Investigacin Operativa I 2009 Mauricio estrella Erika Beatriz Palacin Palacios Pajuelo Daniel Ejercicios resueltos de Programacin Lineal Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 PREGUNTA 1 3.1.6laempresaWhittWindowstienesolotresempleadosquehacendostiposde ventanas:conmarcodemaderayconmarcodealuminio,lagananciaesde$60porcada ventanaconmarcodemaderayde$30porcadaunaconmarcodealuminio.Doughace marcos de madera, ypuede terminar 6 al da, Linda hace 4 marcos de aluminio al da,Bob formaycortaelvidrioypuedehacer48piescuadradosdevidrioporda,cadaventana conmarcodemaderausa6piescuadradosdevidrioycadadealuminiousa8pies cuadrados de vidrio. Lacompaadeseadeterminarcuntasventanasdecadatipoproduciraldapara maximizar la ganancia total. a)Formule el modelo de programacinlineal. b)Use el mtodo grafico para resolver el modelo. c)Unnuevocompetidorenlaciudadtambinproduceventanasdemadera,esto puede forzara la compaa a bajar sus precios y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas.Cmocambiaralasolucinoptima(sicambia)silagananciaporventanade madera disminuyede $ 60 a $ 40 y de $ 60 a $ 20?. d)Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reducir el nmero de ventanas de madera por da. Cmo cambiara la solucin optima si hace solo 5 marcos diarios? SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Marco de madera = 1xMarco de aluminio = 2x Empleado 1Empleado 2VidrioGanancia 1x60660 2x04830 48 1 260 30 x x + Funcin ObjetivoMax (Z) = 1 260 30 x x + Restricciones: Igualando las restricciones. 12 1 11 264 0 , 06 8 48xx x xx xss > >+ s121 2646 8 48xxx x==+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2220 66 0 366 8 488 1232x xx xx xxx+ = + = + ===Solucin (b) Tabulando. R1:R2: R3: Hallando la pendiente:m = - 60/30 = -2 Entonces Angulou= -63.4349 Sacando valores para 1 2, : x x 1x2x00 60 1x2x06 80 1x2x04 00 11136 8 4826 366xxx| |+ = |\ .==Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en: Max (Z) = 1 260 30 x x + Max (Z) =60 (6) +30 (3/2) Max (Z) =405 Se necesitan, 6 marcos de madera y1 marco y mdio de alumnio, Paramaximizar La ganancia y obtener $ 405. Solucin (c) Cuando la Funcin Objetivo es : Max (Z) = 1 260 30 x x += 60 (6) +30 (3/2) = 405. Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $ 60 a $ 40: Max (Z) = 1 240 30 x x += 40 (6) +30 (3/2) = 285. Si la ganancia por ventana de madera disminuye de $ 60 a $ 20: Max (Z) = 1 220 30 x x += 20 (6) +30 (3/2) = 165. Solucin (d) Cambio de 6 horas a 5 horas. Funcin ObjetivoMax (Z) = 1 260 30 x x + Restricciones: Igualando las restricciones: Empleado 1Empleado 2VidrioGanancia 1x50660 2x04830 48 1 260 30 x x +12 1 11 254 0 , 06 8 48xx x xx xss > >+ s48 8 6452 121= +==X XXXIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2220 56 0 306 8 488 1894x xx xx xxx+ = + = + === Tabulando R1:R2: R3: Hallando al pendiente m = - 60/30 = -2, Entonces el ngulo = -63.4349 Sacando valores para 1 2, : x x Reemplazando en: Max (Z) = 1 260 30 x x + Max (Z) =60 (5) +30 (9/4) Max (Z) =367.5 u1X2X00 50 1X2X04 00 1X2X06 80 111196 8 4846 18 486 305xxxx| |+ = |\ .+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Se necesitan, 5 marcos de madera, 2 mas marcos de alumnio, paramaximizar la ganancia y obtener $ 367.5. PREGUNTA 2 3.1.7 la pex Televisin debe decidir el numero de televisores de 27 y 20, producidos en unadesusfabricas,lainvestigacindemercadoindicaventasaloms40televisoresde 27y10de20cadames.Elnmeromximodehoras-hombredisponibleesde500por mes,untelevisorde27requiere20horas-hombreyuno20requiere10horas-hombre,cada televisorde 27 produce una ganancia de $ 120 y cadauno de 20 da una ganancia de $ 80. Un distribuidor est de acuerdo comprar todos los televisores producidos siempre en cuando no exceda el mximo indicado por el estudio de mercado. a)formule el modelo de programacin lineal. b)Use el mtodo grafico para resolver el modelo. