Ekonometrija 7

Ekonometrija, Osnovne studije

Predavač: Aleksandra Nojković

Struktura predavanja

Klasični višestruki linearni regresioni model -

posebne teme:

• Veštačke promenljive (JB test)

Narušavanje pretpostavki KLRM

Slučajna greška nema normalnu raspodelu

• Testiranje stabilnosti parametara

Veštačke promenljive

Koriste se da opišu uticaj kvantitativno nemerljivih faktora na kretanje izabrane zavisne promenljive

U podacima preseka: potrošnja može zavisiti od starosnih, polnih, regionalnih, verskih i drugih razlika.

U podacima vremenskih serija: sezonski efekti, efekti intervencija i strukturnog loma.

Definišu se tako da uzimaju vrednost 1 za jedan modalitet i 0 za drugi modalitet.

Veštačke promenljive (primeri primene)

Najčešće obuhvataju uticaje neekonomske

prirode: kvalitataivne faktore (pol, bračno stanje, zanimanje, članstvo u sindikatu, pripadnost određenoj rasi, religijske i kulturne razlike) ili privremene efekte(promene u institucionalnom i političkom okruženju, ratni periodi, sezonski efekti).

Međutim, mogu obuhvatati i šire grupe kvantitativnih efekata (dohodak ili godine starosti, kada je dovoljno odabrati nekoliko karakterističnih, širih grupa: npr. potrošači do i preko 35 godina ili oni sa dohotkom do 40000 din, između 40000-60000 din. i preko 60000 din.).

Promena nivoa osnovne inflacije u

Srbiji nakon uvođenja PDV

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8

stopa rasta nepljoprivrednog BDP

osn

ovn

a i

nfl

acija

Načini uvođenje u model

Ispitujemo zavisnost potrošnje datog

proizvoda (Y) od dohotka (X1) prema

uzorku koji se sastoji od gradskih i

seoskih domaćinstava):

Yi = β0 + β1X1i + εi, i =1, 2, ..., n

Razlika se može ispoljiti u promeni:

1. vrednosti odsečka – slobodnog člana (β0)

2. vrednost nagiba – marginalne sklonosti ka potrošnji (β1) i

3. vrednost odsečka i nagiba (β0 i β1).

Promena vrednosti odsečka (β0)

Model koji obuhvata regionalne razlike u nivou potrošnje uključuje veštačku promenljivu V, definisanu kao:

Polazni model postaje:

Yi = β0 + β1X1i + β2V + εi, i =1, 2, ..., n

Odnosno model postaje:- za V = 0 (seoska dom.): Yi=β0+β1X1i+ εi.- za V = 1 (gradska dom.): Yi = (β0 +β2)+ β1X1i+ εi.

.domgradskaza,1

.domseoskaza,0V

Grafički prikaz promene vrednosti

odsečka (β0)

Promena vrednosti nagiba (β1)

Ako pretpostavimo da postoji značajna razlika u marginalnoj slonosti ka potrošnji gradskih i seoskih domaćinstava, veštačka promenljiva se uvodi kao:

Yi = β0 + β1X1i + β3VX1i + ε i, i =1, 2, ..., n

Ovom relacijom obuhvaćena su dva modela:

- za V = 0 (seoska dom.): Yi=β0+β1X1i+ εi.

- za V = 1 (gradska dom.): Yi=β0+(β1+β3)X1i+ εi.

Grafički prikaz promene vrednosti

nagiba (β1)

Promena vrednosti odsečka i nagiba

(β0 i β1)

Polaznu funkciju proširujemo sa dve promenljive V i VXi i model postaje:

Yi = β0 + β1X1i + β4V + β5VX1i + εi.

Jednačinu je moguće raščlaniti na dve funkcije:

Yi = β0 + β1X1i + εi, za seoska domać.

Yi = (β0+β4) + (β1+β5)X1i+ εi, za gradska domać.

Grafički prikaz promene vrednosti

odsečka (β0) i nagiba (β1)

Interakcija različitih faktora

Za istarživanje interakcije različitih faktora formiraju se nove veštačke promenljive kao proizvodi već definisanih veštačkih promenljivih.

Ako pretpostavimo da se ocenjuje uticaj pola i dve kategorije domaćinstava (gradska i seoska) na potrošnju nekog proizvoda, onda model postaje:

Yi = β0 + β1X1i + β2V1 + β3V2 + β4V3 + ε i,

gde su veštačke promenljive definisane kao:

i

dok je interakcija V3=V1V2=

.domgradskaza,1

.domseoskaza,0V1

ženeza,1

muškarceza,0V2

.tanskategorijeostaleza,0

.domgradskimuženeza,1

Pravila ocenjivanja modela sa

veštačkim promenljivima

Dodeljivanje vrednosti 0 i 1 za pojedine modalitete potpuno je proizvoljno i ne menja konačne zaključke.

