Ejercicios de libro de FISICA TIPPENS(capitulo 13)

7/17/2019 Ejercicios de libro de FISICA TIPPENS(capitulo 13)

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274 Capítulo 13 Elasticidad

(a) Dureza (b) Ductilidad (c) Maleabilidad

Figura 13 .8 Ejemplos de las propiedades de trabajo de los metales: (a) un metal duro resiste la penetración,

(b) un metal dúctil puede estirarse en forma de alambre, y (c) un metal maleable puede laminarse en hojas.

y el cobre son sumamen te dúctiles. La maleabilidad es la propiedad que nos permite martillar

o doblar los metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La

mayoría de los metales son maleables y el oro es el más maleable de todos.

La conductividad se refiere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la elec-

tricidad a través de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio,

en ese orden. Se examinará con mayor detalle esta propiedad en capítulos posteriores.



esumen y repaso

ResumenEn la industria se deben utilizar los materiales en forma eficaz,y para las situaciones apropiadas. Si no es así, habrá fallas enlos metales que darán lugar a daños costosos o lesiones graves

entre los empleados. En este capítulo hemos expuesto las propiedades elásticas de la materia y algunas de las fórmulas quese emplean para predecir los efectos del esfuerzo sobre ciertossólidos. Los siguientes puntos resumen este capítulo:

• Según la ley de Hooke, un cuerpo elástico se deforma ose alarga en una cantidad 5 cuando se le aplica una fuerzaF. La constante de proporcionalidad k es la constante de

elasticidad:

F = ks k = — Ley de Hooke s

El esfuerzo es la relación entre una fuerza aplicada y elárea sobre la cual actúa. La deformación es el cambio re-lativo de dimensiones resultante del esfuerzo.

Por ejemplo,

Esfuerzo longitudinal =

Deformación longitudinal =

F

A

A[

l

El módulo de elasticidad es la relación constante entre elesfuerzo y la deformación:

esfuerzo

Módulo de elasticidad = deformación

El módulo de Young Y permite calcular deformacioneslongitudinales:

El esfuerzo cortante se presenta cuando se produce unadeformación angular </>:

F/A S = ~ ~ Módulo de corte

d/l

Siempre que la aplicación de un esfuerzo provoca uncambio de volumen AV, es necesario aplicar el módulo volumétrico B, el cual se calcula con la expresión

B = - F/A

Ay /y Módulo volumétrico

El recíproco del módulo volumétrico se conoce comocompresibilidad.

Conceptos clavecohesión 273constante elástica 266cuerpo elástico 266deformación 266ductilidad 273

dureza 273

elasticidad 266

esfuerzo 266esfuerzo cortante 267esfuerzo de compresión 267esfuerzo de tensión 267ley de Hooke 266límite elástico 267

maleabilidad 273

módulo de corte 271módulo de elasticidad 268módulo de rigidez 271módulo de Young 269módulo volumétrico 272resistencia límite 267

Preguntas de repaso13.1.

13.2.

Explique con claridad la relación entre esfuerzo y

deformación.Dos alambres tienen la misma longitud y área ensección transversal, pero no son del mismo mate-rial. Ambos alambres cuelgan del techo y tienen

13.3.

atado un peso de 2000 Ib cada uno. El alambre de laizquierda se estira dos veces más que el de la dere-cha, ¿cuál de ellos tiene mayor módulo de Young?¿El módulo de Young depende de la longitud y delárea de la sección transversal? Explique su respuesta.

275



13.4. Dos alambres. A y B, son del mismo material y es-tán sometidos a las mismas cargas. Comente cuá-les serán sus alargamientos relativos cuando: (a) elalambre A tiene el doble de longitud y de diámetroque el alambre B, y (b) el alambre A tiene el doble

de longitud que el alambre B y su diámetro es iguala la mitad del diámetro del alambre B.

13.5. Después de estudiar las diversas constantes elásti-cas que se presentan en las tablas 13.1 y 13.2, ¿quédiría usted que es más fácil: estirar un material ocortarlo? Explique su respuesta.

13.6. Una masa de 200 kg está sostenida de manera uni-forme por tres alambres, uno de cobre, uno de alu-

minio y uno de acero. Si los alambres tienen lasmismas dimensiones, ¿a cuál de ellos correspondeel mayor esfuerzo y a cuál el menor? ¿Cuál de ellossufre la mayor deformación y cuál la menor?

