Eercicios Resueltos Anderson 2.PDF

8/18/2019 Eercicios Resueltos Anderson 2.PDF'

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Gerencia de Operaciones I Ing. Oscar Mendoza Macías

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Aplicaciones de la programación Lineal

Hasta estos momentos el estudio se ha orientado a la comprensión dela programación lineal en términos del método gráfico de solución,

del análisis de sensibilidad y de la interpretación de las solucionescomputadorizadas para problemas de programación lineal. Estosantecedentes son esenciales para saber cuándo la programaciónlineal es una herramienta apropiada para resolver problemas y,también, para interpretar los resultados que la solución deprogramación lineal da para un problema.

En la práctica, la programación lineal ha probado ser uno de losenfoques cuantitativos más exitosos para la toma de decisiones en laadministración. Se han reportado numerosas aplicaciones en lasindustrias química, del aerotransporte, del acero, del papel, delpetróleo y en otras. Los problemas específicos que han sidoestudiados son diversos e incluyen programación de la producción,

selección de medios publicitarios, planeación financiera, presupuestosde capital, transporte, ubicación de plantas, mezcla de productos,asignación de personal, mezclados y muchas otras.

Tal como sugiere la variedad de las aplicaciones que se menciona, laprogramación lineal es una herramienta flexible para resolver

problemas, con aplicaciones en muchas disciplinas. En este capitulo,se exponen aplicaciones en las áreas de mercadotecnia, finanzas yadministración de la producción. En la sección final se presenta unaaplicación en el campo relativamente nuevo del análisis global dedatos. En muchos de los ejemplos se presentan soluciones porcomputadora que se obtienen utilizando el paquete de programasdenominado The Management Scientist.


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4.1 ALGUNOS LINEAMIENTOS PARA LAFORMULACION DE LOS MODELOS

En las aplicaciones que siguen se vera la forma en la que se puedenplantear diversos problemas como programas lineales. Aunque elproceso de formulación o planteamiento de modelos de programaciónlineal es un arte que se aprende con la práctica y la experiencia, lossiguientes lineamientos o casos generales pueden ser útiles alcomenzar a formular los propios modelos de programación lineal.

1. Entender por completo el problema

2. Plantear el problema en forma tan concisa como sea posible,formulando enunciados verbales de lo siguiente:

• Objetivo. El propósito del problema, tal como maximizarutilidades, minimizar tiempo, etc.

• Variables de decisión. Los aspectos del problema que sepueden controlar o determinar y que ayudan a alcanzar elobjetivo que se plantea.

• Restricciones. Las limitaciones o condiciones que se debensatisfacer para que la solución sea factible.

3. Utilizando las variables de decisión como incógnitas (por

ejemplo x1, x2, etc.), formular expresiones matemáticas quedescriban el objetivo y cada una de las restricciones.

Se debe recordar que como el método es de programación lineal,las expresiones que se utilizan para el objetivo y para lasrestricciones deben ser relaciones lineales.

4. Añadir los requisitos de no negatividad (Xi ≥ 0) para cada unade las variables de decisión.


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En este punto debe tenerse un modelo de programación lineal querepresente el problema o aplicación que se estudia. La solución delmodelo proporcionará los valores óptimos de las variables dedecisión, así como también información acerca del análisis desensibilidad. La interpretación adecuada puede ofrecer informaciónvaliosa sobre la toma de decisiones para los administradores.

4.2 APLICACIONES EN MERCADOTECNIA

Selección de medios de publicidad

Las aplicaciones de programación lineal para la selección de mediospublicitarios están diseñadas para ayudar a los gerentes de fijos de

publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyenperiódicos, revistas, radio, televisión y correo directo. En la mayorparte el objetivo es maximizar Ia exposición a la audiencia. Lasrestricciones sobre las asignaciones permisibles usualmente seproducen por consideraciones como politicas de la compañía,requisitos contractuales y disponibilidad de los medios. En Iaaplicación que se presenta enseguida, se ilustra la forma en que

podría plantearse un problema de selección de medios, y su soluciónutilizando un modelo de programación lineal.

Considérese el caso de la empresa Relax-and-Enjoy LakeDevelopment Corporation. La Relax-and-Enjoy está realizando elproceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicará en lasriberas de un lago de propiedad privada, y el negocio consiste en la


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venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro. Elprincipal mercado para esto lotes en las orillas del lago incluye atodas las familias de ingresos medios y altos dentro de un radio de

aproximadamente 100 millas desde tal centro. La Relax – and - Enjoyha utilizado los servicios de la firma de publicidad Boone Phillips andJackson para el proyecto de la campaña promocional.

Después de considerar los posibles medios publicitarios y el mercadoque se debe cubrir, la Boone ha hecho la recomendación preliminarde restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final delmes, la empresa reevaluara su estrategia, con base en los resultados.La Boone ha recopilado datos acerca del número de familiaspotencialmente compradoras a las que se llega, el costo porpublicidad, el número máximo de veces que esta disponible cadamedio, y la disposición esperada para cada uno de los cinco mediospublicitarios. La exposición esperada se mide en términos de unaunidad de exposición, que es una del valor relativo de un anuncio en

cada uno de los medios. Tales medidas, con base en la experienciaque la compañía tiene en el negocio de la publicidad, toman enconsideración factores tales como perfil de la audiencia (edad,ingresos y grado de educación), imagen que se presenta y calidad delanuncio. En la tabla 4.1 se presenta la información recopilada.

La firma Relax-and-Enjoy ha proporcionado a la Boone un

presupuesto de publicidad de $30.000 (dólares) para la campaña delprimer mes. Además, ha impuesto las siguientes restricciones sobrela forma en que la Boone puede asignar esos fondos: se debenutilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisión, y sedebe llegar cuando menos a 50000 compradores potenciales duranteel mes. Además, no pueden invertirse mas de $ 18000 en anunciospor televisión. ¿Que plan de selección de medios debe recomendar la

empresa publicitaria?


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TABLA 4.1 Alternativas de medios de publicidad para la Relax – and– Enjoy Lake Development Corporation

Medios depublicidad # familiascompradoras Costoporanuncio

# ocasionesdisponibles Unidadesesperadas

TV diurna (1 min)estacion WKLA

1000 $ 1.500 15 65

TV nocturna (30seg), estacionWKLA

2000 $ 3.000 10 90

Periodico diario TheMorning Journal

1500 $ 400 25 40

Suplemento deperiodico dominical

2500 $ 1.000 4 60

Radio: noticias8:00 A.M. o 5:00P.M.

300 $ 100 30 20

• El numero máximo de las ocasiones que esta disponible elmedio es el numero máximo de ocasiones en que se presenta elmedio de publicidad (por ejemplo, 4 domingos para el medionumero 4) o el numero máximo de ocasiones en que Boonepermitirá que se utilice el medio.

Se comienza definiendo las variables de decisión de la siguientemanera:X1 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV diurnaX2 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV nocturnaX3 = numero de ocasiones en que se emplea el periódico diarioX4 = numero de ocasiones en que se emplea el periódicodominicalX5 = numero de ocasiones en que se utiliza la radio.


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Radio 30 300030000

Total de audiencia alcanzada = 61500Exposicion esperada= 2370

Un posible defecto de este modelo es que, aun cuando la medida dela exposicion esperada no estuviera sujeta a error, no existe garantíade que maximizar la exposicion esperada total conducirá a lamaximización de las Utilidades o las ventas (un sustituto común paralas utilidades). Sin embargo este no es un defecto de la programaciónlineal; más bien es una desventaja de utilizar la exposicion comocriterio. Ciertamente, si fuera posible medir en forma directa el efectoque la publicidad tiene sobre las utilidades, se utilizaran las utilidades

totales como el objetivo a minimizar.Además, se debe estar consciente de que el modelo de selección demedios, tal como se planteo en esta sección, no incluyeconsideraciones como las siguientes:

1. El valor de la exposición se reduce con la repetición en el uso delos medios.

2 Descuentos en costos por utilización repetida de los medios.

3. Traslape de la audiencia en los distintos medios.

4. Recomendaciones de tiempo para los anuncios.

Con frecuencia es posible utilizar un planteamiento más complejo(más variables y restricciones) para vencer estas limitaciones, perono siempre será posible superarlas todas con un modelo deprogramación lineal. Sin embargo, aun en estos casos, con frecuencia


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puede utilizarse un modelo de programación lineal para llegar a unaaproximación de la mejor decisión. La evaluación de losadministradores, combinada con la solución de la programaciónlineal, debe hacer posible entonces la elección de una estrategiaglobal efectiva para la publicidad.

Notas y Comentarios

1. En general, se utilizan x1, x2, etc., para denotar las variables dedecisión en un modelo de programación lineal. Al comenzar elplanteamiento del modelo, se expone en forma cuidadosa la notaciónutilizada y la definición de cada variable de decisión.

Al mismo tiempo que se puede utilizar la notación x1, x2, etc., encualquier modelo de programación lineal, algunos científicos de laadministración prefieren hacer uso de un esquema de notación másdescriptivo para cada variable de decisión. Por ejemplo, el modelo de

selección de medios podría haber sido formulado como DTV paradenotar “televisión durante el día”; por NTV, para “televisión durantela noche”; por P, para periódicos; por PD, para publicacionesdomésticas; por R, para revistas.

En este caso, la función objetivo quedarla expresada de la siguientemanera:

Max 65DTV + 9OIVTV + 40P + 6OPD + 20R

Las restricciones se plantearían en términos de la notación ideada:DTV, NTV, P, PD, R. En cualquier caso, es importante observar que elmodelo se puede formular con cualquier notación o combinación denotaciones para las variables de decisión. Sin importar cuál sea ladecisión, siempre es conveniente definir con cuidado las variables dedecisión y la notación que se utiliza desde el principio delplanteamiento del modelo.

