EK7 Rek MRoman

1

1

Ce ştm despre seriile cronologice?

Recapitulare

2

Clasificarea seriilor de timp

După natura intervalului de timp:- de momente (serii de stoc)

- valoarea determinată prin însumarea termenilor nu are semnificaţie concretă

- e.g. populaţia României măsurată la recensăminte

- de intervale(serii de flux)

2

3

Clasificarea seriilor de timp

După proprietăţile mulţimii de valori:- Serii de timp exprimate sub forma mărimilor absolute: e.g. PIB

- Serii de timp definite printr-o succesiune de mărimi relative: e.g.PIB/locuitor

- Serii de timp formate din mărimi medii: e.g. Productivitatea muncii

4

Comparabilitatea în timp Trebuie avută în vedere omogenitatea seriei de timp analizate.

Rata inflaţiei în România

0.00%

50.00%

100.00%

150.00%

200.00%

250.00%

300.00%

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

3

5

Indicatorii seriilor temporale

- Utilizare – compararea a două sau mai multe seriicronologice

Indicatori absoluti Indicatori relativi Indicatori medii

6

Indicatori medii

Modificarea medie absolută:

Indicele mediu de dinamică:

Ritmul mediu al dinamicii:

1

1TY Y

T

1

1

TT

YI

Y

1R I

4

7

Nivelul mediu al seriei– se calculează pentru serii cu termeni însumabili

- pentru serii de flux: 1

T

tt

YY

T

- pentru serii de stoc:1 1 2 -1

0 1 -1

1

2 2 2 2n n n

n n

n

+t t t t t t+ +...+ +Y Y Y YY =

+...+t t

, unde 1,.., nt t estemulţimea momentelor de timp

Figura 5. Schema de determinare a mediei cronologice

8

Nivelul mediu al seriei

- se calculează pentru fiecare perioadă de timp, cuprinsă între douămomente succesive, nivelul mediu al caracteristicii;– se determină apoi media aritmetică ponderată :

= 1

= 1

.

n

i ii

n

i

i

Y t

Y =

t

Data Stocul

Yt

(buc.)

Durata întremomente (zile)

Stocul mediu pe fiecareperioadă tY

01.01.2005 200 48 (200 + 320)/218.02.2005 320 62 (320 + 100)/220.04.2005 100 56 (100 + 140)/28.06.2005 140 92 (140 + 250)/210.09.2005 250 36 (250 + 300)/216.10.2005 300 74 (300 + 140)/201.01.2005 140 - -

48 62+48 56+62 92+56 36 92 74 36 74200 +32 +100 +140 250 300 140

2 2 2 2 2 2 2=48+62+56+92+36+74

Y

5

9

Componentele unei seriicronologice

Trendul Componenta sezonieră Componenta ciclică Componenta aleatoare

10

Fazele unui ciclu economic

6

11

Componentele seriilor de timp

Modelul aditiv:- dacă amplitudinea oscilaţiilor este constantă de-a lungul timpului

Modelul multiplicativ:- dacă amplitudinea oscilaţiilor este variabilă de-a lungul timpului

ˆt t t t tY Y S C

ˆ * * *t t t t tY Y S C

12

Trendul

Metode mecanice- metoda modificării medii absolute- metoda indicelui mediu de dinamică- metoda mediilor mobile

Metode analitice- funcţie liniară de gradul I- funcţie parabolică- funcţie exponenţială

7

13

Metoda modificării medii absolute

Se foloseşte cînd diferenţele a oricăror doi termeni consecutivi sînt constanteşi egale cu

Ecuaţia trendului:

Se determină suma pătratelor erorilor de ajustare

1 ( 1), 1..tY Y t t T

2

1

( )T

t tt

SSE Y Y

14

ExempluVolumul vînzărilor de apă minerală în România (mii cases)

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

Apr00Jul00

Oct00

Jan01Apr0

1Jul01

Oct01

Jan02Apr0

2Jul02

Oct02

Jan03Apr0

3Jul03

Oct03

Jan04Apr0

4Jul04

Oct04

Jan05Apr0

5Jul05

Oct05

Jan06

3041 65.46( 1), 1..70

514370020.6tY t t

SSE

8

15

Metoda indicelui mediu Se foloseşte cînd rapoartele oricăror doi termeni succesivi sînt constante şi

egale cu Ecuaţia trendului:

