulacin numrica de Relatividad General. Lo anterior permite augurarle slidos logros en el trabajo futuro, integrando tanto anlisis riguroso matemtico con algoritmos eficientes numricos para el estudio numrico de sistemas de gauge.

Por lo anterior califico este trabajo con nota siete coma cero (7.0).

Atentamente, Guillermo Palma Aguirre

Profesor Gua




INFORME DE TESIS

Respecto al trabajo de titulacin del seor Miguel Bezares Figueroa, de la Carrera de Ingeniera Matemtica, titulado El problema de Cauchy en teoras de campo y estudio numrico de la estabilidad clsica del tomo de hidrgeno, informo lo siguiente: En el presente trabajo se estudia el Problema de Cauchy en relatividad general analizando las ecuaciones de campo de Einstein entendidas como ecuaciones de evolucin y las condiciones que conducen a una formulacin consistente de los valores iniciales. Posteriormente, se realiza un estudio numrico de las soluciones de la ecuacin de Lorentz-Dirac, que describe el movimiento clsico de un electrn, con y sin trmino de radiacin. Los resultados permiten encontrar las trayectorias fsicas que debiera seguir un electrn bajo un potencial Coulombiano. El estudio del problema de Cauchy se realiz de una manera exhaustiva y y en forma muy sistemtica. Es una contribucin para quien desee introducirse seriamente en este problema, de gran importancia para la consistencia de una teora fsica. El estudio numrico de la ecuacin de Lorentz-Dirac considera un mtodo de aproximaciones sucesivas que permite obtener soluciones fsicamente aceptables. Es un trabajo tcnicamente muy bien desarrollado. Debo mencionar que el estudio del problema de Cauchy en relatividad general asociado a ecuaciones de segundo orden no presenta una vinculacin directa con una ecuacin como la de Lorentz-Dirac, de tercer orden. En este aspecto la tesis no es del todo coherente en sus objetivos.




Por lo expuesto anteriormente califico este trabajo con nota seis coma cinco (6.5).

Norman Cruz Profesor Informante

Santiago, 22 de Diciembre de 2014.




INFORME DE TESIS

En relacin al trabajo de titulacin del Sr. Miguel Bezares Figueroa, de la Carrera Ingeniera Matemtica, titulado El Problema de Cauchy en Teoras de Campos y Estudio Numrico de la Estabilidad Clsica del tomo de Hidrgeno, informo lo siguiente: La tesis est dividida en dos partes: en la primera parte de la tesis se estudia el Problema de Cauchy en Relatividad General. Para el anlisis de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, estas se reducen, usando coordenadas armnicas, a un sistema hiperblico para aplicar teoremas clsicos de Ecuaciones Diferenciales Parciales. En la segunda parte se estudia numericamente la inestabilidad clsica del tomo de Hidrgeno. Este problema fue de gran relevancia en el siglo XX, ya que contribuy al nacimiento de la Mecnica Cuntica. El trabajo presenta de manera organizada y clara los problemas estudiados y su motivacin. En la introduccin se exponen con detalles todos los conceptos tericos que se usan en la tesis. Los resultados se obtienen de forma gradual, desde los ms simples hasta los ms complejos, lo que hace ms agradable su lectura y comprensin. Los experimentos numricos presentados en la ltima parte de la tesis, evidencias la complejidad de modelar numricamente el movimiento de un electrn en presencia de radiacin en el tomo de Hidrgeno. El alumno ha cumplido con los objetivos generales y especficos planteados al inicio de su tesis, mostrando una alta capacidad de anlisis matemtico y dominio de los conceptos involucrados. Esto permite esperar grandes logros en su vida profesional y en cualquier desafo que se le presente.

Por lo anterior califico este trabajo con nota siete coma cero (7.0).

Atentamente,

Galina C. Garca M. Profesora Informante

Santiago, 22 de diciembre de 2014.

Resumen

El Problema de Cauchy en Teoras de Campos y Estudio Numerico

de la Estabilidad Clasica del Atomo de Hidrogeno


Diciembre/2014

Profesores Guas: Dr. Enrique Reyes Garca yDr. Guillermo Palma Aguirre

La principal meta de este trabajo es comprender el Problema de Cauchy en Relativi-

dad General y el estudio numerico de la estabilidad clasica del atomo de hidrogeno.

Estudiamos y analizamos en detalle aspectos analticos relevantes de las ecuaciones de

Einstein entendidas como ecuaciones de evolucion, con atencion especial al problema

de buen planteamiento de Relatividad General. Estudiamos soluciones locales para las

ecuaciones de Einstein a traves de coordenadas armonicas que transforman estas ecua-

ciones en un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbolicas y la formulacion

del problema de valores iniciales para las ecuaciones de Einstein [CHO-II], [RING],

[STRAU] y [TAY-III]. Ademas, exploramos otros aspectos relacionados con el Proble-

ma de Cauchy en Relatividad General: la formulacion del problema de valores iniciales

para campos masivos [WALD]. Finalmente, estudiamos soluciones numericas para la

ecuacion clasica de movimiento de un electron con termino de radiacion y sin radiacion,

modelada por la ecuacion de Lorentz-Dirac, obteniendo numericamente las trayectorias

fsicas del electron, [PLA, JACK, AGUI].

Palabras claves: Relatividad General; Ecuaciones de Einstein, Ecuacion de Klein-

Gordon, Problema de valores iniciales; coordenadas armonicas, Radiacion, Ecuacion de

Lorentz-Dirac, Fine-tuning, Runge-Kutta 87.

iii

Abstract

The Cauchy Problem in General Relativity and Numerical study

of the classical stability of the Hydrogen atom


December/2014

Advisor: Dr. Enrique Reyes Garca and Dr. Guillermo Palma Aguirre

The main goal of the present work is to understand some aspect of the Cauchy problem

in General Relativity and the classical stability of the Hydrogen atom. We study and

analyze in details some relevant analytical aspects of Einstein equations understood as

evolutions equations, with especial attention to the well-posedness problem in General

Relativity. We study local solutions for the Einstein Equations through harmonic coor-

dinates which transform these equations in a system of hyperbolic differential equations

and the Initial Value Formulation for Einstein Equations [CHO-II], [RING], [STRAU]

and [TAY-III]. Besides, we explore other some aspects related to The Cauchy Problem

in General Relativity: Initial Value Formulation for massive fields [WALD].

Keywords: General Relativity, Eintein Equations, Klein-Gordon Equations, Initial

Value Problem, harmonic coordinate, Radiation, Lorentz-Dirac Equations, Fine-tuning,

Runge-Kutta 87.

iv

aPara mi TITA, mi TATA, mi amada ESPOSA y mis PADRES

v

Agradecimientos

Despues de este gran camino recorrido, muchas veces dficil y que pareca hasta impo-

sible a veces, cierro una gran etapa de mi vida. Donde no puedo dejar de agradecer a

todas las personas que estuvieron en este camino y creyeron en m, me brindaron su

apoyo y hasta sus fuerzas y energas para poder finalizar esta hermosa etapa.

Quiero agradecer a m amada esposa, companera y confidente, la que me dio su apoyo

en innumerables ocasiones que me pude ver derrotado o agotado, la que ha estado

siempre en este camino. Sin duda, parte de este logro es gracias a ella, que me enseno

algo fundamental en la vida que es la perseverancia, la paciencia y la lucha.

Agradezco tambien a mi familia la cual siempre estuvo conmigo y creyo en mi, la cual

supo entender mis ausencias en momentos importantes.

Dar gracias a mis Profesores, agradecerles por todas las buenas ensenanzas que me

han brindado y se que seran de bien para el futuro, comenzando por mi Profesor de

matematicas del colegio Alexis Matheus el cual fue quien me guio en esta primera etapa

de las matematicas; a mis profesores y mentores matematicos Profesor Enrique Reyes y

Profesor Daniel Pons, quienes tuvieron la paciencia y la motivacion de ensenarme este

mundo de la Geometra y la Relatividad, quienes me dieron el honor de poder colabo-

rar en un artculo con ellos y aceptaron guiar mi tesis. Y finalmente a mis mentores

fsicos Profesor Guillermo Palma y Profesor Norman Cruz, quienes me mostraron otra

perspectiva de las matematicas aplicadas y tambien me dieron la gran oportunidad de

trabajar y colaborar con ellos. Igualmente, a los profesores que nos apoyaron en los

viajes o pasantas Dra. Galina Garcia, Dr. Ignacio Guerra y Dra. Maria Isabel Cortez.

Gracias Profesores por todo el apoyo.

Ademas, agradecer el apoyo y la hospitalidad del Profesor Oscar Reula y al grupo de

Relatividad General y Gravitacion de la Facultad de Matematica, Astronoma y Fsica

(FaMAF) de la Universidad Nacional de Cordoba, Argentina, por la invitacion a realizar

una pasanta de investigacion en donde pude profundizar los temas abarcados en este

vi

trabajo y discutir mi primera publicacion.

Quiero agradecer a mis amigos Yeremy, Gonzalo y Sebastian por todo el apoyo brindado

en esta etapa y por estar siempre en los momentos de alegra y tristeza, sin duda un

gran equipo de trabajo. Ademas, agradezco a un gran amigo Sebastian Zamorano quien

se dio el tiempo para ayudarme a comprender corregir parte de este trabajo, y a Mara

Jose quien se tomo el tiempo de leer mi tesis y corregir errores gramaticales. Finalmente,

a un gran amigo Erico Gourlat el cual se tomo el tiempo de discutir el Problema de

Cauchy en Relatividad General y me ayudo a comprender mejor los contenidos de esta

tesis.