13.7. Comente los diversos esfuerzos que se presentan

cuando un tornillo de máquina se aprieta.13.8. Mencione varios ejemplos prácticos de esfuerzos

longitudinales, cortantes y volumétricos.13.9. Para un metal dado, ¿esperaría usted que hubiera

alguna relación entre su módulo de elasticidad y sucoeficiente de restitución? Comente el tema.

13.10. ¿Qué tiene mayor compresibilidad, el acero o elagua?

ProblemasSección 13.1 Propiedades elásticas de la materia

13.1.

13.2.

13.3.

Cuando una masa de 500 g cuelga de un resorte,éste se alarga 3 cm. ¿Cuál es la constante elástica?

Resp. 163 N/m¿Cuál es el incremento del alargamiento en el resor-te del problema 13.1 si se cuelga una masa adicionalde 500 g debajo de la primera?La constante elástica de un resorte resultó ser de3000 N/m. ¿Qué fuerza se requiere para comprimirel resorte hasta una distancia de 5 cm?

Resp. 150 N13.4. En un extremo de un resorte de 6 in se ha colgado

un peso de 4 Ib, por lo cual la nueva longitud del

resorte es de 6.5 in. ¿Cuál es la constante elástica?¿Cuál es la deformación?13.5. Un resorte en espiral de 12 cm de largo se usa para

sostener una masa de 1.8 kg que produce una defor-mación de 0.10. ¿Cuánto se alargó el resorte? ¿Cuáles la constante elástica? Resp. 1.2 cm, 1470 N /mEn el caso del resorte del problema 13.5, ¿qué masatotal se deberá colgar de él si se desea provocar unalargamiento de 4 cm?

13.6.

Sección 13.2 Módulo de Young

13.7. Un peso de 60 kg está suspendido de un cable cuyo

diámetro es de 9 mm. ¿Cuál es el esfuerzo en estecaso? Resp. 9.24 MpaUn trozo de alambre de 50 cm de longitud se estirahasta alcanzar la longitud de 50.01 cm. ¿Cuál es ladeformación?Una varilla de 12 m está sometida a un esfuerzo decompresión de —0.0004. ¿Cuál es la nueva longitudde la varilla? Resp. 11.995 m

13.10. El módulo de Young de una varilla es de 4 X 1011Pa. ¿Qué deformación resultará con un esfuerzo detensión de 420 Mpa?

13.8.

13.9.

13.11 . Una masa de 500 kg se ha colgado del extremo de

un alambre de metal cuya longitud es de 2 m, y tiene1 mm de diámetro. Si el alambre se estira 1.40 cm,¿cuáles han sido el esfuerzo y la deformación? ¿Cuáles el módulo de Young en el caso de este metal?

Resp. 6.24 X 109 Pa, 7.00 X 103, 8.91 X 1011 Pa13.12. Una viga maestra de acero de 16 ft con área de sec-

ción transversal de 10 in2sostiene una carga de com- presión de 20 toneladas. ¿Cuál es la disminuciónresultante en la longitud de la viga?

13.13 . ¿En qué medida se alarga un trozo de alambre de bronce, de 60 cm de longitud y 1.2 mm de diámetro,cuando se cuelga una masa de 3 kg de uno de susextremos? Resp. 0.174 mm

13.14. Un alambre cuya sección transversal es de 4 mm2 sealarga 0.1 mm cuando está sometido a un peso deter-minado. ¿En qué medida se alargará un trozo de alam-

bre del mismo material y longitud si su área de seccióntransversal es de 8 mm2y se le somete al mismo peso?

13.15. El esfuerzo de compresión del hueso de un muslo

humano de la figura 13.9 se parece al ejercido en la

i?j = 12.5 mm

R . = 6.2 mm

Fig ura 13 .9 Esfuerzo de compresión en el hueso del muslo

(fémur). (Figura po r Hemera, Inc.)

276 Cap ítulo 13 Resumen y repaso



sección transversal de un cilindro hueco. Si el es-fuerzo máximo que puede sostenerse es 172 MPa,¿cuál es la fuerza requerida para romper el hueso ensu parte más estrecha? Use las dimensiones que se

proporcionan en la figura. Resp. 63 .66 kN

Sección 13.3 Módulo de corte

13.16. Una fuerza de corte de 40 000 N se aplica a la partesuperior de un cubo cuyo lado mide 30 cm. ¿Cuál esel esfuerzo cortante en este caso?