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Televisor 27 = 1xTelevisor 20 = 2x VentasHoras-HombreGanancia 1x4020120 2x101080 500 1 2120 80 x x + Funcin Objetivo.Max (Z) = 1 2120 80 x x + Restricciones: Igualando las restricciones: 12 1 21 24010 0, 020 10 500xx x xx xss > >+ s121 2401020 10 500xxx x==+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2110 100 10 10020 10 50020 40020x xx xx xxx+ = = + === Solucin (b) Tabulando: R1:R2: R3: Hallando la pendientem = - 120/80 = - 1.5, entonces el ngulo = - 56.3099 Sacando valores para 1 2, : x x u1x2x400 00 1x2x010 00 1x2x050 250 1 2222220 10 5002(20) 10 500400 10 50010 10010x xxxxx+ =+ =+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en: Max (Z) = 1 2120 80 x x + Max (Z) =120 (20) + 80 (10) Max (Z) =3 200 Se tiene que vender 20 televisores de 27 y 10 de 20, para obtener la mxima ganancia y obtener $ 3 200. PREGUNTA 3 3.1.8 la compaa Word Light produce dos dispositivos para las lmparas (productos 1 y 2) querequierenpartesdemetalycomponenteselctricas.Laadministracindesea determinarcuntas unidades de cadaproducto fabricar para maximizar la ganancia. Por cadaunidaddelproducto1serequieren1unidaddepartesdemetaly2unidadesde componentes elctricas, por cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades de partes demetaly2unidadesdecomponenteselctricas,lacompaatiene200unidadesde partesdemetaly300decomponenteselctricas,cadaunidaddelproducto1dauna gananciade$1ycadaunidaddeproducto2,hasta60unidadesdaunagananciade$2, cualquierexcesode60unidadesnotienegananciaporloquefabricarmsde60est fuera de consideracin. a)Formule el modelo de programacin lineal. b)Utiliceelmtodograficopararesolverestemodelo,yculeslagananciatotalque resulta. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Producto 1 = 1xProducto 2 = 2x MetalElctricoGanancia 1x121 2x322 200300 1 22 x x + Funcin Objetivo.Max (Z) = 1 22 x x + Restricciones: 1 21 2 1 123 2002 2 300 0 , 060x xx x x xx+ s+ s > >sIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Igualando las restricciones: Solucin (b) Tabulando: R1:R2:R3: Hallamos la pendientem = - 1/2 = - 0.5, entonces el ngulo = - 26.5650 u1X2X066.66 2000 1X2X0150 1500 1X2X060 00 1 21 223 2002 2 30060x xx xx+ =+ ==Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2223 2002 6 4002 2 3004 10025x xx xx xxx+ = = + = = = Sacando valores para 1 2, : x x Reemplazando en: Max (Z) = 1 22 x x + Max (Z) =1 (125) + 2 (25) Max (Z) =175 Se debe fabricar 125 unidades de Producto 1 y 25 unidades del Producto 2 para tener un mximo de ganancia y obtener$ 175. ( )1 211112 2 3002 2 25 3002 50 3002 250125x xxxxx+ =+ =+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 PREGUNTA4 3.1.9lacompaadesegurosprimoestenprocesodeintroducirdosnuevaslneasde productos:seguroderiesgoespecialehipotecas,lagananciaesperadaesde$5porel seguro de riesgo especial y $ 2 por unidad de hipoteca. La administracin desea establecer lascuotasdeventadelasnuevaslneasparamaximizarlagananciatotal.Los requerimientos de trabajo son los siguientes. Departamento.Horas hombre por unidadHoras hombre disponibles Riesgo Especial Suscripciones32400 Administracin0800 Reclamaciones21200 a)Formule el modelo de programacin lineal. b)Use el mtodo grafico para resolver el modelo. c)Verifique el resultado de la solucinptima en el inciso b con la solucin algebraica de las dos ecuaciones simultneas relevantes. SOLUCION AL PROBLEMA. Solucin (a) Seguro 1 = 1xHipoteca 2 = 2xSuscripcionesAdministracinReclamacionesGanancia 1x3025 2x2102 24008001200 1 25 2 x x + Funcin Objetivo Max (Z) = 1 25 2 x x +Restricciones: Igualando las restricciones: Solucin (b) Tabulando: R1: R2: R3: 1 21 2 1 21 23 2 24000 800 0 , 02 0 1200x xx x x xx x+ s+ s > >+ s1 21 21 23 2 24000 8002 0 1200x xx xx x+ =+ =+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 21 2223 2 24002 0 12006 4 48006 0 36004 1200300X XX XX XX XXX+ =+ =+ = + = == Hallamos la pendiente m = - 5/2 = - 2.5, entonces el ngulo = - 68.1985 Sacando valores para 1 2, : x x Reemplazando en: Max (Z) = 2 12 5 X X + Max (Z) =5 (600) + 2 (300) Max (Z) =3 600 u1x2x01200 8000 1x2x0800 00 1x2x00 6000 1 21113 2 24003 2(300) 24003 1800600X XXXX+ =+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Se requiere 600 de seguro y 300 de hipoteca, para tener la mxima ganancia total y obtener $ 3 600. PREGUNTA 5. 3.1.10WeenisandBunsesunaplantaprocesadoradealimentosquefabricahotdogs, muelensupropiaharinaparaelpanaunatasamximade200librasporsemana.Cada panrequiere0.1libras.TienenuncontratoconPigland,Inc.,queespecificalaentregade 800librasdeproductosdepuercocadalunes.Cadahotdogrequieredelibrade productodepuerco,secuentaconsuficientecantidaddelrestodelosingredientesde ambosproductos,porltimolamanodeobraconsisteen5empleadosdetiempo completo(40horas por semana), a cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan2minutosdemanodeobracadahotdogproporcionaunagananciade$0,20ycada pan$0.10,WeenisandBunsdeseasabercuentoshotdogycuantospanesdebeproducir cada semana para logara la ganancia ms alta posible.

