Ejercicios engranes de dientes rectos para disenho de maquinas

Ejercicios resueltos de engranes

16 de mayo de 2010

Nicols Franco - Rodrigo Lebrn - Carolina Pineda - Jos Snchez

1

1. Engranes Rectos

1. Un engrane con 40 dientes, un pin con 16 dientes, un paso diametral de 2 pulgadas y un

ngulo de presin de 20.

Ejemplo 14.3 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.

Hallar

1. Determine el paso circular pc, la distancia central cd y el radio base para el pin rbg y elengrane rbp.

a) Si la distancia central se incrementa 0.25 pulg, encuentre los dimetros de paso para el

engrane y el pin pd, y el ngulo de presin .

Datos

Ng = 40 Nmero de dientes en el engrane

Np = 16 Nmero de dientes en el pin

pd = 2 pulg1Paso diametral

= 20 ngulo de presin

Solucin

a) Primero se determina el paso circular pc = pi/pd = pi/2 pulg = 1, 571 pulg.

Los dimetros de paso del engrane y pin son

dg =Ngpd

=40

2= 20 pulg

dp =Nppd

=16

2= 8 pulg

La distancia central es

cd =(dp + dg)

2=

(8 + 20)

2= 10 pulg

Los radios de los crculos de base para el pin y el engrane son

rbp =dp2cos =

8

2cos20=3,759 pulg

rbg =dg2cos =

20

2cos20=9,397 pulg

b) Si la distancia central se incrementa 0.25 pulg,

cd = 14, 25 pulg

Este valor corresponde a un incremento de 1,79% en la distancia central. Pero

cd =(dp + dg)

2= dp + dg = 2(14, 25) = 28, 5 pulg (1)

2

Podemos encontrar otra relacin de la ecuacin del mdulo

m =dgNg

=dpNp

16dp

=40

dg(2)

De esta forma se tienen dos ecuaciones y dos incgnitas. De la Ecuacin 1

dp = 28, 5 dg (3)Sustituyendo la Ecuacin 3 en la Ecuacin 2 se obtiene

1628,5dg =

40dg

16dg = 40(28, 5) 40dg

56dg = 1114

dg = 20, 36 pulg (4)

Sustituyendo la Ecuacin 4 en la Ecuacin 1 se obtiene

dp = 28, 5 20, 36 = 8, 143 pulg (5)Se determina el paso diametral

pd =Npdp

=16

8, 143= 1, 965 pulg

Tambin,

pd =Ngdg

=40

20, 36= 1.965 pulg

Se obtienen el paso circular

pc =pi

pd=

pi

1, 965= 1, 599 pulg

Cambiando la distancia central no afecta al crculo base del pin o del engrane. De

esta forma, el ngulo de presin es

= arc cos

(rbprp

)= arc cos

(3, 7598,1432

)= 22, 60

Tambin

= arc cos

(rbgrp

)= arc cos

(9, 36720,362

)= 22, 60

As, un incremento de 1,79% en la distancia central da como resultado un incremento

en el ngulo de presin de 2,60

3

2. En la Figura 1 se presenta el pin A y el engrane B. El pin A gira a 1750 rpm, impulsado

directamente por un motor elctrico. La mquina es una sierra industrial que requiere una

potencia de 25 hp.


Figura 1: Tren de engranajes utilizado en el ejemplo 2

Hallar

a) Calcule el esfuerzo debido a la exin en el pin tp y en el engrane tg.

