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선적분의기본정리
Theorem. 영역 D에서 F = ∇f 인 미분 가능한 함수 f가 존재하고 곡선 C ⊂ D는
점 A에서 점 B로 간다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.∫C
F · dr =
∫C∇f · dr = f(B)− f(A)
Proof. D ⊂ R2이고 곡선 C의 매개 방정식이 x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b)이면
연쇄 법칙에 의해 다음을 얻는다.∫C∇f · dr =
∫C
∂f∂x (x, y) dx +
∂f∂y (x, y) dy
=
∫ b
a
{∂f∂x (x(t), y(t)) x′(t) + ∂f
∂y (x(t), y(t)) y′(t)}
dt
=
∫ b
a
ddt f(x(t), y(t)) dt = f(x(b), y(b))− f(x(a), y(a))
1
보존벡터장(Conservative Vector Field)
Definition. F = ∇f인 스칼라 함수 f가 존재할 때, F를 보존 벡터장이라 하고 f는F의 포텐셜 함수라고 한다.
Example. 다음 주어진 벡터장이 보존적인지 아닌지 판정하고, 보존 벡터장이면
포텐셜 함수를 찾아라.
(1) D(x, y) = 4x cos2(y/2)i − x2 sin y j
(2) E(x, y) = xy i + (x + y)j
(3) F(x, y, z) = (x + yz)i + (y + xz)j + (z + xy)k
(4) G(x, y, z) = xz i + yz j + xy k
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보존벡터장(Conservative Vector Field)
포텐셜 함수 f를 직접 구하지 않고 주어진 벡터장이 보존적인지 아닌지를 어떻게
판정할 수 있을까?
Theorem. 평면 영역 D ⊂ R2에서 함수 P와 Q의 일계 편도함수들이 연속이고
F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j가 보존 벡터장이면, D에서 다음 등식이 성립한다.
∂P∂y =
∂Q∂x
Theorem. 공간 영역 D ⊂ R3에서 함수 P,Q,R의 일계 편도함수들이 연속이고
F = Pi + Qj + Rk가 보존 벡터장이면, D에서 다음 등식이 성립한다.
∇× F = ⟨0, 0, 0⟩, 즉∂P∂y =
∂Q∂x ,
∂P∂z =
∂R∂x ,
∂Q∂z =
∂R∂y
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단순연결영역(Simply Connected Domain)
Definition. 단순 곡선(simple curve)은 양 끝 점 사이에 있는 어떤 점에서도
교차하지 않는 곡선을 말한다.
평면 영역 D ⊂ R2가 연결 영역이고 D에 위치한 모든 단순 닫힌 곡선이 D에
속하는 점들만 둘러싸는 경우 D를 단순 연결 영역이라고 한다.
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보존벡터장(Conservative Vector Field)
Theorem. 단순 연결 영역 D ⊂ R2에서 P,Q의일계편도함수들이연속이고등식
∂P∂y =
∂Q∂x
가 성립하면, F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j는 영역 D에서 보존 벡터장이다.
Proof. 15.4절에서 배우는 그린의 정리를 이용하여 증명한다.
Theorem. 단순 연결 영역 D ⊂ R3에서 벡터장 F의 일계 편도함수들이 연속이고
∇× F = 0이면, F는 영역 D에서 보존 벡터장이다.
Proof. 15.8절에서 배우는 스토크스의 정리를 이용하여 증명한다.
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보존벡터장(Conservative Vector Field)
Example. 영역 D = R2 − {(0, 0)}에서 벡터장 F =−y i + x jx2 + y2
는 위의 등식을
만족함을 보여라. F는 보존 벡터장인가? 영역 {(x, y) : y > 0}에서는 어떠한가?
Example. F = (x2 − 3y)i + (ax + byz)j + (y2 + 2z)k가보존벡터장이되기위한
상수 a, b의 값을 구하여라.
Example. 다음벡터장의정의역은 D = R3 −{(0, 0, z) : z ∈ R}이다. 이영역에서
∇× F = 0을 만족하는지 확인하고, 보존 벡터장인지 아닌지 판별하여라.
(1) F =−y
x2 + y2i + x
x2 + y2j + zk (2) F =
xx2 + y2
i + yx2 + y2
j + zk
Note: D = R3 − {(0, 0, z) : z ∈ R}은 단순 연결 영역이 아니다.
6
보존벡터장과선적분
Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) C가 점 (−1,−1)부터 점 (1, 1)까지 곡선 x2 + y2 = 2를 따라서 시계 반대
방향으로 움직일 때
∫C(3 + 2xy) dx + (x2 − 3y2) dy
(2) C의 매개 방정식이 x =√1 + t, y =
√1 + t3 (0 ≤ t ≤ 1)이고
F = x3y4i + x4y3j일 때
∫C
F · dr
(3) C가 점 (1, 0), (2,−1), (3, 0), (2, 1)을 꼭지점으로 갖는 사각형의 경계일 때∫C
−y dx + x dyx2 + y2
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보존벡터장과선적분
(4) C의 매개 방정식이 x = t, y = t2, z = t3 (0 ≤ t ≤ 1)일 때∫C
ey dx + (xey + ez) dy + yez dz
(5) C의매개방정식이 x =1
1 + t , y =√2 + t2, z = cos(πt2) (0 ≤ t ≤ 1)일때∫
C(2xz + y2) dx + 2xy dy + (x2 + 3z2) dz
(6) C가 점 (1, 0, 0)에서 출발하여 (0, 1, 0), (0, 0,−1)을 거쳐 (2, 1, 2)까지
두 점 사이를 직선을 따라서 움직이는 경로일 때
∫C
x dx + y dy + z dz(x2 + y2 + z2) 3
2
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보존벡터장과선적분의경로독립성
Theorem. 벡터장 F가 연결 영역 D에서 연속이면, 다음 문장들은 서로 동치이다.