a)Formule u modelo e programacin lineal. b)Use el mtodo grafico para resolver el modelo. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Hotdogs= 1xPan= 2x HarinaPuercoManoGanancia 1x01/43 min.0.20 2x0.102 min.0.10 2008002400 min. 1 20.20 0.10 x x + Funcin Objetivo Max (Z) = 1 20.20 0.10 x x + Restricciones: Igualando las restricciones: 1 2 , : x x21 1 21 20.1 2001800 0 , 043 2 12000xx x xx xss > >+ sIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 11 21 222180043 2 120003 0 96002 24001200xx xx xxx=+ = + = == Solucin (b) Tabulando: R1:R2: R3: Hallando la pendientem = - 0.20/0.10 = - 2, entonces el ngulo = - 63.4349 Sacando valores para 1 2, : x x u1x2x02000 00 1x2x00 32000 1x2x01200 8000 211 20.1 200180043 2 12000xxx x==+ =1 21113 2 120003 2(1200) 120003 96003200x xxxx+ =+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en: Max (Z) = 1 20.20 0.10 x x + Max (Z) = 0.20 (3200) + 0.10 (1200) Max (Z) =760 Se requiere 3200 hotdogs y 1200panes, para tener la gananciamsaltaposibley obtener $760. PREGUNTA 6. 3.1.11LacompaamanufactureraOmegadescontinulaproduccindeciertalneade productos noredituable.Estocreounexcesoconsiderable enlacapacidaddeproduccin. Lagerenciaquierededicarestacapacidadaunoomsdetresproductos,llamados productos1,2,y3.Enlasiguientetablaseresumelacapacidaddisponibledecada mquina que puede limitar la produccin. Tipo de MaquinaTiempo Disponible(en horas-maquina por semana) Riesgo Especial Fresadora500 Torno350 Rectificadora150 El nmero de horas-maquina requerida para cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (en horas maquina por unidad). Tipo de MaquinaProducto 1Producto 2Producto 3 Fresadora935 Torno540 Rectificadora302 Eldepartamentodeventasindicaquelasventaspotencialesparalosproductos1y2 excedenla tasamximade produccinyquelasventas potenciales delproducto3son20 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 unidadesporsemana,lagananciaunitariarespectivaseriade$50,$20y$25paralos productos 1, 2 y 3, el objetivo es determinar cuntos productos de cada tipo debe producir la compaa para maximizar la ganancia. a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Utilice una computadora para resolver este modelo con el mtodo simplex. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Televisor 27 = 1xTelevisor 20 = 2x FresadoraTornoRectificadoraGanancia 1x95350 2x34020 3x50225 500350150 1 2 350 20 25 x x x + +Funcin Objetivo.Max (Z) = 1 2 350 20 25 x x x + + Restricciones: Solucin (b)

Igualando valores dey aumentando sus valores de Holgura: Igualando la Funcin Objetivo a 0: 1 2 350 20 25 0 Z x x x = Resolviendo el mtodo simplex por computadora. 1 2 31 2 3 1 2 31 2 39 3 5 5005 4 0 350 0 , 0 , 03 0 2 150x x xx x x x x xx x x+ + s+ + s > > >+ + s1 2 3 11 2 3 21 2 3 39 3 5 5005 4 0 3503 0 2 150x x x Sx x x Sx x x S+ + + =+ + + =+ + + =1 2 3, , x x xIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Primera Iteracin: Segunda Iteracin: Tercera Iteracin: Cuarta Iteracin: Quinta Iteracin: Sexta Iteracin: Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en: Max (Z) = 1 2 350 20 25 x x x + + Max (Z) =50 (0) + 20 (87.50)+25 (47.50) Max (Z) =2937.50 La compaa debe producir 0 de Producto 1, 87 y medio de Producto 2 y 47 y medioProducto 3. PREGUNTA 7. 3.1.12 Considere el siguiente problema donde el valor de C1 todava no ha sido establecido. Maximizar: Sujeto a: 1 21 21 260, 02 10x xx xx x+ s> >+ s Use el mtodo grafico para determinar la solucin optima para X1 y X2, para los diferentes valores posibles de C1 (- < C1 < ). SOLUCION AL PROBLEMA: Igualando las ecuaciones: 1 21 262 10x xx x+ =+ = 1 1 2Z Cx x = +Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Tabulando. R1 R2 Como el valor de C1 ha sido establecido tomamos los negativos, positivos, es decirC1 0, C1 0. Tomando Funcin Objetivo., Entonces Hallandolapendientem = - 1/1 = - 1, entonces el ngulo u= - 45. Solucin Optima esZ = 5 = -1(0) + 1(5). Tomando Funcin Objetivo.1 20 z x x = +, Entonces Hallando la pendientem = - 0/1 = 0, entonces el ngulo u= 0. 