Edicioni i 3të nga Prof. Dr. Dietrich · PDF fileSkripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. 1: Algjebra Elementare

Skripta e Kursit:

Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese

Vëll. 1: Algjebra Elementare

Edicioni i 3të

nga Prof. Dr. Dietrich Ohse

përkthyer nga. Mas. sc. Armend Sh. Shabani

ProCredit Academy GmbH Hammelbacher Strasse 2 64658 Fürth-Weschnitz Phone +49 6253 20080

© 2010 ProCredit Academy GmbH

P a r a t h ë n i e F a q e | III

Parathënie

Matematika luan rol qendror në banka sepse të gjitha veprimtaritë bankare varen nga kalkulimet e sakta dhe nga metodat e definuara në mënyrë të qartë. Kështu që nuk është as për së afërmi e mjaftueshme që të mbështetemi në kalkulatorin, kompjuterin ose serverët e rrjetës sonë. Ne duhet të kuptojmë proceset dhe operacionet që janë fundamentale për të gjitha lëmitë e bizneseve të bankave tona. Për këtë arsye, është marrë vendimi që në të gjitha bankat dhe akademitë që operojnë nga ProCredit Holding, të organizohet Programi i Trajnimit në Matematikë. Kjo përmbledhje formon bazën për të tri kurset.

Materiali i kursit është i ndarë në tre vëllime:

Vëll. 1 përmban elementet kyçe të algjebrës. Besimi në aplikimin e këtyre parimeve është esencial. Numrat, variablat, njehsimet, shprehjet, ekuacionet dhe funksionet elementare janë komponentet kryesore të matematikës dhe aplikimit të saj. Një bankë nuk mund të lejoj të tregojë dobësi në ndonjërën nga këto lëmi. Materia që shtjellohet në këtë vëllim, përfshinë materialet e testit të Matematikës 1, i cili do të organizohet në baza të rregullta që nga Janari i vitit 2010.

Vëll. 2 adreson disa tema më të avansuara me theks të veçant në aplikimin në banka. Në veçanti, ky vëllim përmbledh funksionet që përdoren në sektorin financiar, si edhe temat kryesore të matematikës financiare. Në veçanti, janë diskutuar format e ndryshme të interesit, si dhe njehsimet që kanë të bëjnë me qarkullimin e të hollave kesh. Përmbajtja e këtij vëllimi duhet të kuptohet për të përfunduar testin e Matematikës 2.

Vëll.3 është përmbledhje e kursit që do të mbahet në Akademinë e Procreditit në Fürth. Qëllimi i tij është të ofrojë një prezentim të shkurt të Kalkulusit, me synimin që të kuptohet aplikimi i tij në analizën margjinale. Pjesa e dytë e këtij vëllimi përmban disa tema të zgjedhura nga Statistika përshkruese e shpërndarjeve një dhe dy dimensionale.

IV | F a q e P a r a t h ë n i e

Në bazë të ndarjes në tre vëllime, edhe materiali prezentohet në tre përmbledhje, të cilat mund të përdoren në mënyrë të pavarur. Sigurisht, bazat e algjebrës janë aq të rëndësishme sa që të kuptuarit e përdorimit të ekuacioneve dhe funksioneve, janë kërkesa të domosdoshme për të kuptuar temat e Matematikës 2 dhe të kursit në Fürth.

Përmbledhja ka për synim të definojë përmbajtjen e kursit që do të përfshihet gjatë trajnimit. Kështu, formohet platformë të përbashkët edhe për mësimdhënësin e edhe për pjesëmarrësit e kursit. Për vet trajnimin, instruktorët duhet të krijojnë një pamje të përgjithshme për seksionet dhe faqet që do t’i përfshijnë në secilin seksion. Skema, që duhet t’u jepet pjesëmarrësve mund të duket si në vijim:

Blloku # Strukura dhe Temat Faqet

1 Hyrje dhe qëllimet e mësimit 1 – 10

2 Algjebra elementare

Numrat dhe veprimet

Thyesat dhe numrat dhjetor

11 - 41

3 Etj.

I mbetet trajnerit të përzgjedh seksionet që ai/ajo do të mbulojë, varësisht nga njohuritë paraprake të pjesëmarrsve dhe nga ajo se sa shpejt do të mësojnë ata. Kështu që nuk do të ishte fare e arsyeshme që të japim ndonjë rekomandim të përgjithshëm. Përvoja ka treguar se është më mirë të përfshihen kuptimet elementare më ngadalë por plotësisht, se sa të synohet të paketohet sa më shumë që të jetë e mundur në një kurs të vetëm dhe me të gjitha çmimet.

Qëllimi kryesor i përfshirjes së referencave në disa faqe specifike në tekst është që t’u mundësohet pjesëmarrësve të shfrytëzojnë Përmbledhjen për studimin e tyre të pavarur. Materia është përgatitur në mënyrë shumë të kujdesshme dhe gjithpërfshirëse, dhe mund të lexohet pa ndihmën e trajnerit. Në çdo seksion janë përfshirë shembuj të shumtë për të ilustruar hapat që janë përshkruar. Të gjithë shembujtë e tillë janë shënjuar me viza të dyfishta në të dy anët.

P a r a t h ë n i e F a q e | V

Në fund të çdo seksioni, kemi paraqitur disa ushtrime. Ushtrimet e tilla paraqesin pjesë të domosdoshme të çfarëdo trajnimi në matematikë. Në fakt, kryerja e ushtrimeve është e vetmja mënyrë për të mësuar matematikën. Studentët do të jenë në gjendje që çdoherë të përcjellin instruktorin i cili është i gatshëm për t’i motivuar dhe për t’i sqaruar pjesëmarrësve. Por kjo është shumë larg nga të deklaruarit se ata do të jenë automatikisht në gjendje që të aplikojnë në mënyrë të pavarur atë që kanë mësuar. Përkundrazi, kjo aftësi vie vetëm përmes ushtrimeve të pavarura.

Në libër, pas ushtrimeve paraqitet seksioni i rezultateve, duke u mundësuar studentëve vet-kontrollimin e punës së tyre. Ky seksion përmban vetëm rezultatet përfundimtare, pa ndonjë sqarim se si është arritur deri te ato rezultate.

Ne qëllimisht jemi përcaktuar që të mos tregojmë metodën e rekomanduar të zgjidhjes, sepse dëshirojmë të ju inkurajojmë që të shqyrtoni metodat alternative, nëse keni marrë rezultate të pasakta.

Çdo kapitull përfundon me Testin e Progresit i dizajnuar për t’iu mundësuar studentëve të monitorojnë progresin e tyre. Studentët duhet të krahasojnë rezultatet e tyre me rezultatet e dhëna në seksionin përkatës rezultateve, në fund të kapitullit tjetër. Përmbledhja nuk përmban sqarime të detalizuara për zgjidhjet për Testin e Progresit. Studimi nënkupton leximin e tekstit. Kështu që ne dëshirojmë të ju bindim që ta studioni sërish atë seksion në mënyrë që vet të gjeni rezultatin e saktë.

Që të tre përmbledhjet janë përgatitur në një proces diskutimesh dhe përmirësimesh konstante me kolegët Alois Knobloch dhe Mario Kluge, të cilët propozuan shumë përmirësime dhe zgjerime. Përveç kësaj, shumë studentë të mëparshëm, të cilët gjenin gabime në tekst dhe në ushtrime, ndihmuan që teksti të përmirësohet në masë të konsiderueshme. Ne dëshirojmë të ju falemnderojmë të gjithëve, dhe ju inkurajojmë që të ndani përvojat tuaja me ne, duke na shkruar komentet tuaja në adresën:

[email protected] .

Ne shpresojmë se ju do të gjeni kënaqësi që të punoni suksesshëm me këtë Përmbledhje.

VI | F a q e P a r a t h ë n i e

P ë r m b a j t j a F a q e | VII

Përmbajtja

1. Hyrje .................................................................. 1

1.1 Gjuha e Matematikës .................................................. 2

1.2 Si të aplikojmë Matematikën ...................................... 4

1.3 Qëllimet e mësimit ...................................................... 8

2. Algjebra Elementare ...................................... 11

2.1 Numrat ...................................................................... 13

2.1.1 Numrat dhe veprimet ..................................................... 14

Ushtrimi 2.1.1: Numrat dhe veprimet .................................. 21

Rezultatet 2.1.1: Numrat dhe veprimet................................... 23

2.1.2 Thyesat dhe numrat dhjetor ........................................... 24

Ushtrimi 2.1.2: Thyesat dhe numrat dhjetor .......................... 36

Rezultatet 2.1.2: Thyesat dhe numrat dhjetor ........................ 39

2.1.3 Përqindjet ....................................................................... 41

Ushtrimi 2.1.3: Përqindjet ..................................................... 50

Rezultatet 2.1.3: Përqindjet .................................................... 52

2.1.4 Testi i Progresit për “Numrat” ....................................... 54

2.2 Eksponentët ............................................................... 57

2.2.1 Eksponentët e plotë ........................................................ 60

Ushtrimi 2.2.1: Eksponentët e plotë ...................................... 67

Rezultatet 2.2.1: Eksponentët e plotë ..................................... 69

2.2.2 Eksponentët Thyesorë .................................................... 70

Ushtrimi 2.2.2: Eksponentët thyesorë .................................... 76

Rezultatet 2.2.2: Eksponentët thyesorë ................................. 78

VIII | F a q e P ë r m b a j t j a

2.2.3 Rrënjët ........................................................................... 79

Rezultatet 2.2.3: Rrënjët ......................................................... 88

2.2.4 Testi i progresit për “Eksponentët” ................................ 90

2.3 Shprehjet ................................................................... 92

2.3.1 Shprehjet e plota ............................................................ 94

Ushtrimi 2.3.1: Shprehjet e plota ........................................ 102

Rezultatet 2.3.1: Shprehjet e plota ...................................... 104

2.3.2 Shprehjet thyesore ........................................................ 105

Ushtrimi 2.3.2: Shprehjet thyesore ..................................... 110

Rezultatet 2.3.2: Shprehjet thyesore ................................... 112

2.3.3 Testi i Progresit për “Shprehjet” .................................. 113

2.4 Rezultatet për Testet e Progresit ............................ 115

2.4.1 Rezultatet për Testin e Progresit për “Numrat” ........... 115

2.4.2 Rezultatet për Testit e Progresit për “Eksponentët” .... 116

2.4.3 Rezultatet për Testin e Progresit për “Shprehjet” ........ 117

3. Ekuacionet ..................................................... 119

3.1 Zbatimi i Barazimeve .............................................. 121

3.1.1 Modelimi me ekuacione ............................................... 124

3.1.2 Zgjidhja ........................................................................ 128

Ushtrimi 3.1: Zbatimi i ekuacioneve ................................... 138

Rezultatet 3.1: Zbatimi i ekuacioneve .................................. 140

3.1.3 Testi i Progresit për “Zbatimin e ekuacioneve” ........... 141

3.2 Ekuacionet lineare .................................................. 143

3.2.1 Forma normale e ekuacionit linear .............................. 144

3.2.2 Zgjidhja ........................................................................ 145

Ushtrimi 3.2: Ekuacionet lineare ......................................... 149

P ë r m b a j t j a F a q e | IX

Rezultatet 3.2: Ekuacionet lineare ...................................... 151

3.2.3 Testi i Progresit për “Ekuacionet Lineare” .................. 152

3.3 Ekuacionet Kuadratike ........................................... 154

3.3.1 Format e ekuacioneve kuadratike ................................ 155

3.3.2 Zgjidhja ........................................................................ 156

Ushtrimi 3.3: Ekuacionet kuadratike .................................. 163

Rezultatet 3.3: Ekuacionet kuadratike ................................. 165

3.3.3 Testi i Progresit për “Ekuacionet Kuadratike” ............ 167

3.4 Rezultatet për Testin e Progresit (TP) .................... 169

3.4.1 Rezultatet për TP “Zbatimi i ekuacioneve” ................. 169

3.4.2 Rezultatet për TP “Ekuacionet lineare” ....................... 170

3.4.3 Rezultatet për TP “Ekuacionet kuadratike” ................. 171

4. Funksionet Elementare ................................ 172

4.1 Vetitë e funksioneve ................................................ 179

4.1.1 Karakteristikat e grafikut ............................................. 180

4.1.2 Funksionet inverse ....................................................... 184

Ushtrimi 4.1: Vetitë e funksioneve ....................................... 190

Rezultatet 4.1: Vetitë e funksioneve ..................................... 192

4.1.3 Testi i Progresit për “Vetitë e funksioneve” ................ 196

4.2 Funksionet lineare .................................................. 198

4.2.1 Grafiku i funksionit linear ............................................ 200

4.2.2 Vetitë e funksioneve lineare ........................................ 203

Ushtrimi 4.2: Funksionet lineare ......................................... 206

Rezultatet 4.2: Funksionet lineare ....................................... 207

4.2.3 Testi i Progresit për "Funksionet Lineare"................... 209

X | F a q e P ë r m b a j t j a

4.3 Funksionet kuadratike ............................................ 211

4.3.1 Kompletimi i katrorit ................................................... 213

4.3.2 Grafiku i funksionit kuadratik ...................................... 215

4.3.3 Vetitë e funksionit kuadratik ........................................ 222

Ushtrimi 4.3: Funksionet kuadratike ................................... 226

Rezultatet 4.3: Funksionet kuadratike .................................. 227

4.3.4 Testi i Progresit për "Funksionet kuadratike" .............. 230

4.4 Rezultatet për Testin e Progresit ............................ 232

4.4.1 Rezultatet për Testin e Progresit për "Vetitë" .............. 232

4.4.2 Rezultatet për TP për "Funksionet lineare " ................ 235

4.4.3 Rezultatet për TP. për "Funksionet kuadratike" .......... 239

Indeksi ...................................................................... 243

P ë r m b a j t j a F a q e | XI

Figurat

Figura 1-1: Modelimi matematikë ...................................................... 5

Figura 1-2: Zbatimi i modelimit matematikë ...................................... 5

Figura 2-1: Vargu i numrave realë ................................................... 15

Figura 4-1: Grafiku i funksionit ...................................................... 177

Figura 4-2: Pikëprerjet e një funksioni ........................................... 180

Figura 4-3: y = f(x) nuk është bijektiv, y = g(x) është bijektiv ....... 186

Figura 4-4: Dy funksione të pasqyruara në drejtëzën-45° ............. 187

Figura 4-5: Grafikët e drejtëzave .................................................... 200

Figura 4-6: Vetitë e funksioneve lineare ......................................... 201

Figura 4-7: Vizatimi i drejtëzës me formën e pikëprerjeve ............. 203

Figura 4-8: Grafiku i funksionit kuadratik ...................................... 215

Figura 4-9: Parabola normale ........................................................ 216

Figura 4-10: Parabola normale negative ......................................... 216

Figura 4-11: Parabola me kulm të transformuar .............................. 217

Figura 4-12: Hapja e parabolës ........................................................ 218

Figura 4-13: Grafiku i tre parabolave .............................................. 223

Figura 4-14: Grafiku për ilustrimin e diskutimit ............................... 225

XII | F a q e P ë r m b a j t j a

Tabelat

Tabela 2.1: Përdorimi i kllapave në shprehje .................................. 19

Tabela 2.2: Përqindjet ...................................................................... 43

Tabela 2.3: Njehsimi i shprehjeve .................................................... 62

Tabela 2.4: Veprimet me kllapa ........................................................ 63

Tabela 4.1: Tabela e vlerave të një funksionit ................................ 175

Tabela 4.2: Tabela e vlerave të një parabole ................................. 214

P ë r m b a j t j a F a q e | XIII

1 . 1 G j u h a e M a t e m a t i k ë s

1. Hyrje Në këtë kapitull të shkurt prezentues përgjithshme për matematikën dhe zbatimin e sajdëshirojmë ta mësojmë matematikën për ta zotëruarmësojmë të aplikojmë matematikën në problemet realeballafaqohemi në jetën tonë të përditshme në bankat tona

Në mënyrë që të përdorim matematikën si mjetë përditshme t’i bëjmë të “kuptueshme” për matematikanëtnënkupton se duhet të mësojmë gjuhën e tyreproblemet tona. Mbase mund të duket e çuditshme ta klasifikojmë matematikën si “gjuhë”, por posa të pajfjalorin dhe gramatikën e vet dhe të shqyrtojmë përvojën praktike të të mësuarit dhe zbatuarit të matematikës, ngjashmëritë bëhen shumë evidente.

1. Hyrje

1.1 Gjuha e matematikës

1.2 Si ta aplikojmë matematikën

1.3 Qëllimet e mës

1 . 1 G j u h a e M a t e m a t i k ë s F a q e | 1

shkurt prezentues paraqiten disa informata të përgjithshme për matematikën dhe zbatimin e saj. Është e qartë se nuk dëshirojmë ta mësojmë matematikën për ta zotëruar. Ne dëshirojmë të mësojmë të aplikojmë matematikën në problemet reale, me të cilat ballafaqohemi në jetën tonë të përditshme në bankat tona.

të përdorim matematikën si mjet, duhet që problemet tona të përditshme t’i bëjmë të “kuptueshme” për matematikanët. Kjo nënkupton se duhet të mësojmë gjuhën e tyre, për të komunikuar

Mbase mund të duket e çuditshme ta klasifikojmë matematikën si “gjuhë”, por posa të pajtohemi se matematika e ka fjalorin dhe gramatikën e vet dhe të shqyrtojmë përvojën praktike të të mësuarit dhe zbatuarit të matematikës, ngjashmëritë bëhen shumë

1. Hyrje

1.1 Gjuha e matematikës

1.2 Si ta aplikojmë matematikën

1.3 Qëllimet e mësimit

2 | F a q e 1 . H y r j e

Në seksionin e dytë dëshirojmë të tregojmë aplikimin e matematikës. Përkthimi dhe përdorimi i veglave të qëlluara nga veglëria e matematikës varet shumë nga përvoja. E vetmja mënyrë për t‘u përmirësuar është që këta hapa të praktikohen sa më shpesh që të jetë e mundur.

Përfundimisht, dëshirojmë të theksojmë qëllimet e kësaj përmbledhje dhe kurseve në algjebrën elementare dhe funksionet. Ne jemi të bindur se çdo person që punon në ndonjë bankë ose në përgjithësi në sektorin financiar duhet të ketë bazë solide në disa lëmi fundamentale të matematikës. Kjo përmbledhje i grupon këto lëmi dhe qëllimet përkatëse të mësimit në pesë kapituj: Algjebra Elementare, Ekuacionet, Funksionet, Vlera Kohore e Parasë, dhe Statistika.

1.1 Gjuha e Matematikës

Secili që ka mësuar ndonjë gjuhë të huaj e di se të mësuarit është proces me faza të ndryshme dhe vështirësi. Në fillim, duhet të mësojmë fjalorin, që do të thotë se duhet të familjarizohemi me fjalët dhe kuptimet e tyre. Pastaj, kur të mësojmë fjalë të mjaftueshme, ne fillojmë t’i lidhim ato për të formuar fjali, që në fakt nënkupton se ne mësojmë të zbatojmë disa rregulla të caktuara. Këto rregulla kanë evoluar me kohë, në bazë të strukturës së përgjithshme. Karakteri i tyre normativ siguron se konstruktimi i fjalëve = fjalive kuptohet nga të gjithë. Kështu, këto rregulla duhet të pranohen nga të gjithë. Dhe përfundimisht kemi mësuar se si ta përdorim gjuhën në mënyrë aktive. Çdokush që ka mësuar një gjuhë si lëndë “teorike” në shkollë, ku fjalori dhe gramatika janë mësuar deri në detelet më to vogla, nga përvoja e di se kjo nuk është as për së afërmi e mjaftueshme për të qenë në gjendje për të komunikuar në mënyrë adekuate. Kështu pra, duhet të mësojmë se si të aplikojmë gjuhën në mënyrë aktive.

Në gjuhësi, termat që përdoren për të përshkruar tre fazat janë:

Semantika = studimi i kuptimit të fjalëve → Semantika si nëndegë e gjuhësisë (semantika gjuhësore) studion kuptimin e shenjave gjuhësore.

Gramatika = studimi se si fjalët lidhen për të formuar fjalitë → Në kuptimin më të ngushtë, gramatika – ose morfosintaksa – është të studiuarit e strukturës së fjalëve (morfologjia) dhe të fjalive (sintaksa).

1 . 1 G j u h a e M a t e m a t i k ë s F a q e | 3

Pragmatika = studimi se si kuptohet gjuha → Në gjuhësi, kjo paraqet studimin dhe përdorimin e gjuhës në situata të ndyshme.

Matematika gjithashtu është një gjuhë, dhe në fakt në shoqërinë moderne është një gjuhë që po bëhet gjithnjë e më tepër e rëndësishme. Unë nuk mund ta përdorë atë për të shkruar poezi ose prozë, për të mbajtur fjalime, ose për të komentuar ndonjë ngjarje sportive, por mund ta përdorë atë për të përshkruar disa marrëdhënie, për të karakterizuar strukturat ose për të krijuar modele të fenomeneve reale. Nëse përdorimi i matematikës është i mundshëm e madje edhe i domosdoshëm, atëherë rrjedhë se matematika jo vetëm që është një gjuhë ndërkombëtare që kuptohet në gjitha vendet e botës, por është në të njëjtën kohë një mjet i fuqishëm për të na mundësuar përshkrimin e marrëdhënieve të shkallës më të lartë të kompleksitetit.

Në fakt, matematika është e strukturuar në të njëjtën mënyrë si edhe ndonjë gjuhë që flitet. Ajo përbëhet nga:

Numrat, simbolet dhe operatorët → Këto shenja formojnë fjalorin e matematikës. Duhet të dijmë kuptimin e tyre në mënyrë që të kuptojmë substancën e asaj çka ato shprehin.

Shprehjet, veprimet, rregulalt dhe algoritmet → Këto formohen duke kombinuar elementet themelore dhe paraqesin fjalitë e matematikës. Gramatika është bashkësi normative e rregullave të cilat sigurojnë se të gjithë e kuptojnë “matematikën” në të njëjtën mënyrë.

Aplikimi në formë të kalkulimeve, grafikëve, modeleve, teoremave → Këto forma përdoren për të komunikuar dhe për të apikuar matematikën. Pikërisht përmes tyre, praktikanti do të matë frytshmërinë e gjuhës së “matematikës”.

Kur ne mësojmë një gjuhë, në përgjithësi ne kemi qëllimet për të. Për shembull, ne mësojmë gjuhën Angleze për të qenë në gjendje të komunikojmë me sa më shumë njerëz në botë, ose për shkak se është gjuhë zyrtare për kompanin në të cilën punojmë, ose sepse dëshirojmë të lexojmë literaturën Angleze në origjinal. Por çka do të ishte qëllimi i të mësuarit të “matematikës”? Pse matematika është e vetmja lëndë që mësohet në sistemet shkollore në çdo vend të botës? Cilat janë përparësitë e matematikës si gjuhë, le të themi ndaj gjuhës Latine, ose ndonjë gjuhe aktive moderne?

Le të përpiqemi të përgjigjemi në pyetjet e mësipërme.

4 | F a q e 1 . H y r j e

1.2 Si të aplikojmë Matematikën

“Aplikimi i matematikës” në përgjithësi nënkupton: përdorimin e instrumenteve matematike që posedojmë për të përshkruar, sqaruar dhe zgjidhur problemet reale.

Para se të përshkruajmë procedurën elementare për aplikimin e matematikës, le të shqyrtojmë dy shembuj të thjeshtë.

Shembulli 1: Shishja dhe kapaku i saj së bashku peshojnë 204g. Pesha e shishes është për 200g më e madhe se e kapakut.

Sa peshon shishja?

Shembulli 2: Vitin tjetër Ana do të jetë tre herë më e moshuar se sa ishte Lusi para dy vitesh; pas katër vitesh, Lusi do të jetë gjysmë herë më e moshuar se sa ishte Ana para tre vitesh.

Sa vite kanë tani Ana dhe Lusi?

Së pari përpiquni të përgjigjeni në dy pyetjet e mësimërme. Ju mund të jeni në gjendje të mendoni për përgjigjen në mënyrë spontane; mbase ju mund të provoni të gjeni zgjidhjen përmes provave dhe gabimeve.

Mbase mund të arrini shpejt tek përgjigja e pyetjes së parë, thjeshtë duke menduar për të, apo edhe duke provuar përgjigjet në mënyrë sistematike, por shembulli i dytë është mjaft kompleks sa që virtualisht është e pamundur të zgjidhet përmes provave dhe gabimeve.

Kjo është situata kur matematika mund të na ndihmojë. Në mënyrë që të përdoret si metodë e zgjidhjes së problemit, nuk mjafton të dijmë metodat e kalkulimit, veprimet, algoritmet dhe teoremat – ose në fakt vërtetimet. Kështu, së pari duhet të jemi në gjendje të përshkruajmë situatën ekonomike, fizike, sociologjike ose politike në atë mënyrë që të mund të qaset nga matematikanët, si një mjet analitik ose metodë për zgjidhjen e problemit. Për këtë arsye, është esenciale që të jemi në gjendje të përkthejmë problemin e përshkruar verbal në gjuhën e matematikës, të konvertohet ajo në atë formë që lejon të zbatojmë analizën matematike. Rezultati i këtij transformimi mund të përshkruhet si një model i gjendjes aktuale. Nëse e përdorim vargun e veglave matematike në dispozicion, ne arrijmë tek “modeli matematikor” i problemit real.

1 . 2 S i t ë a p l i k o j m ë M a t e m a t i k ë n F a q e | 5

Problemi nga

bota reale ( )y f x=2 2 4 0x x− + =1

0

1

1

nnj

j

qq

q

−

=

−=

−∑

Modelimi

Modeli matematik, p.sh.

Figura 1-1: Modelimi matematikë

Në modelin matematikë, relacionet që lidhen me problemin real janë përshkruar përmes funksioneve, ekuacioneve dhe formulave. Problemi nga bota reale përkthehet në gjuhën e “matematikës” në mënyrë që të jemi në gjendje të përdorim metodat matematike të analizimit dhe zgjidhjes së problemit.

Nëse modeli matematikë përshkruan në mënyrë korrekte karakteristikat esenciale të problemit të botës reale, zgjidhja e problemit matematikë duhet të ofrojë një opcion për t’u marrë me problemet reale. Nëse ky nuk është rasti, atëherë disa cilësi të modelit matematikë duhet të hiqen dhe/ose modeli duhet të rishqyrtohet.

Po Jo

Problemi nga

bota reale ( )y f x=2 2 4 0x x− + =1

0

1

1

nnj

j

qq

q

−

=

−=

−∑

Modelimi

Modeli matematik, p.sh.

A paraqet zgjidhja e Modelit Matematik zgjidhje të Problemit nga Bota Reale?

Zgjidheni Modelin Matematik

Zgjidhja e Modelit Matematik

Figura 1-2: Zbatimi i modelit matematikë

6 | F a q e 2 . A l g j e b r a e l e m e n t a r e

Bazuar në dy shembujtë e përshkruar në fillim të këtij seksioni, ne tani do të demonstrojmë pse modeli matematikë paraqet qasje të arsyeshme për të zgjidhur problemin.

Shembulli 1: Madhësitë që problemi kërkon të shqyrtojmë - zakonisht në formë të pyetjeve – tani definohen si të panjohura (= variabla). Për shembull, le të themi se

b = pesha e shishes

c = pesha e kapakut.

Duke përdorur këto variabla tekstin e problemit mund ta përkthejmë në ekuacione matematike:

Shishja + kapaku së bashku peshojnë 204g: b + c = 204

Shishja peshon 200g më tepër se kapaku: b = c + 200

Kështu, modeli matematikë që përshkruan plotësisht faktet e dhëna në problem përbëhet nga dy ekuacione me dy të panjohura.

Pas disa kalklumimeve, vijmë tek zgjidhja: b = 202 dhe c = 2

Kjo zgjidhje plotëson të dy kushtet e dhëna në shembull.

A e keni edhe ju të njëjtën zgjidhje? Shumë persona morën rezultat të gabuar kur menduan për një kohë të shkurtë për shembullin; dhe vetëm pasi menduan më gjatë për të, arritën tek rezultati i saktë.

Gjersa pyetja e parë mund të merr përgjigje për një kohë relativisht të shkurtë të të menduarit, kjo qasje nuk mund të zbatohet në pyetjen e dytë.

1 . 2 S i t ë a p l i k o j m ë M a t e m a t i k ë n F a q e | 7

Shembulli 2: Çka kërkohet në problem? Çka dëshirojmë të caktojmë?

Duhet të caktojmë moshën e Anës dhe Lusit të shprehur në vite. Kështu kemi vendosur që

ax = mosha e Anës në vite

lx = mosha e Lusit në vite

Tani le ta përkthejmë problemin:

Vitin tjetër Ana do të jetë tre herë më e moshuar se sa ishte Lusi para dy vitesh:

→ ( 1) 3 ( 2)a lx x+ = ⋅ −

Pas katër vitesh, Lusi do të jetë për gjysmë e moshuar sa ishte Ana para tre vitesh:

→ 12

( 4) ( 3)l ax x+ = ⋅ −

Kështu, ne sërish kemi modelin matematikë që përbëhet nga sistemi i ekuacioneve me dy ekuacione dhe dy të panjohura.

Përgjigja është: 18lx = dhe 47ax =

Nëse kontrollojmë përgjigjen do të shohim se të dy kushtet plotësohen.

Shembulli i problemit të dytë në veçanti tregon se sa efektiv mund të jetë modelimi matematikë. Posa të kemi formuluar modelin që përshkruan në mënyrë adekuate situatën, ne mund të aplikojmë metodën kuantitative për ta analizuar atë dhe pastaj do të jetë e lehtë për caktuar zgjidhjen e problemit të dhënë. Megjithatë, duhet të pranohet se formulimi i modelit që përshkruan saktësisht gjendjen reale të problemit është zakonisht pjesa më e vështirë e detyrës.


1.3 Qëllimet e mësimit

ProCredit është bankë. Ne synojmë të këshillojmë klientët tanë, dhe mbi të gjitha ne dëshirojmë që atyre t’u japim këshilla korrekte dhe transparente. Për të bërë këtë, është e domosdoshme të dijmë kuptimet elementare nga algjebra dhe disa kuptime nga funksionet.

Shumë nga ju do të thoni: “Por ne kemi kompjuterët dhe kalkulatorët.”

Kjo është e saktë, dhe tani softueri mund të kryej të gjitha njehsimet deri në centin e fundit. Megjithatë, ekzistojnë disa lloje të gabimeve: për shembull, ju mund të shënoni shifrën e gabuar. Në këtë rast, ju duhet të jeni në gjendje të gjykoni nëse rezultati është i pranueshëm apo jo.

Ju mund të gjendeni në situatë të tillë që duhet të këshilloni dikë dhe të mos keni me vete kalkulatorin apo laptopin. Çka do t’i thonit shokut tuaj, për shembull, nëse ai ju ndal në rrugë dhe ju pyet se sa do të kushtojë kredia e tij, ose sa do të jetë shkalla efektive e interesit për një depozitë kursimi?

Në punën tonë të përditshme, me ose pa klientë, me ose pa kolegë, me ose pa anëtarë të stafit: detalet esenciale të biznesit bankar bazohen në trajtimin e variablave kuantitative, figurave dhe veprimeve. Kështu që është esenciale të dijmë:

• elementet e algjebrës,

• disa funksione dhe vetitë e tyre që janë të rëndësishme për bankat,

• disa aspekte të statistikës, dhe

• njohuri mbi biznesin për huazimin dhe deponimin.

Kjo është arsyeja që në këtë kurs ne do të fillojmë të mësojmë pjesë të mjaftueshme të fjalorit. Ne do të familjarizohemi me konceptet fundamentale të algjebrës, siç janë numrat dhe operatorët, dhe në veçanti gjithashtu thyesat dhe eksponentët (apo treguesit), si edhe se si të kombinohen ato për të formuar shprehje algjebrike.

Në jetën tonë të përditshme dhe në punën tonë, sasitë shpesh krahasohen mes vete. Në matematikë, kjo në përgjithësi sjell tek ekuacionet të cilat duhen zgjidhur.

Forma më e rëndësishme e një ekuacioni në matematikë është funksioni, përmes të cilit marrëdhënia në jetën reale mund të përshkruhet në

1 . 3 Q ë l l i m e t e t ë m ë s u a r i t F a q e | 9

modelin matematikë. Në këtë Vëllim, ne fillojmë me diskutimin e rëndësisë së funksioneve, vetive të tyre si dhe do të studiojmë disa funksione elementare. Në Vëllimin 2, që merret me disa tema më të avansuara, do të paraqesim funksionet eksponenciale dhe logaritmike. Ato njihen si funksione “transcendente”, që mbase mund të tingëlloj si diçka teorike. Megjithatë, ato mbase janë funksionet më të rëndësishme në ekonomi e madje edhe më esenciale në veprimtaritë bankare.

Në bankë, shkalla e interesit luan rol shumë të rëndësishëm: njehsimi i kthimit mbi kapitalin kërkon që gjatë punës sonë me shprehje algjebrike të përqëndrohemi veçanërisht tek eksponentët. Proceset e rritjes që rezultojnë nga interesi i përbërë përshkruhen përmes të ashtuquajturave funksione eksponenciale, të cilat në mënyrë të natyrshme luajnë rol të rëndësishëm në përshkrimin e problemeve në lëmin e matematikës financiare.

Për shkak të kthimit mbi kapitalin, vlera e kapitalit varet nga koha, dhe për shkak të aplikimeve financiaro-matematike shpesh iu referohemi si “vlera kohore e parasë”. Në këtë kurs, do të përshkruhen temat të cilat në mënyrë të drejtpërdrejtë kanë të bëjnë me aplikimin në bankë, si dhe parimet fundamentale të interesit, depozitave dhe kredive.

Përfundimisht, Vëllimi 3, që mund të karakterizohet si “aplikim i matematikës në banka dhe financa”, i dedikohet kalkulusit dhe fundamenteve të statistikës përshkruese. Është një hyrje elementare në metodat statistike të përshkrimit, prezentimin dhe llogaritjet me bashkësi të mëdha të të dhënash. Meqë bankat çdoherë kanë të bëjnë me shumë të dhëna që kanë të bëjnë me klientët, llogaritë dhe portofolet, është e qartë se kemi nevojë të kuptojmë konceptet relevante.

Grafiku në faqen tjetër tregon temat që do të përfshihen në këtë përmbledhje. Ato janë të dizajnuar të mësohen në dy kurse, i pari merret me kuptimet themelore të algjebrës dhe funksioneve. Në Vëllimin e dytë, këto instrumente aplikohen në probleme specifike financiare në banka.

Çdo seksion përmban disa ushtrime. Për të ju mundësuar të kontrolloni rezultatet tuaja, rezultatet përfundimtare janë dhënë në fund të çdo kapitulli. Në shumicën e rasteve, jepen vetëm rezultatet, dhe jo edhe metoda e njehsimit. Ne qëllimisht jemi përcaktuar të mos tregojmë metodën që rekomandohet për zgjidhje, sepse në rast se keni marrë rezultat të gabuar dëshirojmë të ju inkurajojmë që të shqyrtoni metoda alternative.


Algjebra Elementare, Matematika Financiare, Kalkulusi dhe Statistika

2. Algjebra Elementare

4. Funksionet Elementare

1. Hyrje

Vël

l.1:

Alg

jeb

ra

Ele

men

tare

Vël

l.3:

Kal

ku

lusi

d

he

Sta

tist

ika

4. Shpërndarjet dy dimensionale

1. Hyrje

3. Ekuacionet

2. Kalkulusi

3. Elementet e Statistikës

2. Funksionet Speciale

Vël

l.2:

Mat

emat

ika

Fin

anci

are

1. Hyrje

3. Vlera kohore e parasë

Megjithatë, në shtojcë ju do të gjeni zgjidhjet komplete. Përdore këtë informatë me kujdes, sepse e vetmja mënyrë për të perfeksionuar gjuhën e “Matematikës” është aplikimi i saj dhe të fituarit e përvojës së plotë për modelimin dhe zgjidhjen e problemeve.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 11





1. Hyrje

Vël

l.1:

Alg

jeb

ra

Ele

men

tare 3. Ekuacionet

Parakushtet: Nuk nevojitet kurrfarë njohurie paraprake nga matematika, kërkohet vetëm gatishmëria juaj për të kuptuar bazat e matematikës bankare.

Në përgjithësi, juve mbase do të ju kujtohet matematika që keni ushtruar në shkollë. Megjithatë, nga ju presim pjesëmarrje intensive në trajnim. Kjo përmbledhje është e strukturuar në atë mënyrë që lënda mund të përcillet individualisht duke kryer ushtrimet dhe pyetjet e testeve. Gjithashtu, në fund të përmbledhjes janë dhënë zgjidhjet e detalizuara për të ju mundësuar të kontrolloni progresin tuaj.

Qëllimet e mësimit: Që të jeni të gatshëm të aplikoni matematikën duhet që problemet të përkthehen në gjuhën e matematikës, kështu që ato të mund të trajtohen matematikisht.

Në këtë aspekt, pritet që ju të arrini besueshmëri në kalkulimet ose veprimet me numra dhe simbole pa ndihmën e kompjuterëve dhe kalkulatorëve. Po ashtu është shumë me rëndësi të jeni relativisht të sigurtë


të dini nëse rezultati i fituar është apo nuk zgjidhje e problemit. Kështu që ju duhet të gjykoni vet në mes të zgjidhjes bindëse dhe asaj jobindëse.

Algjebrës shpesh i referohemi si “aritmetika e përgjithësuar”. Ajo është degë e matematikës e cila në kuptimin më të gjerë merret me veprimet aritmetike si mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi, të kryera me numra specifik. Emri “algjebër” është derivuar nga Latinizimi i emrit të matematikanit Persian Al-Chwarizmi, i cili jetoi rreth vitit 800 të erës sonë dhe i cili ka përshkruar disa principe fundamentale.