(1) F는 D에서 보존 벡터장이다.
(2) D의 내부에 놓여 있는 모든 닫힌 경로 C에 대하여 다음이 성립한다.∮C
F · dr = 0
(3) D의 내부에 있으면서 점 A에서 점 B로 가는 임의의 두 경로 C1,C2에
대하여 다음이 성립한다. ∫C1
F · dr =
∫C2
F · dr
즉, 선적분
∫C
F · dr은 영역 D에서 경로와 독립적이다.
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보존벡터장과선적분의경로독립성
Proof. (1) ⇒ (2): 선적분의 기본 정리를 이용한다.
(2) ⇒ (3): 아래 그림과 같이, C1을 따라 점 A에서 점 B로 이동하고 −C2를 따라
다시 점 A로 돌아오는 경로를 C라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.
0 =
∮C
F · dr =
∫C1
F · dr +
∫−C2
F · dr =
∫C1
F · dr −∫
C2
F · dr
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보존벡터장과선적분의경로독립성
(3) ⇒ (1): D ⊂ R2일때기준점 (a, b) ∈ D를정하고임의의 (x, y) ∈ D에대하여
f(x, y) =∫ (x,y)
(a,b)F · dr
이라고 정의한다. 주어진 조건에 의해 이 선적분은 점 (a, b)에서 점 (x, y)로 가는
경로에 상관없으므로 f는 D에서 잘 정의된 함수이다. F = Pi + Qj라고 두면
f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0)
∆x =1
∆x
∫ (x0+∆x,y0)
(x0,y0)P dx + Q dy
이다. 점 (x0, y0)에서 점 (x0 +∆x, y0)로 가는 선분을 따라서 선적분을 구하면
1
∆x
∫ (x0+∆x,y0)
(x0,y0)P dx + Q dy =
1
∆x
∫ x0+∆x
x0P(t, y0) dt
가 되므로∂f∂x (x0, y0) = P(x0, y0)를 얻는다. 비슷하게
∂f∂y = Q를 얻을 수 있다.
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보존벡터장과선적분의경로독립성
Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) C가 포물선 y = x − x2에서 점 (0, 0)에서 (1, 0)까지의 호일 때∫C2x cos y dx − x2 sin y dy
(2) C가 원점에서 출발하여 점 (0, 1), (−1, 0), (0,−1)을 거쳐 (1, 1)까지
두 점 사이를 직선을 따라서 움직이는 경로일 때∫C
2xy2 + 1
dx − 2y(x2 + 1)
(y2 + 1)2dy
(3) C의 매개 방정식이 x = cos5 t, y = t, z = sin3 t (0 ≤ t ≤ π) 일 때∫C6xy cos z dx + 3x2 cos z dy − 3x2y sin z dz
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보존벡터장과선적분의경로독립성
Example. F(x, y) = −y i + x jx2 + y2
라고 하자.
(1) C1과 C2가 각각 점 (1, 0)부터 점 (−1, 0)까지 원 x2 + y2 = 1의 위쪽과
아래쪽 반일 때,
∫C1
F · dr과∫
C2
F · dr을 각각 구하여라.
(2) C가 원 x2 + y2 = 1일 때,
∮C
F · dr을 구하여라.
(3) F가 영역 R2 − {(0, 0)}에서 보존 벡터장이 아닌 이유를 설명하여라.
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보존벡터장과선적분
(4) C가 곡선 x = cos3 t, y = sin3 t (0 ≤ t ≤ π)일 때,
∫C
F · dr을 구하여라.
(5) C가 포물선 y = x2 − 1 (−1 ≤ x ≤ 1)일 때,
∫C
F · dr을 구하여라.
(6) C가점 (2, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1)을꼭지점으로갖는사각형의경계일때,∫C
F · dr을 구하여라.
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에너지보존법칙
힘 F가 가해지는 물체가 벡터 방정식 r = r(t) (a ≤ t ≤ b)로 정의된 경로 C를
따라서 움직일 때, Newton의 제 2 운동 법칙에 의해 다음이 성립한다.
F(r(t)) = mr′′(t)
따라서 힘 F가 물체에 한 일은 다음과 같다.
W =
∫C
F · dr =
∫ b
aF(r(t)) · r′(t) dt =
∫ b
amr′′(t) · r′(t) dt
=m2
∫ b
a
ddt{r′(t) · r′(t)} dt = m
2
∫ b
a
ddt |r
′(t)|2 dt
=m2(|r′(b)|2 − |r′(a)|2) = 1
2m|v(b)|2 − 1
2m|v(a)|2
이는 경로 C의 양 끝점에서 운동 에너지의 변화와 같다.
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에너지보존법칙
만약 힘 F가 보존 벡터장이면 F = −∇P인 위치 에너지 또는 포텐셜 에너지 함수
P가 존재하고 다음을 얻는다.
W =
∫C
F · dr = −∫
C∇P · dr = P(r(a))− P(r(b))
따라서 다음 등식이 성립한다.
1
2m|v(b)|2 + P(r(b)) = 1
2m|v(a)|2 + P(r(a))
이는 운동 에너지와 위치 에너지의 합이 일정하게 보존됨을 의미한다.
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