Diciembre 2014

vii

Tabla de Contenidos

Resumen III

Abstract IV

Agradecimientos VI

Introduccion 1

1. Elementos de Analisis, Geometra y Relatividad General 6

1.1. Geometra Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. El tensor Metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.3. Diferenciacion en Variedades (Pseudo)Riemannianas . . . . . . . 30

1.1.4. Coordenadas Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.1.6. Las k-formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.1.7. Inmersiones, Submersiones, Incrustaciones y Subvariedades . . . 48

1.1.8. Metricas Conformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.1.9. Conceptos basicos de Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.1.10. Hiperbolicidad Global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2. Elementos de Analisis y Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . 59

1.2.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

viii

1.2.2. Desigualdades de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2.3. Espacios de Sobolev en variedades Riemannianas . . . . . . . . . 71

1.2.4. Algunos Teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2. Problema de valores iniciales 76

2.1. Formulacion de valores iniciales para partculas y campos . . . . . . . . 77

2.1.1. Formulacion de valores iniciales para partculas . . . . . . . . . . 77

2.1.2. Formulacion de valores iniciales para campos: Ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.2. Formulacion de valores iniciales en Relatividad General . . . . . . . . . 90

2.2.1. Descomposicion del espacio tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.2.2. Ecuaciones de Constraints y Problema de Valores Iniciales. . . . 93

2.2.3. Existencia y Unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.2.4. Aspectos Globales del Problema de Valores Iniciales para la Re-latividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.2.5. Formulacion conforme para el problema de valores iniciales. . . . 122

3. Problema Numerico: Ecuacion clasica de movimiento con termino deradiacion. 125

3.1. Ecuacion de Lorentz-Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.2. Aplicaciones numericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2.1. Movimiento Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2.2. Movimiento bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Apendices 145

Apendice A. Teorema de Noether. 146

Apendice B. Deduccion variacional con coordenadas normales y aplica-ciones a la cosmologa. Trabajo en conjunto con Dr. Norman Cruz yGonzalo Palomera. 154

B.1. Principios variacionales a traves de coordenadas normales. . . . . . . . . 154

ix

B.1.1. Aplicaciones a la Cosmologa: k-esencia no minimalmente acoplada.160

B.1.2. Ecuaciones Cosmologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.1.3. Ecuaciones de Campo para k-esencia no-minimalmente acoplada. 165

Apendice C. El Teorema de Ehlers-Geroch en movimiento geodesico enRelatividad General: Trabajo en conjunto con Dr. Enrique Reyes, Dr.Daniel Pons y Gonzalo Palomera. Artculo publicado en InternationalJournal of Geometric Methods in Modern Physics (JGMMP) 168

x

Indice de Ilustraciones

1.1. Cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Expresion en coordenadas de una funcion f : M R. . . . . . . . . . . 111.3. Coordenadas locales de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Expresion en coordenadas locales de una curva c en la variedad M. . . . 13

1.5. Cono de luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6. Paraboloide de Flamm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Mapeo exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.8. Una carta slice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.9. Familia de hipersuperficies parametrizadas para una familia de tiempos t. 51

1.10. Congruencia de curvas {i}iI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1. Esquema del espacio tiempo en donde se muestra explcitamente la regionK donde se integrara (2.15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2. Una ilustracion del espacio tiempo mostrando la definicion de la funcionlapso N y el vector shift. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.3. Esta figura ilustra la nocion de la curvatura extrnseca. El vector con lneadiscontinua en p representa el transporte paralelo del vector normal, na,en q a lo largo de una geodesica conectando q con p. La formula (2.63)muestra que Kij mide la diferencia entre n

a(q) transportado a p y na(p)para q cerca de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.4. En el espacio Euclideano R3, el plano S es una hipersuperficie totalmentegeodesica, para una geodesica entre los puntos A y B. De lo contrario parala esfera, dos geodesicas son distintas, cualquiera que se la posicion deA y B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

xi

3.1. Solucion amortiguada de la ecuacion diferencial de tercer orden x+4x5...x = 0, con condiciones iniciales x(0) = 1 , x(0) = 1 y x(0) = 85 , el

proceso de captura fue mediante Runge-Kutta 5 en Matlab con un tiempode integracion t [0, 10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2. Ilustracion de la tecnica fine-tuning para encontrar la condicion inicialpara la aceleracion, para la ecuacion diferencial de tercer orden x+4x5...x = 0. Inicialmente las condiciones iniciales son x(0) = 1 , x(0) = 1

y x(0) [2, 2]. Para x(0) = 85 se otiene la solucion amortiguada, quees equivalente a la obtenida en la observacion 33. El proceso de capturanumerico se obtuvo para 100 valores diferentes y se uso Runge-Kutta 5en Matlab, con un tiempo de integracion t [0, 10]. . . . . . . . . . . . . 135

3.3. Ilustracion solucion clasica que describe a un electron rotando en torno aun centro de carga +e sin tomar en cuenta la perdida de energa debida ala radiacion. El proceso de captura numerico fue mediante Runge-Kutta5 en Matlab, tomamos como condicion inicial ~z = (a0/(1 + ), 0) y~z = (0, L0/ma0) con un tiempo de integracion t [0, 106]. . . . . . . 140

3.4. Ilustracion solucion clasica que describe a un electron rotando en torno aun centro de carga +e tomando en cuenta la perdida de energa debida ala radiacion. El proceso de filtro numerico realizad fue mediante Runge-Kutta 8-7 en Matlab, tomamos algun sistema de unidades en donde c =1, y como condicion inicial en la posicion ~z = (50, 0) y ~z = (0, 0,0085)con un tiempo de integracion t [0, 1687]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.5. Ilustracion solucion clasica que describe a un electron rotando en torno aun centro de carga +e tomando en cuenta ambas situaciones fsicas, estoes, sin perdida de energa y con perdida de energa debida a la radiacion.El proceso de filtro numerico fue realizado mediante Runge-Kutta 8-7 enMatlab, tomamos algun sistema de unidades en donde c = 1, y comocondicion inicial en la posicion ~z = (50, 0) y ~z = (0, 0,0085) con untiempo de integracion t [0, 1687]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

xii

Introduccion

En 1915 Albert Einstein propuso por primera vez, en los artculos Zur allgemeinen

Relativitatstheorie y Die Feldgleichungen der Gravitation publicados en Sitzungs-

berichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, las ecuaciones de

campo para la gravitacion dadas por

G =8G

c4T , (1)

donde G = R 12gR + 12g es el tensor de Einstein definido en funcion deltensor de curvatura de Ricci R , el tensor de curvtura escalar R y la metrica g ;

es la constante cosmologica, G es la constante gravitacional universal de Newton y T

es el tensor de energa-momentum para un campo de materia. Si suponemos ausencia

de campos de materia, tenemos las ecuaciones Einstein en el vaco

G = 0. (2)

Las ecuaciones de Einstein deben ser resueltas para la metrica g , ellas pueden ser

vistas como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales acopladas de segundo or-

den no lineal. Sabemos que para la gran parte de las ecuaciones diferenciales parciales

no-lineales no tenemos metodos generales para obtener soluciones exactas. Debido a

su complejidad, solo se conocen soluciones de las ecuaciones de Einstein para el caso

en donde existen simetras, ya sea en el espacio o tiempo, como por ejemplo las so-

luciones para agujeros negros obtenidas por el fsico y astronomo Karl Schwarzschild

en su artculo Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen

Theorie publicado en 1916 en Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie

der Wissenschaften, en donde las soluciones son obtenidas suponiendo simetra esferica

sobre objetos compactos, o soluciones para el estudio de la expansion del Universo a

traves de la metrica de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker, la cual supone que el

espacio tridimensional es de curvatura constante, o soluciones para agujeros negros con

1

carga y rotacion obtenida por el matematico Roy Kerr en el artculo Gravitational

Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics en 1963 en

Physical Review Letters.

Desde un punto de vista diferente, podemos formular las ecuaciones de Einstein como

un problema de valores iniciales que permite estudiar la existencia y unicidad de solu-

ciones de forma mas general, sin suponer condiciones sobre el espacio tiempo, como por

ejemplo simetra esferica. Aunque Albert Einstein introdujo sus ecuaciones en 1915,

no fue sino hasta 1952 que Madame Ivonne Choquett-Bruhat logro establecer una for-

mulacion de valores iniciales en Relatividad General [CHO-II]. Cabe destacar, que en

Relatividad General las condiciones iniciales no son elementos de un espacio vectorial

de funciones como pasa en casos elementales de ecuaciones en derivadas parciales1 .

En efecto, un teorema de Robert Geroch en [GER] afirma que podemos descomponer

nuestro espacio-tiempo en una parte temporal y espacial. Dado un tiempo inicial, tene-

mos que los datos iniciales deben cumplir ciertas relaciones no lineales que vienen de la

geometra de hipersuperficies, conocidas como las ecuaciones de vnculos o constraint.

As, el problema de valores iniciales para Relatividad General es muy diferente a un

problema de valores iniciales clasico. La demostracion de Y. Choquet-Bruhat se basa

principalmente en usar la libertad de eleccion de coordenadas que nos permite la metri-

ca en nuestra variedad espacio tiempo, para as reducir la ecuaciones de Einstein a un

sistema hiperbolico y aplicar teoremas clasicos, como por ejemplo la teora de Leray

[LER]. Las coordenadas elegidas son las coordenadas armonicas.

Ademas, como problema numerico en este trabajo estudiamos la estabilidad clasica

del atomo de Hidrogeno, cuya dinamica es gobernada por la ecuacion de Lorentz-

Dirac [PLA]. Este problema fue de los principales en los inicios del siglo XX, el cual

contribuyo al nacimiento de la Mecanica Cuantica. Del punto de vista de la Mecani-

ca Cuantica, el atomo de Hidrogeno es estable, y la funcion de onda que describe el

electron es representada por una funcion de cuadrado integrable, y los posibles niveles

de energas son tambien conocidos como los valores propios de Balmer del operador

Hamiltoniano del sistema. Sin embargo, en Mecanica Clasica y como una consecuencia

de la teora de la Relatividad, cada partcula que posee movimiento acelerado emite

energa en forma de radiacion, cuya potencia de emision esta dada por la formula de

Larmor P = 2 ke2/3mc3, [JACK]. Como una consecuencia, el atomo de Hidrogeno no

puede ser estable y el electron pierde energa y cae al nucleo en algun tiempo denomina-

do vida media. La descripcion numerica de este simple sistema fsico es sorpresivamente

bastante difcil, dado que dos interacciones diferentes compiten entre ellas: la atraccion

1Por ejemplo, para resolver ut = uxx, x [a, b], podemos imponer u(0, x) = g(x), para cualquierfuncion suave g(x).

2

gravitacional y el as llamado Bremsstralug 2 y que no poseen escalas comparables.

Del punto de vista numerico, la ecuacion de Lorentz-Dirac tiene soluciones anomalas

[AGUI], algunas de ellas son en general no-causales y las otras violan la condicion de

conservacion de energa. Una posible estrategia para evitar tales soluciones espurias

que hemos probado, fue el tuning de condiciones iniciales apropiadas, tal que las

soluciones runaway son filtradas. Este metodo es existoso en algunas situaciones, pero

en general debido a las no-linealidades, el error de propagacion conduce a las trajecto-

rias fuera de la region fsica y as nuevamente soluciones runaway son obtenidas. Otro

metodo, que resulto ser apropiadamente exitoso fue propuesto por [AGUI] y el cual

construye una serie de aproximaciones iterativas para la ecuacion de Lorentz-Dirac,

cada uno de ellos corresponde a una ecuacion diferencial de segundo orden con una

no-homogeneidad dada esencialmente por la solucion de la anterior ecuacion diferen-

cial. Es posible mostar que si el lmite de esta serie de ecuaciones existe, el sistema de

ecuaciones sera equivalente a una ecuacion de movimiento tipo-Newton sin soluciones

runaway.

