Ø任意の入力信号に対する出力が、ラプラス変換を用いて求められる

⇒s領域での表現を考えるØラプラス変換した表現ではX(s) = L[x(t)], Y(s) = L[y(t)]と表し、入出力の比を取ると

伝達関数

初期条件はすべて0とする

伝達関数Transfer function

1

L [g(t)] = G(s)L [�(t)] = G(s)

伝達関数Transfer function

インパルス応答が分かれば任意の入力に対する出力がわかる

伝達関数

s領域での出力はY(s)=G(s)X(s)で表される時間領域ではg(t) = L-1[G(s)] とx(t)のたたみ込み積分

インパルス入力のラプラス変換はL[d(t)]=1であったので、G(s)はインパルス応答g(t)のラプラス変換L[g(t)]に等しい

2

X(s) =1

Ms2 + Cs + KF (s) +

(Ms + C) x0 + Mx0

Ms2 + Cs + K

質量・バネ・ダンパ系Spring-mass-damper system

運動方程式

初期条件

f(t) = Md2x(t)

dt2+ C

dx(t)

dt+ Kx(t)

x(0) = x0, x(0) = x0

ラプラス変換する

F (s) = M�s2X(s) � sx0 � x0

�+ C (sX(s) � x0) + KX(s)

=�Ms2 + Cs + K

�X(s) � (Ms + C) x0 � Mx0

3

質量・バネ・ダンパ系Spring-mass-damper system

X(s) =1

Ms2 + Cs + KF (s) +

(Ms + C) x0 + Mx0

Ms2 + Cs + K

強制応答項入力fに依存

自由応答項初期値に依存

伝達関数を求める場合は、入力に対する出力だけを考慮するので初期値をすべて0とする

G(s) =X(s)

F (s)=

1

Ms2 + Cs + K

4

線形微分方程式で表される線形システムの伝達関数

Transfer function of a linear system

システムが次の式であるとする

このラプラス変換をする初期条件はすべて0とするなら

などと置き換えれば良いので5

よって

線形システムの伝達関数は多項式の比で与えられるので、部分分数展開で解析可能

6

ラプラス変換すると

したがって伝達関数は

7G(s) =

Eo(s)

Ei(s)=

1

LCs2 + RCs + 1

ei(t) = LCd2eo(t)

dt2+ RC

deo(t)

dt+ eo(t)

直列RLC回路の伝達関数Transfer function of RLC circuit

R L

eo(t)ei(t)i(t)

C

制御工学：第３章例題７

ラプラス変換すると

伝達関数は

RL回路の伝達関数Transfer function of RL circuit

8

• RL回路の伝達関数は

• ステップ入力のラプラス変換は

• したがって出力y(t)のラプラス変換は

G(s) =I(s)

Vs(s)=

1

Ls + R

RL回路のステップ応答Step response of RL circuit

9

部分分数展開で逆ラプラス変換を解く

つまり

ラプラス変換表を用いて

10

伝達関数とブロック線図Transfer function and block diagram

ブロック線図の信号もラプラス変換したs領域で表す

要素も伝達関数で表せば、たたみ込み積分の性質より、要素が定数倍のときと同様の記述で扱える

G(s)X(s) Y(s)=G(s)X(s)

11

開ループ伝達関数Open-loop transfer function

閉ループ伝達関数Closed-loop transfer function

G(s)

1 + G(s)H(s)X(s) Y(s)

H(s)

G(s)＋eX(s) Y(s)

フィードバックシステムの伝達関数Transfer function of feedback system

−

12

次のフィードバック系の開ループ伝達関数と閉ループ伝達関数を求めよ。また、ステップ応答を求めよ

＋−

X(s) Y(s)

例題Example

13

• 開ループ伝達関数

• 閉ループ伝達関数

14

ステップ入力のラプラス変換は1/sであるから出力y(t)のラプラス変換は

15

基本要素の伝達関数Transfer functions of basic elements

一般にn次のシステムの伝達関数は、sの多項式の比で表される。

ここで分子分母の多項式を使い

の根を考える

16

根は実数か共役複素数対（a + jbとa − jb）• 分子Y(s)=0の解をG(s)の零点• 分母X(s)=0の解をG(s)の極

これらの根を使ってG(s)を表す

すなわちG(s)は

17

基本要素の伝達関数Transfer functions of basic elements

n次の伝達関数G(s)は次の基本伝達関数の積で表される

s

s + �

定数 比例要素

1次要素

微分要素

積分要素

1次進み要素

1次遅れ要素

2次要素

1

s

1

s + �1

s2 + �s + �2 18

• 比例要素の例：– ポテンショメータ

– 理想演算増幅器

• 直流ゲインとも呼ばれる

• 伝達関数

比例要素Proportional element

K

y(t) = Kx(t)

e(t) =V0

2��(t)

vo(t) =R2

R1vi(t)

19

• 微分要素の例：– インダクタンスL

– 微分回路

• 伝達関数

vR(t) � vC(t) ならば

微分要素Differential element

微分回路(vR(t) ≪ vc(t)が成り立つ場合)

RC

s

20

• 積分要素の例：– キャパシタンスC

– 積分回路

• 伝達関数

vR(t) � vC(t) ならば

積分要素Integral element

積分回路（vR(t) ≫ vc(t)が成り立つ場合）

21

1

s

RC

1次遅れ要素とは一般に伝達関数が次の形の要素

• 1次遅れ要素の例

積分回路（vR(t) ≫ vc(t)が成り立たない場合）

よって伝達関数は

ラプラス変換すると

vR(t) ≫ vc(t)が成り立たない場合R

C

1次遅れ要素First-order delay element

22

• 直列RL回路– 入力を定電流源is(t)、出力をvo(t)

伝達関数は

1次進み要素First-order lag element

直列RL回路入力を定電流源is(t), 出力をvo(t)

23

ここで Rを無視し, T = LRとおくと、伝達関数が次の

ような要素を 1次進み要素

2次要素Second order element• 直列RLC回路

– 入力電圧をvi(t)，出力をvo(t)とする

ラプラス変換すると

伝達関数は

直列RLC回路2次要素とは一般に

伝達関数が次の形の要素

24

伝達関数の分母が2次関数になるもの

のような一般系でかけるものを2次要素もしくは2次遅れ要素という

�n = 1�LC

： 固有周波数� = R

2

�CL ： 減衰率

２次要素の伝達関数Transfer function of second order element

25

むだ時間要素Dead time element

入力を加えてからある時間tを経過してから過渡応答が現れる要素• 例

– 電気回路でさえも信号の伝送に遅れ

– 生体（脳）の信号伝達も視覚系から運動系に伝達されるのに200msec〜300msec

• ヒトの腕の運動は1sec以下程度• この遅れはフィードバック制御には致命的

• 要素の出力は

ラプラス変換すると

なので伝達関数は

G(s) =Y (x)

X(s)= e��s

26