1x2x06 60 1x2x05 100 1 21 Z x x = +Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Solucin Optima esZ = 5 = 0(0) + 1(5) Tomando Funcin Objetivo.1 2z x x = +, Entonces Hallando la pendientem = - 1/1 = - 1, entonces el ngulo u= - 45. Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Solucin Optima esZ = 6 = 1(6) + 1(0) Sacando valores para1 2, : x x Reemplazando en C1 = -1: Max. (Z) = Max. (Z) = - 1 (2) + 1 (4) Max. (Z) = 2 Reemplazando en C1 = 0: Max. (Z) = Max. (Z) = 0 (2) + 1 (4) Max. (Z) = 4 Reemplazando en C1 = 1: Max. (Z) = Max. (Z) = 1(2) + 1 (4) Max. (Z) = 6 PREGUNTA 8. 3.1.13 Considere el siguiente problema donde el valor de k todava no ha sido establecido. Maximizar: 1 22 Z x x = + Sujeto a: 1 221 21 2232 300, 0x xxkx x kDonde kyx x + ss+ s +>> >1 21 21 226 ( )62 104x xx xx xX+ = = + ==1 2112 102(4) 102x xxx+ =+ ==1 1 2Cx x +1 1 2Cx x +1 1 2Cx x +Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 LasolucinqueseusaporahoraesX1=2,X2=3.Useelanlisisgraficoparadeterminar los valores de k tales que esta solucin sea de hecho ptimo. SOLUCION AL PROBLEMA: Igualando las ecuaciones: Como el valor de k todava no ha sido establecido tomamos los positivos incluyendo el Cero, es decirk 0. Tomando Funcin Objetivo. 1 22 Z X X = +

yhallandolapendientem = - 1/2 = - 0.5, entonces el ngulo u= - 26.5650. Tabulandotomando 0: k = R1:R2: R3: 1x2x02 -20 1x2x03 00 1x2x03 00 1 221 2232 3x xxkx x k + ==+ = +Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Tabulandotomando 1: k = R1: R2:R3: 1x2x02 -20 1x2x05 50 1x2x03 00 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Tabulandotomando 2: k = R1: R2: R3: 1x2x02 -20 1x2x03 00 1x2x07 3.50 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Soluciones ptimas cuandok 0: Cuando k =0 No existe una solucin optima. Cuando k =1 Si 1 22 3 x y x = = , la solucin optima es = 8. Cuando k =2 Si 1 22 3 x y x = = , la solucin optima es = 8. Reemplazando en: Max (Z) = 1 22 x x + Max (Z) =1(2) 2(3) + Max (Z) =8

Siktomavalorde0noexisteunasolucinptima,siktomavaloresmayoresa1con 1 22 3 x y x = =, la solucin ptima siempre ser Z= 8=1 (2) + 2 (3). PREGUNTA 9. 3.1.14 Considere el siguiente problema para el que no se han determinado valores de C1 y C2. Maximizar: 1 1 2 2Z C x C x = + Sujeto a: UtiliceelmtodograficoparadeterminarlassolucionesoptimasparaX1yX2paralos diferentes valores posibles de C1 y C2 (Sugerencia: Separe los casos en los cuales C2 = 0, C2 > 0, C2 < 0 para los dos ltimos casos centre su atencin en la razn C1 entre C2). SOLUCION AL PROBLEMA: Igualando las ecuaciones: 1 21 22 112 2x xx x+ = + = Tabulando. 1 21 21 22 110, 02 2x xx xx x+ s> > + sIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 R1 R2 Como el valor de C2 todava no ha sido establecido tomamos los positivos incluyendo el Cero, es decirC2 = 0, C2 > 0, C2 < 0. PREGUNTA 10. 3.2.1LasiguientetablaresumelossiguienteshechossobredosproductosAyB,ylos recursos Q, R, S requeridos para producirlos. Recurso Recursos utilizados por unidad de producto Cantidad de recursos disponibles Producto AProducto B Q212 R122 S334 Ganancia/unidad32 Todas las suposiciones de programacin lineal se cumplen. a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Resuelva este modelo en un grafica. c)Verifiqueelvalorexactodelasolucinptimaenbconlasolucinalgebraicadelasdos ecuaciones relevantes. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Producto A = 1xProducto B= 2x QRSGanancia 1x21 33 2x1232 2241 23 2 x x + 1x2x011 5.50 1x2x01 - 20 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Funcin ObjetivoMax (Z) = 1 23 2 x x +Restricciones: 1 21 2 1 11 22 22 2 0, 03 3 4x xx x x xx x+ s+ s > >+ s Igualando las restricciones: Solucin (b) Tabulando: R1:R2:R3: Hallando la pendiente: m = - 3/2 = - 1.5Entonces Angulou= - 56.3099 1x2x02 10 1x2x04/3 4/30 1x2x01 20 1 21 21 22 22 23 3 4x xx xx x+ =+ =+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2222 2( 2)2 4 42 23 223x xx xx xxx+ = = + = = = Sacando valores para 1 2, : x x Solucin (c) Reemplazando en: Max (Z) = 1 23 2 x x + Max (Z) =3 (2/3) +2 (2/3) Max (Z) =3.3333 Se necesitan los 2/3 del Producto 1 y2/3 del Producto 2,para tener uma ganancia de $ 3.333333. PREGUNTA 11. 