Datos



pd = 8 pulg Paso diametral

bw = 1, 5 pulg Ancho de la cara

Qv = 6 Nmero del nivel de precisin de la transmisin

Nap = 1750 rpm Velocidad de rotacin del pin

hp = 25hp Caballos de fuerza transmitidos

4

Solucin

Se determina el dimetro de paso del pin

dp =Nppd

=20

8= 2, 5 pulg

La velocidad en la lnea de paso, en pies por minuto, es

vt =pidpNap

12=pi(2, 5)(1750)

12= 1145 pies/min

Se halla la fuerza transmitida

Wt =126050hpdpNap

=126050(25)

(2, 5)(1175)= 720, 3 lbf

De la Figura 2 los factores geomtricos para el pin y el engrane son

Yjp = 0, 34

Yjg = 0, 42

La ecuacin que proporciona el esfuerzo exionante para el pin es

tp =WtpdKaKsKm

bwYjpKv=

(720, 3)(8)(1, 0)(1, 18)

(1, 5)(0, 34)(0, 68)= 29410 psi

Donde

Ka = 1, 5 Factor de aplicacin, se obtiene de la Figura 3 para un motor elctrico de op-eracin suave y uniforme, el cual acciona un sierra industrial que genera un im-

pacto moderado

Ks = 1, 0 Factor de tamao, se obtiene de la Figura 4 para un paso diametral de 8 pulg

Km = 1, 18 Factor de distribucin de carga, se obtiene de la Figura 5 para una razn bw/d =0, 6

Kv = 0, 68 Factor dinmico, se obtiene de la Figura 6 para vt = 1145 pies/min y para Qv = 6

Para el esfuerzo exionante para el engrane se obtiene de la misma frmula, los factores de

correccin son los mismos por lo que la expresin sera

tg = tpYjp/Yjg = 29410(0, 34)/0, 42 = 23810 psi

El esfuerzo siempre ser mayor en el pin que en el engrane.

De la Figura 7 podemos notar que el esfuerzo exionante sobre el pin es menor que el

perm (la curva empieza aproximadamente en 25 ksi ) y sabiendo que el factor de seguridadesta dado por la expresin n = perm/, el factor de seguridad sera mayor que 1.

5

3. Un pin de 18 dientes gira a 1500 rpm, se acopla con un engrane de 72 dientes y transere

una potencia de 3,2 kW. El mdulo es de 4 mm y el ngulo de presin es de 20. Si los

engranes estn hechos de acero con una resistencia a la uencia de 720 MPa.

Problema 14.39 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.

Hallar

a) Determine el ancho de la cara bw para un factor de seguridad n = 5.

b) El esfuerzo de contacto entre los dientes de acoplamiento c.

Datos



m = 4mm Mdulo

Sy = 720Mpa Resistencia a la uencia

Nap = 1500 rpm Velocidad de rotacin del pin

H = 3, 2 kW Potencia transmitida

= 20 ngulo de presin

n = 5 Factor de seguridad

Solucin

a) El esfuerzo de exin para un factor de seguridad 5 y una resistencia a la uencia 720

MPa viene dado por la siguiente expresin

tp =Wtpdbw

KaKsKmKvYj

=Syn

=720

5= 144MPa

El dimetro del engrane es dg = Ngm = (72)(4) = 288mm, el del pin es dp = Npm =(18)(4) = 72mm, y para 1500 rpm y 3,2 kW, la carga tangencial transmitida en el pinsera de

Wt =60 103HpidpNap

= 566N

El paso diametral es

pd = 1/m = 1/0, 004m = 250m1

Con la carga tangencial y el paso diametral podemos continuar con la primera ecuacin

para obtener bw

144MPa =Wtpdbw

KaKsKmKvYj

144MPa =(566)(250)

bw

(1)(1)Km(0, 625)(0, 325)

= bw = 4, 84mmKm

Donde

6

Yjp = 0, 325 Factor geomtrico para el pin, se obtiene de la (Figura 2) , pues su ngulode presin es 20, para Np = 18 y Ng = 72.

Ka = 1, 0 Factor de aplicacin, se obtiene de la Figura 3 asumiendo carga uniforme.

Ks = 1, 0 Factor de tamao, se obtiene de la Figura 4 para un m = 4 < 5.

