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Ejercicios y problemas resueltos de programación lineal
1 Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2 . Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y
un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se dispone para el trabajo
manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2 , respectivamente, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio.
2 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos
almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,
empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1
carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los
precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le
conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
3 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima
de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se
encuentra dos clases de compuestos: el t ipo X con una composición de una unidad de A y
5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El
precio del t ipo X es de 10 euros y del t ipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de
comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
4 Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pasti l las grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres
pasti l las grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pasti l la
grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pasti l las se han de
elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
5 Unos grandes almacenes desean l iquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote
de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de
tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes
de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para
maximizar la ganancia?
Ejercicio 1 resuelto
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2 . Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el
L2 ; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se dispone para el trabajo
manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2 , respectivamente, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L 1
y = nº de lámparas L 2
2 Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un
punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al
sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las
soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener
un beneficio de 3 750 € .
Ejercicio 2 resuelto
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos
almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la
oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2
cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y
1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos
paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
x = P1
y = P2
2 Función objetivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3 Restricciones
P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €
Ejercicio 3 resuelto
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima
de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo
se encuentra dos clases de compuestos: el t ipo X con una composición de una unidad
de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de
B. El precio del t ipo X es de 10 euros y del t ipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han
de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
x = X
y = Y
2 Función objetivo
f(x,y) = 10x + 30y
3 Restricciones
X Y Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y ≥ 15
5x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450
f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.
Ejercicio 4 resuelto
Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pasti l las grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres
pasti l las grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pasti l la
grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pasti l las se han
de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
x = Pasti l las grandes
y = Pasti l las pequeñas
2 Función objetivo
f(x, y) = 2x + y
3 Restricciones
40x + 30y ≤ 600
x ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €
f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €
f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo
El máximo beneficio es de 24 € , y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12
pequeñas.
Ejercicio 5 resuelto
Unos grandes almacenes desean l iquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un
lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un
lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos
de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada
tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
2 Función objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
3 Restricciones
A B Mínimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100
x + 3y ≤ 200
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y ≥ 10
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €
f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €
f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 € .