Broj veštačkih promenljivih uvedenih u model uvek je za jedan MANJI od broja modeliteta (izbegavamo “ zamku veštačke promenljive “).

Identični rezultati dobijaju se ocenjivanjem dve odvojene regresije, kada raspolažemo dovoljnim brojem podataka.

Testiranje sezonskih efekata

Izražena sezonska priroda pojedinih ekonomskih promenljivih modelira se uvođenjem sezonskih veštačkih promenljivih.

Na primer, potrošnja sladoleda pre capita (Y) zavisi od realnog dohotka (X1), relativne cene (X2) i godišnjeg doba, što predstavljamo modelom:

Yi = β0 + β1X1 + β2X2 + β3S1 + β4S2 + β5S3 + εi,

gde smo sa S1, S2 i S3 označili sezonske veštačke

promenljive definisane kao:

Dovoljne su TRI veštačke promenljive za obuhvatanje ČETIRI modaliteta !

alimtavarklimostau

3ili2,1italavarktogieopservacijza

,0

,1Si

Sezonski karakter vremenskih

serija srpske privrede

Mesečni podaci Kvartalni podaci

40

60

80

100

120

140

94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14

Indeks industrijske proizvodnje - privreda Srbije (2013=100)

450,000

500,000

550,000

600,000

650,000

700,000

750,000

800,000

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

Bruto domaci proizvod Republike Srbije

Testiranje asimetričnih efekata

Asimetričan efekat: jedinični porast i jedinični pad objašnjavajuće promenljive izazivaju različitu (po apsolutnoj vrednosti) promenu zavine promenljive.

Ukoliko posmatramo potrošnu funkciju:

pri čemu je prosečna potrošnja izražena parametrom β1.

Ukoliko je efekat rasta i pada dohotka asimetričan, uvodimo veštačku promenljivu A kao:

tako da ocenjujemo model oblika:

,10 ttt XY

,0

1 1

suprotno

tt XXzaA

.210 tttt AXXY

Sta kada je zavisna

promenljiva veštačka?

Mikroekonometrijski modeli kvalitativene (diskretne) zavisne promenljive: LMV, probit i logit (nisu predmet razmatranja ovog kursa).

KLRM pretpostavka 5: Slučajna greška ima

normalnu raspodelu

Ukoliko je samo ova pretpostavka narušenaprimenom metoda ONK se dobijaju najboljelinearne nepristrasne ocene.

Postupak statističkog zaključivanja je pogrešan

Testiranje hipoteza je nepouzdano.

Kako se proverava pretpostavka da slučajna

greška ima normalnu raspodelu?

Neformalni (grafički) metodi – Analizahistograma

Formalno testiranja - Žark-Bera (engl.Jarque-Bera) test normalnosti

Koeficijenti kojima se opisuju svojstva

raspodela

Empirijska raspodela se opisuje sa dva koeficijenta: asimetrije i spljoštenosti.

Koeficijent asimetrije meri stepen u kojem raspodela nije simetricna oko srednje vrednosti (simetricna raspodela, asimetricna u levo ili u desno), α3:N(0, 6/n).

Koeficijent spljoštenosti meri debljinu repa raspodele, α4:N(3, 24/n).

- Kada postoje ekstremni dogadaji tada su repovi teži od repova normalne raspodele

Veca spljoštenost – repovi su lakši

Manja spljoštenost – repovi su teži.

JB test statistika

Način izračunavanja:

Postupak testiranja:

H0: serija ima normalnu raspodelu

H1: serija nije normalno raspodeljena

Kritična vrednost na nivou značajnosti 5% je 5.99 (važi asimptotski!)

2

2

2

42

3

2

4

2

3 :4

)3ˆ(ˆ

6

TzzJB

).30( 43 i

).3/0( 43 ilii

Šta raditi u slučaju da raspodela odstupa od normalne?

Ne postoji jedinstveno rešenje.

Mogu se koristiti metode testiranja koje nepretpostavljaju normalnost, ali su one izuzetnokomplikovane i njihova svojstva nisu poznata.

Najčešće se modifikuje polazna specifikacijauključivanjem promenljivih kojima će se eksplicitnomodelirati ekstremni događaji. Takve promenljivese nazivaju veštačke promenljive.

Testiranje stabilnosti ocena

Implicitna pretpostavka regresione analize odnosi se na stabilnost parametara (nepromenjivost za sve opservacije u uzorku).