3.2.2Elreasombreadadelasiguientegraficarepresentalareginfactibledeunproblemade programacin lineal cuya funcin objetiva debe maximizarse. 1 21112 222 236 423x xxxx+ =| |+ = |\ .==Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera y despus justifique su respuesta con base al mtodo grafico. En cada caso de un ejemplo de una funcin objetivo que ilustre su respuesta. a)Si(3,3) produce un valor ms grande de la funcin objetivo que (0,2) y (6,3) entonces (3,3) debe ser una solucin optima.b) Si (3,3) es una solucin optima existen soluciones optimas mltiples entonces uno de los dos (0,2) o (6,3) tambin deben ser una solucin optima. c)El punto (0,0) no puede ser una solucin optima. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Funcin ObjetivoMax (Z) = 1 2X X +Si (3.3) 3 + 3 = 6 Si (0.2) 0 + 2 = 2 Si (6.3) 6 + 3 = 9 El punto (3,3) no puede ser una solucin optima . Solucin (b) Si (3.3) 3 + 3 = 6 Si (0.2) 0 + 2 = 2 Si (6.3) 6 + 3 = 9 Solucin (c) Si (3.3) 3 + 3 = 6 Si (0.2) 0 + 2 = 2 Si (6.3) 6 + 3 = 9 PREGUNTA 12. 3.2.3 Hoy es su da de suerte acaba de ganarse un premio de $ 10 000 dedicara $ 4 000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $ 6 000, al or las nuevas,dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse ensocio en dos empresas distintas cada uno planeada por uno de ellos, en ambos caso la inversin incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en 00.511.522.533.50 1 2 3 4 5 6 7Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 efectivo. Para ser un socio completo en caso del primer amigo debe invertir$ 5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) seria $ 4 500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $ 4 000 y 500 horas con una ganancia estimada de $ 4 500, sin embargo ambos amigos son flexibles y le permiten participar con cualquier fraccin de participacin que quiera. Si elige una participacin parcial todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversin de dinero y tiempo, y la ganancia) se puede multiplicar por esa fraccin. Como de todas formas usted busca en trabajo de verano interesante (mximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinacin que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinacin. a)Formule el modelo de programacin lineal. b)Use el mtodo grafico para resolver en modelo, Cul es su ganancia total estimada? SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Empresa 1 = 1xEmpresa 2= 2x InvertirGanancia DineroHoras 1x50004004500 2x40005004500 6000600 1 24500 4500 x x + Funcin ObjetivoMax (Z) = 1 24500 4500 x x + Restricciones: 121 21 21 1115000 4000 6000400 500 6000 , 0xxx xx xyx xss+ s+ s> > Solucin (b) Igualando las restricciones. 121 21 2115000 4000 6000400 500 600xxx xx x==+ =+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2111400 500 600( 8)3200 4000 48005000 4000 60001800 12001200180023x xx xx xxxx+ = = + ==== Tabulando. R1:R2: Hallando la pendiente: m = - 4500/4500 = - 1Entonces Angulo u= - 45 Sacando valores para 1 2, : x x 1X2X03/2 6/50 1X2X06/5 3/20 1 222225000 4000 600025000 4000 60003100004000 6000312000 800023x xxxxx+ =| | + = |\ .+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en: Max (Z) = 1 24500 4500 x x + Max (Z) =4500 (2/3) +4500 (2/3) Max (Z) =6 000 La mejor combinacin es con2/3 de participacin en la empresa 1,y 2/3 en la Empresa 2 ypara tener una ganancia total es de $ 6 000. PREGUNTA 13. 3.2.4 Use el mtodo grafico para encontrar todas las soluciones ptimas del siguiente modelo. Maximizar: Sujeto a:

