Capítulo 26A - CapacitanciaCapítulo 26A - CapacitanciaPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

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Objetivos: Objetivos: Después de completar Después de completar este módulo deberá:este módulo deberá:

• Definir la Definir la capacitanciacapacitancia en términos de carga en términos de carga y voltaje, y calcular la capacitancia para un y voltaje, y calcular la capacitancia para un capacitor de placas paralelascapacitor de placas paralelas dados la dados la separación y el área de las placas.separación y el área de las placas.

• Definir la Definir la constante dieléctricaconstante dieléctrica y aplicarla a y aplicarla a cálculos de voltaje, intensidad de campo cálculos de voltaje, intensidad de campo eléctrico y capacitancia.eléctrico y capacitancia.

• Encontrar la Encontrar la energía potencialenergía potencial almacenada almacenada en capacitores.en capacitores.

Máxima carga sobre un Máxima carga sobre un conductorconductor

TierraBatería Conductor

- - - - ---- -- - - - -e-e-

Una Una bateríabatería establece una diferencia de potencial que establece una diferencia de potencial que puede bombear electrones puede bombear electrones ee-- de una de una tierratierra (Tierra) a un (Tierra) a un conductorconductor

Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe

cierta capacidad para retener carga.

Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe

cierta capacidad para retener carga.

CapacitanciaCapacitancia

La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.

La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.

TierraBatería Conductor

- - - - ---- -- - - - -e-e-

Capacitancia:

Q, V

Unidades: Coulombs por voltVQ

C =

Capacitancia en faradsCapacitancia en faradsUn Un farad (F)farad (F) es la capacitancia es la capacitancia CC de un conductor que de un conductor que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.

(C); (F)

(V)

Q coulombC farad

V volt= =

Ejemplo:Ejemplo: Cuando 40 Cuando 40 µµC de carga se colocan en un C de carga se colocan en un conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?capacitancia?

40 C

8 V

QC

V

µ= = C = 5 µFC = 5 µF

Capacitancia de conductor esféricoCapacitancia de conductor esférico

+Qr

E y V en la superficie.

En la superficie de la esfera:En la superficie de la esfera:

2;

kQ kQE V

r r= =

0

1

4k

πε=Recuerde:Recuerde:

04

kQ QV

r rπε= =Y:Y: Capacitancia:Capacitancia:

QC

V=

04

Q QC

V Q rπε= =

04C rπε=

Capacitancia, C

Ejemplo 1:Ejemplo 1: ¿Cuál es la capacitancia de ¿Cuál es la capacitancia de una esfera metálica de 8 cm de radio?una esfera metálica de 8 cm de radio?

r = 0.08 m

Capacitancia, C

+Qr

Capacitancia: C = 4Capacitancia: C = 4πεπεοοrr

2-12 C

N m4 (8.85 x 10 )(0.08 m)C π ⋅=

C = 8.90 x 10-12 FC = 8.90 x 10-12 F

Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.

Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.

(8.90 pF)(400 V)Q =

Q = 3.56 nCQ = 3.56 nCCarga total sobre el conductor:Carga total sobre el conductor:

Ejemplo 1 (Cont.):Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se ¿Qué carga Q se necesita para dar un potencial de 400 V?necesita para dar un potencial de 400 V?

r = 0.08 m

Capacitancia, C

+Qr

C = 8.90 x 10-12 FC = 8.90 x 10-12 F

; Q

C Q CVV

= =

Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro µ, nano n y pico p.

Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro µ, nano n y pico p.

Rigidez dieléctricaRigidez dieléctricaLa La rigidez dieléctricarigidez dieléctrica de un material es aquella de un material es aquella intensidad eléctrica intensidad eléctrica EEmm para la que el material para la que el material se convierte en conductor. (Fuga de carga.)se convierte en conductor. (Fuga de carga.)

rQ

Dieléctrico

EEmm varía considerablemente varía considerablemente

con condiciones físicas y con condiciones físicas y ambientales como presión, ambientales como presión, humedad y superficies. humedad y superficies.

Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.

Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima que se ¿Cuál es la carga máxima que se puede colocar en una superficie esférica de puede colocar en una superficie esférica de un metro de diámetro? (R = 0.50 m)un metro de diámetro? (R = 0.50 m)

rQ

Em = 3 x 106 N/C

Máxima Q

Aire

2

2; m

m

E rkQE Q

r k= =

2

2

6 2NC

9 NmC

(3 x 10 )(0.50 m)

9 x 10Q =

Carga máxima en aire:Carga máxima en aire: Qm = 83.3 µCQm = 83.3 µC

Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.

Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.

Capacitancia y formasCapacitancia y formasLa densidad de carga sobre una superficie se afecta La densidad de carga sobre una superficie se afecta significativamente por la significativamente por la curvaturacurvatura. La densidad de . La densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor.carga es mayor donde la curvatura es mayor.

+ + + ++++ + + +

+ +++

+++++++

++

++

+++

+

La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es más grande.

La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es más grande.