2. Debe observarse que el modelo de selección de medios, quizá más


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que la mayoría de los demás modelos de programación lineal,requiere de evaluaciones subjetivas críticas para las calificacionessobre la exposiciOn de los diversos medios alternos. Aun cuando losgerentes de mercadotecnia pueden contar con considerables datosacerca de la exposición a la publicidad, los coeficientes finales que seutilizan en la función objetivo incluyen consideraciones que se basanprimordialmente en el criterio de los administradores. Sin embargo,la introducción de juicios es una forma aceptable de obtener datospara un modelo de programación lineal.

Investigación de Mercadotecnia

Diversas organizaciones Llevan a cabo investigacionesmercadotécnicas para determinar características de los consumidores,actitudes y preferencias con respecto a productos o servicios que lasorganizaciones ofrecen. Con frecuencia, las investigaciones reales laslleva a cabo una empresa de investigación de mercadotecnia que seespecializa en ofrecer a sus clientes la información que desean sobreel mercado. Los servicios que las empresas de investigaciónmercadotécnica ofrecen por lo común incluyen el diseño del estudio,la realización de las encuestas de mercado, el análisis de los datosrecopilados y reportes resumidos y recomendaciones para el cliente.En la fase de diseño de la investigación, es posible que se establezcanobjetivos o cuotas para el número y tipos de entrevistados que lainvestigación debe alcanzar. Cuando se establecen lineamientos sobre

cuotas, el objetivo de la empresa investigadora es Llevar a cabo laencuesta de manera que se satisfagan las necesidades de los clientesa un costo mínimo.

La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigaciónde mercadotecnia que se especializa en evaluar la reacción de losconsumidores ante productos, servicios y campañas de publicidadnuevos. Una empresa cliente ha solicitado que le ayude a determinarla reacción de consumidores ante un producto recientementecomercializado para uso domestico. En el curso de algunas reuniones

con el diente, se acordó que se utilizarían entrevistas personales depuerta en puerta para obtener información tanto de hogares conniños los como de hogares sin ellos. Además, se acordó que serianecesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, conobjeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogaresEspecíficamente, el contrato de este cliente exigía a la SMI realizar1000 entrevistas con los siguientes lineamientos sobre cuotas:

1. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares con niños.

2. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares sin niños.


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3. El numeró total de hogares entrevistados durante la noche seriacuando menos igual al número de hogares entrevistados durante eldía.

4. Cuándo menos el 40% de las entrevistas para hogares con niñosse realizarían durante la noche.5. Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños serealizarían durante la noche.

Como las entrevistas en hogares con niños requieren de tiempoadicional del entrevistador, y como a los entrevistadores nocturnos se

les paga más que a los que trabajan de día, el costo de lasentrevistas varía según su tipo. Con base en estudios previos, lasestimaciones sobre los costos de las entrevistas son:

¿Cual es el plan de entrevistas, por hogar y por parte del día, quesatisface los requerimientos contractuales a un costo mínimo totalpara las entrevistas?

El planteamiento de un modelo de programación lineal para elproblema de la Market Survey es buena oportunidad para introducirel uso de variables de decisión con doble subíndice. Utilizando x pararepresentar las variables decisorias, se utilizan dos subíndices para x,en donde el primer subíndice señala si la entrevista implica a niños ono, y el segundo indica si la entrevista se realiza durante el día odurante la noche. Utilizando 1 para niños y 2 para no niños, y 1 paradía y 2 para noche, se pueden utilizar subíndices dobles paraidentificar las siguientes variables de decisión:

X11 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar duranteel día

X12 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar durantela noche

Costo de la entrevistaHogar Diurna Nocturna

Niños $ 20 $ 25No niños $ 18 $ 20


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X21 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabodurante el día

X22 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabodurante la noche

Se comienza el planteamiento del modelo de programación linealutilizando los datos de costos por entrevista para elaborar la siguientefunción objetivo:

min. 20 X11 + 25 X12 + 18 X21 + 20 X22

La restricción que exige un total de 1000 entrevistas se expresa como

X11 + X12 + X21 + X22 = 1000

Las cinco especificaciones que se refieren a los tipos de entrevistasson las siguientes:

1. Hogares con niñosX11 + X12 ≥ 400

2. Hogares sin niños:

X21 + X22 ≥ 400

3. Cuando menos tantas entrevistas nocturnas como diurnas:

X12 + X22 ≥ X11 + X21

El formato normal para el planteamiento del modelo de programaciónlineal y para la introducción de datos en la computadora hace que secoloquen todas las variables de decisión en el lado izquierdo de ladesigualdad, y una constante (posiblemente cero) en el lado derecho.Por ello, se reescribirla esta restricción como

—X11 + X12 — X2I + X22≥ 0


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4. Cuando menos 40% de las entrevistas en hogares con niñosdurante la noche:

X12 ≥ .4(X11 + X12)O

- .4 X11 + .6X12 ≥ 0

Añadiendo los requisitos de no negatividad, el modelo deprogramación lineal de cuatro variables y seis restricciones seconvierte en

Min 20X11 + 25X12 + 18X21 + 20X22Sujeto a

X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Total de entrevistas

X11 + X12 ≥ 400 Hogares con niños

X21 + X22 ≥ 400 Hogares sin niños

—X11 + X12 — X21 + X22 ≥ 0 mas entrevistas nocturnas

— .4X11 + .6X12 ≥ 0 Hogares con niños,noche

— .6X21 + .4X22 ≥ 0 Hogares sin niños, noche

X11, X12, X21, X22 ≥ 0

En la Fig. 4.1 se muestra la solución por computadora del programalineal anterior. Utilizando los resultados de la solución porcomputadora, se observa que el costo mínimo de $20,320 sepresenta con el siguiente programa de entrevistas:

Numero de entrevistas

Hogar diurnas nocturnas totalesNiños 240 160 400


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No niños 240 360 600Totales 480 520 1000

Como se puede observar, se programan 480 entrevistas durante eldia y 520 durante la noche. Los hogares con niños se cubrenmediante 400 entrevistas, y los hogares sin niños, mediante 600entrevistas.

Una información seleccionada sobre el análisis de sensibilidad de laFig. 4.1 muestra un precio dual de —19.2 para la restricción 1. Estoindica que la función objetivo empeoraría

Variable Valor

Costos

reducidosX11 240,000015 0,000001X12 159,999985 0,000001X21 240 0,000002X22 360 0

RestriccionHolgura /Excedente

Preciosduales

1 0 -19,200001

2 0 -2,7999993 200 04 40 05 0 -4,9999986 0 -1,999998

FIGURA 4.1 Solución por computadora del problema deinvestigación de mercados utilizando The Management Scientist.

(el costo aumentaría) en $19.20 si se aumenta el numero deentrevistas de 1000 a 1001. Por ello, $19.20 es el incremento en loscostos al obtener entrevistas adicionales. También representa losahorros que se podrían lograr al reducir el número de entrevistas de1000 a 999. El precio dual para el requisito de 400 hogares con niños(restricción 2) indica que solicitar entrevistas adicionales en hogarescon niños no mejora la función objetivo. De hecho, las entrevistasadicionales en hogares con niños aumentarían el costo total a razónde aproximadamente $2.80 por entrevista.


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La variable de excedente que tiene un valor de 200 para la restricción3, muestra que se van a entrevistar 200 más hogares con niños quelos que se requieren. De manera similar, la variable de excedente quetiene un valor de 40 para la restricción 4 muestra que el número deentrevistas nocturnas excede al número de entrevistas diurnas en 40.Los valores nulos para las variables de excedente de las restricciones5 y 6 indican que se mantienen en un mínimo las entrevistasnocturnas, que son las más costosas.

4.3 APLICACIONES FINANCIERAS

Selección de cartera

Los problemas de selección de cartera implican situaciones en las quelos gerentes financieros deben elegir inversiones especificas (porejemplo, acciones, bonos) a partir de diversas alternativas deinversión. Los administradores de fondos mutualistas, de uniones decrédito, de compañías de seguros y de bancos, encuentranfrecuentemente este tipo de problemas. La función objetivo para losproblemas de selección de cartera es por lo común la maximizacióndel rendimiento esperado o la minimización de los riesgos. Las

restricciones asumen, por lo general, la forma de restricciones sobreel tiempo de inversiones permisibles, leyes estatales, politicas de lacompañía, máximo riesgo permisible, etcétera.

Se han planteado y resuelto problemas de este tipo utilizandodiversas técnicas de programación matemática. Sin embargo, si esposible plantear una función objetivo lineal y restricciones lineales enun problema específico de selección de cartera, entonces puedeutilizarse la programación lineal para resolverlo. En esta sección semuestra la forma en la que puede plantearse un problema deselección de cartera y el modo en que se puede resolver comoprograma lineal.

Considérese el caso de la firma Welte Mutual Funds, Inc., ubicada enla ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 alconvertir bonos industriales en efectivo, y ahora está en busca deotras oportunidades de inversión para esos fondos. Considerando lasinversiones de la Welte en esos momentos, el principal analistafinanciero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevasinversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o enbonos gubernamentales. Específicamente, el analista ha identificadocinco oportunidades de inversión y proyectado sus tasas anuales de


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rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las quese muestran en la Tabla 4.3.

La dirección de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientossobre la inversión:

1. Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de50% de la inversión nueva total.

2. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las

inversiones en la industria siderúrgica.

3. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversión con altosrendimientos pero también altos riesgos, no puede ser más de 60%del total de las inversiones en la industria petrolera.