SOLUCION AL PROBLEMA: Igualando las Restricciones. Sacando las restricciones: R1:R2: R3: Hallando la pendiente: m = - 500/300 = - 1.66667Entonces Angulo u= - 59.0362 1X2X060 200 1X2X040 240 1X2X075/2 225/40 1 21 21 215 5 30010 6 2408 12 450x xx xx x+ =+ =+ =1 2500 300 Z x x = +1 21 2 1 21 215 5 30010 6 240 0 , 08 12 450x xx x x xx x+ s+ s > >+ sIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 21 21115 5 300 (6)10 6 240 ( 5)90 30 180050 30 120040 60015x xx xx xx xxx+ =+ = + = = == Sacando valores para 1 2, : x x Reemplazando en: Max (Z) = Max (Z) = 500 (15) +300 (15) Max (Z) = 12 000 La solucin ptima es 12 000. PREGUNTA 14. 3.2.5 Use el mtodo grafico para demostrar que el siguiente modelo no tiene soluciones factibles. Maximizar: Sujeto a:1 222215 5 30015(15) 5 3005 7515x xxxx+ =+ ===1 2500 300 x x +1 25 7 Z x x = +1 21 2 1 22 12 1 0 , 0x xx x x x s + s > >Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 SOLUCION AL PROBLEMA: Igualando valores de Sacando las restricciones: R1:R2: Hallando la pendiente: m = - 5/7 = - 0.7142857143Entonces Angulo u= - 35.53767779 Se demuestra que no tiene solucin ptima porque no hay ninguna combinacin de restricciones. PREGUNTA 15. 1x2x01 - 0.30 1x2x0- 0.5 10 1 21 22 12 1x xx x = + = 1 2, : x xIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 3.2.6 Suponga que se proporcionaron las siguientes restricciones para un modelo de programacin lineal. a)Demuestre que la regin factible es no acotada. b)Si el objetivo es maximizarZ = -X1 + X2, tiene el modelo una solucin optima? Si es as encuntrela, si no explique por qu no.c)Repita el inciso b cuando el objetivo es maximizar Z = X1 X2. d)Para las funciones objetivas con las que el modelo no tiene solucin ptima, Significa esto que no existen buenas soluciones segn el modelo? Explique que es probable que este mal en la formulacin del modelo. SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) (Existe ausencia de solucin), la funcin objetivo no tiene valores extremos, pues la regin factible es no acotada. 1 21 21 23 303 300 , 0x xx xyx x + s + s> >Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21113 303(10) 3000x xxxx + = + = ==Solucin (b) Si el objetivo es Maximizar 1 2Z x x = + Igualando las restricciones Sacando las restricciones: R1:R2: Hallando la pendiente: m = - (-1)/1 = 1Entonces Angulo u= 45 Sacando valores para 1 2, : x x Entoncesel valor de 210 x = 210 x = 1X2X010 - 300 1X2X030 - 100 1 21 23 303 30x xx x + = + =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Reemplazando en la Funcin Objetivo: Max (Z) = Max (Z) = -1 (0) +1 (10) Max (Z) = 10 El modelo si tiene una solucin ptima que es 10. Solucin (c) Si el objetivo es Maximizar 1 2Z x x = Igualando las restricciones Sacando las restricciones: R1:R2: Hallando la pendiente: m = - 1/- 1 = 1Entonces Angulo u=45 1X2X010 - 300 1X2X030 - 100 1 2x x +1 21 23 303 30x xx x + = + =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 En el modelo no existe una solucin ptima ya que la pendiente es positiva. Solucin (d) Para las funciones objetivas con las que el modelo no tiene solucin ptima, Significa esto que no existen buenas soluciones segn el modelo? Explique que es probable que este mal en la formulacin del modelo Rta: Si dentro de la funcin objetiva se encuentra tienen signos negativos la pendiente resultara positiva y este modelo no tendr una solucin ptima. PREGUNTA 16 3.4.3 Utilice el mtodo grafico para resolver el problema: Maximizar: Z = 1 215 20 x x + Sujeto a: Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 22 102 3 66x xx xx x+ > s+ > 1 20, 0 x x > > Igualando las ecuaciones:

