EG - Fisica I - GIERM - Tema 2 - Vectores Libres - 12-13

1Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera

Tema 2:Vectores Libres*

Fsica IGrado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica (GIERM)

Primer Curso

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*Prof.Dr. Antonio Gonzlez Fernndez y Prof.Dra. Ana M Marco Ramrez

Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera

Las magnitudes fsicas se dividen en escalares, vectores y tensores

Las diferentes magnitudes pueden ser:Escalares

Se caracterizan slo por un nmero (con signo)Vectoriales

Mdulo (cantidad escalar positiva)DireccinSentido

Tensores de orden superiorRepresentables por matrices

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Todas las leyes fsicas poseen homogeneidad en sus expresiones

En todas las ecuaciones debe haber homogeneidad:Los dos miembros son del mismo tipoTodos los sumandos son del mismo tipo

Un escalar nunca puede ser igual a un vectorUn escalar nunca puede sumarse a un vector

Para distinguirlos, es importante incluir las flechas ( ). En los libros, los escalares van en cursiva (A) y los vectores en negrita (A)

A B CA B C= += +

r rr A B CA B C

= += +

r rrr

Correcto Incorrecto

Ar

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Operaciones internas con cantidades escalares: suma y producto

Pueden sumarseEl resultado es un escalarRequiere que los sumandos tengan las mismas unidadesEl resultado tiene las mismas unidades que los sumandosEjemplo: masa de un sistema

Pueden multiplicarseEl resultado es un escalarSus unidades son el producto de las de los factores

La suma y el producto poseen las propiedades asociativa y conmutativa.

1 2 31

n

i Vi

M m m m m M dm=

= + + + = = L

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Vector: ente que posee una direccin y un sentido

Es un ente que adems de su valor escalar (mdulo) posee direccin y sentido. Ej.: Fuerza

Un vector puede darse indicandoMdulo y dos ngulos con los ejes (un ngulo en 2D)Componentes respecto a una base (siempre hay que indicar la base)

( )3 2 NF j k= + +r r rr

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Tipos de vectores

Los vectores pueden ser libres, ligados o deslizantes, dependiendo de la informacin necesaria para describirlos:

Los ligados requieren dar mdulo, direccin, sentido y punto de aplicacin (origen) (ej. campo elctrico)Los deslizantes requieren dar mdulo, direccin, sentido y recta soporte, pero no punto de aplicacin (pueden deslizarse sobre su recta soporte, definida por el punto de aplicacin y la direccin del vector) (ej. fuerzas sobre un slido rgido)Los libres slo requieren dar mdulo, direccin y sentido (pueden trasladarse de un punto a otro) (ej. resultante del conjunto de fuerzas que actan sobre un slido rgido)

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Los vectores pueden sumarse, empleando la regla del paralelogramo

Los vectores pueden sumarse, resultando un vector. Ej. Resultante de dos fuerzas

Puede emplearse la regla del paralelogramo o poner uno a continuacin del otro.Para que se puedan sumar deben ser libres o tener el mismo origenLa suma verifica la propiedad asociativa y la conmutativa

Aur

Bur A

ur

Bur

A B+ur urA B+ur urBur

Aur

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Los vectores pueden multiplicarse por cantidades escalares

Un vector puede multiplicarse por un nmero. Ej. fuerza elctrica sobre una carga puntual

El resultado es otro vectorMisma direccinMismo sentido, si q>0. Opuesto, si q


Combinaciones lineales: unen suma y productos por escalares

Reuniendo la suma de vectores y la multiplicacin por escalares se obtienen las combinaciones lineales. Ej. Cantidad de movimiento de un sistema

1 1 2 2 3 31

n

i ii M

p m v m v m v m v p vdm=

= + + = = r r r r r r r

Ar

Br

3Br

2Ar

2 3A B+r r

Al expresar las componentes de un vector en funcin de una base se hace una combinacin lineal

2 3A i j k= + + rr r r9


Normalizacin

Una vez definido el producto de un vector por un escalar, para obtener un vector unitario con la direccin y sentido de uno dado, basta con dividir dicho vector por su mdulo (normalizacin):

, 1au u ua

= = =rr r

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Base ortonormal dextrgira

Si en E3 tomamos tres vectores unitarios y ortogonales entre s, , construimos una base ortonormal: cualquier vector puede escribirse como combinacin lineal de los vectores de la base. Los vectores de la base generan todos los dems.

Dados los vectores ortonormales, , que forman una base ortonormal, decimos que se trata de una base ortonormal dextrgira si se cumple la regla de la mano derecha.