Gjersa “aritmetika” merret me njehsimet me numra (2, 4, 6, etj.), algjebra i zgjeron këto aktivitete për t’u marrë me simbole të cilat shërbejnë si variabla dhe parametra. Ndonëse ka vetëm dallime të vogla në mes veprimeve me numra dhe atyre me simbole, edhe më tëj është për t’u habitur se si shumë studentë nuk kanë fare problem për të kryer njehsime të shprehjeve si kjo në vijim:

14

2 42 (4 2) 4 1

2 4 2 4 4 1

⋅ −⋅ − −− + =

⋅ + +

por që ngatërrohen kur numri 4 zëvendësohet me simbolin x: 122 ( 2) 1

2 2 1x

xx x

x x x

⋅ −⋅ − −− + =

⋅ + +

Simboli x në shprehjen e dytë është zëvendësim për ndonjë numër të panjohur. Meqë ai mund të ndryshojë, ky simbol quhet variabël (ndryshore). Ndonëse të gjitha veprimet dhe rregullat janë të njëjta, pavarsisht nëse kryhen njehsime me numra ose me simbole, përdorimi i këtyre të fundit shpesh perceptohet si i vështirë, sepse simbolet janë më abstrakte.

Në anën tjetër, duhet të kemi në mendje se një karakteristikë përbërëse e matematikës është abstraksioni nga rasti specifik në atë të përgjithshëm ose nga rasti i veçantë në atë të përgjithshëm. Kështu, përmes këtij kapitulli kemi për qëllim të mësohemi me përdorimin e simboleve në shprehjet matematike dhe të përdorim ato për të gjetur zgjidhjet e problemeve reale. Do të shyqrtojmë disa nga veprimet e rëndësishme algjebrike që mësohen në shkollë. Materiali mund të studiohet në mënyrë sistematike para fillimit të pjesës tjetër të këtij manuali ose ai mund të përdoret sipas nevojës.

2 . 1 N u m r a t

2.1 Numrat

Parakushtet: Nuk nevojitet ndonë paranjohuri

Qëllimet e mësimit: Gjuha e matematikës përdorNumrat janë zhvilluar dhe përdorur nga Babilonasit

Numrat janë të lidhur mes vete pëKjo sjell deri tek paraqitja e shprehjeve, të cilat për shkak të rregullave të algjebrës mund të jenë të arbitrarisht të komplikuaraqartë se për aplikimin e matematikës rregulla fundamentale të aplikohekorrekte.

Koncepti i rregullave të aritmetikës dhe algjebrës do të zgjerohet përmes simboleve, variablave dhe parametrave. Shikuar në tërësi, rregullat matematike


2.1 Numrat

Numrat & veprimet

Thyesat & numrat dhjetor

Përqindjet

2.2 Eksponentët

Eksponentët e plotë

Exponentët thyesorë

Rrënjët

F a q e | 13

uk nevojitet ndonë paranjohuri e veçantë.

Gjuha e matematikës përdorë numrat dhe simbolet. Numrat janë zhvilluar dhe përdorur nga Babilonasit.

janë të lidhur mes vete përmes veprimeve. Kjo sjell deri tek paraqitja e shprehjeve, të cilat për shkak të rregullave të algjebrës mund të jenë të arbitrarisht të komplikuara. Është një parakusht i qartë se për aplikimin e matematikës duhet që këto rregulla fundamentale të aplikohen në mënyrë

Koncepti i rregullave të aritmetikës dhe algjebrës do të zgjerohet përmes simboleve, variablave dhe

Shikuar në tërësi, rregullat matematike


2.2 Eksponentët



Rrënjët

2.3 Shprehjet

Shprehjet e plota

Shprehjet thyesore


janë bazat e gramatikës matematike. Nëse ato aplikohen si duhet, çdo deklaratë mund të kuptohet nga secili person anë e kënd botës – në Kinë, Rusi, Gjeorgji ose Tajlandë edhe pse këto vende përdorin karaktere të ndryshme alfabetike.

2.1.1 Numrat dhe veprimet

Fjala bashkësi në matematikë përdoret me të njëjtin kuptim si edhe në ndonjë gjuhë të folur. Bashkësia është grumbull objektesh ose elementesh me veti të përbashkta.

Në këtë kontekst, është e zakonshme që të përdorim simbole për bashkësi të ndryshme numerike:

N bashkësia e numrave natyrorë; numrat për numërim: 1, 2, 3, …

Z bashkësia e numrave të plotë; numrat natyrorë, numrat e kundërtë me ta dhe zero: …,-2, -1, 0, 1, 2 …

Q bashkësia e numrave racional, të cilët mund të paraqiten si ab

, ku

a, b janë numra të plotë dhe 0b≠ . Një karakterizim tjetër i numrave racional është se paraqitja decimale e tyre ose është

periodike ose ndërpritet: 79

; 0.25; 0.236236

I bashkësia e numrave iracional, të cilët mund të paraqiten vetëm përmes numrave decimal jo përsëritës dhe jo përfundimtar:

2; 3.14159265359...; 2.71828182846...eπ = =

R bashkësia e numrave realë përbëhet nga numrat racional dhe iracional.

Marrëdhënia ndërmjet bashkësive të ndryshme të numrave mund të paraqitet si në vijim:

Numrat natyroré. + zero+ Numrat negativ

Numrat e ploté + Thyesat

== Numrat racionalé

+ Numrat iracionalé

= Numrat realé

2 . 1 N u m r a t F a q e | 15

Nëse vizatojmë drejtëzën si më poshtë, kuptojmë se çdo numri real i korrespondon saktësisht një pikë në drejtëz dhe anasjelltas. Kjo drejtëz quhet drejtëza numerike. Zero zakonisht asociohet me origjinën.

0 1 2-1-9/4 π

-2 3 Numrat realë

Figura 2-1:Vargu i numrave realë

Tani do të shqyrtojmë disa nga vetitë elementare të sistemit të numrave realë, që na mundësojnë të konvertojmë shprehjet algjebrike të llojit që pamë në fillim të këtij kapitulli, në shprehje ekuivalente. Këto veti elementare quhen aksioma dhe duhet që të merren parasysh gjatë transformimit të shprehjeve algjebrike.

VETITË ELEMENTARE TË NUMRAVE REALË

Le të jenë x, y, z numra të çfarëdoshëm realë. Shënojmë: x, y, z ∈ R

dhe lexojmë x, y, z “janë elemente të bashkësisë së numrave realë” .

VETITË E MBLEDHJES

Mbyllja: x y+ është element i vetëm në R.

Vetia asociative: ( ) ( )x y z x y z+ + = + +

Vetia komutative: x y y x+ = +

Identiteti: 0 është identiteti në lidhje me mbledhjen: 0 0x x x+ = + =

Inversi: Për çdo x∈R, −x është inversi i tij i vetëm i tillë që ( ) ( ) 0x x x x+ − = − + =


VETITË E SHUMËZIMIT

Mbyllja: x y⋅ është element i vetëm në R

Vetia asociative: ( ) ( )x y z x y z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Vetia Komutative: x y y x⋅ = ⋅

Identiteti: 1 është identiteti në lidhje me shumëzimin: 1 1x x x⋅ = ⋅ =

Inversi: Për çdo x R∈ të tillë që 0x ≠ , 1x

është inversi i tij i

vetëm i tillë që 1 1( ) ( ) 1x x

x x⋅ = ⋅ =

VETIA E KOMBINUAR

Vetia distributive: ( )x y z x z y z+ ⋅ = ⋅ + ⋅ dhe ( )x y z x y x z⋅ + = ⋅ + ⋅

Nga aksiomat e mësipërme konkludojmë se:

Le të jenë x dhe y numra të çfarëdoshëm realë.

• ( )x x− − =

• ( ) ( ) ( )x y x y x y⋅ − = − ⋅ = − ⋅

• ( ) ( )x y x y− ⋅ − = ⋅

• x x x

y y y

−− = =

− për 0y ≠

• x x

y y

−=

− për 0y ≠

2 . 1 N u m r a t F a q e | 17

KUJDES:

Le të jenë x dhe y numra të çfarëdoshëm realë:

• 0 0 0x x⋅ = ⋅ =

• 0

0y= për 0y ≠

• 0x y⋅ = implikon që ose 0x= ose 0y = ose të dya 0x y= =

• Pjesëtimi me 0 nuk lejohet kurrë.

VEPRIMET ME NUMRA

Nëse veprimet janë të përziera në shprehjet algjebrike, ndonjëherë nuk është e lehtë të ruhet rendi i vargut të veprimeve. Gjatë njehsimit të shprehjeve komplekse që përmbajnë disa veprime të ndryshme, është vështirë të vendoset se cili veprim duhet të kryhet së pari. Me fjalë të tjera, vargu ose prioriteti i veprimeve duhet të jetë i qartë dhe jo dykuptimshëm.

Rregullat e njehsimeve duhet të jenë të qarta; nuk duhet të ketë asnjë dyshim se si të interpretohet shprehja. Me fjalë të tjera, studentët në Ganë dhe ata në Mozambik duhet të jenë në gjendje të njehsojnë detyrën në të njëjtën mënyrë dhe të arrijnë tek i njëjti rezultat.

Në mënyrë që të përpilojmë një shprehje algjebrike shpesh është e domosdoshme të përdoren kllapat. Çdo dyshe e kllapave duhet të përmbaj shprehje që duhet të trajtohet si e vetme. Kjo nënkupton se çdo dyshe e kllapave në një shprehje reduktohet në ndonjë lloj simboli të krahasueshëm me ndonjë numër ose ndonjë variabël. Çdo veprim i aplikuar në kllapa duhet të interpretohet si një veprim në tërë përmbajtjen.

SHEMBUJ

1. 2 4 3 2 12 14+ ⋅ = + = por: (2 4) 3 6 3 18+ ⋅ = ⋅ =

2. 2 3 3 4 5 6 12 5 1⋅ − ⋅ + = − + = − por: ( )2 3 3 (4 5) 3 9 27⋅ − ⋅ + = ⋅ =


Që të dy shprehjet në dy shembujt paraprak mund të njehsohen në mënyrë të qartë, duke dhënë kështu rezultate të ndryshme.

Kështu është shumë me rëndësi që të dizajnojmë shprehje të tilla që

• Procedura e njehsimit të sjell tek rezultati i dëshiruar, dhe

• Të mos ketë mundësi për interpretime dykuptimëshe.

Nëse në ndonjë shprehje ka shumë pjesë të cilat duhet të ndahen me kllapa, ka kuptim që të përdorim disa lloje të kllapave për të bërë të qartë se cila kllapë mbyllëse i takon cilës kllapë hyrëse.

• Kllapat e vogla: ( )

• Kllapat e mesme: [ ]

• Kllapat e mëdha: { }

Gjatë përdorimit të tyre duhet të sigurohemi se të gjitha kllapat paraqiten në dyshe. Kjo siguron që vlera e çdo shprehje në kllapa është e qartë.

Përveç kësaj ekzistojnë rregullat se si të njehsohet shprehja që përmban kllapa:

NJEHSIMI I SHPREHJEVE

Nëse e njehsoni një shprehje algjebrike me disa lloje të veprimeve duhet të jeni shumë të kujdesshëm për të kryer veprimet sipas renditjes korrekte: Ekzistojnë dy rregulla kryesore:

1. Shprehjet që përmbajnë kllapa duhet të njehsohen nga brenda – jashtë. Kjo nënkupton se të gjitha veprimet brenda kllapave duhet të kryhen para se të vazhdohet me kryerjen e veprimeve jashtë kllapave.

2. Veprimet si shumëzimi dhe pjesëtimi kanë përparësi para veprimeve mbledhje dhe zbritje. Kjo nënkupton se në të njëjtin nivel të veprimeve së pari duhet të njehsohet prodhimi dhe herësi e pastaj shuma.

Sugjerohet që të përdorim sa më shumë kllapa që të jetë e mundur. Është më mirë që ato të përdoren më shpesh sesa më rrallë. Harresa e ndonjë

2 . 1 N u m r a t F a q e | 19

kllape shpesh krijon shprehje të ndryshme, kështu që rezultati në të shumtën e rasteve është gabim!

Thyesa ose simboli ‘/’ zëvendëson kllapat në shprehje.

Shprehja vijuese është shembull se si kombinimi i disa veprimeve algjebrike në një shprehje mund të shkaktojë konfuzion:

2 3 4 2 ( 1 3) 5 4 4 2

5 4 3

− + ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅− +

−

Tabela e mëposhtme tregon vargun e hapave të llogaritjes dhe jep sqarime në raport me rregullat e mësipërme:

Hapat 2 3 4

5

− + ⋅−

2 ( 1 3)

4

⋅ − −−

5 4 4 2

3

⋅ − ⋅+

Komentet

1 –1 – 3 = –4 Së pari lirohemi nga kllapat.

2 3 4 12⋅ = 2 ( 4) 8⋅ − = − 5 4 20⋅ =

4 2 8⋅ =

Shumëzimi para mbledhjes

3 –2+12=10 20–8=12 Shumat në numërues

4 102

5= −

−

82

4

−= −

124

3=

Thyesa konsiderohet si kllapë: së pari duhet të njehsohen thyesat

5 2 ( 2) 4 4− − − + = Ky është rezultati.

Tabela 2.1: Përdorimi i kllapave në shprehje


KUJDES – GABIMET E ZAKONSHME

• Largimi i kllapave

� 3 (4 2) 3 4 2− + ≠ − +

� 6 (2 4) 6 2 6 4− ⋅ − ≠ − ⋅ − ⋅

• Kryerja jo korrekte e veprimit të shumëzimit dhe mbledhjes

� 3 4 5 3 9⋅ + ≠ ⋅

2 . 1 N u m r a t F a q e | 21

USHTRIMI 2.1.1: NUMRAT DHE VEPRIMET

Rezultatet gjenden menjëherë pas detyrave. Aty keni vetëm rezultatet përfundimtare, duke ju lejuar ju që të krahasoni rezultatet tuaja me ato që kemi dhënë ne.

Ne qëllimisht jemi përcaktuar të mos e paraqesim metodën që rekomandojmë sepse dëshirojmë të ju inkurajojmë në shqyrtimin e metodave alternative, në rast se keni marrë rezultat të gabuar.

1. Të kompletohen ekuacionet vijuese në raport me rregullën e dhënë:

a) Vetia Komutative: x y⋅ =

b) Vetia Asociative: ( )x y z+ + =

c) Vetia Distributive: x y z y⋅ + ⋅ =

d) Vetia Asociative: ( )x y z⋅ ⋅ =

e) Vetia Komutative: x y+ =

f) Vetia Komutative: x y− =

2. Të caktohen elementet inverse në raport me vetinë e dhënë:

a) Mbledhja: {1, 2, 4, 8, 16}?

b) Shumëzimi: {−1, 1, 2 3}?

3. Njehsoni:

a) ( 3)− − = b) 1

3

−= c) 2 ( 4)− ⋅ − =

d) [ ]4 ( 2) ( 3)⋅ − − − = e) 2

5

−=

− f)

9

3=

−


4. Njehsoni:

a) 0 ( 3)⋅ − = b) 0

4= c)

3

0=

d) 0

0= e) 0 (0)⋅ =

5. Njehsoni:

a) 2 (3 4) 6 (2 4)

4 6 43

⋅ − − ⋅ −− ⋅ + =

b) {[(2 3) 5 4] 2 3} 4 10

87

− ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ =

c) [ ] [ ] [ ]( ){ }5 3 2 ( 4) 16 ( 3) ( 2) 3− ⋅ − − + − − ⋅ − ⋅ =

d)

(7 3) 2 28

5 7 23

6

− ⋅ + − + ⋅ −

=

2 . 1 N u m r a t F a q e | 23

REZULTATET 2.1.1: NUMRAT DHE VEPRIMET

1. Rregullat e veprimeve

a) Vetia komutative: y x⋅

b) Vetia Asociative: ( )x y z+ +

c) Vetia distributive: ( )y x z⋅ +

d) Vetia asociative: ( )y x z⋅

e) Vetia komutative: y x+

f) Vetia komutative: y x− +

2. a) { }1, 2, 4, 8, 16− − − − − b) 1 1

1,1, ,2 3

−

3. a) 3 b) 1

3− c) 8

d) 4 e) 2

5 f) 3−

4. a) 0 b) 0 c) ∞

d) e pacaktuar e) 0

5. a) 0 b) 10 c) 66

d) 3


2.1.2 Thyesat dhe numrat dhjetor

Tashmë numrin racional e kemi përkufizuar si thyesë të dy numrave të plotë. Po ashtu, në seksionin paraprak, në shembuj dhe ushtrime të ndryshme i kemi përdorur thyesat. Në këtë seksion do të mësojmë se si të kryejmë veprimet me thyesa.

THYESAT

Ekzistojnë disa rregulla elementare të cilat duhet të zbatohen në rastet kur në shprehjen algjebrike paraqitet së paku një thyesë.

THYESA

Thyesë quhet herësi a

b ku a dhe b janë numra të plotë dhe 0b≠ .

a quhet numëruesi dhe b quhet emëruesi.

Shumica prej nesh kemi mjaft njohuri me thyesat, megjithatë, me qëllim që të shmangen gabimet, duhet të jemi të kujdesshëm gjatë zbatimit të rregullave për veprimet me thyesa.

Me qëllim që të arrihet niveli i nevojshëm i besimit dhe i shkathtësive në përdorimin e thyesave, duhet të praktikojmë aplikimin e këtyre rregullave.

Shpresoj që ju asnjëherë nuk do të argumentoni si personi të cilit shefi i ofroi ngritje të pagës për “një të pestën” e i cili u përgjigj: “më fal, por kjo nuk mjafton, duhet të jetë së paku një e gjashta”.

Ne në fillim do të paraqesim rregullat, pastaj do të japim komente të shkurta për to, dhe në fund do të prezentojmë disa shembuj, përmes të cilëve do të tregojmë se si t’i aplikojmë ato.

RREGULLAT E VEPRIMEVE ME THYESA

Le të jenë a, b, c, d, dhe f numra realë; nëse ata paraqesin emëruesin e thyesës duhet të jenë të ndryshëm nga 0.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 25

SHUMËZIMI ME NJË NUMËR

a f af

b b

⋅⋅ = → Thyesa shumëzohet me një numër f duke e shumëzuar

numëruesin me numrin f.

SHEMBUJ

1. Nëse një tortë e ndani në katër pjesë, do të ketë katër çerek, pra katër 1

4 të tortës. Nëse keni dy çerekë, ju keni dy herë çereku, pra.

1 2 1 12

4 4 2

⋅⋅ = = e tortës.

2. 3 6

27 7⋅ =

3. 2 6 6

( 3)11 11 11

−− ⋅ = = −

4. 1 0

0 011 11⋅ = =

PJESËTIMI ME NUMËR TË NDRYSHËM NGA ZERO

a af

b b f÷ =

⋅ → Thyesa pjesëtohet me numrin f duke shumëzuar

emëruesin me 0f ≠ .

Shumëzimi dhe pjesëtimi janë veprime inverse që thjeshtojnë njëri tjetrin nëse zbatohen që të dya.

SHEMBUJ

1. Nëse e ndan një gjysmë torte në dy pjesë të barabarta, do të merrni dy pjesë, secila prej të cilave është çereku i tortës, pra 1 1 1

22 2 2 4÷ = =

⋅.


2. 3 3 3

27 7 2 14÷ = =

⋅

3. 2 2 2 2

( 3)11 11 ( 3) 33 33

÷ − = = = −⋅ − −

4. 7 7 7

213 13 2 26

÷ = =⋅

EKUIVALENCA E THYESAVE

a c

b d= → Dy thyesa janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë kur

a = c dhe b = d.

SHEMBUJ

1. 3

3 dhe 44

xx y

y= → = =

2. 2 8

2 8 4; 3 51 173 51

aa a b b

b= → = → = = → =

3. 4 2

4 2 : 2; 3 15 : 53 15

yy y x x

x

−= → − = = − = =

THJESHTIMI

f a a

f b b

⋅=

⋅ → Në thyesën në anën e majtë faktori i përbashkët f është

thjeshtuar duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin faktor f.

SHEMBUJ

1. 12 2 6 6

14 2 7 7

⋅= =

⋅

2 . 1 N u m r a t F a q e | 27

2. 24 2 2 2 3 2 2 4

42 2 3 7 7 7

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

3. 45 ( 1) 3 3 5 5

72 ( 1) 3 3 2 2 2 8

− − ⋅ ⋅ ⋅= =

− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ZGJERIMI

a f a

b f b

⋅=

⋅ → Thyesa në anën e majtë është zgjeruar për faktorin f duke

shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin faktor f.

SHEMBUJ

1. 4 11 4 44

7 11 7 77

⋅= =

⋅

2. 0.5 2 (0.5) 1

1.5 2 (1.5) 3

⋅= =

⋅

3. 1.7 10 (1.7) 17

2.3 10 (2.3) 23

− ⋅= − = −

⋅

Dy shembujt e fundit tregojnë pse zgjerimi është i rëndësishëm. Nëse dëshirojmë të shmangim decimalet nga numëruesi dhe emëruesi (kujtojmë se ne nuk jemi kufizuar vetëm tek veprimet me numra të plotë) ata i shumëzojmë me një faktor të përshtatshëm për t’i shndërruar në numra të plotë.

Sikur shumëzimi me pjesëtimin, edhe thjeshtimi dhe zgjerimi janë veprime inverse të cilat e thjeshtojnë njëri tjetrin nëse aplikojnë që të dya.

SHUMËZIMI I DY THYESAVE

a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅ → Dy thyesa shumëzohen duke shumëzuar numëruesit

dhe emëruesit e tyre.


SHEMBUJ

1. 1 7 1 7 7

3 11 3 11 33

⋅⋅ = =

⋅

2. 3 4 ( 3) 4 3 4 12

5 7 5 7 ( 5) 7 35

− ⋅ ⋅ − ⋅ = = = − ⋅ − ⋅

3. 1 3 5 1 3 5 15

2 4 7 2 4 7 56

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = − ⋅ ⋅

PJESËTIMI I DY THYESAVE

a

a c a dbcb d b c

d

÷ = = ⋅ → Dy thyesa pjesëtohen duke shumëzuar thyesat

inverse.

SHEMBUJ

1. 2 5 2 7 2 7 14

3 7 3 5 3 5 15

⋅÷ = ⋅ = =

⋅

2. 3459

3 9 27

4 5 20= ⋅ =

3. 4 6 4 14 4 14 4 2 7 4

7 14 7 6 7 6 7 2 3 3

− ⋅ ⋅ ⋅ − ÷ = − ⋅ − = = = ⋅ ⋅ ⋅

Dy veprimet e fundit sërish janë inverse ndaj njëri tjetrit.

Ndonëse “mbledhja” dhe “zbritja” janë veprimet më elementare algjebrike, shumë gabime paraqiten gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave. Ju lutem u kushtoni kujdes të veçantë seksioneve të veçanta: “Kujdes – gabimet e zakonshme”.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 29

MBLEDHJA (ZBRITJA) E THYESAVE ME EMËRUES TË

NJËJTË

a c a c

b b b

±± = → Dy thyesa me emërues të njëjtë mblidhen (zbriten)

duke mbledhur (zbritur) numëruesit.

SHEMBUJ

1. Gjysmë torte dhe një e katërta e tortës së bashku bëjnë tre të

katërtat, pra 1 1 2 1 3

2 4 4 4 4+ = + = .

2. 3 8 11

5 5 5+ =

3. 7 3 2 7 3 2 6

11 11 11 11 11

− − + −− + + = = −

4. 2 8 2 ( 8) 2 8 10

25 5 5 5 5

− − + − − = = = =

Në mënyrë që të mblidhen dhe zbriten thyesat me emërues të ndryshëm, së pari duhet që thyesat të zgjerohen që të kenë emëruesin e njëjtë, i cili në këtë rast quhet emëruesi i përbashkët.

EMËRUESI I PËRBASHKËT

Emëruesi i përbashkët i dy thyesave a

b dhe

c

d është prodhimi i dy

emëruesve:

b d⋅

Duke zgjeruar të dy thyesat me d dhe b, përkatësisht, merren dy thyesa me të njëjtin emërues:

a d

b d

⋅⋅

dhe c b

d b

⋅⋅


Emëruesi i përbashkët më së lehti caktohet duke shumëzuar dy (ose më tepër) thyesa dhe duke zgjeruar thyesat me të gjithë faktorët që nuk janë pjesë e emëruesit të përbashkët.

SHEMBUJ

Të caktohet emëruesi i përbashkët (EP) për thyesat dhe të bëhet zgjerimi i tyre:

1. 2 5 2 7 5 3 14 15

; 3 7 ; ;3 7 3 7 7 3 21 21

CD⋅ ⋅

→ = ⋅ → →⋅ ⋅

2. 1 3 1 7 3 6 7 18

; 6 7 ; ;6 7 6 7 7 6 42 42

CD− ⋅ − ⋅

→ = ⋅ → → −⋅ ⋅

3. 2 3 1 2 3 7 3 3 5 1 5 7

; ; 3 5 7 ; ;5 7 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7

CD⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

→ = ⋅ ⋅ →⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

42 45 35

; ;105 105 105

→

Caktimi i emëruesit të përbashkët dhe zgjerimi i thyesave është parakusht për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm.

MBLEDHJA (ZBRITJA) E THYESAVE ME EMËRUES TË

NDRYSHËM

a c a d c b

b d b d

⋅ ± ⋅± =

⋅ → Dy thyesa me emërues të ndryshëm mund të

mblidhen (zbriten) pas zgjerimit i cili i sjell ato në thyesa me emërues të njëjtë.

SHEMBUJ

1. 2 5 2 7 5 3 14 15 29

3 7 3 7 3 7 21 21 21

⋅ ⋅+ = + = + =

⋅ ⋅

2. 2 1 2 7 1 3 14 3 11

3 7 3 7 3 7 21 21 21

⋅ ⋅− = − = − =

⋅ ⋅

2 . 1 N u m r a t F a q e | 31

3. 2 1 3 2 4 7 1 3 4 3 3 7 56 12 63 107

3 7 4 3 4 7 3 4 7 3 4 7 84 84 84 84

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − = − + = − + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Thyesat shpesh paraqiten në ekuacione të formës: 347 5x y=

Në rastet e tilla preferohet që të shmangen thyesat. Si një mënyrë për të realizuar atë është që të shumëzojmë tërë ekuacionin me një faktor dhe poashtu mund të kryejmë pothuajse të gjitha veprimet (me përjashtim të shumëzimit ose pjesëtimit me zero) në të dy anët e ekuacionit pa e ndryshuar atë. Kështu, pas shumëzimit të ekuacionit me faktorin e përbashkët do të merret:

347 5

7 5 7 5x y⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Pas redukimit të faktorëve të përbashkët në numërues dhe në emërues merret:

4 5 3 7x y⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Shpesh këtij veprimi i referohemi si “shumëzimi i tërthortë”, i cili merret pas zgjerimit dhe reduktimit.

BARAZIA E THYESAVE IMPLIKON SHUMËZIMIN E

TËRTHORTË

a c

b d= → Dy thyesa janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë

kur a d c b⋅ = ⋅ . Ky veprim shpesh njihet si “shumëzimi i tërthortë me emëruesit”.

SHEMBUJ

1. 2 1

2 4 1 7 8 77 4

xy x y x y= → ⋅ = ⋅ → =

2. 3 4

5 3 4 5 3 45 5

xx y x y

y− = − → − ⋅ = − ⋅ → =


3. 3 4

3 ( 5) 4 8 15 328 5

z y z yy z

−= → − ⋅ − = ⋅ → =−

Ne edhe më tej nuk kemi kufizuar numrat në numërues dhe emërus në raport me madhësinë e tyre. Të gjithë termat vijues janë në përputhje me përkufizimin e thyesës:

1 5 1.2 11 3.5 7 1.8 2; ; ; ; ; ; ;

4 8 3.7 3 2.8 10 3 0.7

−−

Në fakt, dallimet mes thyesave të mësipërme janë shumë të vogla. Termat

1 5 7; ;

4 8 10−

i përshtaten plotësisht përkufizimit.

Termat

1.2 1.8;

3.7 3

Mund të zgjerohen me 10 dhe të shndërrohen në:

12 18 3;

37 30 5=

Në tre termat vijues numëruesit janë më të mëdhenjë se emëruesit:

11 3.5 2; ;

3 2.8 0.7

−

Pas zgjerimit të dy termave të fundti me 10 merret::

11 35 5 20 20; ;

3 28 4 7 7

−= = −

Në krahasim me thyesat tjera tani vërejmë se numëruesi është më i madh se emëruesi. Thyesat e tilla quhen thyesa të përziera.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 33

THYESAT E RREGULLTA DHE THYESAT E PËRZIERA

Thyesa quhet e rregulltë nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi. Në kuptimin formal kjo do të thotë:

a

b është thyesë e rregulltë nëse a < b

Nëse a b≥ thyesa quhet e përzier. Ndonjëherë është e domosdoshme ose e preferueshme që të ndahet pjesa e plotë dhe herësi i cili pastaj është thyesë e rregulltë.

NDARJA E THYESËS SË PËRZIER

Thyesa e përzier, përmes pjesëtimit, mund të ndahet në një numër të plotë dhe një thyesë të rregulltë:

a ci

b b= + ku a > b dhe c < b

Thyesat e përziera në përgjithësi shënohen pa shenjat +,- në mes: 2 27 7

3 3+ =

SHEMBUJ

Pas pjesëtimit të numëruesit dhe emëruesit merret:

1. 23

11 23 3

3 3= + =

2. 14

5 11 1

4 4= + =

3. 67

20 62 2

7 7− = − − = −


NUMRAT DHJETOR

Sistemi ynë i numrave bazohet në ashtuquajturin sistem dhjetor, pra me numrin 10 si bazë. Kjo mbase mund të jetë arsyeja pse paraardhësit tanë kanë përdorur 10 gishtat si mjet numërimi, dhe kështu edhe filluan të bëjnë llogaritjet në bazë të shumëfishëve të 10-it dhe fuqive të tij:

247 2 100 4 10 7 1= ⋅ + ⋅ + ⋅

Pozita e fundit në një numër është çdoherë shumëfish i 01 10= , që nga e

ardhmja pozitë e deri tek e fundit është shumëfish i 110 10= , pastaj 2100 10= , etj. Fuqitë e 10 dhe shumëfishët e tij ngriten nga njëra pozitë

tek tjetra për 1.

Nëse lëvizim në drejtimin tjetër duke filluar nga 01 10= , zvogëlohet

fuqia për një, duke rezultuar në shumëfish të 110− , pastaj të 210− , e kështu me radhë. Shumëfishët e faktorëve të 10 me tregues (eksponentë) negativ ndahen nga ata jo-negativ përmes presjes dhjetore:

2 4 7 200 40 7 2470.247

10 100 1000 1000 1000 1000 1000= + + = + + =

Numrat e tillë quhen numra dhjetorë (decimal). Në shënimet Anglo-Saksone ata shënohen me pikë dhjetore, gjersa në Gjermani përdoret presja.

Shënimi dhjetor ndonjëherë është kuptimplotë sepse përmes tij shmanget përdorimi i thyesave. Në aspektin formal, çdo thyesë mund të shndërrohet në numër dhjetor duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin sipas rregullave të zakonshme të pjesëtimit:

10.25

4= ose

10.125

8=

Në të dy rastet e mësipërme pjesëtimi mbaron pa mbetje. Kështu që vargu i shifrave pas presjes dhjetore është i fundëm.

Nga përvoja e dijmë se kështu nuk ndodh çdoherë. Për shembull kemi pjesëtimet:

10.333

3= ose

40.363636

11= ose

532.0384615384615

26=

2 . 1 N u m r a t F a q e | 35

Në dy shembujtë e parë pas disa hapash vërejmë se vargu i decimaleve përsëritet. Është praktike që të mbivijëzojmë decimalet të cilat përsëriten. Decimalen që përsëritet e quajmë periodike. Megjithatë, numri i tretë tregon se perioda jo doemos fillon pas presjes dhjetore dhe që ajo mund të jetë relativisht e gjatë, madje edhe më e gjatë se sa në shembujtë e mësipërmë.

Numrat në të cilët decimalet ose përfundojnë ose përsëriten në mënyrë periodike quhen numra racional. Ata çdoherë mund të paraqiten përmes thyesave të rregullta.

Megjithatë, ka disa numra decimal tek të cilët vargu i i numrave as nuk mbarone as nuk përsëritet. Ata quhen numra iracional (shih gjithashtu seksionin 2.1.1; faqe 14), e një ndër më të njohurit është konstanta numerike π:

3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399...π =

Si shembuj të numrave të tjerë iracional kemi:

2 1.41421356237...=

2.718 281828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093...e =

Këta numra nuk mund të paraqiten as përmes thyesave e as përmes decimaleve periodike.


• Mbledhja dhe zbritja e thyesave

� 1 1 2

2 3 5+ ≠ dhe

4 1 3

5 3 2− ≠

� 1 4

32 2

+ ≠ dhe 4 4 4

2 1 2 1≠ +

+

• Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave

� 1 5

53 15⋅ ≠ dhe

6 32

4 2÷ ≠

�

1 2 3

3 7 10⋅ ≠


USHTRIMI 2.1.2: THYESAT DHE NUMRAT DHJETOR



1. Të zgjerohen thyesat me faktorët e dhënë:

a) 23 me 4 b) 5

7 me –3 c) 2

9− me –4

d) 146 me 0.5

2. Të zgjerohen thyesat ashtu që numëruesi ose emëruesi, përkatësisht të jenë të barabartë me vlerën e dhënë:

a) 14

emëruesi 16 b) 2

7 emëruesi 21

c) 27 numëruesi 12 d) 2

3 emëruesi 27

e) 78

numëruesi 56

3. Të thjeshtohen thyesat sa më tepër që të jetë e mundur:

a) 35

55 b)

8

28 c)

18

30 d)

15

77

e) 12

72 f)

36

48 g)

64

16 h)

88

16

i) 42

14 j)

105

231

2 . 1 N u m r a t F a q e | 37

4. Të zëvendësohet ‘?’ me numrin e duhur:

a) 3 ?

4 16= b)

2 ?

7 56= c)

5 105

7 ?=

d) 3 21

7 ?= e)

21 105

2 ?= f)

4 ?

7 77=

5. Njehsoni:

a) 1 2

3 7⋅ b)

1 7

2 4⋅ c)

2 6

3 5⋅ d)

3 1

8 2⋅

e) 3 2

4 9⋅ f)

1 42

2 5⋅ g)

1 11 2

3 2⋅ h)

35

4⋅

i) 5 7

27 5⋅ j)

3 7 5

5 6 9⋅ ⋅

6. Pjesëtoni:

a) 2 4

3 7÷ b)

1 1

2 3÷ c)

3 6

8 5÷ d)

1 61

3 5÷

e) 4

27÷ f)

23

5÷ g)

21 7

15 5÷

h) 3 1

2 17 7÷ i)

1 2 4

7 7 3÷ ÷ j)

5 2 7

2 7 5÷ ÷

7. Të gjendet emëruesi më i vogël i përbashkët për thyesat vijuese:

a) 210 dhe 3

15 b) 2

14 dhe 4

21 c) 5

12 dhe 227

d) 316

dhe 520

e) 38

dhe 4 f) 13

2 dhe 14

1

g) 715

1 dhe 1225 h) 32

3 4, dhe 1

5 i) 313 4

, dhe 16

j) 7 16 3

,3 dhe 730


8. Mblidhni ose zbritni, përkatësisht:

a) 1 1

+2 3

b) 2 5

+3 6

c) 2 1

7 14−

d) 3 2

5 35− e)

1 14 1

5 45− f)

8 3

11 7−

g) 2 1 1

3 4 6+ −

h)

7 3 4

2 7 5− − i)

7 12

3 7− +

j) 4 5 3

15 21 14− +

9. Shndërroni thyesat në numra dhjetor (në rast se keni nevojë përdoreni kalkulatorin):

a) 4

7 b)

6

11− c)

16

6 d)

43

16

e) 87

29 f)

37

9

−−

g) 23.7

6.3− h)

121

11

2 . 1 N u m r a t F a q e | 39

REZULTATET 2.1.2: THYESAT DHE NUMRAT DHJETOR

1. a) 8

12 b)

15

21 c)

8

36− d)

7

3

2. a) 4

16 b)

6

21 c)

12

42 d)

18

27 e)

56

64

3. a) 7

11 b)

2

7 c)

3

5 d)

15

77 e)

1

6

f) 3

4 g) 4 h)

11

2 i) 3 j)

5

11

4. a) 12

16 b)

16

56 c)

105

147 d)

21

49

e) 105

10 f)

44

77

5. a) 2

21 b)

7

8 c)

4

5 d)

3

16 e)

1

6

f) 2 g) 10

3 h)

15

4 i)

17

7 j)

7

18

6. a) 7

6 b)

3

2 c)

5

16 d)

10

9 e)

2

7

f) 15

2 g) 1 h)

17

8 i)

3

8 j)

25

4


7. a) 30 b) 42 c) 108 d) 80 e) 8

f) 12 g) 75 h) 60 i) 12 j) 30

8. a) 5

6 b)

11

2 c)

3

14 d)

19

35 e) 8

453

f) 23

77 g)

3

4 h) 19

702 i)

10

21 j)

17

70

9. a) 0.5714 b) 0.5455− c) 2.6667 d) 2.6875

e) 3 f) 4.1111 g) 3.7619− h) 11

2 . 1 N u m r a t F a q e | 41

2.1.3 Përqindjet

Shumë kohë para se thyesat të përdoreshin në masë të madhe, tregtarët duhej të dinin raportin e sasisë së të hollave, sepse ata donin të dinin se sa kishte mbetur në xhepat e tyre. Ata e quajtën pjesën që e njehsonin si margjinë të tyre “të përqindjes” (latinisht: per hundred). Sot termin “përqind” e përdorim për të nënkuptuar “të qindtën”. Përqindja është shkalla për njëqind ose proporcioni në të qindtën pjesë. Është pjesa që shqyrtohet në relacionin sasior me tërësinë. Nëse e zbërthejmë në mënyrë joformale, është “pjesëtuar për 100” dhe shenja e posaçme “%” është zbuluar për ta paraqitur atë.

