Ejemplo Raices Unitarias y Cointegracion

Facultad de Economía Universidad del Rosario

Jesús Otero Cardona.

1

Ejemplo 1: Prueba de raíz unitaria de Dickey y Fuller

Este ejemplo utiliza información del archivo erate1.wf1. Sea LO el logaritmo de la tasa de

cambio oficial peso-dólar en Colombia para el período 1970:1 a 1991:11 con una

frecuencia mensual.

Tasa de cambio Diferencia de la tasa de cambio

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

LO

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

DLO

Función de autocorrelación del logaritmo de la tasa de cambio en niveles y primeras diferencias

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

LO DLO



2

Para efectuar la prueba ADF seleccionamos 12=Maxp aunque los rezagos 2 a 12 no son

estadísticamente significativos por lo que el modelo escogido únicamente incluye un

rezago de la variable dependiente.

Prueba Aumentada de Dickey y Fuller

(Modelo con intercepto y tendencia)

Dependent Variable: DLO Sample(adjusted): 1970:03 1991:11, 261 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.002042 0.001833 1.113679 0.2665 T 1.81E-05 1.07E-05 1.696677 0.0910

LO(-1) -0.000579 0.000733 -0.789413 0.4306 DLO(-1) 0.863409 0.031589 27.33271 0.0000

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(12) F Test 0.922785 p.val 0.524668 ADF Test 0:0 =γH -0.789413 5% Critical Value* -3.4283 *MacKinnon (1991). Φ3 0: 10 == γαH 4.717332 5% Critical Value* 6.34 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 0: 100 === γααH 5.939307 5% Critical Value* 4.75 * Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.



3

Prueba Aumentada de Dickey y Fuller

(Modelo con intercepto)

Dependent Variable: DLO Sample(adjusted): 1970:03 1991:11, 261 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.000758 0.000801 -0.946517 0.3448

LO(-1) 0.000600 0.000235 2.551187 0.0113 DLO(-1) 0.873904 0.031090 28.10901 0.0000

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(12) F Test: 0.907279 p.val 0.540260

ADF Test 0:0 =γH 2.551187 5% Critical Value* -2.8727 *MacKinnon (1991). Φ1 0: 00 == γαH 7.415605 5% Critical Value* 4.63 * Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

CONCLUSION: LO es I(1) con deriva



4

Ejemplo 2: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración es conocido

En este ejemplo se utiliza el archivo us_rates.wf1, que contiene información trimestral

para el período 1960:1 a 1995:4 de las tasas de interés a corto (3 meses) y largo plazo (mas

de 10 años) en los Estados Unidos. La teoría de la estructura de las tasas de interés indica

que la diferencia o spread entre la tasa de largo plazo y la tasa de corto plazo debe ser

estacionario, pues de otra forma se presentarían oportunidades de ganancias

extraordinarias. Es decir, en el largo el diferencial entre las dos tasa debe ser relativamente

constante, o por lo menos debe fluctuar alrededor de un determinado nivel.

Tasas de interés

2

4

6

8

10

12

14

16

60 65 70 75 80 85 90 95

R3 RL

Diferencial de tasas de interés

-4

-2

0

2

4

6

60 65 70 75 80 85 90 95

SPREAD



5

Función de autocorrelación de las series de tasas de interés

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

R3 DR3

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

RL DRL

Función de autocorrelación del diferencial de tasas de interés

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SPREAD



6

Pruebas de Raíz Unitaria sobre las series R3 y RL

Dependent Variable: DR3 Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.394016 0.169399 2.325966 0.0214 T 0.000311 0.001392 0.223454 0.8235

R3(-1) -0.069102 0.024825 -2.783581 0.0061 DR3(-1) 0.390297 0.078898 4.946842 0.0000 DR3(-2) -0.409847 0.082876 -4.945304 0.0000 DR3(-3) 0.418391 0.084856 4.930622 0.0000 DR3(-4) -0.168250 0.082241 -2.045817 0.0426 DR3(-5) 0.282749 0.079082 3.575404 0.0005

