E.E.S.T. Nº2ecaths1.s3.amazonaws.com/mate1eest2mardel/967535141.Módulo para... · 8 Profesora Erica Kallenbach Una recta: No tiene grosor ni anchura. Pasa por dos puntos dados

E.E.S.T. Nº2

MATEMÁTICA

Primer Año

NOMBRE: ________________________________________

CURSO: __________________________________________

PROFESORA ERICA KALLENBACH

Ciclo Lectivo 2016

EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA

Fecha:

Profesora Erica Kallenbach 2


Fecha:


Hoy comienzas un nuevo ciclo, para algunos de

ustedes una nueva escuela, nuevos compañeros,

seguramente tendrás nuevos horarios.

En este y en los próximos cuatro años de tu vida

tendrás un contacto cercano con la Matemática.

Sabes que ella está presente en nuestra vida

cotidiana, en la ciencia, en la economía, en el

deporte,………

Vamos a ayudarte a descubrirla, a que te guste, a

no tenerle miedo

¡¡¡¡ BIENVENIDO !!!!

Y esperemos no te pase como a Manolito


Fecha:



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PROGRAMA DE CONTENIDOS

MATEMÁTICA DE PRIMER AÑO SECUNDARIA BASICA – E.E.S.T. N2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Unidad Nº1: GEOMETRÍA Y MAGNITUDES

Unidades de medida. SIMELA Nociones básicas de geometría: rectas y ángulos. Ángulos suplementarios y

complementarios. Ángulos opuestos por el vértice Figuras regulares: Triángulos y cuadriláteros. Propiedades. Perímetros y áreas. Circunferencia y círculo, reconocimiento de diferencias. Construcción de figuras

simples.

Unidad Nº 2: NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS.

DIVISIBILIDAD

Números naturales. Números y las seis operaciones, propiedades.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Lenguaje coloquial y simbólico. Divisibilidad, MCM y DCM.

Números racionales positivos, las seis operaciones, ubicación en la recta numérica, representaciones gráficas, razón y porcentaje.

Unidad Nº 3: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Y AL ESTUDIO DE LAS

FUNCIONES

Lectura, interpretación y construcción de gráficos y tablas.

Proporcionalidad: directa e inversa. Interpretación de gráficos. Introducción al trabajo algebraico.

Unidad Nº 4: CUERPOS

Cuerpos: Construcción. Áreas laterales y totales. Volumen.

Magnitudes. Concepto de volumen y equivalencias

Unidad Nº 5: FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESTADÍSTICA

Y PROBABILIDAD.

Probabilidad y estadística, construcción de tablas, análisis de variables. Cálculo

de moda, media aritmética y mediana.


Fecha:



Fecha:


UNIDAD Nº1: GEOMETRÍA Y MAGNITUDES

Recordamos algunos conceptos:

La palabra Geometría proviene del griego y quiere decir “medida de la tierra”. Es

una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de

las figuras en el plano o el espacio.

Euclides, un gran matemático griego (300 a.C.) dijo que la base de la geometría son

el punto, la recta y el plano. A partir de ellos estudiamos todo lo que comprende la

geometría.

Punto

Nos sugiere la idea de un punto:

Un granito de arena.

La marca que deja la punta de un lápiz.

La cabeza de un alfiler.

En geometría el punto se utiliza para representar una posición en el espacio.

El punto no tiene dimensión y se lo representa con una letra mayúscula.

Usualmente se lo dibuja con una bolita rellena o una cruz.

A x A

Recta

Nos sugiere la idea de una recta:

Un hilo extendido y tenso.

Las intersecciones de las caras de una caja.

El borde de una página de un libro.

Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.

La recta no tiene ni principio ni fin.

Para representar una recta, dibujamos una línea con un par de flechas en sus

extremos, aunque a veces solo se dibuja una línea.

Las rectas se nombran utilizando una letra minúscula o dos puntos contenidos en la

recta.

AB,bieno,mctaRe

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)


Fecha:


Una recta:

No tiene grosor ni anchura.

Pasa por dos puntos dados.

Puede tener dirección horizontal, vertical u oblicua:

Plano

Nos sugiere la idea de un plano:

La página de un libro.

La pared del aula.

Un campo de fútbol.

Los planos son conjuntos infinitos de

puntos, sin bordes ni fronteras. No tiene

grosor.

Se suelen representar por medio de figuras

de cuatro lados.

Se nombran generalmente con una letra del alfabeto griego.

Semirrecta

Es una línea recta que tiene principio pero no tiene fin.

Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos semirrectas.

Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de

los cuales pertenece a cada semirrecta:

Semirrecta de origen O que pasa por el punto A. Notación:

OA

Semirrecta de origen O que pasa por el punto B. Notación:

OB


Fecha:


Segmento

Es la porción de una recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

El segmento tiene principio y final.

Se designa por los puntos que lo limitan: AB o BA

Circunferencia y Círculo

Se llama circunferencia al conjunto de puntos que están a la misma distancia de un

punto interior llamado centro.

La circunferencia de la derecha tiene como

centro el punto O. Todo segmento que tiene

como extremo el punto O y un punto de la

circunferencia se llama radio.

Todo segmento que tiene por extremos dos

puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se denomina diámetro de la

circunferencia.

Observación: el diámetro de una circunferencia mide el doble que su radio.

radioelesOA

diámetroelesAB

BO2AO2AB


Fecha:


Los puntos de la circunferencia y los interiores a ella forman un círculo.

Además, en una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:

Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Observación: el diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia.

Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.

Semicircunferencia: es el arco que abarca la

mitad de la circunferencia

cuerdaunaesCD


Fecha:


Longitud de la circunferencia

En cualquier circunferencia, al dividir su longitud entre el diámetro, se obtiene

una cantidad fija algo mayor que tres.

Esa división da siempre 3,1415926 ...

Este número se designa por la letra griega π (pi) y tiene infinitas cifras

decimales que no se repiten.

Para calcular la longitud de una circunferencia, vamos a multiplicar su

diámetro por 3,14.

14,3dL

Ejemplo: la longitud de una circunferencia de 5 cm de

diámetro es: 14,35L

Es decir que su longitud es 15, 7 cm.

ACTIVIDADES:

1. Se dibujaron dos semirrectas en cada dibujo.

El punto O es el origen de las semirrectas.

¿En qué se diferencian cada par de semirrectas?

2. A continuación, dibuja 2 semirrectas más, que tengan origen en el punto O.


Fecha:


3. Con ayuda de una regla, mide los siguientes segmentos.

...............................RS...............................AB..........................MP

4. Usando la regla, traza las semirrectas opuestas a las dibujadas.

5. Dibuja en tu carpeta:

a) Un segmento que mida 3 cm.

b) Una semirrecta que mida 2 cm.

c) Una recta r y el punto S exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a la recta r

y que pasen por el punto S puedes trazar?

d) El segmento AB y el punto S exterior a él. ¿Cuántos segmentos

perpendiculares a AB y que pasen por el punto S puedes trazar?

e) Una circunferencia de radio igual a 2 cm.


Fecha:


6. ¿Cuáles de estos pares de rectas se van a cruzar si se prolongan?

Prolonga las rectas.

7. Encierra en un círculo todos los pares de líneas oblicuas a continuación.

8. ¿Cuáles de estos pares de rectas son perpendiculares? Comprueba usando

una escuadra.


Fecha:


9. Dibuja una circunferencia y señala su centro. Dibuja un radio. Dibuja una cuerda y

señala los dos arcos que se forman.

10. Observa la figura y completa:

AC es un …………………………….

El punto O es el…………………

EFes una …………………………………

BOes un ……………………………………

11. Completa:

Si el radio de una circunferencia es de 4,5 cm su diámetro mide …………cm

Si el diámetro de una circunferencia es de 11 cm su radio mide …………cm

Si el radio de una circunferencia es de 2 cm su longitud es de………..…………cm

12. Calcula y completa la tabla: (π =3,14)

Radio de la

circunferencia

3,5 cm

Diámetro de la

circunferencia 5 cm 10 cm

Longitud de la

circunferencia 25,12 cm


Fecha:


ÁNGULOS Y MEDICIONES

Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el

mismo origen.

.

Un ángulo está formado por:

Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.

Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.

Amplitud o medida: es la abertura que hay entre los lados.(Importante)

Más conceptos:

Cuando dos ángulos tienen la misma amplitud decimos que estos ángulos son

congruentes.

Para nombrar un ángulo podemos utilizar una de las siguientes formas:

BOA ˆ : se escribe el vértice en el medio.

O : se nombra solo el vértice.

: se utiliza una letra griega.

También podemos usar un número en el

interior de la abertura.

Sistema sexagesimal:

Mientras que en el sistema métrico decimal las unidades van de 10 en 10, en el

sistema sexagesimal las unidades van de 60 en 60. Este sistema sirve para medir

los ángulos y tiempos.


Fecha:


Medida de ángulos:

La unidad de medida que usaremos es el grado, que es un ángulo cuya medida es

una de las 360 partes en que se divide una circunferencia. Además el grado se

considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes

iguales llamadas segundos.

Este sistema es llamado sexagesimal y los símbolos de sus unidades son:

Un grado se escribe 1º 1º = 60’

Un minuto se escribe 1’ 1’ = 60”

Un segundo se escribe 1” 1º = 3.600” (60 ⋅ 60)

x 60 x 60

Grado Minuto Segundo

x 3600

: 60 : 60

Grado Minuto Segundo

: 3600

Ejemplo: un ángulo puede medir por ejemplo: = 34° 15’ 28”, podemos escribir el

ángulo en segundos haciendo la reducción.

1) Pasa 34° a minutos

1° ____ 60’

34° ____ 60' . 34 = 2040’

2) Suma los 15’ al resultado del paso 1)

2040’ + 15’ = 2055’

3) Paso los minutos del paso 2) a

segundos

1’ _____ 60”

2055’ _____ 60'' . 2055 = 123.300”

4) Sumo los 28” al resultado del paso (3)

123.300” + 28”= 123.328”

Luego = 123.328”


Fecha:


Y si el ángulo está dado en segundos, ¿cómo se hará para expresarlo en grados y

minutos?

Veamos:

= 34° 15’ 28”

Atención

No es lo mismo 36,5° que 36°5’

36,5° es 36 grados y medio, está escrito en el sistema decimal, para expresarlo en el sistema sexagesimal podemos hacer:

36,5º = 36º + 0,5º

36,5° = 36º 30 0,5º = 0,5 · 60 = 30

36°5’ es 36 grados 5 minutos, está escrito en el sistema sexagesimal, para expresarlo en el decimal hacemos:

5’ =5 : 60 = 0,083°

36°5’ = 36,083º 36°5’ = 36º +0,083°


Fecha:


OPERACIONES CON ÁNGULOS

Otro ejemplo:

Si = 48° y = 16° 23’ 18”

Podemos expresar : 48º = 47º 59’ 60”

47° 59’

luego podemos restar : 48° 60’ 60”

- : 16° 23’ 18”

------------ -------------------------------

- = 31° 36’ 42”


Fecha:


Tipos de ángulos

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos.

Ángulo recto: tiene 90º, es aquel cuyos lados son perpendiculares.

Ángulo llano: tiene 180º, es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual

origen pero sentido opuesto.

Ángulo nulo: tiene 0º, es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual

origen e idéntico sentido.

Por comparación con el ángulo recto:

Es agudo si tiene mayor amplitud que un ángulo nulo y

menor que un recto.

El CBA ˆ es agudo

90CBA0

Es obtuso si tiene mayor amplitud que un recto y menor que un llano.

El BOA ˆ es obtuso

180BOA90

Por comparación con el ángulo llano:

Un ángulo es convexo si es de menor amplitud que el ángulo llano.

El QOP es convexo

180QOP0

Es cóncavo si su amplitud es mayor que la del ángulo llano.