¿Qué recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se debenhacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar

los rendimientos proyectados, sujeto a las restriccionespresupuestales y administrativas que se han impuesto, puedecontestarse esta pregunta planteando un modelo de programaciónlineal para el problema. La solución para este modelo deprogramación lineal ofrecerá, entonces, recomendaciones sobreinversión para los administradores de la Welte Mutual Funds.

Sean,X1 = dólares invertidos en Atlantic Oil

X2 = dólares invertidos en Pacific Oil

X3 = dólares invertidos en Midwest Steel

X4 = dólares invertidos en Huber Steel

X5 = dólares invertidos en bonos gubernamentales

Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas que se muestran en


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la Tabla 4.3, la función objetivo para maximizar el rendimiento totalsobre la cartera puede escribirse como

Max O.073X1 + 0.103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 +0.045X5

TABLA 4.3 Oportunidades de inversión para Welte Mutual Funds

InversionTasa de rendimienlo proyectada

(%)Atlantic Oil 7.3

Pacific Oil 10.3

Midwest Steel 6.4

Huber Steel 7.5

Bonos gubernamentales 4.5

La restricción que especifica la inversión de los $100000 se expresacomo

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100000

Los requisitos de que ni la industria del petróleo ni la industria delacero reciban más de 50% de la inversión de $100,000, se escribe dela siguiente manera:

X1 + X2 ≤ 50,000 Industria petrolera

x3 + x4 ≤ 50,000 Industria siderurgia


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El requisito de que los bonos de gobierno sean de cuando menos 25%de la inversión en la industria siderurgia se expresa de la siguientemanera:

X5 ≥ 0.25 (X3 + X4)

o bien

—0.25X3 — 0.25X4 + X5≥ 0

Finalmente, la restricción de que la inversión en Pacific Oil no puedeser más de 60% de la inversión total en la industria petrolera seconvierte en:

X2 ≤ 0.60 (X1 + X2)

o bien

—0.60X1 + 0.40X2 ≤ 0

Sumando las restricciones de no negatividad, el modelo completo deprogramación lineal para el problema de inversión de la Welte MutualFunds es el siguiente:

Max 0.073X1 + 0. 103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 +0.045X5

Sujeta a

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100,000 Fondos disponibles


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X1 + X2 ≤ 50,000 Máximo de la industriapetrolera

X3 + X4 ≤ 50,000 Máximo de la industriadel acero

-0.25X3 — 0.25X4 + X5 ≥ 0 Mínimo de bonos gubernamentales

—0.6X1 + 0.4 X2 ≤ 0 Restricción de la Pacific Oil

x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

Valor de la función objetivo=8000.000000

Variable Valor Costos reducidosX1 19999.998000 0.000000X2 3000.002000 0.000000X3 0.000000 0.011000X4 40000.000000 0.000000X5 10000.000000 0.000000

RestriccionHolgura /Excedente

Preciosduales

1 0 0.0690002 0 0.0220003 10000 0.0000004 0 -0.024000

5 0 0.030000


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fondos en alguna, otra parte (que no sean estos cinco títulos-valor)los administradores deben considerar cuán conveniente será invertirla totalidad de los $100,000 en esta cartera. Se pueden darinterpretaciones similares para los otros precios duales. Sin embargo,nótese que es negativo el precio dual para la restricción 4; su valores —O 024. Esto indica que aumentar en una unidad el valor en ellado derecho de una restricción puede ocasionar, posiblemente, uncambio en la función objetivo de —0.024. En términos de la carteraOptima, esto significa que si la Welte invierte un dólar más en bonosdel gobierno, su rendimiento total disminuirá en 2.4 centavos. Paraver por qué sucede esto, obsérvese de nueva cuenta en el precio dualde la restricción 1 que el rendimiento marginal de los fondosinvertidos en la cartera es 6.9% (el rendimiento promedio es 85). Latasa de rendimiento de los bonos gubernamentales es 4.5%. Par ella,el costo de invertir un dólar más en bonos de gobierno es ladiferencia entre el rendimiento marginal de la cartera y elrendimiento marginal de los bonos gubernamentales: 6.9% — 4.5%= 2.4%.Obsérvese que la solución Optima con x = 0 muestra que la MidwestSteel no debe incluirse en la cartera. El costo reducidocorrespondiente a x3, 0.011, indica que el coeficiente de la funciónobjetivo-para la Midwest Steel tendría que aumentar en 0.011 antesde que fuera deseable considerar a esta empresa coma alternativa deinversión. Con este aumento, el rendimiento de la Midwest Steel sería0.064 + 0.011 = 0.75, hacienda que esta inversión fuera justamente

tan deseable como la alternativa de inversión que actualmente seutiliza, la de Huber Steel.Finalmente, una modificación sencilla sobre el modelo deprogramación lineal de la Welte permite determinar la fracción de losfondos disponibles que se invierten en cada alternativa. Es decir, sedividen entre 100,000 los valores del lado derecho. Entonces, losvalores óptimos para las variables proporcionan la fracción de losfondos que deben invertirse en cada título, para una cartera decualquier tamaño.

NOTAS Y COMENTARIOS

La solución óptima para el problema de la Welte Mutual Fundsindicaba que se debían invertir $20,000 en acciones de la Atlantic Oil.Si la Atlantic Oil se vende en $75 por acción, se tendrían que comprarexactamente 266 2/3 acciones para invertir exactamente $20,000.Por lo general, la dificultad para adquirir acciones fraccionarias semaneja adquiriendo el mayor número entero posible de acciones conlos fondos asignados (por ejemplo, 266 acciones para la Atlantic Oil).Este método garantiza que no se infringe la restricción presupuestal.


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Por supuesto, lo anterior introduce la posibilidad de que la solución yano sea la óptima, pero el peligro es reducido si se trata de un númerogrande de acciones. En los casos en que el analista considere que escrucial que las variables de decisión tengan valores enteros, elproblema debe plantearse coma modelo de programación lineal segúnenteros. Esta programación lineal es la materia del Cáp. 8.

Estrategia de Combinación Financiera

Las estrategias de mezcla o combinación financiera implican laselección de medios para financiar proyectos de la compañía,inventarios operaciones de producción y otras actividades. En esta

sección se ilustra la forma en que puede utilizarse la programaciónlineal para resolver problemas de este tipo, planteando y resolviendoun problema que implique el financiamiento de operaciones deproducción. En esta aplicación específica, se debe tomar una decisiónfinanciera respecto a cuanta producción se debe financiar mediantefondos generados internamente, y qué tanta producción se debefinanciar mediante fondos externos.

La Jefferson Adding Machine Company va a comenzar la fabricaciónde dos nuevos modelos de calculadoras electrónicas en los tres mesespróximos. Como la fabricación de estos modelos exige ampliar laoperación de producción que se tiene en esos momentos, la compañíanecesitará fondos de operación para cubrir los costos de materiales,mano de obra y otros gastos, durante el periodo inicial de producción.Los ingresos provenientes de este periodo inicial de producción noestarán disponibles sino hasta después del final del periodo. Así, lacompañía debe obtener financiamiento para estos gastos deoperación, antes de que pueda empezar a fabricar.

La Jefferson ha apartido $3,000 de fondos internos para cubrir losgastos de la operación. Si se requieren fondos adicionales, tendránque ser generados en el exterior. Un banco local ha ofrecido una líneade crédito a corto piazo para una cantidad que no exceda de $10,000.La tasa de interés para la vigencia del préstamo será de 12% anualsobre la cantidad que se tenga a crédito. Una estipulación fijada porel banco exige que la parte restante del efectivo que la compañíaaparto para esa operación, más las cuentas por cobrar provenientesde esta línea de productos, sean de cuando menos el doble delcrédito pendiente de pagar, más los intereses al final del periodoinicial de producción.

Además de las restricciones financieras sobre la operación, lacapacidad de la mano de obra es también un factor que la Jefferson


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debe tomar en consideración. Solo se tienen disponibles 2500 horasde tiempo de ensamble y 150 horas de tiempo de empaque y envíopara la nueva línea de productos, durante el periodo inicial deproducción de tres meses. En la Tabla 4.5 se muestran los datosrelevantes sobre costos, precios y requisitos de tiempos deproducción para los dos niveles, a los que se denomina Y y Z.

Los administradores de la compañía han impuesto restriccionesadicionales con objeto de garantizar que es posible probar la reaccióndel mercado ante ambos productos; es decir, deben fabricarsecuando menos 50 unidades del modelo Y y cuando menos 25unidades del modelo Z en ese primer periodo de producción.

