algjebra lineare.pdf

8/15/2019 algjebra lineare.pdf

1/176


2/176


3/176


4/176


5/176


6/176


7/176


8/176


9/176


10/176


11/176


12/176


13/176


14/176


15/176


16/176


17/176


18/176


19/176


20/176


21/176


22/176


23/176


24/176


25/176


26/176


27/176


28/176


29/176


30/176


31/176


32/176


33/176


34/176


35/176


36/176


37/176


38/176


39/176


40/176


41/176


42/176


43/176


44/176


45/176


46/176


47/176


48/176


49/176


50/176


51/176


52/176

58 T. Shaska

Kështu që,v 1 =

1x 1

w 1 −x 2x 1

v 2 −···−x m x 1

v m .

Nënhapësira W e gjeneruar nga { w 1, v 2, . . . ,v m } përmban v 1. Kështu që, W = V. Vazhdojmë këtë proce-durë derisa zëvendësojmë të gjitha v 2, . . . ,v m me w 2, . . .w m . Kështu që kemi se bashkësia{w 1, . . . ,w m }

gjeneron V-në. Atëherë për çdo i >m kemi w i -të si një kombinim linear të w 1, . . . ,w m . Kjo bie në kon-tradiktë sepse w 1, . . . ,w n janë linearisht të pavarur meqënëse B 2 është një bazë. Kështu që, m ≥n . Dukendërruar vendet e B 1 dhe B 2 marrim m =

n .Prej nga kemi përkuzimin e mëposhtëm.

Përkuzim 2.7. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B një bazë e V-së. Atëherë,

dim(V) :=|B |quhet dimensioni i V -së .

Hapësirat vektoriale me dimension të fundëm quhen hapësirë vektoriale me dimension të fundëm .Në këtë libër do të studiojmë kryesisht hapësirat vektoriale me dimension të fundëm.

Le të jetë V një hapësirë vektoriale. Nënhapësira W e V-së me dimension dim(W) =1 quhet drejtëzdhe nënhapësira me dimension 2 quhet plan .Teorema e mëposhtme është shumë e rëndësishme për të gjetur një bazë. Vërtetimin e saj nuk do ta

trajtojmë.

Teorema 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dim (V) = n dhe {v 1, . . . ,v n } linearisht të pavarur. Atëherë, {v 1, . . . ,v n } është bazë për V -në.Vërtetim: Ushtrime.

Rrjedhim 2.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V -së. Në qoftë se dim(W) =dim(V), atëherë W = V .Vërtetim: Marrim njëbazë B ={w 1, . . .w n } të W. Kështuqë, w 1, . . . ,w n janë linearisht të pavarur. Atëherënga teorema e mësipërme ata gjenerojnë V-në.Rrjedhim 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V -së. Atëherë

dim(W)

≤dim(V).

Vërtetim: Ushtrim.

Shembull 2.13. Le të jenë u =(1,3) dhe v =(2,7) vektorë në V =R2. Cfarë është hapësira W = u ,v ? Zgjidhje: Nga shembujt e mësipërm dimë se dim(V)=2. Atëherë nga rrjedhimi i mësipërm

dim(W) ≤2.Meqënëse u dhe v nuk janë shumësha të njëri tjetrit, atëherë ata janë të pavarur. Kështu që, dim(W)=2.Nga Rrjedhimi 2.1 kemi se W =R2.


53/176

2.2. BAZAT DHE DIMENSIONET 59

2.2.1 Një bazë për Mat n ×n (R)Shembujt e bazave që kemi parë deri janë nga hapësirat Rn . Gjithsesi, rezultatet e mësipërme janë të

vërteta për çdo hapësirë vektoriale. Pra cfarë është një bazë dhe dimensioni i M at n ×n (R)?Shembull 2.14. Le të jetë V =Mat 2×2(R). Gjej një bazë për V -në dhe dimensionin e tij.Zgjidhje: Së pari vëmë re se çdo matricë