Con el fin de abordar este problema desde el punto de vista numerico, escribimos la

ecuacion de Lorentz-Dirac en variables adimensionales, y utilizamos con exito el esque-

ma propuesto por [AGUI] junto con una subrutina de tamano de paso adaptativo para

resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas a

traves de la subrutina Runge-Kutta 87 .

El presente trabajo considera principalmente los siguientes tres topicos: formulacion

de valores iniciales para campos masivos como introduccion al estudio del problema

de Cauchy en Relatividad General [WALD], la formulacion de valores iniciales local

para las ecuaciones de Einstein [CHO-II], [RING], [STRAU] y [TAY-III] y finalmente el

estudio numerico de las ecuaciones de Lorentz-Dirac [AGUI, JACK]. Especificamente

estudiamos:

En el primer captulo, introducimos conceptos basicos de Geometra Diferencial tales

como variedades diferenciables, el tensor metrico, diferenciacion, tensores y formas di-

ferenciales , Curvatura, la cual es fundamental para poder definir el tensor de Einstein

y como consecuencia directa sus ecuaciones, [JMLEE-II, CH-DW, DCM-I, DCM-II,

HW-EL]. Ademas la definicion de espacio tiempo, estructura causal, conjuntos impor-

tantes como lo son el futuro cronologico y causal, etcetera, hiperbolicidad global y

superficies de Cauchy, al igual que dominio de depencia, el cual es un concepto im-

portante para hacer una formulacion de valores iniciales [DIN, HW-EL, ONEI, RING]

terminando con el gran teorema de Robert Geroch [GER] el cual nos dice que toda

2Fuerza generada por el back-reaction de la radiacion.

3

variedad Lorentziana M es difeomorfa a R S, donde S es una hipersuperficie deCauchy. Y para finalizar este captulo, concluimos con algunos elementos de los espa-

cios de Sobolev en Rn y en una variedad Riemanniana M con sus principales teoremas

(de inscrustacion) y desigualdades [AUB, BRE, EVA, GLTR, HEB, SOB], para acabar

con dos teoremas aplicados a las ecuaciones diferenciales parciales, la alternativa de

Fredholm y el principio del Maximo, [TAY-I, RN-RG].

En el segundo captulo, siguiendo el razonamiento de R. Wald [WALD], demostra-

mos que existe una formulacion de valores iniciales bien planteada en el sentido de

Hadamard [HAD] para la ecuacion de campo masivo Klein-Gordon [GOLD]. Nues-

tro enfoque principal fue desarrollar y entender tecnicas que nos permitieran plan-

tear bien el problema a traves de desigualadades tipo energa y sus generalizaciones

[CH-DW, CO-HI]. Finalmente, estudiamos la formulacion de valores iniciales en Rela-

tividad General [CHO-II] con principal enfasis a: (i) descomposion (3 + 1) del espacio

tiempo [GOUR, BPPR, MARS]; (ii) ecuaciones de restriccion 3 y su propagacion

[FRTT, STRAU, WALD]; (iii) existencia y unicidad local en el tiempo usando coorde-

nadas armonicas [BI-KA, BE-Kn, DIR-II, FOC, LAN, LER, RING, STRAU, TAY-III,

WALD];(iv) algunos aspectos globales, el teorema de Choquet-Bruhat y Geroch sobre

existencia global de soluciones [CH-GR] y [ISEN] la ecuacion de Lichnerowicz.

En el tercer captulo, estudiamos la ecuacion clasica de movimiento de un electron con

termino de radiacion, introduciendonos en la ecuacion de Lorentz-Dirac, en donde trans-

formamos nuestra ecuacion diferencial covariante a una ecuacion diferencial de tercer

orden [PLA]. Estudiamos numericamente la ecuacion de Lorentz-Dirac, comenzando

con un analisis unidimensional en donde mostramos soluciones analticas y numericas

a traves del metodo denominado fine-tuning, ademas hacemos una importante obser-

vacion sobre las condiciones iniciales para este problema, [JACK, AGUI]. Finalizamos

este interesante problema con el estudio bidimensional de la trayectoria del electron

obtenida estudiando numericamente la ecuacion con y sin radiacion.

Como comentario final destacamos que existe la posibilidad de encontrar soluciones

numericas a ecuaciones de interes para fsica matematica, como mostramos en el ejem-

plo del atomo de hidrogeno. En el caso de Relatividad General, su estudio numerico es

conocido como Relatividad Numerica [BSS]. La Relatividad Numerica nos da la opor-

tunidad de estudiar fenomenos cosmicos que no podemos recrear en los laboratorios,

como por ejemplo propagacion de ondas gravitacionales, colapso gravitacional y colapso

de dos agujeros negros, un tema en donde mayormente se investiga en estos ultimos

anos [GOUR, BO-LU].

3Constraint .

4

Observacion 1:

Existen diversas formas de notaciones para los ndices en Relatividad General, ndices

griegos, latinos, numeros, etcetera, que denotan si uno esta trabajando en las coorde-

nadas espaciales o espacio-temporales por ejemplo. En este trabajo no hacemos distin-

ciones entre ndices griegos o latinos, a menos que lo especifiquemos antes o despues

de algun calculo especfico.

5

Captulo 1

Elementos de Analisis, Geometra

y Relatividad General

1.1. Geometra Diferencial

1.1.1. Variedades Diferenciables

Definicion 1.1:

Sea M un conjunto arbitrario, no vaco. Diremos que M es una variedad diferen-

ciable si existe una coleccion {U}A de subconjuntos de M y una coleccion

: U M Rn,

con A de funciones inyectivas tal que 1 :

(1)A

U =M.

(2) Las funciones son compatibles, esto es, la funcion 1 es un difeomorfismoCk local.

Sea n la dimension de la variedad M, denotaremos M es n-dimesional. Notemos que

1 es una funcion de (U U) Rn a (U U) Rn.

1Ver figura 1.1.

6

Figura 1.1: Cartas.

Diremos que n es la dimension de la variedad M . Las funciones : U M Rn se llaman cartas o sistemas de coordenadas de M. Si p M, (p) Rn sonlas coordenadas de p, y las funciones componentes (x1, . . . , xn) de , definidas por

(p) = (x1(p), . . . , xn(p)), son llamadas coordenadas locales en U. Algunas veces

escribiremos (U, ) una carta cerca de p como una manera abreviada para (U, )

es una carta cuyo dominio U contiene a p.

Un atlas en M es una coleccion {(U, )} que satisface la condicion (1) y (2) de ladefinicion 1.1. Dos atlas A1 = {U}, A2 = {V} son equivalentes si {U V} es unatlas. Una estructura diferenciable sobre M es una clase de equivalencia de atlases

en M. La union de todos los atlas equivalentes a un atlas dado A es llamado atlasmaximal, tambien llamado la estructura diferenciable generada porA. As, una variedaddiferenciable es un conjunto M provisto de una estructura diferenciable sobre M.

Definicion 1.2:

Sea M una variedad con estructura diferenciable. Un conjunto A M es abierto, sipara cada a A, existe una carta local (U, ) tal que a U y U A.

Para el objetivo de este trabajo, cuando se mencionen variedades, nos refeririremos uni-

camente a variedades paracompactas, conexas, C, Hausdorff y sin frontera, a menos

que se explcite otra cosa.

Una propiedad importante de una variedad paracompacta, es la existencia de una par-

ticion de la unidad subordinada a la estructura diferenciable:

7

Dado cualquier conjunto localmente finito de abiertos {U}A 2 sobre una variedadCk paracompacta, es siempre posible encontrar un conjunto {f}A de funciones Cktal que

(i) 0 f 1 en M, para cada A,

(ii) el soporte de f, supp f = {p M /f(p) 6= 0} esta contenido en el correspon-diente U, para cada A,

(iii)A

f(p) = 1, para todo p M.

El conjunto {f}A que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) se denomina particionde la unidad.

Definicion 1.3:

Una variedad M es llamada orientable si existe un atlas {(U, )} contenido en elatlas maximal tal que en cada interseccion no vaca U U, el Jacobiano |xi/yj |es positivo, donde (y1, y2, . . . , yn) (U U) y (x1, x2, . . . , xn) (U U),respectivamente.

Ejemplo 1:

Consideremos M = Sn la esfera unitaria, M es una variedad ndimensional.

En efecto, sean U1 = Sn pN y U2 = Sn pS , donde pN = (0, . . . , 0, 1) y pS =

(0, . . . , 0,1) son, respectivamente, los polos norte y sur de la esfera Sn. Tenemos quelos conjuntos U1 y U2 son conjuntos abiertos en S

n 3. Notemos que Sn = U1 U2. Sea1 : U1 Rn y 2 : U2 Rn la proyeccion estereografica desde el polo norte y surrespectivamente, definidas por:

1(x1, . . . , xn+1) =1

1 xn+1 (x1, . . . , xn), (1.1)

2(x1, . . . , xn+1) =1

1 + xn+1(x1, . . . , xn). (1.2)

Las inversas de estas proyecciones estan dadas por:

11 (x1, . . . , xn) =

(2x1

1 + x2 , . . . ,2xn

1 + x2 ,x2 11 + x2

), (1.3)

12 (x1, . . . , xn) =

(2x1

1 + x2 , . . . ,2xn

1 + x2 ,1 x21 + x2

), (1.4)

2Recordemos que podemos escoger este conjunto, como el conjunto de las cartas {U, }A endonde las funciones son de tipo C

k para cada A.3Usando la topologa inducida por la inscrustacion usual de Sn en Rn+1.

8

donde x2 = x21+ . . .+x2n. Es sencillo probar ver que estas aplicaciones son inyectivas.Las funciones 1 y 2 son compatibles, pues 1 12 es un difeomorfismo local. Enefecto, tenemos que 1 12 : 1(U1 U2) 1(U1 U2), donde 1(U1 U2) =2(U1 U2) = (Sn {pN , pS}) = Rn\{0}, y

(1 12

)(x1, . . . , xn) =

1

x2 (x1, . . . , xn) (1.5)

que es un difeomorfismo local C, pues sus componentes lo son, por lo tanto cumple

las condiciones (1) y (2) de la definicion 1.1, es decir, Sn es una variedad diferenciable

ndimensional con atlas maximal conteniendo A = {(U1, 1), (U2, 2)}.

Ejemplo 2:

Sea M = RPn el espacio proyectivo ndimensional, M es una variedad ndimensional.

En efecto, RPn es determinado por la relacion de equivalencia,

x y si y solo si x = y,

donde 6= 0, es decir, RPn puede ser visto como el conjunto de rectas que contienen elorigen en Rn+1.

Consideremos para cada i {1, . . . , n + 1}, el conjunto Ui, definido como la coleccionde puntos en Rn+1 cuya iesima coordenada es distinta de cero.