1 21 21 22 102 3 66x xx xx x+ = =+ = Tabulando. R1 R2R3 Hallando la pendientem = - 15/20 = - 0.75, entonces el ngulo u= - 36.87 Como este es problema de maximizacin y la regin factible se va hacia afuera en la grafica,entonces este problema no tiene solucin optima. Comprobacin con el mtodo simplex. 1x2x05 100 1x2x0-2 30 1x2x06 60 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Como Vemos al final Sale un Mensaje que dice no hay solucin optima,ya que no se logra convertir los valores c (i) z (j) en positivos. PREGUNTA 17 3.4.4 Utilice el mtodo grafico para resolver el problema: Minimizar: Z = 1 23 2 x x + Sujeto a:1 21 21 22 122 3 122 8x xx xx x+ s+ =+ > 1 20 , 0 x x > > Igualando las restricciones: 1 21 21 22 122 3 122 8x xx xx x+ =+ =+ = Tabulando. Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2222 82 3 122 82 42x xx xx xxx+ =+ = = ==R1R2R3 Hallando la pendientem = - 3/2 = - 0.75, entonces el ngulo u= - 56.30 Sacando valores para1 2, : x x Reemplazando en: Min. (Z) = 1 23 2 x x + Min. (Z) =3(3)+ 2(2) Min. (Z) =13 PREGUNTA 18 1x2x06 120 1x2x04 60 1x2x08 40 1112 2 82 63xxx+ ===Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 3.4.5 Considere el siguiente problema, donde el valor de C1 no se ha determinado. Maximizar: Z = 1 1 22 c x x + Sujeto a:1 21 24 122x xx x+ s > 1 20 , 0 x x > > Use el mtodo grafico para determinar la(s) solucin de (X1, X2) para los valores posibles de C1. Igualando las ecuaciones:

1 21 24 122x xx x+ = = Tabulando. R1 R2 Como el valor de C1 todava no ha sido establecido tomamos los positivos incluyendo el Cero, es decirC1 0. Tomando Funcin Objetivo.1 20 2 z x x = +, Entonces Hallando la pendientem = - 0/2 = - 0, entonces el ngulo u= 0. 1x2x012 30 1x2x0-2 20 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 2114 1225 1414 / 5x xx xxx+ = === Solucin Optima es z=1.60 =0(2.80) + 2(0.80). Tomando Funcin Objetivo.1 22 z x x = +, Entonces Hallando la pendientem = - 1/2 = - 0.5, entonces el ngulo u= -26.56. Solucin Optima es z=4.40 =0(2.80) + 2(0.80). Sacando valores para1 2, : x x Reemplazando para C1=0, Luego para C1 = 1: Max. (Z) = 1 20 2 x x + Max. (Z) = 0(2.80) + 2(0.80) Max. (Z) =1.60 ---------------------------------------------------------------------------- Max. (Z) = 1 21 2 x x + Max. (Z) = 1(2.80) + 2(0.80) Max. (Z) =4.40 2224(14 / 5) 1212 56 / 54 / 5xxx+ == =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 PREGUNTA 19 3.4.6 Considere el siguiente modelo: Maximizar: Z = 1 240 50 x x + Sujeto a:1 21 21 22 3 30122 20x xx xx x+ > >+ > 1 20 , 0 x x > > a)Use el modelo grafico para resolver este modelo. b) Cmo varia la solucin optima si la funcin objetivo se cambia a Z = 40X1 + 70X2? c)Cmo varia la solucin optima si la tercera restriccin funcional se cambia a 1 22 15 x x + > ? SOLUCION AL PROBLEMA. Solucin (a). Igualando valores de.

Tabulando. R1R2 R3 Hallando la pendientem = - 40/50 = - 0.80, entonces el ngulo u= - 38.65. 1x2x010 150 1x2x0-12 120 1x2x020 100 1 21 21 22 3 30122 20x xx xx x+ = =+ =1 2, : x xIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Como en las ecuaciones la el smbolo de inecuacin es diferente al de maximizacin no se obtendr Solucin Optima, ya que el rea factible tambin es inversa a una maximizacin. Solucin (b) Tampoco va a variar el Resultado si la Solucin Optima Cambia, ya que no cumplen las restricciones. Solucin (c) Tampoco va a variar el Resultado si una de las restricciones vara y se mantiene el sentido contrario, ya que no cumplen las restricciones. PREGUNTA 20 3.4.7carneconpapaseselplatofavoritodeRalphEdmund.Poresodecidihacerunadieta continua de solo estos dos alimentos (ms algunos lquidos y suplementos de vitaminas) en todas suscomidas.Ralphsabequenoesladietamssanayquiereasegurarsedequetomalas cantidadesadecuadasdelosdosalimentosparasatisfacerlosrequerimientosnutricionales. Cuenta con la siguiente informacin nutricional y de costo: Ralph quiere determinar el nmero de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumpliran con estos requerimientos a un costo mnimo. Ingrediente Gramos de ingredientes por porcinRequerimiento diario (gramos) ResPapas Carbohidratos515> 50 Protenas205> 40 Grasa152> 60 Costo/porcin$ 4$ 2 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Use el mtodo grafico para resolver el modelo. c)Utilice una computadora para resolver este modelo por el mtodo simplex. SOLUCION AL PROBNLEMA: Solucin (a) Res = 1xPapas = 2x CarbohidratosProtenasGrasaCosto 1x520154 2x15522 504060 1 24 2 x x + Funcin ObjetivoMin (Z) = 1 24 2 x x + Restricciones: Solucin (b) Igualando valores de.

