Ejerciciosdeestadística.

1.­Lossiguientesnúmerossonelnúmerodehorasqueintervienen20alumnosenhacer

deporteduranteunmes:

1,7,10,11,15,16,17,19,20,22,25,26,26,26,27,28,30,30,35,38

a)Calculalastablasdefrecuenciaagrupandolosdatosen4intervalos

cerradosporlaizquierdayabiertosporladerecha[a,b)ydelongitud10.

Empezandoen0yhasta40.

b)Representalosdatosmedianteungráficoadecuado

c)Calculalamedia,ladesviacióntípicayelcoeficientedevariación.

RESOLUCIÓN

a)Tengoqueagruparen4intervalos,loprimeroserádefinirlosintervalos.Alirdesde0

hasta40de10en10,mequedanlosintervalossiguientes:

[0,10)(cogiendoel0ysincogerel10);[10,20)(cogiendoel10ysincogerel20)

[20,30)(cogiendoel20ysincogerel30)y[30,40)(cogiendoel30ysincogerel40)

Así,enprimerlugarhacemoselrecuentoyllevamosalatablalasfrecuenciasabsolutas:

[0,10)II2

[10,20)IIIII6

[20,30)IIIIIII8

[30,40)IIII4

FaltaríacompletarlascolumnasFriy%,laprimerasecalculaescribiendolafracciónFi/20yla

segunda,multiplicandopor100laFri:

completamoslatabla:

b)Alservariablecontinua,yestarlosdatosagrupadosenintervaloselgráficoadecuadoesun

histograma:

Ii Fi Fri % [0,10) 2

[10,20) 6 [20,30) 8 [30,40) 4 totales 20

Ii Fi Fri % [0,10) 2 1/10 10

[10,20) 6 3/10 30 [20,30) 8 4/10 40 [30,40) 4 1/5 20 totales 20 1 100

0102030

1 2 3 4 5 6

c)Paracalcularlosparámetrosestadísticos,enestecasonopodemosutilizarlatablade

frecuenciaspuesenellalosdatosestánagrupadosporintervalos.

Asípuesdebemosdeutilizarlosdatosenbruto.Enestecasotenemos20datos,porloque

n=20

Media:

Desviacióntípica

CalculamosprimerolaVarianza:

Unavezcalculadalavarianza,calculamosladesviacióntípicahaciendolaraízcuadrada:

Porúltimocalculamoselcoeficientedevariación.CV=43,2%

C.V.= Losdatosvaríanensumayoríaunn43%porencimaypor

debajodelamedia

2.­Alpreguntaren50familiasporelnúmerodepersonasqueformanelhogarfamiliar,hemosobtenidolainformaciónqueserecogeenlasiguientetabla:

Tabulalosdatos.Calculalamedia,moda,mediana,desviacióntípica,coeficientedevariaciónyrealizalagraficadeldiagramadebarras.

RESOLUCIÓN

Enprimerlugarharemoslatabladefrecuenciascompleta,incluyendofrecuenciasabsolutas,relativasyporcentajes,yutilizaremosesatablaparacalcularlamedia,moda,medianavarianzaydesviacióntípica,asícomopararealizarelgráficocorrespondiente,queseráundiagramadebarrasportratarsedevariablecuantitativadiscreta

xi Fi Fri % 1 3 3/50 6 2 10 1/5 20 3 23 23/50 46 4 9 9/50 18 5 3 3/50 6 6 2 1/25 4

totales 50 1 100

Ahoracompletaremoslatabladefrecuenciasañadiendolascolumnassiguientes:

xi·Fiparasumarcadavalorelnúmerodevecesqueserepiteyasícalcularlamedia

xi2paracalcularlavarianzautilizandolafórmula

xi2·FiparasumarcadacuadradodelosvalorestantasvecescomoserepiteenlafórmulaanteriorHagámoslo:

Así,elcálculodelamediaserá:

Elcálculodelavarianzaserá:

Porloqueladesviacióntípicaessuraízcuadrada

ElCoeficientedevariaciónserá

Lamoda,eselvalormásrepetido,esdecirMo=3(23repeticiones)Lamedianaeselvalorquequedaríaenmedio,esdecir,elquedeja25delos50pordebajoy25porencima.Estevaloresel3,puesquedaasí:1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3­­­­3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,etc…Vemosquelosdatosquedandivididosdejandoun3acadalado.Resumiendo:

3.‐Seharealizadounaencuestaaungrupode20personasacercadelnúmerodevecesqueacudenalcinealolargodeunaño,ysehanobtenidolossiguientesresultados:

4 2 6 8 3 4 3 5 7 1 3 4 5 7 2 2 1 3 4 5a)Indicaeltipodevariable. b)Tabulalossiguientesdatos,indicando:frecuenciaabsoluta,frecuenciarelativa,porcentaje. c)Calcula:lamedia,lamodaylamediana. d)Calcula:elrangoorecorrido,varianza,desviacióntípicayelcoeficientedevariación.e)Diagramadebarrasypolígonodefrecuencias.