Observemos que RPn =

(n+1i=1

Ui

)/ .

Construiremos las funciones i : Ui/ Rn. Sea x Ui/ , un representante de xes de la forma,

(x1, . . . , xi, . . . , xn+1) , con xi 6= 0.

Definimos

i(x) =

(x1

xi, . . . ,

xi1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

) Rn. (1.6)

Esta funcion esta bien definida pues si (y1, . . . , yi, . . . , yn+1) es otro representante de

x, esto es, y = x, entonces,

(y1, . . . , yi, . . . , yn+1) = (x1, . . . , xi, . . . , xn+1),

9

luego

i(y) =

(y1

yi, . . . ,

yi1

yi,yi+1

yi, . . . ,

yn+1

yi

),

=

(x1

xi, . . . ,

xi1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

),

=

(x1

xi, . . . ,

xi1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

)= i(x).

Cada funcion i es inyectiva. En efecto, sea x, z Ui/ tal que i(x) = i(z)(x1

xi, . . . ,

xi1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xn+1

xi

)=

(z1

zi, . . . ,

zi1

zi,zi+1

zi, . . . ,

zn+1

zi

).

Luego, sin perdida de generalidad, para i < k tenemos:

xk

xi=

zk

zi, para k {1, . . . , i 1, i+ 1, . . . , n + 1}.

Entonces,(zi

xi

)xk = zk, para k {1, . . . , i 1, i+ 1, . . . , n+ 1}, ademas

(zi

xi

)xi = zi,

y por tanto x = z.

As, para cada i {1, . . . , n+ 1} el par (Ui/ , i) es carta para RPn.

Para finalizar, mostraremos que estas cartas son compatibles.

Sea i 1j : j((Ui/ ) (Uj/ )) i((Ui/ ) (Uj/ )).

Entonces x j((Ui/ ) (Uj/ )) si y solamente si x =(x1

xj, . . . , x

j1

xj, x

j+1

xj, . . . , x

n+1

xj

)con i < j. Ahora si x Rn, tenemos:

1j (x) = (x1, . . . , xj1, 1, xj+1, . . . , xn+1).

Por lo tanto,

i 1j (x) = i((x1, . . . , xj1, 1, xj+1, . . . , xn

)), (1.7)

=

(x1

xi, . . . ,

xi1

xi,xi+1

xi, . . . ,

xj1

xi,1

xi,xj+1

xi, . . . ,

xn

xi

), (1.8)

es un difeomorfismo C.

10

Ejemplo 3:

Suponga que M1, . . . ,Mk son variedades diferenciables de dimensiones n1, . . . , nk res-

pectivamente, entonces M1M2 . . .Mk es una variedad diferenciable de dimensionn1+n1+. . .+nk. La verificacion de esta afirmacion puede ser consultada en [JMLEE-II].

En particular, si consideramos M1 = S1, . . . ,Mn = S

1, tenemos que M = S1 S1 . . . S1 = Tn, el toro ndimensional, es una variedad diferenciable.Observacion 2:

Debemos notar que una variedad compacta no es posible cubrirla con solo una carta,

ya que si existiese esta carta (U, ), que cubre Sn por ejemplo, se tendra que la imagen

de un compacto a traves de sera un compacto, pues la funcion coordenada es C y

diferenciable, luego Rn sera compacto, lo que es absurdo.

Mapeos Diferenciables

Una funcion f en una variedad n-dimensional M es una mapeo de M en R dado por

x 7 f(x). Su representante en coordenadas locales en la carta (U, ) es una funcionsobre un abierto de Rn4,

f := f 1 : (xi) 7 f(1 (xi)).

Figura 1.2: Expresion en coordenadas de una funcion f : M R.

La funcion f es diferenciable en x M si f es diferenciable en (x). Esta definiciones independiente de la carta. El gradiente de f es representado en una carta por la

derivada parcial de f . Si (U, ) y (U, ) son dos cartas conteniendo a x, se

4Ver figura 1.2.

11

cumple que:

fxi

=fyj

yj

xi. (1.9)

Un mapeo diferenciable f en p M , entre variedades diferenciables M y W , de di-mensiones n y s respectivamente, se puede definir analogamente, ver figura 1.3. El

gradiente en x M se representa en una carta en x M y una carta en f(x) Wpor un mapeo lineal de Rn sobre Rs, esto es, sean (U, ) y (V , ) cartas de M

y W, respectivamente. As tenemos f : (U) Rn (V) Rs dado porf(x

1, . . . , xn) = (y1, . . . , ys)5, entonces el gradiente esta dado por

grad(f) =

(yi

xj((p))

).

Figura 1.3: Coordenadas locales de f.

Vectores y Tensores: Fibrado Tangente y Cotangente

Los vectores y tensores en una variedad diferenciable son objetos geometricos los cuales

pueden ser definidos intrnsecamente, sin el uso de coordenadas locales.

Definicion 1.4:

Sea M una variedad, p M y (U, ) una carta, donde U contiene a p. Tomamosc1, c2 : (, ) M curvas suaves, o C, con c1(0) = c2(0) = p. Decimos que, c1 y

5Ver figura 1.3.

12

c2 son equivalentes en p si

d

dt

t=0

( c1) = ddt

t=0

( c2).

Figura 1.4: Expresion en coordenadas locales de una curva c en la variedad M.

Lema 1.5:

Si c1 y c2 son equivalentes usando la carta (U, ), tambien son equivalentes en otra

carta (V, ) con p V. As, la deficion 1.4 no depende de las cartas elegidas.

Demostracion :

Tenemos que

d

dt

0

( c1) = ddt

0

( 1) ( c1)

= D( 1) ddt

0

( c1)

= D( 1) ddt

0

( c2)

=d

dt

0

( 1) ( c2)

=d

dt

0

( c2).

Un vector X en p M es una clase de equivalencia de curvas c : (, ) Mcon c(0) = p. El espacio tangente de M en p, es el conjunto de todas las clases de

equivalencias de curvas c : (, ) M con c(0) = p.

13

TpM = { [c]p / c : (, ) M, c(0) = p}

El fibrado tangente de M es denotado por TM y definido TM =pM

TpM.

Existe otra manera de definir el espacio tangente a traves de derivaciones.

Un vector Xp en p M es una derivacion sobre el espacio de todas las funciones f detipo C cerca de p M. Es decir, Xp satisface las condiciones:

(1) Si , R, Xp(f + g) = Xp(f) + Xp(g).

(2) Xp(fg) = Xp(f)g(p) + f(p)Xp(g).

(3) Xp(f) R.

Una variacion muy formal de esta definicion es a traves de germenes de funciones; el

lector interesado en esta definicion y en la idea de una derivacion como una definicion

abstracta de derivada direccional puede consultar [WARN].

Definicion 1.6:

El espacio tangente TpM en p es el conjunto de todas las derivaciones en p. Notemos

que TpM es un espacio vectorial sobre R, cuyas operaciones algebraicas estan definidas

por:

(Xp + Yp)(f) = Xp(f) + Yp(f).

(aXp)(f) = aXp(f), con a R.

Ademas, es posible exhibir una base para TpM :

Sea (U, ) una carta en p y supongamos que para q U, (q) = (x1(q), . . . , xn(q)).Definimos xi

pcomo

xi

p

(f) =

xi(f 1)

(p)

.

Lema 1.7:

a

(i) xi

pes una derivacion

(i)

{x1

p, . . . , xn

p

}es una base para TpM.

14

El lector interesado en la demostracion puede consultar en [JMLEE-II, pag.64, Corolario

3.3].

Esto nos dice que para cada p M, TpM es un espacio vectorial de dimension n6.Proposicion 1.8:

Las dos definiciones de espacios tangentes TpM y TpM son equivalentes. Esto es, exis-

te una correspondencia biunvoca entre TpM y TpM. Esto nos dice como definir una

estructura de espacio vectorial sobre TpM de manera que TpM y TpM sean isomorfos.

Demostracion :

Demostraremos que para cada vector de TpM , se tiene una clase de equivalencia de

curvas suaves. Tomemos un vector X TpM y definamos (p) al conjunto de todaslas curvas suaves que pasan por p M . Ademas, sea (U, ) una carta de M , entoncespodemos mapear nuestro vector tangente X, hacia T(p)R

n usando el isomorfismo Tp :

TpM T(p)Rn, as X = Tp(X) es un vector en T(p)Rn. Ahora, como estamos en elespacio tangente a Rn, podemos definir una curva : [0, 1] Rn de la siguiente forma,(t) = tX . Dada esta curva en Rn, la llevamos a nuestra variedad usando la carta, esto

es, definimos una curva enM como (t) = 1((t)). Efectivamente, cuando derivamos

con respecto a t, obtenemos nuestro vector inicial X. Por lo que para cada vector X,

podemos encontrar una curva asociada al vector inicial. Entonces, : (p) TpM esuna funcion definida como () = (T(p))

1( ddtt=0

(())). Notemos que esta funcion

no es una biyeccion, ya que existen muchas curvas que pasan por p, y que tienen como

vector tangente aX, por lo que, usamos la relacion de equivalencia, dada anteriormente,

entre dos curvas, as tenemos una funcion sobreyectiva , es un homomorfismo, tomando

los grupos (TpM,+) y ((p),) y definiendo la suma de dos curvas como sigue: sean y dos curvas suaves. Definimos como ( )(t) ((t)) + ((t)) (p). Con estaoperacion, ((p),) es un grupo, luego se puede demostrar que es un homomorfismo,y es un homomorfismo sobreyectivo. Por el primer teorema de isomorfismo de espacios

vectoriales, : (p) TpM es un isomorfismo .

Un elemento perteneciente a TpM es llamado un vector tangente7. Finalmente el fibrado

tangente viene dado por TM =pM

TpM.

Del mismo modo definimos el fibrado cotagente. Sea M una variedad y TM el fibrado

tangente. Dado p M tenemos un espacio vectorial asociado TpM. Este espacio tienesu respectivo espacio dual (TpM)

, que se denota por T pM. Luego el fibrado cotangente

6Igual a la dimension de M.7Los vectores tambien llevan el nombre de vectores contravariantes.

15

viene dado por T M =pM

T pM.

Veamos las coordenadas de T M :

Sea (U, ) una carta en M y sea p U. Consideremos la base local{

x1

p, . . . , xn

p

}de TpM y la base dual de T

pM definida como:

dxi(p) (

xj

p

)= ij,

donde ij, es el delta de Kronecker.

Dado un p T pM tenemos que:

p =

ni=1

bi(p)dxi(p) , donde bi : U R.

Esto significa que como elemento de T M, p se describe por coordenadas,

(x1(p), . . . , xn(p), b1(p), . . . , bn(p)).