Kv = 0, 625 Factor dinmico, se obtiene de la Figura 6 para vt = piNapdp = pi(1500 rpm)(

72mm1225,4

)=

1113 pies/min y para Qv 5 suponiendo un engrane comercial sencillo.Buscando un valor razonable para Kmen la Figura 5 vemos que 1, 0 Km 1, 8por lo que bw ser pequea. As que tomamos Km = 1, 1 y bw = 5, 324mm o 6mmredondeando.

b) Para determinar el esfuerzo de contacto primero se debe hallar

1

Rx=

(1

dp+

1

dg

)2

sen=

(1

72+

1

288

)2

sen20

Rx = 9, 85mm

Luego, sabiendo que para el acero E = 207GPa y = 0, 3, se determina

E =2

12aEa

+12bEb

=E

1 2 =207

1 0, 32 = 227GPa

Con los valores hallados de E'y Rx

W =W

bwERx=

(Wtcos

)bwERx

=

(566

cos20

)(0, 006)(227 109)(0, 00985) = 4, 49 10

5

El esfuerzo de contacto esta dado mediante la frmula

c = E(W

2pi

KaKsKmKv

)1/2Los coecientes son los mismo que se utilizaron en la parte a)

c = (227 109)(4, 49 105

2pi

(1)(1)(1, 1)

(0, 625)

)1/2= 767MPa

7

2. Engranes Helicoidales

1. Un engrane involuto impulsa una centrfuga de alta velocidad. La velocidad de la centrfuga

es de 18000 rpm, y es impulsada por un motor electrco de 300 rpm a travs de una caja de

velocidades de multiplicacin 6:1. El pin tiene 21 dientes, y el engrane 126, con un paso

diametral de 14 por pulgada. El ancho de los engranes es de 1.8 pulg y el angulo de presin

es 20.


Hallar

a) La razn de contacto del engrane para un engrane recto.

b) La razn de contacto del engrane para un engrane elicoidal con un ngulo de hlice de

30. Tambin encuentre el ngulo de la hlice si la razn de contacto es 3.

Solucin

a) Engrane recto: El paso circular es

pc = pi/pd = pi/14 = 0, 224 pulg = 5, 700mm

.

La distancia central es

cd =dp + dg

2=Np +Ng2 pd

= 5, 25 pulg = 133, 4mm

Los radios de los crculos de paso para le pion y el engrane son

rp =Np2 pd

=21

2(14)= 0, 75 pulg

rg =Ng2 pg

=126

2(14)= 4, 5 pulg

Luego se obtienen los radios de los crculos de la base para el pin y el engrane

rbp = rpcos = 0, 75 cos20=0,7048 pulg = 17, 90mm

rbg = rgcos = 4, 5 cos20=4,2286 pulg = 107, 4mm

Los radios exteriores para el pin y el engrane son

rop = rp + a = rp +1

pd=0,75+

1

14pulg = 0, 8214 pulg = 20, 86mm

rog = rg + a = rg +1

pd= 4, 5 +

1

14=4,5714 pulg = 116, 1mm

La razn de contacto para el engrane recto es

Cr =1

(0, 2244) cos20

[(0, 8214)

2 (0, 7048)2 +(4, 571)

2 (4, 229)2]5, 250 tan20

0, 2244

8

b) Engrane helicoidal: La razn de contacto total para un engrane helicoidal esta dada por:

Crt = Cr + Cra = 1, 712 +(1, 8) tan30

0, 2244= 6, 343

Para obtener una razn de contacto de 3, el ngulo de la hlice tiene que ser tal que

Cra =bw tanpc

= 3, 00 1, 712 = 1, 288

tan = (1, 288) (0, 2244) /1, 8 = 9, 122

Por lo tanto el ngulo de la hlice debe ser de 9,122 para obtener una razn de contacto

de 3.