Se determină suma pătratelor erorilor de ajustare

11( ) , 1..t

tY Y I t T

I

µ 2

1

( )T

t tt

SSE Y Y

16

Trendul-funcţie liniară de timp Modelul: Presupunem îndeplinite ipotezele modelului liniar de regresie Estimatorii parametrilor modelului se obţin prin M.C.M.M.P. ca soluţii ale

sistemului:

t tY t

2

ˆˆ

ˆˆ

tt t

tt t t

n t Y

t t Y t

2

2 2

2 2

* *

( )

*

( )

t tt t t t

t t

t tt t t

t t

Y t Y t t

n t t

n Y t t Y

n t t

9

17

ExempluVolumul vînzărilor de apă minerală în România (mii cases)

Yt = 102.4t + 3542.6R2 = 0.5673

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

Apr00Jul00

Oct00

Jan01Apr0

1Jul01

Oct01

Jan02Apr0

2Jul02

Oct02

Jan03Apr0

3Jul03

Oct03

Jan04Apr0

4Jul04

Oct04

Jan05Apr0

5Jul05

Oct05

Jan06

1 case=5.618 litri2

1

( ) 228126582.8T

t tt

SSE Y Y

18

Predicţia pe baza trendului Întotdeauna pentru estimarea trendului va fi ales acel model care

minimizează suma pătratelor erorilor de ajustare Pe baza modelului liniar putem realiza predicţii:- Volumul vînzărilor pentru februarie 2006:

- - Volumul vînzărilor pentru martie 2006:

71 3524.64 102.4 * 71 10812.97Y

7 2 3 5 2 4 .6 4 1 0 2 .4 * 7 2 1 0 9 1 5 .3 7Y

10

19

Metoda mediilor mobile Se foloseşte pentru filtrarea componentei sezoniere şi a componentei

aleatoare Media mobilă de ordinul p :

Date lunare p=12 Date trimestriale p=4

1

.1

, 0,k p

p tt k

Y Y k T pp

20

Media mobilă de ordinul 12Volumul vînzărilor de apă minerală în România(mii cases)

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

Apr00Ju

l00Oct0

0Ja

n01Apr0

1Ju

l01Oct0

1Ja

n02Apr0

2Ju

l02Oct0

2Ja

n03Apr0

3Ju

l03Oct0

3Ja

n04Apr0

4Ju

l04Oct0

4Ja

n05Apr0

5Ju

l05Oct0

5Ja

n06

ActualForecast

11

21

Caracterizarea econometrică a seriilorcronologice cu componentă sezonieră

O serie cronologică ce conţine şi efectul sezonier seprezintă:

Variaţiile sezoniere pot să apară în interiorul unui an sauchiar al unui interval mai scurt de timp, cum ar fi luna,săptămâna sau ziua.

Pentru a măsura efectul sezonier putem determina devierisezoniere sau indici de sezonalitate.

tRtStTt yyyy

22


Devierile sezoniere măsoară, în medie, abaterile fiecăruisezon de la trend, iau valori pozitive şi negative, astfel încâtsuma devierilor sezoniere, pentru toate sezoanele, esteegală cu zero.

Indicii de sezonalitate măsoară, în medie, de câte ori seabate variabila, în fiecare sezon, de la trend, iau valorisupraunitare sau subunitare, astfel încât produsul lor esteegal cu 1.

Pentru determinarea devierilor sezoniere se parcurgurmătorii paşi:

12

23


1. Se înlătură din valorile seriei cronologice (yt) compo-nenta de trend (ytT) determinată prin metoda mediilormobile sau printr-o metodă analitică.

Metoda mediilor mobile Este utilizată cu deosebire atunci când seria cronologică

prezintă fluctuaţii regulate (sezoniere sau ciclice), pentru anetezi evoluţia.

Tendinţa pe termen lung se determină sub formă unormedii, calculate din atâţia termeni (m), la câţi se manifestăo oscilaţie completă.

tRtStTt yyyy

24


Mediile se numesc mobile, glisante, deoarece, înpermanenţă, în calculul unei astfel de medii, se lasă în afarăprimul termen al mediei anterioare şi se introduce următorultermen.

Dacă mediile mobile sunt calculate, spre exemplu, din cincitermeni, fiecare valoare ajustată va cuprinde termenul dinperioada respectivă, cei doi termeni anteriori şi cei doitermeni următori.