Ne si bankierë, kemi shumë të bëjmë me përqindjet. Shkallët e interesit, ose shkallët e kthimit shprehen në përqindje. Ne i përdorim përqindjet për të krahasuar madhësitë e ndryshme.

Për të njehsuar përqindjen, atë e ndërlidhim me tërësinë, pra me 100%. Nëse duam të dijmë përqindjen e femrave dhe meshkujve në klasën tonë, numrin total të pjesëmarrsve e shprehim si 100%. Numri i femrave i ndëlidhur me tërësinë e jep përqindjen e femrave pjesmarrëse. Për të krijuar këtë marrëdhënie ne thjeshtë e pjesëtojmë numrin e femrave me numrin e përgjithshëm dhe rezultatin e shumëzojmë me 100 për të marrë përqindjen.

SHEMBULL

Numri total i stafit që punon në një degë të ProCreditit është 20. Aty punojnë 12 femra dhe 8 meshkuj. Totali prej 20 personave shprehet si 100%. Për të njehsuar proporcionin e femrave të punësuara, numrin 12 e pjesëtojmë me 20 dhe merret 0.6. Kjo nënkupton se raporti i femrave ndaj numrit total të të punësuarve është 0.6 me 1. Meqë përqindja është proporcioni i shprehur në pjesë të njëqindës, numrin 0.6 e shumëzojmë me 100 për të marrë 60%.

Numri Marrëdhënia Përqindja

Totali 20 Tërësia 100%

Femra 12 0.6 : 1 1220

100% 0.6 100% 60%⋅ = ⋅ =

Meshkuj 8 0.4 : 1 820

100% 0.4 100% 40%⋅ = ⋅ =


PËRQINDJA E BAZËS

Përqindja është proporcioni në pjesë të një qindëshe i konsideruar në relacionin sasiorë ndaj bazës. Për të njehsuar përqindjen p të një madhësie x në bazën b, numrin x e pjesëtojmë me bazën b dhe rezultatin e shumëzojmë me 100:

% 100%x

pb

= ⋅

Nëse e dijmë përqindjen p të bazës b dhe duam të njehsojmë madhësinë përkatëse x, numrin p e pjesëtojmë me 100 dhe shumëzojmë me bazën b:

100

px b= ⋅

Kur i ndërlidhim dy vlera, ne mund të shprehemi në disa mënyra të ndryshme. Për shembull themi, “afër gjysmës”, “pothuajse dyfishi” “vetëm 10%”, “saktësisht një e treta”, “të realizuarit 110% të synimit” ose “afër 25%”. Veçanërisht kur dëshirojmë të shprehim një proporcion ose kur bëjmë vlerësime i përdorim përqindjen. Por çka saktësisht nënkuptojnë 25%, 50%, 66% ose 150%?

Le të shqyrtojmë tabelën vijuese.

Marrëdhënia Përqindja Shembuj

totali, tërësia 100% 60

Më të vogla se tërësia

gjysma 50% 30

një e treta 33.3% 20

një e katërta 25% 15

dy të tretat 66.6% 40

tre të katërtat 75% 45

një e pesta 20% 12

2 . 1 N u m r a t F a q e | 43

Marrëdhënia Përqindja Shembuj

e dhjeta pjesë 10% 6

e njëzeta pjesë 5% 3

një e qindta 1% 0.6

një e mijta 0.1% 0.06

Më të mëdha se tërësia

dyfishi 200% 120

trefishi 300% 180

katërfishi 400% 240

dhjetëfishi 1000% 600

një e gjysmë 150% 90

dy e gjysmë 250% 150

Tabela 2.2: Përqindjet

SHEMBUJ

1. Proporcioni i stafit: Sa është 50% e 660?

50 660

660 330100 2

→ ⋅ = =

2. Sa është 745,867 USD si përqindje e 24,563,654 USD?

$ 745867

100% 3.04%$ 24563654

→ ⋅ ≈

3. Sa është 1.7% e 124,543,324 €?

1.7

124,543,324 € 2,117, 236.51 €100

→ ⋅ =


Shkallët e rritjes:

4. Ju keni 1456 kredi dhe dëshironi të rritni për 4% gjatë muajit të ardhshëm. Sa kredi pritni në fund të muajit?

104

1456 1.04 1456 1514100

→ ⋅ = ⋅ =

5. Sa ishte shkalla e rritjes vitin e kaluar nëse keni filluar me 2,4 milion USD dhe keni përfunduar me 3.1. milion USD?

KUJDES:

Meqë kemi filluar me 2.4 milion USD dhe kjo është rritur në 3.1. milion USD, baza ose ekuivalenti i 100% këtu është 2.4 milion USD 2.4 dhe jo 3.1 milion USD.

(3.1 2.4) 0.7

100% 100% 29%2.4 2.4

−→ ⋅ = ⋅ ≈

6. Arritja e synimit: Në sa përqind e keni arritur synimin tuaj të 543 kredive nëse keni arritur të realizoni 601 kredi?

VËMENDJE:

Këtu tërësia ose 100% është synimi prej 543 kredive.

601100% 110.7%

543→ ⋅ =

Ju keni arritur synimin prej 110.7% ose e keni tejkaluar atë për

10.7%.

Përqindjet gjithashtu luajnë rol në zbritjet me rastin e shitjeve, rabateve, lejimeve, si dhe zbritjeve tjera të ndryshme. Në këso raste, çmimi bruto zvogëlohet për përqindjen e caktuar.

Në rastet tjera, çmimi mund të rritet, për shembull shkalla e interesit për një kredi mund të rritet, çmimi mund të rritet për shkak të rritjes së shpenzimeve (p.sh. çmimi i benzinës) ose rritjes së tatimeve (p.sh. TVSH).

Meqë përqindja nënkupton “një pjesë nga tërësia”, duhet të jemi shumë të kujdesshëm kur e definojmë tërësinë (= njëqindë për qind = 100%). Atë do ta quajmë bazë. Baza në tabelën e mësipërme, në të gjitha rastet ishte 60.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 45

Qartë se së pari mund të njehsohet pjesa p% si përqindje e bazës b dhe i shtohet (ose zbritet) rezultati r tek (nga) baza:

%b p r b r⋅ = → ± .

Megjithatë, mund të kryhen që të dy veprimet përnjëherë:

100% (1 %) (1 )p

b b p b p b± ⋅ = ⋅ ± = ⋅ ± .

Pra, shumëzojmë bazën me faktorin e rritjes (zbritjes):

1001 % 1 pf p= ± = ± .

RRITJA (ZVOGËLIMI) E BAZËS

Në përgjithësi, rritja (zbritja) e bazës b me përqindjen 100

% pp =

nënkupton:

% (1 %)b b p b p b f± ⋅ = ⋅ ± = ⋅ ku 1 %f p= ± është faktori i rritjes

(zbritjes).

Kalkulimit të mësipërm i referohemi si “përqindja e bazës”, të cilat pastaj ose i shtojmë ose i zbresim bazën.

SHEMBUJ

1. Çmimi bazë i një artikulli pa tatim është 50 EUR. Atij i shtohet TVSH prej 19%. Sa do të jetë çmimi i shitjes?

50 (1 0.19) 50 1.19 59.50 EUR⋅ + = ⋅ =

2. Bilanci i depozitës në një llogari është 127 EUR. Atij duhet t’i shtoni interesin prej 5% Sa do të jetë bilanci pasi interesi të jetë kapitalizuar?

127 (1 5%) 127 (1 0.05) 127 1.05 133.35⋅ + = ⋅ + = ⋅ = EUR


3. Nëse paguani për një artikull në kesh do të përfitoni 7% lirim, dhe me këtë rast çmimi prej 247 EUR do të redukohet. Sa do të paguani me këtë rast?

247 (1 7 %) 247 (1 0.07) 247 0.93 229.71 EUR⋅ − = ⋅ − = ⋅ =

Ekziston dallim shumë i vogël por i rëndësishëm në mes të përqindjes së bazës b dhe përqindjes në bazë.

Deri tani, baza jipej dhe ne njehsonim rezultatin final të rritur (zvogëluar). Ne përdornim përqindjen e bazës për të njehsuar vlerën e shtuar (zbritur).

Kur flasim për përqindjen në bazë, ndërrojmë anën e këtij kalkulimi: Fillojmë nga rezultati final (me përqindjen tashmë të përfshirë) dhe provojmë të përcaktojmë bazën.

Kalkulimet e këtij lloji kryhen në baza shumë të rregullta në biznes dhe jo vetëm kur duhet të paraqitet çmimi final por edhe çmimi neto (duke përjashtuar taksën), ose që në fakt është e njëjta gjë – taksa duhet të tregohet e ndarë në faturë.

Le të supozojmë se ju keni blerë një llaptop për biznesin tuaj dhe keni paguar 900 EUR (përfshirë edhe taksën). Le të themi se ju jeni i liruar nga TVSH, kështu që taksa duhet të figurojë në faturë. Sa është taksa (TVSH = 19%) dhe sa është çmimi neto?

Në këtë rast, është dhënë çmimi bruto dhe dëshirojmë të dijmë bazën:

900 (1 %) (1 0.19)b p b b f= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ →

900 900756.30 EUR

1.19b

f= = =

Taksa 900 756.30 143.70t = − = , mund të njehsohen si vijon:

756.30 0.19 143.70b f⋅ = ⋅ = EUR

PËRQINDJA NË BAZË

Për të njehsuar bazën b nga rezultati final r (përfshihet edhe përqindja e pjesës p) duhet të pjesëtojmë rezultatin me faktorin e rritjes:

(1 %)

r rb

p f= =

+

2 . 1 N u m r a t F a q e | 47

Saktësisht të njëjtat njehsime duhet të kryhen nëse dihet çmimi final i një artikulli (i reduktuar për p%) dhe jemi të interesuar për çmimin e pareduktuar.

SHEMBUJ

1. Supozojmë se reduktimi ishte 15%, duke e sjell çmimin në 32.98 EUR . Sa ishte çmimi fillestar op ?

32.98

38.801 % 0.85o

r rp

p f= = = =

− EUR

2. Ju keni blerë një veturë për 3000 EUR. Sa është TVSH (19%)?

3000

2521.001.19

b = =

Megjithatë, ky është çmimi para tatimit. Tatimi TVSH është ndryshimi:

3000 2521 479 2521 0.19b t− = = ⋅ = ⋅ EUR

Deri tani kemi mësuar se sa është e rëndësishme të jemi të vëmendshëm për bazën. Kjo bëhet edhe më e qartë nëse shqyrtojmë dy shembujtë vijues.

SHEMBUJ

1. TVSH është rritur në Gjermani para dy viteve nga 16% në 19%. Para rritjes çmimi i një frigoriferi ishte 500 EUR. Sa ishte çmimi pas rritjes?

Mbase ndokush mund të mendojë se çmimi është rritur për 3%, kështu që çmimi i ri do të jetë:

500 500 3% 515+ ⋅ = EUR

Megjithatë, kjo nuk është korrekte, sepse kemi të bëjmë me ndërrim të bazës.

Le të kryejmë njehsimet në dy hapa.


Hapi 1: Çmimi neto (pa TVSH) do të jetë:

500

431.031.16

n = = EUR

Hapi 2: TVSH prej 19% e rrit çmimin bruto në:

431.03 (1 0.19) 512.93 EURg = ⋅ + =

Vërejmë se çmimi në masë të konsiderueshme është më i vogël se çmimi që morrëm në fillim.

2. Për një palë këpucë që kushtojnë 100 EUR ofrohet zbritja prej 20%. Si pjesë e një oferte speciale, do të ketë edhe një zbritje prej 5%. Sa duhet të paguhet për këpucët?

Reagimi i parë mund të jetë se duhet mbledhur 20% dhe 5%, pra të merret 25% lirim dhe kështu të paguhet 75 EUR.

Megjithatë, sërish kemi ndryshuar bazën dhe kështu e kemi arritur tek çmimi jo i saktë.

Hapi 1: Zbritja e çmimit:

100 100 20% 100 (1 0.2) 100 0.8 80 EUR− ⋅ = ⋅ − = ⋅ =

Hapi 2: Oferta Speciale:

80 (1 0.05) 80 0.95 76⋅ − = ⋅ = EUR

Kështu në këtë rast, çmimi i saktë është për pak më i lartë se çmimi të cilin e menduam në fillim.

PËRQINDJET E SHUMËFISHTA

Nëse njehsojmë përqindje të shumëfishta, në mënyrë të njëpasnjëshme duhet të shumëzojmë me faktorin e rritjes (zvogëlimit). Nëse së pari kemi ndryshimin (1 % )p± dhe pastaj ndryshimin prej (1 %)q± atëherë

ndryshimi përfundimtar është:

(1 %) (1 %)p q± ⋅ +

Fjala “ndryshim” qëndron për rritje ose zbritje, varësisht nga shenja. Dhe “shumëzimi” duhet të shndërrohet në “pjesëtim” varësisht nga baza.

2 . 1 N u m r a t F a q e | 49

SHEMBUJ

Në dy shembujtë paraprak ndryshimet e përgjithshme janë:

1. Faktori i ndryshimit të përgjithshëm ishte:

1 19% 1.191.0259

1 16% 1.16t

+= = =

+

Si rrjedhim çmimi i ri është çmimi paraprak shumëzuar për faktorin e rritjes:

500 500 1.0259 512.93 EURg t= ⋅ = ⋅ =

2. Zbritja e përgjithshme është:

(1 0.2) (1 0.05) 0.8 0.95 0.76r = − ⋅ − = ⋅ =

Kështu pra çmimi përfundimtar është:

100 0.76 76s = ⋅ = EUR


Mbani mend se proporcionet të shprehura në përqindje shumëzohen me 100:

� 10 nga 100 0.1%≠

� 25 nga 50 0.5%≠

Duhet të jeni të kujdesshëm me presjen dhjetore

� 10 nga 100 1%≠

� 25 nga 50 5%≠

� 10 nga 1000 10%≠

� 2 nga 20 1%≠


USHTRIMI 2.1.3: PËRQINDJET



1. Njehsoni proporcionet në përqindje dhe jepni një shembull nga jeta e përditshme në të cilën mund të hasni këtë marrëdhënie:

a) 15 nga 200

b) 30 nga 50

c) 17 nga 800

d) 120,304 nga 4,587,346

e) 1,345 e 1,230

f) 17 nga 35

g) 2,017 nga 2,100

2. Njehsoni vlerën që i korrespondon përqindjeve të dhëna:

a) 22% e 1,800

b) 2.7% e 3,056,974 USD

c) 75% e 700

d) 0.5% e 999

e) 1.7% e 23 milionë USD

f) 30% e 135 milionë EUR

g) 107% e 10,800

3. Njehsoni çmimin e ri nëse çmimet paraprake kanë ndryshuar sipas përqindjeve vijuese:

a) 34 EUR rritur për 7%

b) 34 EUR zbritur për 5%

c) 97 EUR e rritur për 8% dhe pastaj për 2%

2 . 1 N u m r a t F a q e | 51

d) 1.42 EUR rritur për 5% dhe pastaj zbritur për 7%

4. Pas rritjes (zbritjes) së çmimit, disa produkte janë shtrenjtuar (liruar) në raport me çmimin e dhënë. Njehsoni përqindjen e rritjes (zbritjes):

a) 46 EUR → 42.40 EUR

b) 1.42 EUR → 1.47 EUR

c) 12.98 EUR → 12.36 EUR

d) 144.20 EUR → 142.80 EUR

5. Sa është përqindja e përgjithshme e rritjes (zbritjes) kur çmimi prej …

a) 57 EUR është zbritur prej 7% dhe pastaj është rritur për 2%?

b) 65 EUR është rritur për 7% dhe pastaj është rritur për 5%?

c) 37.50 EUR është rritur tre herë për 3%?

d) 22.10 EUR është zbritur për 4% dhe pastaj është rritur për 8% dhe pastaj është zbritur për 4%?

6. Në secilin nga rastet vijuese, çmimi ka ndryshuar disa herë, duke rezultuar në çmimin përfundimtar. Sa ishte çmimi fillestar?

a) Çmimi u rrit për 6% dhe pastaj u zbrit për 3%, duke rezultuar kështu në çmimin prej 44.30 EUR.

b) U zbrit dy herë për 4% dhe pastaj u rrit për 6%, duke rezultuar në çmim prej 23.56 EUR.

c) Çmimi i një litri benzinë ndryshoi gjatë javëve të kaluara si vijon: + 3%, +5%, +6%, pastaj -4%. Tani kushton: 1.47 EUR. Sa ishte çmimi para një jave?


REZULTATET 2.1.3: PËRQINDJET

1. a) 7.5% Shembull: numri i bankave në një vend që ofrojnë mikro kredi.

b) 60% Shembull: numri i femrave pjesëmarrëse në një seminar.

c) 2.13% Shembull: numri i huamarrësve në një degë që kanë vonesa në pagesa.

d) 2.62% Shembull: numri i njerëzve mbi moshën 80 vjeçare në raport me tërë popullatën e një vendi të vogël.

e) 109.35% Shembull: numri i studentëve që regjistrohen në studime parauniversitare pas zgjerimit të infrastrukturës së universitetit në krahasim me regjistrimet para zgjerimit.

f) 48.57% Shembull: përqindja e aeroporteve në një vend që merren me shërbime ajrore ndërkombëtare.

g) 96.05% Shembull: mesatarja mujore e shtretërve të nxënë për një hotel.

2. a) 396 b) 82,538.23 USD c) 525

d) 4.995 e) 391,000 USD

f) 40.5 milionë EUR g) 11,556

3. a) 36.38 EUR b) 32.30 EUR

c) 106.86 EUR d) 1.39 EUR

4. a) 7.83% b) 3.52% c) 4.78%

d) 0.971%

2 . 1 N u m r a t F a q e | 53

5. a) 5.14% zbritje b) 12.35% rritje

c) 9.27% rritje d) 0.47% zbritje

6. a) 43.09 EUR b) 24.12 EUR

c) 1.34 EUR


2.1.4 Testi i Progresit për “Numrat”

Ju duhet t’i caktoni vetes suaj pak kohë, për një punë të koncentruar në këtë test. Provoni të zgjidhni sa më shumë detyra. Mos e përdorni përmbledhjen për të shikuar zgjidhjen. Qëllimi i këtij testi është që të merren informata se sa dini ose sa keni mësuar deri tani.

Në fund të kapitullit tjetër gjenden zgjidhjet e detyrave. Çdo zgjidhje ka vetëm rezultatin përfundimtar; madje mund të jetë vetëm një numër, simbol, tabelë ose grafik. Ju duhet të kontrolloni zgjidhjet tuaja. Nëse ato janë të sakta, ju mund të filloni kapitullin vijues. Në çdo rast tjetër (kur ju keni rezultate të pasakta, ose nuk keni fare rezultate) duhet t’i riktheheni seksionit përkatës në përmbledhje të cilin duhet ta përsëritni për të plotësuar zbraztësinë.

1. Paraqitni disa shembuj për:

a) Numrat e plotë:

b) Numrat racional:

c) Numrat iracional:

d) Numrat realë:

2. Lirohuni nga kllapat dhe njehsoni vlerën e shprehjes:

a) [ ] ( ){ } ( )2 2 6 7 3 8 ( 3) 2 2 4 5 3⋅ − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ =

b) [ ]{ }( )(4 7) 3 4 5 3 4 3 2 4 − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

3. Njehsoni vlerën e shprehjes dhe paraqitni rezultatin në formë të thyesës dhe numrit dhjetor:

a) 3 5 5 14 3 12 6+ − − = b)

62 27 5 5

6 27 7

4 3

22

− ++ =

+

c) 2 1 43 2 3

3 32 4

4

4 2

+− + =

+

2 . 1 N u m r a t F a q e | 55

4. Thjeshtoni thyesat sa më shumë që të jetë e mundur:

a) 2 5 3 3 7 11

5 7 3 11

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

b) 32200

26600

5. Caktoni emëruesin më të vogël të përbashkët:

a) 23 , 3

8 , 4

7 , 516

dhe 114

:

b) 13

2 3 7 11⋅ ⋅ ⋅ dhe

16

3 21 7 5⋅ ⋅ ⋅:

6. Përcaktoni nëse shprehjet vijuese janë pozitive apo negative:

a) 1 2 1 112 3 2 3

3 34 17 5 8 5

2 3 5

1

− −+

− +

b) 7 20

23 63−

7. Çmimi i benzinës ndryshoi shumë. Gjatë muajit të fundit u regjistruan këto pesë ndryshime:

i. Rritje për 6%,

ii. Rritje për 4%,

iii. Zbritje për 6%,

iv. Rritje për 8%,

v. Zbritje për 5%.

Sa ishte çmimi i një litri benzinë një muaj më parë, nëse sot çmimi është 1.23 EUR?


8. Më 1 Janar 2007 shkalla nominale e interesit në ProCredit ishte 14% në vit. Në atë kohë bilanci në llogarinë tuaj ishte 357.43 EUR. Katër muaj më vonë shkalla e interesit u rrit në 18%. Pas tre muajsh ajo u zvogëlua për 10%.

Interesi është i thjesht, pra tërë interesi shtohet në llogari në fund të vitit.

a) Sa ishte bilanci më 1 Janar 2008?

b) Sa ishte shkalla efektive e interesit në vitin 2008 në këtë llogari?

Udhëzim: Para njehsimit, vëreni se ndryshimet në mes “…në 18%” dhe “…për 10%”

2 . 2 E k s p o n e n t ë t

2.2 Eksponentët

Paranjohuritë: Duhen njohur veprimet me numranjësinë 2.1.

Qëllimet e mësimit: Eksponentët ((variablat) kur numri (vaveten. Në fillim, është prezentuar një hyrje e shkurtë e shënimeve të përdorurëndësishme. paraqitet nevoja që koncepti i ekspozgjerohet tek numrat racional. Kjo muinterpretohet si invers i eksponentëve me numra të plotë, dhe që është arsyeja pse në matematikë janë


2.1 Numrat

Numrat & veprimet


Përqindjet

2.2 Eksponentët



Rrënjët

F a q e | 57

Duhen njohur veprimet me numra, të përfshira në

Eksponentët (Fuqitë) paraqiten tek numrat (variablat) kur numri (variabla) shumëzohet me veten. Në fillim, është prezentuar një hyrje e shkurtë e shënimeve të përdorura që ka dëshmuar të jetë e rëndësishme. Kështu, në mënyrë të natyrshme paraqitet nevoja që koncepti i eksponentëve të zgjerohet tek numrat racional. Kjo mund të interpretohet si invers i eksponentëve me numra të

dhe që është arsyeja pse në matematikë janë


2.2 Eksponentët



Rrënjët

2.3 Shprehjet

Shprehjet e plota

Shprehjet thyesore


prezentuar si nocione ekuivalente të ashtuquajturat rrënjët.

Meqë ky veprim paraqet hapin themelor të llogaritjeve kur kemi të bëjmë me njehsimin e interesit, kthimin e interesit në kapital, konkludojmë se veprimet me eksponentë shihen si fundamentale në matematikën financiare.

Në vitet e para të shkollës, mësojmë se si të zbatojmë sistemin tonë numerik. Intuitivisht fillojmë me sistemin dhjetor, për të cilin folëm në seksionin paraprak. Quhet sistem dhjetor sepse bazohet në fuqitë e numrit 10. Mbase numri 10 është zgjedhur për shkak të faktit se kemi 10 gishta, të cilët me siguri ishin mjeti i parë ndihmës me të cilin u shërbyen qeniet njerëzore për të kryer llogaritje. Kështu themi se duartë tona, shërbyen si abakusi ynë i parë, mbase edhe si kalkulatori i parë i xhepit.

Le t’i hedhim edhe një sy tjetër sistemit tonë të numrave. Pothuajse pa menduar, ne mund të interpretojmë numrin 2860 si:

2 1000 8 100 6 10 0 1 2 10 10 10 8 10 10 6 10 0 1× + × + × + × = × ⋅ ⋅ + × ⋅ + × + ×

Me fjalë të tjera, meqë ne shkruajmë çdo numër në secilën pozitë, për të theksuar shumëfishin e numrit 10, baza e sistemit tonë numerik, dhe mbi të gjitha, sepse gjithkush është pajtuar që kjo të jetë konventa jonë, mund të shmangemi nga rreshti i detalizuar dhe i komplikaur dhe të shkruajmë 2860. Këtë mund ta bëjmë meqë tashmë janë krijuar mjaft simbole për të plotësuar zbrastësinë në mes të çfarëdo dy shumëfishëve të bazës. Për këtë qëllim në sistemin dhjetor nevojiten saktësisht dhjetë simbole, pikërisht dhjetë shifrat me të cilat jemi të gjithë të njohur:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Çdo numër tjetër mund të paraqitet si shumëfish i bazës.

Tani mund të spekulojmë se a thua do të ishte zhvilluar ndonjë sistem tjetër numerik nëse njerëzit nuk do të kishin 10 por 8 gishta, ose mbase 16 gishta.

Në bazën 8 ose në sistemin oktal nevojiten vetëm 8 simbole, pra mund të veprojmë vetëm me shifrat:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2 . 2 E k s p o n e n t ë t F a q e | 59

Rrjedhë se në sistemin me bazë 16, të njohur si sistemi heksadecimal, nevojiten 16 simbole. Meqë ky sistem gjen zbatim në apekte të ndryshme të teknologjisë informative, është arritur marrëveshja që të përdoren numrat nga 0 deri 9 dhe 6 shkronjat e para të alfabetit (të gjuhës angleze):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Me fjalë të tjera, në sistemin heksadecimal kemi:

A = 10, B = 11, C = 12 etj.

Vëmendja filloi të fokusohet në sisteme të ndryshme numeriku, kryesisht për shkak të faktit se zbuluesit e kompjuterëve realizuan se mekanizmi i kalkulimeve në një kompjuter mund të bazohet vetëm në dy gjendje: “rrymë” ose “jo rrymë”, “magnetizuar” ose “jo i magnetizuar”. Kështu e tërë logjika e kalkulimeve duhej të ndërtohej duke u bazuar në sistemin me bazë 2 ose sistemin binar, i cili ka nevojë vetëm për dy simbole.

Në sistemin binar janë vetëm dy shifra:

0 dhe 1

Le të shohim numrin 2680 në sisteme të ndryshme numerike?

Dhjetor 2860 5 512 4 64 5 8 4 1= × + × + × + × → 5454 oktal

Dhjetor 2860 11 256 2 16 12 1= × + × + × → B2C heksadecimal

Dhjetor 2860 1 2048 1 512 1 256 1 32 1 8 1 4= × + × + × + × + × + ×

→ 101100101100 binar

Saktësisht si edhe në sistemin dhjetor me të cilin jemi të njohur, shumëfishët e bazës shumëzohen me faktor të përshtatshëm dhe mblidhen. Duke pozicionuar faktorët në atë mënyrë që ata t’i korrespondojnë saktësisht shumëfishëve, është e mundur të shkruajmë numrat në mënyrë shumë më të shkurtë se sa të shkruhet e tërë shuma.

Ideja bazë është të paraqitet marrëdhënia sistematike në mes të shumëfishëve dhe bazës në formë të përshtatshme. Për këtë qëllim, matematikani dhe filozofi Frances René Descartes (1595 – 1650; për nder të Descartes sistemi koordinativ kënddrejtë njihet si “sistemi koordinativ Kartezian”) prezentoi një lloj të shënuari, në të cilin shumëfishët e bazës shënohen mbi indeksë dhe quhen “eksponentë” (ose ndonjëherë edhe “indeks”).


Shënimi përkatës quhet shënim eksponencial. Paraqitja e tij paraqet për ne detyrë, që rregullat e njohura të llogaritjeve algjebrike t’i transformojmë në atë mënyrë që të mos paraqiten kontradiksione. Në vijim do të merremi me rregullat e njehsimeve që aplikohen kur formulat ose shprehjet përmbajnë indeksa.

2.2.1 Eksponentët e plotë

Nëse një numër e shumëzojmë me veten disa herë mund të shkruajmë: 54 4 4 4 4 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ose ...x x x⋅ ⋅ ⋅ (n herë) nx=

Faktori që përsëritet (4 ose x, përkatësisht) quhet baza kurse numri i përsëritjeve (5 ose n) quhet eksponenti (fuqia, treguesi) . Lexohet: "4 në fuqinë 5" ose "x në fuqinë n". Baza mund të jetë çfarëdo numri real, kurse eksponenti në këtë kapitull do të jetë numër i plotë.

PËRKUFIZIMI I EKSPONENTËVE TË PLOTË

Për numrin real x dhe numrin e plotë pozitiv n përkufizojmë:

...nx x x x= ⋅ ⋅ ⋅ (n herë faktor i x)

Numri x quhet baza; numri i përsëritjeve quhet eksponent. Veprimi quhet “x në fuqinë n”.

Për n = 0 dhe 0x ≠ vlen:

0 1x =

( 00 nuk është i përkufizuar dhe quhet shprehje e pacaktuar)

SHEMBUJ

1. 52 2 2 2 2 2 32= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2. 03 1=

3. 2(1.5) 1.5 1.5 2.25= ⋅ =

4. 0( 4) 1− =


Kjo nënkupton se numri në mënyrë të përsëritur shumëzohet me bazën. Veprimi invers i shumëzimit është pjesëtimi. D.m.th., për të pjesëtuar një numër me eksponentë një herë e zvogëlojmë eksponentin për 1. Kështu pjesëtimet e njëpasnjëshme mund t’i paraqesim me eksponentët negativ.

PËRKUFIZIMI I EKSPONENTËVE TË PLOTË NEGATIV

Nëse eksponenti është negativ numri 1 në mënyrë të përsëritur pjesëtohet me bazën; merret:

1n

nx

x

− =

0 n− nuk është i përkufizuar. SHEMBUJ

1. 3

3

1 12 0.125

82

− = = =

2. 33

1 1 1 1( 3)

( 3) ( 3) ( 3) 27 27( 3)

−− = = = = −− ⋅ − ⋅ − −−

3. 22

1 1 1( 1.5)

( 1.5) ( 1.5) 2.25( 1.5)

−− = = =− ⋅ −−

PËRDORIMI I KLLAPAVE

Në mënyrë që të zgjerohet efekti i eksponentëve duhet përdorur kllapat:

( )n n na b a b⋅ = ⋅


SHEMBUJ

1. 22 3 2 9 18⋅ = ⋅ =

2. 2 2(2 3) 6 36⋅ = =

3. 22 3 4 3 12⋅ = ⋅ =

NJEHSIMI I SHPREHJEVE ME EKSPONENTË

Nëse detyra përmban shprehje të ndryshme algjebrike me shumëzimin (pjesëtimin) dhe mbledhjen (zbritjen) vargu i veprimeve është:

1. Njehsojmë shprehjet brenda kllapave nga brenda – jashtë

2. Njehsojmë eksponentët

3. Kryejmë shumëzimet (pjesëtimet)

4. Kryejmë mbledhjet (zbritjet)

SHEMBUJ

2 3 2(3 4 7) 4 2 3 4⋅ − + ⋅ − ⋅

Hapat 2(3 4 7)⋅ − 34 2+ ⋅ 23 4− ⋅ Komentet

1 (3 4 7) 5⋅ − = Kryejmë veprimet brenda kllapave

2 25 25= 32 8= 24 16= Eksponentët

3 4 8 32⋅ =

3 16 48⋅ = Shumëzimet

4 25 32 48 9+ − = Rezultati.

Tabela 2.3:Njehsimi i shprehjeve


Ky është një shembull ku përdoren tre eksponentë:

3232 ( 1) 1 4 100

⋅ − − − −

Kujtojmë se veprimet me kllapa duhen kryer në drejtimin nga brenda-jashtë!

Hapat 3232 ( 1) 1 4 100

⋅ − − − − Komentet

1 3( 1) 1− = − Kllapa e brendshme

2 2 ( 1) 1 3⋅ − − = − Shumëzimi dhe zbritja

3 2[ 3] 9− = Kllapa e dytë

4 {9 4} 5− = Kllapa e tretë

5 35 125= Eksponentët

6 125 100 25− = Rezultati pas zbritjes

Tabela 2.4:Veprimet me kllapa

Përveç rregullave të mësipërme të cilat pak a shumë paraqesin vargun elementar të njehsimeve algjebrike, ekzistojnë edhe disa veti të eksponentëve që vlen për t’u mbajtur në mend.


VETITË E EKSPONENTËVE TË PLOTË

Le të jenë x , y numra realë, dhe n, m numra të plotë.

• m n m nx x x +⋅ =

• m

m n

n

xx

x

−=

• ( )nm m nx x ⋅=

• ( )m m mx y x y⋅ = ⋅

• m m

m

x x

y y

=

për 0y ≠

SHEMBUJ

1. 3 4 3 4 72 2 2 2+⋅ = =

2. 5 4 5 4 13 3 3 3 3− −⋅ = = =

3. 3 3 3 3 04 4 4 4 1− −⋅ = = =

Nga shembulli i fundit mund të konkludojmë se meqë 3 34 4 1−⋅ = →

33

14

4

− = shprehja 34− duhet të jetë elementi invers in 34 dhe

anasjelltas.

4. 4

4 33

33 3

xx x

x

−= =

5. 5 2

5 2 3 43

2 1 1

2 24

x xx x

x

+ −⋅= =

6. ( )32 2 3 63 3 3⋅= =

7. ( )3 3mmx x=


8. ( )2 3 2 33 3m

m m ma b a b⋅ = ⋅ ⋅

9. 5

5 ( 3) 5 3 23 2

1xx x x

x x

−− − − − + −

−= = = =

10. 1 1(2 )

2x

x

− = krahasuar me 1 22x

x

− = !

VETITË E EKSPONENTËVE TË PLOTË NEGATIV

Le të jenë x dhe y numra realë, dhe n , m numra të plotë.

• 1 1m m

m mx x

x x

−−

= → = për 0x ≠

• 1m m

m

x y

y xx

y

− = =

për , 0x y ≠

•

1

1

m nm

n m

n

x yx

y x

y

−

−= = për , 0x y ≠

SHEMBUJ

1.

23 6 10

5 10 6

7 7 8

8 8 7

− −

−

= =

2. 4

3 2 2 2 6 46

4(2 ) 2

yx y x y

x

− −⋅ = ⋅ ⋅ =

3.

32 6 6 6 6

2 3 6

( )

8 82 2

a a a b a b

b b− −

⋅ ⋅= = = ⋅

4. 8

8 ( 5) 35 3

7 7 7 7

4 44 4

xx x

x x

−− − − −

−= = =


5. ( )3 3 34 3 4 3 32 6

2 5 2 5 3

a a a aa a

a a a a

− −− −

− − +

⋅ = = = = ⋅

Të gjitha formulat vlejnë nëse shumat ose shprehje të tjera e formojnë bazën.

6. 3

3 22

( )( )

( )

a ba b a b

a b

−+= + = +

+

7. 2 4 4 3

3 3 3 2

( 2) ( 1) ( 1) 1

3( 2)3( 2) ( 1) 3( 2)

x x x x

xx x x

−

−

+ ⋅ − − −= =

++ ⋅ − +

8.

32 2 3

3

1 ( 1)

2 ( 2)

x x

x x

− −= + +


• Vetitë e eksponentëve të plotë

� 2 2 2(3 2) 3 2+ ≠ + � 3 4 122 2 2⋅ ≠

� 3 32 2− ≠ − �

4 42 3 6⋅ ≠

� 34 4 4 4≠ + + �

3 2 52 5 10⋅ ≠

� ( ) 332 (2 ) 85 5 5≠ =

• Eksponentët negativ

� 3 32 ( 2)− ≠ −

• Baza negative

� 2( 2) 4− ≠ − � 3( 2) 8− ≠


USHTRIMI 2.2.1: EKSPONENTËT E PLOTË



1. Zbatoni shënimin eksponencial në shprehjet vijuese:

a) 2 2 2 3 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b) 3 3 34 4 4⋅ ⋅ c)

(2 ) (2 ) (2 )(2 )

(3 ) (3 )

a a aa

b b

⋅ ⋅⋅

⋅

d) x y z x y

x y z

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

e) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2 )x x x x− ⋅ − ⋅ − ⋅

f) 1 1 2 1

2 (2)2 2 1 2

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − g)

2

2

17 17

17−⋅

2. Të thjeshtohen shprehjet vijuese, ashtu që të ketë vetëm eksponentë jonegativ:

a) 2 43 3⋅ b) 3 32 3⋅ c) 5

3

4

4

d) 2( 4)−− e) 5 5a a−⋅ f) 2 2 3(3 ) (3 )a a a⋅ ⋅

g) 2(2 )x y −⋅ h)

12 3

4 2

a b

a b

−

−

⋅ ⋅

i) 4

3

2

x

−

j) ( ) 32 22x y−−⋅ k)

32 3

3 2

a b

c d

−

−

⋅ ⋅

l) 16 8 14

12 4 3

2 2 2

2 2 2

−

−

⋅ ⋅

⋅ ⋅


m) 4 3 6

3 3 2

3 2

(2 ) (3 )

x x

x x

⋅ ⋅

⋅ n) 2 5

1

a b− −⋅ o)

53 2

5 32

a b

a b

−

−

⋅ ⋅

p)

34

2

x

x

−−

−

q) 2 3 2

4 3

( )

( )

a b

a b

− −

−

⋅

⋅ r) 0(4 )x

s)

232

3

x

y

−

t) 3

2

27

(3 )

x

x

−

u) 4

2

8 10

2 10−⋅

⋅

v) 0,0004

0,0000002 w)

1

100 x) 1.000.000

3. Të thjeshtohen shprehjet vijuese, ashtu që të mos ketë thyesa

(shembull: 2

2 33

xx y

y

−= ⋅ ):

a) 2 3

5

(2 )

4

c

c b)

2 3

3 2

10

5

x y

x y

− ⋅

⋅ c)

1

2

x

y

−

−

d)

23 2

4 2

a b

b a

− ⋅ ⋅

e)

23 2

1

2

2

x y

x y

−−

−

⋅ ⋅

f) 2 3 2

2 3

( )

( )

x y

y x

− −

−

⋅

⋅

g)

122

2 3

a b

a b

−−− ⋅ ⋅

h)

22 1 3 2 2

2 2 2 3 2

36 (2 )

(3 ) 2

x y x y

x y x y

− − − −

− − −

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅


REZULTATET 2.2.1: EKSPONENTËT E PLOTË

1. a) 3 22 3⋅ b) ( )334

c) ( )

222

3

a

b

d) x y⋅ e) 3( 2 ) (2 )x x− ⋅ f) 3 312

( ) (2)⋅ g) 517

2. a) 63 b) 36 c) 24

d) ( )2

1

4− e) 1 f) 3 73 a

g) 2

1

(2 )x y⋅ h)

6

1

a b

⋅ i)

43

2

x

j)

32

22

y

x

k)

33

2

( )

( )

c b

a d

⋅ ⋅

l) 1

2

m) 1

3x n) 2 5a b⋅ o)

58

52

a

b

p) 6x q) 8 3a b⋅ r) 1

s) 6

3

2

y

x

t) 5

3

x u) 64 10⋅

v) 32 10⋅ w) 210− x) 610

3. a) 2c b) 12x y−− ⋅ c) 1 2x y− ⋅

d) 2 4a b− ⋅ e) 8 6x y−⋅ f) 2 3x y⋅

g) 2 10a b− −⋅ h) 5 22 x−


2.2.2 Eksponentët Thyesorë

Në seksionin e fundit kemi mësuar veprimet me eksponentë të plotë. Shtrohet pyetja: A ka kuptim të flitet për eksponentët jo të plotë, për shembull për eksponentët thyesor (racional)?