TABLA 4.5 Datos de costos, precios y mano de obra para JeffersonAdding Machine Company

Costo unitario Horas de mano deobra que serequieren

(materiales y

otros Precio Margen EmpaqueModelo gastos variables) de venta de utilidad Ensamblado y envíoY $ 50 $ 58 $ 8 12 1Z $ 100 $ 120 $ 20 25 2

Como el costo de las unidades que se fabrican utilizando fondoscrediticios sufrirá, en efecto, un cargo por interés, se reducen lascontribuciones a las utilidades para los modelos Y y Z que se fabricancon fondos obtenidos a crédito. Por ello, se adopta la siguientenotación para las variables de decisión del problema:

X1 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos de lacompañía

X2 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos obtenidos acrédito

X3 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos de lacompañía


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X4 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos obtenidos acrédito

¿Qué tanto se reduce la contribución a las utilidades de las unidadesque se fabrican con fondos obtenidos a crédito? Para resolver estapregunta, debe saberse durante cuánto tiempo estará vigente elpréstamo. Se supone que todas las unidades de cada modelo sevenden, conforme se fabrican, a distribuidores independientes, y quela tasa promedio de rotación de las cuentas por cobrar es de tresmeses. Como los administradores de la compañía han especificadoque el crédito debe pagarse con los fondos generados por lasunidades que se fabrican mediante fondos crediticios, los fondos quese obtienen a crédito para fabricar una unidad del modelo Y o unaunidad del modelo Z se pagarán aproximadamente tres meses dedespuésPor ello, la contribución a las utilidades para cada unidad del modeloY que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $8 a $8 —($50 x0.12 x ¼ yr) = $6.50 , y la contribución a las utilidades para cadaunidad del modelo Z que se fabrica con fondos crediticios se reducede $20-a $20—($l00 x 0.12 x ¼ yr) = $17. Con esta información sepuede ahora plantear la función objetivo para la mezcla financiera dela Jefferson:

Max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4

Pueden también especificarse las siguientes restricciones para elmodelo:

12x1 + 12x2 + 25x3 + 25x4


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Efectivo + cuentas por cobrar =2(51.5x2+103x4)

O bien

3000>= -8x1 + 45x2 – 20x3

Lo cual es equivalente a

-8x1 + 45x2 – 20x3 + 86x4


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corresponde ahora a la solución x1 = 0, x2 = 50, x3 = 30, yx4 =15.7.Evidentemente, los administradores podrían poner en prácticacualquiera de las soluciones que se muestran en esas figuras, ymaximizar las utilidades. La solución de la Fig. 4.4 se resume en laTabla 4.6, junto con la utilidad esperada y los fondos obtenidos acrédito para cada modelo de calculadora. Esta solución exige que lacompañía emplee todos

Variable Valor Costos reducidosX1 50,000000 0,000001X2 0,000000 0,000000X3 5,000000 0,000001

X4 40,697674 0,000000

RestriccionHolgura /Excedente Precios duales

1 757,558230 0,0000002 8,604660 0,0000003 0,000000 0,2395354 5930,232400 0,0000005 0,000000 -2,3953496 20,697670 0,000000

7 0,000000 0,197674Figura 4.3 Solución por computadora del problema de JeffersonAdding Machines, utilizando The Management Scientist

Valor de la función objetivo = 1191.860350

Variable Valor Costos reducidosX1 0,000000 0,000001X2 50,000000 0,000000X3 30,000000 0,000001X4 15,697672 0,000000

RestriccionHolgura /Excedente Precios duales

1 757,558230 0,0000002 8,604660 0,0000003 0,000000 0,2395354 5930,232400 0,0000005 0,000000 -2,3953496 20,697670 0,0000007 0,000000 0,197674


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FIGURA 4.4 Solución Optima alternativa para el problema deJefferson AddingMachines, utilizando The Management Scientist.

TABLA 4.6 Combinación financiera Optima Jefferson Adding Machinepara la producción en la Jefferson Adding Machine

Modelo Unidades

utilidad

esperada

monto de

fondosModelo Y

Fondos obtenidos acredito (X2) 50 $ 325 $ 2.500Modelo ZFondos de lacompañía(X3) 30 600Fondos obtenidos acredito (X4) 15,7 267 1570

Totales 1192 4070

Sus fondos internos ($3000), pero sólo un poco mas de $4,000 de los$10,000 disponibles en la línea de crédito.

Algunas interpretaciones adicionales sobre el listado de computadorade la Fig. 4.4 muestran que la capacidad de ensamblado (restricción1, holgura = 757.6 horas) y la capacidad de empaque y envió(restricción 2, holgura = 8.6 horas) son adecuadas para satisfacerlosrequisitos de producción. Asignar horas adicionales a estos recursosno mejora el valor de la solución optima.

El precio dual correspondiente a la restricción de los fondos internos(restricción 3) muestra que se puede obtener un mejoramiento de lasutilidades de aproximadamente $0.24 si se invierte un dólar adicionalde fondos internos. Con este elevado rendimiento sobre la inversiónde fondos internos, es posible que la Jefferson desee seriamenteconsiderar la asignación de fondos internos adicionales para esteproducto.


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El precio dual negativo para la restricción 5 indica que los aumentosen el requisito de producción del modelo Y reducirían el margen deutilidad. De hecho, el precio dual negativo indica que reducir elrequerimiento actual de 50 unidades para el modelo Y, produciría enrealidad aumentos en las utilidades a razón de aproximadamente$2.40 por unidad que se reduzca en el requisito.

Notas y Comentarios

Las contribuciones a las utilidades para los dos productos de laJefferson Adding Machine se basaron en la diferencia entre el preciounitario por unidad y el “costo” por unidad. Una consideración

interesante al determinar el costo por unidad es la diferencia entrelos costos irrelevantes (sunk) y los costos relevantes. Costosirrelevantes son aquéllos que ya se han realizado, tales comocompras previas de materiales, gastos generales, mano de obraindirecta, etcétera. Como son costos en los que ya se ha incurrido, ocostos que se realizarán sin importar las decisiones que se tomen,tales conceptos carecen de relevancia; es decir, no son afectados porlos valores de las variables de decisión. -Los costos irrelevantes nodeben considerarse cuando se desarrolla la función objetivo para unmodelo de programación lineal. Obsérvese que la Tabla 4.5 muestra

que los costos unitarios se basan en los costos relevantes variablespara los materiales, así como también en otros gastos variables. En elcaso referente a la protección ambiental que aparece al final delcapitulo se da oportunidad de identificar los costos relevantes aldesarrollar un modelo de programación lineal.

4.4 APLICACIONES EN ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION

Programación de la producción

Una de las áreas más importantes de la programación lineal trata delas aplicaciones en periodos múltiples de planeación, tales como laprogramación de la producción. La resolución de un problema de estaclase permite a los administradores establecer un programa deproducción eficiente y a costos reducidos, para uno o más productos,a lo largo de diversos periodos, como semanas, meses, etcétera. Enesencia, se puede contemplar un problema de programación de laproducción como uno de combinación o mezcla de productos paracada uno de diversos lapsos hacia el futuro El administrador debedeterminar los niveles de producción que permitirán a una compañíaa satisfacer los requisitos de demanda del producto, considerando


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limitaciones sobre la capacidad de producción, La capacidad de manode obra y el espacio de almacenamiento Al mismo tiempo, se deseaminimizar el costo total para llevar a cabo esa labor

Un motivo importante de la generalizada aplicación de laprogramación lineal en problemas de programación de la producción,es que estos son de naturaleza recurrente. Se debe establecer unprograma de producción para el mes en curso, después para el messiguiente, luego para el que sigue, y así sucesivamente. Cuando elgerente de producción considera el problema cada vez, se encuentracon que, aunque la demanda de los productos varia, las limitacionessobre el tiempo y las capacidades de producción, y sobre el espaciode almacenamiento, son básicamente Las mismas. Por ello, elgerente de producción resuelve en esencia el mismo problema que seha manejado en meses anteriores. Por tanto es posible aplicar confrecuencia un modelo general de programación lineal para elprocedimiento de programado de la producción. Una vez que seplanteó el modelo, el administrador puede simplemente proporcionarlos datos (demanda, capacidades, etc.) para el periodo de produccióndado, y puede entonces utilizarse el modelo de programación linealpara desarrollar el programa de producción. De modo que unplanteamiento de programación lineal puede tener muchasaplicaciones sucesivas.Considere el caso de la empresa Bollinger Electronics Co., que fabrica

dos componentes electrónicos distintos para un importante fabricantede motores de avión. Tal fabricante notifica a la oficina de ventas dela Bollinger, cada trimestre, cuáles serán los requerimientos decomponentes para los tres meses siguientes. Las demandasmensuales de los componentes pueden variar considerablementedependiendo del tipo de motor que produce el fabricanteEl pedido que se muestra en la Tabla 4.7 acaba de ser recibido, ycorresponde al siguiente lapso de tres meses. Después de que seprocesa el pedido, se envía una constancia de demanda aldepartamento de control de la producían. A su vez, este

departamento debe elaborar un plan de producción a tres meses paralos componentes. Conociendo La preferencia de el gerente deldepartamento de producción, por niveles constantes de demanda queden como resultado cargas de trabajo equilibradas y utilizaciónconstante de las máquinas y la mano de obra, la persona encargadadel programa de producción debe tomar en consideración laalternativa de fabricar a una tasa constante durante los tres meses.Esto fijarla cuotas de producían de 3000 unidades por mes para elcomponente 322A y 1500 unidades al mes para el componente 802B.Por qué no adoptar este programaAunque tal programa resultaría atractivo para el departamento deproducción, puederesultar indebido, desde el punto de vista de los costos totales. En


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particular, omite los costos de inventarios. Considérense los nivelesproyectados de inventario que se producirían

TABLA 4.7 Programa de la demanda a tres meses para BoilingerElectronic Company

Abril Mayo Junio

Componente322A 1000 3000 5000

Componente

80221000 500 3000

30 de Abril 31 de Mayo

Componente322A

2000 2000Unidades Unidades

500 1500Componente802B unidades unidades

FIGURA 4.5 Nive1es proyectados de inventario con un programa deproducción a tasa constante.

Con este programa que exige producción constante (Fig. 4.5). Seobserva que el programa de producción conduciría a niveles elevadosde inventarios. Cuando se considera el costo del capital y del espaciode almacenamiento comprometidos, un programa que produzcamenores niveles de inventarios puede resultar más deseable entérminos económicos.

En el otro extremo del programa de producción a tasas constantes se


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encuentra el método de “fabricar para satisfacer La demanda”.Aunque este tipo de programas elimina el problema de los costos demantener inventario, las amplias fluctuaciones mensuales en losniveles de producción pueden ocasionar algunas dificultades y costosde producción considerables. Por ejemplo, tendría que habercapacidad de producción disponible para satisfacer la demanda picode 8000 unidades en junio. También, y a menos que se pudieranprogramar otros componentes para el mismo equipo de producciónen abril y mayo, habría una cantidad considerable de capacidad noutilizada y, por ello, una subutilización importante en esos meses.Tales importantes variaciones en la producción podrían también exigirajustes considerables en la mano de obra que, a su vez, conduciránmayores problemas de rotación y de capacitación del personal. Pordo, parece que el mejor programa de producción seria aquel queequilibrara las dos alternativas.

