Carrera: Procesos Industriales Área

Manufactura

Alumno: Oscar Torres Rivera

Materia: Estadística

Maestro: Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

Grado y sección: 2° “C”

Distribución de Bernouilli

1.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos

conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas.

Solución.

La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de

tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15%

X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli

X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15

X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,85

2.- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con

impacto frontal y cuyos conductores sí tenían cinturón de

seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas.

Describa el experimento usando conceptos de v.a.

Solución.

La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de

quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%

X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli

X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005

X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995

3.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De

acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30

años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: 1. Los

cinco individuos. 2. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menos uno.

Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos

situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar

los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~

B(5, 0,6).

4.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres

artículos al azar de un

proceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican como

defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como éxito. El número de

éxitos es una v.a. X que toma valores integrales de 0 a 3.

Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos

produce 25% de artículos defectuosos,

P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.

5.- La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue una distribución de

Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés, cara o cruz.

PROPIEDADES

Distribución Binomial

1.- Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo

con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años

más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:

1. Los cinco individuos.

2. Al menos tres.

3. Sólo dos.

4. Al menos uno.

Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos

situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar

los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~

B(5, 0,6).

2.-Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar la probabilidad de

que una familia con seis hijos tenga:

1. Por lo menos un niño.

2. Por lo menos una niña.

3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 0.4.

Si 15 personas contraen la enfermedad ¿cual es la probabilidad de que

a) al menos 10 sobrevivan ? Sea X el n´umero de supervivientes.

4.- Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

El número de aciertos k es 6. Esto es x=6

El número de experimentos n son 10

La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50

La fórmula quedaría:

P (k = 6) = 0.205

Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%

5.- En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en

una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la

probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).

Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La

probabilidad estará en x=2

El resultado es 0.0988

.

Distribución de Poisson

1.- El número de accidente por semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de

parámetro l = 2. Calcular:

1. La probabilidad de que en una semana haya algún accidente.

2. La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas.

3. La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana

siguiente.

4. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad de que en esa semana

no haya más de tres accidentes.

2.-La proporción de alumnos de un distrito universitario con calificación de sobresaliente es

de 0,005%. Determinar la probabilidad de que entre 5000 alumnos seleccionados al azar

haya dos con calificación media sobresaliente.

3.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al día. Si se

recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada

visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2, 3x =? ¿y la probabilidad

de que4x = ?

Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 0.75

4.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas

que pasan a través de un contador de un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de

que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado?

Solución:

5.- El número promedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es

10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día.

¿cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que regresar?.

Solución:

Sea X el número de camiones tanque que llegan

Al usar la distribución de Poisson desde x=0 a x=15 y encontrando el complementario

tenemos el resultado:

p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15 camiones, es decir, no rebasa la

capacidad de las instalaciones. El complementario p’=0.05 es la probabilidad de rebasar la

capacidad, es decir, de devolver camiones.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

1.-En un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribución gamma para

modelizar el número de víctimas en accidentes de tráfico. Como es más habitual la

proporción de 1 ocupante por vehículo siniestrado, y es más rara la probabilidad de 4 ó 5

ocupantes por vehículo siniestrado, se crea una distribución gamma para modelizar el

número de víctimas por accidente de tráfico. El 38% de la distribución lo acumula la

proporción 1 accidentado por accidente, el 36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un

3% para 5:1. La media del modelo es 1,5 víctimas por accidente, pero no indican el valor de

los parámetros α y β tomados en cuenta.

2.-También en el ámbito de la siniestralidad viaria, en un estudio de la ciudad de Medellín,

Colombia, se usa la distribución Gamma para obtener la distribución de probabilidad de la

variable aleatoria “edad de fallecimiento en accidentes de tráfico”. En este caso explican

que se asignaron los parámetros α y “a ojo”. El mejor resultado es el que parece minimizar

los errores cuadráticos medios después de varias asignaciones. Finalmente obtienen α=2,94

y =13,94.