Un elemento perteneciente a T pM es llamado un covector tangente8. Podemos notar

que las coordenadas dxi se pueden considerar como proyecciones en la coordenada

iesima.

Campos vectoriales.

Definicion 1.9:

Una campo vectorial X es una funcion X : M TM tal que X(p) TpM. Diremosque X es una seccion del fibrado TM.

Expresaremos en coordenadas un campo vectorial.

Sea (U, ) una carta en M y (x1, . . . , xn, a1, . . . , an) las funciones coordenadas corres-

pondientes en TM. Consideramos para cada i la asignacion p U 7 xi

pcomo un

campo vectorial local 9. Si X : M TM es un campo vectorial, entonces para cada

8Los covectores tambien llevan el nombre de vectores covariantes.9Esto es, definido solo en U .

16

p U,X(p) =

ni=1

ai(p)

xi

p

. (1.10)

La ecuacion 1.10 es la expresion en coordenadas del campo vectorial X. Las funciones

ai : U R son las componentes de X. Diremos que X es de clase Cr, r 1, si lascomponentes son de clase Cr.

Notemos que podemos sumar campos vectoriales y tambien multiplicarlos por un esca-

lar. Si X e Y son campos vectoriales y R, se tiene que

(X + Y )(p) = X(p) + Y (p),

as los campos vectoriales forman un espacio vectorial sobre los reales de dimension

infinita. Notemos que anteriormente encontramos una base para el espacio TpM que

tiene dimension n. Como puede ser que el espacio de campos vectoriales tenga dimen-

sion infinita sobre R? La respuesta es sutil. Cuando estudiamos espacios vectoriales,

las componentes de un vector escrito en una determinada base son coeficientes cons-

tantes, es decir, numeros. La diferencia con el espacio de campos vectoriales es que los

coeficientes no son numeros, son funciones. En efecto, los campos vectoriales forman

un espacio de dimension infinita sobre R, y es modulo libre de dimension finita sobre

el anillo de funciones C.

Tambien se puede multiplicar un campo vectorial X por una funcion f : M R, estoes,

(fX)(p) = f(p)X(p).

Existe otra operacion que se puede efectuar entre campos vectoriales, esta es, la opera-

cion corchete dada por [X,Y ], donde X e Y son campos vectoriales y [X,Y ] se define

como la asignacion p 7 [X,Y ]p dada por

[X,Y ]p(f) = XpY (f) YpX(f), (1.11)

donde X(f) e Y (f) son funciones sobre M dadas por q 7 Xq(f) y q 7 Yq(f), paratodo q M.

Es facil ver que para cada p, [X,Y ]p es una derivacion sobre funciones, por lo que la

asignacion p 7 [X,Y ]p define un elemento de TpM, con esto concluimos que estaasignacion es un campo vectorial.

17

Proposicion 1.10:

Sean X,Y,Z TpM , entonces

(1) La asignacion (X,Y ) 7 [X,Y ] es Rbilineal y antisimetrica.

(2) [X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0 (Identidad de Jacobi)

La demostracion puede ser consultada en [JMLEE-II, pag.90].

Tensores y Campos Tensoriales

De manera analoga a la construccion de campos vectoriales en el espacio tangente, po-

demos definir secciones del espacio cotangente y de fibrados construidos con productos

de TpM y TpM,p M, estos son las 1-formas y tensores.

Definicion 1.11:

Una 1-forma diferencial es una asignacion p M 7 p T pM. As, una 1-forma es una funcion : M 7 T M tal que T M = id, donde T M es la proyeccioncanonica de T M en M.

Definicion 1.12:

Un k-tensor covariante en un punto p M es un funcional multilineal

F : TpM TpM . . . TpM kveces

R.

Definicion 1.13:

Un l-tensor contravariante en un punto p M es un funcional multilineal

F : T pM T pM . . . T pM lveces

R.

Por ejemplo, los elementos de la base{

xi

}debe actuan sobre elementos de T pM .

Tomemos dxj T pM , entonces

xi(dxj) = dxj

(

xi

)= ji .

Existe una sutileza dentro de esta definicion, pues estamos ocupando el isomorfismo

18

que existe entre TpM y Tp M , ya que los elementos que pueden actuar sobre dx

j son

solo elementos de T p M , pero bajo isomorfismo, tenemos TpM= T p M .

Definicion 1.14:

Un tensor de tipo(kl

)en un punto p M, es un funcional multilineal,

F : TpM TpM . . . TpM kveces

T pM T pM . . . T pM lveces

R.

Decimos que F es k-covariante y l-contravariante.

Denotaremos por

kl (p) = TpM TpM . . . TpM kveces

T pM T pM . . . T pM lveces

,

entonces si T es un tensor de tipo(kl

)en p, T actua sobre elementos del tipo

(1, . . . , l, Y1, . . . , Yk) de kl10 como

T (1, . . . , l, Y1, . . . , Yk) R.

El espacio de todos los tensores de tipo(kl

)lo denotamos por T kl (p).

En particular, T 10 (p) = TpM y T

01 (p) = (T

pM)

= TpM.

Podemos multiplicar tensores. Si F T rs (p) y G T kq (p), denotaremos la multiplicacionde tensores por F G en T r+ks+q (p). Si (1, . . . , r+k, Y1, . . . , Ys+q) s+qr+k entonces

FG(1, . . . , r+k, Y1, . . . , Ys+q) = F (1, . . . , s, Y1, . . . , Yr)G(s+1, . . . , s+q, Yr+1, . . . , Yr+k).

El fibrado de(kl

)tensores sobre M es T kl (M) = pM T kl (p), un (kl)campo tenso-rial o simplemente

(kl

) tensor es una seccion de T kl (M). Estos son los objetos quenecesitamos para introducir la teora de la relatividad general.

Finalmente en coordenadas los tensores se visualizan de la siguiente forma:

Para un k-tensor covariante tomemos una base {{dx1, . . . , dxl} . . . {dx1, . . . , dxl}}

10Donde los Y s y s son vectores y 1-formas arbitrarias respectivamente.

19

en T pM T pM . . . T pM , entonces

T = Tj1...jk dxj1p . . . dxjk

p,

donde Tj1...jk son coeficientes11 de M R.

Para un l-tensor contravariante, en este caso, tomando una base{{

x1, . . . ,

xk

} . . .

{

x1, . . . ,

xk

}}en TpM TpM . . . TpM , entonces

T = T i1...il

xi1

p

. . . xil

p

,

donde T i1...il son coeficientes 12 de M R.

Finalmente, de manera general, sea (xi) un sistema de coordenadas sobre M, tenemos

la base{

xi

}de TpM y {dxi} base de T pM, entonces un tensor de tipo

(kl

)se escribe

en coordenadas como

T = T i1...ik .j1...jl

xi1

p

. . . xik

p

dxj1p . . . dxjl

p,

donde T i1...ik .j1...jl son las componentes de T con respecto a las bases{

xi

}, {dxi} y

son dadas por

T i1...ik .j1...jl = T

(dxi1 , . . . , dxik ,

xj1, . . . ,

xjk

).

En particular, se define la parte simetrica de un tensor T de tipo(02

), como el tensor

S(T ) definido por

S(T )(1, 2) =1

2!{T (1, 2) + T (2, 1)},

para todo 1, 2 T pM. Denotaremos las componentes S(T )ij de S(T ) por T (ij);entonces

T (ij) =1

2!{T ij + T ji}.

Similarmente, las componentes de la parte antisimetrica de T sera denotada por

T [ij] =1

2!{T ij T ji}.

11Funciones.12Funciones.

20

Lema 1.15:

Un cambio de coordenadas {xi} a {xj} transforma las componentes de un tensor T detipo

(mk

)como

T i1...il j1...jk = Tr1...rl .q1...qk

xi1

xr1. . .

xqk

xjk. (1.12)

Ejemplo 4:

Tomemos un tensor g del tipo(02

)que llamamos g. Entonces g se puede escribir como

g = gab dxa dxb.

Si hacemos cambio de coordenadas xa = xa(y), entonces dxa = xa

y dy. Luego tene-

mos que

gab dxa dxb = gab

(xa

ydy

)(xb

ydy

)= gab

xa

yxb

ydy dy.

Observacion 3:

No todos los objetos que tienen superndices y subndices son tensores. La condicion

necesaria para que un objeto sea un tensor, es que debe cumplir la condicion de trans-

formacion (1.12).

Pull-back y Push-Forward

Definicion 1.16:

Sea f : M N una funcion suave y sea T k(N). Si p M y tenemos lascoordenadas {y1, ..., yk} de N sobre una vecindad de f(p), entonces definimos el pull-back de por f como

f = f(j1...jkdyj1 . . . dyjk)

= (j1...jk f) d(yj1 f) . . . d(yjk f).

Notemos que f es un tensor en T k(M).

Proposicion 1.17:

Supongamos que f : M N y que g : N P son mapeos suaves. Sea p M ,S T k(Tf(p)N) y T T l(Tf(p)N). Entonces

(i) f : T k(Tf(p)N) T k(TpM) es lineal sobre R.

21

(ii) f(S T ) = fS fT .

(iii) (g f) = f g : T k(Tg(f(p))) T k(TpM).

(iv) (IdN )S = S.

(v) f : T kN T kM es un fibrado suave.

El lector interesado en la demostracion puede consultar [JMLEE-II].

Definicion 1.18:

Sea F :M N una funcion suave. Sea X TpM y sea p M . Definimos un mapeoF : TpM Tf(p)N llamado Push-Forward, definida como

(FX)(f) = X(f F ),

para toda f C(N,R).

1.1.2. El tensor Metrico

Un tensor metrico g en un punto p M, es un tensor simetrico del tipo (20) en p. Lametrica g en p asigna una magnitud |g(X,X)|1/2 para cada vector X TpM y ademasdefinimos el coseno del angulo entre los vectores X,Y TpM por

g(X,Y )

|g(X,X) g(Y, Y )|1/2 ,

si g(X,X) g(Y, Y ) 6= 0.

Diremos que los vectores X,Y son ortogonales si g(X,Y ) = 0.

Las componentes de g con respecto a una base {ei}(con i {1 . . . n}) de vectores en pson

gij = g(ei, ej) = g(ej , ei), (1.13)

esto es, las componentes son simplemente el producto escalar de vectores ei. Si usamos

bases coordenadas xi

, tenemos

g = gijdxi dxj . (1.14)

22

La longitud de una curva parametrizada t 7 c(t) uniendo los puntos p = c(a) yq = c(b) de M, con vector tangente c (t) tal que g(c (t), c (t)) tiene el mismo signo en

todos los puntos a lo largo de c(t), viene dada por

L =

ba|g(c (t), c (t))|1/2dt. (1.15)

Simbolicamente expresaremos la relaciones (1.14) y (1.15) de la forma

ds2 = gijdxidxj .