Al gerente de producción le agradarla identificar y considerar lossiguientes costos

1. Costos de producción

2. Costos de almacenamiento

3. Costos por cambios en el nivel de producción

En la parte restante de esta sección se muestra la forma en la quepuede plantearse un modelo de programación lineal para elproceso de producción e inventarios de la firma BoilingerElectronics, que toma en consideración esos costos de manera quese minimicen los costos totales.

Para desarrollar el modelo se utiliza una notación con doblesubíndice para las variables de decisión. El primer subíndice indicael número del producto, y el segundo, el mes. Así, en general, seutiliza xm para denotar el volumen de producción en unidadespara el producto i en el mes m. Aquí, i = 1,2, y m = 1,2,3; setiene que i = 1 se refiere al componente 322A, i = 2 se refiere alcomponente 802B, m = 1 corresponde a abril, m = 2 se refiere amayo y m = 3 corresponde a junio. El propósito del doblesubíndice es ofrecer una notación más descriptiva. Se podíasimplemente utilizar x6 para representar el número de unidadesdel producto 2 que se fabrica en el mes 3, pero X23 es másdescriptiva en cuanto a que señala directamente el mes y elproducto que la variable representa.


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Si cuesta $20 (dólares) cada unidad que se fabrica del componente322ª y $10 cada componente 802B, la parte de los costos deproducción de la función objetivo se convierte enCosto de producción = 20X11 + 20X12 + 20X13 + 10X21 + 10X22 +10X23

Se debe observar que en este problema el costo por unidad deproducción es el mismo en todos los meses. Por ello, no es necesarioincluir los costos de producción en la función objetivo, es decir;independientemente de cuál sea el programa de producción que seelija, los costos totales de producción seguirán siendo los mismos. Enotras palabras, los costos de producción son costos no relevantespara la decisión sobré el programa de producción que se considera.En casos en que se espera que el costo unitario varié cada mes, loscostos unitarios variables de producción deben incluirse en la funciónobjetivo. Como la solución para el problema de la BollingerElectronics será la misma independientemente de si se incluyen estoscostos o no, se ha decidido elegirlos para que el valor de la funciónobjetivo de programación lineal incluya todos los costoscorrespondientes al problema.

Para incluir los costos relevantes de inventarios en el modelo, seintroduce una variable de decisión con doble subíndice que indica elnúmero de unidades de inventario pana cada producto y para cada

mes. Se utiliza Sim para representar el nivel de inventario para elproducto i al final del mes m.

La Bollinger ha determinado que, sobre una base mensual, los costosde mantener el inventario son de 1.5% del costo del producto; esdecir, (0.015)($20) = $0.30 por unidad del componente 322A y (0.015)($ 10) = $0.15 por unidad para el componente 802B. Enseguida secomenta un supuesto que comúnmente se hace al utilizar el métodode la programación lineal para programar producción. Se supone quelos inventarios de fin de mes son una aproximación aceptable de los

niveles promedio de inventarios durante el propio mes. Dado estesupuesto, la porción del costo del mantenimiento de inventarios de lafunción objetivo se puede expresar de la siguiente manera:

Costo de mantenimiento de inventarios = 0.30s11 + 0.30s12 +0.30s13 + 0.l5s21 + 0.l5s22 + 0.15s23

Con objeto de incluir los costos que se producen por las fluctuacionesen los nivelesde producción de un mes a otro, es necesario definir las dos variablesde decisión adicionales que siguen:


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Im = aumento en el nivel total de producción durante el mes m encomparación con el mes m — 1

Dm = disminución en el nivel total de producción durante el mes men comparación con el mes m — I

Después de estimar los efectos de los despidos temporales de losempleados, de la rotación de personal, de los costos de asignacionesa capacitación, y de otros costos asociados a los niveles fluctuantesde producción, la Bollinger estima que el costo correspondiente a unaumento en el nivel de la producción para cualquier mes es $0.50 (dedólar) por aumento unitario. A una disminución en el nivel deproducción le corresponde un costo similar, para cualquier mes, y esde $0.20 por unidad. Así, la tercera porción de la función objetivopuede escribirse de la siguiente manera:Costos por fluctuaciones en la producción = 0.50I1 + 0.50I2 +0.50I3 + 0.20D1 + 0.20D2 + 0.20D3

Se debe observar aquí que la Bollinger ha decidido medir los costoscorrespondientes a las fluctuaciones en la producción como funcióndel cambio en el número total de unidades que se fabrican en el mesm, en comparación con el número total de unidades fabricadas en el

mes m-1. En otras aplicaciones a programas de producción, puedenmedirse las fluctuaciones en la producción en términos de horas-maquina o de horas-trabajo que se requieren, en vez de hacerlo enterminas del numero total de unidades que se fabrican.

Combinando todos esos tres costos, la función objetivo completa seconvierte en:

Min 20X11 + 20X12 + 20X13 + 10X21 + 10X22 + 10X23 +0.30S11 + 0.30S12 + 0.30S13 + 0.15S21 + 0.15S22 + 0.15S23 +0.50I1 + 0.50I2 + 0.50I3 + 0.20D1 + 0.20D2 + 0.20D3

Considérese ahora las restricciones. En primer lugar, debegarantizarse que el programa satisface la demanda del cliente. Comolas unidades que se envían pueden provenir de la producción del mesen curso, o de los inventarios de periodos previos, se tienen lossiguientes requerimientos básicos:

Inventario Producción Demanda del

Final del mes + en ≥ mes


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Anterior Curso

La diferencia entre lado izquierdo y el lado derecho será la cantidaddel inventario final, al final de ese mes. Por ello, el requerimiento dela demanda asume la forma

Inventario Producción Inventario Demanda

Final del mes + en curso - final de este = de este

Anterior mes mes

Supóngase que los inventarios al principio del periodo del programade tres meses fueran de 500 unidades para el componente 322A y

200 unidades para el componente 802B. Recordando que la demandapara ambos productos en el primer mes (abril) es de 1000 unidades,las restricciones para satisfacer la demanda en el primer mes seconvierten en

500 + x1 — S11 = 1000200 + x21 — S21= 1000

Pasando las constantes al lado derecho, se tiene:

X11 – S11 = 500

X21 – S21 = 800

De manera similar, se requieren restricciones de demanda paraambos productos en los meses segundo y tercero. Esas puedenescribirse de la siguiente manera:

Mes 2:s11 + x12 — S12 = 3000S21+XS= 500


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Mes 3: S12 + X13— S13 = 5000S22 + X23 – S23 = 3000

Si la compañía especifica un nivel minino de inventario al final delperiodo de tres meses de cuando menos 400 unidades delcomponente 802B, pueden entonces incluirse las restricciones.

S13≥ 400S23≥ 200

Supóngase que se tiene información adicional disponible sobre lacapacidad de producción, de mano de obra y almacenamiento, y es laque se presenta en la Tabla 4.8. En la Tabla 4.9 se presentan losrequerimientos de maquinaria, mano de obra y almacenamiento. Lassiguientes restricciones son necesarias para reflejar esas limitaciones:

Capacidad de las maquinas:

0.10X11 + 0.08X21 ≤ 400 Mes 10.10X12 + 0.08X22 ≤ 500 Mes 20.10X13 + 0.08X23 ≤ 600 Mes 3

Capacidad de mano de obra:

0.05X11 + 0.07X21 ≤ 300 Mes 10.05X12 + O.07X22 ≤ 300 Mes 2O.05X13 + 0.07X23 ≤ 300 Mes 3

Capacidad de almacenamiento:

2S11 + 3S21 ≤ 10,000 Mes 12S12 + 3S22 ≤ 10,000 Mes 22S13 + 3S23 ≤ 10,000 Mes 3

TABLA 4.8 Capacidades de maquinaria, mano de obra yalmacenamiento para la Bollinger Electronics

Capacidad de

maquinas(horas)

Capacidad de

Mano deObra

Capacidad de

almacenamiento(pies


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(horas) cuadrados)

Abril 400 300 10000Mayo 500 300 10000Junio 600 300 10000

Tabla 4.9 Requerimientos de maquinaria, mano de obra yalmacenamiento para los componentes 322A y 802B

Maquinas(horas/unidad)

Mano de Obra(horas/unidad)

almacenamiento(pies

cuadrados/unidad)

Componente 322A 0.10 0.05 2Componente 802B 0.08 0.07 3

Se debe incluir un conjunto final de restricciones. Estas se requierenpara garantizar que Im y Dm reflejarán el aumento o la disminuciónen el nivel total de producción en el mes m. Supóngase que losniveles de producción para marzo (el mes anterior al inicio delproblema de programación de la producción que se este trabajando)hubiera sido de 1500 unidades del componente 322A y 1000unidades del componente 802B, para un nivel total de producción de1500 + 1000 = 2500 unidades.