RESOLUCIÓN

a)Lavariableescuantitativaporquelosvaloresposiblessonnuméricosyesdiscretaporquenotomavaloresintermedios

b)Relizamoslatabladefrecuencias,paraello,inicialmentehacemoselrecuento:

xi Fi Fri % xi·Fi xi2 xi2·Fi

1 3 3/50 6 1·3=3 12=1 1·3=3 2 10 1/5 20 2·10=20 22=4 4·10=40 3 23 23/50 46 3·23=69 32=9 9·23=207 4 9 9/50 18 4·9=36 42=16 16·9=144 5 3 3/50 6 5·3=15 25 25·3=75 6 2 1/25 4 6·2=12 36 36·2=72

totales 50 1 100 155 541

1II22III33IIII44IIII45III36I17II28I1

c)Ahoracompletaremoslatabladefrecuenciasañadiendolascolumnassiguientes:

xi·Fiparasumarcadavalorelnúmerodevecesqueserepiteyasícalcularlamedia

€

xi − x ( )2 paracalcularlavarianzautilizandolafórmula

€

V =x1 − x ( )2 + ...+ x1 − x ( )2

n

€

xi − x ( )2 ⋅ Fi parasumarcadacuadradodelasdiferenciasdevaloreslamediatantasveces

comoserepiteenlafórmulaanterior

Hagámoslo:

Lamediaserá

€

x = 7920

= 3,95 ;

Lasmodas(haydos)sonMo=3y4puessonlosvaloresmásrepetidos.Lamediana,elvalorquequedaenmedio(deja10valorespordebajoy10valoresporencima)es4puesquedaríaasí:1,1,2,2,2,3,3,3,3,4­­­4,4,4,5,5,5,6,7,7,8quedandoalosdosladosun4.Así:

€

x = 3,95 ;Me=4;Mo=3y4d)Paralavarianza,hemosrellenadolatablaasí:Lasdistanciasdelosvaloresalamediaserán:1­3,95=­2,95; 2­3,95=­1,95; 3­3,95=0,95; 4­3,95=0,05; 5­3,95=1,05; 6­3,95=2,05; 7­3,95=3,05; 8­3,95=4,05,

loscuadradosdeestasdistanciasesloquellevamosalatablaenlacolumna

€

xi − x ( )2pero¡OJO!Estosdatosnosesuman,hayquemultiplicarlosprimeroporsusfrecuencias,para

sumarloselnúmerodevecesqueserepiten,estoloharemosenlacolumna

€

xi − x ( )2 ⋅ Fi

despuéssumamoslosdatosdeestacolumna(estossi)yyatenemoseltotaldedistanciasalamediaalcuadradoquees74,91,ahorahayquedividirporn,esdecirpor20paraobtenerla

varianza

€

V =74,9120

= 3,75 ladesviacióntípicaserálaraízcuadrada

€

σ = 3,75 =1,94

xi Fi Fri % 1 2 1/10 10% 2 3 3/20 15% 3 4 1/5 20% 4 4 1/5 20% 5 3 3/20 15% 6 1 1/20 5% 7 2 1/10 10% 8 1 1/20 5%

totales 20 1 100%

xi Fi Fri % xi·Fi

€

xi − x ( )2

€

xi − x ( )2 ⋅ Fi

1 2 1/10 10% 2 (-2,95)2=8,7 8,7·2=17,4 2 3 3/20 15% 6 (-1,95)2=3,8 3,8·3=11,4 3 4 1/5 20% 12 (0,95)2=0,9 0,9·4=3,6 4 4 1/5 20% 16 (0,05)2=0,0025 0,0025·4=0,01 5 3 3/20 15% 15 (1,05)2=1,1 1,1·3=3,3 6 1 1/20 5% 6 (2,05)2=4,2 4,2·1=4,2 7 2 1/10 10% 14 (3,05)2=9,3 9,3·2=18,6 8 1 1/20 5% 8 (4,05)2=16,4 16,4·1=16,4

totales 20 1 100% 79 74,91

Elrangoorecorrido,consisteenrestarelmáximovalor(8)yelmínimo(1)Rango=8­1=7Elcoeficientedevariacióneselcocienteentreladesviacióntípicaylamedia

