(Übergangsraten von einem Zustand zum anderen)

Fermis Goldene Regel

Ein System mit einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator:

Die stationären Zustände der Schrödingergleichung ergeben sich durch Einsetzen des Ansatzes:

�

ϕ = un( x )e− iEn t /

Das Ergebnis ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

�

H0un = Enun

�

i∂ϕ∂t

= H0ϕ

Annahme: Eigenwerte En und Eigenfunktionen un sind bekannt und Eigenfunktionen bilden eine vollständige orthonormale Menge

�

d 3x∫ uN* ( x )un(

x ) = δNn

Es gibt keine Übergänge zwischen den einzelnen un Zuständen.

Ein ähnliches System soll sich nur durch einen kleinen Wechselwirkungsterm Hint vom ersten System unterscheiden:

�

H = H0 + H int

Anfangszustand |α> wird durch En und un beschrieben, allerdings werden Übergänge zu einem Zustand |β> durch den Störhamiltonoperator Hint hervorgerufen.

Wir bezeichnen ein solches Anfangszustandssystem mit |α>.

aus Frauenfelder/Henley

Schrödingergleichung:

Zur Lösung wird ein vollständiges System ungestörter Eigenfunktionen entwickelt:

�

ψ = an(t)une− iEn t

n∑

Da die Koeffizienten an(t) zeitabhängig sind, ist |an(t)|2 die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand n mit Energie En zu finden.

�

i∂ϕ∂t

= (H0 + H int )ϕ

Einsetzen der Wellenfunktion ψ in die Schrödingergleichung:

mit:

�

˙ a n ≡dan

dt

➥

�

i ˙ a N = < N H intn∑ n > ane

i(EN −En ) t

unter Berücksichtigung von:

�

H0un = Enun

Multiplikation mit u*N von links:

�

d 3x∫ uN* ( x )un(

x ) = δNn

Integration über den ganzen Raum

�

< N H int n >≡ d3xuN*∫ ( x )H intun(

x )

�

i ˙ a nune−iEn t

n∑ = Enanune

−iEn t

n∑ = an(H0 + H int )une

−iEn t

n∑+

Die Menge der Beziehungen für alle N ist äquivalent der Schrödingergleichung.

Nützliche Näherung: System ursprünglich in einem speziellen Zustand des ungestörten Systems und Störung Hint ist schwach.

aα(t) = 1, alle anderen an(t) = 0 für t < t0

Nur ein Entwicklungskoeffizient ist ≠ 0. Durch schwache Störung treten nur wenige Übergänge auf, d.h. in niedrigster Ordnung gilt:

aα(t) ≈ 1, an(t) << 1, n ≠ α, für alle t

�

˙ a N = (i)−1 < N H int α > ei(EN −Eα ) t

➥

Einschalten von Hint zur Zeit t0 = 0 und danach zeitunabhängig ergibt die Integration für N ≠ α:

�

an(T ) = (i)−1 < N H int α > dt ei(EN −Eα ) t

0

T∫

�

aN (T ) = < N H int α >EN −Eα

1− ei(EN −Eα )T /[ ]

oder

�

eixbdx = 1b(1− eiab )

0

a∫mit

Die Wahrscheinlichkeit das System nach einer Zeit T in einem bestimmten Zustand N zu finden ist gegeben durch:

Falls EN sehr verschieden von Eα, so drückt der Faktor (EN - Eα)-2 die Wahrscheinlichkeit stark herab, dass man Übergänge für große T vernachlässigen kann.Es kann jedoch eine Gruppe von EN ≈ Eα geben für die das Matrixelement fast immer unabhängig von N ist (z.B. Zustände im Kontinuum).