Puede determinarse la magnitud del cambio en la producción paraabril, a partir de la relación:

Producción en abril — producción en marzo = cambio

Utilizando las variables de decisión para la producción de abril X11 y


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X21, y la producción de marzo de 1500 unidades, se puede reescribirla relación anterior coma sigue:

x11 + x — 2500 = cambio

Obsérvese que el cambio puede ser positivo o negativo. Un cambiopositivo refleja un aumento en el nivel total de producción, y unonegativo refleja una disminución. Utilizando la relación anterior,pueden utilizarse el aumento en la variable de producción para abril

I1 y la disminución en la variable de producción para abril D1, paraespecificar la siguiente restricción que corresponde al cambio en laproducción total para el mes de abril:

X11 + X21 — 2500 = cambio

Por supuesto, no puede tenerse un aumento en la producción y unadisminución en el mismo periodo de un mes; por ello, I1 o bien D,será cero. Si en abril se requieren 300000 unidades de producción, setendría I1 = 500 y D1 = 0. Si en abril se requieren 2200 unidades deproducción, se tendrá I1 = 0 y Dt = 300. Esta forma de denotar elcambio en el nivel de producción como la diferencia entre dosvariables no negativas I 1 y D1, permite considerar cambios tanto

positivos como negativos en el nivel total de producción. Si sehubiera utilizado una sola variable, per ejemplo Cm para representarel cambio en el nivel de producción, entonces solo serian posibles loscambios positivos debido al requerimiento de no negatividad.

Aplicando el mismo método para mayo y junio (siempre restando laproducción totaldel mes anterior, de la producción total de mes en curso), se tendríanlas siguientes restricciones para los meses segundo y tercero delperiodo de programación de la producción:

(X12 + X22) — (X11 + X21) = I2 — D2(X13 + X23) — (X12+X22) = I3—D3

Colocando las variables en el lado izquierdo y las restricciones en ellado derecho, el conjunto completo de lo que comúnmente sedenominan restricciones de suavización de la producción, puedeexpresarse de la siguiente manera:

X11 + X21 — I1 + D1 = 2500


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-X11 - X21 + X12 + X22 — I2 + D1 = 0-X12 – X22 + X13 + X23 – I3 + D3 = 0

El problema de programación inicial, relativamente reducido con dos

productos y tres meses, se ha convertido ahora en un problema deprogramación lineal con 18 variables.

Tabla 4.10 Información sobre el programa de producción de costosmínimos para Bollinger Electronics

Actividad Abril Mayo JunioProduccionComponente 322A 500 3200 5200Componente 802B 2500 2000 0Totales 3000 5200 5200

Inventario finalComponente 322A 0 200 400Componente 802B 1700 3200 200

Utilizacion de lamaquinariaHoras programadas 250 480 520Horas de holgura encapacidad 150 20 80

Utilizacion de manode obraHoras programadas 200 300 260Horas de holgura encapacidad 100 0 40

Utilizacion delalmacenamientoalmacenamientoprogramado 5100 10000 1400capacidad holgura 4900 0 8600

Costo total del programa(incluyendo produccion, inventarios y alisado de laproduccion) = $225295


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y 20 restricciones. Obsérvese que lo que importaba en el problemaera solamente un tipo de proceso en máquinas, un solo tipo de manode obra y un solo tipo de área de almacenamiento. En los problemasreales de programación de la producción pueden encontrarse variostipos de máquinas, varios tipos de mano de obra y/o varios espaciosde almacenamiento. Por ello, es posible que el lector estécomenzando a darse cuenta de la forma en la que se presentan lossistemas de programas lineales de producción en gran escala. Unaaplicación típica podría implicar el desarrollo de un programa deproducción para 100 artículos y un horizonte de tiempo de 12 meses.Un problema como éste podría tener más de 1000 variables yrestricciones.

En la Fig. 4.6 se presenta la solución computadorizada del problemade programación de la producción de la Bollinger Electronics. En laTabla 4.10 se muestra una parte del reporte para los administradoresque se basa en esta solución por computadora.

Se procederá ahora a considerar la variación mensual en el programade producción de inventarios que se muestra en la Tabla 4.10.Recuérdese que el costo de los inventarios para el componente 802B

es la mitad del costo de inventario para el componente 322A. Por lotanto, tal como podría esperarse, el componente 802B se fabrica engran cantidad en el primer mes (abril) y después se mantiene eninventario para la demanda que se presente en los meses siguientes.Se tiende a fabricar el componente 322A cuando se le necesita y solose mantiene en cantidades pequeñas en los inventarios.

Los costos por los aumentos o disminuciones en el volumen total deproducción tienden a suavizar las variaciones mensuales. De hecho,un programa de costo mínimo exige un aumento de 500 unidades enla producción total de abril y un aumento de 2200 unidades en laproducción de mayo. El nivel dedurante junio.

La sección del reporte sobre utilización de las maquinas muestra queexiste considerable capacidad disponible en los tres meses. Sinembargo, Se observa también que las capacidades de mano de obray almacenamiento se utilizan en su totalidad (holgura = 0 para larestricción 13 y para la restricción 16 de la Fig. 4.6) en el mes demayo. El precio dual muestra que una hora adicional de capacidad demano de obra en mayo mejoraría la función objetivo (menores


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costos) en aproximadamente $2.14. Esta información podría ayudaral gerente de producción a decidir si debe añadir tiempo extra de lamano de obra durante el mes de mayo. Una interpretación similarpara el precio dual de la restricción 16 muestra que cada piecuadrado adicional de espacio de almacenamiento que Se tengadisponible durante mayo mejorará la función objetivo en poco menosde 5 centavos por pie cuadrado.

Valor de la función objetivo = 225294 .953000

Variables Valor CostosreducidosX11 500 0,000002X12 3199,999 0,000003X13 5199,9995 0,000004X21 249,9995 0,000002X22 2000,00098 0,000001X23 0 0,060719S11 c 0,19286S12 200,000977 0

S13 400 0S21 1699,99951 0S22 3200 0,000003S23 200 0I1 500,00146 0I2 2199,9988 0I3 0 0D1 0 0,7D2 0 0,7D3 0 0,7

Restriccion Holgura/excedentePreciosduales

1 0 -20,0000022 0 -10,0000023 0 -20,1071424 0 -10,1500025 0 -20,4999966 0 -10,4392827 0 -20,7999958 0 -10,589281


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9 149,999939 010 20,000015 011 80 012 100,000061 013 0 2,14289714 39,999985 015 4899,9971 016 0 0,04642817 8600 018 0 0,519 0 0,520 0 0,5

FIGURA 4.6 Solución por computadora del problema deprogramación de la producción para Bollinger Electronics utilizandoThe Management Scientist.

Ya se ha visto en esta ilustración que un modelo de programaciónlineal para un sistema de producción de dos artículos y tres mesesofrece alguna valiosa en términos de identificar un programa de costomínimo. En sistemas de producción más grandes, en los que elnumero de variables y restricciones es demasiado grande paraseguirlo en forma manual, los modelos de programación linealpueden ofrecer una ventaja importante en la elaboración deprogramas de producción para ahorrar costos.

NOTAS Y COMENTARIOS

Al revisar la adecuación de un modelo de programación lineal,siempre resulta conveniente revisar las unidades de medición para lafunción objetivo y para las restricciones. Por ejemplo, las capacidadesde las maquinas para el problema de la Bollinger Electronics seplantearon en unidades de horas. Como el componente 322Arequería 0.10 horas (6 minutos) por unidad y el componente 802Brequería 0.08 (4.8 minutos) por unidad, la restricción para las 400horas disponibles en el mes se planteo, correctamente, de lasiguiente manera:


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0.10x11 + 0.08x12 ≤ 400

La unidad de medición es consistente, ya que se utilizan horas tantopara el lado izquierdo como para el lado derecho. La restricción6x11 + 4.8X12 ≤ 400

No seria un planteamiento correcto porque el uso de minutos en ellado izquierdo seria inconsistente con el uso de horas en el ladoderecho. Esta incongruencia podría corregirse convirtiendo lacapacidad del lado derecho a (400 horas) x (60 minutos por hora) =24,000 minutos. Por ello, aunque exista flexibilidad al elegir la unidad

de medición que se utiliza, es necesario verificar la consistencia.

Planeación de la mano de obra

Con frecuencia se presentan problemas de planeación o deprogramación de la mano de obra cuando los administradores debentornar decisiones que implican requerimientos departamentales demano de obra para un periodo dado de tiempo. Esto es

particularmente cierto cuando las asignaciones de mano de obratienen cierta flexibilidad y en los casos en los que cuando menoscierta parte de la mano de obra puede asignarse a más de undepartamento a centro de trabajo. Este es con frecuencia el casocuando se ha capacitado a los empleados para realizar dos o mástareas. En el siguiente ejemplo se muestra la forma en la que puedeutilizarse la programación lineal para determinar no solo una mezclaoptima de productos sino también una asignación Óptima de mano deobra para los diversos departamentos.

La firma McCarthy’s Everyday Glass, Co., esta planeando fabricar dosestilos de vasos para el siguiente mes. Los vasos se procesan encuatro departamentos distintos. Existe capacidad de equipo enexceso, y no resultará ser un factor limitante. Sin embargo, losrecursos de mano de obra de la compañía son limitados y es posibleque restrinjan el volumen de producción para los dos artículos. Losrequerimientos de mano de obra por cada caja que se fabrica (unadocena de vasos) son los que se muestran en la Tabla 4.11.

Departamento Producto 1 Producto 2


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1 0.070 0.100

2 0.050 0.084

3 0.100 0.067

4 0.010 0.025

La compañía obtiene utilidades de $1.00 (dólar) por cada caja delproducto I y $0.90 (de dólar) por cada caja del producto 2. Si elnúmero de horas disponibles en cada departamento es fijo, se puedeplantear el problema de la McCarthy como un programa linealestándar de mezcla de productos. Se utiliza la notación común:

X1 = cajas del producto 1 que se fabrican

X2 = cajas del producto 2 que se fabrican

X3 = horas de mano de obra disponibles en el departamento i, i = 1,2, 3, 4

El programa lineal puede escribirse de la siguiente manera:

Max 1.00X1 + 0.90X2Sujeta a

0.070x1 + 0.100x2 ≤ b1

0.050x1 + 0.084x2 ≤ b2

0.100x1 + 0.067x2≤

b3

0.010x1 + 0.025x2 ≤ b4

X1, X2 ≥ 0

Para resolver este problema de combinación de productos, se pediríaal gerente de producción que especificara las horas disponibles encada departamento (b1, b2, b3, y b4); después, podría resolversepara obtener la mezcla de productos que maximiza las utilidades.