3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo una distribución

de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8 llamadas?

Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en un plazo de tiempo de menos

de 1 minuto.

4.- Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempo medio que

transcurre hasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran

12 horas antes de que fallen los dos componentes?

En un 30,84% de las situaciones pasarán 12 horas hasta que fallen dos componentes.

5.- En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-

hora) es una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con parámetros α= 3 y =2.

Si la planta de energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un

máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la

demanda?

Distribución normal

supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de

una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media

de 80 Kg y

una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una

persona, elegida

al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona

elegida aleatoriamente

de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–0.9772=0.0228, es decir,

aproximadamente de

un 2.3%.

2.- cuál es la probabilidad que una variable normal

estandarizada se encuentre en los rangos:

1. P(-1≤X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.6827

2. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.4573

3. P(4.5≤X) = 1

3.-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está

normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación

estándar σ = 7.5cm. Encuentre el porcentaje de mexicanas que

están:

a) Entre 153 y 168 centímetros

b) Aproximadamente 170 centímetros

Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está

normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación

estándar σ = 7.5cm.

entonces z1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07

De aquí que:

P(153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815

Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más cercano,

entonces z1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4

De aquí que:

P(169.5≤X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.0213

4.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.

Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.

¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?

Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.

Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.

Note que: μ = np = 100(0.5) =50, σ2 = npq = 100(0.5)(0.5) = 25, por

lo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal para

aproximar la probabilidad binomial como sigue:

b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,

b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:

z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:

P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.0109

5.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad

tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de

3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de

ellos tengan la enfermedad.

Suponga que el 4% de la población de la tercera edad

tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de

3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de

ellos tengan la enfermedad.

μ = np = 3500(0.04) =140, σ2 = npq = 3500(0.04)(0.96) = 134.4, por

lo que σ = 11.6. Se usa entonces la distribución normal para

aproximar la probabilidad binomial como sigue:

b(k ≤ 150) ≈ N(X ≤ 149.5). Tras transformar, a = 149.5, en unidades

estándar se obtiene: z1 = (149.5-140)/5= 0.82 De aquí que:

P(X≤149.5) = normcdf(0.82) = 0.7939

Distribución T de student

1.-Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17 individuos de los

que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellas cuantitativa con

distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), y la otra variable

dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datos se presentan de forma

que en las filas hay varios individuos para facilitar la lectura:

Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendo igualdad

de varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguiente contraste:

H0: m1 - m2 = 0

H1: m1 - m2 ¹ 0

mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad y no

igualdad de varianzas.

2.- Un f abricante de focos afirma que sus producto durará un promedio de 500 horas de

trabajo. Para conservar este promedio esta persona verif ica 25 focos cada mes. Si el valor y

calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisf echo con esta afirmación. ¿Qué

conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 f ocos cuya duración fue?:

Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está

por encima de esta, y por lo tanto deber ía estar por encima de 500.

3.- Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de agua que utilizan por día (1 galón = 0.0037854 m3) fue el siguiente:

175 185 186 118 158 150 190 178 137 175 180 200 189 200 180 172 145 192 191 181 183 169 172 178 210

Con base en esta información: a) Hallar un intervalo de confianza del 90% b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160 galones por día, ¿Podría pensarse que hay un problema de escasez de agua en la ciudad?

x=175.76; n=25; s=20.79; a=0.1; ν=24; µ=160; t(a2, ν)=1.711 µ: x ± t(a2, ν) sn

µ: 175.76 ± 1.711 20.7925 Iµ = [168.65, 182.87]

4.- A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes: 165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.

5.- Una maquina se encarga de llenar botes de jalea con µ gramos, pero no los

llena con la cantidad exacta. Suponte que los pesos reales de contenido

siguen una ley normal N (µ, s2).

Si de una muestra de 16 botes obtenemos una media de 298g, investiga si un

intervalo de confianza para µ del 95%, contiene la media µ = 300.