13.17. Si el cubo del problema 13.16 es de cobre, ¿cuálserá el desplazamiento lateral de la superficie supe-rior del cubo? Resp. 3.15 ¡im

13.18. Una fuerza de corte de 26 000 N se distribuye de ma-nera uniforme sobre la sección transversal de un alfilerde 1.3 cm de diámetro. ¿Cuál es el esfuerzo cortante?

13.19. Una varilla de aluminio cuyo diámetro es 20 mm

sobresale 4.0 cm de la pared. El extremo de la va-rilla está sujeto a una fuerza de corte de 48 000 N.

Calcule la flexión hacia abajo. Resp. 0.258 mm13.20 . Una varilla de acero sobresale 1.0 in por encima del

piso y tiene 0.5 in de diámetro. La fuerza de corte Faplicada es de 6000 Ib y el módulo de corte es 11.6X 106 lb/in2. ¿Cuáles son los valores del esfuerzo

cortante y la flexión horizontal?13.21. Una carga de 1500 kg está sostenida por un extremo

de una viga de aluminio de 5 m, como se aprecia enla figura 13.10. El área de la sección transversal de laviga es de 26 cm2y el módulo de corte es 23 700 MPa.¿Cuáles son el esfuerzo cortante y la flexión hacia aba-

jo de la viga? Resp . 5.6 5 X 106 Pa, 1.19 m m13.22. Una placa de acero de 0.5 in de espesor tiene una

resistencia límite de corte de 50 000 lb/in2. ¿Quéfuerza se tendrá que aplicar para hacer un orificio de1/4 in que atraviese toda la placa?

5 m

Lñ1500 kg

Figura 13.10

Sección 13.4 Elasticidad de volumen;Módulo volumétrico

13.23. Una presión de 3 X 108 Pa se aplica a un bloquecuyo volumen es 0.500 m3. Si el volumen dismi-nuye en 0.004 m3, ¿cuál es el módulo volumétrico?

¿Cuál es la compresibilidad?Resp. 37 500 MPa, 2.67 X 10" m3/P a 113.24. El módulo volumétrico para un determinado tipo

de aceite es de 2.8 X 1010 Pa. ¿Cuánta presión serequiere para que su volumen disminuya de acuerdocon un factor de 1.2 por ciento?

13.25. Una esfera de latón macizo (B = 35 000 MPa) cuyovolumen es 0.8 m3 se deja caer en el océano hastauna profundidad en la cual la presión hidrostática es20 Mpa mayor que en la superficie. ¿Qué cambio seregistrará en el volumen de la esfera?

Resp. —4.5 7 X 10~4 m313.26. Un fluido en particular se comprime 0.40 por ciento

bajo una presión de 6 MPa. ¿Cuál es la compresibi-lidad de ese fluido?

13.27. ¿Cuál es el decremento fraccional del volumendel agua cuando está sometida a una presión de 15MPa? Resp. 0 .00714

Problemas adicionales13.28. Un alambre de acero de 10 m y 2.5 mm de diámetro

se estira una distancia de 0.56 mm cuando se colocacierta carga en su extremo. ¿Cuál es la masa de esa

carga?

13.29. Una fuerza de corte de 3 000 N se aplica en la super-ficie superior de un cubo de cobre cuyo lado mide40 mm. Suponga queS = 4.2 X 1010Pa. ¿Cuál es elángulo de corte? Resp. 4.46 X 105 rad

13.30. Una columna sólida cilindrica de acero mide 6 m delongitud y 8 cm de diámetro. ¿Cuál es la disminu-ción de la longitud cuando la columna soporta una

carga de 90 000 kg?13.31. Un pistón de 8 cm de diámetro ejerce una fuerza de

2000 N sobre 1 litro de benceno. ¿Cuánto disminuyeel volumen del benceno? Resp. —3.79 X 107 m3

13.32. ¿Cuánto se estirará un trozo de alambre de cobrede 600 mm de longitud y 1.2 mm de diámetrocuando se cuelga una masa de 4 kg de uno de sus

extremos?