Die Übergangswahrscheinlichkeit wird nur in einem bestimmten Bereich wesentlich:

�

Eα −ΔE bis Eα + ΔE,

�

ΔE = 2πT

�

PNα (T ) = aN (T )2 = 4< N H int α > 2

sin2 EN −Eα( ) T2

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

EN −Eα( )2

�

1b(1− eibx )

2

= 4sin2(b x

2)

b2mit

aus Frauenfelder/Henley

Die totale Übergangswahrscheinlichkeit ist die Summe über alle Übergänge:

�

P = PNαN∑ = 4< βH int α > 2

sin2 EN −Eα( )T2

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

EN −Eα( )2

Annahme: Matrixelement unabhängig von N; ΔE/Eα klein gegen 1

�

T >> 2πEα

≈ 4x10−21MeVs

Eα (in MeV)➥

Beim Übergang eines Zustands α unter Aussendung eines Photons, ist dieses frei, d.h. kann in der Energie variieren (Kontinuum: EN→E(N)).

Die Summe für die Übergangswahrscheinlichkeit wird ersetzt durch das Integral:

�

P(T ) = 4 < βH int α > 2sin2 E(N )− Eα( )T

2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

E(N )− Eα( )2∫ dN

Mit:

�

x =E(N )−Eα( )T

2,

�

dN = dNdE

dE = 2TdNdE

dx

�

P(T ) = 4 < βH int α > 2 dNdE

T2

dx−∞

+∞∫ sin2 xx2

Dieses Integral hat den Wert π, d.h.

�

P(T ) = 2πT

< β H int α > 2 dNdE

Hint ist zeitunabhängig, d.h. die Übergangswahrscheinlichkeit ist ~T.

Die Übergangsrate ist die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit:

�

wβα = ˙ P (T ) = 2π

< β H int α > 2 dNdE

heisst Zustandsdichte.

(Fermis Goldene Regel)

�

dNdE

≡ ρ(E)

Der Phasenraum:

�

ΔxΔpx ≥2

Ein Teilchen am Ort x mit dem Impuls px muss die Unschärferelation erfüllen:

Das Teilchen befindet sich in einer Zelle, welche immer das gleiche Volumen haben muss. Die maximale Anzahl von Zellen, die in ein gegebenes Volumen passen, ist durch das Verhältnis des Volumens zum Zellenvolumen gegeben:

�

N = Lp2π

Verwende E = p2/2m um die Zustandsdichte ρ(E) in einer Dimension zu erhalten:

�

ρ(E) = dNdE

= 2 dNdp

dpdE

= L2π

2mp

= L2π

2mE

Es gibt für jede Energie 2 entartete Zustände p und -p

Die selbe Lösung erhält man durch die Betrachtung einer freien Welle in einer Schachtel der Länge L:

�

d2ψdx2

+ 2m2

Eψ = 0

�

ψ = 1Leikx

�

ψ(0) = ψ(x+ L)Periodizitätbedingung:

➥

�

ψ(0) = ψ(L) und

�

k = ± 2πnL,

�

n = 0, 1, 2, ...

Zahl der Zustände pro Impulsintervall für n >> 1:

�

ΔnΔp

≈ dndp

= 1dndK

= L2π

In 3 Dimensionen ergibt sich die Zahl der Zustände in einem Volumen ∫ d3x d3p:

�

N1 = 1(2π)3

d3xd3p∫

Wenn sich das Teilchen in einem Raumvolumen V befindet:

�

N1 = V(2π)3

d3p∫

Als Zustandsdichte ergibt sich jetzt:

�

ρ1 = dN1dE

= V(2π)3

ddE

d 3p =∫ V(2π)3

ddE

p2dp∫ dΩ

dΩ ist das Raumwinkelelement. Mit E2 = (pc)2 + (m0c2)2:

�

ddE

= Epc2

ddp

Weiterhin: (d/dp) ∫ dp → 1

➥

�

ρ1 = V(2π)3

pEc2

dΩ∫

Für Übergänge in alle Zustände unabhängig von der Richtung von p:

�

ρ1 = VpE2π 2c23

Wenn wir 2 Teilchen betrachten, ist die Dichte der Zustände die selbe, nur die Zustandsdichte für Teilchen 2 ist unterschiedlich, weil E die Gesamtenergie beider Teilchen ist:

�

ρ2 = V(2π)3

ddE

d3p1 = V(2π)3

ddE

p12dp1d∫ Ω1∫

�

dE = dE1 + dE2 = p1c2

E1dp1 + p2c

2

E2dp2

Im Schwerpunktsystem gilt, dass die Summe der Impulse gleich 0 ist:

�

p12 = p2

2 → p1dp1 = p2dp2

�

dE = p1dp1(E1 + E2)E1E2

c2

Als Zustandsdichte ergibt sich:

�

ρ2 = V(2π)3c2

E1E2(E1 + E2 )p1

ddp1

p12dp1d∫ Ω1

oder

�

ρ2 = V(2π)3c2

E1E2p1(E1 + E2 )

d∫ Ω1

Erweiterung auf 3 Teilchen analog:

�

p 1 + p 2 + p 3 = 0

�

N3 = V 2

(2π)6d3∫ p1 d3∫ p2

�

ρ3 = V 2

(2π)6ddE

d3∫ p1 d 3∫ p2

Für n Teilchen gilt allgemein:

�

ρn = V n−1

(2π)3(n−1)ddE

d 3∫ p1... d 3∫ pn−1

aus Williams

β-Zerfall90 KAPITEL 2. KERN- UND TEILCHENPHYSIK

41 42 43 44 45 46 47 48Z

-88

-86

-84

-82

-80

Mas

s E

xce

ss [

MeV

]

Mo

Tc

Ru

Rh

Pd

Ag

EC

EC

EC

!"

!"

14 m

14 m

3.3 a

8.5 h

11.1 m

A=101

Abbildung 2.12: !-Zerfall und Elektronen Einfang (EC) fur Atomkerne mit derMassenzahl A = 101. Aufgetragen ist der Massenuberschuss (Mass Excess) derverschiedenen Atomkerne, die chemischen Symbole und die Halbwertszeiten.

Masse des 101Ru. Man konnte sich also vorstellen, dass in diesem Fall unter Gewinn vonEnergie ein Proton in ein Neutron umgewandelt wird, etwa durch die Reaktion

p =! n + e+ + "e . (2.93)

Dabei steht e+ fur das Positron, also das Antiteilchen des Elektrons und "e fur das zughori-ge Neutrino. Dadurch stehen auf der rechten Seite des Reaktionspfeils wieder ein Leptonund ein Anti-Lepton, so dass die Leptonenzahl erhalten bleibt. Diese Reaktion ist fur dasfreie Proton nicht moglich, da die Energiebilanz, der Q-Wert, negativ ist. Fur ein Pro-ton in einem Atomkern ist dieser sogenannte !+ Zerfall aber durchaus denkbar. Er istallerding in dieser Form haufig unterdruckt, da ja dabei ein Antiteilchen erzeugt werdenmuss, also die Energie 2mec2 aufgebracht werden muss. In der Tat ist diese Reaktion ausEnergiegrunden nur moglich wenn

M(A, Z) > M(A, Z " 1) + 2mec2 .

In Konkurenz zu diesem !+ Zerfall steht der Elektroneneinfang (EC; Electron Capture):

p + e! =! n + "e , (2.94)

bei dem ein Elektron aus der Atomhulle eingefangen wird. Die Energiebilanz ist also um2mec2 gunstiger als fur den !+-Zerfall, was naturlich wegen der starken Abhangigkeit derZerfallskonstante von der freiwerdenden Energie diesen Prozess deulich bevorzugt.

So sind die Isobare der A = 101 Kette mit Z > 44 auch alle instabil gegenuber Elektro-neneinfang. Die Halbwertszeiten werden kurzer je großer der Energiegewinn E0 bei diesenUbergangen (siehe Abb. 2.12).