Analiza stabilnosti parametara potrebna je kao provera pouzdanosti modela u predviđanju.

Za ispitivanje stabilnosti ocena koristi se F-statistika testa (složena hipoteza) - dve verzije Chow testa.

Tetsiranje stabilnosti parametara

Posmatramo model oblika: Yt=β0+β1X1t+εt,

čiji se parametri ocenjuju na osnovu n opservacija vremenskih serija (t=1,2,..., n). Pretpostavimo da se prvih n1 opservacija odnose na jedan režim poslovanja, a narednih n2 opservacijana period promenjenog ekonomskog okruženja (ukupno n=n1+n2).

Polazni model proširujemo na sledeći način:

Yt = β0 + β1X1t + β2V + β3VX1t + εt.

.,...,2,1,1

,...,2,1,0

11

1

nnntza

ntzaV

Testiranje stabilnosti parametara

(test dodatih regresora)

Definišemo nultu i altenativnu hipotezu:

H0: β2=β3=0 (parametri su stabilni)

H1: β2 i/ili β3 su statistički značajni (parametri su nestabilni).

Polazni model možemo smatrati modelom sa ograničenjem, gde je broj ograničenja (g=2), jednak broju dodatih parametara.

.2,~2/'

/''21

21

00 gnngFgnnee

geeeeF

bb

bb

Chow test (prva verzija)

Pretpostavimo da je prvobitni uzorak n1, a za period predviđanja imamo još dodanih n2 opservacija (ukupno n=n1+n2), engl. Chow Forecast Test.

Nulta hipoteza da su reg. parametri ostali nepromenjeni i u proširenom modelu:

H0: B1=B,

testira se ispitujući značajnost rezidualne sume kvadrata iz

proširenog (e’e) i prvobitnog uzorka (e1’e1).

Potrebno je oceniti dve odvojene regresije (sa n1 i n opservacija).

.,~/'

/''12

111

211 knnFknee

neeeeF

Chow test (druga verzija)

Testira se prisustvo strukturnog loma (preloma) u tački t*, koja deli uzorak veličine n na dva poduzorka, veličine n1 i n2 (engl. Chow Breakpoint Test).

Porede se sume kvadrata reziduala dobijene ocenjivanjem dve odvojene regresije na bazi skupa opservacija n1 i n2, sa onom dobijenom iz polazne regresije na osnovu svih n opservacija:

pri čemu količnik meri prirast do kojeg dolazi usled ocenjivanja celog uzorka (ako je ovaj prirast značajan, zbir dve odvojene sume reziduala je manji od ukupne).

,2,~2/)''(

/)''('12

212211

2211 gnngFgnneeee

geeeeeeF

Chow test (druga verzija)- nastavak

Potrebno je oceniti tri odvojene regresije (na bazi n1, n2 i n opservacija)

Hipoteza se definiše kao:

H0: Parametri su stabilni (opravdano je oceniti

jednu regresiju na bazi svih n opservacija)

H1: Parametri su nestabilni (opravdano je oceniti

dve odvojene regresije).

Zaključak: Značajan prirast sume kvadrata reziduala u regresiji sa svih n opservacija - opravdano je oceniti dve odvojene regresije, tj. parametri su nestabilni.

Rekurzivna regresija

Postupak se sastoji iz sledećih koraka:

- Regresiona jednačina sa k parametara za ocenjivanje se ocenjuje počevši od prvih k opservacija.

- Svaki put se dodaje po još jedna opservacija i postupak ponavlja dok nisu iskorišćene sve opservacije (n-k koraka).

- U svakom koraku se ocenjuje sledeća očekivana vrednost

zavisne promenljive i računa rekurzivni rezidual (razlika

stvarne i ocenjene vrednosti zavisne promenljive).

Rekurzivna regresija

Analiza stabilnosti koja se zasniva na primeni NK:

1) Rekurzivni reziduali – ucrtavaju se oko nulte linije za svaku iteraciju , plus i minus dve st. greške. Reziduali izvan ovih granica sugerišu nestabilnost modela.

2) CUSUM test (obe verzije) – zasniva se na kumulativnoj sumi svih prethodnih rekurzivnih reziduala, deljenih njihovom dotadašnjom standardnom greškom. Ako vektor parametara ne ostaje konstantan u celom uzorku (istupa izvan granica), parametri su nestabilni.

3) Rekurzivni koeficijenti -polazi se od regresije sa min. brojem k-opservacija, pa se sve više opservacija uključuje u uzorak. Pojedinačni koeficijenti su dati uz pojas od plus i minus dve st. greške. Značajne varijacije ocenjenih koeficijenata pri dodavanju novih varijacija ukazuju na nestabilnost.