El BOA ˆ es cóncavo

360BOA180


Fecha:


0bservación: En un plano, dos

semirrectas (no coincidentes ni

alineadas) con un origen común

determinan siempre dos ángulos, uno

convexo (el de menor amplitud) y otro

cóncavo (el de mayor amplitud)

convexoesˆ

cóncavoángulounesˆ

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS

Dos ángulos son consecutivos si

tienen solo un lado y un vértice en

común.

y son consecutivos.

Varios ángulos son consecutivos cuando el

primero es común al segundo, el segundo

al tercero y así sucesivamente.

yˆ son consecutivos

y ………………………………

y ……..………………………

Dos ángulos convexos son opuestos

por el vértice, si tienen el mismo

vértice y si los lados de uno de ellos

son semirrectas opuestas a los lados

del otro.

y son ………………………………………

y son ………………………………………

y son …………………………………………

y son …………………………………………

Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.


Fecha:


Dos ángulos son complementarios si

la suma entre ambos es igual a 90°.

y son ………………

Se llama complemento de un ángulo a lo

que falta a éste para completar un ángulo recto.

........................................ˆˆ

es el ……………………………. de

Dos ángulos son suplementarios

cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°.

y son ………………

Por lo tanto el suplemento de un ángulo es lo que le falta a éste para completar los

180º.

43ˆ

137ˆ

........................................ˆˆ

es el ……………………………. de

Dos ángulos son adyacentes cuando

tienen un lado en común y sus otros lados son semirrectas opuestas (es decir, suman 180º).

Luego podríamos decir que: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y

suplementarios.

................ˆˆ148ˆ

32ˆ

y son ………………………

Observación: Todos los ángulos adyacentes son suplementarios pero no todos los ángulos suplementarios son adyacentes.


Fecha:


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando

por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos

iguales.

ˆˆ

Procedimiento:

Dado el ángulo O vamos a trazar su bisectriz.

1º) Con centro en O trazamos un arco, con cualquier

abertura del compás, que corta a los lados del

ángulo en los puntos A y B.

2º) Desde los puntos A y B se trazan dos arcos, que

se cortan en el punto P.

3º) La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une

el punto P con el vértice O.

Actividades:

1) Completa la siguiente tabla.

GRADOS (°) MINUTOS (’) SEGUNDOS (’’)

15° 15 ⋅ 60 = 15 ⋅ 3.600 =

60°

100°

278°

360°


Fecha:


2) Completa esta tabla.

GRADOS (°) MINUTOS (’) SEGUNDOS (’’)

600’

32.400’’

33.600’’

120’

3) Completa la siguiente tabla.

Sistema decimal Sistema sexagesimal

15,5°

38°30’

3,4°

129°15’

4) Dibuja los ángulos que figuran en la tabla siguiente y marca en tu cuaderno una

cruz en la casilla que corresponda.

5) Medí los siguientes ángulos y clasifícalos de acuerdo con su amplitud:


Fecha:


6) Completa el cuadro:

+ - 3 . : 2

80° 15’ 50°

42° 10’ 16” 30° 34’ 52”

20° 60° 20’ 50”

60° 30’ 9°

7) Realiza los siguientes cálculos:

a) La mitad de 149° 16’ 48”.

b) La tercera parte de 278° 27”.

c) El doble de la quinta parte de 63° 40”.

8) Sea =21° 32’ 18” y = 43° 15’ 16”.

Multiplica al primero por 5 y al segundo divídelo por 2, luego suma los resultados.

a) ¿El ángulo obtenido es agudo u obtuso?

b) ¿Y si los restas?

9) Tres ángulos suman 180°. El menor mide 15° 22’ 43’’ y el mayor es seis veces el

menor. Halla la medida del otro ángulo.

10) Completa la siguiente tabla sabiendo que y son complementarios.

15°

60°

35°

0°

45°


Fecha:


11) Completa la siguiente tabla sabiendo que y son suplementarios.

115°

72°

135°

90°

0°

12) Los ángulos de una escuadra miden 45°, 45° y 90°, y los ángulos de la otra

escuadra miden 30°, 60° y 90°. Con esta información, observa las imágenes y

calcula los ángulos indicados:

13) Completa sobre las líneas punteadas:

a) Dos ángulos .................................. suman 90°

b) Si dos ángulos suman 180° se llaman ..................................

c) Si dos ángulos complementarios son iguales, cada uno de ellos mide ...............

d) El suplemento de un ángulo de 27° es un ángulo que mide ...............................

e) El suplemento de un ángulo recto también es.................................

f) El suplementarios de un ángulo agudo es un ángulo ...................

g) El complemento de un ángulo recto es un ángulo ……………………………………………….


Fecha:


14) Traza la bisectriz de los siguientes ángulos:

15) Dibuja un ángulo de 72º y traza su bisectriz.

16) Unir cada par de ángulos con la propiedad correspondiente.

17) Hallar el ángulo correspondiente en cada caso.

a) El complemento de un ángulo de 27˚ 37ʹ 41ʺ.

b) El suplemento de un ángulo de 138˚ 11ʹ 36ʺ.

c) La mitad del suplemento de un ángulo de 61˚ 47ʹ 18ʺ.

d) El triple del complemento de un ángulo de 49˚ 27ʹ 51ʺ.


Fecha:


18) Teniendo en cuenta los datos que proporciona la figura, calcula, sin medir, la

amplitud de los ángulos:

a)

ˆ

ˆ

ˆ

º80ˆ

b)

ˆ

ˆ

ˆ

19) Calcula, sin medir, la amplitud de todos los ángulos de las figuras

20) Calcula, sin medir, la amplitud de todos los ángulos y


Fecha:


TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN

Para recordar:

Realicemos la siguiente actividad para verificar la condición de

la existencia de un triángulo.

a) Recortamos tiras de cartulina con las siguientes medidas:

Ocho tiras iguales de 4 cm y 0,5 cm de ancho cada una;

Dos tiras de 7 cm y 0,5 cm de ancho cada una;

Una tira de 5 cm y 0,5 cm de ancho cada una;

Dos tiras de 3 cm y 0,5 cm de ancho cada una;

Dos tiras de 2 cm y 0,5 cm de ancho cada una.

b) Con las tiras formamos los siguientes triángulos teniendo en cuenta las medidas

que se indican.

Coloca una cruz en los casos que se haya podido formar un triángulo.

cm

cm

cm

I

4

4

2

)

cm

cm

cm

II

2

4

7

)

cm

cm

cm

III

3

4

7

)

cm

cm

cm

IV

4

3

5

)

cm

cm

cm

V

4

4

4

)

A partir de los resultados anteriores, se puede decir que no siempre es posible

construir un triángulo.

Para poder construir un triángulo se debe cumplir la Propiedad triangular: Cada

lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.


Fecha:


ALGUNOS CONCEPTOS.

Se denomina triángulo al polígono que tiene tres lados.

En cualquier triángulo CBA

, se pueden reconocer:

Lados: son los tres segmentos que

limitan el triángulo: BCyACAB, .

Vértices: son los extremos de los

lados: CyBA, .

En un triángulo se consideran dos tipos

de ángulos:

Interior: formado por dos lados:

CyBA ˆˆ,ˆ Exterior: formado por un lado y la

prolongación de otro: .

En todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es 180°.

Lo puedes comprobar de la siguiente manera:

1°) Dibuja en un papel un triángulo acutángulo,

nombra los tres ángulos interiores y márcalos con

un color.

2°) Recorta el triángulo y corta los tres ángulos

interiores, como muestra la figura.

3°) Pega los ángulos del triángulo en forma

consecutiva, notarás que se obtiene un ángulo

llano.

º180CBA

ˆ,ˆ,ˆ


Fecha:


Los triángulos se pueden clasificar según:

Las medidas de sus lados Las medidas de sus ángulos

Decimos que el lado opuesto a un ángulo en un triángulo es el lado que no contiene al vértice de dicho ángulo.

Ejemplo:

Según el CBA

responde:

a) ¿Cuál es el lado opuesto al ángulo A ?

…………………………………………………………………

b) ¿A qué lado se opone el B ?

…………………………………………………………………

Escaleno Sus tres

lados son distintos.

Isósceles Al menos

dos de sus lados son congruentes.

Equilátero

Sus tres lados son

congruentes.

Rectángulo Un ángulo recto.

Oblicuángulos No tienen ángulos rectos.

Acutángulo

Tres ángulos agudos.

Obtusángulo

Un ángulo obtuso.


Fecha:


Observa la siguiente figura:

ˆ yB forman un ángulo……………………………….

El ángulo externo es suplementario del ángulo interior que le corresponde y, en

consecuencia cada ángulo exterior y su interior correspondiente son adyacentes.

En todo triángulo, la suma de los tres ángulos exteriores del triángulo es igual a

360°.

Lo puedes comprobar de la siguiente

manera:

1°) Dibuja en un papel un triángulo

cualquiera, nombra los tres ángulos

exteriores y márcalos con un color.

2°) Recorta los tres ángulos exteriores.

3°) Pega los ángulos en forma consecutiva, notarás que se

obtiene un ángulo de un giro.


Fecha:


La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un lado al

vértice opuesto.

El lado que es perpendicular a la altura se llama base.

Importante: En todo triángulo hay tres bases y tres alturas.

Propiedades de los triángulos isósceles:

Tiene al menos dos ángulos iguales.

La altura correspondiente al lado desigual lo divide en

dos triángulos rectángulos iguales y es bisectriz del

ángulo opuesto al lado desigual.

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus lados.

Ejemplo:

¿Cuál es el perímetro del CBA

?

cmcmcmcmACBCABCBAdelPerímetro

cmBC

cmAC

cmAB

80283319

33

28

19


Fecha:


ACTIVIDADES:

1) Indica en qué casos, con tres varillas de las siguientes longitudes, se puede construir

un triángulo.

Señala la respuesta correcta.

a) 10 cm ; 12 cm ; 14 cm sí no

b) 8 cm ; 7 cm ; 15 cm sí no

c) 12 cm ; 7 cm ; 3 cm sí no

d) 9 cm ; 9 cm ; 9 cm sí no

e) 12 cm ; 8 cm ; 8 cm sí no

f) 15 cm ; 6 cm ; 6 cm sí no

2) Mide la amplitud de los ángulos interiores de cada uno de los siguientes triángulos y

completa la tabla.

a)

b)

c)

Triángulo A B C Clasificación según sus

ángulos

a)

b)

c)


Fecha:


3) Mide los lados de los siguientes triángulos y completa la tabla.

a)

b) c)

4) Completa con “ siempre ” , “ a veces ” , “ nunca ” , según corresponda.

a) Un triángulo equilátero ______________ es rectángulo.

b) Un triángulo equilátero ______________ es acutángulo.

c) Un triángulo escaleno ______________ es acutángulo.

d) Un triángulo isósceles ______________ es rectángulo.

e) Un triángulo acutángulo______________ es equilátero.

5) Pablo dice que no se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° y otro de

120°. ¿Estás de acuerdo con lo que dice Pablo? ¿Por qué?

6) A continuación se presentan ternas de medidas de ángulos. Indica con cuáles es posible

construir un triángulo y con cuáles no. Justifica tu respuesta en cada caso.

a) A = 30°; B = 120°; C = 30° sí No

b) D = 70°; E = 20°; F = 40° sí No

c) G = 85°; H = 60°; J = 40° sí No

Triángulo AB BC AC Clasificación según sus lados

a)

b)

c)


Fecha:


7) Calcula la amplitud del ángulo sombreado.

a)

...........ˆ

28C

b)

...........ˆ

58B

c)

71C

.......A

58B

d)

32C

124A

........B

e)

64C

.......A

......B

f)

.......C

.......A

73B


Fecha:


8) Calcula el perímetro de los siguientes triángulos:

a)

.........CBAperímetro

cm8,2BC

cm4AB

cm5AC

b)


cm1,4BC

cm9,2AB

cm2,5AC

c)


cm3,6BC

cm5,4AB

cm4,3AC

d)


........BC

cm7,2AB

cm5AC

9) Calcula el lado que falta.

cm12CBAperímetro

............BC

cm4AB

cm5AC

cm58CBAperímetro

............BC

cm22AB

........AC


Fecha:


CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.