13.33. Una columna cilindrica sólida de acero mide 12 ftde altura y 6 in de diámetro. ¿Qué carga debe sopor-tar para que su longitud disminuya —0.0255 in?

Resp. 1.50 X 105 Ib13.34. Calcule la contracción del volumen de mercurio si

un volumen original de 1 600 cm3de este elementose somete a una presión de 400 000 Pa.

13.35. ¿Cuál es el diámetro mínimo de una varilla de bron-ce si tiene que soportar una tensión de 400 N sin quese exceda el límite elástico?

Resp. 1.16 m m

Capítulo 13 Resumen y repaso 277



13.36. Un bloque cúbico de metal con lados de 40 cm so 13.37. Una cuerda de acero para piano tiene una resistencia porta una fuerza de corte de 400 000 N en su borde límite de 35 000 lb/in2 aproximadamente. ¿Cuál essuperior. ¿Cuál es el módulo de corte para este me la mayor carga que puede soportar una cuerda detal si el borde superior se flexiona hasta una distan acero de0.5 in de diámetro sin romperse?cia de 0.0143 mm? Resp. 6868.75 Ib

Preguntas para la reflexión crítica13.38. Un alambre de metal se alarga 2 mm cuando está

sometido a una fuerza de tensión. ¿Qué alargamien-to se puede esperar con esa misma fuerza si el diá-metro del alambre se reduce a la mitad de su valorinicial? Suponga que el alambre de metal conservasu mismo diámetro, pero que su longitud se duplica.¿Qué alargamiento se podría esperar entonces conla misma carga? Resp. 0.500 mm, 4 mm

13.39. Un cilindro de 4 cm de diámetro está lleno de aceite.

¿Qué fuerza habrá que ejercer en total sobre el acei-te para obtener una disminución de 0.8 por cientoen el volumen? Compare las fuerzas necesarias siel aceite se sustituye por agua y si se sustituye pormercurio.

*13.40. Una bola de 15 kg está unida al extremo de un alambre de acero de 6 m de largo y 1.0 mm de diámetro.El otro extremo del alambre está sujeto a un techoelevado y el conjunto constituye un péndulo. Si

pasamos por alto el pequeño cambio de longitud,¿cuál es la rapidez máxima con la cual puede pasarla bola por su punto más bajo sin que se exceda el lí-mite elástico? ¿Cuál será el incremento de longitud

del alambre bajo el esfuerzo limitador? ¿Qué efectotendrá este cambio sobre la velocidad máxima?

Resp. 4.38 m/s, 7.19 mm, un ligero

aumento en la velocidad máxima

13.41. En un cilindro de 10 in de diámetro se vierte glicerina hasta una altura de 6 in. Un pistón del mismo diá-metro empuja hacia abajo el líquido con una fuerzade 800 Ib. La compresibilidad de la glicerina es 1.50X 10~6in2/lb. ¿Cuál es el esfuerzo sobre la gliceri-na? ¿Hasta qué distancia desciende el pistón?

*13.42. La torsión de un eje cilindrico (figura 13.11) hasta unángulo 9 es un ejemplo de deformación por esfuerzo

cortante. Un análisis de la situación muestra que elángulo de torsión en radianes se calcula mediante

2 Ti

9 ~ 77SR 4

Figura 13 .11 Un momento de torsión r aplicado en un extremo de

un cilindro sólido hace que éste se tuerza hasta un ángulo 9.

Si un momento de torsión de 100 Ib • ft se aplica

al extremo de un eje cilindrico de acero de 10 ft delongitud y 2 in de diámetro, ¿cuál será el ángulo detorsión en radianes? Resp. 0.00764 rad

*13.43. Un eje de aluminio de 1 cm de diámetro y 16 cm dealto está sometido a un esfuerzo cortante de torsióncomo se explicó en el problema anterior. ¿Qué mo-mento de torsión ocasionará un retorcimiento de Iosegún se describe en la figura 13.11?

*13.44. Dos láminas de aluminio que forman parte del alade un avión están unidas entre sí con remaches dealuminio cuya sección transversal tiene un área de0.25 in2. El esfuerzo cortante sobre cada remache no

debe ser mayor de la décima parte del límite elásti-co del aluminio. ¿Cuántos remaches se necesitan sicada uno de ellos soporta la misma fracción de unafuerza de corte total de 25 000 Ib?

