Upload
sebastian-molina-riveros
View
214
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Pa Análisis real xd
Citation preview
Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de Matematicas
Ayudantia No4 Analisis RealJose Torres
Fecha: March 24, 2014
1. Resolver los ejercicios pendientes de ayudantas pasadas.
2. Sea (M,d) un espacio metrico y X subespacio de M , considere Y X.Verfique las siguientes afirmaciones:
(a) Y abierto en X no necesariamente implica Y abierto en M .
(b) Y abierto en X ssi existe O abierto en M tal que Y = X O.(c) Y cerrado en X ssi existe C cerrado en M tal que Y = X C.
3. Sea (M,d) un espacio metrico. Demuestre las siguientes afirmaciones:
(a) A B, entonces A B y A B.(b) A = A A y A A = .(c) (X \A) A = .(d) A = A.
(e) (M \A) = A.(f)
A =
OOAO
donde OA = {O A : O abierto de M}.(g)
A =
CCAO
donde CA = {C A : C cerrado de M}.4. determine si los siguientes conjuntos A R son abiertos, cerrados o
ninguna de las anteriores, con la me`trica usual de R. Encuentre en cadacaso la clausura, su interior y la frontera.
(a) A ={y R : existe x R tal que 1x y < ex} .
(b) Sea P1 el conjunto que se obtiene de borrar el tercio abierto de lamitad del intervalo [0, 1]. Es decir,
P1 =[0,
13
][
23, 1].
El conjunto P2 se obtiene de P1 borrando un tercio abierto de cadaintervalo que forma P1, es decir
P2 =[0,
19
][
29,
13
][
23,
79
][
89, 1].
1
Recursivamente, Pn se obtiene eliminando un tercio abierto de cadaintervalo de Pn1.Definimos
A =n1
Pn.
A se llama el conjuto de Kantor.
5. Sea X un conjunto d1, d2 dos metricas para X. Las metricas d1 y d2son equivalentes si toda bola abierta en X segun d1 contiene alguna bolaabierta con el mismo centro segun d2 y viceversa. Como se traduce estoen sucesiones?.
2