Kujtojmë formulën:

( )m p m px x ⋅= .

Formula e mësipërme jepte rezultatin kur shprehja eksponenciale mx ngritej në fuqinë p: Ne thjeshtë e shumëzonim eksponentin me p.

Nëse supozojmë se eksponenti është racional, merret:

1mn n

m

x x

= .

Nëse zëvendësojmë n=m formula do të bëhet:

1mm m

m

x x x

= = .

Për m = 2 rezultati do të jetë:

12

2

x x =

RRËNJA KATRORE

Me fjalë të tjera: 12x është numri i cili kur të ngritet në katror e jep x.

Numri me këtë veti në përgjithësi njihet si rrënja katrore e x.

Ky rezultat mund të na habitë sepse ne jemi të mësuar me një paraqitje tjetër të rrënjës katrore, e që është:

12x x= .

Që të dy format, ajo me rrënjë në anën e majtë dhe forma eksponenciale në anën e djathtë janë ekuivalente. Ne së pari do të diskutojmë


eksponentët racional në kuadër të konceptit të eksponentëve në tërësi dhe pastaj për formën ekuivalente – formën me rrënjë. Diskutimi ynë do të jetë i kufizuar tek rrënjët e numrave realë.

PËRKUFIZIMI I RRËNJËS SË N-TË THEMELORE

Për numrat realë x, y dhe numrin natyror n le të jetë:

ny x=

1ny x= quhet rrënja e n-të themelore e x-it.

Pse ky rezultat quhet rrënja themelore? Përgjigjen e marrin duke kërkuar t’i përgjigjemi pyetjes tjetër: Sa rrënjë katrore të 4 ekzistojnë? Kjo nënkuptonë se në po kërkojmë numra, katrori të cilëve është 4. Ekzistojnë dy numra të tillë: 2 dhe −2.

Ata paraqesin zgjidhje të ekuacionit:

2 4x = → 1/2 2x = ±

Megjithatë, ekuacioni vijues nuk ka zgjidhje reale:

2 4x =−

Ekzistonë vetëm një zgjidhje për:

3 27x = → 3x =

Dhe gjithashtu ekzistonë vetëm një zgjidhje për:

3 27x = − → 3x = −

Katër shembujtë e mësipërmë mund të gjeneralizohen si në vijim.


NUMRI I RRËNJËVE

Nëse n është çift (pra 2, 4, 6, …) ekzistojnë dy rrënjë të n-ta të numrit real pozitiv x:

1nx±

Nëse n është çift dhe x është numër real negativ, nuk ka asnjë rrënjë reale.

Nëse n është tek (pra 3, 5, 7, …) ekziston vetëm një rrënjë e n-të e numrit real pozitiv x:

1nx+

Nëse n është tek ekziston një rrënjë e n-të e numrit real negativ x:

1nx−

SHEMBUJ

1. 2

1/216 4x x= → =±

2. 4

1/216 2x x= → =±

3. 3 125 5x x= → =

4. 3 64 4x x= − → = −

5. 3 64 4x x= → =

6. 2 25x = − → Nuk ka zgjidhje reale!

7. 4 16x = − → Nuk ka zgjidhje reale!

8. 5 32 2x x= − → = −

Duket pak irituese që ndonjëherë kemi një zgjidhje, e ndonjëherë dy

zgjidhje për një ekuacion të tillë të thjesht si nx a= . Kështu, matematikanët kanë përkufizuar rezultatin vijues. Ata e quajnë atë rrënja themelore e ekuacionit të mësipërmë.


RRËNJA THEMELORE

Të përkufizohet 1nx si rrënja e n-të themelore nënkuptonë se ekziston

vetëm një e tillë e që është:

• rrënja pozitive kur n është çift dhe x është numër real pozitiv

• rrënja pozitive kur n është tek dhe x është numër real pozitiv

• rrënja negative kur n është tek dhe x është numër real negativ

• zero, kur x = 0

SHEMBUJ

1. 122 16 16 4x = → =

2. 144 16 16 2x = → =

3. 133 125 125 5x = → =

4. ( )133 64 64 4x = − → − = −

5. 133 64 64 4x = → =

6. 122 25 ( 25) x = − → − nuk ekziston!

7. 144 16 ( 16) x = − → − nuk ekziston!

8. 155 32 ( 32) 2x = − → − = −

Si do të përkufizohet simboli 235 ? Nëse vetitë e eksponentëve vlejnë për

eksponentët racional atëherë 2 13 3

2

5 5 =

; që d.m.th. se 235 duhet të

paraqes katrorin e rrënjës së tretë të 5. Të përgjithësuarit e këtij vëzhgimi sjell deri tek përkufizimi i përgjithshëm i eksponentëve thyesor.


RREGULLAT E NJEHSIMEVE ME EKSPONENTË THYESORË

Nëse m dhe n janë numra natyrorë dhe x është numër real (i cili nuk duhet të jetë negativ për n çift), atëherë vlen:

• ( )11mnn n

mmx x x

= = dhe

•

1

1

1 1 1 nmn

mn n

m

mx

xx x

−

= = =

SHEMBUJ

Të thjeshtohen shprehjet dhe rezultatet të paraqiten me eksponentë pozitiv. Të gjitha shkronjat paraqesin numra realë pozitiv.

1. 2 13 3

228 8 2 4 = = =

or ( )

12 133 328 8 64 4= = =

2. 5 13 3

55( 8) ( 8) ( 2) 32 − = − = − = −

3. 2 3 51 1 11

3 3 2 6 623 2 6 6 6x x x x x++ ⋅ = = =

4.

13

1 1 1 3 2 11 12 3 3 62 2 6

4 4 4 4 4x

x x x x xx−− −

= = = = ⋅



Vetitë e eksponentëve thyesorë

� 2 2 23

3

4 44

3 4≠ ≠

� 1416 4≠

�

13

3

1x

x≠

� 13 38 8−≠

� ( )1224 4x x⋅ ≠ ⋅

Eksponentët negativ thyesorë

� 1 13 34 ( 4)− ≠ −

� 13

3

14

4

−≠


USHTRIMI 2.2.2: EKSPONENTËT THYESORË



1. Njehsoni nëse është e mundur:

a) 138 b)

13( 8)− c)

138−

d) 16( 64)− e)

1 12 264 36⋅ f)

12

12

64

16

g) 1 15 52 16⋅ h)

523 68 64⋅

2. Thjeshtoni shprehjet duke përdorur vetitë e eksponentëve:

a) 124 b) 7 5(3 ) (2 )a a−⋅ c) 5 5x x−⋅

d) 1532 e)

7 23 51 2( )a b a b

−− ⋅ ⋅ ⋅

f) 35( 32)

−− g)

4 13 3x x x

−⋅ ⋅ h)

45

15

x

x−

i) 142 4( )a b⋅ j)

23

5

a

b

−

k)

122 4

2 2

a b

a b

−

−

⋅ ⋅

l) 2( )a b −+ m) 1

16

4

16

n) 196(125 )


o) 12 8

6 5

10 10

10 10

−

−

⋅

⋅ p)

4 15 5

2 15 5

x x

x x

−

−

⋅

⋅

3. Të rregullohen shprehjet ashtu që të kemi paraqitje vetëm të eksponentëve pozitiv:

a) 2 13 2a b

−⋅ b)

13

2

x−

−

c)

142

3

x

y

−

d) 163 3(8 )x y−⋅ e)

122

4

4a

b

−−

−

f) 1 13 3

2

x y−

− − ⋅

g)

142

3

x

y

−

−

h)

16

56

3 38x y

x

− −

−

⋅


REZULTATET 2.2.2: EKSPONENTËT THYESORË

1. a) 2 b) 2− c) 2−

d) 1664− → nuk ka zgjidhje e) 48 f) 2

g) 2 h) 72

2. a) 2 b) 26a c) 1 d) 2

e) 8 63 5a b⋅ f)

1

8− g) 1 h) x

i) 12a b⋅ j)

25

3

b

a

k) 2

3

a

b l)

2

1

( )a b+

m) 2 n) 25 o) 310 p) 45x

3. a)

23

12

a

b

b) 23x c)

14

2 3

1

x y

⋅

d)

163

3

8x

y

e) 22

a

b f) ( )

23x y⋅

g)

143

2

y

x

h)

16

136 3

8

x y

⋅


2.2.3 RRËNJËT

Më parë kemi paraqitur eksponentët racional përmes përkufizimit vijues: 12x është numri i cili nëse ngritet në katror jep x. Numri me këtë veti në

përgjithësi njihet si rrënja katrore e x-it. Zakonisht, ne jemi shumë më familiar me termin “rrënja katrore” duke e përdorur shenjën (=operatorin)

ose për të qenë më preciz: 2

Për shembull: 2 29 9 9 3x x= → = ± = ± = ± .

Të dy mënyrat e paraqitjes se rrënjës katrore – forma eksponenciale 12x

dhe ajo me rrënjë x – janë ekuivalente. Ka raste kur është më e përshtatshme të punohet me formën me rrënjë se sa me atë eksponencial por edhe anasjelltas. Në këtë njësi do të shohim se si janë të ndërlidhura të dy format mes vete dhe të shqyrtojmë disa veprime elementare me rrënjët.

E fillojmë diskutimin me përkufizimin e rrënjës së n-të.

PËRKUFIZIMI I RRËNJËS SË N-TË

Për n numër natyror më të madh se 1 dhe x numër real, e përkufizojmë n x të jetë rrënja themelore e n-të e x-it; e që është:

1nn x x=

Në rastin kur n = 2, rrënja e dytë apo rrënja katrore zakonisht shënohet

me x .

Simboli quhet radikali, n quhet indeksi, dhe x quhet radikandi.

Le të jemi të vëmendshëm se rrënja katrore pa shenjë çdoherë është rrënja katrore themelore.


SHEMBUJ

1. 4 2= dhe jo 4 2= ± !

Për dallim: Ekuacioni 2 4x = ka dy zgjidhje 1/2 4 2x = ± = ±

2. 133 8 8 2= =

3. ( )133 8 8 2− = − = −

4. 9− → nuk ekziston zgjidhja reale

5. 5 0 0=

6. 3 125 5− = −

7. 2 16 16 4x = → =

8. 4 416 16 2x = → =

9. 3 3125 125 5x = → =

10. 3 364 64 4x = − → − = −

11. 3 364 64 4x = → =

12. 2 25 25x = − → − nuk ekziston!

13. 4 416 16x = − → − nuk ekziston!

14. 5 532 32 2x = − → − = −

Siç cekëm më sipër, shpesh është përparësi të jemi në gjendje të zhvendosemi prej formës racionale eksponenciale në atë të rrënjëve dhe anasjelltas. Relacionet vijuese në këtë drejtim janë shumë të rëndësishme.


SHNDËRRIMI EKSPONENT RACIONAL/ RRËNJË

Nëse m dhe n janë numra të plotë pozitiv (n > 1), dhe x është numër real - jonegativ kur n është çift–

• ( )1mnn nm mx x x= =

• ( )1mn n

m mnx x x

= =

•

( )1

1 1 1mn

mn n

n mm

xxx x

− = = =

•

( )1

1 1 1mn

mn

n

m mn

xx xx

−

= = =

SHEMBUJ

1. ( )2 13 3

2 23 2 3x x x x = = =

2. 23 3 2 38 8 64 4= = = gjithashtu: ( )

2 13 3

2 2 238 8 8 2 4 = = = =

3. 25

25

5 2

1 1a

aa

−= =

4. 14

14

4

1 1 116

21616

−= = =

5.

( )23

2133

2 2 23

1 1 1 1 127

9327 2727

−= = = = =

6. 230 0=


Ndonëse nuk e tham në mënyrë eksplicite, ne përdorëm vetëm ekspoentët racional më të vegjël se 1. Kjo nënkupton se eksponentët kanë qenë

thyesa të rregulta mn

ku emëruesi n është më i madh se numëruesi m.

Megjithatë, në rastin m > n eksponentin racional çdoherë mund ta ndajmë në pjesën e tij të plotë dhe në pjesën thyesore, si në vijim:

pmn q

r i= = +

ku i është numër i plotë dhe p<q.

SHEMBUJ

1. 9 14 4

2r = = +

2. 7 1 16 6 6

(1 ) 1r = − = − + = − −

3. 33 6 29 9 3

3 3r = = + = +

Në bazë të kësaj ndarje mund të konkludojmë:

EKSPONENTËT THYESOR MË TË MËDHENJË SE 1

Për x, r numra realë dhe i, m, n, p, q numra natyrorë të tillë që m>n dhe

p<q mund të ndajmë pmn q

r i= = + dhe marrim:

• p pmq qn

i qr i i px x x x x x x+

= = = ⋅ = ⋅

• ( )

( )

1 1 1pmqn

p pq q

iirq qi p pi i

xx x x

x x xx x x

−− +− −+

= = = = = =⋅⋅

SHEMBUJ

1. 7 1 13 3 3

2 2 2 3a a a a a a+

= = ⋅ = ⋅


2. 17 2 25 5 5

25

3 3553 23

1 1 12 2 2 2

8 42 22 2

− − − −−= = ⋅ = = =⋅⋅⋅

3. 12 4 1 19 3 3 3

1 1 33 3 3 3 3 3 3+

= = = ⋅ = ⋅

VETITË E RRËNJËVE

Për numrin natyror n më të madh se 1 dhe numra realë pozitiv x, y vlejnë identitetet vijuese:

• 1n

nn nx x x

= =

Kjo nënkuptonë se rrënja e n-të dhe fuqia e n-të janë veprime inverse.

• 1 1 1

( ) n n n nn nx y x y x y x y⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

• ( )11

1

nn

n

nx xny y n

x x

yy= = = për 0y ≠

SHEMBUJ

Kaloni nga forma ekponenciale racionale në formën me rrënjë:

1. 13 3x x=

2. ( )17 7 7 72 5 2 5 2 572 2 2a b a b a b⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

3. ( ) ( ) ( )35

3 33 7 3 7 ( 3) 3 7 3 9 215 55x y x y x y x y− − − ⋅ ⋅ −⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

4. ( ) ( )2 12 31

3 43 4 4

3( 3) ( 3) 42 2 3u v u v u v u v

−− ⋅ − − ⋅ −− − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Kaloni nga forma me rrënjë në formën ekponenciale racionale:


5. ( ) ( ) ( )1

333

3 32 2 2 23 x y x y x y x y ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

6. 277 277 77=

7. 16 4 64 4 2 8⋅ = = ⋅ =

8. ( )1 8 6 34 4 4 28 6 8 6 24 x y x y x y x y⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

9. 23

33

2 3 2

125 125 5

x x x

= =

10. 4 4 2

9 39

x x x= =

11. 5 4 2 5 4 23 3 316 4 16 4x y x y x y x y⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( )1 5 73 3 33 5 74 4x y x y= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


Vetitë e rrënjëve

� 33 8 8≠

� 4 2− ≠ −

� 5 10 2≠


USHTRIMI 2.2.3: RRËNJËT



1. Njehsoni nëse është e mundur:

a) 3 8 b) 3 8− c) 5 32−

d) 5 32− e) 16− f) 64 36⋅

g) 64

16 h) 5 52 16⋅

2. Thjeshtoni format me rrënjë:

a) 2 4a x⋅ b) 3 327 x− ⋅ c) 1253

8

d) 5 23

1 53

27x y

x y−

⋅

⋅ e)

4 42 28 2a a⋅ f)

( )23

1

8

3. Kaloni në formën me rrënjë. Të mos bëhen thjeshtime.

a) 23m b)

253(2 )xy c)

13( )x y+ d)

1 13 3x y+

4. Kaloni në formën eksponenciale racionale. Të mos bëhen thjeshtime.

a) 3 x b) 3 53 x⋅ c)

3 53m n⋅

d) 6 3 75a b⋅ e) 2 2x y+ f) 3 x y+


g) 32 32a b c⋅ ⋅

5. Të shkruhen në formën e thjeshtuar duke përdorur formën me rrënjë ose eksponentët racional.

a) 5 53 217 17⋅ b) 2 43 ( )x y⋅ c)

2

3 6x

x ⋅

d) x e) 218

8

x y

x

⋅ f)

225

5

a

a

g) ( )424 a a b⋅ + h) 2 8x x y⋅ ⋅

i) 7 45 (2 ) (2 )m n⋅ j) 3 3a b⋅ k) 2

34

a

b

l) a b

a b

+

+

6. Të ndryshohet shprehja ashtu që ketë vetëm ekponent pozitiv.

a) 2 13 3a b

−⋅ b)

13

2

x−

−

c)

142

3

x

y

−

d)

122

2

4a

b

−−

e) 163 3(8 )x y−⋅ f)

12

13

2

2

a x

b y

−

−−

⋅

⋅

7. Njehsoni duke përdorur kalkulatorin.

a) 3 6 b) 342 c) 4 4.6

d)

4107

10

e) 0.2516 f) 13 2.001


g) 382

− h) 3.2(2.6)−

i) 29(0.0000000024)

−

j) 0.00017584 k) 7 6121981 l)

38460000000

−

m) 5 35357− n) 33 2+ o)

1 15 4

310 8

−+


REZULTATET 2.2.3: RRËNJËT

1. a) 2 b) 2− c) 2−

d) 2− e) Nuk ka zgjidhje f) 48

g) 2 h) 2

2. a) 2a x⋅ b) 3 x− ⋅ c) 5

2

d) 23x

y e) 2a f)

1

4

3. a) 3 2m b) ( )235 2x y⋅ c) 3 x y+

d) 3 3x y+

4. a) 13x b)

533x c)

533m n⋅

d) ( )163 75a b⋅ e) ( )

122 2x y+ f) ( )

13x y+

g)

131

2 3 22a b c ⋅ ⋅

5. a) 17 b) 138 4( )x y⋅ c) 6

d) 14x e) ( )

123

2x y⋅ f) ( )

125a

g) 12 ( )a a b⋅ + h)

124x y⋅ i)

1511 7 4(2 )m n⋅


j) 1 13 2a b⋅ k)

132

4

a

b

l) ( )12a b+

6. a)

132a

b

b) 23x c)

14

2 3

1

x y

⋅

d) 2

a b⋅ e)

163

3

8x

y

f)

13

12

2 2x b y

a

⋅ ⋅

7. a) 1.8171 b) 1.6818 c) 1.4645

d) 0.8670 e) 2 f) 1.0548

g) 0.771 h) 1

21.2772 i) 82.3206

j) 0.013260 k) 9.323 l) 45.642 10−⋅

m) 35.7895 10−⋅ n) 2.064 o) 1.2965


2.2.4 Testi i progresit për “Eksponentët”



Njehsoni

1. a) 32 b) 3( 2)− c) 32− d) 3( 2)−−

2. a) 3 2 5x x x−⋅ ⋅ b) 3 3

2 3

x y

x y

−

−

⋅

⋅ c)

2 5

2 2

8 2

4 16

−

−

⋅

⋅

d) 3 2

5 3

x x x

y y−⋅

÷

3. a) 1481 b)

13( 125)− c) ( )

1229x d)

126.25

4. a) 34

32x x

⋅

b)

5132

651.5

2 4

8 16

⋅

⋅ c)

3 2323 2

2 3

3 3 3 6

6 3

−− − ⋅ ⋅ ÷


5. a)

4 15 3

12

2.5

1.5 3.5

x x

x

x

x x

−

−

−

⋅

⋅

b) 7 8 23 9 32 1.5y y y y y

−−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) ( ) 1223.5 7 ÷

6. a) 273 b)

134

− c) ( )

45x

−− d) ( )3422y

−

7. a) 3

52 3

8

2 2

−

⋅ b)

23

34

4

3

x

x

c)

( )

13

1 13 3

3 2

5

4 8

16 2

⋅

−

d) 23

32.5 1.5

1

z z

z

−

−

⋅

8. a) 3 125− b) 12

364 c) 5 2 32 256 4⋅ ⋅ ⋅

d) 5 1024

92 | F a q e

2.3 Shprehjet

Parakushtet: Njohuritë për sistemet numerike me numra të plotë dhe veprimet themelore me numrame rëndësi është ndërtimi dhe njehsimi i shprehjeve komplekse përfshirë edhe përdorimin korrekt të kllapave.

Qëllimet e mësimit: Prezentimi i pjesëtimit si veprim llogaritës sjell tek paraqitja e thyesaveshumë gabimevepërmirësohet deri në përsosmëri puna me thyesat

Meqë pjesëtimidhe praktikisht në të gjitha aplikimet, ai paraqitet në


2.1 Numrat

Numrat & veprimet


Përqindjet

2.2 Eksponentët



Rrënjët

2 . A l g j e b r a e l e m e n t a r e

Njohuritë për sistemet numerike me numra të plotë dhe veprimet themelore me numra. Jashtëzakonisht me rëndësi është ndërtimi dhe njehsimi i shprehjeve komplekse përfshirë edhe përdorimin korrekt të

Prezentimi i pjesëtimit si veprim llogaritës sjell tek paraqitja e thyesave. Detyrat me thyesa janë burim i shumë gabimeve. Qëllimi i kësaj njësie është të përmirësohet deri në përsosmëri puna me thyesat.

Meqë pjesëtimi është veprim kryesor në matematikë dhe praktikisht në të gjitha aplikimet, ai paraqitet në


2.2 Eksponentët



Rrënjët

2.3 Shprehjet

Shprehjet e plota

Shprehjet thyesore

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 93

thyesë me numra dhe në shprehje algjebrike me variabla dhe funksione. Për veprime korrekte matematike dhe për besim në punën tonë, rol qendror luan aplikimi i drejtë i thyesave dhe shprehjeve me thyesa.

Kur gjatë një problemi (detyre), variabla kombinohet me veten, me ndonjë parametër tjetër apo me ndonjë konstantë, paraqiten shprehje të ndryshme, varësisht nga veprimi i aplikuar. Në këtë rast , ne do të shqyrtojmë situatat me një variabël; kur kemi të bëjmë me disa variabile veprohet ngjashëm, vetëm se në rastin e dytë shprehja duket pak më e komplikuar.

Nëse variabla paraqitet gjatë mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit, fitohen shprehje të plota racionale. Kur të gjitha konstantet në një shprehje janë numra të plotë dhe variablat janë gjithashtu numra të plotë, atëherë e tërë shprehja merr vlerën numër të plotë. Kjo edhe e shpjegon mbiemrin “të plota racionale”.

Nëse lejohet pjesëtimi i variablave, atëherë merret shprehja thyesore. Në këtë rast variabla paraqitet së paku në një term si emërues.

Shprehja algjebrike gjithashtu ekziston kur paraqiten rrënjët, që nënkuptojmë se variabla paraqitet në ndonjë prej rrënjëve.

MbledhjaShprehjet e

Zbritja Shprehjet Shprehjet Plota

Shumezimi thyesore algjebrike

Pjesetimi

rrenjet

+ +

Sërish duhet të theksojmë se në klasifikimin e mësimor, veprimet përkatëse (mbledhja, zbritja, pjesëtimi, shumëzimi dhe rrënjëzimi) duhet të kuptohen në bazë të aplikimit të tyre. Veprimet në të cilat kombinohen konstante dhe/ose parametra nuk e ndryshojnë karakterin e shprehjeve.

Në këtë njësi së pari do të shqyrtojmë shprehjet e plota racionale, përfshirë polinomet. Pastaj, do të shqyrtojmë shprehjet thyesore.


Megjithatë, nuk do të merremi në mënyrë shumë intensive me shprehjet algjebrike sepse ato e kanë të kufizuara aplikimin praktik, për atë çfarë ne synojmë.

2.3.1 Shprehjet e plota

Nëse mbledhim, zbresim dhe shumëzojmë variablën x merret një shprehje që quhet polinom. Emri nënkupton se shprehja përmban disa terma në formën e saj të përgjithshme (poly (Greeqisht) = disa). Në formën e tij më të përgjithshme paraqitet si vijon.

POLINOMI SIPAS X (ME KOEFICIENTË REALË)

Shprehja e plotë sipas variablës x e formës

11 1 0...n n

n na x a x a x a−−⋅ + ⋅ + + ⋅ +

ku koeficientët 1 1 0, ,..., ,n na a a a− janë numra realë dhe n është numër i

plotë jonegativ quhet polinom i shkallës n.

Koeficientët 1 1 0, ,..., ,n na a a a− mund të jenë numra realë të çfarëdoshëm.

Eksponenti më i madh që paraqitet në shprehje quhet shkallë. Çdo mbledhësi i referohemi si term (anëtar).

Format polinomiale hasen shpesh në matematikë. Është me rëndësi që ato t’i klasifikojmë bazuar në shkallën e tyre. Nëse termi në një polinom ka vetëm një variabël si faktor, atëherë shkalla e atij termi është fuqia e variablës. Nëse dy apo më tepër variabla janë prezente në një term si faktor, atëherë shkalla e termit është shuma e fuqive të variablave. Shkalla e polinomit është shkalla e termit jozero i cili e ka shkallën më të lartë në polinom. Çdo konstantë jo zero definohet si polinom i shkallës 0. Numri 0 definohet si polinom por atij nuk i shoqërohet asnjë shkallë. Dy terma janë të ngjashëm nëse ata kanë të njëjtat variabla në të njëjtën fuqi.

Sigurisht se mund të shqyrtohen edhe polinome me më tepër se një ndryshore. Polinomi me dy variabla x dhe y është shprehja e formuar

duke mbedhur termat e formës m na x y⋅ ⋅ , ku a është numër real kurse

m, n janë numra të plotë jonegativ. Termi e ka shkallën m n+ . Termi me shkallën më të lartë e definon shkallën e polinomit. Për shembull:

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 95

3 2 2 23 2 5 7x y x y x y x x y⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅

është polinom i shkallës 5 me dy variabla x dhe y.

BINOMET

Një klasë shumë e njohur e polinomeve janë binomet e shkallës n. Ata kanë marrë këtë emërtim për shkak se përbëhen saktësisht nga dy variabla {bi (greqisht) = dy}:

• 2 2 2( ) 2x y x x y y+ = + ⋅ + → binomi i shkallës 2

• 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y x y y+ = + ⋅ + ⋅ + → binomi i shkallës 3

• 4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4x y x x y x y x y y+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + → binomi i shkallës 4

SHEMBUJ

1. 22 4 10x x− + është polinom i shkallës 2.

2. 2( 2)x + është polinom i shkallës 2.

3. 2 1x x+ + nuk është polinom .

4. 2 24 12

3 2

xx y x y x+ ⋅ + ⋅ + është polinom i shkallës 3 me dy

variabla x dhe y.

5. 1

x nuk është polinom.

6. 4( )x y+ është polinom i shkallës 4 me dy variabla x dhe y.

7. 2 13 2 1 2 221x y x y−⋅ − ⋅ + nuk është polinom sepse ka eksponentë

negativ dhe thyesor.

Në seksionin 2.1. kemi mësuar të kryejmë njehsimet me numra dhe variabla. Tani kryejmë mbledhjen dhe zbritjen e polinomeve dhe shprehjeve të tjera. Të gjitha shkronjat në diskutimin dhe shembujt vijues


paraqesin numra realë; kështu që mund të zbatohen të gjitha vetitë e numrave realë.

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E POLINOMEVE

Le të fillojmë me një shembull ku tregohet mbledhja dhe zbritja e dy polinomeve:

22 4 5x x+ − dhe

23 2 17x x− +

Së pari dhe më e rëndësishme: sa herë që veproni me shprehje, përdorni kllapat sa më shumë që të jetë e mundur. Kështu, mbledhja (zbritja) duke përdorur kllapat do të duket si vijon:

Mbledhja: 2 2(2 4 5) (3 2 17)x x x x+ − + − +

Zbritja: 2 2(2 4 5) (3 2 17)x x x x+ − − − +

Duke vendosur 1-sha para kllapave mund të zbatojmë vetinë distributive për t’u liruar nga kllapat. Në rastin kur kemi të bëjmë me mbledhjen e polinomeve kjo shndërrohet pak a shumë triviale:

Mbledhja:2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17x x x x x x x x⋅ + − + ⋅ − + = + − + − +

Megjithatë është burim i shumë gabimeve gjatë zbritjes, sepse shumëzimi i shprehjes me (−1) u ndryshon shenjat e të gjithë termave në kllapa:

Zbritja:

2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17x x x x x x x x⋅ + − − ⋅ − + = + − − + −

Tani i rregullojmë termat ashtu që termat e shkallës së njëjtë të jenë “së bashku”:

Mbledhja: 2 2 2 22 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17x x x x x x x x+ − + − + = + + − − +

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 97

Zbritja: 2 2 2 22 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17x x x x x x x x+ − − + − = − + + − −

Tani zbatojmë vetinë komutative dhe asociative në të dy rastet (shih: Vetitë elementare të numrave realë; faqe 16).

Mbledhja: 2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17)x x x x x x+ + − − + = + + − + − +

Zbritje:

2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17)x x x x x x− + + − − = − + + + − −

Rezultatet janë:

Mbledhja: 2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 5 2 12x x x x+ + − + − + = + +

Zbritja:

2 2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 1 6 22 6 22x x x x x x− + + + − − = − + − = − + −

Mund të japim këtë përmbledhje.

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E POLINOMEVE

Polinomet mblidhen duke kombinuar termat e e shkallës së njëjtë dhe duke zbatuar vetinë komutative, asociative dhe distributive. Rezultati është polinom i shkallës më të vogël ose të barabartë me shkallën e të mbledhshmit me shkallë më të madhe.


SHEMBUJ

1. 2 3 2 3 2(2 4 6) ( 6 ) (2 1) ( 4 6) 6x x x x x x x x− + + − + = + − + − + + =

3 2 2 6x x x= + + +

2. 2 2(2 4 6) (2 8 4)x x x x− + − − − =

2(2 2) [ 4 ( 8)] [6 ( 4)] 4 10x x x= − + − − − + − − = +

3. 3 2 3 2(3 4) ( 3) ( 2 4 )x x x x x x− + − + + − + + =

3 2( 3 1) (1 2) ( 1 4) [ ( 4) 3]x x x= − − + − + − − + − − + =

3 24 5 7x x x= − − − +

SHUMËZIMI I POLINOMEVE

Shumëzimi i shprehjeve algjebrike përfshinë përdorim shumë të madh të vetisë distributive të numrave realë, si edhe vetitë e tjera të numrave realë. (shih: Vetitë elementare të numrave realë; faqe 16).

Le të fillojmë me një shembull për shumëzimin e dy polinomeve.

Shumëzojmë: 4 2x − dhe 22 4 5x x+ −

Si më parë, është shumë me rëndësi të përdorim kllapat kur kryhet shumëzimi:

2(4 2) (2 4 5)x x x− ⋅ + −

Duke zbatuar vetinë distributive:

2 2 2(4 2) (2 4 5) 4 (2 4 5) 2 (2 4 5)x x x x x x x x− ⋅ + − = ⋅ + − − ⋅ + −

3 2 28 16 20 4 8 10x x x x x= + − − − +

3 24 12 28 10x x x= + − +

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 99

Ose duke përdorur rregullimin vertikal:

4x 2− 22x 4x+ 5−

38x 216x+ 20x−

24x− 8x− 10+ 38x 212x+ 28x− 10+

SHUMËZIMI I POLINOMEVE

Për të shumëzuar dy polinome të shkallës m dhe n, shumëzojmë të gjithë termat një nga një mes tyre, dhe kombinojmë termat e ngjashëm.

Rezultati është polinom i shkallës m+n, pra, shuma e shkallëve të secilit nga faktorët polinomial.

SHEMBUJ

1. 2 3 2 3 2(2 4) ( 2) 2 4 4 8 2 4 4 8x x x x x x x x− ⋅ + = + − − → − + −

Polinomi i parë e ka shkallën m = 1; i dyti e ka shkallën

n = 2: → Polinomi rezultues e ka shkallën: m + n = 3

2. 2 2 3 2 2 2( 2 ) ( 1) ( 2) ( 2 2 ) ( 2)x x x x x x x x x+ ⋅ + ⋅ − = + + + ⋅ −

3 2 2 5 4 3 3 2( 3 2 ) ( 2) ( 3 2 2 6 4 )x x x x x x x x x x+ + ⋅ − = + + − − − =

5 4 23 6 4x x x x= + − −

Shkalla e polinomit rezultues është 2 + 1 + 2 = 5.

Është shumë me rëndësi të përdorim të ashtuquajturat formulat binomiale.


FORMULAT BINOMIALE

• 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x y x y x y x x y y+ ⋅ + = + = + ⋅ +

• 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x y x y x y x x y y− ⋅ − = − = − ⋅ +

• 2 2( ) ( )x y x y x y+ ⋅ − = −

Gjersa mbledhja dhe shumëzimi nuk krijojnë probleme substanciale, në rastin kur shprehja përmban disa veprime në formë të përzier paraqiten shumë gabime. Shumica e gabimeve ndodhin kryesisht për shkak të ndryshimit të vargut të veprimeve.

Le të shohim për shembull shprehjen vijuese:

2{[(2 ) (3 4)] ( 2) ( 1)}x x x x x x− − − ⋅ + + − ⋅


Dy lëshime shkaktojnë gabime në të shumtën e rasteve. Ato zakonisht karakterizohen si “gabime trashanike”:

• Shumë shpesh përdoren pak kllapa.

• Shenjave, e veçanërisht shenjës minus, nuk u kushtohet vëmendja që duhet.

Burimet e të dy gabimeve të përshkruara mund të shmangen nëse kllapat përdoren në mënyrë korrekte. Për të ruajtur pamjen e përgjithshme përdorni kllapa të ndryshme, për shembull:

• (…) për nivelin e parë

• [ ] për të dytin

• {…} për të tretin

• Dhe pastaj sërish (…) etj.

Është më mirë të përdoret një lloj i kllapave më shpesh se sa disa lloje.

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 101

KUJTONI

• Filloni të zgjidhni veprimet në kllapa nga brenda-jashtë.

• Kujdesuni për shenjën minus.

• Kujtoni rregullat e veprimeve: pjesëtimi dhe shumëzimi para mbledhjes dhe zbritjes

SHEMBUJ

1. ( ){[(2 3) 4] 2} 7 12x x x x x− ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

5 4 3 22 3 4 2 7 12x x x x x= − − + + +

2. { }2[( 1) ( 1) 1].[ 1] 1 ( )x x x x− + ⋅ + − + + ⋅ − =

{ }2 2[( 1) 1] [ 2 1] 1 ( )x x x x= − + − ⋅ + + + ⋅ − =

{ }4 3 2 5 4 32 1 ( ) 2x x x x x x x x= − − − + ⋅ − = + + −

3. { }2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( )x x x x x− ⋅ − + + − − ⋅ − ⋅ − =

{ }2 3[ 4 4 2 2 1] [ 3 2 ] ( )x x x x x x− + + − + − − + ⋅ − =

{ }3 2 4 3 23 4 4 1 ( ) 3 4 4x x x x x x x x− + − ⋅ − = − + − +


USHTRIMI 2.3.1: SHPREHJET E PLOTA



1. A paraqesin shprehjet vijuese janë polinome. Përgjigjuni me saktë/pasaktë:

a) 26 12x x y z+ ⋅ + + b) 13

2

2 55

xx ⋅ − −

c) 12 112x x−+ + d) 20 12x −

e) ( 1) ( 2)x x− ⋅ − f) 2x x−

g) 2 313

7 25x y x y−⋅ + ⋅ + h) 2 32 5x x z−⋅ − ⋅ +

i) 12 112x x−+ +

2. Kryeni veprimet vijuese:

a) 32 3 4x x− + plus 23 2 7x x− + −

b) 4 23 5 3x x− − minus 32 7x x− − +

c) 22 4x x− − plus 24 3 12x x− + minus 2 4 6x x− − +

d) 2 3 2 22x y y y x x y⋅ + − ⋅ + ⋅ minus 2 2 23x y x y x y− ⋅ + ⋅ − ⋅

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 103

3. Shumëzoni dhe kombinoni termat e ngjashëm:

a) ( 1) ( 1) 3x x x x⋅ + − − ⋅

b) 2 2 3(2 ) ( 5 )x x x x x+ ⋅ − − +

c) 2(3 5 3) ( )y y x y+ + ⋅ +

d) ( ) ( 1) (2 3) (2 3)x y x x x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

e) ( )22 2x y+


REZULTATET 2.3.1: SHPREHJET E PLOTA

1. a) 26 12x x y z+ ⋅ + + → E saktë, polinom i shkallës 2

b) 13

2

2 55

xx ⋅ − − → E saktë, polinom i shkallës 2

c) 12 112x x−+ + → E pasaktë, ka eksponentë negativ dhe thyesor

d) 20 12x − → E saktë, polinom i shkallës 1, quhet drejtëz

e) ( ) ( )1 2x x− ⋅ − → E saktë, polinom i shkallës 2

f) 122x x x x− = − → E pasaktë, ka eksponentë thyesor

g) 2 317 25

3x y x y−⋅ + ⋅ + → E pasaktë, ka eksponentë negativ

h) 2 32 5x x z−⋅ − ⋅ + → E saktë, polinom i shkallës 3

2. a) 3 22 3 3x x x− − − b) 4 3 23 2 5 10x x x x+ − + −

c) 27 2x + d) 2 3 2 2 2 22 2 3x y y y x x y x x y⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

3. a) 22 4x x− +

b) 3 4 5 27 9 2x x x x− − + −

c) 2 3 23 5 3 3 5 3x y x y x y y y⋅ + ⋅ + + + +

d) 4 3 3 2 24 4 4 4 9 9 9 9x x x y x y x x y x y− + ⋅ − ⋅ − + − ⋅ +

e) 4 2 2 42x x y y+ +

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 105

2.3.2 Shprehjet thyesore

Një shprehje me variabla në emërues quhet shprehje thyesore. Ato mund të duken krejtësisht të ndryshme, megjithatë së paku një nga termat duhet të përmbaj operacionin “pjesëtimi me variabël”:

1

x ose 2

2 1

1

x

x

+

+ ose 2

12

1x

x x+

+ − ose 1 22 10x x x− + + + ose

2

1 2 3 1

3

x x

x x

+− +

Duke përcaktuar emëruesin e përbashkët dhe duke aplikuar rregullat e zakonshme për thyesat, termat e ndryshëm mund të përmblidhen në formë të një thyese me dy polinome.