Resp. 53 remaches

donde r = momento de torsión aplicado

/ = longitud del cilindro

R = radio del cilindro

S = módulo de corte

278 Cap ítulo 13 Resumen y repaso



Movimiento armónico simple

Un trampolín ejerce una

fuerza de restauración

sobre la persona que

salta directamente

proporcional a la fuerza

media necesaria para

desplazar la colchoneta. El

movimiento hacia adelante

y atrás debido a las fuerzas

de restitución suministrala energía necesaria para

el movimiento armónico

simple. (Fotografía de

Mark Tippens.)

ObjetivosCuando termine de estudiar este capítulo el alumno:

1. Definirá el movimiento armónico simple y describirá y aplicará la ley de Hooke

y la segunda ley de Newton para determinar la aceleración en función del des-plazamiento.

2 . Ap licará los principio s de conservac ión de la energía mecá nica para una masa

que se desplaza con movimiento armónico simple.

3 . Usará el círculo de referencia para descr ibir la variación de la magnitud y di-

rección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración para el movimiento

armónico simple.

4 . Escribirá y aplicará fórmulas para determ inar el desplazamiento x, la veloc idad

v o la acelerac ión en términos del tiempo, la frecuencia y la amplitud.

5 . Escribirá y aplicará la relación entre la frecuencia del m ovimiento y la masa de

un objeto que vibra, cuando se conoce la constante del resorte.

279



280 Capítulo 14 Movimiento armónico simple

6. Calculará la frecuencia o el periodo en el movimiento armónico simple cuando

se conocen la posición y la aceleración.

7 . Describirá el movim iento de un pénd ulo simple y calculará la longitu d necesa-

ria para producir una determinada frecuencia.

Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de objetos que reciben la influencia de una

fuerza constante e invariable. Describimos ese tipo de movimiento calculando la posición yvelocidad en función del tiempo. Sin embargo, en el mundo real existen fuerzas variables.

Ejemplos muy conocidos de ello son los péndulos oscilantes, las ruedas de compensación o

balance de los relojes, los diapasones, una m asa que vib ra en el extremo de un resorte en es-

pira l y las columnas de aire en v ibración de los instrumentos musicales. En estos y en muchos

otros casos se precisa una descripción más completa del movimiento causado por una fuerzaresultante que varía de forma predecible.

Figura 14.1. Vibración

per iódica de un trampolín.

Movimiento periódico

Siempre que se deforma un objeto, aparece en él una fuerza elástica de restitución propor-cional a la deformación. Cuando la fuerza deja de actuar, el objeto vibra de un lado a otro

respecto de su posición de equilibrio. Por ejemplo, después de que un clavadista salta deltrampolín (figura 14.1), éste continúa vibrando de arriba abajo de su posición normal durante

cierto tiempo.

Se dice que este tipo de movimiento es periódico porque la posición y la velo-

cidad de las partículas en movimiento se repiten en función del tiempo. Puesto que

la fuerza de restitución disminuye después de cada vibración, tarde o temprano eltrampolín volverá al estado de reposo.

El movimiento periódico es aquel en el que un cuerpo se mueve de un lado a

otro, sobre una trayectoria fija, y regresa a cada posición y velocidad después

de un intervalo de tiempo definido.

Una mesa de aire es un aparato de laboratorio sobre el que los objetos se deslizan con

muy poca fricción. Suponga que fijamos un extremo de un resorte ligero a la pared y el otro

a un disco circular libre para deslizarse sobre esa mesa, como se muestra en la figura 14.2.

Denotaremos su posición inicial de equilibrio con x = 0, y luego estiraremos el resorte a laderecha una distancia x = A. Al soltarlo, se observa que el disco oscila de un lado a otro por

la posición de equilibrio con fricción despreciable. De acuerdo con la ley de Hooke (véase el

capítulo anterior), la fuerza de restitución F es directamente proporcional al desplazamiento a

Mesa de aire

Presión del aire

+A

F= -kx

III

. . ] ri

i k

___________________

_____________________________

__________

~ ~ l I

III

----------

X

Figura 14.2. Un disco unido a un resorte oscila a un lado y otro sobre una mesa de aire, lo que ejemplifica

el movimiento armónico simple.

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