€

CV =σx

=1,943,95

= 0,49→ 49%

Así,contestando:Rango:7; VarianzaV=3,75;

€

σ =1,94 ; CV=49%e)Finalmentetenemosqueplasmarlainformaciónenundiagramadebarrasyunpolígonodefrecuencias:

4.‐Lasiguientetablamuestralasactividadesofertadasenuncentroculturalyelporcentajedevecinosquelascursan.ACTIVIDADES %DEVECINOSYOGA 20%TALLERDEPINTURA 15%CURSODEINFÓRMÁTICA 30%PILATES TALLERDEFOTOGRAFIA 10%

a) Indicaeltipodevariable. b) ¿QuéporcentajedevecinoshacePilates? c) Sielnúmerodevecinoses14000¿CuántosvecinoshacenYoga? d) ¿quéactividadestádemoda?

RESOLUCIÓN

a)Lavariableescualitativa,pueslosposiblesvaloressonactividades(Yoga,Pintura,Informática,Pilates,Fotografía)nonúmeros.

b)Eltotalenlacolumna%devecinoshadeser100%,porloqueparaaveriguarelporcentajequecorrespondeapilatesveremosloquefaltaparallegara100.Sumamostodos20+15+30+10=75yelresultadoselorestamosa100;%pilates=100­75=25%

25%delosvecinoshacePilates

c)el20%haceYOGA,sihay14.000entotalhabráquecalcularel20%de14.000=

€

14.000 ⋅ 20100

=280.000100

= 2.800 hacenYOGA

d)LoscursosdeInfórmatica(30%)

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8

5.‐Enunautobúsescolarselespreguntaalosalumnosporeltiempoquetardanenllegardesucasaalautobús.Losresultadosserecogenenlasiguientetabla:

a) Clasificaeltipodevariable.b) Calculalamediadeladistribucióndetiempos.c) Calculaladesviacióntípicadeestadistribución.d) Gráficadedichadistribución.

RESOLUCIÓN

a) Lavariableescuantitativacontinua,puessonvaloresnuméricosypuedetomarcualquiervalor(cualquiertiempo)dentrodelrango.

b) yc)Paracalcularlamediayladesviacióntípica,necesitamosloquesellamamarcadeclase(xi),esdecir,elegiruntiempoquerepresentaatodoslostiemposdecadaintervalo,yaquenonosdicenlostiempossinoenquéintervaloestá.Tomaremoscomomarcadecalseelpuntomediodecadaintervalo.Así,atodoslostiemposdelintervalo[0,5)leasignamoselvalor2,5;alosdelintervalo[5,10)leasignamos7,5;alosdel[10,15)leasignamos12,5,etc,…lollevamosaunatabladefrecuenciascompletaparacalcularmediayvarinza:

d) Elgráficoquecorrespondeesunhistogramapueslavariableescontinua:

Ii xi Fi Fri % xi·Fi

€

xi − x ( )2

€

xi − x ( )2 ⋅ Fi

[0,5) 2,5 20 1/3 33,3% 2,5·20=50 (-6,66)2=44,36 887,2 [5,10) 7,5 13 13/60 21,6% 7,5·13=97,5 (-1,66)2=2,76 35,88 [10,5) 12,5 18 3/10 30% 12,5·18=225 (3,34)2=11,16 200,88

[15,20) 17,5 5 1/12 8,3% 17,5·5=87,5 (8,34)2=69,56 347,8 [20,25) 22,5 4 1/15 6,6% 22,5·4=90 (13,34)2=177,96 711,84 totales 60 1 100% 550 2183,6

€

x = 55060

= 9,16

€

V =2183,660

= 36,4

€

σ = 36,4 = 6,03

6.‐Hemospreguntadoa20personasporelnúmeromediodedíasquepracticandeportealasemanayhemosobtenidolassiguientesrespuestas:

a)Clasificaeltipodevariable.b)Hazunatabladefrecuencias.(Incluyendolafrecuenciaabsoluta,lafrecuenciarelativayelporcentaje)c)Calculalamedia,lamodaylamedianadeladistribución.d)Representagráficamenteladistribución. RESOLUCIÓN

a) Lavariableescuantitativadiscreta.b) Tabladefrecuencias

0I11II22IIII43IIIIII74I15I16III37I1

c) Paracalcularlamedia,enestaocasiónnoloharemosconlatabladefrecuenciascomoenlosanteriores,paraprobarcopntodaslasformas.Loharemossumandoenbrutolos20valoresydividiendoentre20:

€

x = x1 + x2 + ...+ x20

20=

0 + 1+ 1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 4 + 5 + 6 + 6 + 6 + 720

=6520

= 3,25

LaModaeselvalormásrepetido,el3 Lamedianaeselvalorquequedaenelcentro,unavezordenados: 0,1,1,2,2,2,2,3,3,3­­­3,3,3,3,4,5,6,6,6,7

Esdecir,el3yaqueaambosladosquedaun3.Asi,resumiendo:

€

x = 3,25 ; Mo=3; Me=3

d) Elgráficoadecuadoesundiagramadebarras:

02468

1 2 3 4 5 6 7 8

xi Fi Fri % 0 1 1/20 5 1 2 1/10 10% 2 4 1/5 20% 3 7 7/20 35% 4 1 1/20 5% 5 1 1/20 5% 6 3 3/20 15% 7 1 1/20 5%

totales 20 1 100%

7.‐Enunestudiodesanidadseobtuvieronlossiguientesdatossobreelpesode30individuos(enKg): 90,4 65,8 85,4 110,2 70,4 92,3 96,4 89,3 92,4 87,9 78,2 95,3 76,3 70,6 120,4 78,8 88,5 84,5 75,9 87,7 72,5 80,4 86,5 78,9 62,8 93,4 87,8 88,6 99,9 80,1Sepide:

a)Agrupalosdatosenlossiguientesintervalos:[60,5;70,5) [70,5;80,5) [80,5;90,5) [90,5;100,5)[100,5;110,5) [110,5;120,5)

b)Resumelainformaciónenunatabladefrecuenciasqueincluyafrecuenciasabsolutasyfrecuenciasrelativas.

c)Representalosdatosconunhistograma d)Obténlamedia,lamedianayelintervalomodal e)ObténlaVarianzayladesviacióntípica f)CalculaelcoeficientedeVariación.RESOLUCIÓN

a) Vamosaordenarlosdatos(queserviráparaelcálculodelamediana)yarealizarelrecuento(agrupamiento):

62,8‐‐65,8‐‐70,4‐‐70,6‐‐72,5‐‐75,9‐‐76,3‐‐78,2‐‐78,8‐‐78,9‐‐80,1‐‐80,4‐‐84,5‐‐85,4‐‐86,5­me­87,7‐‐87,8‐‐87,9‐‐88,5‐‐88,6‐‐89,3‐‐90,4‐‐92,3‐‐92,4‐‐93,4‐‐95,3‐‐96,4‐‐99,9‐‐110,2‐‐120,4

[60,5;70,5)3;[70,5;80,5)9; [80,5;90,5)10;[90,5;100,5)6;[100,5;110,5)1[110,5;120,5)1b) Conelrecuentodelapartadoa,realizamoslatabladefrecuencias:

R

c) Dibujamoselhistograma(variablecuantitativacontinua)

d) Paralamediana,nosfijamosenlaordenacióndelapartadoa),justoenlamitaddelosdatos,dondeponemeiríalamediana,asíseráelvalormedioentre86,5y87,7;así

€

Me =86,5 + 87,7

2=174,22

= 87,1

ElintervaloModales(comolamoda)elintervaloquemásfrecuenciatiene,enestecasoelintervalo[80,5;90,5)

Ii Fi Fri % [60,5;70,5) 3 1/10 10% [70,5;80,5) 9 3/10 30% [80,5;90,5) 10 1/3 33,3% [90,5;100,5) 6 1/5 20% [100,5;110,5) 1 1/30 3,3% [110,5;120,5) 1 1/30 3,3%

totales 30 1 100%

Yparalamedia,hayquesumarlos30pesosydividirloentre30:

€

x = x1 + ...+ x3030

=2567,630

= 85,6

e) Paralavarianza,utilizaremoslafórmulasiguiente:

;paraello,hayquesumarlos30cuadradosdelospesos,conla

calculadora,vamoshaciendo62,82+65,82+70,42,etc…obtenemos224.129,74Esohayquedividirlopor30(n)obtenemos7.470,99aeso,hayquerestarleelcuadradodelamedia,esdecir85,62=7327,36.Así,lavarianzaquedaV=7471–7327,36=143,64

Ladesviacióntípicaserálaraízcuadradadelavarianza

€

σ = 143,64 =11,98 ≈12

f) ElcoeficientedeVariación,

€

CV =σx

=1285,6

= 0,14→14%

8.‐Alcompararelpesodedospoblacionessehanobtenidolossiguientesparámetrosestadísticos: Población1: ; Población2: ;

Alaluzdeestosparámetros,¿quépoblacióneslaqueofrecepesosmásvariados?Esdecir¿Cuálesmásdispersadelasdos?Razonalarespuesta.