2n,3t,5

yyyyyy 2t1tt1t2t

tTMM

13

25


În general, dacă mediile sunt calculate din m termeni (m,număr impar) se vor pierde, prin calculul mediilor (m-1)termeni şi fiecare valoare ajustată va fi situată în dreptulunei valori înregistrate.

Dacă, însă, mediile mobile se calculează din m termeni (mnumăr par), atunci valorile medii se situează între termeniireali şi vom centra nivelurile, astfel ajustate, prin calcululunor medii de medii.

26


Spre exemplu, dacă o oscilaţie completă are loc la 6termeni, atunci calculăm medii mobile centrate:

În acest caz se vor pierde, prin calculul mediilor centrate,m termeni.

3n,4t,6

2

yyyyyy

2

y

y

3t2t1tt1t2t

3t

tTMM

14

27


Exemplu Să considerăm seria cronologică privind sosirile trimestriale de turişti, în hotelul

„CREASTA“ dintr-o zonă montană (tabelul nr. 1):Tabelul nr. 1

Sosiri trimestriale de turişti în hotelul „CREASTA“

940 650 1934 1360952 706 2072 1406992 734 2088 1478

1026 740 2190 1492

2003200420052006

1 2 3 40

I II III IV

TrimestreAnii

28


Pentru calcularea tendinţei pe termen lung, folosind metoda mediilor mobile din 4termeni (la câţi se manifestă o oscilaţie completă), putem sistematiza datele astfel(tabelul nr. 2):

Calculul mediilor mobile Tabelul nr. 2

13461360——

102674021901492

13141516

IIIIIIIV

2006

1303131413271332

99273420881478

9101112

IIIIIIIV

2005

1255127812891297

95270620721406

5678

IIIIIIIV

2004

——

12221231

94065019341360

1234

IIIIIIIV

2003

43210

ytTMMytPerioada (t)TrimestrulAnul

15

29


Prima medie mobilă centrată este:

persoane.

Cea de-a doua medie mobilă centrată este:

persoane

ş.a.m.d.

42

yyyy

2

y

y

5432

1

TMM3

12224

2

95213601934650

2

940

y TMM3

12314

2

70695213601934

2

650

y TMM4

30


Figura nr.1:Determinarea tendinţei seculare, folosind mediile mobile

Valori observate

Medii mobile

Perioada

Sosiri turisti

400

800

1200

1600

2000

2400

'98 I'98 II

'98 III'98 IV

'99 I'99 II

'99 III'99 IV

'00 I'00 II

'00 III'00 IV

'01 I'01 II

'01 III'01 IV

16

31


2. Pentru fiecare sezon în parte, calculăm mediarezultatelor obţinute la pasul 1.

În felul acesta (prin calculul mediei) se înlătură cea maimare parte din variaţiile reziduale (deşi foarte rar le putemînlătura în întregime).

Aceste medii, calculate pentru m sezoane, măsoarădiferenţele, faţă de linia de tendinţă, date de componentasezonieră.

3. Devierile sezoniere se vor calcula din valorile obţinute lapasul al doilea, ajustate astfel încât suma lor să fie egală cuzero .

m

1kSk 0y

32


Exemplu După cum se ştie, industria turistică este subiectul unor serioase variaţii

sezoniere. Folosind datele din tabelul nr. 2, vom urmări să determinăm devierilesezoniere ale variabilei, „sosiri de turişti“. Pentru aceasta, vom înlătura mai întâicomponenta de trend (col. 3 – col. 4, tabelul nr. 2), iar rezultatele (ytS+ytR) levom sistematiza în tabelul nr. 4.

17

33


Tabelul nr. 3

-320-620

--

13461360——

102674021901492

13141516

IIIIIIIV

2006

-311-580761146

1303131413271332

99273420881478

9101112

IIIIIIIV

2005

-303-572783109

1255127812891297

95270620721406

5678

IIIIIIIV

2004

--

712129

——

12221231

94065019341360

1234

IIIIIIIV

2003

543210

yt-ytT = ytS+ytRytTMMytPerioada (t)TrimestrulAnul

34


Tabelul nr. 4Determinarea devierilor sezoniere

0-306 -585 758 133Devieresezonieră

-22-311,3 -590,7 752 128Media

————

— — 712 129-303 -572 783 109-311 -580 761 746-320 -620 — —

2003200420052006

51 2 3 40

I II III IVSuma

TrimestrulAnii

18

35


Pentru fiecare sezon vom determina media abaterilor:

– pentru trimestrul I: ;

– pentru trimestru II: ;

– pentru trimestrul III: ;

– pentru trimestrul IV: .