{ }1 2 3, ,u u u

{ }1 2 3, ,u u ur r r

1 1 2 2 3 3A A u A u A u= + +r r r r

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Componentes de un vector

Dada la base , formada por tres vectores unitarios ortogonales en las direcciones de los tres ejes cartesiano, cada vector puede escribirse como combinacin lineal de dicha base:

Al cambiar de base cambian las componentes, pero NOcambia el vector

r x y j zk= + + rrrr

r x y j z k = + + rrrr

rr

rr

jrjr y

y

Y

X

Y

X Por eso no se deben indicar los vectores como (x,y,z): hay que indicar siempre la base.

{ }, ,j k rrr

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Coordenadas cartesianas de un punto

Dado el punto P, su vector posicinrespecto al origen de coordenadas puede expresarse en funcin de los vectores de la base

La posicin relativa del punto Qrespecto al P, , sera:

{ }, ,j k rrrP x y zr OP p p j p k= = + +

uuur rrrr

( ) ( ) ( )Q x y z

x x y y z z

r OQ q q j q k

PQ OQ OP q p q p j q p k

= = + += = + +

uuur rrrruuur uuur uuur rrr

PQuuur

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Producto escalar: operacin entre vectores que produce un nmero

Dos vectores pueden multiplicarse, resultando un escalar (ej. Trabajo realizado por una fuerza constante)

donde es el ngulo que forman y El producto escalar se anula si los vectores son

ortogonales. Si tenemos las componentes en una base ortonormal

cosF r F r = r rr rFr

rr

( ) ( ) ( ) x y z

x y z

F F i F j F kF r F x F y F z

r x i y j z k

= + + = + + = + +

rr r r r rrr rr

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Producto escalar: propiedades

El producto escalar es conmutativoEl producto escalar NO es asociativo

No se puede definir el producto escalar de tres vectoresSe verifica la desigualdad

El producto escalar es lineal (se pueden quitar parntesis)

( ) ( ) A B C A B Cr r r rr r

( )1 2 1 2 F F r F r F r+ = + r r r rr r r

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Producto escalar de los vectores de la base

Para los vectores se cumple:

siendo la delta de Kronecker.Por eso, el producto escalar, componente a componente, de dos vectores, se puede escribir:

siendo (A1,A2,A3) y (B1,B2,B3) las respectivas componentes de los vectores y en la base

{ }1 2 3, ,u u ur r r( )( )

10i k ik

i ku u

i k = = =

r r

1 1 2 2 3 3A B A B A B A B = + +r r

{ }1 2 3, ,u u ur r rAr Br

ik

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Producto escalar: aplicaciones

Mdulo de un vector:

Distancia entre dos puntos:

Cosenos directores:

2 2 21 2 3a a a a a a= = + +r r r

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3,d PQ PQ PQ q p q p q p= = + + uuur uuur

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 21 2 3

2 2 21 2 3

cos 1, 2,3

cos cos cos 1

i ii

a u a ia a a a

= = =+ ++ + =

r rr

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Producto escalar: ecuacin vectorial del plano

Plano que pasa por el punto P0(x0,y0,z0), de vector posicin y es normal al vector

Dado el punto P (x,y,z), perteneciente al plano, con vector posicin , entonces

es la ecuacin vectorial del plano

Desarrollando, se obtiene la ecuacin implcita:

0 0 0 0r x y j z k= + +

rrrr

N A Bj Ck= + + rr rr

r x yj zk= + + rrrr

0 0 0 0N r N r Ax By Cz Ax By Cz D = + + = + + =r rr r

( )0 0 0N P P N r r = =uuurr r r r

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Producto vectorial: operacin entre vectores que produce otro vector

Dos vectores se pueden multiplicar dando como resultado un vector. Ej. momento de una fuerza

Mdulo

Direccin: la perpendicular a y a Sentido: el dado por la regla de la mano derecha

M r F= r rr

senM r F r F = =r r rr r

Fr

rr

(rea del paralelogramo definido por los vectores)

rrFr

Mr

Mr

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Producto vectorial: propiedades

El producto vectorial es anticonmutativo

El producto vectorial NO es asociativo

El doble producto vectorial es una combinacin lineal de y que veremos ms a fondo en su propio apartado.Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma

Cumple la propiedad cancelativasiendo t un parmetro real

r F F r = r rr r

( ) ( )A B C A B C r r r rr r ( )A B C r rrBr

Cr

( )a b c a b a c + = + r rr r r r rx a x b a b tx = = +r rr r r r r

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Producto vectorial de los vectores de la base

Para la base

Para la base

{ }1 2 3, ,u u ur r r

{ }, ,j k rrr1 2 3 2 3 1 3 1 2 i k k iu u u u u u u u u u u u u = = = = r r r r r r r r r r r r r

0

0

0

j k k j

j k j j j k

k j k j k k

= = = = = = = = =

r rr rr r r rr rr r r rr r

r r r rr rr r

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Producto vectorial: expresin a partir de las componentes

