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fernando
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solución ejercicios 1 semestre ingeniería civil
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Fracciones Algebraicas.
Simplificación Una Fracción está reducida a sustérminos más sencillos, o totalmente simplificada, cuando no hay ningún factor común al numerador y al denominador.
a c
a *
c a bc b c
bMultiplicación El producto de dos fracciones
algebraicas es otra fracción cuyo numerador y denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Es decir:
a
c ad b d
bcDivisión El cociente de dos fracciones es
igual al producto del dividendo por el recíproco del divisor; esto es:
a
c
a
d ad b d b c
bcSuma y Resta Si dos fracciones tienen
denominador común, entonces su
suma o diferencia se obtiene como:
a
b
a b
m m m
Este método puede utilizarse para obtener la suma algebraica de tres o más fracciones que tengan un denominador común.
Si dos o más fracciones no tienen un denominador común, entonces, pueden ser transformadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar como en el caso anterior. Sia y b son diferentes, entonces,
a
c
ad
bc
ad bc
b d bd bd bd
Al transformar dos o más fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominador común, conviene usar su menor denominador común; esto es el M.C.M. de los denominadores.
TABLA DE PRODUCTOS NOTABLES:
a b2 Binomio al Cuadrado a 2 2ab b 2
a b2 Binomio al cuadrado a 2 2ab b 2
a ba b Binomios Conjugados a 2 b 2
a b3 Cubo de un Binomio a3 3a 2b 3ab2 b3
a b3 Cubo de un Binomio a3 3a 2b 3ab2 b3
x ax b Producto de dos Binomio x 2 a bx ab
a ba 2 ab b 2 Diferencia de Cubos a 3 b3
a ba 2 ab b 2 Suma de Cubos a 3 b3
a b c2 Cuadrado de un Trinomio a 2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc
CASOS DE FACTORIZACIÓN:
Factor Común 4xy 8xy 2 2x 2 y 2xy(2 4 y x)
Trinomios CuadradosPerfectos
a 2 2ab b 2 (a b) 2
a 2 2ab b 2 (a b) 2
Factorización de otrosProductos Notables
a 2 b 2 a ba ba 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b3
a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b3
a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 a 3 b 3 a ba 2 ab b 2
Trinomio de la forma
x 2 bx c
x 2 5x 6 x 2x 3
El signo del primer paréntesis, es el signo del coeficiente de x.
El signo del segundo paréntesis es el producto del coeficiente de x con el término independiente.
Se buscan dos números tales que la suma sea -5 y el producto sea 6.
Trinomio cuadrado de Para factorizar este trinomio, se puede aplicar la
la forma ax 2 bx c conocida fórmula cuadrática:
√ ⟨De manera que la factorización del polinomio
sería:
( )( )
Ejemplo1:
Factorizar e l trinomio cuadrado 3x2+ 4x+1,
Solución:
Se a a=3, b=4 y c=1
√ ( )( ) √ √⟨( )Por lo tanto x1= -1/3 y x2=-1, e ntonces la factorización de l polinomio indicado e s:
( ) ( )
2 y 3
EJEMPLO 2:
Factorizar comple tame nte la e xpre sión
x 4 81y 4 .
Solución:
x 4 81y 4 x 2 2 9 y 2
2
Utilizando Dife re ncia de cuadrados
x 2 9 y 2 x 2 9
y 2 Utilizando nue vame nte dife re ncia de cuadrados
EJEMPLO 3:
Simplifique la e xpre sión:
20x 4 14x 3 2x 2
10x 4 17 x 3 3x 2
Solución: Prime ro se factoriza comple tamente e l nume rador y e l de nominador, lue go se cance lan los factore s comune s e ntre e llos:
20 x 4 14 x 3 2 x 2 x 2 20x 2 14x
2x 2 5x 14x 2
4 x 2 1
10x 4 17 x 3 3x 2
x 2 10x 2 17 x 3
x 2 5x 12x 3
2x 3
Si x 0 y x , e sto porque hace n e l de nominador ce ro.5
Este término se obtuvo aplicando factor común.
Estos dos trinomios cuadrados se factorizan aplicando la fórmula cuadrática expuesta en el ejemplo 1
Cuando ya se tiene la expresión completamente factorizada, se cancelan los factores comunes.