Dy rreshtat e mësipërmë janë shprehje thyesore.

3. Shembull: 2 3 2

2 2 2

1 2 ( 1) 1 2 2 2 12

1 1 1

x x x x x xx

x x x x x x

⋅ + − + + − ++ = =

+ − + − + −

4. Shembull: 1 2 212 10 (2 10)x x x x x

x

− + + + = + + + =

2 3 21 (2 10) 1 2 10x x x x x x

x x

+ ⋅ + + + + += =

5. Shembull: 2 3

2 2 2

1 2 3 1 3 2 3(3 1) 2 12 3

3 3 3

x x x x x x x x

x x x x

+ − ⋅ + + − + +− + = =

FORMA E PËRGJITHSHME E SHPREHJES THYESORE

Çdo shprehje thyesore mund të shprehet si thyesë e dy polinomeve:

11 0

11 0

...

...

n nn n

m mm m

a x a x a

b x b x b

−−

−−

⋅ + ⋅ + +

⋅ + ⋅ + +

Polinomi në numërues ka shkallën n, kurse polinomi në emërues ka shkallën m.


Për qëllimin tonë, nuk është e domosdoshme të diskutohen këto shprehje në masë të madhe. Ne thjeshtë aplikojmë rregullat e thyesave në mënyrë të mirëfilltë (shih: seksionin 2.1.2; faqe 24). Mbledhja, shumëzimi, zgjerimi dhe thjeshtimi bëhen plotësisht në të njëjtën mënyrë. Megjithatë, për të gjitha veprimet ku paraqitet variabla x, duhet të jemi të kujdesshëm që të mos shumëzojmë ose pjesëtojmë me zero.

Po ashtu, duhet të jemi të kujdesshëm për disa dallime që kemi në raport me shprehjet e plota të seksionit paraprak.

KUJDES

Përkujtojmë se vija e thyesës ka të njëjtën veti si kllapat. Kështu, trajtoni ato si edhe kllapat.

MBLEDHJA E SHPREHJEVE THYESORE

Shprehjet thyesore mund të mblidhen (zbriten) pasi të gjithë termat të jenë zgjeruar ashtu që të kenë të njëjtin emërues.

Termët me të njëjtin emërues mund të mblidhen (zbriten) duke mbledhur (zbritur) numëruesit.

SHEMBUJ

1. 2 2 23 1 4 2 3 1 4 2 4 1

1 1 1 1

x x x x x x x x

x x x x

+ − + + − + ++ = =

− − − −

2. 2 2 21 3 2 1 3 2 3 4

3 3 3 3

x x x x x x x x

x x x x

+ − − + − − + + −− = =

+ + + +

3. 2 2

2 2

2 1 2( 1) ( 1) 2 2 2

1 ( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

+ − − ⋅ + − − − − + −− = = =

− ⋅ − − −

Kur mbledhim dy shprehje thyesore, mund të zbatohet metoda e shumëzimit të tërthortë (shih seksionin 2.1.2; faqe 31) gjë që ofron shumë përparësi. Për shembull:

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 107

2 1 2 ( 2) ( 1) ( 1)

1 2 ( 1) ( 2)

x x x x x x

x x x x

− ⋅ + − + ⋅ +− =

+ + + ⋅ +

Emëruesi i përbashkët është prodhimi i dy emëruesve. Kjo nënkupton se numëruesi i majtë mund të shumëzohet me emëruesin e djathtë dhe numëruesi i djathtë me emëruesin e majtë.

SHUMËZIMI I DY SHPREHJEVE THYESORE

Dy shprehje thyesore shumëzohen duke shumëzuar numëruesit dhe emëruesit.

SHEMBUJ

1. 2 2

2

3 1 4 2 (3 1) (4 2 )

1 1 ( 1)

x x x x x x

x x x

+ − + ⋅ − ⋅ = = − − −

3 2 2 3 2

2 2

12 6 4 2 12 2 2

( 1) ( 1)

x x x x x x x

x x

− + − − −= =

− −

2. 2 2 3 2

2

1 3 2 ( 1) (3 2 ) 2 5 3.

3 3 ( 3) ( 3) 9

x x x x x x x x x

x x x x x

+ − − + − ⋅ − − + + − = = + − + ⋅ − −

3. 2

2 1 2( 1) 2 2.

1 ( 1)

x x x

x x x x x x

+ + + − = − = − − ⋅ − −

Inversi i një numri a është 1a . I njëjti veprim duhet të aplikohet kur kemi

të bëjmë me inversin e shprehjes thyesore.


INVERSI I SHPREHJES

Si edhe me numra, inversi i një shprehje thyesore merret nëse ndryshojnë pozitat numëruesi me emëruesin:

11a x b c x d

a x bc x d a x b

c x d

−⋅ + ⋅ + = = ⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ +

SHEMBULL

1. 12

22

4 2 1 1

1 4 24 2

1

x x x

x x xx x

x

− − −

= = − − − −

2. 1

1 3 2 3

3 2 3 3 2

3

x x

x x x

x

−− − = = − − − −

3.

1 22 1 ( 1).

1 2( 1) 2 2

x x x x x

x x x x

− + ⋅ − − − = − = − + +

Pjesëtimi i dy shprehjeve thyesore kryhet në të njëjtën mënyrë si edhe pjesëtimi i dy thyesave numerike, pra, përmes shumëzimit duke paraqitur inversin e shprehjes.

PJESËTIMI I SHPREHJEVE THYESORE

Dy shprehje thyesore pjesëtohen duke shumëzuar shprehjen në numërues me inversin e shprehjes në emërues:

1a x b

a x b a x b t y uc x dr y s r y sc x d c x d r y s

t y u t y u

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅ +

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 109

SHEMBUJ

1. 2

22

3 1

3 1 4 2 3 1 11.

1 1 1 4 24 2

1

x

x x x x xx

x x x x xx x

x

+ + − + −− ÷ = = = − − − − − −

2

3 2

3 2 1

4 6 2

x x

x x x

− −=

− +

2.

2

2 3 2

2

1

3 1 3 2 4 3

3 2 3 3 2 2 6 93

x x

x x x x x x x

x x x x x

x

+ − + + − − − − + = ⋅ = − + − − − + −

3. 22 1 2 2

21 1 1

1

x x x xx

x x x

x

− −= ⋅ =

+ + + −


USHTRIMI 2.3.2: SHPREHJET THYESORE



1. Të zgjerohen shprehjet vijuese me faktorët e cekur, nën supozimin se ata nuk janë zero:

a) 1

1

x

x

+−

me 2x b) 2 2

2

x x

x

−+

me 2x−

c) u

v me

u v

u v

+−

2. Thjeshtoni faktorët e përbashkët në numërues dhe emërues:

a) 2

2

4

x

x

+

− b)

2

2

( 5)

2 10

x x

x x

⋅ +

+

c) 2 4

62

6

x y

x y

⋅⋅

3. Shumëzoni shprehjet dhe thjeshtoni faktorët e përbashkët:

a) 2 2

2

4

2 2

a a

a a a

−⋅

+ − b)

2 2

3

3 ( 5)

5 6

x x

x x

+⋅

+

c) 2 29 3 2

3 2 3

a a a

a a

− −⋅

− +

2 . 3 S h p r e h j e t F a q e | 111

4. Pjesëtoni dhe thjeshtoni faktorët e përbashkët:

a) 2

2

36( 6)

6

aa

a a

−÷ +

− b)

2 2

2

3

36 9

x x

xx x÷

−− +

c) 2 2

2 2

9 3

39 6

a b a b

a ba a b b

− +÷

−− ⋅ +

5. Kryeni mbledhje ose zbritjen, respektivisht dhe thjeshtoni:

a) 2 2

2 2

3 6 2 2

4 4

x x

x x

− −+

− − b)

2 2

2 2

x

x x+

+ +

c) 2

2 2

1

( 1) ( 1)

a

a a−

+ + d)

2 1 2 1a b

a b

+ +−

e) 2 2

1 2

u u

u u+

+ − f) 2

10 3

525 zz−

−−

g) 2 2

2 2

x y

x y y x−

− − h)

3 2

( ) ( )x x y y x y−

⋅ + ⋅ −

i) 2 1

34 3

x

x x− +

−


REZULTATET 2.3.2: SHPREHJET THYESORE

1. a) 2

2

2 2

2 2

x x

x x

+

− b)

3 2

2

4 4

4

x x x

x

− −

− c)

3 2

2 3

u u v

u v v

− ⋅

⋅ −

2. a) 1

2x− b)

2

x c)

23

x

y

3. a) a b) 5

2

x

x

+ c) (3 )a a⋅ −

4. a) ( )6

(6 )

a

a a

−

⋅ − b)

3

3x− c) 1

5. a) 1 b) 2 2

2

x

x

++

c) 1

1

a

a

−+

d) b a

a b

−⋅

e) ( ) ( )

2( 2)

1 2

u u

u u

⋅ ++ ⋅ −

f) 2

3 5

25

z

z

+−

−

g) ( )

( ) ( )

2 24

2 2

y x

x y y x

−

− ⋅ − h)

2 23 2

( ) ( )

x y y x

x x y y x y

⋅ − −⋅ + ⋅ ⋅ −

i) 213 10 3

(4 3)

x x

x x

− −− ⋅

2 . 3 . 3 P r o g r e s s T e s t P a g e | 113

2.3.3 Testi i Progresit për “Shprehjet”



1. A paraqesin shprehjet vijuese polinome? Nëse përgjigja juaj është “po” caktoni shkallën; nëse përgjigja është “jo” ofroni arsyen:

a) 132 3 3x y x y⋅ + ⋅ +

b) 3 2 42 112x y x y−⋅ + ⋅ +

c) 35 5 2 37

112 3.14 237x y x y x⋅ + + ⋅ +

d) ( )3222 5 3x y x y⋅ − + ⋅

2. Kompletoni formulat pa iu referuar njësisë mësimore:

a) 2( 2 )x y+ =

b) 2512 3( )a b− =

c) 10 5 2 13 4 3 4( ) ( )x x− ⋅ + =


3. Të mblidhen ose zbriten polinomet dhe të redukohet rezultati sa më shumë që të jetë e mundur:

a) 2 3 2(2 4 6) (2 8 4 )x x x x x− + − − − =

b) 3 2 3 27 22 3

(3 4) ( 3) ( 4 )x x x x x x− + − + − + − − + + =

c) ( )2 2 22 3 4 (3 5) ( 4) (3 ) 11x x x x x+ − − − + − − + + =

4. Shumëzoni dhe kombinoni termat e ngjashëm:

a) { }2 2 2( 1) 2 (2 )x x x y x − + ⋅ − + + =

b) [ ]( ){ }2 5 3 7 2 15x x x x x − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

c) ( ) ( ){ }22 41 1 1

2 2 43 2 4x x x x − + ⋅ − + + − =

5. Kryeni veprimet dhe reduktoni rezultatet sa më shumë që të jetë e mundur:

a) { }2 2 4( 2) 3 ( 2) 3 9x x x − + ⋅ − − − + =

b) { }2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( ) (4 1)x x x x x x x− ⋅ − + + − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − =

c) ( ) ( )2 31 1 12 5 4 2y x x+ ⋅ − =

2 . 4 R e z u l t a t e t p ë r T e s t i n e P r o g r e s i t F a q e | 115

2.4 Rezultatet për Testet e Progresit

2.4.1 Rezultatet për Testin e Progresit për “Numrat”

Ju duhet të kontrolloni zgjidhjet tuaja. Nëse ato janë të sakta, ju mund të filloni kapitullin vijues. Në çdo rast tjetër (kur ju keni rezultate të pasakta, ose nuk keni fare rezultate) duhet t’i riktheheni seksionit përkatës në përmbledhje të cilin duhet ta përsëritni për të plotësuar zbraztësinë.

1. a) Numrat e plotë: 2, −4, 1,356

b) Numrat racional: 1723 23

; ; 0.25; 3.16363−

c) Numrat iracional: π; 2; 5; e

d) Numrat realë: 13

4; ; 7; 0.66−

2. a) −158 b) -222

3. a) 1.833 b) 12

c) 196

4. a) 6 b) 2319

5. a) 336 b) 48510

6. a) > 0 b) < 0

7. 1.16 EUR

8. a) 413.32 EUR b) 15.9%


2.4.2 Rezultatet për Testit e Progresit për “Eksponentët”


1. a) 8 b) –8 c) 18− d) 18−−

2. a) 6x b)

5

6

x

y c) 8 d)

2

8

x

y

3. a) 3 b) 5− c) 3x d) 2.5

4. a) 334x b)

11815

1

2 c)

316

43

3

2

5. a) 5315

1

x

b) 3718y c)

32

2

7

2

6. a) 7 23 b) 3 14− c)

5 4x−−

d) ( ) 324 2y−

7. a) 85

1

2− b)

112x

− c)

31152− d)

13z

8. a) –5 b) 2 c) 1652 d) 4


2.4.3 Rezultatet për Testin e Progresit për “Shprehjet”


1. a) Nuk është polinom b) Nuk është polinom

c) Polinom i shkallës 5 d) Polinom i shkallës 6

2. a) 2 24 4x x y y+ ⋅ + b) 2 25 2514 3 9a a b b− ⋅ +

c) 220 59 16x −

3. a) 3 22 10 6x x− + + b) 3 2512 3

5 7x x x− − +

c) 22 4 5x x− + +

4. a) 2 2 3 24 4 4 4x y x y y x y⋅ + ⋅ + + ⋅

b) 5 4 3 22 5 3 7 2 15x x x x x− + − + −

c) 24 4x +

5. a) 3 28 24 32 16x x x− + − + b) 4 33 4x x−

c) 2 2 23 1 1 18 4 4 6x y y x x⋅ − + −

3 . E k u a c i o n e t P a g e | 119

3. Ekuacionet




1. Hyrje

Vël

l.1:

Alg

jeb

ra

Ele

men

tare 3. Ekuacionet

Parakushtet: Për të përcjellur këtë kapitull me sa më pak vështirësi, lexuesi duhet të ketë njohuri elementare të veprimeve të njehsimit dhe thjeshtimit të shprehjeve.

Qëllimet e mësimit: Gjatë krahasimit ose balansimit të shprehjeve, forma që më shpeshti paraqitet është ekuacioni. Ai jo vetëm që përbënë bazën për shprehjet më të rëndësishme në matematikë, funksionin që është temë shqyrtimi në kapitullin vijues, – por ato janë pjesë të njehsimeve më të gjera.

Synimi është që të zgjidhim ekuacionet ose sistemet e ekuacioneve. Të zgjidhet ekuacioni nënkupton që të përcaktohen vlerat e variablave, që janë pjesë e ekuacionit ashtu që ai të plotësohet. Ne do të diskutojmë forma të ndryshme të ekuacioneve.

Ekuacioni është shprehje matematike e shprehur me simbole që demonstron se dy gjëra janë saktësisht të njëjta (ose) ekuivalente. Që të

120 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

vlej kjo ekuivalencë, ekuacionet janë shënuar me shenjën e barazimit (=), si në vijim:

5 – 3 +7 = 9

Ekuacioni i mësipërmë është shembull i një barazie, situatë në të cilën të dy anët e baarazimit janë të barabarta. Për sa kohë ekuacioni përmban vetëm numra, barazia mund të përcaktohet me lehtësi. Por, në rastin kur ekuacioni përmban së paku një numër të panjohur ose një variabël me vlerë të panjohur, ekuacioni nuk mund të përcaktohet pa e gjetur së pari vlerën e të panjohurës. Shenja e barazimit e bënë caktimin e të panjohurës më të lehtë sepse në disa raste vetëm disa vlera potësojnë kërkesat e barazisë.

Për barazimin 2( 2) 5

13

x

x

− ⋅= −

− ekzistojnë dy vlera të x-it që plotësojnë

barazinë; gjersa për barazimin 2 7

53

x −= ekziston vetëm një vlerë e x-it

që plotëson barazinë.

Shprehjet si ato më sipër, të cilat përmbajnë shenjën e barazimit për të shprehur ekuivalencën njihen si ekuacione. Ato zakonisht shprehen si shprehje algjebrike me variablën x.

3 . 1 Z b a t i m i i E k u a c i o n e v e

3.1 Zbatimi i Barazimeve

Parakushtet: Kërkohet njohuri të veprimeve me shprehjezbatohen.

Qëllimet e mësimit: Ekuacionet janë pjesë shumë e rëndësishme e shumicës së modeleve matematikeshumë raste oseose janë pjesë e procedurave të balansimit

Sfida matematikeformulimin e tyre, së dyti në trajtimin e tyre dhe së treti në zgjidhjen e tyre

Në këtë kapitull do të ilustrojmë procesin e modelimit dhe do të diskdhe kuadratike,aplikimet në ekonomi

3. Ekuacionet

3.1 Zbatimi i ekuacioneve

Modelimi

Zgjidhja

3.2 Ekuacionet Lineare

Forma normale

Zgjidhja

3 . 1 Z b a t i m i i E k u a c i o n e v e F a q e | 121

Kërkohet njohuri që rregullat elementare algjebrike veprimeve me shprehje kuptohen dhe të mund të

Ekuacionet janë pjesë shumë e rëndësishme e shumicës së modeleve matematike. Ato paraqiten në shumë raste ose në formë të situatave nga jeta reale ose janë pjesë e procedurave të balansimit.

Sfida matematike prapa ekuacioneve është së pari në formulimin e tyre, së dyti në trajtimin e tyre dhe së treti në zgjidhjen e tyre.

Në këtë kapitull do të ilustrojmë procesin e modelimit dhe do të diskutojmë ekuacionet lineare

, si ekuacionet më të rëndësishme në aplikimet në ekonomi.

3. Ekuacionet


Forma normale

Zgjidhja

3.3 Ekuacionet kuadratike

Format

Zgjidhjet

122 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

Ekuacionet më elementare janë ekuacionet polinomiale, në të cilat shprehja në anën e majtë të ekuacionit është polinom:

11 1 0... 0n n

n na x a x a x a−−⋅ + ⋅ + + ⋅ + =

ku koeficientët 0,...,na a janë numra realë dhe n është numër i plotë

jonegativ.

Ekuacioni më i thjesht polinomial është i shkallës 1 të cilit i referohemi si ekuacion linear:

1 0 0a x a⋅ + =

Në këtë seksion do të merremi me ekuacionet lineare dhe kuadratike, vetitë e tyre, analizën dhe potencialin e zbatimit. Do të diskutojmë sa të rëndësishme janë ato për të përshkruar disa probleme fizike dhe ekonomike.

Në ekuacione të tilla me variabla (= të panjohura), pyetja nuk është nëse ekuacioni është i saktë apo jo, por për çfarë vlera të së panjohurës vlen ekuacioni. Këto vlera quhen zgjidhje të ekuacionit.

Ekzistojnë lloje të ndryshme të ekuacioneve që varen nga zgjidhjet që kanë.

EKUACIONET E KUSHTËZUARA

Ekuacionet të cilat janë të sakta vetëm për disa vlera të variablave (panjohurave) quhen ekuacione të kushtëzuara.

Ekuacionet e kushtëzuara janë tipi “normal” i ekuacioneve algjebrike me të cilat ne do të merremi. Problemi matematikë zakonishtë është të zgjidhet ai, pra të gjenden të gjitha zgjidhjet .

SHEMBULL

1. 2 9 17x+ = është i saktë atëherë dhe vetëm atëherë nëse 4x= , pra 2 4 9 17⋅ + = . Kjo nënkupton se 4x= është zgjidhje e ekuacionit.

2. 3 2 2 8 2x x x− = − + ↔ = , sepse 6 2 4 8− = − + .


3. Nëse formulimi është: Për çfarë vlera të x-it polinomi 2 4x x− do të jetë 0?

Përgjigja është:

21 24 0 0 dhe 4x x x x− = ↔ = =

Sa herë që transformohet ekuacioni duke kryer disa veprime, ju mund të krijoni ndonjë identitet, për këtë ju duhet të siguroheni që të mos humbni apo të mos fitoni ndonjë zgjidhje për ekuacionin e dhënë.

IDENTITETI

Një ekuacion i cili është i saktë për të gjitha vlerat e lejueshme të të panjohurave të përfshira quhet identitet. Me vlera të lejueshme nënkuptojmë vlerat për të cilët anëtarët janë të definuar.

SHEMBUJ

1. 68

4(2 1) 2 8( )x x− = + − + →

8 4 2 6 8 4 8x x x− = − + = − + është i saktë për çdo numër real x.

2. 2 2( 2) 4 4x x x+ = + + është i saktë për çdo numër real x.

Ekuacionet që nuk kanë zgjidhje quhen të pamundshme ose kontradiktore. Kontradiksioni nganjëherë është thjeshtë rezultat i gabimit gjatë transformimeve të ekuacionit, ose mund të merret gjatë vërtetimit.

PAMUNDSHMËRIA

Ekuacioni për të cilin nuk ekziston asnjë zgjidhje ose për asnjë vlerë të të panjohurës nuk është i saktë quhet i pamundshëm (konfliktuoz ose kontradiktor). Vlerat e të panjohurës nuk e plotësojnë ekuivalencën e ekuacionit.

124 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

SHEMBUJ

2 ( 2) 7 2 3x x⋅ + − = +

Nuk ekziston asnjë vlerë x që e plotëson këtë “rresht”, sepse:

2 ( 2) 7 2 4 7 2 3 2 3x x x x⋅ + − = + − = − ≠ +

3.1.1 Modelimi me ekuacione

Para se të transformoni ose të zgjidhni ekuacionin, atë duhet ta formulojmë. Zakonisht ekuacioni ose sistemi i ekuacioneve – shkurt "modeli" – nuk jepet (së paku jo në këtë përmbledhje). Zakonisht, së pari duhet gjetur prezentimin adekuat matematikë të problemit praktik që mund të ketë ndikim në ekonomi, fizikë, ose ndonjë ndikim tjetër. Të zgjidhet një problem nënkupton se së pari problemi duhet të përkthehet në gjuhën e matematikës në mënyrë që të aplikohen metodat dhe procedurat matematike. Ky proces, në të shumtën e rasteve është më i vështirë se sa vet zgjidhja e problemit.

Ne do të diskutojmë disa hapa shumë elementar që mund të na ndihmojnë në përkthimin e suksesshëm të problemit, e me këtë edhe zgjidhjen e problemeve praktike. Këta hapa do t’i ilustrojmë përmes shembujve vijues:

Shembulli 1: Kur do të mbushet rezervuari?

Një rezervuar mbushet përmes dy gypave. Duke përdorur vetëm gypin A, rezervuari mbushet për 8 orë. Kur përdoren njëkohësisht të dy gypat A dhe B, rezervuari mbushet pas dy orësh.

Për sa kohë mbushet rezervuari nëse përdoret vetëm gypi B?

Shembulli 2: Sa vite kanë Jack dhe Jill?

Vitin tjetër Jack do të jetë tre herë më i moshuar se sa ishte Jill dy vite më parë, gjersa pas katër vitesh Jill do të ketë vite sa gjysma e viteve të Jack-ut para tre vitesh.

Sa vite kanë Jack dhe Jill?


Shembulli 3: Sa është shpejtësia e erës mbi Oqeanin Atlantik?

Fluturimi nga Frankfurt për në New York (afro 4,000 mile) ndikohet nga era e fuqishme perëndimore, duke rezultuar në udhëtim mesatarisht 20% më të gjatë se në drejtimin e kundërtë.

Sa është shpejtësia mesatare e erës në lartësi 36,000 këmbë mbi Oqeanin Verior Atlantik nëse shpejtësia në tokë pa erë është 890 km/h?

HAPI 1: ANALIZA E PROBLEMIT

Lexojeni tekstin me vëmendje, nëse ka nevojë dy apo tre herë. Shënjoni informatat e dhëna dhe identifikoni të dhënën që kërkohet.


Të dhënat relevante janë:

• Koha e fluturimit mbi sipërfaqe pa erë është 890 km/h.

• Shpejtësia e erës duhet të shtohet nëse aeroplani udhëton në drejtim të erës dhe duhet të zbritet nëse udhëton në drejtim të kundërtë të erës.

E dhëna që kërkohet është shpejtësia e erës.

Distanca nuk është e rëndësishme, sepse ajo merret parasysh në mënyrë implicite.

HAPI 2: IDENTIFIKMI DHE DEFNIMI I VARIABLES/(AVE)

Zgjedhi ato të dhëna si variabla të cilat në mënyrë eksplicite janë të “panjohura”. Zakonisht është qëllimi i cili është formuluar në problemin në fjalë.

126 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t


As mosha e Jack-ut e as e Jill-it nuk dihen. Që të dya duhet caktuar. Kështu zgjedhim moshat e tyre si variabla.

Le të jenë x vitet e Jack-ut, dhe y vitet e Jill-it.

HAPI 3: PËRKTHIMI NË MODELIN MATEMATIK

Përktheni marrëdhënien e përshkruar në model matematikor, pra në gjuhën e matematikës në mënyrë që të merremi me të.

Ky është hapi qendror, sepse duhet të parashtrojmë problemin në formën matematikore. Shumë shpesh duhet të theksojmë kufizimet ekonomike, fizike apo sociale në ekuacione.


Le të jenë a dhe b kohët që nevojiten kur përdoren gypat përkatës dhe le të jetë c koha për mbushjen e rezervuarit kur përdoren njëkohësisht të dy gypat.

Le të jetë T përmbajtja e rezervuarit.

Sasia e ujit që do të rrjedh nëpër gypa në orë është baraz me

, ose , ose T T T

a b c, përkatësisht.

Përdorimi i të dy gypave nënkupton:

T T T

c a b= +

Kuptojmë se mund të thjeshtojmë T, pra përmbajtja është informatë që në mënyrë implicite përmbahet në kohën e mbushjes. Kemi:

1 1 1 1 a b

c a b c a b

+= + ↔ =

⋅


HAPI 4: ZGJIDHJA E PROBLEMIT MATEMATIKË

Hapi përfundimtar çdoherë është i lidhur me problemin matematik i cili duhet të zgjidhet në raport me modelin e formuluar.

Shumë shpesh modeli matematikë përbëhet nga ekuacionet ose sistemet e ekuacioneve që duhen zgjidhur.


Ne arritëm tek ekuacioni i cili përshkruan koherencën në mes të kohëve të ndryshme të mbushjes:

1 1 1 1 a b

c a c c a b

+= + ↔ =

⋅

Ne duhet të caktojmë b - koha e mbushjes kur përdoret vetëm gypi B, duke supozuar se c dhe a janë të dhëna. Kështu pra e zgjidhim ekuacionin sipas b:

( )a b c a b c a c b a b c b c a⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ → ⋅ − ⋅ = ⋅

( )c a

a c b c a ba c

⋅− ⋅ = ⋅ → =

−

Duke zëvendësuar simbolet me vlerat e dhëna merret:

2 8 16 82.66 ore 2 40 minuta

8 2 6 3

c ab ore e

a c

⋅ ⋅= = = = = =

− −


Le të jenë x vitet e Jack-ut, dhe y vitet e Jill.

Pohimet mund të përkthehen në ekuacionet.

Vitin tjetër Jack do të jetë tre herë më i moshuar se sa ishte Jill dy vite më parë

1 3( 2)x y+ = − (1)

Pas katër vitesh Jill do të ketë vite sa gjysma e viteve të Jack-ut para tre vitesh:

12

4 ( 3)y x+ = − (2)

128 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

Zëvendësojmë 3 ( 2) 1 3 7x y y= ⋅ − − = − në ekuacionin (2):

312 2

4 (3 7 3) 5y y y+ = − − = −

12

9 18y y− = − → = vitet e Jill-it

3 7 54 7 47x y= − = − = vitet e Jack-ut


E dhënë relevante është koha e fluturimit mbi sipërfaqe pa erë:

g =890 km/h

Variabla që kërkohet është shpejtësia e erës w.

Shpejtësia e erës w duhet të shtohet nëse aeroplani lëviz në drejtim të erës dhe të zbritet nëse lëviz në drejtim të kundërtë:

1.2( ) 1.2 1.2g w g w g w g w+ = − ↔ + = −

0.2 0.22.2 0.2 890

2.2 2.2w g w g= → = ⋅ = ⋅ km/h

Era ka shpejtësi mesatare prej 80.9 km/h.

3.1.2 Zgjidhja

Të njehsohen zgjidhjet e një ekuacioni nënkupton transformirmin e ekuacionit dhe thjeshtimin e tij në atë mënyrë që mund të izolohet variabla e panjohur dhe të gjenden të gjitha vlerat e saj. Kjo është saktësisht çka nënkupton “zgjidhja e ekuacionit”. Procesi i transformimit nuk duhet të paraqet ndonjë problem për sa kohë zbatohen rregullat:


VEPRIMET E LEJUARA

� Cilido veprim që kryhet në një anë të ekuacionit i njëjti duhet të kryhet edhe në anën tjetër.

� Sigurohuni se nuk keni shtuar (fituar) apo humbur ndonjë zgjidhje.

� Asnjëherë mos shumëzoni e as pjesëtoni me 0. Nëse shumëzoni ose pjesëtoni me ndonjë term që përmban variabël përjashtoni vlerën 0 për atë term.

Fatmirësisht këto rregulla i hasim në veprimet më elementare në këtë kurs. Megjithatë, është interesant të shihet se si mund të fitojmë ose humbim zgjidhje, ndonëse në të shumtën e rasteve kjo më tepër ndodh aksidentalisht se sa me qëllim. Në vijim kemi disa shembuj.

SHEMBUJ

1. 2 3 7x+ = dhe 2 4x = janë ekuivalente, meqë të dya kanë zgjidhjen x = 2. Duke zbritur 3 nga të dy anët e ekuacionit të parë, identiteti është i qartë.

2. 2 2 0x x+ = dhe 2 0x + = nuk janë ekuivalente, ndonëse që të dya kanë zgjidhje x = 2. Ekuacioni i parë ka edhe një zgjidhje tjetër x = 0, e cila qartë se nuk është zgjidhje e ekuacionit të dytë. Ne e humbëm këtë zgjidhje të mundshme, kur ekuacionin e parë e pjesëtuam me x.

3. Le të zgjidhim ekuacionin 2( 2) 4x − = . Nëse rrënjëzojmë të dy

anët – duke u bazuar në rregullën: “veprimi që aplikohet në një anë duhet të aplikohet edhe në anën tjetër” – merret

2 2 4x x− = → = . Në fakt, kjo zgjidhje është zgjidhje e ekuacionit të parë, por nuk është e vetmja, sepse edhe x = 0 është gjithashtu zgjidhje e ekuacionit të parë. Kjo nënkupton, se duke aplikuar rrënjën katrore ne humbëm një zgjidhje të ekuacionit.

Kështu pra 2( 2) 4x − = dhe 2 2x − = nuk janë ekuivalente.

4. Le të zgjidhim ekuacionin 3 7 2 3x x+ = − . Qartë se 10x =− është zgjidhje. Në bazë të rregullës, ne mund t’i shumëzojmë të dy anët me faktorin x, me ç’rast merret:

130 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

2 2 23 7 2 3 10 ( 10) 0x x x x x x x x+ = − → + = ⋅ + =

Prodhimi është 0, atëherë dhe vetëm atëherë nëse së paku njëri faktor është baraz me 0. Kështu, x = 0 ose x = −10.

Kështu tani kemi dy zgjidhje, prej të cilave vetëm e dyta është zgjidhje e ekuacionit origjinal, gjersa zgjidhja x = 0 nuk është zgjidhje e 3 7 2 3x x+ = + .

Pra duke shumëzuar e fituam një zgjidhje. Prandaj, ekuacioni pas shumëzimit dhe ekuacioni i fillimit nuk janë ekuivalent.

Tani shtrohet pyetja: Cilat veprime lejohen në mënyrë që të merren ekuacione ekuivalente? Në pjesën vijuese do të diskutojmë vetëm veprimet fundamentale që na nevojiten për diskutime të mëtejme:

VEPRIMET E LEJUARA NË EKUACIONE

Transformime të lejuar janë ato që e lënë bashkësinë e zgjidhjeve të pandryshueshme.

Veprimet vijuese janë të lejuara.

MBLEDHJA OSE ZBRITJA

Kryerja e mbledhjes ose zbritjes me të njëjtin term në të dy anët e ekuacionit nuk e ndryshon bashkësinë e zgjidhjeve. Rezultati është ekuacion ekuivalent.

Kjo nënkupton se nëse të dy anëve të ekuacionit ua shtojmë të njëjtën vlerë nuk ndikon në zgjdhjen e ekuacionit. Megjithatë, vlera që do të shtohet ose zbritet duhet të jetë e vlefshme për të dy anët e ekuacionit.

SHEMBUJ

1. 2 3 10x x+ = − +


Nëse të dy anëve ua zbresim 10, ekuacioni do të jetë:

2 3 10 10 10x x x+ − = − + − = −

Nëse të dy anëve u shtojmë x ekuacioni do të ndryshojë por kjo nuk do të ketë efekt në bashkësinë e zgjidhjeve:

2 3 10 2 7 0x x x x x+ − = − + = − + =

Si rezultat merret është ekuacioni ekuivalent:

3 7 0x− =

2. 22 12 4 4x x+ = −

Sigurisht se mund të veprojmë me më shumë terma në të njëjtën kohë; për shembull, e zbresim tërë anën e djathtë për të marrë 0:

22 12 (4 4) 4 4 (4 4) 0x x x x+ − − = − − − =

Duke kombinuar termat e ngjashëm kemi:

22 4 16 0x x− + =

Nga dy shembujt e mësipërm duhet të jetë e qartë se mbledhja dhe zbritja e të dy anëve të ekuacionit me ndojë term nuk është e kufizuar për ndonjë lloj specifik të ekuacioneve. Ajo vlen për të gjitha llojet.

Në shembullin e parë ne kemi zbritur 10 për ta “hequr” konstanten në anën e djathtë. Si rezultat 10 nuk paraqitej në anën e djathtë dhe është zbritur në anën e majtë. Me fjalë të tjera nëse e “zhvendos” një term mbledhës nga njëra anë në tjetrën, shenja e tij ndërron. Kjo jo vetëm që është e saktë për konstantet por për të gjithë termat. Atëherë shembulli i sipërmë shndërrohet në:

SHEMBUJ

1. 2 3 10x x+ = − +

Ndryshimi i anës së termit ( 10)x− + nënkupton se atë duhet ta

zbresim nga ana e majtë:

2 3 ( 10) 0x x+ − − + = → 2 3 10 0x x+ + − =

Si rezultat merret ekuacioni ekuivalent:

132 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3 7 0x− =

2. 22 12 4 4x x+ = −

Sërish për të marr 0 e zhvendosim tërë anën e djathtë në anën e majtë duke ndryshuar shenjat:

22 12 (4 4) 0x x+ − − =

Duke kombinuar termat e ngjashëm merret i njëjti rezultat si më sipër: 22 4 16 0x x− + =

Posa të fitoni përvojë në manipulimin e ekuacioneve me qëllim të zgjidhjes apo thjeshtimit të tyre, pothuajse në mënyrë automatike do të aplikoni argumentimin e mësipërmë.

SHUMËZIMI OSE PJESËTIMI

Kryerja e shumëzimit ose pjesëtimit me të njëjtin term jo zero në të dy anët e ekuacionit nuk e ndryshon bashkësinë e zgjidhjeve. Rezultati do të jetë një ekuacion identik.

Fraza më e rëndësishme në rregullën e mësipërme është "termi jobaraz me zero". Është në mënyrë strikte e ndaluar të shumëzohet me zero, sepse rezultati do të ishte identitet trivial:

0 = 0

Po ashtu është e ndaluar të pjesëtohet me zero sepse rezultati do të ishte term i pacaktuar.

Ju mund të argumentoni se këto rregulla i keni mësuar në klasën e tretë apo të katërtë. Kush do të shumëzonte ose pjesëtonte me zero? Pse dikush do të bënte një gjë të tillë?

Problemi është se ju nuk shumëzoni ose pjesëtoni me vet numrin zero, por me një term që ka vlerën zero, e për të cilin nuk jeni në dijeni. Le të sqarojmë këtë përmes një shembulli. Supozojmë se duhet caktuar vlerat të cilat janë zgjidhje të ekuacionit:


22 4 0x x− =

Duke e nxjerrë faktorin 2x të përbashkët para kllapave merret:

2 ( 2) 0x x⋅ − =

Duke i pjesëtuar të dy anët me termin 2x ekuacioni thjeshtohet në mënyrë substanciale:

2 0x − =

Tani është lehtë të gjendet zgjidhja: 2x= . Megjithatë, kjo nuk është zgjidhja e vetme, sepse 0x= është gjithashtu zgjidhje e ekuacionit të mësimërm. Kështu pra, duke pjesëtuar me termin 2x e kemi ndryshuar identitetin e ekuacionit dhe kemi humbur një zgjidhje.