Devierile sezoniere în trimestrele I şi II sunt negative (niveluri sub trend), iartrimestrele III şi IV sunt pozitive (vârfuri de activitate).

3,3113

)320()311(303

7,5903

)620()580(572

7523

761783712

1283

146109129

36


Cum suma acestor medii ale abaterilor este diferită de zero

vom ajusta mediile calculate cu valoarea , obţinând devieri sezoniere,astfel:

persoanepersoane

persoanepersoane

Rezultatele ne arată că factorul sezonier deviază numărul sosirilor de turişti întrimestrul I cu 306 persoane sub linia de trend, în trimestrul II cu 585 persoanesub trend, iar în trimestrele III şi IV cu 757, respectiv, cu 133 persoane pestetendinţa de lungă durată.

4

1kSk 22128752)7,590()3,311(y

5,54

22

3068,305)5,5(3,311y 1S 5852,585)5,5(7,590y 2S

7575,757)5,5(7523 Sy

1345,133)5,5(128y 4S

19

37


Pentru determinarea indicilor de sezonalitate,metodologia este similară, parcurgându-se paşii:

1. Se înlătură componenta de trend:

2. Se calculează, pentru fiecare sezon, media rezultatelorobţinute la punctul 1, eliminând astfel variaţiile reziduale.

3. Indicii de sezonalitate se determină din mediile obţinute lapasul 2, ajustate astfel încât indicele mediu să fie egal cu 1.

Cele mai exacte rezultate se obţin dacă vom folosi în calculemedia geometrică. Cu toate acestea, pentru uşurinţacalculelor, deseori se foloseşte media aritmetică.

tRtS

tT

t yyy

y

38


Pe baza datelor din tabelul nr. 2, vom înlătura compo-nenta de trend yt:ytT (col.3:col. 4) şi vom obţine ytS·ytR, valori sistematizate în tabelul nr. 5.

Tabelul nr. 5

Determinarea indicilor de sezonalitate

1,0000,821 0,599 1,714 1,186Indice de

sezonalitate

0,7370,761 0,555 1,588 1,099Media

————

— — 1,583 1,1050,759 0,552 1,607 1,0840,761 0,559 1,573 1,1120,762 0,554 — —

2003200420052006

51 2 3 40

I II III IVProdusul

Trimestrul

Anii

20

39


Pentru fiecare sezon determinăm media valorilor astfel obţinute:– pentru trimestrul I: ;

– pentru trimestru II: ;

– pentru trimestrul III: ;

– pentru trimestrul IV: .

Cum produsul acestor medii (geometrice) este diferit de 1:vom ajusta mediile calculate cu media lor

, obţinând indici de sezonalitate, astfel:

761,0762,0761,0759,03

555,0554,0559,0552,03

588,1573,1607,1583,13

099,1110,1084,1105,13

737,0099,1588,1555,0761,0y4

1kSk

9265,0737,04

40


yS1=0,761:0,9265=0,821yS2=0,555:0,9265=0,599yS3=1,588:0,9265=1,714yS4=1,099:0,9265=1,186

Acum .

Indicii de sezonalitate astfel obţinuţi ne arată că, în medie, sosirile de turişti întrimestrele III şi IV se află peste tendinţa de lungă durată cu 71,4%, respectiv cu18,6%, iar în trimestrele I şi II, sosirile de turişti se situează sub linia de trend cu17,9%, respectiv cu 40,1%. În previzionarea sosirilor de turişti va trebui să ţinemcont, pentru fiecare trimestru, de influenţa factorului sezonier, influenţădeterminată sub forma devierilor sezoniere sau a indicilor de sezonalitate.

1y4

1kSk

21

41

Caracterizarea seriilor cronologice cucomponentă sezonieră

După ce am determinat devierile sezoniere ori indicii desezonalitate, vom desezonaliza seria cronologică ((yt-ySk) pentrudevieri şi yt/ySk pentru indici). Rezultatele astfel obţinute vorconţine doar componenta de tendinţă seculară (ytT) şi componen-ta reziduală (ytR).