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM(4) F Test: 1.302885 p.val 0.271859 ADF Test 0:0 =γH -2.783581 5% Critical Value* -3.4396

*MacKinnon (1991). Φ3 0: 10 == γαH 4.080839 5% Critical Value* 6.34 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 0: 100 === γααH 2.721680 5% Critical Value* 4.75 * Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

Dependent Variable: DR3 Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.409664 0.153747 2.664530 0.0086

R3(-1) -0.067435 0.023600 -2.857362 0.0049 DR3(-1) 0.388757 0.078342 4.962285 0.0000 DR3(-2) -0.411065 0.082429 -4.986926 0.0000 DR3(-3) 0.416526 0.084171 4.948578 0.0000 DR3(-4) -0.169428 0.081806 -2.071102 0.0401 DR3(-5) 0.280856 0.078372 3.583625 0.0005


ADF Test 0:0 =γH -2.857362 5% Critical Value* -2.8802 *MacKinnon (1991). Φ1 0: 00 == γαH 4.083949 5% Critical Value* 4.63 *Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

CONCLUSION: R3 es I(1) sin deriva



7

Dependent Variable: DRL Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.167370 0.110763 1.511065 0.1329 T -0.000697 0.000986 -0.707084 0.4806

RL(-1) -0.014021 0.018231 -0.769044 0.4431 DRL(-1) 0.243679 0.081825 2.978034 0.0034 DRL(-2) -0.042026 0.084214 -0.499037 0.6185 DRL(-3) 0.114329 0.084116 1.359187 0.1762 DRL(-4) -0.011158 0.084425 -0.132160 0.8950 DRL(-5) -0.171814 0.082645 -2.078954 0.0394


ADF Test 0:0 =γH -0.707084 5% Critical Value* -3.4396 *MacKinnon (1991). Φ3 0: 10 == γαH 1.370962 5% Critical Value* 6.34 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 0: 100 === γααH 0.932376 5% Critical Value* 4.75 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

Dependent Variable: DRL Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones


RL(-1) -0.021787 0.014526 -1.499869 0.1358 DRL(-1) 0.252549 0.080721 3.128680 0.0021 DRL(-2) -0.034624 0.083419 -0.415064 0.6787 DRL(-3) 0.123146 0.083045 1.482884 0.1402 DRL(-4) -0.003485 0.083582 -0.041690 0.9668 DRL(-5) -0.162115 0.081359 -1.992574 0.0482


ADF Test 0:0 =γH -1.499869 5% Critical Value* -2.8802 *MacKinnon (1991). Φ1 0: 00 == γαH 1.152500 5% Critical Value* 4.63

*Dickey y Fuller (1981), Tabla IV, n = 250 observaciones.

CONCLUSION: RL es I(1) sin deriva



8

Dependent Variable: DSPREAD Sample(adjusted): 1960:3 1998:4, 154 observaciones


SPREAD(-1) -0.134698 0.038280 -3.518781 0.0006 DSPREAD(-1) 0.302477 0.080141 3.774311 0.0002 DSPREAD(-2) -0.270036 0.081796 -3.301334 0.0012 DSPREAD(-3) 0.263063 0.083988 3.132148 0.0021 DSPREAD(-4) -0.094134 0.079880 -1.178433 0.2405 DSPREAD(-5) 0.265657 0.079037 3.361173 0.0010


ADF Test Statistic -3.518781 1% Critical Value* -3.4738 5% Critical Value -2.8802 10% Critical Value -2.5766 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

CONCLUSION: La hipótesis nula de la presencia de una raíz unitaria se rechaza, lo que

indica que el diferencial entre las dos tasas de interés es estacionario.

Es decir las dos series están cointegradas con vector ( )'1,1 − .



9

Ejemplo 3: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración NO es conocido

En este ejemplo se utiliza el archivo coffee.wf1, que contiene información trimestral para

el período 1963:1 a 1998:2 de las series de precios del café Colombiano (COL) y de la

variedad de Otros Suaves (OM) en el mercado de Nueva York. Las dos series están en

logaritmos. Como estas dos variedades de café pueden ser consideradas como sustitutas,

estamos interesados en investigar si los precios de estas dos variedades mantienen una

relación de equilibrio de largo plazo, de forma tal que los desequilibrios de corto plazo

desaparecen en el tiempo.