9

2. Un engranaje helicoidal comercial tiene un ngulo de presin normal de 14 , un ngulo de

hlice de 45, un paso diametral transversal de 6 dte/in y 18 dientes

Hallar

a) Dimetro de paso

b) Los pasos circulares transversal, normal y axial

c) El paso diametral normal

d) El ngulo de presin transversal

Solucin

a) Dimetro de paso

d =N

Pt

d =18

6

d = 3 pulg

b) Paso transversal

pt =piPt

pt =pi6

pt = 0, 5236 pulg

c) Paso diametral normal

Pn =Ptcos

Pn =6

cos45

Pn = 8, 485 dientes/pulg

d) El ngulo de presin transversal

t = tan1 tann

cos

t = tan1 tan14, 5

cos45

t = 20, 09

10

3. Un pin helicoidal con un ngulo de paso normal de 20, de 17 dientes, con un ngulo de la

hlice de 30 a la derecha, gira a 1800 rpm cuando trasmite 4HP a una corona helicoidal de 52

dientes. El paso diametral normal es de 10 dientes/pulg, el ancho de la cara es de 1,5 pulg. Y

el juego de engrane tiene un nmero de calidad de 6. Los engranes estn montados separados

por cojinetes inmediatamente adyacentes. El pin y la correa son de acero endurecido com-

pletamente con dureza supercial y del nucleo de 240 Brinell en el pin, y dureza supercial

y en el nucleo de 200 Brinell para la corona. La transmisin es uniforme y con esta un motor

elctrico y una bomba centrfuga. Suponga una vida del pin de 108ciclos, una conabilidadde 0,9 y utilice las curvas superiores de las Figura 11 y Figura 12.

Ejemplo 14.5 Texto: Diseo en Ingenieria Mecnica Autores: SHIGLEY, MISCHKE.

Hallar

Los factores de seguridad de los engranes en exin.

Solucin

Factor de sobrecarga Ko = 1, YP = 0, 303, YG = 0, 412

Pt = Pn cos = 10 cos30 = 8, 66 dientes/pulg

dP = NP /Pt = 17/8, 66 = 1, 963 pulg

dG = (52/17) 1, 963 = 6, 004 pulg

mG = 52/17 = 3, 06

La velocidad en la linea de paso es

V =pi dP nP

12=

pi (1, 963) 180012

= 925 pies/min

W t =33000 (4)

925= 142, 7 lbf

Factores dinmicos

B = 0, 25 (12 6) 23 = 0, 8255A = 50 + 56 (1 0, 8255) = 59, 77

KV =

(59, 77 +

925

59, 77

)0,8255= 1, 404

ngulo de presin transversalt = tan1(tanncosy

)= tan1

(tan20cos30

)= 22, 796

Los radios del pin y la corona son

rP = dP /2 = 1, 963/2 = 0, 9815 pulg

,

rG = 3, 06 (0, 9815) = 3, 004 pulg

La cabeza es

a = 1/Pn = 1/10 = 0, 1 pulg

11

Los radios del crculo de base del pin y la rueda son

(rb)P = rP cost = 0, 9815 cos22, 796 = 0, 9048 pulg

(rb)G = rG cost = 3, 004 cos22, 796 = 2, 769 pulg

El factor geomtrico de la resistencia supercial es

Z =

(rP + a)

2 r2bP +(rG + a)

2 r2bG (rP + rG) sent

Z =

(0, 9815 + 0, 1)

2 0, 90482+(3, 004 + 0, 1)

2 2, 7692(0, 9815 + 3, 004) sen22, 796Z = 0, 5924 + 1, 4027 1, 54427 = 0, 4509 pulgComo los dos primeros trminos son menores que 1,54427, la ecuacin para Z es correcta. El

paso circular normal es

pN = pn cosn =piPn

cos20 =pi10cos20 = 0, 2952 pulg

La relacin de distribucin de carga es

mN =pN

0, 95Z=

0.2952

0, 95 (0, 4509)= 0, 6891

El factor geomtrico

I =cost sentmG2mN (mG + 1)

I =sen22, 796 cos22, 796 3, 06

2 (0, 6891) (3, 06 + 1)