Prin desezonalizare obţinem: yt – ySk = ytT + ytR

sau yt / ySk = ytT + ytR. Putem acum să determinăm tendinţa de lungă durată, aplicând o

metodă mecanică ori analitică. În previzionarea fenomenelor afectate de sezonalitate vom corecta

nivelurile de tendinţă prognozate cu: devierile sezoniere; indici de sezonalitate

42

Previzionarea fenomenelorafectate de sezonalitate

În cazul în care am determinat devieri sezoniere, paşiipentru previzionare sunt:

1. Pentru seria desezonalizată ( ) se determinătrendul ( ), folosind o metodă mecanică sau analitică.

2. Pentru perioada viitoare, se previzionează componenta detrend .

3. Se adună valorile previzionate pe sezoane cu devierilesezoniere ( ) pentru a obţine previziunea finală:

tRtTSkt yyyy tTy

T)pn(y

Sky

SkT)pn()pn( yyy

22

43


Pe baza datelor trimestriale, din perioada 1998-2001 ( ) privind sosirilede turişti, în hotelul „CREASTA“ dintr-o zonă montană, s-a determinat tendinţa delungă durată folosind metoda modificării medii absolute:

Tabelul nr. 6

1,16t

1492-134=135816

2190-758=133215

740+585=132514

1026+306=133213

1478-134=134412

2088-758=133011

734+585=131910

992+306=12989

1406-134=13728

2072-758=13147

706+585=12916

952+306=12585

1360-134=12264

1934-758=12763

650+585=12352

940+306=12461

Serie desezonalizatăt

44


, ,

;

şi devierile sezoniere (trimestriale), :

, , , .

Atunci, pentru previzionarea sosirilor trimestriale de turişti, pentru anii 2007 şi2008 vom calcula (tabelul nr. 7).

53,7)1t(1246ytT n,1t 16n

1246y T1 nTT16 y1359y

Sky

306y 1S 585y 2S 758y 3S 133y 4S

23

45


Tabelul nr. 7Previzionarea sosirilor trimestriale de turişti

1061789

214015221091819

21701552

-306-585758133-306-585758133

1359+7,53=13671359+2·7,53=13741359+3·7,53=13821359+4·7,53=13891359+5·7,53=13971359+6·7,53=14041359+7·7,53=14121359+8·7,53=1419

12345678

IIIIIIIVIIIIIIIV

2007

2008

543210

PreviziunepTrimestrulAnul T)pn(

ySky

)pn(y

46


În cazul în care factorul sezonier a fost măsurat prin indicide sezonalitate, atunci pentru previzionare parcurgempaşii:

1. Pentru seria desezonalizată ( ) se determinătrendul ( ), folosind o metodă mecanică sau analitică.

2. Pentru perioada viitoare, se previzionează componenta detrend .

3. Se corectează (prin înmulţire) valorile previzionate pesezoane, cu indicii de sezonalitate ( ) pentru a obţinepreviziunea finală:

tRtTSkt yyy/y tTy

Tpny )(

Sky

SkTpnpn yyy

24

47


Exemplu Pe baza datelor trimestriale, din perioada 1998-2001 ( ) privind sosirile de

turişti, în hotelul „CREASTA“ dintr-o zonă montană, s-a determinat tendinţa delungă durată folosind metoda modificării medii absolute:

, ,,

şi indicii de sezonalitate (pe trimestre), :

, , , .

Atunci, pentru previzionarea sosirilor trimestriale de turişti, pentru anii 2007 şi20083, vom calcula (tabelul nr. 8):

1,16t

53,7)1t(1246y tT n,1t 16n1246y T1

nTT16 y1359y

Sky

821,0y 1S 599,0y 2S 714,1y 3S 186,1y 4S

48


Tabelul nr. 8Previzionarea sosirilor trimestriale de turişti

112282323691647114784024201683

0,8210,5991,7141,1860,8210,5991,7141,186

1359+7,53=13671359+2·7,53=13741359+3·7,53=13821359+4·7,53=13891359+5·7,53=13971359+6·7,53=14041359+7·7,53=14121359+8·7,53=1419

12345678

IIIIIIIVIIIIIIIV

2007

2008

543210

PreviziunepTrimestrulAnul

T)pn(y Sky

)pn(y

25

49

Referinţe

Statistica teoretică - Note de curs

Voineagu, V. si colectiv- Teorie si practica econometrica,Ed. Meteor Press, 2007, capitolul 8, pag. 353

Documents

EK7 Rek MRoman