RESOLUCIÓN

Inicialmente,sinosfijamosúnicamenteenladesviacióntípica,contestaríamosqueesmás

dispersalaprimerapuesladesviacióntípicaesmayor,sinembargo,portratarsedepoblacionescon

pesostandistintos(unamediade565Kglaprimeray35Kglasegunda)seríaunerrorcompararlas

desviacionestípicas.Esnecesariocompararloscoeficientesdevariación.Calculémoslos:

Población1

€

CV =σx

=25,3565

= 0,04478→ 4,48% (lamayoríadelospesosvaríanun

4,48%arribaodebajodelamedia)

Población2

€

CV =σx

=20,435

= 0,58285→ 58,29% (lamayoríadelospesosvaríanun

58,29%arribaodebajodelamedia)

Alaluzdeestoscálculos,observamosquelarespuestaadecuadaesqueeslasegunda

poblaciónlamásdispersa.

9.‐Enlasiguientetablaserecogeelnúmerodevecesqueungrupodeusuariosdeunambulatorio

hantenidoqueacudirasumédicoenelúltimoaño.

a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7 veces en el último año?¿Cuántas han ido 4veces?¿cuántashanidomásde5veces?

b) ¿Quéporcentajedepersonashaidoalmédicomásde6veces?c) Calcularlamodayelnúmeromediodevisitasalmédicoenelambulatorio.d) Dibujarundiagramadebarras.e) CalcularlaVarianzayladesviacióntípica.

Nºdevisitasalmédico 1 3 5 7 10 12Nºdepersonas 10 25 43 31 12 4

RESOLUCIÓN

a) Comprobamosenlatablaquelafrecuenciadelvalor7es31,así31personashanido7veces

almédico.

Paraelvalor4lafrecuenciaes0,puesnoesunvalorenlatabla.

Másde5veces,seríanlosvalores7,10y12así,hayquesumarsusfrecuencias:31+12+4=47

b) Másde6veces,tambiénson7,10y12,esdecir47personas.Parasaberelporcentajeque

representan,hayquedividirentreeltotaldepersonas(10+25+43+31+12+4=125)y

multiplicarelresultadopor100:%másde6veces=(47/125)·100=37,6%

c) Lamodaes5(valormásrepetido,43veces)

Paralamedia,completamoslatabladefrecuenciasconlacolumnaxi·Fi

Quedando

€

x = 685125

= 5,5

d) Eldiagramadebarrascorrespondiente:

e) Lavarianzayladesviacióntípicalacalcularemoscompletandolatabladefrecuenciasconlos

valoresxi2,despuésconestosvaloresmultiplicadosporsufrecuenciaxi2·Fiparaobtenerla

suma(x12+x22+…+x1252)delafórmula

€

V =x12 + ...+ x125

2( )125

− x 2 :

Así,enlafórmulaanteriorquedará:

€

V =4605125

− 5,52 = 36,84 − 30,25 = 6,59

0

20

40

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

xi Fi xi·Fi1 10 103 25 755 43 2157 31 21710 12 12012 4 48tot 125 685

xi Fi xi·Fi xi2 xi2·Fi1 10 10 1 103 25 75 9 2255 43 215 25 10757 31 217 49 151910 12 120 100 120012 4 48 144 576tot 125 685 4605

Yladesviacióntípica

€

σ = 6,59 = 2,57

10.‐Lasiguientegráficarecogelacantidaddeparejasdezapatosdemujervendidasenunatiendaalolargodeldía:

a)¿Cuántasparejasdezapatosdelnúmero37sehanvendido?b)Pasalosdatosaunatabladefrecuenciasabsolutas.c)¿Cómosellamalagráficaquenoshandado?d)¿Quéporcentajedezapatosvendidoserannúmerosdel39o40?e)Dibujaunpolígonodefrecuencias.

RESOLUCIÓNa)Sinmásquemirarelgráfico,observamosquealvalor37lecorrespondeunafrecuenciade30.b)Enformadetabladefrecuenciasabsolutasquedaasí:c) Lagráficaquenoshandadoesundiagramadebarrasd) Son 10 + 5 =15 como el total es 75, el porcentaje se calcula dividiendo 15 entre 75 y

multiplicandopor100:(15:75)·100=12%e) Elpoígonodefrecuenciasseobtieneuniendolosextremossuperioresdelasbarras:

0

10

20

30

40

36 37 38 39 40

xi Fi36 1037 3038 2039 1040 5tot 75