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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
EJERCICIOS DESARROLLADOS TRANSFORMADA Z
Determinar las transformadas Z de las siguientes señales en tiempo discreto usando la definición
a) x n u n
Usando el par de Transformada Z: 1
1,
1zn z
a u n z az a az
Para este caso se tiene que 1a
1
1, 1
1 1z z
u n zz z
b) 10nx n e u n
Igual que en el caso anterior, se usará el mismo par de transformada Z, y para este caso 10na e
por lo tanto la transformada Z será:
10 1010 10 1
1,
1zn z
e u n z ez e e z
c) sinnx n e n u n
Para mejorar el proceso de cálculo, se pasa el valor del sin(n) a exponenciales complejas, por lo
tanto se tiene lo siguiente:
2
jn jnn e e
x n e u nj
Multiplicando término a término se tendrá:
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
j n j n j n j nn jn n jn
j n j n j n j n
e e e e e ex n u n u n u n
j j j j
x n e e u n e u n e u nj j
Por tanto usando la propiedad 1
1,
1zn z
a u n z az a az
1 1
1 11 1
1 1 1 1,
2 2 1 1
j n j n zj j
e u n e u n z ej j e z e z
1 1
1 1
1 1,
2 2j n j n z
j j
z ze u n e u n z e
j j z e z e
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
1 1
1 1
2
1sin ,
2
1sin
2
j jzn
j j
zn
z e z ee n u n z z e
j z e z e
ze n u n
j
1 2jze z
1
2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 2
,
1sin ,
2
1sin ,
2
j
j j j j
j jzn
j j j j
j jzn
j j
zez e
z z e e e
z e ee n u n z e
j z z e e e
z e ee n u n z e
j z z e e e
Tomando en cuenta que:
1 1
sin 12 2
j jj j e e ee ee
j j
; 2 cos 1j je e e e
Se tiene que:
2 2
sin(1)sin ,
2 cos 1zn ez
e n u n z ez ez e
d) x n n
Tomando en cuenta que este x[n] es una secuencia unilateral se tiene que:
0 0
1n n
n n
X z x n z n z
, para todo valor de z
e) x n u n u n
z n n n
n n n
x n u n u n z u n z u n z
,
Tomando en cuenta que u[‐n] va de ‐∞ hasta 0 y que al cambiar el signo de la potencia de z
cambian los límites de la sumatoria se tiene:
0
0 0 0
z n n n n
n n n n
x n z z z z
, en este punto es necesario analizar de
manera individual cada sumatoria pues cada una tiene su propia región de convergencia:
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
10
1, 1
1n
n
z zz
, 1
0
1, 1
1n
n
z zz
, debido a ambas transformadas unilaterales
son analizadas sobre el mismo valor, en este caso 1 se tiene que no existe transformada z bilateral.
f) 10x n u n u n
De acuerdo con las características de x[n] esta señal iría de 0 a 10 con amplitud 1, sin embargo en
la sumatoria a la 10
10
0
10z n n
n n
x n u n u n z z
,
Utilizando la fórmula para sumatorias:
1
0
1, 1
1
, 1
MM
n
n M
, donde M‐1 =10 y β=z‐1 y por tanto cumpliendo el primer caso de esta
fórmula, se tiene lo siguiente:
1111 10 1111 1011 11
1 10
1 11 1 11
1 1 1 11 11
z
zz z zz z zz zx n
z z zz z zz z
Tomando en cuenta que z es un valor complejo, z=re‐jω, recordando que la ROC de la transformada
Z depende exclusivamente de la magnitud de z se tendrá que:
10 10
1 1
j j
j
z z re reX z
z re
, por tanto:
10
2
cos cos 10 sin sin 10 12
1 2 cos 1
j j
j
re reX z r
re r r
Lo que significa que la transformada Z para este ejercicio es todo el plano Z
g) 01n n
x n u n a u n n Determinar las restricciones en el número
complejo |a| y el entero n0 dado que la ROC de X(z) es 1<|z|<2
0 0
0 0
1 10
0 0
1 1 1 10
0 0
1 1 1
1 1
n nn nn n n nn n
n n n n
n n n nn n
n n n n n n
u n a u n n z a z z az
u n a u n n z a z z a z
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
Analizando individualmente cada una de las partes se tiene que:
1 11
0
1; 1
1
n
n
z para zz
1 1
11
1 1
z
z
z z
0
0
1 11
; 11
nn
n n
aza z para a z
a z
1 1
1
a z
z
a
z a
Por tanto la transformada Z bilateral será:
0
0 1 1
11 ;1
1 1
nn n azu n a u n n z a
z a z
Comparando con los datos iniciales del ejercicio se tiene que |a|=2 y n0 puede ser cualquier
valor arbitrario
h) 13
5
n
x n u n
En este caso antes de usar tablas y propiedades usamos las fórmulas para las Sumatorias, en este
caso:
1
3
1 1 13 3
5 5 5
n n nzu n u n z
Usaremos la fórmula: , 11
kn
n k
31 3
1
1 1
5 12513 , 1
5 51 1
5 5
nz
z z
zu n
z z
UNIVE
1
5
n
Determ
propie
a)
En este
Toman
Entonc
en X(z)
c
c
cn
cn
e
e
Sacand
RSIDAD POLIT
3 zu n
minar las tran
dades
cx n e
e caso se nece
ndo en cuenta
ces en la resp
):
2os
3
2os
3
nu
nu
do factor com
TÉCNICA SALE
3
125 1
z z
nsformadas Z
2cos
3cn n
esita dela pro
a que:
pectiva transf
z
z
n
en
z
e
mún 1 / e‐2c
ESIANA
3
1
5z
, para
Z de las siguie
u n
opiedad de es
formada z de
2
2
2
2
c
2co
c c
c
c c
c c
z z
e e
z z
e e
z z
e e
z z
e e
la ROC se tie
entes señales
scalamiento:
2
3
e f[n], lo que
2cos
3
2cos
3
2cos
3
2os 1
3
c
z
ne que
1
5
1
5
1
5
z
z
s en tiempo d
se deberá ha
1
1
1
z z
discreto usand
acer es reem
1
5
do tablas y
plazar z por zz/a
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
2
2
2
1 2cos
32cos
3 2 2cos 1
3
1
2cos
3
cc c
zcn
c c
czcn
zz e
e ene u n
z z
e e
n ee u n
2
2cos
3
1
c
c
z z e
e
2 22
2 cos3
c cz ze e
Simplificando
2 2
2cos
32cos
23 2 cos3
c
zcn
c c
z z en
e u nz ze e
NOTA:
Ejercicios en los cuales se usen funciones trigonométricas, y no se pueda aplicar directamente las
tablas y propiedades, lo mejor es pasar estas funciones a sus versiones con exponenciales
complejas, como por ejemplo para el caso de:
2 2
7 7
2 2sin cos
7 3
2cos
2 3
n nj j
n nx n u n
e e nx n u n
j
Al cambiar el seno por la respectiva expresión con exponenciales complejas se obtiene el caso del
ejercicio anterior; también puede existir el caso de que en lugar de la función seno se encuentre
otra función multiplicando a 2
cos3
nu n
, en cuyo caso el coseno se deberá intercambiar
por la función compleja respectiva.