El producto vectorial se anula si los vectores son paralelosSi se conocen las componentes cartesianas, puede calcularse mediante un determinante

( ) ( ) ( )

x y zx y z

y z x yx z

z y x z y x

i j kr xi y j zk

r F x y zF F i F j F k F F F

y z x yx zi j k

F F F FF F

yF zF i zF xF j xF yF k

= + + = == + +

= + =

= + +

rr rrr rr rrrr r r

rr r

rr r

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Producto vectorial: ecuacin vectorial de la recta

Recta r que pasa por el punto P0(x0,y0,z0) con vector de posicin y que va en la direccin del vector

Dado el punto P (x,y,z), perteneciente a la recta, con vector posicin , entonces

, ecuacin vectorial de la rectaLa ecuacin paramtrica, usando la propiedad cancelativa:

, siendo un t parmetro real Y eliminando el parmetro, ecuaciones continuas:

0 0 0 0r x y j z k= + +rrrr

r x yj zk= + + rrrr0 x y zv v v j v k= + +

rrrr

( )0 0 0 0 0v P P v r r = =uuur rr r r r0 0||v P P

uuurr

0 0 0 0 0v r v r r r tv = = +r r r r r r r

0 0 0

x y z

x x y y z zv v v = =

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Producto mixto: unin de un producto escalar y uno vectoriales

Dados tres vectores puede calcularse su producto mixto

Su valor absoluto es igual al volumen del paraleleppedo que tiene por aristas esos tres vectores

( ) ( ), , A B C A B C= r r r rr r

CBA

los tres vectores son coplanarios( ) 0A B C = r rr

( ) ( )||proy VolumenB CA B C B C A = = rrr r r rr r

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Producto mixto: propiedades

Permutabilidad cclica:

Antipermutabilidad cclica:

Pueden intercambiarse los signos de producto

Puede hallarse como un determinante

( ) ( ) A B C A B C = r r r rr r

( )x y z

x y z

x y z

A A A

A B C B B B

C C C

=r rr

( ) ( ) ( ) A B C B C A C A B = = r r r r r rr r r( ) ( ) A B C B A C = r r r rr r

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Producto mixto: aplicaciones

Producto mixto de los vectores de una base ortonormal dextrgira, :

En particular, Dependencia lineal: Si (los tres vectores son coplanarios), entonces se puede poner uno de los tres vectores como combinacin lineal de los otros dos.Por tanto, tres vectores, , constituirn una base vectorial de E3 si, y slo si,

{ }1 2 3, ,u u ur r r( )1 2 3

1 0 00 1 0 10 0 1

u u u = =r r r

( ) 1j k =rrr ( ) 0a b c =rr r

{ }, ,a b crr r( ) 0a b c rr r26

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Producto mixto: ecuacin del plano

Ecuacin del plano, , que pasa por tres puntos no lineados P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) y P3(x3,y3,z3). Todo punto P (x,y,z) que pertenezca al plano cumple la ecuacin:

( ) 1 1 11 1 1 2 1 2 1 2 12 33 1 3 1 3 1

0x x y y z z

PP PP PP x x y y z zx x y y z z

= =

uuur uuur uuur

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Doble producto vectorial: definicin

Dados tres vectores, es el producto vectorial entre el primero y el vector resultante de multiplicar vectorialmente el segundo y el tercero.El vector que resulta es una combinacin lineal del segundo y el tercero, as:

( ) ( ) ( ) A B C AC B A B C = r r r r r rr r r

( ) ( ) ( ) ( ) A B C C A B AC B C B A = = r r r r r r r rr r r r

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Doble producto vectorial: propiedades

No cumple la propiedad asociativa:

Satisface la identidad de Jacobi:

( ) ( ) ( ) 0A B C B C A C A B + + =r r r r r r rr r r

( ) ( ) ( ) A B C AC B A B C = r r r r r rr r r

( ) ( ) ( ) ( ) A B C C A B AC B CB A = = r r r r r r r rr r r r

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Doble producto vectorial: aplicaciones

Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales:

Descomposicin de cualquier vector en una componente tangencial y otra ortogonal respecto de otro vector no nulo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )A B C D C D A B C B D A A D B A C B D A D B C = = = r r r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r rAr

Vr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2A V V V V A V A V V V A V A V V A = = = r r r r r rr r r r r r r r r r( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2,t nA V V A V V A V V A V V

A A AV V V V

= = = r r r rr r r r r r r r

r r r

t nA A A= +r r r

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Observaciones finales

Los vectores y los escalares son entes diferentes que no deben igualarse ni sumarse

Suma de escalares: escalarSuma de vectores: vector

Al hacer un producto debe observarse qu factores y de que tipo de producto se trata

Producto de escalares: escalarEscalar por un vector: vectorProducto escalar de vectores: escalarProducto vectorial de vectores: vector

Los vectores son independientes de la base

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