Diremos que la metrica es no-degenerada en p si no existe un vector X 6= 0 TpM talque g(X,Y ) = 0, para todo vector Y TpM. En terminos de coordenadas, la metricaes no-degenerada si la matriz (gij) de componentes de g es no-singular. Asumiremos

siempre que la metrica es no-degenerada. Entonces podemos definir un unico tensor

simetrico(02

)con componentes gij con respecto a la base {ei} dual de {i}, por la

relacion

gijgjk = ik. (1.16)

Se sigue que la matriz (gij) es tambien no singular.

Existe un isomorfismo que relaciona los tensores covariantes y contravariantes a traves

de los tensores antes mencionados (gij), (gij), esto es muchas veces llamado subir y bajar

ndices. En efecto, si Xi son las componentes de un vector contravariante, entonces Xi

son las unicas componentes asociadas al vector covariante, donde

Xi = gijXj , Xi = gijXj.

La signatura de la metrica g en p es el numero de valores propios positivos de la matriz

(gij) en p, menos el numero de valores propios negativos. Si g es no-degenerada y

continua, la signatura sera constante en M,

gab = diag(+1,+1, . . . ,+1 12(n+s) terminos

,1,1, . . . ,1 12(ns) terminos

),

donde s es la signatura de g y n es la dimension de M.

23

Ejemplo 5:

Si tomamos nuestra variedad como M = R4, y g = dxdx+dydy+dzdz+dwdw,tenemos una metrica de signatura +2. Este espacio es llamado espacio de Minkowski.

Ejemplo 6:

Tomemos la variedad R2, con cooerdenadas (x, y) y su metrica g = dx2 + dy2. Calcu-

lemos la metrica en la variedad (0,+) (0, 2). Tenemos la funcion f : [0,+) [0, 2) R2 definida como f(r, ) = (r cos(), r sin()). Luego como x = r cos() ey = r sin(), tenemos que dx = cos()dr + r sin()d y dy = sin()dr + r cos()d.

Luego:

dx dx = (cos()dr + r sin()d) (cos()dr + r sin()d)= cos2()dr dr r cos() sin()dr d r cos() sin()d dr+ r2 sin2()d d. (1.17)

Analogamente para la coordenada y, tenemos

dydy = sin2()drdr+r cos() sin()drd+r cos() sin()ddr+r2 cos2()dd.(1.18)

Luego, sumando las cantidades (1.17) y (1.18) tenemos que la metrica de nuestra nueva

variedad es g = dr dr + r2 d d.

Metricas Riemannianas y metricas Lorentzianas

Definicion 1.19:

Una metrica pseudo Riemanniana g en una variedad M, es un tensor simetrico del

tipo(20

), tal que g(p) es una forma bilineal, simetrica y no-degenerada.

Definicion 1.20:

Una metrica Riemanniana g en una variedad M, es un tensor simetrico del tipo(20

), tal que g(p) es una forma bilineal simetrica, no-degenerada y definida positiva.

Definicion 1.21:

Una metrica pseudo Riemanniana g en una variedad M es llamada metrica Loren-

tziana si la signatura de la metrica pseudo-Riemanniana es (1,+1, . . . ,+1).

Para denotar la signatura, usualmente se utiliza la notacion de signos, esto es, (+++).

En coordenadas, una metrica pseudo Riemanniana luce de la siguiente forma:

24

Sea (U, ) una carta sobre M, con funciones coordenadas {x1, . . . , xn} y bases{x1

p, . . . , xn

p

}de TpM y {dx1(p), . . . , dxn(p)} de T pM, luego escribimos g en p

como sigue

g(p) =n

i,j=1

gij(p)dxi dxj , (1.19)

con gij(p) = g(p)(/xi|p, /xj |p), podemos escribir (1.19) ocupando la notacion de

suma de Einstein que nos dice que los ndices repetidos suman, luego (1.19) es equiva-

lente a

g(p) = gij(p)dxi dxj. (1.20)

Definicion 1.22:

Una isometra de una variedad pseudo-Riemanniana (M,g) es un difeomorfismo f

tal que deja a g invariante, esto es

fg = g. (1.21)

Definicion 1.23:

Sea (M,g1) y (N, g2) dos variedades pseudo-Riemannianas son llamadas localmente

isometricas si existe un mapeo diferenciable f tal que para cualquier punto p Madmiten una vecindad U, y una vecindad V de f(p), con (U, g1) y (V, g2) una isometra.

Variedades localmente isometricas tienen la misma dimension pero pueden tener di-

ferentes topologas, como por ejemplo el Toro plano dado por identificacion de los

lados opuestos de un cuadrado [JMLEE-I, pag.54]. Una variedad pseudo-Riemanniana

isometrica a un espacio pseudo-Euclidiano es llamado espacio plano.

Proposicion 1.24:

Una variedad diferenciable M 13 admite una metrica Riemanniana.

El lector interesado en la demostracion puede consultar [DCM-I, prop.2.10, pag.47].

Proposicion 1.25:

Para cualquier variedad diferenciable M de clase C son equivalentes:

(1) Existe una metrica Lorentziana sobre M .

(2) Existe una metrica Lorentziana orientable temporalmente sobre M .

(3) Existe un campo vectorial nunca nulo sobre M .

13Hausdorff y con base numerable.

25

(4) Ya sea M no es compacta, o M es compacto y tiene caracterstica de Euler

X (M) = 0.Proposicion 1.26:

Dado (n 2), una nvariedad diferenciable M admite una metrica Lorentziana si ysolo si, esta admite una distribucion de codimension 1.

El lector interesado en la demostracion de los resultados antes expuesto puede consultar

[ONEI, pag. 149].

Definicion 1.27:

Una metrica pseudo-Riemanniana g en una variedad M es llamada metrica Loren-

tziana si la signatura de la forma cuadratica es (1,+1, . . . ,+1).Ejemplo 7:

Podemos tomar la metrica en una esfera S2 Lorentziana, que es de la forma g =

dr2 + sin2()d2, donde dr2 = dr dr y d2 = d d.

Con una metrica Lorentziana en M , los vectores distintos de cero en p son divididos en

tres tipos:

(a) Un vector X TpM es llamado tipo-tiempo si este es tal que

g(X,X) < 0.

(b) Un vector X TpM es llamado tipo-nulos14 si este es tal que

g(X,X) = 0.

(c) Un vector X TpM es llamado tipo-espacio si este es tal que

g(X,X) > 0.

Los vectores nulos y tipo tiempo forman un doble cono en TpM, llamado el cono

causal, que separa los vectores tipo tiempo de los de tipo espacio; tiene frontera el

conjunto de vectores nulos llamado cono nulo o cono de luz, ver figura 1.5.

Proposicion 1.28:

Sean (M,g) una variedad Lorentziana y sean P, S,U, V,W,R TpM . Entonces se cum-ple que

14Tipo-luz.

26

(i) Si P i es tipo-tiempo y P iSi = 015, entonces Si es tipo-espacio.

(ii) Si P i y Qi son tipo-luz y P iQi = 0, entonces Pi y Qi son proporcionales.

(iii) Si P i es tipo-luz y P iRi = 0, entonces Ri es tipo-espacio o Ri P i.

(iv) Si U i, V i, W i son tipo tiempo con U iVi > 0 y UiWi > 0, entonces U

iWi > 0.

El lector interesado en la demostracion de esta proposicion puede consultar [SA-WU].

Si X,Y son dos vectores que no son tipo-espacio 16 en la misma mitad del cono de luz

en p, entonces g(X,Y ) 0, y la igualdad puede mantenerse solo si X e Y son vectoresnulos paralelos, esto es, si X = Y, y g(X,Y ) = 0.

Figura 1.5: Cono de luz.

Ejemplo 8:

Algunos ejemplos de metricas en Relatividad General y Cosmologa son:

(i) Agujeros Negros en Relatividad General

a) Metrica de Schwarzschild

ds2 = (1 2M

r

)dt2 +

1(1 2Mr

)dr2 + r2d2 + r2 sin2()d2.15P iQi es equivalente a g(P,Q).16Esto es, tipo tiempo o nulo

27

b) Metrica de Kerr

ds2 = ( a2 sin()

)dt2 2a sin

2()(r2 + a2 )

dtd

+

dr2 +

[(r2 + a2)2 a2 sin2()

]sin2()d2 +d2.

donde = r2 + a2 cos() y = r2 + a2 + e2 2Mr.

(ii) Cosmologa

a) Metrica de Friedmann-Robertson-Walkers

ds2 = c2dt2 + a2

1 kr2dr2 + a2r2d2 + a2r2 sin2()d2.

Ejemplo 9:

Si bien la geometra del agujero negro de Schwarzschild esta definida en un espacio

tiempo 4-dimensional, podemos visualizar el agujero negro de Schwarzschild, usando el

Paraboloide de Flamm. Consideremos la metrica de Schwarzschild

ds2 = (1 2M

r

)dt2 +

1(1 2Mr

)dr2 + r2d2 + r2 sin2()d2; (1.22)escogemos coordenada temporal t = 0 y coordenada = /2, esto es, nos movemos en

el plano ecuatorial. Con esto la metrica (1.22) toma la siguiente forma

ds21 =1(

1 2Mr)dr2 + r2d2, (1.23)

Esta metrica vive en un espacio 2dimensional. La idea es representarla graficamentecomo la metrica inducida por una inscrustacion en un espacio 3-dimensional plano;

para hacer esto tomamos una metrica en coordenadas cilndricas en este espacio plano,

dada por

ds22 = dr2 + r2d2 + dz2, (1.24)

Sea f : 2 3, dada por

f : 1 2,(r, ) 7 (r, , z),

en donde 2 es una variedad 2-dimensional con metrica definida por (1.23) y 3 es

una variedad 3-dimensional con metrica definida por (1.24), y f = (f r, f, f z).

28

El pull-back de (1.24), dado por (df r)2 + r2(df)2 + (df z)2, deber ser (1.23). Entonces

ds21 =(frr dr + f

rd) (f rr dr + f rd) + r2(fr dr + fd) (fr dr + fd)

+ (f zr dr + fzd) (f zr dr + f zd)

=[(f rr )2 + r2(fr )

2 + (f zr )2]dr dr + [f rf rr + r2ffr + f zf zr ]d dr

+ [f rr fr + r

2fr f + f

zr f

z]dr d+ (f r)2 + r2(f )2 + (f z)2]d d

Del coeficiente d d vemos que podemos asumir

f = 1, fz = f

r = 0,

as el coeficiente del termino ddr y drd queda f r. Ademas, no tenemos terminoscruzados en (1.23), y por lo tanto f r = 0. Llamemos f

r = (r, ) y f z = (r, ), luego

tenemos la siguiente ecuacion(

r

)2+

(

r

)2=

1(1 2Mr

) . (1.25)Tenemos una ecuacion para dos incognitas, elegimos (r, ) = r y obtenemos la ecua-

cion (

r

)2=

1(

1 2Mr) 1. (1.26)

Integrando (1.26) obtenemos

(r, ) = 22M

r 2M. (1.27)

Resumiendo la inscrustacion que da el paraboloide de Flamm es:

f(r, ) = (r, , (r, )).