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Sin embargo, en este caso se supone que el administrador tienecierta flexibilidad para asignar los recursos de mano de obra y serlaconveniente hacer una recomendación para esa asignación, al igualque para determinar la combinación optima de productos.

Supóngase que, después de considerar las calificaciones decapacitación y experiencia de los trabajadores, se tiene la siguienteinformación adicional:

Posibles asignacionesde mano de obra

Horas de mano de obradisponibles

Solo en el departamento1 430




Departamentos 1 o 2 570Departamentos 3 o 4 300

Total disponible 2335

Se observa que, de las 2335 horas disponibles para la producción delmes, pueden asignarse 870 de ellos a discreción del administrador.Las restricciones para las horas disponibles en cada departamentoson las siguientes:

B1≤ 430 + 570 = 1000

B2≤ 400 + 570 = 970

B3≤ 500 + 300 = 800

B4≤ 135 + 300 = 435


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Como no es posible asignar en forma simultanea a ambosdepartamentos las 570 horas que pueden asignarse con flexibilidadentre los departamentos 1 y 2, es necesaria la siguiente restricciónadicional:

-b1 -+ b2 ≤ 430 + 400 + 570 = 1400

De manera similar para las 3O0 horas que es posible asignar entreLos departamentos 3 y 4, se requiere la restricción

—b3 + b4 ≤ 500 + 135 + 300 = 935

En este planteamiento se están manejando como variables las horas

de mano de obra que se asignan a los departamentos. Loscoeficientes de la función objetivo para estas variables serán cero,porque las variables b no afectan las utilidades en forma directa.Después de colocar todas las variables del lado izquierdo de lasrestricciones, se obtiene el siguiente programa lineal

Max 1.00x1 + 0.90x2 + 0b1 + 0b2 + 0b3 + 0b4

Sujeta a

0.07x1 + 0.100x2— b1 ≤ 00.050x1 + 0.084x2 — b2 ≤ 00.100x1 + 0.067x2 — b3 ≤ 00.010x1 + 0.025x, — b4 ≤ 0

b1 ≤ 1000b2 ≤ 970

b3 ≤ 800 b4 ≤ 435

b1+ b2 ≤ 1400b3+ b4 ≤ 935

x1, x2, b1, b2, b3, b4 ≥ 0

Este modelo de programación lineal resolverá en realidad dosproblemas: (1) permitirá encontrar la mezcla optima de productospara el periodo de planeación y (2) permitirá asignar las horasdisponibles de mano de obra a los departamentos, de manera que semaximicen las utilidades. En la Tabla 4.12 se muestra la soluciónpara este modelo de 10 restricciones y 6 variables.


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Obsérvese que el plan óptimo de mano de obra utiliza todas las 2,335horas disponibles. En esta solución, no existe tiempo ocioso enninguno de los departamentos. No es este siempre el caso en losproblemas de este tipo. Sin embargo, si el administrador tiene dehecho la libertad de asignar a ciertos empleados a distintosdepartamentos, el efecto será probablemente una reducción en eltiempo ocioso global. El modelo de programación asignaautomáticamente a los empleados a los departamentos de la maneramas redituable. Si el administrador hubiera efectuado una asignación,según su juicio, de las horas a los departamentos, y si hubieradespués resuelto el problema de mezcla de productos utilizando unasb1 fijas, es probable que hubiera tenido holgura en algunosdepartamentos, al mismo tiempo que otros departamentos hubieranrepresentado congestionamientos debido a recursos insuficientes.

Pueden utilizarse variantes en el planteamiento básico de estasección en casos como la asignación de materias primas a productos,en la asignación de tiempo de máquina a productos ven la asignaciónde tiempo de fuerza de ventas a líneas de productos o a territorios deventas.

Plan de producción

Producto 1 = 4700 cajas

Producto 2 = 4543 cajas

Asignación de mano de obra

Departamento 1 783 horas

Departamento 2 617 horas

Departamento3 774 horas

Departamento4 161 horas

Total 2335 horas

Utilidad = $ 8789


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4.5 PROBLEMA DE MEZCLAS

Los problemas de mezclas se presentan cuando los administradoresdeciden la forma en que deben combinarse dos o más recursos parafabricar uno o más productos. En estos casos, los recursos contienenuno o más ingredientes esenciales que deben mezclarse de maneraque los productos finales contengan porcentajes específicos de losingredientes esenciales. Por ello, en la mayor parte de estasaplicaciones, los administradores deben decidir qué tanto de cadarecurso deben adquirir para satisfacer las especificaciones de losproductos y las demandas de los productos a un costo mínimo.

Con frecuencia se presentan problemas de mezclas en la industria delpetróleo (problemas como la combinación de petróleos crudos parafabricar gasolinas con octanajes diferentes), en la industria química(tales como la mezcla de productos químicos para fabricarfertilizantes o para controlar hierbas, etc.) y en la industria de losalimentos (como mezcla de ingredientes para fabricar bebidas, sopas,etc.). Debido ala extensa aplicación de los problemas de mezclas, elobjetivo de esta sección es ilustrar la forma en que se puede aplicarla programación lineal para resolver este tipo de problemas.

La empresa Grand Strand Oil, Co., fabrica gasolinas de grado normaly de grado extra, que se venden en gasolineras independientes en elsureste de Estados Unidos. La refinería de la Grand Strand fabrica lasgasolinas mezclando tres componentes de petróleo. Las gasolinas sevenden a precios distintos, y los componentes de petróleo tienencosto diferente. La empresa pretende determinar cOmo mezclar ocombinar los tres componentes para obtener las dos gasolinas, demanera que se maximicen las utilidades.

Los datos disponibles muestran que la gasolina de grado normal sepuede vender en $0.50 (de dólar) por galón y la gasolina de gradoextra en $0.54 por galón. Para el periodo en curso de la planeaciónde la producción, la Grand Strand puede obtener los trescomponentes de petróleo a los costos por galón y en las cantidadesque se muestran en la Tabla 4.13.

Las especificaciones de los productos para las gasolinas restringen lascantidades de cada componente que se pueden utilizar en cadagasolina. Las especificaciones de los productos se listan en la Tabla4.14. Los compromisos actuales con los distribuidores requieren quela Grand Strand fabrique cuando menos 10,000 galones de lagasolina de grado normal. El problema de mezcla de la Grand Strand


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consiste en determinar cuántos galones de cada componente sedeben utilizar en la mezcla de la gasolina de grado normal, y cuántosgalones de cada componente en la mezcla de la gasolina de gradoextra. La solución de la mezcla Optima debe maximizar las utilidadesde la empresa, sujeta a las restricciones que se tienen sobre ladisponibilidad de componentes de petróleo que se muestra en laTabla 4.13, y sujeta a las especificaciones de los productos que semuestran en la T9a 4.14 y a los 10,000 galones que se requieren degasolina de grado normal.

Tabla 4.13 Costos y ofertas de petróleo para el problema demezclado en la Grand Strand

Componentes depetroleo

Costo por galon Máximo disponible

Componente 1 $0.25 5000 galonesComponente 2 $0.30 10000 galonesComponente 3 $0.42 10000 galonesTabla 4.14 Especificaciones de los productos para el programa demezclado de la Grand strand

producto EspecificacionesGasolina Normal Cuando mucho 30% del

componente 1Al menos 40% del componente 2Cuando mucho 20% del

componente 3Gasolina Extra Al menos 25% del componente 1

Cuando mucho 40% delcomponente 2

Al menos 30% del componente 3

Se puede utilizar la notación para definir a las variables de decisión:Sean:Xij = galones del componente i que se utiliza en la gasolina j, endonde i = 1, 2 o 3 para los componentes 1, 2 o 3; se tiene que j = psi es extra.

Las seis variables de decisión se convierten enx1r = galones del componente 1 en la gasolina normalx2r = galones del componente 2 en la gasolina normal

x3r = galones del componente 3 en la gasolina normal

x1p = galones del componente I en la gasolina extra


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componentes de petróleo. La función objetivo puede escribirse de lasiguiente manera; multiplicando el precio por galón de $0.50 por eltotal de galones de gasolina normal; el precio por galón de $0.54, porel total de galones de gasolina extra; y las cifras de costo por galónde cada componente de la Tabla 4.13, por el total de galones de cadacomponente que se utilizan:

Max 0.50 (x1r + x2r + x3r) + 0.54 (x1p + x2p + x3p)

-0.25 (x1r + x1p) — 0.30

(x2r + x2p) — O.42 (x3r + x3p)

Combinando términos semejantes, puede escribirse: la función objetivo como sigue:max 0.25 x 1r + 0.20x 2r + 0.08x 3r + 0.29 x 1p + 0.24 x 2p +

0.12 x 3p

Las limitaciones sobre la disponibilidad de los tres componentes depetróleo se pueden expresar mediante las siguientes tresrestricciones:

x 1r + x 1p ≤ 5,000 Componente 1 x 2r + x 2p ≤ 10,000 Componente 2 x 3r + x 3p ≤ 10,000 Componente 3

Ahora se requieren seis restricciones para satisfacer las especificaciones de los productos. La primera especificación plantea que el componente 1 puede constituircuando mucho 30% del total de galones que se fabrican de gasolina normal. Es decir,

- 30.0321

1 ≤++ r r r

r

x x x x

o bien

x 1r ≤ 0.30 (x 1r + x 2r + x 3r )

Replanteando esta restricción con las variables en el lado izquierdo yuna constante en el lado derecho, la restricción sobre laespecificación del primer producto se convierte en

0.70 x 1r - 0.30 x 2r - 0.30 x 3r ≤ 0

La especificación para el segundo producto puede escribirse como:


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40.0321

2 ≥++ r r r

r

x x x x

o bien

X 2r ≥ O.40 (X1r + X 2r + X 3r )

y así

-0.40 x 1r + 0.60 x 2r - 0.40 x 3r ≥ 0

De manera similar, pueden escribirse de la siguiente manera lascuatro especificaciones adicionales sobre las mezclas.