ELEMENTOS DE LOS CUADRILÁTEROS

Vértices: DCBA ,,,

Lados: ADCDBCAB ,,,

Ángulos interiores: DCBA ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

Ángulos exteriores: ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

Diagonales: BDAC,

Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser:

consecutivos, cuando tienen un vértice en común, u opuestos, cuando no

tienen ningún vértice común.

AB y AD son:

AB y CD son:

Recordá que un vértice es el punto común entre los lados.

Las diagonales son los segmentos que unen dos

vértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene 2

diagonales.


Fecha:


CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

Cuadriláteros Cóncavos y Convexos

Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores

son menores a 180°.

También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar

una recta sobre él, la recta lo cortó a lo más en dos lados.

Un cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores

mide más de 180°.

También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar

una recta sobre él, la recta lo corta en más de dos lados.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS


Fecha:


ÁNGULOS INTERIORES DE LOS CUADRILÁTEROS

Comenzaremos con el cuadrado y el rectángulo. Estos dos cuadriláteros tienen

propiedades casi similares que los hacen fáciles de resolver.

Recuerda que todos los ángulos interiores tanto de un cuadrado como de un

rectángulo miden 90⁰.

Por lo tanto, la suma de todos los ángulos interiores de un cuadrado y de un

rectángulo es 4 x 90⁰ = 360⁰.

Veamos ahora, los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero.

Consideremos el siguiente cuadrilátero CDEF .

Si trazamos la diagonal FD en la figura,

el cuadrilátero queda dividido en dos

triángulos.

Como ya sabemos, la suma de los

ángulos de un triángulo es 180⁰.

Entonces, la suma de los ángulos de un

cuadrilátero es 2 x ………. = ………….

“La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° ”

ACTIVIDADES:

1. Observa los siguientes cuadriláteros.


Fecha:


a) completa el siguiente cuadro con el nombre de sus elementos:

Cuadrilátero Clasificación Vértices Lados Ángulos

interiores

Diagonales

I)

II)

III)

b) Traza las diagonales en cada uno de los cuadriláteros.

c) ¿Qué relación existe entre las diagonales y la clasificación de los cuadriláteros?

2. Observa los cuadriláteros y completa la tabla con el número que corresponda:

Ningún par de

lados paralelos

Solo un par de

lados paralelos

Dos pares de

lados paralelos

a) Ningún lado

congruente

b) Solo un par de lados

congruentes

c) Dos pares de lados

congruentes

d) Todos los lados

congruentes


Fecha:


3. ¿Es posible construir un cuadrilátero con un solo ángulo recto? ¿Y con solo dos? ¿Y

con solo tres?

4. Calcula, sin medir, el valor de x .

x x x x

5. Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden: 65º, 89º y 135º ¿cuánto

mide el cuarto?

6. ¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de

un paralelogramo?

7. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este

paralelogramo?

120ºˆ

8. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, 70D

¿Es cierto que con estos datos es posible calcular, sin

medir, la amplitud de todos los ángulos de la figura?

En caso de que la respuesta sea afirmativa calcula la

amplitud de los otros tres ángulos.

9. Si los lados de un rectángulo miden, respectivamente, 16 cm y 30 cm, ¿cuál es su

perímetro?


Fecha:


10. ¿Cuál es la medida de cada lado de un terreno rectangular cuyo largo es de 80 m y

su perímetro de 300 m?

11. El perímetro de un rombo es 28 cm. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

12. El cuadrilátero ABCD es un rombo, 130D

¿Es cierto que con estos datos es posible calcular,

sin medir, la amplitud de todos los ángulos de la

figura?

En caso de que la respuesta sea afirmativa calcula

la amplitud de los otros tres ángulos.

13. Si dibujas dos segmentos que sean perpendiculares en sus puntos medios y unes

sus extremos, obtienes un cuadrilátero.

Escribe el nombre del cuadrilátero que construiste en los siguientes casos:

a) Para dos segmentos de distinta longitud.

b) Para dos segmentos de igual longitud.

14. El perímetro de un cuadrado es 12,8 cm. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

15. En el trapecio isósceles EFGH ,

cm30EF , cm25FG y cm45EH

calcula su perímetro

16. Calcula la amplitud de los ángulos interiores de cada trapecio.

C

B

A

a

ˆ

ˆ

ˆ

)


Fecha:


C

D

A

b

ˆ

ˆ

ˆ

)

17. Resolver aplicando propiedades del romboide.

a)

R

S

Q

P

ˆ

ˆ

126ˆ

52ˆ

b)

Q

S

R

P

ˆ

ˆ

101ˆ

69ˆ

c)

PQRSPerímetro

cmPQ

cmRS

5

3


Fecha:



Fecha:


UNIDAD Nº2: NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS.

DIVISIBILIDAD

Números Naturales

Los primeros números que estudiamos son los naturales, un conjunto infinito de

números que simbolizamos así:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . ,18, 19, . . . . . . . , 53, . . . . . }

Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta

del siguiente modo:

1 2 3 4 5 6

Tiene un primer elemento que es el 1 y no tiene último elemento

Surgieron con la necesidad del hombre de contar objetos.

Cada uno de los números se obtiene sumando 1 al anterior.

El 0, ¿qué sabemos de él?, que se tardó mucho en reconocerlo como un número, era

muy difícil pensar que a la ausencia de objetos le corresponde el número cero.

Si escribimos N0 significa:

N0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . ,18, 19, . . . . . . . , 53, . . . . . }

Operaciones con N0.



Fecha:


Propiedades de las Operaciones:

PROPIEDAD CANCELATIVA

Si en una expresión tenemos el mismo número sumando y restando se puede

cancelar y el resultado no cambia.

281038310

Utilizando las propiedades resultó más fácil realizar las operaciones.

Ejemplo:

Observa la siguiente operación Propiedades aplicadas

65556555

5524413223

5524413223

5524324123

conmutativa

asociativa

cancelativa


Fecha:


ACTIVIDADES:

1. Ordena de mayor a menor las siguientes distancias. Escribe en cada caso el lugar

que ocupa la cifra de mayor orden.

a) Desde la Tierra hasta el Sol, 150 000 000 kilómetros

b) Una vuelta a la Tierra, 40 000 kilómetros

c) Desde la Tierra hasta la Luna, 384 000 kilómetros

d) Desde el Sol hasta Saturno, 1 400 000 000 kilómetros

e) Un año luz son 9 500 000 000 000 kilómetros

2. Preferencia en las operaciones:

2.318)f

2.318)e

2.3:18)d

2.3:18)c

2318)b

2318)a

3. Completa la tabla. Observa el primer ejemplo resuelto.

Propiedad

conmutativa

Propiedad

Asociativa Resolución

400+15+20+5 400+20+15+5 (400+20)+(15+5) 420+20=440

250+18+50+12

123+24+17+36

4. Para cada situación, descubre la regularidad y completa las rectas con los números que faltan.


Fecha:


5. Analiza si las siguientes operaciones son verdaderas o falsas, escribe un ejemplo cuando sea posible.

a) Todo número natural tiene consecutivo.

b) Todo número natural tiene antecesor. c) El conjunto IN tiene un último elemento.

d) Entre dos números naturales siempre hay un número natural. e) El conjunto IN tiene infinitos elementos.

6. Completa el cuadro con los resultados de las cuentas indicadas, cuando sea posible resolverlas y el resultado sea un numero natural.

a B a+b a-b a.b a:b

36 4

20 36

27 0

22 44

0 7

6. Calcula:

a) 255 + 45 · 5= e) 28 · ( 24 – 16) · 2 =

b) 215 + 40 : 5= f) 488 · ( 88 + 32) : 8 =

c) 18 · 6 – 45 : 3 + 18= g) 24 · 9 + 36 : 3 .6 - 27 =

d) [3+2.(4+2.3) .2 +6: [2+(30-2.15)= h) [8+3.(4+2.4).[(4+2.8+1).4+1=

7. En el número 611, se cambia la cifra de las decenas por un 7, y se obtiene un nuevo

número. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?

8. Mi padre tiene 36 años, mi madre 34 y yo 12. ¿Cuántos años tendrá mi madre

cuando yo tenga 21 años?

9. Restando de 91 un número hemos obtenido otro formado por dos cuatros. ¿Cuál

es el número restado?

10. ¿Cuál es el número que al dividirlo por 34 da cociente 17 y resto 7?


Fecha:


11. Completa el siguiente cuadro según los distintos valores que conozcas de los

elementos que intervienen en la división

Dividendo

A

Divisor

b

Cociente

c

Resto

r

rcba .

29 4

116 9

27 1 6

37 = 7 . 5 + 2

15 5

125 5 0

12. Resuelve haciendo el diagrama de árbol.

a) Felipe quiere ordenar en un estante tres libros ¿De cuántas formas puede

hacerlo?

b) Ainoha quiere comer un sándwich y le ofrecen distintas variedades: de pebete

o de miga, con jamón cocido, o queso o salame, puede elegir mayonesa o sin

aderezo. ¿Cuántas variedades de sándwich puede elegir?


Fecha:


13. Lee atentamente y responde.

a) Observa la serie de cuadrados y dibuja otro más

b) Calcula la cantidad de puntos que forma cada cuadrado, usando una

multiplicación.

c) Si un cuadrado está formado por 81 puntos. ¿Cuántos puntos tiene cada lado?

Potenciación y Radicación en NO


Fecha:


ACTIVIDADES:

14. Completa la tabla.

Potencia Se lee…. Se resuelve…….

52 Cinco al cuadrado 5 . 5 = 25

43 Cuatro al cubo 4 . 4 . 4 = 64

72

25

Diez a la cuarta

Seis al cubo

15. Completa la tabla.

Número 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12

Cuadrado

Cubo

16. En un laboratorio se está estudiando el

crecimiento de una población de bacterias. Para

esto, se hace un recuento de las bacterias una

vez por hora, durante seis horas.

a) Completa los datos que faltan en el registro

de la cantidad de bacterias

hora Cantidad de bacterias

1 2

2 4

3

4

5

6

b) ¿Cuántas bacterias habrá después de ocho horas? Escribe el cálculo que usaste

para encontrar el resultado.


Fecha:


17. Luis y Camila están estudiando para la evaluación. Luis dice que para resolver 24

hay que hacer 2.4 y Camila dice que hay que hacer 2.2.2.2 ¿Quién tiene

razón?¿Por qué?