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DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
1. X(z) posee polos simples y reales
1 2
1 2
( ) ...( ) ( ) ( )
( ) ( )k
k
k
k k z p
AA AG z
z p z p z p
A z p G z
Por ejemplo
31 2
11 1
22 2
3
5 3( )
( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)
5 1 35 3 5 3( 1) 1
( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) ( 1 2)( 1 3)
5 2 35 3 5 3( 2) 7
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 2 1)( 2 3)
5( 3)
z z
z z
Az A AG z
z z z z z z
z zA z
z z z z z
z zA z
z z z z z
zA z
3 3
5 3 33 5 36
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 3 1)( 3 2)z z
z
z z z z z
2. X(z) posee polos múltiples y reales
1 2
1 22 3
1
( ) ( )( )
( ) ( )( )...( )
( ) ... ...( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ki
k r
k i i i
N z N zG z
D z z p z p z p
AA k k kG z
z p z p z p z p z p
Para el Caso de los valores de Ak se sigue el mismo procedimiento al punto anterior.
( )i
rr i
z pk z p F z
1 ( )
i
rr i
z p
dk z p F z
dz
1
1 1
1( )
1 ! i
rr
r irz p
dk z p F z
r dz
Por ejemplo
31 23 2 3
1( )
( 2) ( 1)( 1) ( 2) ( 1) ( 1)
kA B k kG z
s z zz z z z z
33 3
11
1 / 2, 1 / 2
1 1 1( 1) 1
( 2) ( 1)( 1 2)( 1) ( 2) zz
A B
k zz zz z z
A partir de este punto se tiene:
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32 3
11
2 2 2 22
1 1( 1)
( 2)( 1) ( 2)
2 1 2 1 10
2 1 1 2
zz
d dk z
dz dz z zz z z
zk
z z
2 23
1 2 3 211
22
2 3 3 33
1
1 1 1 1( 1)
2! 2 ( 2)( 1) ( 2)
2 3 1 6 1 42 3 6 41 11
2 22 1 1 2
zz
z
d dk z
z zdz z z z dz
z zk
z z
3 3
1 1 1 1 1( )
2 2( 2) ( 1)( 1) ( 2) ( 1)G z
z z zz z z z
3. X(z) posee polos complejos
Por ejemplo:
Usamos la forma
( )
1 4 1 4
j jMe MeG z
z j z j
1
1 4 1 4
1201
2
1 4 1 4
1202
3 7 3 71 4
1 4 1 4 1 4
3 1 4 7 3 51.95
1 4 1 4 2 4
3 7 3 71 4
1 4 1 4 1 4
3 1 4 7 3 51.95
1 4 1 4 2 4
z j z j
j
z j z j
j
z zA z j
z j z j z j
jA j e
j j
z zA z j
z j z j z j
jA j e
j j
120 1201.95 1.95
( )1 4 1 4
j je eG z
z j z j
1 2
2
( ) 3 7 3 7( )
( ) 1 4 1 4 1 4 1 42 17
N z z z k kG z
D z z j z j z j z jz z
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Para el caso de la Transformada Z inversa al aplicar el teorema del residuo o fracciones parciales
recordar X (z) deberá ser una función racional y a la vez que primero se debe verificar si X(z) es una
fracción propia o impropia, es decir que la mayor potencia la debe poseer el denominador en cuyo
caso se trata te fracciones propias, en el caso de tener fracciones impropias es necesario realizar
primero la respectiva división polinomial.
10 1
11
...( )( )
( ) 1 ...
MM
NN
b b z b zN zX z
D z a z a z
Una Función impropia se da cuando (M≥N) se puede representar como la suma de un polinomio y
una función propia racional:
3 2 1
2 1
3 2 1 2 1
3 2 1 1
2 1
2 1
1
1 113 1
3 6( )1 5
16 6
1 11 1 53 1 1
3 6 6 6
1 52 2 1
3 3
11
61 5
16 6
1
6
z z zX z
z z
z z z z z
z z z z
z z
z z
z
Es necesario de asegurar de que el residuo posea menor orden del cociente, en este caso X(z)
resultará ser:
1
1
2 1
16( ) 1 2
1 51
6 6
zX z z
z z
Ahora ya sobre esta fracción se puede aplicar el método
de fracciones parciales.