2m

m

kQE

r=

Capacitancia de placas paralelasCapacitancia de placas paralelas

d

Área A+Q

-Q

Recordará que, de la ley de Gauss, Recordará que, de la ley de Gauss, EE también es: también es:

0 0

QE

A

σε ε

= = QQ es la carga en cualquier es la carga en cualquier placa. placa. AA es el área de la placa.es el área de la placa.

0

V QE

d Aε= = yy 0

Q AC

V dε= =

Para estas dos placas paralelas:

dV

Ey VQ

C ==

Ejemplo 3.Ejemplo 3. Las placas de un capacitor Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen una área de de placas paralelas tienen una área de 0.4 m0.4 m22 y están separadas 3 mm en y están separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es la capacitancia?aire. ¿Cuál es la capacitancia?

3 mmd

A

0.4 m2

0

Q AC

V dε= =

2

2

-12 2CNm

(8.85 x 10 )(0.4 m )

(0.003 m)C =

C = 1.18 nFC = 1.18 nF

Aplicaciones de los capacitoresAplicaciones de los capacitores

+++++++

-

-

---

-- A

Capacitor variable

Área cambiante

0

AC

dε=

d

d cambiante

micrófono

QV

C=

Un Un micrófonomicrófono convierte las ondas sonoras en una convierte las ondas sonoras en una señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar dd..

El El sintonizadorsintonizador en un radio es un en un radio es un capacitor variablecapacitor variable. El . El área cambiante área cambiante A A altera la capacitancia hasta que se altera la capacitancia hasta que se obtiene la señal deseada.obtiene la señal deseada.

Materiales dieléctricosMateriales dieléctricosLa mayoría de los capacitores tienen un La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctricarigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica.y menos probabilidad de descarga eléctrica.

La separación de la carga dieléctrica permite que más carga La separación de la carga dieléctrica permite que más carga se coloque en las placas; se coloque en las placas; mayor capacitanciamayor capacitancia C > C C > Coo..

++++++

------

aireaire

CCoo

EEoo

++++++

------

- +- +- +- +- +- +

C > CC > Coo

E < EE < Eoo

++++++

------

- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +- + - +

dieléctricodieléctrico

EE reducido reducido

• Menor separación de placas sin contacto.Menor separación de placas sin contacto.

• Aumenta la capacitancia de un capacitor.Aumenta la capacitancia de un capacitor.

• Se pueden usar voltajes más altos sin Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva.descarga disruptiva.

• Con frecuencia permite mayor resistencia Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.mecánica.

• Menor separación de placas sin contacto.Menor separación de placas sin contacto.

• Aumenta la capacitancia de un capacitor.Aumenta la capacitancia de un capacitor.

• Se pueden usar voltajes más altos sin Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva.descarga disruptiva.

• Con frecuencia permite mayor resistencia Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.mecánica.

Ventajas de los dieléctricosVentajas de los dieléctricos

Inserción de dieléctricoInserción de dieléctrico

+++

+++Co Vo Eo εο

+Q

-Q

++

+Q

-Q

dieléctricoaire

Aumenta permitividadε > εo

Aumenta capacitanciaC > Co

Disminuye el voltajeV < Vo

Disminuye el campoE < Eo

Inserción de dieléctrico

Igual QQ = Qo

C V E ε

Constante dieléctrica, KConstante dieléctrica, KLa La constante dieléctrica Kconstante dieléctrica K para un material es la para un material es la razón de la capacitancia razón de la capacitancia CC con este material a la con este material a la capacitancia capacitancia CCoo en el vacío. en el vacío.

Constante dieléctrica: K = 1 para el aireConstante dieléctrica: K = 1 para el aire0

CK

C=

K también se puede dar en términos de voltaje K también se puede dar en términos de voltaje VV, , intensidad de campo eléctrico intensidad de campo eléctrico EE o permitividad o permitividad εε::

0 0

0

V EK

V E

εε

= = =

La permitividad de un medioLa permitividad de un medioLa capacitancia de un capacitor de placas La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de:paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de:

0 0 or or A A

C KC C K Cd d

ε ε= = =

La constante La constante εε es la es la permitividadpermitividad del medio que del medio que relaciona la densidad de las líneas de campo.relaciona la densidad de las líneas de campo.

2

2

-12 C0 0 Nm; 8.85 x 10Kε ε ε= =

Ejemplo 4: Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia Encuentre la capacitancia CC y la y la carga carga QQ si se conecta a una batería de si se conecta a una batería de 200-V200-V. . Suponga que la constante dieléctrica es Suponga que la constante dieléctrica es K = 5.0K = 5.0. .

2 mmd

A

0.5 m2

ε = Κε0ε = Κε0= 5(8.85 x 10-12C/Nm2)

εεοο = = 44.25 x 1044.25 x 10-12-12 C/Nm C/Nm22

2

2

-12 2CNm

(44.25 x 10 )(0.5 m )

0.002 m

AC

dε= =

C = 11.1 nFC = 11.1 nF

¿Q si se conecta a V = 200 V?¿Q si se conecta a V = 200 V?