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

65 70 75 80 85 90 95

LCOL LOM

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

COL DCOL

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

OM DOM



10

Residuos de la ecuación de cointegración

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

65 70 75 80 85 90 95

LCOL Residuals

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

65 70 75 80 85 90 95

LOM Residuals

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

LCOL residuals

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

LOM residuals



11

Dependent Variable: DLCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones


LCOL(-1) -0.055900 0.026199 -2.133644 0.0347 DLCOL(-1) 0.387277 0.083922 4.614719 0.0000 DLCOL(-2) -0.288190 0.087868 -3.279811 0.0013 DLCOL(-3) 0.322602 0.086542 3.727702 0.0003 DLCOL(-4) -0.171226 0.086683 -1.975316 0.0503


ADF Test 0:0 =γH -2.133644 5% Critical Value* -3.4419 *MacKinnon (1991). Φ3 0: 10 == γαH 2.392271 5% Critical Value* 6.34 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 0: 10 == γαH 1.781207 5% Critical Value* 4.75 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

Dependent Variable: DLCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones


LCOL(-1) -0.036215 0.019182 -1.887930 0.0612 DLCOL(-1) 0.379779 0.083712 4.536740 0.0000 DLCOL(-2) -0.302425 0.086982 -3.476859 0.0007 DLCOL(-3) 0.315664 0.086380 3.654339 0.0004 DLCOL(-4) -0.183685 0.086010 -2.135620 0.0345





12

Dependent Variable: DLOM Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones


LOM(-1) -0.063997 0.028235 -2.266542 0.0250 DLOM(-1) 0.392579 0.084162 4.664577 0.0000 DLOM(-2) -0.228349 0.089680 -2.546263 0.0120 DLOM(-3) 0.247044 0.088459 2.792744 0.0060 DLOM(-4) -0.159291 0.086565 -1.840127 0.0679


ADF Test 0:0 =γH -2.266542 5% Critical Value* -3.4419 *MacKinnon (1991). Φ3 0: 10 == γαH 2.682571 5% Critical Value* 6.34 * Dickey y Fuller (1981), Tabla VI, n = 250 observaciones. Φ2 0: 100 === γααH 1.962719 5% Critical Value* 4.75 *Dickey y Fuller (1981), Tabla V, n = 250 observaciones.

Dependent Variable: DLOM Sample: 1963:1 1998:2 Included observations: 142


LOM(-1) -0.039821 0.020340 -1.957750 0.0523 DLOM(-1) 0.383339 0.083986 4.564304 0.0000 DLOM(-2) -0.244866 0.088841 -2.756227 0.0066 DLOM(-3) 0.238044 0.088325 2.695099 0.0079 DLOM(-4) -0.174907 0.085795 -2.038665 0.0434





13

PRUEBA DE COINTEGRACION

1 Etapa: ECUACION DE COINTEGRACION

(Normalizando en LCOL)

Dependent Variable: LCOL Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones


LOM 0.978268 0.008565 114.2219 0.0000 R-squared 0.989383 Mean dependent var 4.584798 Adjusted R-squared 0.989307 S.D. dependent var 0.564329 S.E. of regression 0.058355 AIC -2.83057 Sum squared resid 0.476737 SBC -2.78894 Log likelihood 202.9706 F-statistic 13046.63 Durbin-Watson stat 0.652722 Prob(F-statistic) 0.000000

2 Etapa: PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRESCOL Sample(adjusted): 1963:2 1998:2, 141 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.24E-05 0.003645 0.011618 0.9907

RESCOL(-1) -0.326328 0.062694 -5.205051 0.0000




14

1 Etapa: ECUACION DE COINTEGRACION

(Normalizando en LOM)

Dependent Variable: LOM Sample: 1963:1 1998:2, 142 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.140079 0.040900 -3.424950 0.0008