Duke marrë parasysh se termi 2x mund të jetë zero, do të duhej të argumentonim se prodhimi 2 ( 2)x x⋅ − është zero nëse njëri nga faktorët

është zero. Atëherë do të shmangej pjesëtimi me zero dhe do të merreshin të dy rezultatet e sakta:

0x= dhe 2x=

Shumëzimi dhe pjesëtimi i ekuacioneve nga një numër apo term ndodh shpesh me qëllim që të kryhen thjeshtimet algjebrike.

SHEMBUJ

1. 2 3 10x x+ = − +

Në mënyrë që të zgjidhet barazimi e izolojmë variablën x:

2 10 3 3 7x x x+ = − → =

Duke pjesëtuar të dy anët me 3 merret zgjidhja: 73

x=

2. 22 12 4 4x x+ = −

Sërish, që të merret 0, e zhvendosim tërë anën e djathtë në atë të majtën duke u ndryshuar shenjën termave:

22 12 (4 4) 0x x+ − − =

Duke kombinuar termat e ngjashëm merret rezultati i ngjashëm si

më sipër: 22 4 16 0x x− + =

134 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

Në mënyrë që të merret formë pak më e thjeshtë mund të pjesëtojmë të dy anët me 2:

2 2 8 0x x− + =

Formën e fundit më vonë do ta quajmë "forma normale e ekuacionit kuadratik".

Ekuacioni vijues përmban shprehje thyesore:

4 8 1

32 3

x x

x x

− ++ =

−

Që ta zgjidhim ekuacionin e tillë, duhet ta kemi të qartë se të dy emëruesit janë problematik. Kështu që është shumë e natyrshme që të shmangemi prej tyre duke e shumëzuar tërë ekuacionin së pari me termin

2x− dhe pastaj me termin 3x (ose anasjelltas):

(4 8) ( 2) 3 ( 1) ( 2) 33( 2) 3

( 2) 3

x x x x x xx x

x x

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅+ = − ⋅

−

Duke thjeshtuar termat e ngjashëm në thyesa merret:

(4 8) 3 ( 1)( 2) 3 ( 2) 3x x x x x x− ⋅ + + − = ⋅ − ⋅

Në të dy anët duhet të shumëzojmë polinomet. Pas rregullimit të ekuacionit ashtu që termat e shkallës së njëjtë të kombinohen, merret:

2 2 212 24 2 2 9 18x x x x x x x− + + − − = − → 24 7 2 0x x− − =

Në seksionin 3.3 do të mësojmë se si zgjidhen ekuacionet e mësipërme (kuadratike). Për momentin mjafton të dijmë se ekuacioni ka dy zgjidhje

2x= dhe 14

x = − , e që mund të provohet duke i zëvendësuar variablat

me ato vlera.

Kështu, dy zgjidhjet 2x= dhe 14

x = − e zgjidhin ekuacionin:

24 7 2 0x x− − =

Megjithatë, jo të dya janë zgjidhje të ekuacionit origjinal:

4 8 13

2 3

x x

x x

− ++ =

−


Duke supozuar se ekuacionin e transformuam në mënyrë korrekte gjatë të gjithë hapave, mund të pyesim: Ku gabuam?

Përgjigjen e gjejmë qysh në fillim. Në ekuacionin origjinal duhet të përjashtojmë vlerat 2x= dhe 0x= sepse për këto vlera, emëruesit përkatës bëhen zero, e që siç tham ndalohet rreptësisht.

Pastaj, duke shumëzuar me emëruesit ne “korrektuam” këtë përjashtim që sillte tek zgjidhja 2x= dhe tek një ekuacion tjetër (jo identik).

SHEMBUJ

1. 3 2

1 1x x=

− + → 1, 1x ≠ −

Për të zgjidhur ekuacionin e izolojmë variablën x:

3( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)

3( 1) 2( 1)1 1

x x x xx x

x x

− ⋅ + − ⋅ += → + = −

− +

3 3 2 2 5x x x+ = − → = −

2. 5 1

2( 1) 2

x

x

−=

+ → 1x ≠ −

( )1 ( 1)5 1 5

2( 1) 2 2( 1) 2( 1)

x xx

x x x

− ⋅ +−= → =

+ + +

Duke thjeshtuar faktorët e përshtatshëm:

25 ( 1) ( 1) 1x x x= − ⋅ + = −

Pasi të izolojmë x, merret:

2 6x = , pra të dy zgjidhjet 1 6x = dhe 2 6x =− , janë

gjithashtu zgjidhje të ekuacionit origjinal sepse nuk duhej të përjashtoheshin.

Problemi i fundit është shembull i mirë i thjeshtimit substancial të veprimeve të "shumëzimit ose pjesëtimit ", sepse në shumë situata nuk është e mundur që së pari të shumëzohet me emëruesin e përbashkët e

136 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

pastaj të thjeshtohen faktorët e përbashkët. Të dy hapat mund të kryhen përnjëherë duke zbatuar të ashtuquajturin "shumëzimin e tërthortë".

Le të shikojmë edhe një herë shembullin 2:

5 1

2( 1) 2

x

x

−=

+ për 1x ≠ −

Shumëzimi i tërthortë nënkupton se shumëzohet ana e majtë me emëruesin e anës së djathtë dhe anasjelltas. Si rezultat kemi:

2 5 2( 1) ( 1)x x⋅ = + ⋅ −

Kjo nënkupton, se kemi arritur tek i njëjti rezultat si edhe më parë.

Çdoherë mund të aplikoni shumëzimin e tërthortë kur të dy anët e ekuacionit janë thyesa të rregullta ose të përziera. Rregulla është:

SHUMËZIMI I TËRTHORTË

Shumëzoni secilin numërues me emëruesin e anës tjetër. Kjo nënkupton se në rast se kemi shumë të termave së pari duhet të krijojmë thyesa të rregullta.

SHEMBUJ

1. 4 5

2 1 3x x=

− + →

1, 3

2x ≠ −

Shumëzimi i tërthortë jep:

4( 3) 5(2 1) 4 12 10 5x x x x+ = − → + = −

176

6 17x x− = − → =

2. 3 2

21 1x x= +

+ − → 1; 1x ≠ −

Para shumëzimit të tërthortë shndërroni anën e djathtë në thyesë të përzier:

3 2 2 2( 1) 2 2 2 2

21 1 1 1 1

x x x

x x x x x

+ − + −= + = = =

+ − − − −


Kryeni shumëzimin e tërthortë: 2 23 ( 1) 2 ( 1) 2 2 3 3 2 2x x x x x x x x⋅ − = ⋅ + = + → − = +

Renditja e termave sjell tek ekuacioni:

22 3 0x x− + =

Sërish kemi ekuacion kuadratik, zgjidhjen e të cilit do ta diskutojmë në seksionin 3.3.

138 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

USHTRIMI 3.1: ZBATIMI I EKUACIONEVE



1. Jepni një shembull për:

a) Ekuacionin linear

b) Ekuacionin e kushtëzuar

c) Ekuacionin identitet

d) Ekuacionin e pamundshëm

e) Ekuacionin ekuivalent nga pjesa (b)

2. Të zgjidhen ekuacionet vijuese duke treguar të gjitha hapat dhe veprimet në anën e djathtë:

a) 3( 1) 7x − = b) 2

43

x= c) 4( 1) 2 4x x− = −

d) 3 4 11z− = e) 7 (3 1) 5 ( 1)x x+ + = − +

f) 1 1 4

23 3 9

x x− = − + g) 1 1

( 3) (2 1)2 5

x x− = +

3. Të zgjidhen problemet me fjalë:

a) Çmimi që u pagua një kompjuter pas 22% zbritje ishte 1,871.50 EUR. Sa ishte çmimi para lirimit?

b) Shuma e tre numrave të njëpasnjëshëm tek është 117. Cilët janë ata numra?


c) Hansi është për 7 vite më i moshuar se Sabrina. Sa vite kanë ata të dy nëse shuma e dyfishit të viteve të tyre është 66?

d) Një brinjë e drejtkëndëshit është 20 cm më e shkurt se tjetra. Sa është e gjatë brinja e shkurtër nëse syprina e sipërfaqes së drejtkëndëshit është 0.8 m2?

e) Dy vetura që janë larg njëra tjetrës 500 km janë nisur në drejtim të njëra tjetrës me ndryshim konstant të shpejtësisë prej 10 km/h. Sa është shpejtësia e tyre nëse ato takohen pas 2 orë e 15 minutash?

f) Çiklisti vozit biçikletën e tij në një përpjetëz me një shpejtësi prej 20 km/h dhe teposhtë me shpejtësi prej 60 km/h. Sa është shpejtësia e tij mesatare për tërë udhëtimit (pra përpjetë dhe teposhtë)?

g) Cilët janë ata dy numra ndryshimi i të cilëve është 12 kurse prodhimi 493?

h) Dy familje jetojnë 550 km larg njëra tjetrës. Ata dëshirojnë të takohen dhe nisen me vetura në ora 9. Njëra familje udhëton me shpejtësi konstante prej 90 km/h, kurse tjetra me shpejtësi konstante prej 110 km/h. Në ora sa takohen ato?

140 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

REZULTATET 3.1: ZBATIMI I EKUACIONEVE

1. a) 4 1 19x− = Ekuacion linear me një ndryshore

b) 5 8x + = e saktë vetëm për 3x =

c) ( ) ( )2 2x y x y x y− = − ⋅ +

d) ( )2 3 1 3(2 4)x x+ = −

e) 2 10 16x+ =

2. a) 13

3x = b) x = 6 c) x = 0 d) z = −2

e) x = −1 f) 13

x= g) x = 17

3. a) EUR 2399.36

b) Numrat e kërkuar janë 37, 39, dhe 41.

c) Sabrina është 13 vjeçare kurse Hansi 13+7=20 vjeçar.

d) Brinja e shkurtë është 80 cm dhe brinja e gjatë është 100 cm.

e) Vetura e shpejtë vozit 116.11 km/h dhe vetura e ngadalshme 106.11 km/h.

f) Shpejtësia mesatare është 30 km/h.

g) Numrat janë 17 dhe 29, ose −17 dhe −29.

h) Dy familjet takohen në ora 11:45.


3.1.3 Testi i Progresit për “Zbatimin e ekuacioneve”



1. Shuma e tre numrave të njëpasnjëshëm tek është 279. Për cilët numra është fjala?

2. Pas 5 vitesh Ana do të jetë e moshuar sa gjysma e nënës së saj. Para tre vitesh Ana ishte e moshuar sa një e treta e nënës së saj pas 11 vitesh. Sa vite ka Ana dhe nëna e saj?

3. Një kompani prodhon karrige dhe tabela në një makinë. Për të prodhuar një karrige nevojitet 1 njësi e lëndës së parë dhe 2 orë pune të makinës. Për të prodhuar një tabelë nevojiten 2 njësi të lëndës së parë dhe 3 orë pune të makinës. Ata kanë 19 njësi të lëndës së parë. Makina mund të përdoret 34 orë. Sa karrige dhe sa tavolina mund të prodhohen?

4. Anna bleu 2 bukë dhe 6 kifle në furrë. Ajo pagoi 4.80 EUR. Kur u kthye në shtëpi nëna e pyeti për çmimin e një kifle. Por ajo nuk mbante mend çmimin.

Tre ditë më vonë ajo shkoi tek furra sërish dhe bleu 3 bukë dhe 15 kifle. Këtë herë ajo pagoi 9 EUR. Kur nëna e pyeti atë sërish për çmimin, ajo e pranoi se kishte harruar të pyeste.

Megjithatë, ajo i tregoi nënës se në shkollë kishte mësuar se si të njehsonte çmimin e njësisë nga numri i njësive të blera dhe nga çmimi përfundimtar. Si kalkuloi ajo çmimin e bukës dhe kifles?

142 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

5. Të caktohen numrat, ndryshimi i të cilëve është 12 dhe prodhimi është 493?

6. Dhoma është e gjatë 6.6 m dhe e gjerë 4.8 m. Të dy anët duhet të zgjerohen për të njëjtën madhësi. Sa duhen zgjeruar dimensionet në mënyrë që sipërfaqja të rritet për 5 m

2?

7. Kompania ka vendosur të prodhojë këmisha. Çmimi javor i fiksuar është 17,970 EUR dhe çmimi i ndryshueshëm është 4.95 EUR/këmishë. Sa këmisha duhen shitur gjatë javës me çmimin 14.95 EUR/këmisha në mënyrë që të arrihet fitimi prej 8000 EUR?

8. Një brinjë e drejtkëndëshit është 20 cm më e shkurt se tjetra. Sa është e gjatë brinja e shkurtër nëse syprina e sipërfaqes së drejtkëndëshit është 0.8 m2?

3 . 2 E k u a c i o n e t l i n e a r e

3.2 Ekuacionet lineare

Parakushtet: Për të kryer këtë kapitull me lexuesi duhet të posedojë njohuri elementare për veprimet themelore për zgjidhjen dheshprehjeve.

Qëllimet e mësimit: Qëllimi i këtij kapitulli nuk është vetëm të mësohemi të zgjidhim ekuacione lineare por edhe të studiojmë vetitë e marrëdhënieve të tillazgjidhim ekuacione lineare duke përdorur metoda të ndryshme dhe duke diskutuar qartësinë e zgjidhjes

Formulimi dhe zgjidhja e ekuacioneve janë ndër aktivitetet më të aplikuara në matematikëEkuacionet linearemarrëdhënieve, praktikë e veçanërisht në eekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve është një aspekt esencial i aplikimit të algjebr

3. Ekuacionet


Modelimi

Zgjidhja


Forma normale

Zgjidhja

F a q e | 143

Për të kryer këtë kapitull me sa më pak vështirësi, xuesi duhet të posedojë njohuri elementare për

veprimet themelore për zgjidhjen dhe thjeshtimin e

Qëllimi i këtij kapitulli nuk është vetëm të mësohemi të zgjidhim ekuacione lineare por edhe të studiojmë vetitë e marrëdhënieve të tilla. Ne do të zgjidhim ekuacione lineare duke përdorur metoda të

shme dhe duke diskutuar qartësinë e zgjidhjes.

imi dhe zgjidhja e ekuacioneve janë ndër aktivitetet më të aplikuara në matematikë. Ekuacionet lineare, si format më të thjeshta të

, janë shumë të aplikueshme në praktikë e veçanërisht në ekonomi. Formulimi i ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve është një aspekt esencial i aplikimit të algjebrës lineare.

3. Ekuacionet


Forma normale

Zgjidhja


Format

Zgjidhjet

144 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3.2.1 Forma normale e ekuacionit linear

Ekuacioni më i thjeshtë polinomial është ai i shkallës 1, pra kur variabla x paraqitet vetëm me eksponentin 1. Ky ekuacion quhet ekuacion linear dhe ka formën e përgjithshme:

FORMA NORMALE E EKUCIONIT LINEAR

Ekuacioni linear ka formën e përgjithshme:

0 a x b⋅ + =

ku 0a≠ dhe b janë numra realë.

Shembujtë vijues mund të shprehen në formën e mësipërme standarde të ekuacionit linear, siç tregohet.

SHEMBUJ

1. 2 12 2 12 0x x= → − =

2. 5 1.3 22 1.3 ( 5 22) 0y y− = → − + − =

3. 6

261 261 6 0xx= → − =

4. 4 8

4 (2.5 6 ) 172 62 07

yy y

+⋅ − = → − + =

Ekuacionet lineare të formës së mësipërme janë të përshtatshme sepse ato kanë vetëm një zgjidhje. Duke zbatuar veprimet të cilat i diskutuam në seksionin paraprak merret:

0 b

a x b a x b xa

⋅ + = ↔ ⋅ = − ↔ =−

3 . 2 E k u a c i o n e t l i n e a r e F a q e | 145

Hapi i fundit mund të kryhet pasi të kemi kombinuar të gjithë termat (linear) që përmbajnë variablën x në anën e majtë dhe termat absolutë (pa variabël) në anën e djathtë.

SHEMBUJ

1. 2 3 5 9 2 5 9 3 3 12x x x x x+ = − ↔ − = − − ↔ − = −

123 4x −−↔ = =

2. a x b c x d⋅ + = ⋅ +

( ) ( )a x c x b d a c x b d⋅ − ⋅ = − ↔ − ⋅ = −

ku

b dx a c

a c

−↔ = ≠−

3. 2 1

4( 2)3

xx

+= −

Në mënyrë që të kryejmë veprimet e mësipërme duhet ta transformojmë në formën normale. Për këtë arsye zbatojmë rregullat e thyesave dhe kllapave:

2 1 12( 2) 12 24 10 25 2.5x x x x x+ = − = − ↔ − = − ↔ =

3.2.2 Zgjidhja

Në mënyrë që të zgjidhim ekuacionin linear duhet të kryejmë këta hapa:

Hapi 1: Eliminojmë kllapat ose thyesat në të dy anët.

Hapi 2: I grumbullojmë termat e ngjashëm.

Hapi 3: Mbledhim ose zbresim ashtu që variablat të jenë në një anë dhe vlerat absolute në anën tjetër.

Hapi 4: Shumëzojmë ose pjesëtojmë për ta izoluar variablën e panjohur.

146 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

Hapi 5: Në rast se rezultati është 0 = 0, atëherë ky ekuacion është ekuacion identitet dhe zgjidhje e tij është çdo numër real x.

Hapi 6: Në rast se ana e majtë nuk është njësoj si ana e djathtë ose anasjelltas, ekuacioni është i pamundshëm dhe nuk ka zgjidhje.

Hapi 7: Përfundimisht, preferohet që të verifikohet saktësia e zgjidhjes duke zëvendësuar zgjidhjen në ekuacionin e fillimit. Nëse zgjidhja është korrekte, ekuacioni me variablën e zëvendësuar shndërrohet në identitet.

SHEMBUJ

1. 3 2 1

3( 4) 3 2 12( 4) 14 4

xx x x

+= − + ↔ + = − +

3 2 12 48 1 3 12 47 2x x x x+ = − + ↔ − = − −

499

9 49x x↔ − = − ↔ =

Kontrollojmë: 499 49 55 55

9 12 12

23( 4) 1

4

+= − + ↔ =

2. 2 2( 6) 3 3 5( 1)x x x x+ − = + − −

2 2 12 3 3 5 5 4 2 8 12x x x x x x+ − = + − + ↔ + = +

10

6 203

x x= ↔ =

Kontrollojmë: 20 10 30 10 4 43 3 3 3 3 3

2( 6) 3 5( 1)+ − = + − − ↔ =

3. 1 1 1 12 3 4 6x x− = +

Nëse disa nga koeficientët në ekuacion janë thyesa, këshillohet që të transformojmë të gjithë në thyesa me emërues të përbashkët, në këtë rast emëruesi i përbashkët është 12:

6 34 212 12 12 12

shumezojme me 12: 6 4 3 2x x x x− = + → − = +

3 6 2x x= → =


Kontrollojmë: 1 1 1 1 4 42 3 4 6 6 6

2 2⋅ − = ⋅ + ↔ =

Ekuacionet lineare gjithashtu mund të rezultojnë nga konvertimi i thyesave racionale ose shprehjeve racionale algjebrike. Megjithatë, kur variabla paraqitet në emërues duhet të kontrollojmë cilat vlera duhet të përjashtohen për shkak se emëruesi nuk bënë të jetë asnjëherë zero.

Për formën standarde të polinomit linear: ax b+ nuk duhet përjashtuar asnjë vlerë. Kjo shprehje vlen për çdo numër real x.

Krahasoni shprehjen e mësipërme me:

2 3

1

x

x

−−

Kuptojmë se për 1x = shprehja nuk është e definuar, sepse emëruesi bëhet zero. Kështu pra duhet të përjashtojmë 1x = . Këtë e shënojmë:

2 3

1

x

x

−−

për 1x ≠

Ekuacioni:

2 35

1

x

x

−=

− për 1x ≠

mund të shumëzohet me ( 1)x − për t’u shndërruar në ekuacionin vijues

linear:

2 3 5( 1)x x− = −

Zgjidhja është:

233 2x x− = − → =

për shkak se këtë vlerë nuk e përjashtuam.

SHEMBUJ

1. 2 3

23 1

x

x

−=

+

Vlera 13

3 1 0x x+ = → = − duhet të përjashtohet.

148 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

2 3 2(3 1) 2 3 6 2 4 5x x x x x− = + ↔ − = + ↔ − =

5 14 3

x→ = − ≠

Kështu 54

x = − është zgjidhja.

2. 6 3

22 1

x

x

−=

−

Vlera 12

2 1 0x x− = → = duhet të përjashtohet.

126 3 2(2 1) 6 3 4 2 2 1x x x x x x− = − ↔ − = − ↔ = → =

Vlera që morëm duhet të përjashtohet. Prandaj, ekuacioni nuk ka zgjidhje.

3. 3 2

1 2x x=

+ − →

Tani të dy vlerat 1 0 1x x+ = → = − dhe 2 0 2x x− = → = duhet të përjashtohen.

3( 2) 2( 1) 3 6 2 2 8x x x x x− = + ↔ − = + ↔ =

Vlera që morëm është e ndryshme nga vlerat e përjashtuara kështu që 8x = është zgjidhja e ekuacionit.


USHTRIMI 3.2: EKUACIONET LINEARE



1. Të zgjidhen ekuacionet vijuese duke treguar të gjithë hapat por duke mos cekur veprimet:

a) 5 5 1

4 2 4

x x− −+ = b) 3( 1) 7y y− = +

c) 6 1 2 3( 1)x x− = + + d) 5 ( 3) 1 0z z− + + =

e) 4 (3 2) 2( 3) 2 4( 9)x x x+ − − − = + −

f) 1 1 1 12 3 6 12

( 1)x x x+ + − = g) 3 1 2 2

210 5

x x+ −− = −

h) 2 1 3 2 7

6 3 3

x x− ++ =

2. Të zgjidhen ekuacionet vijuese kurdo që është e mundur:

a) 2 3

61

x

x

+=

− b)

2 3 5 31

9 6 2

x x x− + −− = +

c) 5 25

25 5

x

x x= −

+ + d)

1 2 2

3 2 4 3 6

x x

x x

− +− =

+ +

e) 3 6

2 1 2 1

x

x x+ =

− −

150 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3. Të përdoret kalkulatori për të njehsuar deri në 3 shifra pas presjes dhjetore:

a) 2.473( 1.69) 2.12 1.775

16.41212.04 4.211

x x+ −= −

b) 3.12 23.45

2.4 1.33 13.2 8.54x x=

− −

c) 3 0.004 12.14

2.86 (1.98 2.54)7 0.072

xx x

++ − =


REZULTATET 3.2: EKUACIONET LINEARE

1. a) 163

x = b) 5y = c) 2x =

d) 12

z = e) 14x = f) 14

x =

g) 25x = h) 118

x =

2. a) 94

x = b) 6610

6.6x = = c) Nuk ka zgjidhje

d) 2x = e) Nuk ka zgjidhje

3. a) 23.2438x = b) 0.8727x = c) 47.23x =

152 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3.2.3 Testi i Progresit për “Ekuacionet Lineare”



1. Të zgjidhen ekuacionet dhe shënoni në mënyrë eksplicite veprimet që do të aplikohen:

a) 3( 1) 7x − = b) 4( 1) 2 4x x− = − c) 2

43

x=

d) 3 4 11z− = e) 7 (3 1) 5 ( 1)x x+ + = − +

2. Të zgjidhen ekuacionet pa cekur veprimet e veçanta:

a) 5 5 1

4 2 4

x x− −+ = b) 3( 1) 7y y− = +

c) 3 1 2 2

210 5

x x+ −− = −

3. Cilat vlera duhen përjashtuar si zgjidhje të mundshme? A ka zgjidhje të tjera?

a) 3 2

; 1; 21 2

xx x

= ≠ −+ −

b) 12

6 32;

2 1

xx

x

−= ≠

−

c) 13

2 32;

3 1

xx

x

−= ≠ −

+


4. Të zgjidhen ekuacionet nëse është e mundur:

a) 2 3

6; 11

xx

x

+= ≠

−

b) 5 25

2 ; 55 5

xx

x x= − ≠ −

+ +

c) 12

3 64 ;

2 1 2 1

xx

x x+ = ≠

− −

5. Dick është 7 vite më i moshuar se Ana. Sa vite kanë ata nëse shuma e viteve të tyre është gjysma e viteve të gjyshes së tyre e cila është 66 vjeçare?

6. Dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë kurse këndi i tretë është tre herë më i madh se shuma e tyre. Të caktohen këndet? (Shuma e tre këndeve të një trekëndëshi është 180°.)

154 | F a q e

3.3 Ekuacionet Kuadratike

Parakushtet: Ekuacionet që do t’i punojmë në këtë njësi janë paksa më të komplikuarapër të zgjidhur ekuacionet kuadratike duhet të jemi në gjendje të punojmë me eksponentëkatrore.

Qëllimet e mësimit: Ekuacionet kuadratike shpesh paraqiten gjatë zgjidhjes së problemeve matematikeështë esenciale të jemi në gjendje t’i zgjidhim ato. Nëse dështojmë në zgjidhjen e tyre (ekuacioneve kuadratike) nuk duhet të presim të jemi në gjendzgjidhim problemin e dhënë

3. Ekuacionet


Modelimi

Zgjidhja


Forma normale

Zgjidhja

3 . E k u a c i o n e t

Ekuacionet që do t’i punojmë në këtë njësi janë paksa më të komplikuara. Duke marrë këtë parasysh, për të zgjidhur ekuacionet kuadratike duhet të jemi në gjendje të punojmë me eksponentët dhe rrënjën

Ekuacionet kuadratike shpesh paraqiten gjatë zgjidhjes së problemeve matematike. Kështu që është esenciale të jemi në gjendje t’i zgjidhim ato. Nëse dështojmë në zgjidhjen e tyre (ekuacioneve kuadratike) nuk duhet të presim të jemi në gjendje ta zgjidhim problemin e dhënë.

3. Ekuacionet


Forma normale

Zgjidhja


Format

Zgjidhjet

3 . 3 E k u a c i o n e t k u a d r a t i k e F a q e | 155

3.3.1 Format e Ekuacioneve kuadratike

Ekuacioni vijues është polinom i shkallës 2.

FORMA STANDARDE E EKUACIONIT KUADRATIK

Ekuacioni kuadratik është polinom i shkallës 2 i formës:

2 0a x b x c⋅ + ⋅ + =

ku a,b,c dhe 0a≠ .

Meqë këto ekuacione paraqiten po aq shpesh sa edhe ekuacionet lineare, do të diskutojmë shkurtimisht këto lloje të ekuacioneve. Qëllimi kryesor është të jemi në gjendje t’i zgjidhim ato.

Për të filluar procesin e zgjidhjes do të fillojmë si edhe me ekuacionet lineare dhe me të gjitha ekuacionet që dëshirojmë t’i zgjidhim: I transformojmë në formën standarde. Kjo nënkupton, se aplikojmë veprimet algjebrike dhe i radhisim termat e ngjashëm deri sa të arrijmë tek forma e mësipërme. Veprimet që nevojiten janë të ngjashme si ato të diskutuara në fillim të këtij kapitulli.

SHEMBUJ

1. 22 3( 2) 4 (1 2 ) ( 1) 4x x x x− + + = − ⋅ + +

2 22 3 6 4 1 2 2 4x x x x x− − + = + − − +

24 2 7 0x x− − =

Forma standarde: a = 4; b = −2; c = −7

2. 4 1

12 3

xx

x

+= +

−

Siç kemi diskutuar: 32

2 3 0x x− ≠ → ≠

24 11 4 1 (2 3) ( 1) 2 3

2 3

xx x x x x x

x

+= + ↔ + = − ⋅ + = − −

−

156 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

2 24 1 2 3 2 5 4 0x x x x x+ = − − ↔ − − =

Forma standarde: a = 2; b = −5; c = −4

3.3.2 Zgjidhja

Fatmirësisht, paraprakisht e dijmë se ekuacionet kuadratike mund të kenë dy zgjidhje, një zgjidhje ose të mos kenë fare zgjidhje. Kjo është për shkak të një vetie themelore e cila tregon se kemi më së shumti aq zgjidhje reale sa edhe shkalla e polinomit.

Le të shohim se si zgjidhet ekuacioni kuadratik. Posa të arrijmë në formën standarde, ekzistojnë disa mënyra për të përcaktuar zgjidhjen, varësisht nga vlerat e parametrave a, b, dhe c.

Rasti: b = 0

Forma standarde redukohet në formën: 2 0a x c⋅ + =

Duke izoluar variablën x në anën e majtë merret: 2 cx

a= −

E dijmë se 0a≠ ; zgjidhja esencialisht varet nga shenja në anën e djathtë:

• Për 0c

a− > merren dy zgjidhje, duke njehsuar rrënjën katrore:

1/2c

xa

= ± −

• Për c = 0, kemi vetëm një zgjidhje, atë: x = 0

• Për 0c

a− < nuk kemi zgjidhje reale.


SHEMBUJ

Të zgjidhen barazimet vijuese kuadratike.

1. 2 2 41/22

2 4 0 2 2x x x− = → = = = ±

2. 2 2 254

5 2 4 25 5 2 22

xx x x x x

− + = ⋅ − → − + = −

2 554 2

x x= → = ±

3. 2 2( 2) 3 6 ( 2) 9 ( 2) 9x x x+ − = → + = → + = ±

1 22 3 1; 2 3 52 3 xx x = − + = = − − = −→ + = ±

4. 221 2 ( 3) ( 1) 2 3

3

xx x x x x x

x− = + → − = − ⋅ + = − −

− për 3x ≠

2

1/23 0 3x x− = → =±

Rasti: c = 0

Forma standarde redukohet në:

2 0a x b x⋅ + ⋅ =

Në këtë rast faktorizojmë x jashtë kllapave:

( ) 0x a x b⋅ ⋅ + = .

Prodhimi është zero atëherë dhe vetëm atëherë kur njëri nga faktorët në anën e majtë është zero. Kështu ose 0x= ose 0a x b⋅ + = .

Këto dy kushte sjellin dy zgjidhje:

1 0x = dhe 2ba

x = −

158 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

SHEMBUJ

Të zgjidhen ekuacionet vijuese kuadratike.

1. 2

1 22 4 0 2 ( 2) 0 0; 2x x x x x x− = → ⋅ − = ↔ = =

2. ( )2 24 25 2 5

2 4 5 2 4 4xx x x x x− + − = ⋅ − → − + − = −

( )2 825 5

2 0 0x x x x x− + − = → − ⋅ − =

81 2 50;x x= =

3. 22 31 2 3 ( 3) ( 1) 4 3

3

xx x x x x x

x

−− = + → − + = + ⋅ + = + +

+

për 3x ≠ −

2

1 26 0 ( 6) 0 0; 6x x x x x x+ = ↔ ⋅ + = → = =−

Rasti: a, b, dhe c ≠ 0

Në këtë rast kemi formën standarde pa ndonjë kusht të veçant. Tani mund të diskutojmë dy nënraste, të cilat mësohen në nivel ndërkombëtar.

KUJDES

Është idea e mirë të punoni me metodën ose formulën të cilën e keni mësuar në shkollë. Ju mund të preferoni të ashtuquajturin forma a, b, c ose mbase e keni mësuar të ashtuquajturën formën p, q. Rezultati është i njëjtë; ato dallojnë vetëm në hapin e parë.


FORMA A,B,C

Zgjidhjet e ekuacionit kuadratik në formën standarde 2 0a x b x c⋅ + ⋅ + = janë:

2

1/24

2

b b a cx

a

− ± − ⋅=

Pjesa nën rrënjë quhet diskriminantë (dallor):

2 4D b a c= − ⋅

Shenjat e tij përcaktojnë numrin e zgjidhjeve.

Për 0D > kemi dy zgjidhje: 2

1/24

2

b b a cx

a

− ± − ⋅=

Për 0D = kemi një zgjidhje (të dyfishtë): 1 22

bx

a=

−=

Për 0D < nuk kemi zgjidhje reale.

SHEMBUJ

Të zgjidhen ekuacionet vijuese kuadratike.

1. 21/2

2 4 4 2 ( 4) 2 362 2 4 0

2 2 4x x x

− ± − ⋅ ⋅ − − ±+ − = → = =

⋅

1/2 1 22 6

1; 24

x x x− ±

= → = = −

2. 2 25 2 25 5 2 252 2

x xx x x x

− + = − → − + = −

3 92 42 3

1/22

4 ( 5) 255 25 0

2 ( 5)x x x

− ± − ⋅ − ⋅− + + = → =

⋅ −

160 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3 92 4

1/2 1 2

5002.09; 2.39

10x x x

− ± += → = − =

−

3. 21/2

6 36 4 2 152 6 15 0

2 2x x x

− ± − ⋅ ⋅+ + = → =

⋅

Meqë diskriminanta 36 90 54 0D = − = − < , ekuacioni nuk ka zgjidhje reale.

4. 22 71 2 7 ( 3) ( 1) 2 3; 3

3

xx x x x x x x

x

−= + → − = − ⋅ + = − − ≠

−

21 2

( 4) 16 4 1 44 4 0 2

2 1x x x =

− − ± − ⋅ ⋅− + = → = =

⋅

Meqë diskriminanta 16 16 0D = − = , ky ekuacion ka një zgjidhje (të dyfishtë).

Forma p,q dallon shumë pak nga forma paraprake. Dallimi qëndron në variantin e ekuacionit kuadratik. Nëse formën standarde

2 0a x b x c⋅ + ⋅ + = e pjesëtojmë me koeficientin a të termit kuadratik, që kemi supozuar se 0a≠ ; merret:

2 20 0b c

x x x p x qa a

+ ⋅ + = → + ⋅ + =

Rezultati i këtij transformimi shpesh quhet forma normale.

FORMA NORMALE E EKUACIONIT KUADRATIK

Forma normale e ekuacioni kuadratik është:

2 0x p x q+ ⋅ + =

Vërejmë se koeficienti pranë variablës në katror është +1. Nuk ka kufizime shtesë sa i përket dy koeficientëve tjerë p dhe q.


Duke përdorur formën normale mund të aplikojmë të ashtuquajturën formula p, q:

FORMULA P,Q

Zgjidhjet e ekuacionit kuadratik në formën normale 2 0x p x q+ ⋅ + =

janë:

( )21/2 2 2p p

x q= − ± −

Tani diskriminanta bëhet: 2

4

pD q= −

Shenja e saj përcakton numrin e zgjidhjeve:

Për 0D > kemi dy zgjidhje: ( )21/2 2 2p p

x q= − ± −

Për 0D = kemi një zgjidhje të dyfishtë: 1 2 2p

x = = −

Për 0D< nuk kemi zgjidhje reale.

SHEMBUJ

Të zgjidhen ekuacionet vijuese kuadratike, të cilat në fakt janë të njëjta si edhe ato në shembujtë paraparak. Megjithatë para se të aplikojmë formulën p, q ekuacionin duhet ta transformojmë në formën normale:

1. 2 22 2 4 0 2 0x x x x+ − = → + − = (forma normale)

2 91 1 11 21/2 2 2 2 4( ) ( 2) 1; 2x x x= − ± − − = − ± → = = −

2. 2 25 2 25 5 2 252 2

x xx x x x

− + = − → − + = −

2 23 32 10

5 25 0 5 0x x x x− + + = → − − =

162 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3 91/2 20 400

5x→ = ± + 1 22.09; 2.39x x→ = − =

3. 2 2 3 91/2 2 4

2 6 15 0 3 5 0 5x x x x x+ + = → + + = → = − ± −

Meqë 9 114 4

5 0D= − =− < , ky ekuacion nuk ka zgjidhje reale.

4. 22 71 2 7 ( 3) ( 1) 2 3

3

xx x x x x x

x

−= + → − = − ⋅ + = − −

−

për 3x ≠

2

1 24 4 0 2 4 4 2x x x =− + = → = ± − =

Meqë 4 4 0D = − = , ekuacioni ka vetëm një zgjidhje (të dyfishtë).


