Egy „JEL”: a Fibonacci számsor

jellegzetességei, jelentései, jelenségei

Az ember ugyan nem ért még mindent, de kap jeleket!

(kpc)

„Ha bármi fontosat kihagytam volna, kérem türelmes elnézésüket, hiszen senki nem lehet hiba nélkül való és teljes mértékben előrelátó minden vonatkozásban…”

(Fibonacci)

Leonardo Fibonacci (kb. 1170-1250) sokak szerint a középkor legtehetségesebb matematikusa volt. Ő terjesztette el az arab számokat Európában a Liber Abaci című könyvével. A róla elnevezett számsort nem ő fedezte fel, de példaként használta ebben a művében.

A Liber Abaci kézirata 1202, Firenzei Nemzeti Könyvtár

Fibonacci számok kép--letesen f1 = f2 = 1, fn = fn-1 + fn-2

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

A Fibonacci spirált szokták használni az élet illetve a természet növekedésének illusztrálására, mivel magában foglalja az összes számot amelyet a természetben megtalálunk.

Nem véletlen, hogy a tudósok nem csupán egy véletlent, hanem valami mindenhol

jel--enlévő égi jel--et láttak benne. A számsor és a hozzá kötődő ún. „aranymetszés” arányszámok mindenhol felbukkannak a természetben, a geometriában, az építészetben, a művészetekben.

Néhány példa

„Aurea Sectio” avagy Aranymetszés:

az esztétikai tökéletesség hatását ébresztő arányelosztás.

Két rész (a és b, a>b) az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobbik részhez (a), ahogy a nagyobbik rész (a) a kisebbik részhez (b)

Az aranyarányt numerikusan kifejező irracionális Φ ≈ 1,618 számnak (görög nagy fí) számos érdekes matematikai tulajdonsága van.

A Fibonacci-sorozat első két tagja a 0 és az 1. A következő tagok mindig az őket megelőző két tag összegével egyenlők. (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , 144, 233, 377, 610, …)

A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjainak hányadosából képzett sorozat (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …) határértéke éppen az aranymetszés aránya, a Φ.

Az aranymetszésnek nagy jelentősége van a geometriában. Megjelenik az egyenlő oldalú háromszög és a szabályos ötszög szerkesztésénél is. Egy adott AB=a hosszúságú szakaszt az alábbi módon tudunk aranymetszésnek megfelelően felosztani: Szerkesszünk az AB-re merőlegest az A pontban, melyre mérjük fel az a/2 =AO távolságot. O pont köré rajzoljunk a/2 sugarú kört. Rajzoljuk meg OB egyenest, melynek a körrel való metszéspontjai E és F. Rajzoljuk be BAE és BAF hasonló háromszögeket. (mert egyik szögük azonos, BAE és BFA szögek pedig AB szakaszhoz tartozó kerületi szögek). Jelöljük BE szakasz hosszát x-szel és rajzoljunk B-ből x sugarú kört. AB szakasz és a kör metszéspontja C. A BF szakaszra igaz a következő összefüggés:

Modus Indorum: Az indiaiak módszere vagy Káldeus mágus

tudomány vagy valami más?

Honnan jöttek Európába az ún. arab számok? Fibonacci az indiaiak módszerének hívta a 10-es számrendszer matematikáját.

Mások a Káldeus birodalom asztrológusainak és mágusainak tudását tartják forrásnak, akik már azt is ismerhették, hogy a naprendszer bolygóinak egymástól mért távolsága és mozgása is bizonyos Fibonacci arányokat követ.

Fibonacci a galaxisunkban

Úgy tudjuk, hogy forog a világ, szinte minden minden körül forog. De vajon ez a forgás valóság vagy illúzió?

Néhány példa a természetből: Fibonacci a méheknél

Egy méh kolóniában csak a királynő rak tojásokat. Ha a tojásokat megtermékenyítik, dolgozók (munkásnők) kelnek ki, akik két szülőtől származnak. A hímek ezzel szemben parthenogenezissel (szűznemzés) szaporodnak, ezért csak egy szülővel rendelkeznek.

Az alábbi diagram egy here családfáját mutatja be 7 generáción keresztül, amely jól demonstrálja a Fibonacci sorozatot.

Fibonacci a zenébenA harmónia kifelezés először a zenében jelent meg a pythagoraszi hangsorban, amely a húrmérték és az oktáv összefüggéseiből alakult ki. A tudós matematikus meglátása szerint az egész természet a számok harmóniájára épül, ennek megfelelően a kis számokból származtatta a konszonanciát (jól hangzás), a disszonancia (rossz hangzás) értelmezését a viszonyszámok növekedésére alapozta.

A zenei skálarendszerek: folyamatos hangemelkedést ábrázoló logaritmikus spirális (balra), a felhangsor spirális ábrázolása (jobbra) Király Sándor „Általános Színtan és látáselmélet c. könyvéből

Fibonacci a tőzsdén

A Fibonacci számokat a gyakorlati életben számos előrejelzésre használják, így alkalmazhatónak bizonyultak a tőzsdei pszichológiai folyamatok előrejelzésére is. Mindenesetre sokan úgy tartják, hogy a Fibonacci számok tőzsdei használata esetén amolyan tyúk-tojás problémáról van szó, azaz nem tudni, hogy azért működnek a támasz- és ellenállási szintek, mert mindenki figyeli őket, tehát önmagukat beteljesítő jóslatként értelmezhetők, vagy pedig egyszerűen a mindennapi életben megfigyelhető törvényszerűségeket írnak-e le.

Ezen módszerek közül a leginkább elterjedt a Fibonacci vonalak, melyeket stop loss szintként is érdemes használni. A Fibonacci vonalak grafikonba való berajzolásához két pont közé kell behúzni egy segédvonalat. Sok esetben a történelmi mélypont és csúcspont közé szokták ezt a segédvonalat berajzolni. A hazai parketten igen jól használhatónak bizonyult ez az elemzési eszköz a Magyar Telekom részvények esetében az elmúlt évek során, hiszen a legalsó, 1060 Ft közelében található Fibonacci szint többször is erős ellenállást jelentett papírok árfolyamemelkedésének.

Fibonacci a művészetbenMario Merz (1925-2003)

Merz természeti világból fakadó tudományos miszticizmusának esszenciális formája, kompozícióinak szinte állandó eleme a Fibonacci-számsor.

A sorozat fémdarabokból vagy neoncsövekből megmintázott elemei gyakran spirálformában kúsznak fel Merz iglu-kupolaépítményeinek fém tartószerkezeteire.

Konvergens hányados-sorozat:

Attól függően, hogy a sorozat n. tagját az n+1. vagy az

n-1. taggal osztjuk, egy 0,618-hoz vagy 1,618-hoz konvergáló hányadost kapunk. Miért? Mit jelent az „1” különbség?

„Ami fent az lent”(Tabula smaragdina)

Filozófiai értelemben mit jelenthet egy sorozat határértéke? Talán egy „végtelen közelítést”.

Az aranymetszés hányadosa, mivel a természetben mindenhol megtalálható és az emberi esztétikának is leginkább megfelelő, legharmonikusabb „arány-érték”- tekinthető akár a követendő, „ideális”, isteni érték metaforájának.

Vajon elérjük-e egyszer majd a végtelenben? Vagy Isten mindig pont „1”-gyel jár előttünk?