18. Resuelve. Tené en cuenta el ejemplo

a) 255porque525 2 d) 49porque49 2

b) 64porque64 2 e) 210porque10

c) 8porque8 33 f) 64porque64 33

19. Completa los siguientes cuadros (sin utilizar la calculadora).

Número 0 1 25 36 100 144 16 64 49 9 81 4 121

Raíz Cuadrada

20. Decir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

a) 28 = 22 . 26 = 25 . 23

b) 8 + 3 2 = 82 + 32

c) (8 3)2 = 82 32

d) (23)2 = 25

e) 54 = 45

f) (23)2 = 26

g) 2655 20

h) 743 222

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la

potencia:

Número 0 1 125 64 216 27 343 729 512 8 1000

Raíz Cúbica


Fecha:


PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Distributiva con respecto al producto (2 . 6) 3 = 23 . 63

Distributiva con respecto a la división ( 6 : 3) 2 = 62 : 32

Producto de potencias de igual base 54 . 53 = 54+3 = 57

División de potencias de igual base 78 . 75 = 78-5 = 73

Potencia de potencia 124.343 222

Observación: Como se vio en el ejercicio anterior la potencia no es distributiva con

respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades de la Radicación

Distributiva con respecto al producto

4 .25 = 4 . 25

100 = 2 . 5

Distributiva con respecto a la división

1000: 83

= 10003

∶ 83

1253

=10 : 2

Observación: La radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

ACTIVIDADES:

21. Resuelve aplicando propiedades de potenciación. Expresa como única potencia.

a) 51 . 52 b) 33 . 312. 323 c) 20 . 2 . 22 . 23

d) 1318 6:6 e)

18 16:16 f) 314 5:5

g) (82)1 h) (122)3 i) (43)3

j) (105)2 : 104 k) 53 .54 :56 l) 35 . (32 )4 : 315


Fecha:


22. Revisa si los ejercicios están bien resueltos, si están correctos marca con si

están incorrectos marca :

a) 333 632 ............

b) 853 1010 .........

c) 1022222 ..........

d) 413 331 ..........

e) 65 : 64 = 6.........

f) 85 : 85 = 8.........

g) 165 : 16 = 164.........

h) 333 125.8125.8 …………

i) 64366436 …………

j) 4:644:64 …………

k) 16251625 …………


Fecha:


ACTIVIDADES:

23. Une con flechas cada cálculo y resultado

24. Resuelve cada uno de los siguientes cálculos

25. Coloca los números que faltan en los siguientes cálculos:

26. Resuelve:

a) 2 1449 3210 b) 323 812555

21236

c) 3 278 38 33 d) 91443622315

e) 24·32 – 32· 4 = f) 25·42 + 34: 3 – 42· 5 =


Fecha:


Lenguaje Coloquial y simbólico

El lenguaje coloquial es el que utilizamos para expresarnos y el lenguaje simbólico es

el que utiliza la matemática.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

El doble de trece 2 . 13

La mitad de cincuenta 50 : 2

La suma entre cinco y doce 5 +12

El producto entre ocho y diez 8 . 10

La diferencia entre nueve y cuatro 9 - 4

El cubo de 8 83

También se puede expresar en lenguaje simbólico situaciones que hagan

referencia a un número cualquiera, al que se lo denomina generalmente con la

letra x.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

El triplo de un número 3 . x

La tercera parte de un número x : 3

El producto entre un número y ocho

El cociente entre un número y seis x : 6

El siguiente de un número x + 1

El anterior de un número

La diferencia entre un número y tres x - 3

La raíz cuadrada de 25

El doble del cubo de un número

El cubo del doble de un número

La diferencia entre el cuadrado de 12 y

un número


Fecha:


“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una

condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje

corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que

podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción.”

"Cómo resolverlo"George Polya

Ecuaciones

El lenguaje simbólico te servirá de ayuda para resolver problemas, podrás traducir

del lenguaje coloquial al simbólico y resolver fácilmente.

Observa el siguiente ejemplo:

“Agustín, haciéndose el misterioso, les decía a sus compañeros: ``Elije un número,

Súmale siete, Multiplica el resultado por dos, Réstale ocho, Divide el resultado por

dos, Réstale el número que elegiste”

La curiosidad radica en que cualquiera sea el número elegido, se obtiene siempre el

mismo resultado: 3 ; lo que podríamos mostrar de distintas formas.

Si usamos lo que aprendimos podemos escribir:

1. Elije un número x

2. Sumale siete x + 7

3. Multiplica el resultado por dos 2 ( x + 7 ) = 2x + 14

4. Restale ocho 2x + 14 – 8 = 2x + 6

5. Dividel resultado por dos (2x + 6) : 2 = x + 3

6. Restale el número que eligiste x + 3 - x = 3


Fecha:


Una ecuación es una igualdad en la que aparece por lo menos una letra (llamada incógnita) que representa un número desconocido. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifique a la

igualdad.

Ejemplos de cómo se resuelve una ecuación

En una expresión más compleja debemos, primero, separar los términos de cada

uno de los miembros luego resolver y por último verificar la solución hallada.


Fecha:


ACTIVIDADES:

27. Si la edad de Ana en años se designa con x, expresa simbólicamente:

a) la edad de Ana dentro de tres años:......................................................

b) la edad de Andrés, que es la cuarta parte de la de Ana:.........................

c) la edad de Andrés hace dos años:..........................................................

d) el triple de la edad de Ana:......................................................................

e) el triple de la edad de Ana dentro de 5 años:..........................................

28. Relaciona uniendo con flechas:

a) la diferencia entre dos números es 55 x – y = 55

b) la suma entre un número y el doble de otro es 55

c) el doble de la suma de las edades de Ana y Juan es 55 x + 2y = 55

d) el número de niños supera al de niñas en 55

e) el doble de la edad de Juan agregada a la de Roque es 55 x + y = 55

f) un kg de un producto más 2kg de otro cuestan $55

g) el doble del dinero invertido por dos niños en artículos

escolares es $55 2 (x+y) = 55

h) el número de Ha. sembradas con trigo supera al

de las sembradas con avena en 55Ha.

29. Juana gastó en la librería $250. Después en la tienda quiso comprar 3 metros de

una tela que valía $90 el metro, pero le faltaban $60. ¿ Cuánto dinero tenía Juana

antes de entrar a la librería? ¿ Cuál de las siguientes expresiones permite

resolver el problema?

a) (250 + 90 ) . 3 – 60

b) 250 + 90 . 3 – 60

c) 250 – ( 90 . 3 – 60 )

d) 250 + 90 : 3 – 60

30. Une que una flecha las expresiones equivalentes:

2x +2x 3x

5x-2x x

x+x 6x

4x+2x 4x

7x-6x 2x


Fecha:


31. Señala cual de los valores de la incógnita es solución de la ecuación.

a) x + 6 = 1 0 x = 1 6 x = 4 x = 5

b) 7 = Y + 2 y = 5 Y = 9 Y = 6

c) b-3=8 b=lO b=5 b=11

d) 5 - x = 3 x = 1 x = 2 x = 3

e) 13 . m = 260 m = 2 m = 20 m = 13

f) 36 : y = 4 Y = 32 Y = 10 Y = 9

g) 5 . x - 4 = 11 x = 3 x = 1 x = 7

h) x + 14 = 20 - x x = 6 x = 1 7 x = 3

32. Resuelve:

a) 175.2 x d) 1514 xxx g) 245.5 2 x j) 732.3 2 x

b) 742 xx e) 1611)27( x h) 91x k) 342

x

c) 3538 xx f) 213)2.(2 xx i) 42.3 x l) 3862

2

x

33. Plantea y resuelve las siguientes ecuaciones

a) En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de

mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?

b) Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su

hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38

años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

c) Pedro, Pablo y Paloma reciben $ 1 200 como pago por su trabajo de

socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, y

Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?

d) Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la quinta

parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le quedan $2,70?


Fecha:


Divisibilidad

Múltiplos y Divisores


“Un número es múltiplo de otro cuando éste lo contiene una cantidad exacta de

veces”, ó lo que es lo mismo, ”Un número a es múltiplo de b, si el resto de la división

de a por b es cero”

O también podemos decir que:

“b es divisor de a cuando b está contenido en a una cantidad exacta de veces

Ejemplo: 20 es múltiplo de 5

5 es divisor de 20.

Escribe ahora los múltiplos de 7, 9 y de 12

M(7)=

M(9)=

M(12)=

Podemos ver que:

“Todos los números tienen infinitos múltiplos.”

“ 0 es múltiplo de todos los números.”

Ahora vamos a escribir los divisores de 18,48 y de 19

D(18)=

D(48)=

D(19)=

Vemos que:

“ El conjunto de divisores de un número es finito.”

“ 1 es divisor de todos los números.”


Fecha:


Números primos y números compuestos

Vamos a seguir investigando y sacando conclusiones, para eso te pido que escribas:

¿Cuáles son los divisores . . .

de 14?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de 5?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 6? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de 25? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de 13? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De los números anteriores:

a) ¿Cuáles tienen un único divisor?

b) ¿y solo dos divisores?

c) ¿más de dos divisores?

“Un número natural es primo si tiene solo 2 divisores distintos” ( El mismo

número y el 1)

“Un número natural, distinto de 0, es compuesto si tiene más de 2 divisores

distintos. ”

¡El 1 no es ni PRIMO ni COMPUESTO!

Factoreo de un número

Todo número compuesto puede escribirse como producto de dos o más factores primos. Esta forma de expresar un número se llama Factorizacion o Descomposicion en factores primos. Ejemplo: Escribimos al número 210 como un producto de sus factores primos de dos maneras distintas.

a) ......................x.......272

........

...............

.........

.......4

........

8

72


Fecha:


b)

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

Observación:

2310

770

110

10

5

1

3

7

11

2

5

2310

330

110

55

11

1

7

3

2

5

11

2310

210

105

21

3

1

11

2

5

7

3

Si miraste detenidamente el 2310 se ha descompuesto en factores primos

comenzando de diferentes maneras pero siempre llegamos a lo mismo, sus factores

primos son 2, 3, 5, 7 y 11

Pues: La descomposición en factores primos de un número natural cualquiera es única.

Para factorear un número, por comodidad, solemos empezar por el 2, luego 3 y así en

orden creciente, como para no olvidar a ninguno de los primos, pero no es indispensable

que lo hagas así, puedes comenzar por el que quieras, pero CUIDADO debe ser

PRIMO.


Fecha:


m.c.m y D.C.M

Lean atentamente y respondan:

Ainoha, Norma y Karina son

azafatas y trabajan para distintas compañías aéreas. Cada vez que se encuentran almuerzan juntas en el

aeropuerto de Buenos Aires. Ainoha vuela a Buenos Aires cada 6

días, Norma cada 8 días y Karina cada 12 dias.

a) Si almorzaron juntas el 1 de abril, ¿dentro de cuantos días volverán a

encontrarse?

b) ¿Cuántas veces se reunirán en un año?


Fecha:


Método Práctico para hallar el D.C.M.

D.C.M. (12;18)

1º) Se descompone cada número en sus factores primos

12

6

3

1

2

2

3

18

9

3

1

2

3

3

12 = 2 . 2 . 3 =22 . 3 18 = 2 .3 .3 = 2 . 32

2º) Se eligen los factores comunes a la mínima con su menor exponente.

El 2 es común a los dos números. En el 12 está 2 veces

En el 18 está una vez

se elige una vez 2

El 3 es común a ambos números.

En el 12 está una vez En el 18 está 2 veces

se elige una vez 3

luego como no hay más factores comunes, se multiplican los valores hallados.

D.C.M. (12;18) = 2 . 3 = 6

Observa el siguiente ejemplo más complicado

D.C.M.(45, 30, 60)

45

9

3

1

5

3

3

30

15

5

1

2

3

5

60

30

15

5

1

2

2

3

5

45 = 5 . 3 . 3 = 5 . 32 30 = 2 . 3 . 5 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5

D.C.M.(45, 30, 60) = 3 . 5 =15


Fecha:


Método Práctico para hallar el m.c.m.:

m.c.m.(45,30,60)

1º) Factorear los números:

45

9

3

1

5

3

3

30

15

5

1

2

3

5

60

30

15

5

1

2

2

3

5

45 = 5 . 3 . 3 = 5 . 32 30 = 2 . 3 . 5 60 = 2 . 2 .3. 5 = 22 . 3 . 5

2º) Buscamos los factores comunes con su mayor exponente.

El 3 es común a los tres.

En el 30 está 1 vez En el 45 está 2 veces. 32

En el 60 está 1 vez.

se elige 2 veces. 32

El 5 está 1 vez en cada número. 5

3º) Luego lo multiplico por los factores no comunes también con su mayor

exponente: 32 . 5 . 22 = 9 . 5 .4 = 180

m.c.m (45,30, 60)=180

Podemos obtener las siguientes conclusiones:

El divisor común mayor de dos números es el producto de los factores

primos comunes a ambos números elevados al menor exponente.

El múltiplo común menor de dos números es el producto de los factores

primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

Dos números son COPRIMOS Ó PRIMOS ENTRE SÍ cuando el d.c.m. de

ambos es 1, es decir, cuando no tienen factores primos comunes.