Luego la 3-superficie Paraboloide de Flamm se ve de la siguiente forma:

Figura 1.6: Paraboloide de Flamm.

29

1.1.3. Diferenciacion en Variedades (Pseudo)Riemannianas

Derivada de Lie

Consideremos cualquier campo vectorial X, de tipo Cr (r 1). Por el teorema fun-damental para sistemas de ecuaciones diferenciales [TAY-I], existe una unica curva

maximal c(t) a traves de cada punto p M tal que c(0) = p y cuyo vector tangenteen el punto c(t) es el vector X|c(t). Si {xi} son las coordenadas locales, luego la curvac(t) tiene coordenadas xi(t) y el vector X tiene coordenadas Xi, entonces esta curva es

localmente una solucion del sistema de ecuaciones diferenciales

dxi

dt= Xi(x1(t), . . . , xn(t)).

Esta curva es llamada curva integral de X con punto inicial p. Para cada punto q de

M, existe una vecindad abierta U de q y un > 0 tal que X define una familia dedifeomorfismos t : U M donde |t| < , obtenido al tomar cada punto p U unadistancia t a lo largo de las curvas integrales de X 17. Estos difeomorfismos mapean

cada campo tensorial T en p del tipo(kl

)sobre tT |tp.

La derivada de Lie LXT de un campo tensorial T con respecto a X es

LXT = lmt0

1

t

{T|p (tT )|p

}.

Esta derivada cumple las siguientes propiedades:

(1) LX preserva tipo de tensores, esto es, si T es un campo tensorial de tipo(kl

),

entonces LXT es tambien un campo tensorial de tipo(kl

).

(2) LX mapea tensores linealmente y preserva contracciones18.

(3) LX satisface la regla de Leibniz. Sean S,T tensores arbitrarios, entonces

LX(S T) = LXS T+ S LXT.

(4) LXf = Xf, donde f es cualquier funcion.17De hecho, t forma un grupo local uniparametrico de difeomorfismos, esto es, t+s = t s =

s t, para |t| < 1, |s| < 2, |t+ s| < 3, as t = (t)1 y 0 es la identidad

18Esto es, subir y bajar ndices

30

(5) Sean X,Y dos campos vectoriales entonces

LXY = [X,Y ] = [Y,X] = LYX,

en coordenadas tenemos

(LXY )i = Yi

xjXj X

i

xjY j .

Si la derivada de Lie de dos campos vectoriales es nula, diremos que los campos

conmutan.

Derivada Covariante

En una variedad Lorentziana existe una unica funcion : X(M) X(M) X(M),donde X(M) es el espacio de campos vectoriales sobre M tal que:

(1) VW es lineal en V, en el siguiente sentido, si f, g son funciones, se cumple que

fV1+gV2W = fV1W + gV2W,

con V1, V2,W X(M).

(2) VW es Rlineal en W, esto es, dado a, b R

V (aV1 + bV2) = aV V1 + bV V2,

con V, V1, V2 X(M).

(3) V (fW ) = V (f)W + fVW, con V,W X(M).

(4) [V,W ] = VW WV, con V,W X(M).

(5) Xg(V,W ) = g(XV,W ) + g(V,XW ), con X,V,W X(M).

En general, existen muchas funciones que satisfacen las propiedades (1) (3). Existeexactamente una funcion llamada derivada covariante que satisface (1) (5). Estaunica derivada se llama conexion de Levi-Civita.

Teorema 1.29 (Levi-Civita):

Dada una variedad Riemanniana M, existe una unica conexion afn en M satisfa-ciendo las siguientes condiciones:

31

(i) es simetrica.

(ii) es compatible con la metrica Riemanniana.

El lector interesado en la demostracion puede dirigirse a [DCM-I, pag.61].

En coordenadas la conexion de Levi-Civita esta dada por

xi

xj=m

mij

xm,

donde

mij =1

2

l

gml(glixj

+gljxi

gijxl

). (1.28)

Las funciones mij se llaman smbolos de Christoffel.

Ejemplo 10:

Observamos anteriormente la metrica de Friedmann-Robertson-Walkers, entonces po-

demos calcular los smbolos de Christofell, a traves de (1.28) los cuales son

011 =aa

1 kr2 ; 022 = aar

2; 033 = aar2 sin();

111 =kr

1 kr2 ; 122 = r(1 kr2); 133 = r sin2()(1 kr2);

101 =a

a; 202 =

a

a; 303 =

a

a;

212 =1

r; 233 = sin() cos();

313 =1

r; 323 = cot().

Todas las demas componentes son nulas.

De las propiedades de transformacion de tensores, ver (1.12), es facil probar que los

smbolos de Christoffel no son tensores, pues cuando cambiamos coordenadas, de x a

y tenemos

ijk(y) =yi

xpxq

yjxr

ykpqr(x) +

yi

xp2xp

yjyk.

32

Si Y es un campo vectorial a lo largo de una curva , entonces la derivada de Y a lo

largo de es Y = Y. Si Y = 0, decimos que Y es transportado paralelamentea los largo de . La aceleracion de es . Decimos que es una geodesica si = 0.

Definicion 1.30:

Si T es un campo tensorial del tipo(nm

), entonces la derivada covariante de este tensor

en componentes es:

T 1...n.1...m =

xT 1...n.1...m+

i

iT1......n.1...m

j

jT1...n.1......m

(1.29)

Ejemplo 11:

Tomemos un tensor del tipo(32

)dado por A = A.ijk

x x dxi dxj dxk,

entonces la derivada covariante de A con respecto a x es

A .ijk = x

A .ijk+A

.ijk+A

.ijkiA .jkjA .ikkA .ij

Tenemos la siguiente formula que relaciona la derivada covariante con la derivada de

Lie antes vista. Sea u un campo vectorial en una variedad M, T un campo tensorial

del tipo(nm

)y la conexion de Levi-Civita asociada a la metrica g, entonces:

LuT i1...il .j1...jk = ummT i1...il .j1...jkl

=1

T

i

i1......il.j1...jkui+k

=1

T i1...il. j1......jki

ju.(1.30)

Definicion 1.31:

Sea (M,g) una variedad (pseudo)Riemanniana, diremos que es un campo vectorial

de Killing, si la derivada de Lie con respecto a de g es nula, esto es,

Lg = 0. (1.31)

Usando la formula (1.30) podemos expresar en coordenadas la ecuacion (1.31), es decir:

Lgij = 0 si y solo sikkgij + gkjik + gikjk = 0 si y solo si

ij +ji = 0. (1.32)

33

Notar que usamos la propiedad que g = 0 para deducir (1.32). La ecuacion (1.32) sele conoce como ecuacon de Killing.

Ecuaciones para Transporte paralelo

Calculemos Y = Y. Supongamos que Y = Y i xi y = (xi(t)). Entonces:

Y = Y = xi xi

Y j

xj,

= xi xi

(Y j

xj

),

= xi((

Y j

xi

)

xj+ Y j

xi

xj

),

= xi(Y j

xi

xj+ Y jmij

xm

),

= xi(Y m

xi

xm+ Y jmij

xm

),

=

(xiY m

xi+ mij x

iY j)

xm.

Concluimos que Y es paralelamente transportado a lo largo de , si y solo si,

dxi

dt

Y m

xi+ mij

dxi

dtY j = 0,

esto es,dY m

dt+ mij

dxi

dtY j = 0. (1.33)

Por lo tanto, dado un vector Y(0) T(0)M encontramos Y(t0) paralelamente trans-portado a lo largo de resolviendo el sistema de ecuaciones (1.33) con condicion inicial

Y (0) = Y(0). Asumimos que (1.33) tiene solucion al menos hasta un tiempo t019.

Ahora si es transportado paralelamente, tenemos la siguientes ecuaciones:

d2xm

dt2+ mij (t)

dxi

dt

dxj

dt= 0. (1.34)

19t [0, t0].

34

Estas son las ecuaciones de las geodesicas en M 20.

Dado un punto p M, podemos resolver (1.34) con condicion inicial xi(0) = pi, xi(0) =vi. Este sistema se puede resolver al menos cerca de t = 0. No siempre es posible probar

que las soluciones de (1.34) existen para todo t.

Si (1.34) tiene soluciones definidas para todo t 21 decimos que M es geodesicamente

completo.

Ejemplo 12 (Ecuacion de la Geodesica sobre la esfera):

Usamos la metrica

ds2 = d2 + sin2() d2.

Entonces los smbolos de Christoffel sobre la esfera son:

122 = sin() cos(),212 = cot(),

entonces, si xa es una curva sobre la esfera, entonces es una geodesica si:

d2x1

dt2+ 122(t)

dx2

dt

dx2

dt= 0,

d2x2

dt2+ 2212(t)

dx1

dt

dx2

dt= 0.

Reemplazando, tenemos que las ecuaciones son

d2

dt2 sin() cos()

(d

dt

)2= 0, (1.35)

d2

dt2+ 2cot()

d

dt

d

dt= 0. (1.36)

La ultima ecuacion es equivalente a

d

dt

(d

dtsin()

)= 0.

Por lo que ddt sin() = C, donde C es una constante. En particular, si C = 0, tenemos

que ddt = 0, es decir, = D, con D una constante arbitraria. Por lo que la curva sera

un meridiano, por ejemplo.

20La suma de ndices es bien entendida.21Con condicion inicial xi(0) = pi, xi(0) = vi

35

1.1.4. Coordenadas Especiales

Coordenadas Normales

Definicion 1.32:

Sea p V M y U TM un conjunto abierto dado por

U = {(q, w) TM : q V, w TqM, |w| < , V vecindad convexa} .

Definimos el mapeo exponencial exp : U TM M como

exp(q, w) = (1, q, w) =

(|w|, q, w|w|

),

donde (t, q, w) es una geodesica que en el instante t = 0 pasa por q 22 con velocidad w23, ver figura 1.7. Notemos que en la definicion, se pide evaluar la geodesica en t = 1,

esto lo podemos hacer, pues siempre podemos reparametrizar la curva al intervalo [0, 1].

Una propiedad fundamental de mapeo exponencial es que es un difeormorfismo local

[DCM-I, pag. 65]. Este hecho nos permite hacer la siguiente definicion:

Figura 1.7: Mapeo exponencial.