-0.20x 1r - 0.20x 2r +0.80x 3r ≤ 00.75x 1P - 0.25x 2p -0.25x 3p ≥ 00.40 1p + 0.60x 2p -0.40x 3p ≤ 0

-0.30x 1p -0.30x 2p +0.70x 3p ≥ 0

La restricción para el mínimo de 10,000 galones de la gasolina degrado normal se escribe:

x1r + x 2r + x 3r ≥ 10,000Por ello, el modelo completo de programación lineal con seis

variables de decisión y dos restricciones se puede escribir de lasiguiente manera:

max 0.25 x 1r +0.20 x 2r +0.08 x 3r +0.29 x 1p +0.24 x 2p +0.12 x 3p sujeta a

x 1r + x 1p ≤ 5,000+ x 2r + x 2p ≤ 10,000+ x 3r x 3p ≤ 10,000

0.70x 1r - 0.30 x 2r - 0.30 x 3r ≤ 0 - 0.40 x 1r +0.60 x 2r - 0.40 x 3r ≥ 0-0.20 x 1r - 0.20 x 2r + 0.80 x 3r ≤ 0

0.75 x 1p -0.25 x 2p -0.25 x 3p ≥ 0 -0.40 x 1p +0.60 x 2p -0.40 x 3p ≤ 0-0.30 x 1p -0.30 x 2p +0.70 x 3p ≥ 0


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x 1r + x 2r + x 3r ≥ 10,000 x 1r , x 2r , x 3r , x 1p , x 2p , x 3p ≥ 0

Se muestra la solución por computadora para el problema de lasmezclas de la Grand Strand. La solución de mezclado que ofrece unautilidad de $4,650 se resume. La estrategia óptima de mezcladoseñala que se deben fabricar 10,000 Galones de gasolina normal. Lagasolina normal consistirá en una mezcla del componente 1 (1,250galones) y el Componente 2 (8,75 galones). Los 15,000 galones de lagasolina extra se deben elaborar con una combinación de los trescomponentes de petróleo: 3,750 galones del componente 1, 1,250

galones del componente 2 y 10,000 galones del componente 3.Valor de la función objetivo = 4650. 000500

Restricción Holgura/Excedente Precios Duales1 0.000000 0.2900002 0.000000 0.2400003 0.000000 0.1200004 1750.000490 0.0000005 4749.999000 0.0000006 1999.999390 0.0000007 0.000000 0.0000008 4749.998000 0.0000009 5499.997100 0.000000

10 0.000000 -0.040000

Solución por computadora del problema de mezclado de la

Variable Valor Costos Reducidos X1R 1249.999020 0.000000X2R 8749.997100 0.000000X3R 0.000000 0.000000X1P 3750.001000 0.000000X2P 1250.005860 0.000000X3P 10000.000000 0.000000


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Grand Strand utilizando The Management Scientist.

Estrategia de mezclado de gasolina de la firma Grand Strand

Componentes de los galones (porcentaje)

Es necesario aclarar un poco la interpretación de las variables deholgura y de excedente correspondientes a las restricciones de

especificación de los productos (restricciones 4 a 9). Si la restricciónes del tipo ≤ , el valor de la holgura se puede interpreta como losgalones del componente utilizado por debajo de la cantidad máximaespecificada por la restricción, Por ejemplo, la holgura de 1,750 parala restricción 4. muestra que el uso del componente 1 se encuentra1,750 galones por debajo de la cantidad máxima del componente 1que se hubiera podido utilizar en la producción de los 10.000 galonesde la gasolina normal. Si la restricción de especificación del productoes del tipo ≥ una variable de excedente muestra los galones delcomponente que se utilizan por encima de la cantidad mínima

especificada por la restricción de mezclado. Por ejemplo. el excedentede 4.750 para la restricción 5 muestra que el componente 2 se utilizaen 4.750 galones por encima de la cantidad mínima de esecomponente 2 que se hubiera podido utilizar en la producción de los10.000 galones de gasolina normal.

NOTAS Y COMENTARIOS

Una forma conveniente de definir las variables de decisión en unproblema de mezclas es utilizar una matriz en la que los renglonescorrespondan a las materias y las columnas correspondan a losproductos finales. Por ejemplo. en el problema de mezclado de laGrand Strand se podrían definir las variables de decisión de lasiguiente manera;

MateriasPrimas

Componente 1Componente 2Componente 3

Gasolina Componente 1 Componente 2 Componente 3 Total

Normal 1250(12.5%) 8750(87.5%) _ 10,000

Extra3750(25.0%) 1250(8.3%) 10,000(66.7%) 15,000

Gasolina normal Gasolina extra x 1r x 1p x 2r x 2p x 3r x 3p


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Existen dos ventajas con este método: (1) ofrece una formasistemática de definir las variables de decisión para cualquierproblema de mezcla. (2) es una imagen visual de las variables dedecisión en términos de la forma en la que se relacionan con lasmaterias primas. los productos. y entre sí.

ANÁLISIS GLOBAL DE DATOS

El análisis global de datos (AGD) (DEA. en inglés. de dataenvelopment analysis) es una nueva aplicación de la programaciónlineal que se ha estado utilizando para medir la eficiencia relativa deunidades de operación con las mismas metas y objetivos. Por ejemplo.

El AGD se ha utilizado para medir la eficiencia relativa de expendiosde ''comida instantánea" (fast food) pertenecientes a la mismacadena. En este caso, la meta del AGD consistía en identificar losexpendios ineficientes que debían programarse para realizar mayoresestudios y, si fuera necesario, emprender acciones correctivas.Mediante otras aplicaciones del AGD se han medido las eficienciasrelativas en hospitales, bancos, tribunales, escuelas, etcétera. Enestas aplicaciones se midió el desempeño de cada hospital, banco,tribunal o escuela, en relación con el desempeño de todas lasunidades operativas pertenecientes al mismo sistema.

Las unidades de operación de la mayor parte de las organizaciones tienen insumos múlti ples, talesfrecuencia resulta difícil a los administradores determinar qué unidades operativas son

ineficientes para convertir sus insumos múltiples en productos múltiples. Es aquí dondeel análisis global de datos ha probado ser una útil herramienta administrativa.

El método del AGD utiliza un modelo de programación lineal paraconstituir una unidad operativa compuesta e hipotética, con base entodas las unidades del grupo de referencia. Se determinan losresultados de tal unidad calculando un promedio ponderado de losresultados de todas las unidades de grupo de referencia. Las

restricciones del modelo de programación lineal requieren que todoslos resultados de la unidad compuesta sean mayores que o iguales alos resultados de la unidad que se evalúa. Si se puede probar que losinsumos para la unidad compuesta son inferiores a los insumos parala unidad que se evalúa, se tiene que la unidad citada obtiene elmismo resultado (o mayor) con menos insumos. En este caso, elmodelo señala que la unidad compuesta es más eficiente que launidad evaluada. En otras palabras, la unidad que se evalúa esmenos eficiente que la unidad compuesta. Como la unidad encuestión se basa en todas las unidades del grupo de referencia,

puede calificarse a la unidad en evaluación como relativamenteindeficiente cuando se la compara con las otras unidades del grupo.


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Evaluación del desempeño en hospitales

Se procede a evaluar la ilustración del análisis global de datos paravalorar el desempeño de un grupo de cuatro hospitales. En el ejemplose consideran tres medidas de insumos y cuatro medidas deresultados. Tales medidas son las siguientes:

Medidas de insumos:1. El número de elementos del personal, equivalentes, de tiempo

completo y que no son médicos.2. La cantidad que se invierte en suministros 3. El número de días-

cama disponibles.

Medidas de los resultados:1. Días-paciente de servicio según Medicare*

2. Días-paciente de servicios que no están bajo Medicare.3. Número de enfermeras en capacitación.

4. Número de médicos internos en capacitación.*N. del T . Medicare es un seguro de gastos médicos patrocinado en parte por el gobierno de EstadosUnidos.

Recursos anuales que se consumen (insumos) en los cuatro hospitalesHospital

Servicios anuales que ofrecen (resultados) los cuatro hospitales

Hospital

Medida del insumo GeneralUniversitario Distrital Estatal

Días-paciente con Medicare(miles)

48.14 34.62 36.72 33.16

Días-paciente sin Medicare(miles)

43.10 27.11 45.98 56.46

Enfermeras en capacitación 253 148 175 160Médicos internos encapacitación

41 27 23 84

Se presentan resúmenes de las medidas de los insumos y de los

resultados para un periodo de cuatro años en cada hospital.Enseguida se muestra la forma en la que puede utilizarse el AGD con

Medida del insumoGeneral Universitario Distrital Estatal

Personal no medico equivalentede tiempo completo

285.20 162.30 275.70 210.40

Gastos en suministros (miles) 123.80 128.70 348.50 154.10 Días-cama disponibles (miles) 106.72 64.21 104.10 104.04

8/18/2019 Eercicios Resu

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Eercicios Resueltos Anderson 2.PDF