Fecha:


ACTIVIDADES:

1. Descompone os siguientes números en factores primos:

a) 66 b) 84 c) 495 d) 90

2. A la pregunta ¿cuántos divisores tiene 252?, alguien respondió: 5. Esta

respuesta es incorrecta pues el número de divisores de 252 es mayor a 10.

¿Cuántos tiene y cuáles son?

3. Determina el número de divisores de 60. ¿Puedes escribir 10 de ellos?

4. Lee cada enunciado y escribe una V si es verdadero y F si es falsa:

a) ______ El número 72 es divisible por 2 y 3 entonces también es por 6

b) ______ El 10 es divisible por 1 - 2 y 5

c) ______ 780 es divisible por 5

d) ______ El 40 es divisible por : 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 y 40

e) ______ El 1.000 es divisible por 2 y 5

f) ______ Todos los múltiplos de 10 son divisibles por dos

5. Unan con una flecha cada número con su correspondiente factoreo:

177 3 . 52

124 3 . 59

384 3 . 5 . 7

270 27 . 3

380 2 . 33 . 5

75 22 . 5 . 19

105 31 . 22

6. Calcula el D.C.M. de:

a) 24, 30,y 36 b) 150, 75, y 35 c) 1134; 945 y 1764

7. Calcula el m.c.m. entre:

a) 18, 15 y 10 b) 4, 20 y 25 c) 24, 30 y 36


Fecha:


8. Decide si las siguientes frases son verdaderas o falsas. Pon ejemplos de lo que se

dice:

a) Decir que a es múltiplo de b es lo mismo que decir que b es divisor de a.

b) Si al realizar una división esta da exacta, entonces el “dividendo” es

múltiplo tanto del “cociente” como del “divisor”.

c) Decir que x es divisible por y es lo mismo que decir que x es múltiplo de y.

d) Si a es múltiplo de b, entonces a es mayor que b.

9. Calcula el D.C.M. y el m.c.m. entre:

a) 3, 9 y 18 b) 5 y 14

10. Resuelve las siguientes situaciones:

a) Laurita está revisando su caja con fichas y descubre que al hacer montones

con 5 fichas cada uno, le sobran 2 fichas y que al hacer montones con 2 fichas

cada uno, le sobra 1 ficha. Si en total hay más de 10 fichas; pero menos de 30

fichas. ¿Cuántas fichas tiene?

b) ¿Cuál es la menor cantidad de paquetes de salchichas (10 en cada paquete) y de

panes (6 en cada paquete) que debe comprar para tener tantas salchichas como

panes?

c) Daniel y Vicente trabajan como guardias en una compañía de seguridad. Daniel

tiene libre cada sexta noche trabajada y Vicente tiene libre cada décima

noche. Si los dos han disfrutado de noche libre el primero de marzo ¿cuál es la

siguiente noche en que ambos descansarán a la vez?

d) El Cine del paseo y el cine del shopping proyectan películas de forma continua

y cada uno de ellos comienza su primera función a las 2:00 p.m. Si la película

proyectada en el Cine del paseo dura 80 minutos y la proyectada en el shopping

dura 2 horas ¿a qué hora volverán a comenzar las películas al mismo tiempo?

e) Una computadora puede realizar un trabajo en 40 minutos y se anexa otra, en

red, que puede realizar el mismo trabajo en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan

en realizar ambas computadoras, funcionando simultáneamente, el trabajo?

f) Si el Sr. Enrique ocupa 3 días en hacer la estructura de una casa y su hijo

Fernando ocupa 2 días en realizar el mismo trabajo ¿cuántos días tardaran si

trabajan juntos en la tarea?


Fecha:


NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS

FRACCIONES Y DECIMALES

Calentando Motores!!!!!!


Fecha:


LAS FRACCIONES


Fecha:


Fracciones Equivalentes

Lean atentamente y resuelvan:

Cuatro amigas compraron 2 pizzas y calcularon comer media pizza cada una.

Norma propuso dividir cada piza por la mitad y Karina propone cortar cada pizza en 8

partes iguales.

a) ¿Cuántas porciones le corresponde a cada una, según lo que propone Karina?

b) Representa gráficamente las dos opciones y pinta con un color la cantidad de

porciones que le queda a cada una


Fecha:


ACTIVIDADES:

Partes de un todo: Las Fracciones

1. ¿Cómo lees las siguientes fracciones?

Fracción de una cantidad numérica

2. Calcula:

a) los 7

4 de 63 litros

b) los 8

3 de 72 kilogramos

3. Calcula:

300de3

2 100de4

3 150de3

1

160de8

5 36de9

7 2400de

6

5

4. Tenía 200 palomas y he vendido los 5

4 de las palomas. ¿Cuántas he vendido?

¿Cuántas me quedan?

5. Un padre decide repartir $2100 entre sus tres hijos. Al mayor decide darle las

5

2 partes; al siguiente los 7

3 , y al menor el resto. ¿Qué cantidad se llevó cada

uno?

a) _______________________________________9

2

b) _______________________________________3

4

c) _______________________________________

10

5

d) _______________________________________

6

9


Fecha:


6. a) Tengo que poner 900 ladrillos en una pared. Hoy pondré4

1del total. ¿Cuántos

son?

b) Si mañana pongo 9

2de los que me faltan, ¿cuántos pondré?

c) ¿Cuántos faltaran por poner?

Representación gráfica de fracciones

7. Representa aproximadamente en la recta real los números.

a) 2

5,

2

3,

2

1

b) 10

25,

10

11

c) 3

8,

3

4,

3

1

3. Representa el 1 en cada recta.

Comparación de fracciones con la unidad-Números Mixtos

8. Señala, en las fracciones siguientes, aquellas que son mayores, iguales o menores

que la unidad: 3

3,

21

12,

2

15,

16

16,

2

5,

5

4

9. Escribe tres fracciones menores que la unidad; dos fracciones mayores que la

unidad y cuatro tracciones iguales que la unidad.


Fecha:


10. Relaciona cada fracción con su número mixto:

7

12

2

5

4

7

4

31

2

12

7

51

11. Expresa con un número mixto estas fracciones:

5

17 9

20

12. Expresa con una fracción los siguientes números mixtos:

5

32

3

15

Fracciones equivalentes

13. Estudia si son equivalentes o no las siguientes parejas de fracciones.

140

20y

14

2)d

6

75y

2

25)c

3

12y

4

15)b

24

20y

6

5)a

14. Completa para que sean equivalentes:

3

15)e

100

125

4)d

75

204)c

1030

18)b

164

3)a

15. Escribe tres fracciones equivalentes a:

15

2)e

3

7)d

2

13)c

5

8)b

4

3)a

16. Rodea con un círculo las fracciones equivalentes a la primera que te dan:

45

36,

35

27,

25

20,

21

16,

15

12

5

4)b

56

24,

56

27,

35

15,

14

6,

21

12

7

3)a


Fecha:


Reducción de fracciones a común denominador

17. Reduce a común denominador las fracciones:

60

12,

20

15,

75

21)

5

7,

60

28,

18

14,

36

24)

12

5,

3

2,

4

3) cba

Simplificación o reducción de fracciones

18. Simplifica las siguientes fracciones:

a) 3

6

b) 15

45

c) 114

9

19. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles? Simplifica las que no lo

sean.

45

9,

11

8,

21

7,

42

6,

15

5,

13

4,

27

3,

8

2,

7

1

Comparación de fracciones

20. Compara las siguientes fracciones (<,>): 13

8

13

12)

8

5

8

3) ba

21. Indica qué fracción es mayor. Utiliza el signo de > (mayor que) y < (menor que):

a. 6 2

11 9

b. 4 6

11 7

c. 3 5

4 6

d. 10 12

3 5

22. Un estudiante ha acertado 4 preguntas de un total de 5 y otro 20 preguntas de

un total de 25. ¿Cuál de los dos tendrá mayor puntuación?

23. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. Utiliza el método del m.c.m.

8

7,

12

3,

9

3,

4

2)

70

12,

7

4,

5

3)

15

3,

20

5,

10

3,

5

2)

c

b

a


Fecha:


Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Multiplicación de un número natural por una fracción


Fecha:


Multiplicación y división de Fracciones


Fecha:


ACTIVIDADES:

24. Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones, tratando de simplificar el

resultado siempre que se pueda.

26

4

5

2

6

3

3

1)

36

1

3

2)

4

2

6

3

3

1)

4

2

6

1)

4

3

3

2)

e

d

c

b

a

f) 5

1

5

2

8

3

g) 3

1

2

1

4

3

h) 4

3

24

18

i) 24

8

3

2

25. Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que primero debes

efectuar las operaciones entre paréntesis y después, calcula. Trata de simplificar

el resultado siempre que sea posible.

410

2

5

31)

10

2

3

1

5

2

6

4

6

3)

10

3

5

2

6

3

3

1)

3

1

6

3

6

4)

d

c

b

a


Fecha:


26. Resuelve las multiplicaciones y divisiones siguientes. Trata de simplificar el

resultado siempre que se pueda.

2

3:

4

3:

4

6

12

2)

3

2:

3

5

5

3)

4

53

9

2)

10

5:

5

13)

3

2

5

1

5

3)

7

2

3

2)

f

e

d

c

b

a

27. Resuelve y recuerda: “En una serie de operaciones combinadas con fracciones, se

efectúan primero las operaciones indicadas entre paréntesis, después los

productos y las divisiones en el orden en el que aparezcan de izquierda a derecha

y, finalmente, se realizan las sumas y las restas en el orden en el que aparezcan de

izquierda a derecha.”

14

9

42

7:

24

5)

5

2

3

2

5

3)

2

3

5

3

6

5

3

1)

11

10

9

33

22

7)

5

3:

2

31)

e

d

c

b

a


Fecha:


Expresión decimal

Toda expresión decimal consta de una parte entera y otra decimal:

Lo leemos “1 entero con 54 centésimos”

Pasaje de una expresión decimal a fracción

FORMA

DECIMAL EJEMPLO

Exactas

0,75 = 100

75

0,015 = 1000

15

2,23 = 100

223

Periódic

as

Puras

0,333... = 30, =

9

3

0,2525... =

250, = 99

25

1,282828... =

281, = 1 + 99

28 =

99

127

Mixtas

0,8333... = 30,8 =

90

8 - 83 =

90

75

12,75454... =

5412,7 = 12 + 990

7 - 754 = 12 +

990

747

= 990

12627

5,12444... = 45,12 = 5 +

900

12 - 124 = 5 +

900

112 =

900

4612


Fecha:


Pasaje de una fracción a expresión decimal Para expresar una fracción como número decimal basta con dividir el numerador por

el denominador.

33 4 0,75

4

20 0

0

,75

0

Comparación de números decimales

Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande.

Ejemplo: 2,156<2,157<2,160

Operaciones con los números decimales

Suma y Resta

Primero, debemos ordenar los números y luego sumar (o restar).

Ejemplos: a) 0,025 + 8,7 + 12,48 = 21,205 b) 2,4 + 34,52 + 23= …………..

Ejemplos: a) 18,35 - 12,48 = 5,87 b) 3,45 – 3,2 = ……………………………..

18,35 3,45

- 12,48 - 3,2_

5,87


Fecha:


Multiplicación

Se multiplican los números y luego se cuentan las cifras decimales que tiene cada

uno, se suman y se coloca la coma teniendo en cuenta este resultado.

4

3,06

x 1,8

2448

306 .

5,508

2 cifras decimales

+ 1 cifra decimal

3 cifras decimales

División

División de dos números naturales.

100 8

20 12,5

40

0

División de dos expresiones Decimales

58,22 8,2 divisor decimal, veamos cómo se resuelve.

Multiplicamos por 10 ambos números. 1058,22 8 1,2 0

Ahora dividimos.