USHTRIMI 3.3: EKUACIONET KUADRATIKE



1. Transformoni ekuacionet kuadratike në formën standarde:

a) 22 (2 1) ( 12) 0x x x x+ − − + = b) 3 ( 2) 6( 7)x x x⋅ + = −

c) 2 2(2 ) 4 ( 1)x x x− = − + d)

2 2( 1) ( 2) 10x x+ + + =

2. Të zgjidhen ekuacionet:

a) 24 49x = b) ( )22

5 2 4 25xx x− + = −

c) 2(3 2) 16x− = d) ( 8) 4(2 9)x x x⋅ + = +

e) 27 4 4x − = −

3. Të zgjidhen ekuacionet duke përdorur formulën a, b, c:

a) 23 4 2 3x x− − = b) 2( 2) 6 0x x− − =

c) 22 6 1 0x x+ + = d) 24 20 4 0x x− − =

e) 2 3 4 0x x+ + = f) 2 2( 1) ( 3) 3x x+ + + =

4. Të zgjidhen ekuacionet e problemit 3 duke zbatuar formulën p, q.

164 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

5. Transformoni ekuacionet vijuese në shprehje të plota racionale. Për çfarë vlera të x është i definuar ekuacioni?

a) 1 2 1

1 3 6x x− =

+ + b)

14 12x

x− + =

c) 3 2

01

x

x x

−+ =

+ d)

2 9

1 1

x

x x=

+ +

6. Të zgjidhen ekuacionet vijuese; kushtoni vëmendje vlefshmërisë së zgjidhjes:

a) 2 2

12 2x x= −

+ − b)

2 40

2 2

x

x x− =

− −

c) 3 4

01

x

x x

−+ =

+ d)

2 1 10

2 1 5x x x+ =

− + +

e) 2

6 2 2( 1)0

1 1 1

x x

x x x

− − ++ − =

− + − f)

1 1 1

1 2 6x x− =

+ +

g) 2 1

2 2x

x x+ =

− −


REZULTATET 3.3: EKUACIONET KUADRATIKE

1. a) 24 2 12 0x x− − = b) 23 42 0x + =

c) 22 6 5 0x x− + = d) 22 6 5 0x x+ − =

2. a) 71/2 2x = ± b) 1/2 20x = ±

c) 2 43 3

x = ± d) 1/2 6x = ±

e) 0x=

3. a) 1 2.12;x = 2 0.7863x = −

b) 1 9.5826;x = 2 0.4174x =

c) 1 0.1771;x = − 2 2.8229x = −

d) 1 0.1926;x = 2 5.1926x = −

e) Nuk ka zgjidhje reale

f) 1 1.229;x = − 2 2.7071x = −

4. a) 1 2.12;x = 2 0.7863x = −

b) 1 9.5826;x = 2 0.4174x =

c) 1 0.1771;x = − 2 2.8229x = −

d) 1 0.1926;x = 2 5.1926x = −

e) Nuk ka zgjidhje reale

f) 1 1.229;x = − 2 2.7071x = −

5. a) E definuar për 1, 3x x≠ − ≠ − 2 10 3 0x x→ + − =

b) E definuar për 0x≠ 2 16 1 0x x→ − + =

166 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

c) E definuar për 0 1x x≠ ≠ − 2 3 0x→ − =

d) E definuar për 1x ≠ − 2 9 0x→ − =

6. a) 1 24.8284; 0.8284x x= = −

b) 2x = −

c) 1 21; 3x x= = −

d) 1 24.2446; 0.6731x x= = −

e) 6x = −

f) 1 24; 1x x= − =

g) 1x =


3.3.3 Testi i progresit për “Ekuacionet Kuadratike”



1. Transformoni në formën standarde:

a) 22 3( 2) 4 (1 2 ) 1x x x x− + + = − ⋅ +

b) 32

4 11;

2 3

xx x

x

+= + ≠

−

c) 2 2(2 ) 4 ( 1)x x x− = − +

2. Të zgjidhen ekuacionet duke caktuar rrënjët:

a) 24 49x = b) 2(3 2) 16x − =

c) ( 8) 4(2 9)x x x⋅ + = +

3. Transformoni në formën normale:

a) 23 4 2 3x x− − =

b) 2( 2) 6 0x x− − =

c) 220 4 4x x− = −

168 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

4. Të zgjidhen ekuacionet duke zbatuar formulën a,b,c:

a) 22 6 1 0x x+ + =

b) 23 5 7 0x x− + + =

c) 2 22( 1) (2 1) 25x x+ − − =

5. Të zgjidhen ekuacionet duke zbatuar formulën p,q:

a) 22 4 16x x+ =

b) 2 32

1 0x x− − =

c) 23 2( 1) 7 0x x− + − =

6. Përcaktoni numrin e zgjidhjeve duke njehsuar diskriminantën:

a) 24 11 4 0x x− + =

b) 23 2 5 0x x− + − =

c) 2 525 8

0x x− + =

3 . 5 R e z u l t a t e t p ë r t e s t i n e P r o g r e s i t F a q e | 169

3.4 Rezultatet për Testin e Progresit

3.4.1 Rezultatet për TP “Zbatimi i Ekuacioneve”


1. Numrat janë 31, 33, dhe 35.

2. Ana është 25 vjeçare dhe nëna ka 55 vjet.

3. 11 karrige dhe 4 tabela

4. Një kifle kushton 30 cent kurse një bukë kushton 1.50 EUR.

5. 17 dhe 29

6. Afërsisht 0.423 m

7. 2597 këmisha

8. Brinja e shkurtë është 80 cm dhe brinja e gjatë është 100 cm.

170 | F a q e 3 . E k u a c i o n e t

3.4.2 Rezultatet për TP “Ekuacionet Lineare”


1. a) 103

x = b) 0x = c) 6x = d) 94

z = −

e) 1x = −

2. a) 163

x = b) 5y = c) 25x =

3. a) 8x = b) Nuk ka zgjidhje tjera

c) Ekuacioni është i pamundshëm

4. a) 94

x = b) Nuk ka zgjidhje c) Nuk ka zgjidhje

5. Dick është 20 vjeçar, Ana ka 13 vite.

6. Dy këndet e vogla të ngjashme janë 22.5° kurse këndi i madh është 135°.

3 . 4 R e z u l t a t e t p ë r t e s t i n e P r o g r e s i t F a q e | 171

3.4.3 Rezultatet për TP “Ekuacionet Kuadratike”


1. a) 24 4 3 0x x− − = b) 22 5 4 0x x− − =

c) 22 6 5 0x x− + =

2. a) 72

x = ± b) 2 4

3x

±=

c) 3x = ±

3. a) 2 543 3

0x x− − = b) 2 10 4 0x x− + =

c) 2 5 1 0x x− − =

4. a) 1 20.177; 2.823x x= − = − b) 1 20.907; 2.573x x= − =

c) Nuk ka zgjidhje reale

5. a) 1 24; 2x x= − = b) 11 2 2

2;x x= = −

c) 1 22.097; 1.43x x= = −

6. a) D > 0 → Dy zgjidhje

b) D < 0 → Nuk ka zgjidhje reale

c) D = 0 → Një zgjidhje e dyfishtë

172 | F a q e 4 . F u n k s i o n e t e l e m e n t a r e





1. Hyrje

Vël

l.1:

Alg

jeb

ra

Ele

men

tare 3. Ekuacionet

Parakushtet: Tema e funksionit është një ndër temat më të rëndësishme në matematikë. Në kapitujtë paraprak kemi mësuar “fjalorin” dhe “gramatikën” e gjuhës së matematikës, dhe tani, bazuar në këto themele, do të zbatojmë këtë gjuhë. Kështu, do të kërkohet të kuptuar të koncepteve elementare të ekuacioneve dhe rregullave të veprimeve me to. Gjithashtu nevojiten prezentimi dhe zgjidhja e ekuacioneve.

Qëllimet e mësimit: Ky seksion fillon me një prezentim të përgjithshëm për funksionet dhe aplikimin e tyre. Pastaj diskutohen funksionet lineare dhe kuadratike. Ndonëse, nga këndvështrimi matematikë, këto janë funksionet më të thjeshta, ato janë shumë të rëndësishme në praktikë për ekonomi dhe biznes.

4 . 1 V e t i t ë e F u n k s i o n e v e F a q e | 173

Në jetën tonë të përditshme shpesh hasim foljen “në funksion”. Kur lëvizim çelësin dhe makina e veturës sonë niset, mund të themi se motori nisës po funksionion mirë. Kur kyçim rrymën dhe bëhet dritë në dhomë themi se rryma po funksionon mirë. Ngjashëm, mund të themi se një organizatë funksionon nëse çdo gjë shkon pa probleme. Në të gjitha rastet, themi se “funksionon”, kur njëri veprim sjell tek reaksioni i pritur dhe i dëshiruar.

Nëse dëshirojmë të përshkruajmë aksionet dhe reaksionet matematikisht, si nisja e veturës ose kyçja e rrymës, këto nuk paraqesin shembuj interesant sepse janë raste të veçanta. Megjithatë, nëse mendojmë për faturat e konsumit të energjisë, në të cilat rezultati final varet drejtpërdrejt nga përdorimi, në këtë rast aksioni është konsumimi dhe reaksioni është shuma e treguar në faturë; kështu pra, ekziston një numër i fundëm dyshesh të mundshme të:

Aksionit → Reaksionit

Të dy anët e këtij relacioni mund të përshkruhen përmes numrave. Kështu, matematika mund të shërbejë në mënyrë efektive si gjuhë për të përshkruar varësitë në mes të konsumit të energjisë dhe faturës.

Në fakt, ky është një ndër koncpetet kryesore në matematikë: që të përshkruajë, përmes ekuacioneve, marrëdhëniet ndërmjet faktorëve të cilët ndikojnë në njëri tjetrin. Një ekuacion paraqet marrëdhënien në mes të variablave të ndryshme. Nëse dëshirojmë të përshkruajmë reaksionin e një faktori (themi të dhënë me variablën y) ndaj aksionit të ndonjë faktori tjetër (të shprehur përmes një variable tjetër x), mund të shkruajmë:

Aksionit xRregulla or Relacioni

Reaksionit y

Vlerat e aksionit janë zgjdhur nga bashkësia e numrave realë, dhe këto paraqesin domenën e relacionit. Rregulla prodhon një bashkësi tjetër të numrave – zakonisht numra realë – që njihet si rangu.

Në matematikë relacioni ndërmjet variablave të ndryshme quhet “funksion”. Funksionet formojnë “fjalorin” bazë në gjuhën e “matematikës”, sepse praktikisht të gjitha varësitë mbi numrat realë mund të përshkruhen përmes funksioneve në mënyrë që pastaj të aplikojmë matematikën për t’i zgjidhur ato. Kështu, një model në esencë përbëhet nga bashkësia e funksioneve. Nëse dëshirojmë të përdorim modelet duhet të dijmë se çfarë të veprojmë me to.


Pothuajse se çdo gjë në matematikë ndërlidhet me konceptin e funksioneve. Megjithatë, kjo nuk do të thotë se ne duhet të mësojmë çdo gjë rreth tyre. Fatmirësisht, mund të kufizohemi si vijon:

• Funksionet më elementare,

• Paraqitja e tyre,

• Vetitë e tyre, dhe

• Përdorimi i tyre.

Duke përcjellur qasjen metodologjike të dy kapitujve të parë, do të fillojmë me vetitë e përgjithshme të funksioneve para se të shqyrtojmë funksionet lineare dhe funksionet kuadratike të cilat janë të rëndësishme për të përshkruar marrëdhëniet ekonomike.

Megjithatë, para se të diskutojmë funksionet speciale, le të diskutojmë se si të prezantojmë (paraqesim) funksionet. Në fakt kemi tre mundësi:

• Tabela e vlerave

• Grafiku

• Ekuacionet algjebrike

Cilat janë përparësitë dhe mangësitë e koncepteve të ndryshme të paraqitjes së funksioneve? Le të diskutojmë shkurtimisht ato në raport me një shembull të faturës elektrike:

• Supozojmë se pagesa fikse mujore për instalimin dhe matësin elektrikë është 15 EUR.

• Përveç kësaj, për çdo kWh (kilovat-orë, njësia matëse e konsumit të energjisë elektrike) duhet të paguajmë 0.11 EUR = 11 cent.

TABELA E VLERAVE

Në mënyrë që të paraqesim varësinë në mes të përdorimit dhe çmimit, mund të ndërtojmë një tabelë në të cilën paraqiten të gjitha njësitë e mundshme të përdorimit. Me qëllim thjeshtimi, le të fillojmë me 200 kWh, duke vazhduar me hapa 10 kWh deri sa të arrijmë tek 310 kWh. Për çdo vlerë të përdorimit njehsojmë çmimin dhe rezultatet i paraqesim në formë të dysheve numerike:


Konsumi [kWh] Çmimi [EUR]

200 37.00

210 38.10

220 39.20

230 40.30

240 41.40

250 42.50

260 43.60

270 44.70

280 45.80

290 46.90

300 48.00

310 49.10

Tabela 4.1: Tabela e vlerave të një funksionit

Kolona në anën e majtë përmban bashkësinë e vlerave të variablave (të aksionit) që do të modifikohet në një lloj domene – zakonisht me hapa të madhësisë së fiksuar. Madhësia e hapit duhet të përzgjedhet që t’i përshtatet qëllimit të përdorimit të tabelës. Ana e djathtë përmban vlerat e reaksionit. Kjo bashkësi quhet rangu i vlerave tabelare.

Listat me dyshe të vlerave sikur kjo janë shumë të përdorura në situata reale jetësore. Lista e çmimeve, balansi i llogarive, tabelat e valutave, tabelat e temperaturave, etj. të gjitha janë të këtij lloji. Ato paraqesin funksionet më të përhapura, dhe në fakt nuk ka mënyrë më të mirë për paraqitjen e funksionit empirik. Softuerët tabelar si Excel, janë zhvilluar për të punuar me funksione në formë të tabelave. Ekzistenca e tyre dhe rangu i veprimeve të implementuara është evidencë e qartë e rëndësisë praktike të paraqitjes tabelare të funksioneve.


GRAFIKU I FUNKSIONIT

Mund të zgjedhim abshisën e sistemit koordinativ kartezian për të shënjuar një vlerë të variablës – zakonisht vlerën e cila ndryshon në mënyrë të pavarur, pra variablën e aksionit (veprimit) (në rastin tonë = konsumin). Megjithatë, para se të shënjojmë pikat, duhet të vendosim për domenën e funksionit. Me fjalë të tjera, duhet të zgjedhim vlerën më të vogël dhe më të madhe të pavarur për të cilat duhet të prezantojmë funksionin.

Variabla e varur (në rastin tonë çmimi në faturë) mund të shënjohet në koordinatën tjetër (të cilës i referohemi si ordinata). Sërish, së pari duhet të vendosim për rangun e paraqitjes, pra rangun e vlerave të funksionit të cilat duhet të paraqiten. Në përgjithësi, vlera më e vogël dhe më e madhe do të përcaktojnë rangun e funksionit.

Çdo dyshe e vlerave paraqet një pikë në sistemin koordinativ (shih Fig. 4-1). Nëse i bashkojmë këto pika, marrim lakoren – në rastin e faturës elektrike merret një vijë e drejtë – e cila quhet grafik i funksionit. Të bashkohen pikat nënkuptonë të kompletohen informatat për 11 pikat e ndryshme përmes interpolimit. Tani mund të lexojmë faturën e elektricitetit për çdo vlerë në mes 200 kWh dhe 310 kWh.

Paraqitja grafike është e kufizuar vetëm për funksionet me vetëm një variabël të pavarur në abshisë. Ordinata është e rezervuar për informatën e varur. Kështu pra lakoret mund të paraqiten vetëm në rrafsh, pra vetëm për funksionet me një variabël. Megjithatë, është e qartë se funksionet nga jeta reale zakonisht varen nga më shumë se sa një faktor.


200

37

c [€]

u [kWh]210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310

39

41

43

45

47

49

51

Konsumi i energjis÷

Fat

ura

elek

trik

e

35

Figura 4-1: Grafiku i funksionit

Në anën tjetër, grafiku i funksionit është më së lehti të kuptohet sepse lexuesi i tij menjëherë vëren të gjitha informatat relevante për marrëdhënien. Në këtë kuptim, lehtë vërehet nëse funksioni është rritës ose zvogëlues. Vlerat maksimale ose minimale identifikohen lehtë, dhe shumë veti si zerot, simetria, vazhdueshmëria shpejtë na bëhen të qarta. Grafikët e funksioneve shpesh përdoren gjatë ligjërimeve të ndryshme.

EKUACIONI ALGJEBRIK I GRAFIKUT

Forma më abstrakte e paraqitjes së një funksioni është ekuacioni algjebrik. Nëse vlerat e aksionit përshkruhen me variablën e (panjohura) x, dhe vlerat e reaksionit me variablën y, atëherë “funksionimi” në mes të dy (ose) më shumë variablave në përgjithësi mund të shënohet si:

( )y f x=

Variabla x është e definuar në bashkësinë e vlerave që quhet domena e funksionit f(x).


Variabla y në anën e majtë e përshkruan këtë reaksion, pra madhësinë në të cilën jemi të interesuar. Shpesh quhet variabla e pavarur, sepse ajo ndryshon me modifikimin e variablës së aksionit. Është të kuptuar i zakonshëm që variabla e varur të izolohet në anën e majtë të ekuacionit. Por kjo është vetëm çështje e standardizimit ndërkombëtar.

Bashkësia e vlerave të variablës së varur y quhet rangu i funksionit.

Ana e djathtë zakonisht është shprehje algjebrike që përmban variablën e pavarur x ose – nëse vlera e y-it varet nga më shumë se një variabël,

përmban disa variabla .

Megjithatë, ekuacioni mund të shkruhet vetëm sipas marrëdhënieve të variablës x adhe asaj y dhe mund të paraqitet përmes shprehjeve algjebrike. Në shembullin tonë, fatura elektrike përbëhet nga çmimi fiks 15 EUR, dhe variabla e çmimit prej 0.11 EUR për njësi, që nënkupton se për x njësi çmimi do të jetë . Dy pjesët bashkohen së bashku për të dhënë çmimin përfundimtar, pra të barabartë me y, kështu funksioni që përshkruan relacionin në mes të konsumit dhe faturave mujore elektrike do të jetë.

( ) 0.11 15y f x x= = + .

Ky ekuacion është paraqitja matematike e funksionit. Nëse dëshirojmë ta zbatojmë funksionin në mënyrë që ta analizojmë problemin së pari duhet të dijmë paraqitjen matematike të funksionit. E kemi përdorur temrin “modelim” për të përshkruar përkthimin e problemeve nga bota reale në gjuhën që mundëson aplikimin e matematikës. Ky proces përkthimi është çelës për çfarëdo aplikimi të matematikës. Shumë aplikime bankare mbështeten drejtpërdrejtë në funksione. Për shembull, vlera kohore e parasë, mund të paraqitet në mënyrë perfekte përmes funksioneve eksponenciale.

Megjithatë, problemet reale, jo çdoherë mund të paraqiten në mënyrë precise në funksion të ekuacioneve algjebrike. Ndonjëherë është e mundur të punohet me përafrime të mira matematike – siç veprojmë për shembull në statistikë. Në rastet tjera, mund të kemi nevojë të kufizojmë modelin matematikë në lidhje me disa supozime. Pastaj këto supozime bëhen pjesë e rëndësishme e modelit.

1 2, ,...x x

0.11 x⋅

4 . 1 V e t i t ë e F u n k s i o n e v e

4.1 Vetitë e funksioneve

Parakushtet: Përveç algjebrës elementare nuk nevojitetjera. Megjithatë, do të ishte e mirëseardhur kuptimi i përgjithshëm për rolin e sistemit koordinativ, i do të shfrytëzohet për të paraqitur grafikisht funksionet.

Qëllimet e mësimit: Në këtë seksion, do të mësojmë vetëm kuptimet e përgjithshme të vetive të funksioneve, që nënkupton pa i reflektuar ato në funksionet e

4. Funksionet elementare


4.2 Funksionet Lineare

Grafiku

Vetitë

4.2 Funksionet


algjebrës elementare nuk nevojiten njohuri të tjera. Megjithatë, do të ishte e mirëseardhur kuptimi i përgjithshëm për rolin e sistemit koordinativ, i cili do të shfrytëzohet për të paraqitur grafikisht

seksion, do të mësojmë vetëm kuptimet e përgjithshme të vetive të funksioneve, që nënkupton pa i reflektuar ato në funksionet e veçanta.



4.2 Funksionet Kuadratike

Grafiku

Vetitë


4.1.1 Karakteristikat e grafikut

Për të qenë në pozitë për të kuptuar më mirë funksionet dhe për t’i aplikuar ato, është e arsyeshme që së pari duhet të mësohen vetitë e tyre. Këto do të diskutohen në seksionet vijuese.

PRERJA NË X DHE PRERJA NË Y E FUNKSIONEVE

Për të analizuar një funksion pa e paraqitur grafikun e tij, është me rëndësi të identifikohen pikat më të rëndësishme dhe të interpretohen ato. Pikat ku grafiku e pret boshtin x quhen pikat zero, ose thjeshtë zerot e funksionit. Pikëprerjen me boshtin y do ta quajmë y-prerje.

Funksioni e pret boshtin x kur y = 0.

Funksioni e pret boshtin y kur x = 0.

Për të caktuar pikat e prerjes me boshtet, duhet që në funksionin e dhënë variablat y dhe x, t’i zëvendësojmë me zero, përkatësisht. Zëvendësimet sjellin dy ekuacione, të ashtuquajtura ekuacione të kushtëzuara. Zgjidhja/et e tyre janë pikat në fjalë.

y

x

0-1-2-3 1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

8

-2

-4

-6

-8

( )y f x=

0y

ba c

Figura 4-2: Pikëprerjet e një funksioni


Y-PRERJA

Në përgjithësi, është relativisht lehtë të caktohet y-prerja. Së pari vërejmë se ekziston vetëm një y-prerje. Në të kundërtën, relacioni në mes të variablës së veprimit (aksionit) dhe asaj të reaksionit mund të jetë i dykuptimshëm dhe nuk mund të paraqes funksion matematikë.

Duke vënë x = 0 në funksion merret ekuacioni i kushtëzuar:

.

Ky është një ekuacion vetëm me një ndryshore y. Zgjidhja e tij është

prerja të cilën e kërkojmë (shih: Fig. 4-2).

Nëse në funksion vëjmë x = 0, në shumë raste, për shembull në të gjitha funksionet polinomiale – y-prerja, thjeshtë është një term konstant.

SHEMBUJ

Caktoni y prerjen e funksioneve vijuese:

1. 22 10 3y x x= − +

(0) 3y f= =

Funksioni e pret boshtin y në y = 3.

2. 22 3( ) 8x y y x⋅ + − = −

2(0) 2(0) 3( 0 ) 8f y y= ⋅ + − = −

8

3 83

y y→ = − → = −

Funksioni e pret boshtin y në 8

3y = − .

3. 22 8y x= −

(0) 8y = −

Rrënja e një numri negativ është numër imagjinar. Kjo nënkupton se funksioni nuk e pret boshtin y.

(0)y f=

0y


4. 2 24 0 4y x y+ = → + = , (0) 4y = ± Kjo jep dy zgjidhje

1 4 2y = = dhe 2 4 2y = − = − . Kështu relacioni nuk është

funksion në kuptimin matematikë.

X-PRERJA (ZEROT)

Prerjet e funksionit me boshtin x quhen pikat zero ose zerot (ndonjëherë rrënjët, megjithatë për të shmangur konfusionin me “rrënjët e një numri” (shih: seksionin 2.2.3; faqe 80) këtë term nuk do ta përdorim në përmbledhje).

Duke vënë y = 0 në funksionin e dhënë merret ekuacioni i kushtëzuar: 0 ( )f x= .

Ky është ekuacion me vetëm një variabël x. Zgjidhjet e tij janë pikëprerjet e kërkuara (shih: Fig. 4-2).

Vërejmë se numri i zerove mund të jetë zero, një, më i madh se një, ose pakufi. Vija e drejtë e cila nuk është paralele me boshtin x ka vetëm një zero. Parabola mund të ketë një zero, dy zero ose të mos ketë fare zero. Funksioni sin ka pakufi zero. Në Fig. 4-2 funksioni ka tre zero në pikat a, b, dhe c.

SHEMBUJ

Caktoni zerot e funksioneve vijuese:

1. ( ) 2 7y f x x= = +

72

( ) 0 : 2 7 0f x x x= + = → = −

Ky funksion e pret boshtin x në 72

x = − .

2. 2( ) 2 4 4y g x x x= = + −

2 2( ) 0 : 2 4 4 2 2 0g x x x x x= + − → + − =

1/2 1 1 2 1 3x→ = − ± + = − ±

Ky funksion ka zero në 1/ 2 1 3x = − ± .


3. 2( ) 4y h x x= = +

2 2( ) 0 : 4 4h x x x= + → = −

Ky funksion nuk ka zero reale; kështu që funksioni nuk e pret fare boshtin x .

GRADIENTI I FUNKSIONIT

Për dallim nga vijat e drejta që kanë gradient konstant, gradienti i funksioneve jolineare në përgjithësi nuk është konstant. Ai ndryshon me pozitën e funksionit, pra varet nga x.

Gradienti i një lakore në një pikë të dhënë matematikisht përkufizohet si pjerrtësi e tangjentës në atë pikë. Për të analizuar këtë në detale, na nevojitet kalkulusi, që nuk është temë e kësaj përmbledhje. Megjithatë, koncepti i funksionit rritës ose zvogëlues mund të kuptohet nëse vrojtojmë se deri në çfarë niveli funksioni ndryshon vlerën kur ndryshon variabla x.

PËRKUFIZIMI I FUNKSIONIT RRITËS (ZVOGËLUES)

Le të jetë dhënë funksioni ( )y f x= dhe intervali I në mes të 1x dhe 2x

.

Funksioni quhet rritës në intervalin I , nëse

për 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ → ≤

Funksioni quhet zvogëlues në intervalin I, nëse

për 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≤ → ≥

SHEMBUJ

Është dhënë funksioni 2( )y f x x= = :

• Për 2 2

1 2 1 20 and x x x x x≥ ≤ → ≤ ; kështu pra për 0x≥ funksioni është rritës.


• Për 2 2

1 2 1 20 and x x x x x≤ ≤ → ≥ ; kështu për 0x≤ funksioni është zvogëlues.

4.1.2 Funksionet inverse

Në fillim të këtij seksioni e diskutuam funksionin e faturës elektrike (shih: ky seksion; faqe 178). Për konsumim x [kWh] të elektricitetit duhet të paguajmë

( ) 0.11 15y f x x= = +

Në këtë rast, konsumi i elektricitetit ishte variabla e pavarur. Ne dëshironim të caktonim se si varet nga konsumi i elektricitetit shuma që figuronte në faturë. Kështu që e zgjodhëm çmimin final si variabël të varur. Me këtë lloj funksioni mund të njehsojmë çmimin e përgjithshëm për çfarëdo konsumi të energjisë. Secila kompani që ofron shërbime të energjisë për një numër të madh klientësh do ta përdor shumë shpesh këtë funksion .

Tani, supozojmë se keni marr faturën prej 55.26 EUR. Meqë keni qenë në pushim, fatura duket të jetë shumë më e lartë. Kështu ju e lexoni njehsorin elektrik dhe gjeni se që nga fatura e fundit ju keni konsumuar vetëm 122 kWh.

Duke qenë ekspert i matematikës, ju e njehsoni se sa kWh ju ka kërkuar kompania:

55.38 55.26 0.11 15 0.11 40.26y x x= → = + ↔ =

40.26366

0.11x→ = = [kWh]

Qartë, se kompania ju ka kërkuar shumë më tepër njësi se sa në fakt i keni përdorur.

Ky rast paraqet një shembull se si korrespondenca e përcaktuar nga funksioni mund të shfrytëzohet në anën e kundërtë. Nga këndvështrimi i kompanisë konsumi x është variabël e pavarur dhe fatura y është vlera (variabla) e varur:

( ) 0.11 15y f x x= = +


Duke ndërruar rolet e dy variablave merret:

15( )

0.11

yx g y

−= =

Megjithatë, ky ekuacion edhe më tej paraqet të njëjtin funksion; operacionet algjebrike të kryera me qëllim që të izolohet x nuk e kanë ndryshuar funksionin. Nëse ndërrojmë rolet e dy variablave:

x y↔

marrim një funksion të ri :

115( ) ( )

0.11

xy g x f x

−−= = =

Ky është funksioni i cili reflekton këndvështrimin e klientit, i cili dëshiron të dij sa po i paguanë kompanisë (duke supozuar se fatura nuk e cek atë në mënyrë eksplicite!). Siç ilustron shembulli, ndërrimi i marrëdhënies në mes të dy variablave prodhon një funksion të ri, të

quajtur funksioni invers, (i cili shpesh shënohet me 1( )f x− ) i

funksionit të dhënë ( )f x .

Veprimet e anasjellta luajnë rol të rëndësishëm në matematikë. Tashmë, kur bëmë hapat e parë në matematikë, kuptuam se për shumicën e operatorëve, ekziston operatori tjetër i cili e ndërron efektin e të operatorit të parë. Veprimet e mbledhjes (+) dhe zbritjes (−) janë inverse mes vete. T’ia shtojmë numrin x-it dhe pastaj t’ia zbresim njëjtin sërish si rezultat e jep x:

2 2x x+ − =

Shumëzimi (·) dhe pjesëtimi (÷) janë një dyshe tjetër e operatorëve invers:

( )x a a x⋅ ÷ =

Diferencimi dhe integrimi gjithashtu thjeshtojnë njëri tjetrin dhe kështu paraqesin operacione inverse.

Kur funksionet inverse aplikohen në mënyrë të njëpasnjëshme, e thjeshtojnë efektit e njëri tjetrit në variablën e pavarur, pra,

( ) ( )1 1( ) ( )f f x f f x x− −= =


Më vonë, në këtë përmbledhje, do të shohim se shumë funksione të rëndësishme (për shembull, funksionet logratimike) përkufizohen si funksione inverse të funksioneve të tjera (për shembull, funksioneve eksponenciale). Në këtë seksion, do të zhvillojmë shumë shkurtimisht teknikat për të përcaktuar nëse ekzistojnë të funksioneve inverse dhe metodat për caktimin e funksioneve inverse.

FUNKSIONET BIJEKTIVE (NJË-NJË)

Funksioni është bijektiv (një-një) nëse çdo elementi në rangun e funksionit i korrespondon saktësisht një element në domenë.

Funksioni është bijektiv (një-një) atëherë dhe vetëm atëherë nëse çdo drejtëz horizontale e pret grafik në më së shumti një pikë. Kështu, funksioni në Fig. 4-3 (a) nuk është bijektiv, sepse drejtëza horizontale e pret atë në dy pika, kurse funksioni në Fig. 4-3 (b) është bijektiv.

Funksionet e vazhdueshme rritëse (zbritëse) janë funksione bijektive.

x1

Dy prerje me drejtëzën horizontalex2

x

y

(a)

y = f(x)

x3x

y

(b)

y = g(x)

Një prerje me drejtëzën horizontale

Figura 4-3:y = f(x) nuk është bijektiv, y = g(x) është bijektiv

Funksioni invers i funksionit bijektiv f, që shënohet me 1f − , është

funksion i formuar duke ndryshuar renditjen e të gjitha dysheve të


renditura ( ), ( )x y f x= të variablave dhe vlerave përkatëse të

funksionit. Kështu, nëse zëvendësojmë x dhe y në ekuacionin funksional dhe izolojmë y-in në ekuacionin rezultues, funksioni që do të merret do të jetë funksioni invers.

Ndryshimi i rolit të variablave x dhe y nënkupton se ne pasqyrojmë boshtet e sistemit koordinativ në drejtëzën 45° të kuadratit të parë. Duke zëvendësuar gjithashtu edhe emrat e variablave nënkupton se emrat e boshteve mbesin të njëjtë. Si rezultat i kësaj procedure për dy funksionet e Fig. 4-3 do të jetë grafiku në Fig. 4-4.

Pasqyrimi i funksionit me dy pikëprerje me drejtëzën horizontale

x

y

(a)

x3x

y

(b) Pasqyrimi i funksionit i cili e pret çdo drejtëz horizontale vetëm një herë

( )y f x=

1( )y f x−=

( )y g x=

1( )y g x−=

Figura 4-4: Dy funksione të pasqyruara në drejtëzën-45°

Nëse shikojmë dy funksionet e pasqyruara (lakoret e theksuara) kuptojmë

se pasqyrimi i funksionit 1( )y f x−= në Fig. 4-4(a) matematikisht nuk

është më funksion sepse gjatë procesit të pasqyrimit ai është bërë i dykuptimshëm: Vija vertikale ka dy prerje me funksionin.

Funksioni në 4-4(b) është i ndryshëm. Kur pasqyrohet ai sërish mbetet bijektiv dhe rezultati është sërish funksion. Lakorja e theksuar në Fig. 4-

4(b) është funksioni invers 1( )y g x−= i funksionit ( )y g x= .


VETITË E FUNKSIONEVE INVERZE

• Origjinali ( )y f x= duhet të jetë bijektiv; në të kundërtën nuk

ekziston funksioni invers.

• Ndërrimi x y↔ do të rezultojë me funksionin invers: ( )x f y=

• Për të paraqitur formën me të cilën jemi familjarizuar e izolojmë

variablën e varur: 1( )y f x−=

• Domena e 1f − është e barabartë me rangun e f.

• Rangu i 1f − është i barabartë me domenën e f.

• Grafiku i f dhe 1f − janë simetrik në raport me drejtëzën y = x

(drejtëzën që me boshtin x formon këndin 45°).


SHEMBUJ

1. 2( )y f x x= = → Inversi 1( )y f x−= nuk ekziston sepse f

nuk është bijektiv.

2. 2( ) per 0y f x x x= = ≥ është bijektiv.

2( )x f y y= = → 1( ) per 0y f x x x−= = ≥

Grafikët e funksioneve janë:

1 2( )y f x x−= =

2( )y f x x= =

0-0.5-1 0.5 1 1.5 2 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

y

x


USHTRIMI 4.1: VETITË E FUNKSIONEVE



1. Përcaktoni zerot e funksioneve vijuese:

a) 2 4y x= − + b) 2 3 6y x+ =

c) 1

2yx

= − + d) 2 2 0y x x+ − =

e) ( 1) ( 1) ( 2)y x x x= + ⋅ − ⋅ +

f) 2

23y

x+ = g)

2

2

3

xy

x

−=

+

2. Në cilat pika e presin boshtin y funksionet vijuese?

a) 2 3 4y x− = b) 2 3 0y x+ − =

c) ( 2) ( 8)y x x= − ⋅ + d) 4y x= +

3. Përcaktoni zerot e funksioneve vijuese, skiconi grafikun, dhe përcaktoni përafërsisht pikat minimale dhe maksimale të grafikut.

a) 2( ) 2 4 8y f x x x= = + + b) 2( ) 2 1y g x x x= = − +

c) 212( ) 3y h x x x= = − −

d) 2( ) 4 4 8y k x x x= = − − +


4. Cilat funksione janë bijektive?

a) 12( ) 2f x x= + b) 1

3( ) 1g x x=− +

c) 2( ) 4h x x= − d) 2( ) 2k x x= −

e) ( ) 9m x x= + f) 2( ) 4n x x= +

5. Verifikoni se g është inversi i funksionit bijektiv f. Skiconi grafikun e f, g, dhe drejtëzën 45° në të njëjtin sistem koordinativ.

a) 13

( ) 3 6; ( ) 2f x x g x x= + = −

b) 12( ) 2; ( ) 2 4f x x g x x= − + = − +

c) 2( ) 4 , 0; ( ) 4f x x x g x x= + ≥ = −

d) 2( ) 2; ( ) 2, 0f x x g x x x= − − = + ≤

6. Funksionet vijuese ( )f x janë bijektive. Caktoni inversin e tyre 1( )f x− .

a) ( ) 4 1f x x= − b) ( )2

xf x

x=

+

c) 3( ) 1f x x= + d) 12

( ) 16f x x= −

e) ( ) 3 2f x x= − −


REZULTATET 4.1: VETITË E FUNKSIONEVE

1. a) 2x = b) 2x = c) 1

2x =

d) 1 22; 0x x= = e) 1 2 31; 1; 2x x x= − = = −

f) 23

x = ± g) x = 2

2. a) 2y = b) y = 3 c) y = –16

d) y = 2

3. a) 2( ) 2 4 8y f x x x= = + + →Funksioni nuk ka zero.

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18


b) 2( ) 2 1y g x x x= = − + → zero: 1x =

c) 212( ) 3y h x x x= = − − → zerot: 1 23.6458; 1.6458x x= = −

d) 2( ) 4 4 8y k x x x= = − − + → zerot: 1 21; 2x x= = −

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6


4. a) bijektiv b) bijektiv c) nuk është bijektiv

d) nuk është bijektiv e) bijektiv f) nuk është bijektiv

5. a) 13

( ) 3 6; ( ) 2f x x g x x= + = −

→ 1 13( ) ( ) 2y g x f x x−= = = −

b) 12( ) 2; ( ) 2 4f x x g x x= − + = − +

→ 1( ) ( ) 2 4y g x f x x−= = = − +

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6


c) 2( ) 4 , 0; ( ) 4f x x x g x x= + ≥ = −

→ 1( ) ( ) 4y g x f x x−= = = −

d) 2( ) 2; ( ) 2, 0f x x g x x x= − − = + ≤

→ 1 2( ) ( ) 2y g x f x x−= = = +

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

6. a) 1 1 1( )

4 4f x x− = − b) 1 2

( )1

xf x

x

− =−

c) 1 3( ) 1f x x− = − d) 1 2( ) 16 4f x x− = −

e) ( )21( ) 3 2f x x− = − +

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3


4.1.3 Testi i Progresit për “Vetitë e funksioneve”



1. Përcaktoni vlerat e funksionit në pikat e dhëna:

a) për

b) për

c) 1 0

( )1 0

x per xf x

x per x

− <=

+ > për

2. Të paraqitet tabela e vlerave për funksionin në hapa të

gjatësisë 1 për domenën [-3; 6].

3. Përcaktoni zerot e funksionit:

a) b)

c) 2 2 0y x x+ − =

2( ) 1f x x= − 2;1.7; 2.3x = −

2 1( )

1

xf x

x

−=

+1; 0; 2x = −

2; 0; 3x = −

2 1

2

xy

x

−=

−

2 4y x= − + 2 3 5y x+ =


4. Përcaktoni y-prerjen e funksionit:

a) b)

c)

5. Kontrolloni se cili nga dy relacionet ose

është i saktë për funksionet vijuese në pikat e

dhëna:

a) 4 3( ) 2f x x x= − + për 311 22 4

;x x= =

b) 2 4

( )1

xg x

x

−=

+ për 1 1

1 22 4;x x= − = −

c) 2( ) 6 2h x x= − për 311 22 2

;x x= − =

6. Përcaktoni zerot dhe y-prerjen dhe skiconi grafikun:

a) b) 2( ) 4 4g x x x= − −

c)

7. A janë funksionet vijuese bijektive?

a) b)

c)

8. Përcaktoni funksionet inverse të funksioneve:

a) b) 2( ) 1g x x= − për x > 1.

2 3 4y x− = 2 3 0y x+ − =

( 2) ( 8)y x x= − ⋅ +

1 2( ) ( )f x f x>

1 2( ) ( )f x f x≤

2( ) 3f x x= − +

2( ) 2 4 8h x x x= + +

( ) 2 4f x x= − 2( ) 2 4g x x x= + −

3( ) 5h x x= −

13

( ) 1f x x= − +

198 | F a q e 4

4.2 Funksionet lineare

Parakushtet: Kjo njësi mund të zhvillohet pa ndonjë njohuri të veçantë paraprakerregullat në algjebrën e aplikuar, p.sh. për zgjidhjen e ekuacioneve.