LCOL 1.011362 0.008854 114.2219 0.0000 R-squared 0.989383 Mean dependent var 4.496812 Adjusted R-squared 0.989307 S.D. dependent var 0.573795 S.E. of regression 0.059333 AIC -2.79730 Sum squared resid 0.492864 SBC -2.75567 Log likelihood 200.6084 F-statistic 13046.63 Durbin-Watson stat 0.657980 Prob(F-statistic) 0.000000

2 Etapa: PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRESLOM Sample(adjusted): 1963:2 1998:2, 141 observaciones

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.69E-05 0.003718 0.012617 0.9900

RESLOM(-1) -0.329085 0.062887 -5.232931 0.0000




15

Ejemplo 4: Prueba de cointegración donde el vector de cointegración NO es conocido

En este ejemplo se estima una función de demanda por dinero para Estados Unidos

utilizando información trimestral del archivo us_mdemand.wf1. Las series utilizadas son

M2 (M2), PIB (Y), IPC (P) y tasa de interés a tres meses (R), y cubren el período 1959:1

hasta 1987:4. Todas las series, excepto la tasa de interés, se consideran en logaritmos.

Análisis preliminar de las series indica:

♦ )1(~,,2 IPYM con deriva.

♦ )1(~ IR sin deriva

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

60 65 70 75 80 85

LM2

6.0

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

60 65 70 75 80 85

LY87

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

60 65 70 75 80 85

LP87

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

60 65 70 75 80 85

R3

Las series no han sido ajustadas estacionalmente.



16

ECUACION DE COINTEGRACION

Dependent Variable: LM2 Sample: 1959:1 1987:4 Included observations: 116


LY87 1.098189 0.016575 66.25694 0.0000 LP87 0.974280 0.009001 108.2367 0.0000 R3 -1.178484 0.086442 -13.63317 0.0000 Q1 0.075808 0.005111 14.83315 0.0000 Q2 0.027186 0.004984 5.454567 0.0000 Q3 0.038600 0.005002 7.716253 0.0000

R-squared 0.999319 Mean dependent var 6.751865 Adjusted R-squared 0.999281 S.D. dependent var 0.703896 S.E. of regression 0.018874 AIC -5.04366 Sum squared resid 0.038827 SBC -4.87749 Log likelihood 299.5320 F-statistic 26641.39 Durbin-Watson stat 0.853537 Prob(F-statistic) 0.000000

PRUEBA DE COINTEGRACION

Dependent Variable: DRES Sample(adjusted): 1960:4 1987:4 Included observations: 109 after adjusting endpoints


RES(-1) -0.355761 0.098496 -3.611948 0.0005 DRES(-1) -0.117389 0.117791 -0.996592 0.3213 DRES(-2) -0.078701 0.115985 -0.678543 0.4990 DRES(-3) -0.098111 0.116184 -0.844439 0.4004 DRES(-4) 0.295749 0.109130 2.710069 0.0079 DRES(-5) 0.026334 0.103265 0.255016 0.7992 DRES(-6) 0.194570 0.094445 2.060149 0.0420




17

ECUACION DE COINTEGRACION

(Bajo los supuestos de homogeneidad en precios e ingreso)

Dependent Variable: LV2 = LM2 - LP87 - LY87 Sample: 1959:1 1987:4 Included observations: 116


R3 -0.907728 0.071127 -12.76203 0.0000 Q1 0.067953 0.005869 11.57775 0.0000 Q2 0.024081 0.005870 4.102015 0.0001 Q3 0.034442 0.005869 5.868277 0.0000


Dependent Variable: DRES Sample(adjusted): 1960:2 1987:4 Included observations: 111 after adjusting endpoints


RES(-1) -0.230434 0.066808 -3.449193 0.0008 DRES(-1) -0.128996 0.101012 -1.277036 0.2044 DRES(-2) -0.011200 0.096926 -0.115553 0.9082 DRES(-3) -0.186260 0.092641 -2.010558 0.0469 DRES(-4) 0.289957 0.089477 3.240590 0.0016


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Ejemplo Raices Unitarias y Cointegracion