582,2 82

082 7,1

0


Fecha:


ACTIVIDADES:

28. Une con flechas cada fracción con su expresión decimal correspondiente.

29. Tomás quiere resolver la siguiente suma y la realizó de dos maneras:

Manera I Manera II

42,13

27,3

4,2

75,7

42,13100

1342

100

327240775

100

327

10

24

100

77527,34,275,7

100

32727,3

10

244,2

100

77575,7

Resuelve los siguientes ejercicios de las dos maneras planteadas arriba.

a) 3,24+0,16+1,6= d) 2,56+2,1+12,81=

b) 5+3,07+2,195= e) 8-4,36=

c) 7,28-5,35= f) 4,75+12,3-5,874=


Fecha:


30. Transforma en fracción y resuelve. Observa los ejemplos para usar como

modelo:

554,31000

3564

10

4.

100

8914,0.91,8

9,2250

725

25

10.

100

725

10

25:

100

7255,2:25,7

a) 16,7 x 0,2= d) 4 : 0,1=

b) 14,6 x 0,5= e) 3,08 : 0,06=

c) 12 x 0,32= f) 19,45 : 5=

31. Escribe el número que haga verdadera la igualdad:


Fecha:


32. Une con flechas cada cálculo y su resultado:

33. Plantea y resuelve las siguientes situaciones:

a) Teníamos 1,5 kg de arroz y compramos 3,5 kg. ¿Cuántos kilos de arroz

tenemos?

b) Una jarra vacía pesa 0.64 kg, y l lena de agua 1.728 kg. ¿Cuánto

pesa el agua?

c) Un ciclista ha recorrido 145.8 km en una etapa, 136.65 km en

otra etapa y 162.62 km en una tercera etapa. ¿Cuántos

ki lómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000 km?

d) KHristian mide 1,66 m ; Nahuel 0,28 m más, y Fernando, 0,23 m menos que

Nahuel. ¿Cuánto mide Fernando?

e) Juana salió de comprar con $180,75. Esta cantidad era insuficiente para la

comprar que debía realizar así que decidió ir al cajero y sacar $350 más. En el

supermercado se gastó $251,48 y en la verdulería $159. ¿Sabrías decir

cuánto dinero le debe quedar en la cartera?

f) Un almacenista compra 1 200 litros de refresco y lo envasa en botellas de 1,5

litros. ¿Cuántas botellas llenará?

g) Para la fiesta de fin de curso, los 28 alumnos de una clase compraron 30 litros

de refresco a $7,2 el litro, 12,5 kg de papas fritas a $25,7 el kilo y adornos

para la clase por $178,5 . ¿Cuánto tuvo que pagar cada uno?


Fecha:


EL ÁREA DE LAS FIGURAS

Repasamos algunos conceptos: PERÍMETRO DE ALGUNAS FIGURAS

Medir una cantidad es compararla con otra de la misma magnitud, a la que

consideraremos como unidad de medición.

Se denomina perímetro de una figura plana a la longitud del borde de la

figura.

El perímetro de esta figura es:

Para medir el perímetro se emplean las unidades de longitud.

Para saber el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir sus lados

y luego sumar sus longitudes.

Algunas figuras tienen lados iguales por lo que se pueden deducir fórmulas

para calcular su perímetro.


Fecha:


ACTIVIDADES:

1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

Perímetro: Perímetro:

Perímetro: Perímetro:

No te olvides que el perímetro se mide en unidades de longitud: cm, m, km,

etc...


Fecha:


MEDIR SUPERFICIES

Además de medir el perímetro de una figura, puedo medir su superficie.

Observa que la figura 1 y la figura 2 tienen la misma superficie porque ocupan la misma cantidad de cuadraditos iguales.

La figura 3 tiene menor superficie que las otras dos, porque ocupa menor cantidad

de los mismos cuadraditos.

Si tomamos como unidad de medida el cuadrado , vemos que el cuadrado

está contenido: 9 veces en las figuras 1 y 2, y 7 veces en la figura 3.

Llamamos área de una figura al número de veces que la unidad elegida “cabe” en

esa superficie.

= 1 unidad cuadrada = 2u1 En nuestro caso resulta: 1

Superficie figura 1 = 9

Área figura 1 = 2u9


Área figura 2 =2u9


Área figura 3 =2u7


Fecha:


Medir la superficie de una figura es hallar el número de veces que ésta contiene a

otra superficie que se toma como unidad.

Ejemplo:

Si pintamos 6 cuadrículas, que se consideran 6 unidades cuadradas, de la figura nos queda la siguiente superficie.

Si pintamos 10 cuadrículas, que se consideran10 2u , entonces la superficie de la

figura será:

ACTIVIDADES:

2. Tomando como unidad de medida una unidad cuadrada, calcula la superficie de las

figuras.


Fecha:


3. Pinta, en las siguientes figuras, 12 unidades cuadradas de superficie.

4. Compara cada una de las figuras numeradas con el rectángulo. Para cada una, indica:

a) Si su área es mayor, menor o igual que la del rectángulo.

b) Si su perímetro es mayor, menor o igual que el del rectángulo.


Fecha:


EL METRO CUADRADO. SUBMÚLTIPLOS Y MÚLTIPLOS

Para medir superficies hay diferentes unidades.

Por ejemplo, decimos:

“Este departamento tiene 130 m2” “La chacra de Juan mide 22 hectáreas”.

El metro cuadrado (m2) es la superficie de un cuadrado de un metro de lado y es la

unidad de superficie que se toma como base. Las unidades mayores son múltiplos del

m2 y las menores son submúltiplos del m2.

Las unidades de superficie.

Unidades de superficie

Múltiplos u submúltiplos

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para poder expresar dos medidas en la misma unidad, se debe reducir.

¿Cómo? Multiplicando ó dividiendo cada valor por 102 ó 100, siempre desde la última

cifra entera.

La superficie de un cuadrado de un metro de lado es un metro cuadrado (1 m2)

El metro cuadrado es la unidad de superficie


Fecha:


x 102 x 102 x 102 x 102 x 102 x 102

: 102 : 102 : 102 : 102 : 102 : 102

Ejemplos:

3 Hm2 a dm2 = 3 . 102 . 102 . 102 dm2 = 3000000 dm2

29 m2 a Hm2 = 29 : 102 : 102 Hm2= 0,0029 Hm2

Km2

Hm2

Dam2

m2

dm2

cm2

mm2


Fecha:


ACTIVIDADES:

5. Completa el siguiente cuadro:

19,2 dm² . . . . . . . . . .m² 192000 . . . . . .

0,00095 Km² 0,95 . . . . . . . 9500 . . . . .

187,2 cm² 0,01872 . . . . . . . . . . . . . . . . .mm²

0,174 dm² 0,00174 . . . . . . . . . . . . . . . . .Hm²

6. Calcula el área y el perímetro de estos rectángulos ¿Qué observas?

Área= Área=

Perímetro= Perímetro=

Área= Perímetro=

7. Dibuja un cuadrado que tenga dentro, en total, 16 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados

tiene cada lado?

8. El lado mayor de un rectángulo mide 20 cm y el menor, la mitad. Calcula el área y

el perímetro de este rectángulo.


Fecha:


9. Marina dibuja rectángulos de 60 cm de perímetro.

Completa la tabla:

Medida de la base

(cm) 2 5 10 15 20 25 29

Medida de la

altura (cm)

Área (cm2)

10. Cada cuadrado tiene 0.48 metros de perímetro.

Con 6 cuadrados iguales se formó esta figura:

a) ¿Cuál es el perímetro de la figura?

b) Determina la superficie total de la figura.

11. Una baldosa cuadrada tiene 10 cm de lado. ¿Cuántas baldosas hacen falta para

cubrir el piso de una habitación de 3 m de largo y 2 m de ancho?

12. Calcula el perímetro de un rectángulo cuya área es 63 m2 y su base es 9 m.

13. a) Calcula la superficie en Has de cada una de las tres parcelas en la que está

dividido este campo.

b) ¿Cuál es la superficie total del campo?

Observación: 2Hm1Ha1


Fecha:


14. Calcula el área de las siguientes figuras:

¿Qué observas?

15. Un paralelogramo tiene 25 cm de altura y una base que mide cinco veces más que

la altura. Calcula su área.

16. Halla la superficie en m2 de cada uno de los paralelogramos (b indica la base y h

la altura):

a) b= 8 dm h=32 cm

b) b=15 dm h=0,6 m

17. Halla la superficie en m2 de cada uno de los siguientes trapecios isósceles (B

indica la base mayor, b la menor y h la altura):

a) B= 6 m b= 3 m h=2m

b) B=15 dm b= 1,2 m h=0,6 m

18. Mide las longitudes de los lados de los siguientes trapecios y completa el cuadro:

Trapecio Base mayor Base menor Altura Perímetro Área

a)

b)

c)


Fecha:


19. Un trapecio isósceles tiene un perímetro de 189 cm y las bases miden 65cm y

46cm.

a) Calcula la medida de cada uno de los lados iguales

b) Si la altura del trapecio es 20 cm, ¿Cuál es su área?

20. Una piscina está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio para

los niños.

Observa el dibujo y calcula:

a) El área de cada piscina.

b) El perímetro de la piscina de adultos

23. Observa la figura y calcula:

a) La longitud de las diagonales del rombo inscrito en un rectángulo de 210

cm2 de área y 30 cm de altura.

b) El área del rombo.

c) ¿Qué relación existe entre el área del rectángulo y la del rombo inscrito

en él?

24. Calcula el área del rombo cuya diagonal mayor mide 8 m y la diagonal menor

mide 6 m.


Fecha:


25. Observa la figura sombreada y responde:

a) ¿Qué clase de cuadrilátero es?

b) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo?

c) Calcula su área.

26. Un rombo tiene un área de 24 cm2 y una de sus diagonales mide 8 cm. ¿Cuál es la

longitud de la otra diagonal?

27. Calcula el área de los siguientes rombos:

a)

D= 6 cm

d= 4,25 cm

b)

D= 5,25 cm

d= 4,75 cm

28. Nico quiere construir un barrilete que tiene forma de romboide. Para eso

dispone de dos maderitas de 60 cm y de 80 cm. ¿Cuántos cm2 de papel

necesitará?

29. Halla la superficie en m2 de cada uno de los siguientes romboides (D indica la

diagonal mayor y d la diagonal menor):

a) D= 6 m d= 3 m b) D=15 dm d= 1,2 m


Fecha:


30. ¿Cuál es el área de cada uno de los siguientes triángulos?

Si calculaste bien, obtuviste el mismo resultado en todos los casos. ¿Por qué?

31. Calcula el área de los siguientes triángulos:

32. Calcula la superficie del

trapecio sumando las

superficies de los triángulos

en que se ha dividido.

33. Si el lado del cuadrado mide 3 cm., ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

34. Calcula la base de un triángulo de 14 cm2 de área y 4 cm de altura.


Fecha:


35. Calcula la altura de un triángulo de 735 cm2 de área y 42 cm de base.

36. En la figura:

El área del triángulo BCD es 3

1del área del

cuadrado ABDE.

El área del cuadrilátero ACDE es de 48

cm2.

Calcula:

a) El área del cuadrado.

b) El área del triángulo.

37. Observa la figura y calcula:

a) Área del cuadrado

b) Área del trapecio

c) Área del rectángulo

d) Área total de la figura

38. Dany hizo un dibujo de rombos como el de la figura. La franja mide 24 cm de

largo y 10 cm de ancho.

Calcula el área total de la figura.


Fecha:



Fecha:


UNIDAD Nº 3: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Y AL ESTUDIO DE LAS

FUNCIONES

¿Qué tienen en común? Observa las imágenes que aparecen en esta página. Intenta encontrar qué cosas pueden tener en común. ¡Ánimo!.


Fecha:


EL PLANO CARTESIANO

Conceptos Importantes

Un plano cartesiano es una región limitada por una recta horizontal y otra

vertical que se intercepta en un punto. Las rectas se llaman ejes y el punto de

intersección, origen.