Qëllimet e mësimit: Duke qenë se më të thjeshta në matematikë, logjikisht ato paraqesin pikëfilliminthjeshtësisë së tyre, ato luajnë rol të rëndësishëm në ekonomi, sepse shumë marrëdhënie ekonomike janë lineare.




Grafiku

Vetitë

4 . F u n k s i o n e t e l e m e n t a r e

Kjo njësi mund të zhvillohet pa ndonjë njohuri të veçantë paraprake. Megjithatë, nga ju pritet të dini rregullat në algjebrën e aplikuar, p.sh. për zgjidhjen

Duke qenë se funksionet lineare janë funksionet më të thjeshta në matematikë, logjikisht ato paraqesin pikëfillimin. Në të njëjtë kohë, përkundër thjeshtësisë së tyre, ato luajnë rol të rëndësishëm në ekonomi, sepse shumë marrëdhënie ekonomike janë




Grafiku

Vetitë

4 . 2 F u n k s i o n e t L i n e a r e F a q e | 199

Nëse shprehja në anën e djathtë të ekuacionit funksional është polinom i shkallës 1, pra polinom linear, atë e quajmë funksion linear.

FUNKSIONI LINEAR

Funksioni y është funksion linear nëse

( )y f x a x b= = ⋅ + , 0a≠

ku a dhe b janë numra realë.

Domena e funksionit linear është bashkësia e të gjithë numrave realë x. Meqë y mund të marr si vlerë çdo numër real, edhe rangu i funksioneve lineare është bashkësia e numrave realë.

SHEMBUJ

Polinomet vijuese janë funksione lineare:

1. 2 8y x= +

2. 2 5y x= − −

3. 2 4y x= − ⋅ −

4. 23

y x=

Në raport me strukturën e tyre, funksionet lineare definitivisht janë më të thjeshtat. Megjithatë, ato paraqiten shumë shpesh në praktikë, sepse shumë aplikime në ekonomi dhe biznes, në strukturën e tyre janë lineare. Sa herë që duhen kombinuar mallrat ose shërbimet me çmimet, rezultati do të jetë ndonjë varësi lineare. Kështu pra është e qartë se është e domosdoshme të studiohen plotësisht funksionet lineare.


4.2.1 Grafiku i funksionit linear

Grafiku i funksionit linear është një vijë e drejtë. Në mënyrë që ta vizatojmë atë, është e mjaftueshme të dijmë dy pika të saj. Njërën është shumë e lehtë ta identifikojmë: vetëm vëjmë x = 0, dhe merret y = b.

Pika (0; b) quhet y-prerja sepse është pikëprerja e drejtëzës me boshtin y.

Një pikë tjetër ngjashëm interesante, është pikëprerja me boshtin x. Kjo pikë quhet pika zero e drejtëzës, sepse vlera e funksionit në atë pikë

është zero: 0 ba

y x= → = −

2

2

1

1-2 -1

y

x

b

}a > 0

}

1

ba

x = −

}

}a < 0

1

Figura 4-5: Grafikët e drejtëzave

Informata e tretë me vlerë (dhe zakonisht e rëndësishme) për drejtëzën është gradienti i saj. Gradienti i drejtëzës është konstant. Ai paraqet rritjen (ose zvogëlimin) e vlerës së funksionit kur variabla e pavarur rritet për "1". E që është: kur zëvendësojmë x me x + 1 ndryshon vlerën e funksionit

nga ( )y x a x b= ⋅ +

në ( 1) ( 1)y x a x b a x a b a x b a+ = ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + +


Kështu pra, ndryshimi i vlerës së funksionit është konstant dhe atë për vlerën a. Sipas përkufizimit, kjo është vetia më e rëndësishme e funksionit linear.

Për gradientin pozitiv a > 0 vlera e funksionit rritet kur rritet vlera e variablës x. Në këtë rast funksionin e quajmë rritës (drejtëza me vijë të trashë në Fig. 4-5). Nëse, në anën tjetër, gradienti i funksionit është negativ a < 0, vlera e funksionit zvogëlohet me rritjen e vlerës së variablës, kështu që funksioni quhet zvogëlues (drejtëza me vijë të ndërprerë në Fig. 4-5).

Drejtëza e cila as nuk rritet as nuk zvogëlohet është paralele me boshtin x. Meqë gradienti është a = 0 ekuacioni i kësaj drejtëze është:

y b= ku b është madhësi konstante

Drejtëza e tillë quhet funksion konstant.

Nëse gradienti i drejtëzës bëhet infinit, pra, , grafiku paraqet drejtëz vertikale (paralele me boshtin y). Por, tani funksioni është i dykuptimshëm, pra, për një vlerë të x-it ka më shumë vlera të funksionit (për të qenë më preciz, ka pakufi shumë vlera të funksionit). Nëse flasim në aspektin matematikë, kjo drejtëz nuk paraqet “funksion”.

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

b =

a = -0.75

y = b (konstant)

drejt÷zat paralele drejt÷za q÷ kalon n÷p÷r origjin÷

Figura 4-6: Vetitë e funksioneve lineare

a→∞


Dy drejtëza që kanë gradientin e njëjtë por y-prerjet e ndryshme quhen drejtëza paralele.

Nëse konstanta në funksionin linear është zero (b = 0), funksioni redukohet në:

y a x= ⋅ .

Drejtëza përkatëse i pret të dy boshtet në pikëprerjen e të dy boshteve (që quhet origjina e sistemit koordinativ).

Vërejmë se vlera e gradientit i referohet vetëm formës normale të funksioneve lineare. Qartë se funksioni

3 4 8 0x y+ − =

është gjithashtu linear, sepse të dy variablat që paraqiten në ekuacion janë të shkallës 1. Megjithatë, kjo nuk është forma normale. Për ta shndërruar në formën normale duhet të izolojmë në anën e majtë:

34

4 3 8 2y x y x=− + → =− + .

Vetëm tani mund ta identifikojmë menjëherë gradientin 35

a = − dhe y-

prerjen 125

b = . Duke përdorur këto dy veti mund të paraqesim drejtëzën.

Nëse dëshirojmë të dijmë gradientin dhe y-prerjen, duhet që të transformojmë ekuacionin në formën normale. Megjithatë, nëse dëshirojmë të paraqesim drejtëzën, atëherë është shumë më mirë të përdorim të ashtuquajturën “formën e prerjeve”. Kjo i referohet pikëprerjeve me dy boshtet, pra y-prerjen dhe zeron.

Nëse ekuacioni i një funksioni linear është dhënë në formën e përgjithshme:

0a x b y c⋅ + ⋅ + =

y-prerjen e caktojmë duke vënë x = 0: cb

y = −

x –prerjen e caktojmë duke vënë y = 0: ca

x = −

Me këto dy pikat e prerjes mund të paraqesim drejtëzën.


2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

-c/b = 2

-c/a =2.66

Figura 4-7: Vizatimi i drejtëzës me formën e pikëprerjeve

4.2.2 Vetitë e funksioneve lineare

Funksioni y a x b= ⋅ + ka këto veti:

• Grafiku i tij është drejtëz me gradient a dhe y-prerje b.

• Funksioni është rritës për gradientin pozitiv (a > 0); dhe zvogëlues për gradientin negativ (a < 0).

• Nëse a = 0 drejtëza është paralele me boshtin x.

• Zero është ba

x = − ku 0a≠ .

• Nëse b = 0 drejtëza kalon nëpër origjinë të sistemit koordinativ.

• Dy funksione me të njëjtin gradient dhe me y-prerje të ndryshme janë drejtëza paralele.

Nuk duhet të jetë e vështirë të vizatohet grafiku i funksionit linear, nëse kujtojmë se dy pika janë çdoherë të mjaftueshme për ta paraqitur drejtëzën përkatëse.


SHEMBUJ

1. Përcaktoni gradientin (a), y-prerjen (b), zeron ( 0x ) për funksionet

vijuese lineare dhe vizatoni drejtëzat:

a) 2 3y x= − +

2a = − ; 3b = ; duke vënë y = 0 merret zeroja: 30 2x =

→ Grafiku është drejtëza e theksuar (1) në Fig. 1.

b) 2x – 3y = 7

72

3 3y x= − : → 2

3;a = 7

3;b = − 7

0 2x =

→ Grafiku është drejtëza me pika (2) në Fig. 1.

c) 3 4 45 5 5

2x y− + − = −

65

3 3 345 5 4 2y x y x= + → = + → 3

4 ;a = 32 ;b = 0 2x −=

→ Grafiku është drejtëza me viza (3) në Fig. 1.

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3

4

-2

(Drejtëza 1)

(Drejtëza 2)

(Line 3)

Fig. 1


2. Të caktohet gradienti dhe y-prerja e funksioneve vijuese? Skiconi grafikët.

a) 3 5y x= − + :

Gradienti: 3− ; y-prerja: 5 → Fig.2: drejtëza a)

b) 23 1y x= + :

Gradienti: 23

; y-prerja: 1 → Fig. 2: drejtëza b)

c) 2y x= :

Gradienti: 2; y-prerja: 0 → Fig. 2: drejtëza c)

2

2

1

1-2 -1 3

y

x

3

4

(Drejtëza a)

(Drejtëza c)

(Drejtëza b)

5

4

Figura 2

3. Formoni ekuacionin nëse janë dhënë gradienti dhe y-prerja:

a) gradienti: 23

; y-prerja: 1 → 23 1y x= +

b) gradienti: 2− ; y-prerja: 2 → 2 2y x= − +

c) gradienti: 14

; y-prerja: 12

− → 1 14 2

y x= −


USHTRIMI 4.2: FUNKSIONET LINEARE



1. Përcaktoni gradientin, y-prerjen dhe zeron e funksioneve vijuese:

a) 3 2y x= − b) 4

xy = − c) 2 2 6x y+ =

d) 2 4y = e) 4 8y x= − − f) y = x

2. Skiconi grafikët e funksioneve vijuese

a) 12

( ) 2f x x= + b) ( ) 3 1b x x= − + c) ( )2

xg x = −

d) ( ) 12

xh x = − − e) ( ) 1a x =


REZULTATET 4.2: FUNKSIONET LINEARE

1. a) 2y = − është y prerja, 23

x = është zero

b) 0y = është y prerja, 0x = është zero

c) 3y = është y prerja, 3x = është zero

d) Kjo është drejtëza horizontale që kalon nëpër 2y =

e) 8y = − është y prerja, 2x = − është zero

f) y x= kjo është drejtëza që me boshtin x formon këndin 45°

dhe kalon nëpër origjinë.

2. a) 12

( ) 2f x x= +

b) ( ) 3 1b x x= − +

y

x

0-1-2-3 1 2 3 4

1

2

3

-1

-2

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1


c) ( )2

xg x = −

d) ( ) 12

xh x = − −

e) ( ) 1a x =

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

-0.5

-1

-1.5

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1


4.2.3 Testi i Progresit për "Funksionet Lineare"



1. Cilat funksione janë lineare?

a) b)

c) d)

e)

2. Transformoni në formën normale:

a) b)

c)

3. Caktoni y-prerjen dhe zeron:

a) b)

c)

2 3y x= + 2 3 24y x+ =

2 1y x= + 2 12y x= +

( ) 73

2 3 12 11 0x x− + + + =

2 3( 2) 2x y+ − =3 2 4 7

4 3

y x x y− − +=

3 42

5

x yy

− +=

2 3y x= + 3 4 12y x− =

4 2 3

3 4

x y x y+ + −= −


4. Përcaktoni y-prerjen, zeron, dhe gradientin e drejtëzës:

a) b)

c)

5. Të skicohen drejtëzat pasi të keni caktuar y-prerjen, zeron, dhe gradientin:

a) b)

c)

6. Përcaktoni funksionet e drejtëzave të skicuara:

a) b)

c)

7. Skiconi:

a) Drejtëzën konstante:

b) Dy drejtëza paralele: dhe

c) Drejtëzën pasi të keni përcaktuar zeron dhe y-

prerjen.

12

3y x= − + 2 3 5 3x y− + + = −

3 27 3

( 1)x y y= − − −

323 4

y x= − + 3 5 7x y+ =

312 4

( 3) ( 1)x y− = +

1 25 5

y x= + 2 23 3

y x= − +

12

y x=

( ) 3y f x= =

12

( ) 1y f x x= = − + 12

1y x= − −

2 3 4x y− =

4 . 3 F u n k s i o n e t k u a d r a t i k e

4.3 Funksionet kuadratike

Parakushtet: Funksionet me të cilat do të merremi në këtë njësi do të jenë pak më të komplikuarafunksioneve kuadratike kërkon njohuri të punës me eksponentët dhe rrënjën katrore

Qëllimet e mësimit: Funksionet zgjidhjen e problemeve matematikeesenciale të jemi në gjendje t’i zgjidhim atonuk mund të zgjidhim ekuacionin kuadratik, nuk duhet të presim se do të jemi në gjendje ta zgjidhim problemin e dhënë




Grafiku

Vetitë

4 . 3 F u n k s i o n e t k u a d r a t i k e F a q e | 211

Funksionet kuadratike

me të cilat do të merremi në këtë njësi do pak më të komplikuara. Zgjidhja e

kuadratike kërkon njohuri të punës me eksponentët dhe rrënjën katrore.

et kuadratike shpesh paraqiten në zgjidhjen e problemeve matematike. Kështu që është esenciale të jemi në gjendje t’i zgjidhim ato. Nëse nuk mund të zgjidhim ekuacionin kuadratik, nuk duhet të presim se do të jemi në gjendje ta zgjidhim

emin e dhënë.




Grafiku

Vetitë


Nëse shprehja në anën e djathtë të ekuacionit funksional është polinom i shkallës së 2, pra edhe polinom kuadratik, atë e quajmë funksion kuadratik.

FUNKSIONI KUADRATIK

Funksioni y është funksion kuadratik nëse:

2( )y f x a x b x c= = ⋅ + ⋅ + për 0a≠

ku a, b, dhe c janë numra realë.

Meqë shprehja në anën e djathtë paraqet numër real për çdo numër real me të cilin mund të zëvendësohet variabla x, domena e funksiononit kuadratik është bashkësia e numrave realë.

Rangu i funksionit kuadratik është më vështirë të identifikohet. Qartë se rangu nuk është bashkësia e numrave realë: për shembull nëse a dhe c janë numra realë pozitiv dhe b = 0, vlera e funksioni y çdoherë do të jetë pozitive, dhe rangu nuk mund të jetë bashkësia e numrave realë. Ne më vonë do të gjejmë mënyrë për të identifikuar rangun e funksionit.

SHEMBUJ

Polinomet vijuese janë funksione kuadratike:

1. 2( ) 2 4 8y f x x x= = − +

2. 2( ) 2 5y f x x= = − −

3. 2( ) 3 4 10y f x x x= = − ⋅ − −

4. 223

( )y f x x= =

5. 2( ) 2( 2) 3y f x x= = − +

Në raport me strukturën e tyre, funksionet kuadratike i takojnë familjes së funksioneve me të cilat jemi mjaft të njohur. Ato shpesh janë pjesë e proceseve gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme matematike. Kështu


është me rëndësi t’i studiojmë dhe të familjarizohemi me vetitë e tyre kryesore.

4.3.1 Kompletimi i katrorit

Para se të studiojmë grafikun e funksionit, duhet të adresojmë disa kuptime elementare për funksionin kuadratik. Është përgjigja në pyetjen: Si mund ta transformojmë formën e përgjithshme

2( )y f x a x b x c= = ⋅ + ⋅ + për 0a≠ (→ këtë formë e quajmë

"forma e përgjithshme ")

në formën

2( )y a x h k= ⋅ − + për 0a≠ (→ këtë do ta quajmë forma e kulmit)?

Para se të sqarojmë procesin e transformimit duhet të kuptojmë pse forma e kulmit na ofron më tepër informata për funksionin se sa forma e përgjithshme.

Le të supozojmë për momentin se a > 0. Meqë termi i ngritur në katror 2( ) 0x h− ≥ është çdoherë jonegativ dhe rritës kur x rritet, vlera minimale

e funksionit y k= do të merret për x = h. Për shkak të katrorit në termin

që përmban variablën x do të marrim të njëjtën vlerë për funksionin për aq sa dy vlerat e x-it janë të baraslarguara nga x = h. Kjo nënkupton se grafiku është simetrik në raport me drejtëzën vertikale x = h. Pika ( , )h k

quhet kulmi i funksionit.

Le të shqyrtojmë funksionin e dhënë me

22 8 4y x x= − +

Për të paraqitur formën e kulmit e faktorizojmë konstantën 2 para 2x vetëm për termat që përmbajnë variablën x:

2 22 8 4 2( 4 ) 4y x x x x= − + = − +

Tani i kompletojmë dy termat e parë në kllapa për të marrë termin binomial:

( ) ( )2 22 4 4 2 4 4y x x x x z z= − + = − + − +


Vlera z për momentin është e panjohur. Megjithatë, ne dëshirojmë formën binomiale:

2 2 22 ( )x h x h x h− ⋅ + = −

Kështu duhet të kompletojmë këtë shprehje me katrorin e gjysmës së koeficientët të termit linear:

( )242

4z −= =

Por nëse shtojmë dicka, duhet ta korrektojmë ekuacionin duke zbritur të njëjtën. Meqë kemi shtuar z = 4 duhet të heqim 4 për të fituar:

( ) ( ) ( )2 2 22 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 8 4y x x x x x x= − + = − + − + = − + − +

Në kllapa tani kemi binomin 2 2( 4 4) ( 2)x x x− + = − i cili e kompleton

transformimin në:

2 22 8 4 2( 2) 4y x x x= − + = − −

Për këtë funksion marrim këtë tabelë të vlerave:

22( 2) 4y x= − −x

0

1

2

3

4

4

4

-4

-2

-2

Vlerat përkatëse y

janë baras me

Dyshet e vlerave x të

baraslarguara nga x = 2

Tabela 4.2:Tabela e vlerave të një parabole

Duke paraqitur vlerat nga tabela dhe duke i bashkuar ato me lakoren e lëmuar, merret grafiku që tregohet në Fig. 4-8 dhe quhet parabolë.


Figura 4-8: Grafiku i funksionit kuadratik

4.3.2 Grafiku i funksionit kuadratik

Në përgjithësi mund të tregohet se grafiku i funksionit kuadratik çdoherë është parabolë. Vetitë e parabolës tashmë janë treguar në Fig. 4-5. Parabola ka bosht simetrie që është drejtëza vertikale (paralele me boshtin y) që kalon në kulm. Kjo drejtëz quhet boshti i parabolës. Kulmi ose paraqet pikën më të poshtme (si në Fig. 4-5) ose pikën më të lartë.

Koeficientët a, b dhe të funksionit kuadratik përcaktojmë nëse parabola është e gjerë ose e ngushtë, nëse kulmi paraqet maksimum ose minimum dhe nëse lakorja hapet lartë ose poshtë.

Funksionit kuadratik 2( )y f x x= = i referohemi si parabola normale

(shih Fig. 4-9). Lakorja e tij ka minimum me kulm në origjinë dhe hapet lartë.

2

2

1

1-2 -1-1

3

y

x-3

-4

-2

3

4

5

54

c


Figura 4-9: Parabola normale

Thjesht duke ndryshuar shenjën e faktorit në 2( )y f x x= = − merret

parabola normale negative. Lakorja e saj ka maksimum me kulm në origjinë dhe hapet poshtë (shih: Fig. 4-10).

Figura 4-10: Parabola normale negative

Nëse kulmi i parabolës normale lëviz në drejtim të dy boshteve, atëherë merret forma e kulmit e ekuacionit kuadratik:

2( ) ( )y f x x h k= = − +


me pikën e kulmit . Në këtë formë konstantet dhe paraqesin

zhvendosjen e parabolës normale 2( )y f x x= = përgjatë boshtit y për

k dhe përgjatë boshtit x për h (shih. Fig. 4-11).

Figura 4-11: Parabola me kulm të transformuar

Përfundimisht, nëse e shumëzojmë termin kuadratik me faktorin a > 1, hapja e parabolës do të ngushtohet, sepse vlerat y bëhen më të mëdha. Nëse e shumëzojmë me faktorin 0 < a < 1, hapja e parabolës zgjerohet, sepse vlerat y bëhen më të vogla. Nëse e shumëzojmë me faktorin a < 0, atëherë e tërë parabola do të rrotullohet për 180° rreth pikës së kulmit.

( , )h k h k

2

2

1

1-2 -1

-1

y

x-3

-2

3

4

5

54

k

h


Figura 4-12: Hapja e parabolës

Vërejmë se funksioni kuadratik që shqyrtuam në fillim të këtij seksioni

2( ) 2 8 4y f x x x= = − +

ka dy prerje në x, pra ka dy pikëprerje me boshtin x. Këto pika në përgjithësi njihen si pikat zero të funksionit ose thjesht zerot, sepse vlera e funksionit në këto pika është zero. Për të njehsuar pikat zero në funksionin tonë duhet të vëjmë y = 0 (shih: seksionin 3.1; faqe 182). Me këtë rast kemi ekuacionin

20 2 8 4x x= − + → 2 4 2 0x x− + =

i cili mund të transformohet në formën normale dhe të zgjidhet përmes formulës p, q (shih: seksionin 3.3; faqe 161):

1/2 2 4 2 2 2x = ± − = ±


Kështu, parabola ka dy zero:

1 2 2x = + and 2 2 2x = −

Të njëjtat zero do të i caktonin edhe sikur të zbatonim formulën a,b,c (shih: seksionin 3.3; faqe 158):

2

1/24 8 64 32

2 22 4

b b a cx

a

− ± − ⋅ ± −= = = ±

Vërejmë se funksioni kuadratik mund të ketë vetëm një zero nëse lakorja vetëm e takon boshtin x ose asnjë zero nëse lakorja është plotësisht mbi ose nën boshtin x. Se cili nga këto tre raste mund të paraqitet varet nga diskriminanta (dallori) (shih: seksionin 3.3; faqe 158).

ZEROT E FUNKSIONIT KUADRATIK

Funksioni kuadratik i formës

2( )y f x a x b x c= = ⋅ + ⋅ + , 0a ≠

ka zero nëse:

.

Për ka dy zgjidhje reale të ndryshme,

ka një zgjidhje reale,

nuk ka zgjidhje reale.

2

1/24

2

b b a cx

a

− ± − ⋅=

2 4 0D b a c= − ⋅ >

2 4 0D b a c= − ⋅ =

2 4 0D b a c= − ⋅ <


SHEMBUJ

Caktoni zerot e funksioneve:

1. 2( ) 2 6 4f x x x= − +

2.

Meqë diskriminanta është numër negativ, funksioni nuk ka zero.

3.

Funksioni ka vetëm një zero.

Kujtoni rezultatin e rëndësishëm që morëm kur transformuam funksionin kuadratik nga forma e përgjithshme:

,

përmes kompletimit të katrorit në formën e kulmit:

, .

Nëse fillojmë me funksionin e përgjithshëm kuadratik 2( )f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + dhe e kompletojmë katrorin merret:

2( ) b ca a

f x a x x = ⋅ + ⋅ +

Njohuritë për kompletimin e katrorit i aplikojmë për termat brenda kllapave:

2 2

2 24 42( ) b b

a a

b ca af x a x x

− += ⋅ + ⋅ +

2 22 6 4 0 3 2 0x x x x− + = → − + =

1/2 1 23 9 8

2; 12

x x x± −

= → = =

21/2

2 4 16( ) 2 4

2f x x x x

− ± −= + + → =

2 2( ) 3 6 3 3 6 3 0f x x x x x= − + → − + =

1/26 36 36

16

x x± −

= → =

2( )f x ax bx c= + + 0a ≠

2( ) ( )f x x h k= − + 0a ≠


Pastaj tre termat e parë i shndërrojmë në katror të plotë dhe i mbledhim termin e katërtë dhe të pestë:

( ) 2

2

24

2 4( ) b b a c

a axf x a − ⋅

+ −= ⋅

Lirohemi nga kllapat:

( ) 22 42 4( ) b b a ca a

xf x a − ⋅+ −= ⋅

Duke krahasuar ekuacionin e fundit me formën e kulmit të ekuacionit

kuadratik merret:

që paraqesin pikat e kulmit të parabolës.

Nga kjo formë mund të përshkruajmë vetitë kryesore të funksionit kuadratik.

2( ) ( )f x x h k= − +

2 4( , ) ,

2 4

b b a ch k

a a

− ⋅= − −


4.3.3 Vetitë e funksionit kuadratik

Funksioni kuadratik

2( )f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + ,

ka këto veti karakteristike.

• Boshtet (e simetrisë):

• Kulmi:

• Maksimumi/ Minimumi: {min 0( ) max 02

b nese af

nese aa

>− = <

• Grafiku: { 00

hapet larte nese ahapet poshte nese a

><

• Lakorja:

ngushtohet nese 1

eshte parabola normale nese 1

zgjerohet nese 1

a

a

a

>

= <

• Domena: Numrat realë

• Rangu: Ose prej {Min., ∞}, ose {−∞, Max.}

SHEMBUJ

Përcaktoni formën e kulmit për funksionet kuadratike dhe skiconi grafikun e tyre:

1.

Duke transformuar funksionin në formën e kulmit, përmes kompletimit të katrorit

0a ≠

2

bx

a= −

2 4( , ) ,

2 4

b b ach k

a a

−= − −

2( ) 2 5 2y f x x x= = − − −

( )2 25 5 25 254 2 16 16

2( 2 ) 2 2 2y x x x x= − + ⋅ − = − + + − − =

( ) ( )2 25 25 5 94 16 4 8

2 ( 2) ( ) 2 2x x= − + + − ⋅ − − = − + +


Lakorja është e hapur poshtë dhe ka dy zero.

2.

Lakorja e takon boshtin x; ka vetëm një zero.

Lakorja nuk ka zero.

Grafikët e tre funksioneve janë dhënë në Fig. 4-13.

Figura 4-13: Grafiku i tre parabolave

212

( ) 2 2y g x x x= = − +

2 21 12 2

( ) ( 4 4) ( 2)y g x x x x= = − + = −

234

( ) 2y h x x x= = − +

( ) ( )2 23 34 2 4 44 3 4 3 9 9

( ) 2 2 2y h x x x x x= = − + = − ⋅ + − + =

( )23 524 3 3

( )y h x x= = − +


DISKUTIM I DETALIZUAR PËR FUNKSIONET KUADRATIKE

Në këtë seksion do të diskutojmë funksionet kuadratike:

• Pa kryer ndonjë kalkulim mund të themi se parabola hapet lartë sepse a = 2 > 0. Ka minimum në pikën e kulmit.

• Zerot e funksionit janë:

→

Funksioni ka dy zero: dhe

• Forma funksionale për caktimin e kulmit është:

( ) ( )2 2 3 9 92 4 4

2 3 2 2 2 2y x x x x= − + = − ⋅ + − +

( )23 52 2

( ) 2y f x x= = − −

• Funksioni ka minimum në .

• Domena e tij është bashkësia e numrave realë

• Rangu i tij është (pika e majtë përfshihet).

• Grafiku i funksionit është dhënë në Fig. 4-14.

2( ) 2 6 2y f x x x= = − +

2 20 2 6 2 0 3 1 0y x x x x= → − + = → − + =

3 91/2 2 4

1x = ± −

531 2 2x = + 53

1 2 2x = −

( )3 52 2

; −

52

[ , )− ∞


Figura 4-14: Grafiku për ilustrimin e diskutimit


USHTRIMI 4.3: FUNKSIONET KUADRATIKE



1. Përcaktoni zerot e funksioneve vijuese:

a) b)

c) d)

e) f)

2. Përcaktoni koordinatat e kulmit duke kompletuar katrorin e funksioneve vijuese dhe gjeni maksimumin apo minimumin.

a) b)

c) d)

e)

3. Diskutoni karakteristika e funksioneve vijuese duke u fokusuar në zerot e funksionit dhe pikën e kulmit. Skiconi grafikun.

a) b)

c) d)

2( ) 3 2 1f x x x= − − − 2( ) 6 2f x x x= −

2( ) 6 5f x x x= − + 2( ) 5 15 10f x x x= − − −

2( ) 2 4f x x x= + − 2( ) 6 12 6f x x x= − +

2( ) 6 10f x x x= − + − 252

( ) 2 1f x x x= − + +

2( ) 2 2f x x= + 2( ) 3 4 1f x x x= − −

21 12 2

( )f x x x= − − +

2( ) 2( 3) 6f x x= − − 212

( ) 2 4g x x x= − +

2 94

( ) 3f x x x= − + 2( ) 3 2f x x x= − + −


REZULTATET 4.3: FUNKSIONET KUADTARIKE

1. a) Funksioni nuk ka zero. b)

c) d)

e) f)

2. a) Parabola hapet poshtë; maksimumi në (3; –1)

b) parabola hapet poshtë; maksimumi në

c) parabola hapet lartë; minimumi në

d) Parabola hapet lartë; minimumi në

e) parabola hapet poshtë; maksimumi në

3. a) → pika e kulmit: (h, k) = (3, -6);

zerot: ; hapet lartë

11 23

; 0x x= =

1 25; 1x x= = 1 22; 1x x= − = −

1 21.236; 3.236x x= = − 1 1x =

( )725 5

; −

( )0; 2

( )723 3

; −

( )1;1−

2( ) 2( 3) 6y f x x= = − −

1/2 3 3x = ±

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9


b) 212

( ) 2 4y g x x x= = − + → pika e kulmit: (h,k) = (2; 2); nuk

ka zero; hapet lartë

c) → kulmi: ; një zero:

: hapet lartë

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5

2 94

( ) 3y f x x x= = − + ( )32

( ; ) ; 0h k =

31 2x =

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5


d) → kulmi: ; zerot:

; hapet poshtë

2( ) 3 2y f x x x= = − + − ( )3 12 4

( ; ) ;h k =

1 22; 1x x= =

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11


4.3.4 Testi i Progresit për “Ekuacionet kuadratike”



1. Skiconi:

a) (parabola normale)

b) (parabola normale e zhvendosur në y)

c) (parabola normale e zhvendosur në x)

d) (parabola normale negative e zhvendosur në

x dhe y)

2. Përcaktoni prerjen në y dhe zerot:

a)

b)

c)

2y x=

2 2y x= − +

2( 1)y x= −

2( 1) 2y x= − + +

2( ) 2 4 6y f x x x= = − + +

24 (3 2)y x+ = −

23 4 6 9 0y x x+ − + =


3. Përcaktoni koordinatat e kulmit duke kompletuar katrorin e funksioneve vijuese dhe tregoni nëse kanë maksimum apo minimum.

a)

b)

c) 2( ) 2 5y h x x x= = − +

4. Përcaktoni boshtin e simetrisë dhe kulmin:

a)

b)

5. Përcaktoni minimumin ose maksimumin, përkatësisht:

a)

b)

6. Përcaktoni numrin e zerove të funksionit kuadratik, duke shfrytëzuar diskriminantën (dallorin):

a)

b)

c) 22 2 4y x x= − −

2( ) 4 2y f x x x= = + −

23 72 2

( ) 2y g x x x= = − −

22 4 8y x x= + −

22 13 2

( ) 2y x= − + +

22 4 2y x x= − +

2 52

2 3 0y x x+ − − =

2 5 32 2

3y x x= − +

25 10 5y x x= − +


4.4 Rezultatet për Testin e Progresit

4.4.1 Rezultatet për Testin e Progresit për "Vetitë"


1. a) (2) 1.732; (1.7) 1.375; ( 2.3) 2.071f f f= = − =

b) jo i definuar;

c) funksioni nuk është i definuar në këtë

pikë ;

2.

X -3 -2 -1 0 1 2

y=f(x) -1,6 -0,75 0 0,5 0 Nuk është i

definuar

X 3 4 5 6

y=f(x) 8 7,5 8 8,75

3. a) x = 2 b) 53

x = c) x = 0.2

4. a) y = 2 b) y = 3 c) y = -16

( 1)f − = ( )(0) 1; 2 0.4142f f= − =

( 2) 3; (0)f f− = − =(3) 4f =


5. a) 1 2( ) ( )f x f x> b) 1 2( ) ( )g x g x< c) 1 2( ) ( )h x h x>

6. a) zerot: 1/2 1.732x = ± ; y-prerja: y = 3

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

2( ) 3f x x= − +

b) zerot: 1 20; 1;x x= = − y-prerja: y =0

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

2( ) 4 4g x x x= − −

c) Nuk ka zero; y-prerja: y = 8


y

x

0-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

10

12

14

16

2( ) 2 4 8h x x x= + +

7. A është funksioni vijues bijektiv?

a) ( ) 2 4f x x= − → E saktë, ky është funksion linear me y-

prerjen në dhe x-prerjen në .

b) 2( ) 2 4g x x x= + − → E pasaktë, ky funksion e pret boshtin

x dy herë në 1 1.86x = dhe 2 1.69x = − .

c) 3( ) 5h x x= − → e saktë, ky funksion e pret boshtin x vetëm

një herë në

8. Përcaktoni funksionin invers

a) 113

( ) 1 ( ) 3 3f x x f x x−= − + → = −

b) 2( ) 1 1g x x per x= − >

1 2( ) 1g x x−→ = + per x∈R (x element i bashkësisë së

numrave realë)

4y = − 2x =

1.71x =


4.4.2 Rezultatet për Testin e Progresit për "Funksionet Lineare "


1. a) Linear

b) Linear

c) Jo-linear

d) Linear

e) Linear

2. a) 823 3

y x= − b) 17 2819 19

y x= + c) 3 411 11

y x= +

3. a) y-prerja ; zero x

b) y – prerja zero

c) y-prerja zero

4. a) y-prerja ; zero x ; gradienti

b) y-prerja ; zero x ; gradienti

c) y-prerja ; zero x ; gradienti

2 3y x= + →

2 3 24y x+ = →

2 1y x= + →

2 12y x= + →

( ) 73

2 3 12 11 0x x− + + + = →

3= 32

=

4;= 3x =

6;= − 625

x = −

3= 6= 12

= −

4= 6= 23

= −

2

3= 6= 21

23= −


5. a) y-prerja ; zero ; gradienti

b) y-prerja ; zero ; gradienti

c) y-prerja ; zero ; gradienti

34

= 98

= 23

= −

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

323 4

y x= − +

75

= 73

= 35

= −

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3 5 7x y+ =

3= − 92

= 23

=

4

4

2

2-4 -2

-2

6

y

x

312 4

( 3) ( 1)x y− = +


6. Përcaktoni funksionet e drejtëzave të dhëna:

a)

b)

c)

1 25 5

y x= +

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 23 3

y x= − +

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

12

y x=

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x


7. a) ( ) 3y f x= =

b) dhe

c)

4

2

2

1-2 -1

-2

3

y

x

( ) 3y f x= =3

12

( ) 1y f x x= = − + 12

1y x= − −

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

12

( ) 1y f x x= = − +

12

1y x= − −

2 3 4x y− =

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 3 4x y− =


4.4.3 Rezultatet në testin e progresit për "Funksionet kuadratike"


1. a) (parabola normale)

b) (parabola normale e zhvendosur në y)

2y x=

2 2y x= − +


c) (parabola normale e zhvendosur në x)

d) (parabola normale negative e zhvendosur në

x dhe y)

2. a) prerja në y , zerot

b) prerja në y , zerot

c) prerja në y , nuk ka zero

2( 1)y x= −

2( 1) 2y x= − + +

6;y = 3, 1x = −

0;y = 43

0,x =

3;y = −


3. a) Minimumi; (h,k) = (–2, –6)

b) Minimumi;

c) Maksimumi; 5 254 8

( , ) ( , )h k =

4. a) Boshti i simetrisë kulmi

b) Boshti i simetrisë kulmi

5. a) Minimum në

b) Maksimum në

6. a) D < 0: Nuk ka zero

b) D = 0: Një zero

c) D > 0: Dy zero

( )2323 3

( , ) ,h k = −

1;x = − ( , ) ( 1, 5)h k = − −

12

;x = − 12

( , ) ( , 2)h k = −

1 (1) 0x y= → =

3 3 114 4 8

( )x y= → = −

I n d e k s i F a q e | 243

Indeksi

A

aksioni ....................................................173

algjebra ....................................................12

B

baza ..........................................................60

D

drejtëzat

paralele .............................................202

E

eksponenti ...............................................60

ekuacioni algjebrik equation

funksionet .........................................174

emëruesi ..................................................24

F

formulat binomiale ..................................99

funksio

algjebrik ekuacion .............................174

funksioni

inverz .................................................184

konstant ............................................201

kuadratik ...........................................212

funksioni invers ......................................184

funksioni inverz ......................................187

funksioni kuadratik

forma e përgjithshme........................213

funksioni linear ......................................199

G

grafiku i funksionit ................................. 174

I

identiteti ................................................ 123

M

mbetja

thyesa e përzier .................................. 33

N

numrat ..................................................... 14

numrat e plotë ........................................ 14

numrat iracionalë .................................... 14

numrat natyrorë ...................................... 14

numrat racionalë ..................................... 14

P

parabola ................................................ 214

parabola normale .................................. 216

perqindja

baza .................................................... 42

përqindja

proporcioni ......................................... 42

polinomi .................................................. 94

R

radikali ..................................................... 79

radikandi ................................................. 79

244 | F a q e I n d e k s i

rangu ......................................................178

reaksioni .................................................173

S

shkallë ......................................................94

T

tabela e vlerave

funksionet .........................................174

tabela e vlerave të funksionit .................174

thyesë e përzier .......................................32

TVSH .........................................................44

V

vetitë

eksponentët negativ ........................... 65

funksionet lineare ............................. 203

X

x-prerja

parabola ........................................... 218

Y

y-prerja .................................................. 181

Z

zgjidhja .................................................. 122

S h e n i m e F a q e | 245

246 | F a q e S h ë n i m e

S h e n i m e F a q e | 247

Documents

Edicioni i 3të nga Prof. Dr. Dietrich · PDF fileSkripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. 1: Algjebra Elementare