Q = CV = (11.1 nF)(200 V)Q = CV = (11.1 nF)(200 V) Q = 2.22 µCQ = 2.22 µC

Ejemplo 4 (Cont.): Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo Encuentre el campo E E entre entre las placas. Recuerde las placas. Recuerde Q = 2.22 Q = 2.22 µµC; C; VV = 200 V = 200 V. .

ε = ε = 44.25 x 1044.25 x 10-12-12 C/Nm C/Nm22

2

2

-6

-12 2

2.22 x 10 C

(44.25 x 10 )(0.5 m )CNm

E =

E = 100 N/CE = 100 N/C

Dado que Dado que V = 200 VV = 200 V, el mismo resultado se encuentra , el mismo resultado se encuentra si si E = V/dE = V/d se usa para encontrar el campo. se usa para encontrar el campo.

2 mmd

A

0.5 m2

ε = Κε0

200 V

AQ

EGauss deLey εε

σ ===

Ejemplo 5:Ejemplo 5: Un capacitor tiene una capacitancia de Un capacitor tiene una capacitancia de 66µµFF con aire como dieléctrico. Una batería carga con aire como dieléctrico. Una batería carga el capacitor a el capacitor a 400 V400 V y luego se desconecta. ¿Cuál y luego se desconecta. ¿Cuál es el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of es el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica (mica (K = 5K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia )? ¿Cuál es la nueva capacitancia C C ??

0 0

0

; V VC

K VC V K

= = =

400 V;

5V = V = 80.0 VV = 80.0 V

C = KcC = Kcoo = = 5(6 5(6 µµF)F)

C = 30 µFC = 30 µF

VVoo = 400 V = 400 V

Mica, K = 5

Dieléctrico aireDieléctrico aire

Dieléctrico micaDieléctrico mica

Ejemplo 5 (Cont.):Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de Si la batería de 400 V400 V se se reconecta después de insertar la mica, ¿qué reconecta después de insertar la mica, ¿qué carga carga adicionaladicional se agregará a las placas se agregará a las placas debido a la debido a la CC aumentada? aumentada?

QQ00 = C = C00VV00 = = (6 (6 µµF)(400 V)F)(400 V)

∆Q = 9.60 mC∆Q = 9.60 mC

VVoo = 400 V = 400 V

Mica, K = 5

Aire CAire Coo = 6 = 6 µF

Mica C = 30 Mica C = 30 µF

QQ00 = 2400 = 2400 µµCC

Q = CV = Q = CV = (30 (30 µµF)(400 V)F)(400 V)

Q = 12,000 Q = 12,000 µµCC

∆∆Q = 12,000 Q = 12,000 µµC – 2400 C – 2400 µµCC

∆∆Q = Q = 9600 9600 µµCC

Energía de capacitor cargadoEnergía de capacitor cargadoLa La energía potencial Uenergía potencial U de un capacitor de un capacitor cargado es igual al trabajo (cargado es igual al trabajo (qVqV) que se ) que se requiere para cargar el capacitor.requiere para cargar el capacitor.

Si se considera que la diferencia de Si se considera que la diferencia de potencial promedio de 0 a Vpotencial promedio de 0 a V f f es es V/2V/2::

Trabajo = Q(V/2) = ½QVTrabajo = Q(V/2) = ½QV

221 1

2 2; ; 2

QU QV U CV U

C= = =

Ejemplo 6:Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la En el Ej. 4 se encontró que la capacitancia era be capacitancia era be 11.1 nF11.1 nF, el voltaje , el voltaje 200 V200 V y la y la carga carga 2.22 2.22 µµCC. Encuentre la energía potencial . Encuentre la energía potencial UU..

212 (11.1 nF)(200 V)U =

U = 222 µJU = 222 µJ

212U CV=

Verifique su respuesta con Verifique su respuesta con las otras fórmulas para E.P.las otras fórmulas para E.P.

2

12 ;

2

QU QV U

C= =

C = 11.1 nF

200 V

Q = 2.22 µC

U = ¿?

Capacitor Capacitor del ejemplo del ejemplo 55..

Densidad de energía para capacitorDensidad de energía para capacitorLa La densidad de energía udensidad de energía u es la energía por unidad de es la energía por unidad de volumen (volumen (J/mJ/m33). Para un capacitor de área ). Para un capacitor de área AA y y separación separación dd, la densidad de energía , la densidad de energía u u se encuentra del se encuentra del modo siguiente:modo siguiente:

Densidad de Densidad de energía energía u u para un para un

campo E:campo E:AA dd .

U UuVol Ad

= =

2 201 12 2 ( )

AU CV Ed

d

ε = =

2102 AdEU

uAd Ad

ε= =Densidad de energía u:

2102u Eε=

:y Recuerde 0 EdVd

AC == ε

Resumen de fórmulasResumen de fórmulas (C)

; (F) (V)

Q coulombC farad

V volt= =

04C rπε=0

Q AC K

V dε= =

0 0

0 0

V ECK

C V E

εε

= = = =

221 1

2 2; ; 2

QU QV U CV U

C= = =

2102u Eε=

CONCLUSIÓN: Capítulo 25CONCLUSIÓN: Capítulo 25CapacitanciaCapacitancia