I = 0, 195

De la Figura 8, los factores geomtricos

JP = 0, 45

y

JG = 0, 54

Asimismo, de la Figura 9 los multiplicadores del factor J son 0,94 y 0,98

JP = 0, 45 (0, 94) = 0, 423

JG = 0, 54 (0, 98) = 0, 529

Factores de tamao

Ks =1

kb= 1, 192

(FY

P

)0.0535

(Ks)P = 1, 192

(1, 50, 303

10

)0.0535= 1, 043

(Ks)G = 1, 192

(1, 50, 412

10

)0.0535= 1, 052

Factor de distribucin de carga

Cpf =F

10d 0, 0375 + 0, 0125F

12

Cpf =1, 5

10 1, 963 0, 0375 + 0, 0125 1, 5 = 0, 0577

de la Figura 10

Cmc = 1

Cpm = 1

Cma = 0, 15

Ce = 1

Km = Cmf = 1 + Cmc (CpfCpm + CmaCe)

Km = 1 + (1) (0, 0577 (1) + 0, 15 (1)) = 1, 208

Los factores de los ciclos de esfuerzo en exin son

(YN )P = 1, 558(108)0,0178 = 0, 977

(YN )G = 1, 558(108

/3, 06)0,0178 = 0, 996

El factor de conabilidad esta dado por

Kr = 0, 0657 0, 0759 ln(1 0, 9) = 0, 833KT = 1

Cf = 1

Las resistencias AGMA para 107ciclos y conabilidad de 0,99 se dan mediante

(St)P = 77, 3(240) + 12800 = 31352 psi

(St)G = 77, 3(200) + 12800 = 28260 psi

Flexin del diente del pin

v =W tKoKV Ks

PdF

KmKBJ

v = 142, 7(1)1, 404(1, 043)8, 66

1, 5

1, 208(1)

0, 423= 3446 psi

vperm =31352(0, 977)

(1)0, 833= 36773 psi

(SF )P =36773

3446= 10, 7

Flexin del diente del engrane

v = 142, 7(1)1, 404(1, 052)8, 66

1, 5

1, 208(1)

0, 529= 2778 psi

vperm =28260(0, 977)

(1)0, 833= 33145 psi

(SF )G =33145

2778= 11, 9

13

3. Engranajes cnicos

1. Un motor gira a 1160 rpm impulsa a un transportador por medio de engranajes cnicos

rectos con 19 y 58 dientes, M = 4,D = 7, 6 cm, D% = 23, 2 cm, b = 3, 5 cm. El material delos engranages es AISI 3140, QT(tempaldo y revenido) para 300 HBN. El pion est motado

en voladizo y la rueda est montada entre dos soportes. El servicio es tal que se aplica un

factor de servicio Nsf = 1, 2; la temperatura de funcionamiento en normal.

Ejemplo Capitulo 15 Texto: Diseo de Elmentos de Mquinas Autor: V.M.FAIRES

Hallar

Que potencia mxima puede ser transmitida para duracin innita?

Datos

N = 58 Numero de dientes del engrane

N = 19 Nmero de dientes del pion

D = 7, 6 cm Diametro primitivo del pion

M = 4 Modulo(razn de paso sobre el nmero de dientes)

Nsf = 1, 2 Factor de servicio

b = 3, 5 cm Anchura de la cara

D% = 23, 2 cm Dimetro del engrane

Solucin

Para la determinacin de la potencia debemos utilizar la ecuacin

Ft =4500CV

vm

Donde

CV Es la potencia en CV transmitida

vm El la velocidad en la circunferencia primitiva

Ft Carga transmitida

Entonces resolviendo para CV se tiene

CV =Ftvm4500

Se determina la velocidad en la circunferencia primitiva con la frmula

vm = piDn = pi(7, 6

100)(1160) = 276mpm

Se calcula el el coecente de velocidad reducido para engranajes rectos con la frmula

V F =27, 6 +

vm

27, 6=

27, 6 +276

27, 6= 1, 6

14

La carga dinmica se puede hallar en funcin de la carga transmitida.

Fd = (V F )NsfKmFt

Km = 1.15 Coeciente de distribucin de carga, se determina de la seccin 15.6 del texto setiene para un engraje montado en la entre dos soportes y el otro no

Nsf = 1, 2 Factor de servicio

Ft Carga transmitida

Se tiene

Fd = 1, 6 1, 2 1, 15Ft = 2, 20FtPara la determinacin de Ftse debe igualar la carga dindinmica con la carga el el factorque determina la vida indenida que puede ser la resistencia a la fatiga o la resistencia al

desgaste.