En matemática, es muy importante respetar el orden de cada coordenada.

El punto (3,2) representa otro punto distinto al punto A=(2,3).

Si el segundo elemento, del par ordenado, es

cero, el punto está en el eje horizontal.

Si el primer elemento es cero, el punto está en

el eje vertical.

S = (0,3)

T = (2,0)

Muchas veces utilizamos letras en lugar de números.


Fecha:


Por ejemplo el punto (2,C), lo

representamos:

ACTIVIDADES:

1. Los mapas de las ciudades a veces contienen cuadrículas para mostrar dónde se localizan

los lugares. Usa la cuadrícula para responder.

a) ¿Qué hay en el punto (3, 2)?

b) ¿Qué par ordenado nombra la localización de la estación de policía?

c) ¿Qué edificio está localizado tres unidades a la derecha de la escuela?

d) ¿Cuál está más cerca de la escuela, el parque o la biblioteca? Explica cómo lo sabes.


Fecha:


2. Observa la ubicación de los puntos (cruce) donde están las letras y completa

El punto A está ubicado en el par ordenado ( , )

El punto B está ubicado en el par ordenado ( , )

El punto C está ubicado en el par ordenado ( , )

El punto D está ubicado en el par ordenado ( , )

El punto E está ubicado en el par ordenado ( , )

3. Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano:

A=( 1 , 3 ) B=( 2 , 1 ) C=( 5 , 2 ) D=( 3, 3 )

E=( 0 , 5 ) F=( 3 , 1 ) G=( 2 , 0 ) H=( 2 , 5 )

4. Los vértices de un cuadrilátero son: A=(1,1) , B= (3;2), C=(4; 4) y D=(2;3). Dibújalo

en un sistema de ejes cartesianos e indica qué tipo de cuadrilátero es.


Fecha:


Interpretar gráficos

En la imagen de abajo se ve un ejemplo de gráfica cartesiana. Cada punto de la

gráfica está relacionado con la edad (eje de ordenadas, o eje y) y la altura (eje

de abscisas, o eje x) de las personas que hacen cola para entrar en un cine.

La edad y la altura son las variables relacionadas.

¿Cómo se interpreta?

Diana es la más alta ya que el punto que la representa está más a la

derecha. Antonio es el de mayor edad puesto que el punto que lo

representa es el que se encuentra más arriba en la gráfica.

Así mismo puedes ver que Blanca e Inés tienen la misma estatura ya

que sus puntos están a la misma distancia del eje de ordenadas (eje y);

y Blanca y Félix tienen la misma edad ya que sus puntos se encuentran

a la misma distancia del eje de abscisas (eje x).

El más bajito sería Julio y Elena es la más joven de todas las personas

de la fila.


Fecha:


En la siguiente gráfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia

del anterior, no se trata de puntos aislados sino que es una línea continua:

Observa: los tramos de la gráfica que indican que el ciclista se aleja, regresa o está

parado.

La interpretación de la gráfica:

El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a 40 km.

Recorre 20 km más pero volviendo hacia atrás.

Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante una hora.

Finalmente se vuelve a andar en su bicicleta y regresa al punto de partida

tardando en esa última parte del recorrido, de 30km, dos horas.

En este ejemplo las variables que se relacionan son el tiempo y la distancia.


Fecha:


ACTIVIDADES

5. Un fin de semana cinco personas

hicieron llamadas telefónicas a varias

partes del país. Anotaron el costo de sus

llamadas y el tiempo que estuvieron en el

teléfono en la siguiente gráfica:

Responde:

a) ¿Qué variables están relacionadas?

b) ¿Quién pagó más por la llamada?

c) ¿Quién pagó menos por la llamada?

d) ¿Quién habló durante más tiempo?

6. Norma y Karina son compañeras de clase y quedan un día para salir. Norma sale

de su casa y pasa a buscar a Karina, que tarda un poco en bajar. Después dan un

paseo y se sientan en una cafetería a tomar una gaseosa. Al regreso se acercan a

casa de unos compañeros a buscar unas tareas y allí se entretienen un tiempo.

Después regresan a casa. La gráfica del paseo está representada:

Responde:

a) ¿Qué variables se relacionan?

b) ¿A qué distancia queda la casa de Norma de la de Karina?

c) ¿Cuánto tiempo esperó Norma a que bajara Karina ?

d) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería?

e) ¿A qué hora salieron de la cafetería?

f) ¿A qué casa regresaron?

g) ¿Cuánto tiempo pasearon las dos juntas?

h) ¿Cuándo pasearon más rápido: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al

final del paseo? ¿Por qué?


Fecha:


NOCIÓN DE FUNCIÓN

Una función es una relación en la que a cada valor de x (variable independiente) le

corresponde un único valor de y (variable dependiente).

Una función puede estar definida por:

Ejemplo: Consideremos la siguiente tabla de valores:

Su gráfica es:

Su fórmula es: x2y

Una tabla de valores

que muestra la

relación

entre los valores de

las variables

Una fórmula que permite

calcular los valores de la

variable dependiente y

a partir de los valores de

la variable independiente x

Un gráfico en un

sistema de coordenadas

cartesianas, que permite

ver como varían x e y

x 0 1 7/3 3

y 0 2 14/3 6


Fecha:


ACTIVIDADES

7. Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de nafta (con 1 litro de

nafta recorrer 14 km) .

a) Con esta información completa la

siguiente tabla:

b) Encuentra la fórmula que se ajusta a este problema.

c) Representa la función en los ejes cartesianos.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son directamente proporcionales si: Al aumentar una de ellas

(doble, triple...) la otra aumenta de igual manera (doble, triple...)

Ejemplo: Un robot a pilas recorre 1 metro cada 4 segundos. Suponiendo que camina

siempre a la misma velocidad, ¿cuánto tarda en recorrer 2 metros? ¿y a los 4

metros?

Podemos completar la siguiente tabla y realizar el grafico correspondiente

Metros 1 2 3 4 5

Segundos 4 8

x

( litros de

nafta)

Y

( distancia

en km)

0 0

0,5 7

1 14

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5


Fecha:


Contestá:

a) ¿Por qué número se multiplica la cantidad de metros para calcular los

segundos que pasan?

b) ¿Por qué número se divide la cantidad de segundos para calcular los metros

recorridos?

c) ¿Qué pasa cuando aumentan los metros recorridos con la cantidad de

segundos?


Fecha:


ACTIVIDADES:

8. Indicá si las siguientes relaciones son directamente proporcionales

a. El peso y la altura de una persona.

b. Los litros de combustible y su precio.

c. La cantidad de agua por minuto que deja salir una canilla y el tiempo que

tarda en llenarse una bañera.

d. La edad de una planta y el grosor de su tallo.

e. La cantidad de ropa lavada y el tiempo que lleva que se seque.

f. El precio pagado y la cantidad comprada de un mismo producto.

9. Juan sale cada día a correr como entrenamiento para participar en el Triatlón de

Balcarce. Un día decide entrenarse en un circuito de 3 kilómetros de longitud y

comienza a cronometrarse el tiempo desde la línea de meta. La siguiente tabla

muestra la posición de Juan en función del tiempo transcurrido:

a) Determina la fórmula que describe la posición de Juan respecto del

tiempo.

b) ¿cómo están relacionadas las dos magnitudes (segundos y metros)?

c) Realiza un gráfico con los datos de la tabla

d) Determina cuántos segundos tardará Juan en recorrer 150 metros.

10. Un camión avanza por una ruta a 50 km/h

a) Completa la siguiente tabla que relaciona el espacio recorrido con el tiempo

invertido:

TIEMPO (h) 1 2 3 5 1/2 1/4

ESPACIO (km) 50

b) ¿Es el espacio directamente proporcional al tiempo?

x (segundos) 1 5 10 12 15 20

y (metros) 3 15 30 36 45 60


Fecha:


PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:

Al aumentar una de ellas (doble, triple...) la otra disminuye de igual manera

(mitad, tercio...)

Ejemplo: Tenemos que fraccionar 1200 litros de agua oxigenada y relacionamos las

capacidades de los posibles envases con el número necesario de los mismos

obtenemos por ejemplo:

x

(capacidad de c/envase)

y

(cantidad de envases)

0,25

0,5

0,75

1

1,5

4800

2400

1600

1200

800

En este caso se verifica que el producto de ambas magnitudes es constante

x

kyókyx . , siendo k = 1200

Si realizamos la representación gráfica de estas dos magnitudes vinculadas por

xy

1200 obtendremos el siguiente gráfico:


Fecha:


ACTIVIDADES:

11. Un coche a velocidad de 60 km/h, tarda 30 minutos de ir de una población A a

otra B.

a) Si fuera más deprisa ¿tardaría más o menos en el mismo recorrido?

b) ¿Y si fuera más despacio?

c) Completa la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo invertido:

Velocidad (km/h) 60 120 180 30 10 40

Tiempo (minutos) 30

d) ¿cómo están relacionadas las dos magnitudes (velocidad y tiempo)?

e) Realiza la gráfica correspondiente.

12. Sabiendo que cuatro tractores aran un campo en 6 horas, completa la siguiente

tabla con los tiempos que se tardaría si hubiese otro número de tractores:

Nº DE TRACTORES 4 2 1 3 6 8

TIEMPO (horas) 6

a) ¿Cómo están relacionadas las dos magnitudes?

b) Realiza la gráfica correspondiente.

13. Señala con una cruz los pares de magnitudes inversamente proporcionales:

a. El peso de un libro y el número de páginas que tiene

b. El volumen de las cajas y el número de ellas que se pueden

almacenar en una nave

c. El número de hijos de una familia y el número de días de

vacaciones

d. La cantidad de agua que arroja una fuente y el tiempo que

tarda en llenar un cántaro de 20 litros


Fecha:



Fecha:


ANEXO 1 Aprender con la Calculadora

1. Forma con las siguientes cifras y la operación pertinente el número que se indica o una

buena aproximación.

a) Con 2, 3, 4 forma un número tal que al multiplicarlo por 5 nos da un número cercano al

2.160.

b) Con 2, 3, 5, 7, 8 un número tal que al multiplicarlo por 7 se acerque el máximo a 5.000.

c) Con 6, 7, 8, y 9 un número que al dividirlo por 5 se acerque el máximo a 200.

Nota: A la hora de formar los números no se pueden repetir las cifras, no es necesario

emplear todas y se puede emplear la coma.

2. Calcula cuatro números pares consecutivos tales que su suma sea 396.

3. Calcula cinco números impares consecutivos tales que su producto sea 28.035.315.

4. Toma tu calculadora y señala cuál de las siguientes divisiones es exacta. En caso de que no

lo sea, calcula su cociente y su resto.

5. a) 43 : 5 b) 25 : 3 c) 46 : 73 d) 163 : 37

6. Tocando las teclas de los números 3, 4. 5, 6 y la operación - y el símbolo = obtén en la

pantalla los siguientes resultados: (los números se pueden tocar una sola vez)

a) 18 b) 21 c) 22 d) 31 e) 6

Usando paréntesis

La calculadora permite poner paréntesis, para aquellas operaciones más largas.

Un error muy frecuente es poner en la pantalla una operación que tenemos en el papel y

que luego no da el resultado que no debería, sólo porque se nos ha olvidado ordenar las

operaciones con paréntesis.

Por ejemplo, en el papel tenemos: 26

24

Esta operación da 3. Pero si escribimos en la

calculadora 24[:]6[+]2 = 6 ¿Se ha equivocado la máquina? No. Se ha limitado a responder a

lo que le hemos preguntado, pero la calculadora no tiene la culpa de que le hayamos

introducido mal los datos.