Tabulando. R1R2 R3 Hallando la pendientem = - 4/2 = - 2, entonces el ngulo u= - 63 1x2x08 20 1x2x030 40 1x2x010/3 25/20 1 21 21 21 24 15 5020 5 4015 2 60, 0x xx xx xx x+ >+ >+ >>1 21 21 24 15 5020 5 4015 2 60x xx xx x+ =+ =+ =1 2, : x xIngeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 1 21 21 2225 15 5015 2 6015 45 15043 902.09x xx xx xxx+ =+ = = = = Sacando valores para1 2, : x x Reemplazando en: Min. (Z) = 1 24 2 x x + Min. (Z) =4(3.72) + 2(2.09) Min. (Z) =19.07 Ralphrequiere de 3.72 porcionesde Resy 2.09 porciones de Papas diarias para obtener los requerimientosa un Costo Mnimo Solucin (c) Por Mtodo Simplex en Computadora. 115 15(2.09) 503.72xx+ ==Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 PREGUNTA 21 3.4.8 Dwight es un maestro de primaria que tambin cra puercos para tener ingresos adicionales. Intentadecirquealimentodarles.Piensaquedebeusarunacombinacindelosalimentosque venden los proveedores locales. DwightDesea que tenga un costo mnimoal mismo tiempo que cadapuercorecibaunacantidadadecuadadecalorasyvitaminas.Elcostoyloscontenidosde cadaalimento se muestranenlatabla,Cadapuercorequiereal menos$8000calorasporda y 700 unidades de vitaminas. a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Useelmtodograficopararesolverelmodelo.Culeselcostodiarioporpuercoqueresulta? SOLUCION AL PROBLEMA: Solucin (a) Alimento Tipo A = 1xAlimento Tipo B = 2x CalorasVitaminasCosto 1x8001400.4 2x1000700.8 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 8000700 1 20.4 0.8 x x + Funcin ObjetivoMin (Z) = 1 20.4 0.8 x x + Restricciones: Solucin (b) Igualando las restricciones

Tabulando. R1R2 Hallando la pendientem = - 0.4/0.8 = - 0.5, entonces el ngulo u= - 26.56 1x2x010 50 1x2x08 100 1 21 21 2800 1000 8000140 70 700, 0x xx xx x+ >+ >>1 21 2800 1000 8000140 70 700x xx x+ =+ =Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 118 10(0) 8010xx+ == Sacando valores para1 2, : x x Como20 x = Reemplazando en: Minimizar(Z) =0.4(10) 0.8(0) + (Z) =4 + 0 (Z) =4 Solucin Optima PREGUNTA 22 Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 La Medequip Company produce equipos de precisin de diagnostico medico en dos fabrica. Se han recibido pedidos de tres centros mdicos parala produccin de este mes. La tabla muestra el costo unitario de envo desde cada fbrica a cada centro. Adems muestra el nmero de unidades que se producirn en cada fbrica y el nmero de unidades ordenadas por cada cliente. ACosto unitario de envoproduccin DeCliente 1Cliente 2Cliente 3 Fabrica 1$600$ 800$ 700400 unid Fabrica 2$ 400$ 900$ 600500 unid orden300 unid200 unid400 unid Ahora debe tomar la decisin sobre el plan de cuantas unidades enviar de cada fbrica a cada cliente.a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Resuelva el modelo por el mtodo simplex SOLUCION AL PROBLEMA: Como es un problema de Flujo de Costo Mnimo entonces plantearemos el modelo de ecuacin a partir de la Grafica. Como este problema tiene 6 canales entonces tendr 6 variables de decisin, para minimizar el costo de envo. Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 Funcin Objetivo:MinimizarZ=1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 36 8 7 4 9 6F C F C F C F C F C F Cx x x x x x + + + + + Restricciones: 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 31 1 1 11 2 2 21 3 2 3400500300200400F C F C F CF C F C F CF C F CF C F CF C F Cx x xx x xx xx xx x + + =+ + = = = = Resolucin por el mtodo simplex. Escribimos todas las Restricciones de la siguiente forma. En el software WinQSB 2.0 para hallarlo por el mtodo simplex. ITERACION 1: Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 ITERACION 2: ITERACION 3: ITERACION 4: Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 ITERACION 5: De la fabrica 1 se enva 200 unidades al cliente 2 y 200 unidades al cliente 3, y de lafabrica2seenva300unidadesalcliente1y200unidadesalcliente3,Asse obtendr un costo mnimo de envo. PREGUNTA 22 FagestaStellworksexploradosminasparaobtenermineraldehierro,estemineraldehierrose enva a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se mandaa la planta de acero de la compaa... El siguiente diagrama describe la red de distribucin, donde M1 y M2son lasdos minas, S1 y S2, los dos almacenes, Pes la planta de acero. Tambin muestra las cantidades producidasen las minasy las necesarias s en la planta al igual que el costo de envi y la cantidad mximadeque sepuede enviaral mesporcadava,Laadministracindeseadeterminarelplan ms econmico de envo del mineral de las minas a la planta. a)Formule un modelo de programacin lineal. b)Resuelva este modelo por el mtodo de simplex. SOLUCION AL PROBLEMA. Ingeniera de Sistemasy Computacin UNDAC Cerro de Pasco 2009 SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX COMO EL PROBLEMA TIENE 11 RESTRICCIONES Y 6 VARIABLES ES DEMACIADO GRANDE Y POR TANTO LO GUARDAMOS EN UN PROGRAMA RESUELTO EN WINQSB 2.0 PARA ELLO TAMBIEN SE ADJUNTA EL PROGRAMA.