La resistencia a la fatiga dada por la ecuacin

Fs =sdbjM

10

KlKsKtKr

Donde

sb = 1335 esfuerzo de exin de clculo, depende de la dureza del material(300 BHN)

b = 3, 5 Anchura de la cara en centmetros

j = 0, 2 es el coeciente geomtrico, se determina de la Figura 14

M = 4 Modulo(razn de paso sobre el nmero de dientes)

Kl = 1 coeciente de duracin para una vida innita

Ks = 0, 629 coeciente de tamao para M = 4

Kt = 1 coeciente de temperatura se toma el valor para t < 70oC

Kr = 1, 1 coeciente de seguridad funcional para para alta seguridad

Entonces tenemos

Fs =1335 3, 5 0, 2 4

10

1

0, 629 1, 1 = 540 kg

La resitencia a la fatiga esta dada por la ecuacin

Fw = DbIs2cdC2e

(Cl

KtCr

)2 103

Donde

D = 7, 6 cm Diametro primitivo del pion

b = 3, 5 cm Anchura de la cara

I = 0, 082 coeciente geomtrico para desgaste, se determina de la Figura 13

s2cd = 90 106esfuerzo de contacto de clculo, se determina en la Tabla 1para 300 BHNCe = 551 106 Coeente elstico, se determina en la Tabla 2 del texro para una combinacinde acero con acero

Cl = 1 Coeciente de duracin o vida para vida innita

Kt = 1 coeciente de temperatura se toma el valor para t < 70oC

15

Cr = 1, 1 Coeciente de seguridad funcionalpara alta seguridad

Fw = 7, 6 3, 5 0, 081 90106551106 (

11,1

)2 103 = 291 kg

Como Fw < Fs, el factor que determina la vida indenida es el desgaste.Por lo tanto se igualaFw = Fd y se determina Ft

Fd = 2, 20Ft

Ft = 132 kg

Con lo que la potencia

CV =Ftvm4500

=132 276

4500= 8, 09CV

16

4. Tablas y Curvas

4.1. Engranajes rectos

Figura 2: Factores de geometra de un engrane recto para un ngulo de presin de 20 e involuta

de profundidad completa [AGMA Standard 1012-F90, Gear Nomenclature, Denitions of Terms

with Symbols,1998]

Figura 3: Factor de aplicacin como funcin de la fuente de potencia impulsora y de la mquina

impulsada

17

Figura 4: Factor de tamao como funcin del paso diametral o mdulo

Figura 5: Factor de la distribucin de la carga como una funcin del ancho de la cara y de la razn

Figura 6: Factor dinmico como una funcin de la velocidad en la lnea de paso y del nmero de

nivel de precisin de la transmisin.

18

Figura 7: Efecto de la dureza Brinell sobre el esfuerzo exionante permisible para dos grados de

acero endurecido en la masa.

19

4.2. Engranajes Helicoidales

Figura 8: Factores Geomtricos J

Figura 9: Multiplicadores del factor de geometra

20

Figura 10: Factor de distribucin de carga

Figura 11: Factor de ciclos de esfuezo repetidamente aplicados de resistencia a la fexin YN .

Figura 12: Factor de ciclos de esfuerzo de resistencia a la picadura ZN

21

4.3. Engranajes cnicos

Figura 13: Coeciente geomtrico I para engranajs cnicos de dientes rectos

22

Figura 14: Coeciente geomtrico j para engranajs cnicos de dientes rectos

Cuadro 1: Esfuerzo de contacto de clculo

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Cuadro 2: Coecientes elsticos

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Engranes RectosEngranes HelicoidalesEngranajes cnicosTablas y CurvasEngranajes rectosEngranajes HelicoidalesEngranajes cnicos

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Ejercicios engranes de dientes rectos para disenho de maquinas