Realiza las operaciones según las reglas de prioridad que nos enseñan desde primaria:

primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas. Ha hecho 24 entre 6 (=4) y

luego ha sumado 2 (=6). Tendríamos que haber escrito: 24 [:] [(] 6 [+] 2 [)] = 3 Sin

embargo, para operaciones más largas, es aconsejable ir resolviéndolas paso a paso, y no

querer meter todo de una vez en una única operación.

7. Resuelve

a) [3+2.(4+2.3) .2 +6: [2+(30-2.15)= b) 2+3.[4+(2+5):7+(8+2.3).2 =


Fecha:


8. A tu calculadora sólo le funcionan estas teclas:

Utilizando cada vez sólo cuatro de ellas, tienes que obtener los siguientes números,

anotando las teclas elegidas en cada operación:


Fecha:


Usando fracciones

Para escribir un número en forma de fracción, está la tecla [a b/c]. Si queremos

escribir ¾, pulsaríamos 3[a b/c]4. En la pantalla aparecerá algo parecido a esto: 3¸4

Si tenemos una fracción en pantalla y pulsamos [d/c] (está arriba de la tecla anterior),

nos convertirá esa fracción en un decimal.

Un número de este tipo: 2¸3¸5 es un número mixto, en este caso 2 y 3/5, o lo que es

lo mismo, 2+(3/5). Recuerda que los números mixtos son otra forma de escribir

fracciones mayores que la unidad. Si te molesta tener una fracción escrita así, pulsa

una vez [d/c] (aparecerá 13/5).

Si pulsas [a b/c], te convertirá el número mixto a decimal.

9. Realiza las actividades de la página 77

10. Realiza la actividad 6 de la página 22.


Fecha:


ANEXO 2

APRENDER CON LA COMPUTADORA

GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios

y universidades. Su creador, Jose Antonio Mora, comenzó el proyecto en el año 2001

en la Universidad de Alicante y lo continúa en la Universidad de Alicante.

Es básicamente un "procesador geométrico" y un "procesador algebraico", es decir,

un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra

y cálculo y por eso puede ser usado también en física, proyecciones comerciales,

estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.

A partir de elementos conocidos como el punto, la recta o el círculo se pueden

generar nuevas construcciones por procedimientos básicos, usando ideas

matemáticas mediante el empleo directo de herramientas operadas con el mouse o

la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos

del listado disponible.

Todo lo trazado es modificable.

En esta sección les proponemos reemplazar el lápiz, el papel, la regla y el compás

por estas herramientas en la pantalla, con las ventajas del hacer, deshacer y

"pensar en lo matemático" de nuestras construcciones personales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Software_libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Alicante

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


Fecha:


Acerca del programa

Cuando abren el programa aparece una ventana con una vista algebraica a la

izquierda y una vista gráfica, la cual inicialmente, tiene un par de ejes cartesianos,

esta es la ventana principal del GeoGebra, allí se realizan las construcciones. Se

puede mover o cambiar el tamaño de la pantalla como habitualmente se hace en

Windows, también podemos ocultar los ejes y trabajar con el espacio en blanco o

cambiar la vista gráfica a cuadricula.

En la parte superior de la construcción está la barra de herramientas; al dejar el

cursor sobre cada icono, haciendo clic con el botón izquierdo del mouse, aparece

una breve información.

ACTIVIDADES:

1. Investiga cómo ocultar los ejes en la vista gráfica y que esta se vea cuadriculada.

2. Investiga que función cumple cada uno de estas herramientas:

¿Qué sucede cuando haces clic en el triángulo rojo?

3. Representación de puntos

1°. Abrimos una hoja nueva

2°. Seleccionamos Vista de la Barra de Menú y desactivamos Ejes y Vista

algebraica.

3°. Seleccionamos en el botón 2, la opción Nuevo Punto.

4°. Desplazamos el mouse hasta el área de trabajo, hacemos clic y soltamos.

Luego hacemos clic con el botón derecho del mouse, elegimos la opción

renombra y lo nombramos P;Q; etc.


Fecha:


4. ¿Cómo podemos representar segmentos?

I. Marcando los extremos

1°. Marcamos dos puntos: A y B.

2°. Hacemos clic sobre la opción Segmento entre dos puntos (botón 3)

3°. Llevamos el mouse hasta el punto A, hacemos clic sobre el punto A,

soltamos el botón del mouse y hacemos clic en el punto B.

4°. Practica trazando segmentos entre otros puntos.

5°. En el menú Archivo encontrarás el comando para Guardar tu trabajo en la

carpeta correspondiente.

II. Sin marcar los extremos previamente.

1°. Abrimos una hoja nueva

2°. Seleccionamos Vista de la Barra de Menú y desactivamos Ejes y Vista

algebraica.

3°. Elegimos la opción Segmento entre dos puntos (botón 3)

4°. Llevamos el mouse hasta la hoja

5°. Hacemos un clic y soltamos el botón.

6°. Deslizamos el mouse y hacemos otro clic. Nos quedó determinado un

segmento.

7°. A continuación, le ponemos nombre.

8°. Guardamos nuestro trabajo.

5. ¿Cómo nos desplazamos en el área de trabajo?

1°. Trazamos un segmento.

2°. Elegimos la opción Elige y Mueve, posicionamos el mouse sobre el segmento

que deseamos desplazar, apretamos el botón del mouse y sin soltar lo

deslizamos por la hoja.

3°. Ahora, posicionamos el mouse en un extremo del segmento oprimimos el

botón izquierdo del mouse y sin soltar deslizamos el mouse por la hoja.

4°. Responde:

a) ¿Qué ocurrió en ambos casos?

b) El segmento, ¿mantuvo la misma longitud en las dos opciones? ¿En cuál de

ellas cambió?

IMPORTANTE: En cualquier momento, si cometes algún error, recuerda la

utilidad del botón Deshacer (arriba a la derecha) para anular la última

operación y de la tecla Supr para eliminar cualquier objeto.


Fecha:


6. Dibujando rectas, segmentos y círculos

I) Resuelve las siguientes consignas, anóta los pasos que vas haciendo en tu carpeta.

a) Traza un segmento AB de longitud 4 cm , renombralo segm .

b) Marca un punto C que no pertenezca al segmento.

c) Traza una recta perpendicular a AB por B.

d) Marca el punto medio M de AB

e) Traza una recta que contenga a C y sea perpendicular a AB .

f) Dibuja una recta paralela a AB

g) Construye una circunferencia con centro en C y radio AB ¿es cierto que si

cambia la longitud del segmento, cambia la circunferencia?

II) Abre un nuevo archivo en GeoGebra y construye. 1°. Dibuja una recta r y un punto A que no esté en ella.

2°. Encuentra un punto B de modo tal que r sea la mediatriz del segmento AB. Anota los pasos y las propiedades que usan para encontrarlo.

III) Construye las siguientes figuras. Escribe los comandos que usaste.


Fecha:


CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

Actividad 1: Construcción de un triángulo cuyos lados sean a = 5cm;

b= 3cm, c= 5cm

1. Construye el segmento de origen A que tenga longitud 5. . ¿El segmento es

único??

2. Por uno de los extremos del segmento anterior dibuja una circunferencia igual a

la longitud de otro lado (c= 4 cm, por ejemplo) mediante la herramienta , y por

el otro extremo, una circunferencia de radio igual a la longitud del otro lado, con

la misma herramienta.

3. Con marca la intersección de las dos circunferencias que proporciona el

tercer vértice buscado.

4. Con la herramienta dibuja el triángulo

Puedes cambiar los nombres, colores y estilos por defecto de los vértices y

los lados haciendo clic con el botón derecho eligiendo la opción Propiedades

del menú contextual que aparece.

Con intenta mover cada uno de los elementos del triángulo.

Registra las observaciones.

Actividad 2: Construcción de un triángulo cuyos lados sean a = 4cm; b=

3cm y el ángulo comprendido C= 70°

1. A partir de un punto cualquiera A, traza una semirrecta horizontal

2. Con la herramienta traza el ángulo de 70°, tomando como vértice el punto A.

3. A partir del punto A puedes trazar los lados de longitudes 4 cm y 3 cm en las dos

semirrectas dibujadas, utilizando la herramienta circunferencia dado su centro y

su radio.

4. Con la herramienta dibuja el triángulo.

Actividad 3: Construcción de un triángulo isósceles

Vamos a construir un triángulo isósceles cuya base y

altura se puedan modificar arrastrando los vértices del

triángulo con el mouse.


Fecha:


Usaremos los comandos siguientes:

Para entregar

a. Cualquier trío de longitudes pueden formar triángulo? Intenta construir

triángulos con las siguientes longitudes de sus lados.

Triángulo I II III IV

Lado mayor 6 6 8 8

Lado intermedio 4 4 4 5

Lado menor 3 2 3 3

b. Utilizando el Geogebra, construye un triángulo equilátero sabiendo que uno de

sus lados mide 5 cm. Escribe en tu carpeta las herramientas utilizadas.

c. Si se sabe que el lado distinto de un triángulo isósceles no equilátero mide 5 cm,

y los lados iguales

miden 7 cm, ¿cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? Realiza la construcción en geogebra y comprueba tus suposiciones.

d. Construye un triángulo con dos lados que midan 3,5 cm y 2,5 cm, de tal manera

que ambos determinen un ángulo de 45°.

e. Construye los siguientes triángulos:

º100Rycm5RS,cm4QRconQRS

º40Tyº80U,cm4TUconTUV


Fecha:


PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS

ACTIVIDAD 1:

Abre GeoGebra. Activa la cuadrícula y oculta los ejes.

Elige la herramienta polígono, y construye los siguientes polígonos. (Recuerda

que el último punto marcado debe coincidir con el primero)

Determinando una unidad de medida, escribe el perímetro y área aproximada de

cada polígono en el siguiente cuadro:

Figura A B C D E F

Perímetro )(u

Área )( 2u

En la ventana de la derecha (Vista Algebraica) aparecen las coordenadas de los

puntos y los nombres y medidas de los segmentos.

Utiliza estos datos para calcular su perímetro, sumando en la barra de entrada las

longitudes de los lados. Comprueba los resultados de la tabla anterior.

Figura A B C D E F

Perímetro )(cm

Con la herramienta área y pinchando dentro de cada polígono, obtienes el

área de dicho polígono. Comprueba los resultados de la tabla anterior.

Figura A B C D E F

Área )( 2cm

ACTIVIDAD 2:

Activa los ejes.

Introduce los siguientes puntos con la herramienta : (2,1); (3,0); (-1,1); (2,-2)

Une los puntos mediante segmentos. Utiliza la herramienta segmento entre dos

puntos ¿De qué polígono se trata?


Fecha:


Calcula su perímetro. ¿Se te ocurre otra forma de calcular su perímetro?, ¿cuál?

ACTIVIDAD 3:

Activa los ejes.

Introduce los puntos (-2,0); (2,1); (3,3); (1,5); (-2,4) y (-4, 2).

Con la herramienta segmento , marca entre cada dos puntos, formando así un

polígono.

Según su número de lados, ¿cómo se llama este polígono?

¿Cuántos cuadritos ocupa? Ayúdate de polígonos más pequeños que puedas

contar.

ACTIVIDAD 4:

Construye, utilizando la cuadrícula de la vista gráfica:

Al menos 3 polígonos diferentes de área igual a 4 cm2.

Un rectángulo de 1 cm por 2 cm. Calcula su perímetro y su área.

A continuación construye un segundo rectángulo cuyos lados midan el doble del

original. Calcula su perímetro y su área. ¿Qué relación se puede establecer entre

el perímetro del primer rectángulo y el segundo? ¿Qué relación se puede

establecer entre las áreas de los dos rectángulos?

¿Cuántos rectángulos diferentes de área 24 cm2 se pueden encontrar?, ¿Los

perímetros son iguales?

ACTIVIDAD 5:

Utilizando la cuadrícula de la vista gráfica, construye cada una de las siguientes

figuras y calcula el área de la región sombreada (en cm2):

::: CÁreaBÁreaAÁrea

Documents

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