Definicion 1.33:

Sea (M,g) una variedad Riemanniana, p M y sea {ei}ni=1 una base g-ortonormal 24

22(0) = q.23(0) = w.24Esto es, g(ei, ej) = 0, para i 6= j.

36

para TpM . Tomamos q = (q1, . . . , qn) coordenadas del punto exp(n

j=1 qj ej) donde

exp : TM M es el mapeo exponencial. Las (q1, . . . , qn) son llamadas coordenadasnormales centradas en el punto p.

Si elegimos coordenadas (q1, . . . , qn) deM25, y se toman las coordenadas

(q1

, . . . , qn

)de TpM . Escribimos entonces

gij = g

(

qi,

qj

),

los coeficientes de la metrica en coordenadas locales sobre TpM26. Identificamos TpM

con Rn por las bases {ei}ni=1 entonces:

gij(q) = gexpp(q)

(Tq expp

(

qi

), Tq expp

(

qj

)),

Si

exp : TM M,(p, v) (1, p, v),

y si v = 0, entonces exp(p,0) = (1, p,0) = {(1) : (0) = p, (0) = 0, geodesica}.Como (0) = 0, la curva no se mueve en ninguna direccion, por lo que (t) = p para

todo t (0, ). Esto quiere decir que:

exp : TM M,(p,0) p,

actua como proyeccion en la primera coordenada, como difeomorfismo local. Por lo que

Tq exp(0) : T0TpM TpM,

qi ei,

es un isomorfismo.

25Mencionamos que, en rigor, las coordenadas son de TpM26Nuevamente, recordar que esta metrica esta en Tw(TpM).

37

Teorema 1.34:

En terminos de coordenadas normales centradas en p M , se tiene:

(i) p 0,

(ii) gij(0) = ij para todo i, j {1, . . . , n},

(iii) kij(0) = 0 para todo i, j, k {1, . . . , n},

(iv)gijqk

(0) = 0 para todo i, j, k {1, . . . , n}.

Demostracion :

(i) Esto se debe a la identificacion de TpM con M debido al mapeo exponencial.

(ii) Se tiene que T0 expp es el mapeo identidad, y por lo tanto T0 expp(qi

) = ei,

entonces gij(0) = gp(ei, ej) = ij .

(iii) Si es una geodesica sobre M y expp es localmente un difeomorfismo, entonces

= exp1p () es una geodesica en T0M (que es un espacio plano identificado con

Rn). Por lo tanto, puede expresarse por (t) = (c1t, . . . , cnt) = tc donde c 6= 0.Entonces tenemos que ddt = c y que

d2dt2

= 0. Recordemos que la ecuacion de una

geodesica esd2k

dt2+ kij(0)

di

dt

dj

dt= 0.

Esto implica que la ecuacion de la geodesica queda

kij(0)cicj = 0

y como los ci 6= 0, entonces kij(0) = 0.

(iv) Recordemos que si en una variedad M tenemos una metrica riemanniana y una

conexion , entonces podemos relacionar la metrica y la conexion tal que g = 0,esto es debido al teorema 1.29, esto nos dice que se puede escribir los smbolos de

Christoffel como

ijk =1

2gil(gjl,k + gkl,j gjk,l). (1.37)

Esta ultima ecuacion es equivalente a

jik =1

2gjl(gil,k + gkl,i gik,l). (1.38)

38

Evaluando en 0 y sumando (1.37) con (1.38) tenemos que:

ijk(0) + jik(0) =

1

2gil(0)(gjl,k(0) + gkl,j(0) gjk,l(0))

+1

2gjl(0)(gil,k(0) + gkl,i(0) gik,l(0)). (1.39)

Dado que gij(0) = ij , tenemos que gij(0) = ij . Por lo tanto, al reemplazar en

(1.39) tenemos

ijk(0) + jik(0) =

1

2il(gjl,k(0) + gkl,j(0) gjk,l(0))

+1

2jl(gil,k(0) + gkl,i(0) gik,l(0))

=1

2(gji,k(0) + gki,j(0) gjk,i(0))

+1

2(gij,k(0) + gkj,i(0) gik,j(0)).

Puesto que el tensor metrico es simetrico, se tiene que gij,k(0) = gji,k(0).

Finalmente,

ijk(0) + jik(0) =

1

2gji,k(0) +

1

2gij,k(0)

= gij,k(0).

Puede observarse que las derivadas de la metrica estan en funcion de los smbolos

de Christoffel evaluados en (0), usamos la propiedad (iii), tenemos que gij,k(0) =

0.

Observacion 4:

No podemos de dejar de mencionar que las coordenadas normales se pueden extender a

cada punto sobre geodesicas. El lector interesado puede buscar informacion en [BOZH,

pags. 98-104]. En esta referencia, esta la construccion completa de coordenadas nor-

males para curvas, enunciada en su Proposicion 3.1.

39

1.1.5. Curvatura

Definicion 1.35:

La curvatura R de una variedad Riemanniana M, es una correspondencia que asocia

a cada par X,Y X(M) una funcion

R(X,Y ) : X(M) X(M),

dada por

R(X,Y )Z = YXZ XY Z +[X,Y ]Z , Z X(M), (1.40)

donde es la conexion Riemanniana de M.

Proposicion 1.36:

La curvatura R de una variedad Riemanniana tiene las siguientes propiedades:

(i) R es bilineal en X(M) X(M), esto es:

R(fX1 + hX2, Y1) = fR(X1, Y1) + hR(X2, Y1),

R(X1, fY1 + hY2) = fR(X1, Y1) + hR(X1, Y2).

donde f, h D(M) 27 y X1,X2, Y1, Y2 X(M).

(ii) Para cualquier X,Y X(M), el operador curvatura R(X,Y ) : X(M) X(M)es lineal, esto es:

R(X,Y )(Z +W ) = R(X,Y )(Z) +R(X,Y )(W ),

R(X,Y )(fW ) = fR(X,Y )(Z).

donde f D(M) y Z,W X(M).

Demostracion :

Se demostrara la parte (i), debido a que (ii) es analogo. Por definicion tenemos que

R(fX1 + hX2, Y1)Z = Y1fX1+hX2Z fX1+hX2Y1Z +[fX1+hX2]Z,= Y1(fX1Z + hX2Z) fX1Y1Z hX2Y1Z+f [X1,Y1]+h[X2,Y1]Y (f)X1Y (h)X2Z.

27Donde D(M) es el anillo de las funciones reales de clase C definidas en M .

40

Por otro lado, para g C(M), tenemos que :

[fX1 + hX2, Y1]g = (fX1 + hX2)Y1(g) Y1(fX1 + hX2)(g),= fX1Y1(g) + hX2Y1(g) Y1(f)X1(g) fY1X1(g) Y1(h)X2(g) hY1X2(g)

= f [X1, Y1](g) + h[X2, Y1] Y1(f)X1(g) Y1(h)X2(g).

Entonces,

R(fX1 + hX2, Y1)Z = Y1(f)X1Z + fY1X1Z + Y1(h)X2Z + hY1X2Z fX1Y1Z hX2Y1Z + f[X1,Y1]Z + h[X2,Y1]Z Y1(f)X1Z Y1(h)X2Z,

= f(Y1X1Z X1Y1Z +[X1,Y1]Z) + h(Y1X2Z X2Y1Z+[X2,Y1]Z),

= (f(Y1X1 X1Y1 +[X1,Y1])+ h(Y1X2 X2Y1 +[X2,Y1]))Z.

Es decir,

R(fX1 + hX2, Y1) = fR(X1, Y1) + hR(X2, Y1).

Proposicion 1.37 (Identidad de Bianchi):

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = 0. (1.41)

Demostracion :

Tenemos que

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = YXZ XY Z +[X,Y ]Z +ZYXYZX +[Y,Z]X +XZY ZXY+[Z,X]Y

= Y (XZ ZX) +Z(YX XY )+X(ZY Y Z) +[X,Y ]Z +[Y,Z]X +[Z,X]Y.

41

Como [X,Y ]Z = [Y,X]Z luego,

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = Y (XZ ZX) +Z(YX XY )+X(ZY Y Z)[X,Y ]Z [Y,Z]X [Z,X]Y,

= Y [X,Z][Z,X]Y +Z [Y,X][Y,X]Z.

Por la identidad de Jacobi, tenemos que

R(X,Y )Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = 0. (1.42)

Otra forma de ver la definicion (1.40), es considerar un sistema de coordenadas {x1, . . . , xn}alrededor de p M. Ya que

[xi

p, xj

p

]= 0, tenemos que

R

(

xi,

xj

)

xk=(

xj

xi

xi

xj

) xk

, (1.43)

con lo que podramos decir que la curvatura mide la no conmutatividad de la derivada

covariante.

Al tomar un sistema de coordenadas (U, ) en torno a un punto p M y Xi X(M),tenemos que

R(Xi,Xj)Xk =l

RlijkXl.

Asi Rlijk son las componentes de la curvatura R en (U, ). La meta sera encontrar estas

componentes.

Sabemos que:

R(Xi,Xj)Xk = XjXiXk XiXjXk +[Xi,Xj ]Xk,

tomamos en (U, ), un sistema de coordenadas {x1 . . . , xn} en torno a p M yX = xi

,

entonces :

42

XjXiXk = Xj(XiXk),

= xj

(

xi

xk

),

= xj

(l

lik

xl

),

=

xj

l

lik

xl+l

lik xj

xl,

=

xj

l

lik

xl+l

liks

sjl

xs.

Luego

XiXjXk =

xi

l

ljk

xl+l

ljks

sil

xs. (1.44)

Como [Xi,Xj ] = 0, entonces [Xi,Xj ]Xk = 0, por lo que

R(Xi,Xj)Xk =

xj

l

lik

xl+l

liks

sjl

xs xi

l

ljk

xll

ljks

sil

xs,

=

xj

s

sik

xs+l

liks

sjl

xs xi

s

sjk

xsl

ljks

sil

xs,

=s

(sikxj

sjk

xi+l

liksjl

l

ljksil

)

xs.

Por lo tanto

Rsijk =sikxj

sjk

xi+ lik

sjl ljksil. (1.45)

Se define el tensor de curvatura28 R : X(M) X(M) X(M) X(M) como

R := Rsijkdxi dxj dxk

xs. (1.46)

el cual es un tensor en T 31 (M).

Ademas, cumple la siguiente identidad:

28Tensor de Curvatura de Riemann.

43

Si ui es un campo vectorial dual o covector entonces:

Rijk.lul = ijuk jiuk. (1.47)

Esta ecuacion es conocida como identidad de Ricci, en algunos textos, como por ejemplo

[CHO-I], se define la curvatura como aquel tensor que cumple (1.47).

Tomamos en (U, ), un sistema de coordenadas {x1 . . . , xn} en torno a p M, el tensorde curvatura se escr

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