Die Massen der Isobare mit einer ungeraden Massenzahl A zeigen ein recht einfachesVerhalten. Es handelt sich ja dabei entweder um ug oder um gu Kerne, so dass der Beitrag

Massenüberschuss für verschiedene Atomkerne der Massenzahl A=101

2.3. BETA ZERFALL 91

42 44 46 48 50Z

-90

-88

-86

-84

-82

-80

-78

-76

Mas

s E

xce

ss [

MeV

]

gg Kerne

uu Kerne

Mo

Ru

Pd

Cd

Sn

Tc

RhAg

In

EC

!"

A=106

Abbildung 2.13: !-Zerfall und Elektronen Einfang (EC) fur Atomkerne mitder Massenzahl A = 106.

der Paarungsenergie in der Bethe-Weizsacker Massenformel in diesem Fall fur all dieseAtomkerne identisch Null ist. Daher werden die Energien beziehungsweise die Massen dieseIsobare als Funktion von der Kernladungszahl Z in der Bethe-Weizsacker Formel durcheine einfache quadratische Funktion beschrieben, was auch durch die experimentellenDaten sehr gut bestatigt wird. So hat diese Funktion M(Z) auch nur ein Minimum undes gibt deshalb in der Regel auch nur ein stabiles Nuklid fur jedes ungerade A.

Etwas komplizierter ist die Situation bei den Isobaren mit einer geraden Massenzahl A.In diesem Fall mussen wir unterscheiden zwischen gg-Kernen und uu-Kernen. Wegendes Paarenergieterms in der Bethe-Weizsacker Formel sollten die Massen der Isobare alsFunktion von Z in diesem Fall durch 2 Parabeln dargestellt werde: Eine fur die gg-Kerneund eine zweite um die doppelte Paarungsenergie nach oben verschobene fur die uu-Kerne.Auch diese Vorhersage der Massenformel wird durch die Daten sehr gut bestatigt, wie manan dem Beispiel der Isobaren Kette fur A = 106 in 2.13 sehen kann.

In diesem Fall gibt es zwei verschiedene stabile Nuklide, die nicht durch !! oder Elektro-neneinfang zerfallen konnen: 106Pd und 106Cd. Dafur bieten sich dem 106Ag zwei alterna-tive Zerfallsprozesse an: Es kann durch !! Zerfall in 106Cd oder durch Elektroneneinfangin 106Pd zerfallen. Insbesondere wegen des großeren Energiegewinns ist der Elektronen-einfang bevorzugt. Etwa 99.5 Prozent der 106Ag Atome zerfallen mit einer Halbwertszeitvon etwa 24 Minuten uber Elektroneneinfang in 106Pd. Der Rest zerfallt durch !! Zerfallin 106Cd.

Von besonderem Interesse sind Falle, bei denen man stabile Isotope vorliegen hat, diedurch einen doppelten ! Zerfall gleichzeitig 2 Neutronen in Protonen umwandeln. Ent-sprechende Untersuchungen werden mit großem Aufwand durchgefuhrt. Insbesondere in-teressiert man sich fur Prozesse, bei denen dieser doppelte !-Zerfall ohne die Emissionvon Anti-Neutrinos stattfindet, der neutrinolose doppelte Beta Zerfall, da solche Ereig-nisse fundamentale Aussagen uber die Natur der Neutrinos liefern wurde.

β-Zerfall und Elektroneneinfang (EC) für verschiedene Atomkerne der Massenzahl A=106

n → pe– νeudd uud

In Kernen unterscheiden wir zwischen:

• Fermi Übergängen:Elektron-Neutrino im Spin-Singlett Zustand

• Gamov-Teller Übergängen: Elektron-Neutrino im Spin-Triplett Zustand

• Erlaubten Übergängen:Kernspinänderung um |Δj| = 0 oder 1

• Übererlaubten Übergängen:Übergänge zwischen Isospin-Multiplettmitgliedern

• Einfach verbotenen Übergängen:Kernspinänderung um |Δj| ≥ 2 oder Kernparitätsänderung

• Zweifach verbotenen Übergängen:Kernspinänderung um |Δj| = 0 , 1 oder 2 und Kernparitätsänderung