A = a b

c d ∈ V

mund të shkruhet si

A = a b

c d =a 1 0 0 0 +b

0 10 0 +c

0 0 1 0 +d

0 0 0 1

Kështu që bashkësia B ={M1,M2,M3,M4} ,ku

M1 = 1 0 0 0 , M2 =

0 10 0 , M3 =

0 0 1 0 , M4 =

0 0 0 1 ,

gjeneron të gjitha elementet e V -së. A janë M1,M2,M3,M4 linearisht të pavarur? Në qoftë se

r 1M1 +r 2M2 +r 3M3 +r 4M4 =0,tëherë

r 1 r 2r 3 r 4 =

0 0 0 0

e cila na jep r 1 =r 2 =r 3 =r 4 =0.

Kështu që,B është një bazë e V -së dhe dim(V)=4.Vërejtje. Në përgjithësi, mund të gjejmë një bazë të M at n ×n (k ) si më sipër dhe të vërtetojmë se dimen-sioni është n 2.

2.2.2 Gjetja e bazës e një nënhapësire në k n

Le të jenë w 1, . . . , w m vektor në Rn dheW =Span ( w 1, . . . , w m ). NgaLema 2.2, W është një nënhapësirëe Rn -së. Ne duam të gjejmë një bazë për W. Së pari duhet të shohim nëse w 1, . . . , w m janë të pavarur.Kështu që, duhet të gjejmë skalar r 1, . . . ,r m ∈R të tillë që

r 1 w 1 +···+r m w m =0.Le të jetë w 1, . . . , w m si më poshtë:

w 1 =(w 1,1, . . . ,w 1,n ) w 2 =(w 2,1, . . . ,w 2,n )

. . .

. . . w m =(w m ,1, . . . ,w m ,n )

(2.8)


54/176

60 T. Shaska

Atëherër 1 w 1 +···+r m w m =0

sjell sew 1,1r 1 +w 2,1r 2 +···+w m ,1r m =0w 1,2r 1 +w 2,2r 2 +···+w m ,2r m =0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .w 1,n r 1 +w 2,n r 2 +···+w m ,n r m =0

Kështu që kemi sistemin

w 1,1 w 2,1 . . . w m ,1w 1,2 w 2,2 . . . w m ,2. . . . . . . . . . . .w 1,n w 2,n . . . w m ,n

·

r 1r 2r 3

r m

=

000

0

.

i cili mund të shkruhet si

[ w 1 | w 2 | · · · | w m ]·

r 1r 2r 3

r m

=

000

0

.

Për të zgjidhur këtë sistem gjejmë formën row-eçelon të matricës

A =[ w 1 | w 2 | . . . | w m ].Në qoftë se forma row-eçelon ka nga një pivot në secilën kolonë, atëherë w 1, . . . , w m janë linearisht tëpavarur, në të kundërt janë linearisht të varur. Vektorët të cilët formojnë bazë në këtë rast janë të njëjtëtvektorë korespondues me kolonat me pivot. Pra kemi algoritmin e mëposhtëm:

Algorithm 3. Input: Një nënhapësirë W e gjeneruar nga w 1, . . . , w m në k n .Output: Një bazë e W-së

i) Nga matrica A

=[w 1

|w 2

| . . .

|w m ]

ii) Gjej formën row-eçelon të A -së iii) Kolonat me pivot vijnë prej w i -ve, të cilat formon një bazë për W .

Shembull 2.15. Le të jetë W =Span (w 1,w 2,w 3,w 4)⊂R4 të tilla që w 1 =(1,2,3,1)w 2 =(−1,3,1,5)w 3 =(2,4,2,6)w 4 =(3,3,1,5)

(2.9)


55/176

2.2. BAZAT DHE DIMENSIONET 61

Gjej një bazë për W .

Zgjidhje: Formojmë matricën A =[w 1, . . . ,w n ].

A =1 -1 2 3 2 3 4 3 3 1 2 11 5 6 5

Forma e reduktuar row-eçelon e A -së është

1 0 0

−25

0 1 0 −350 0 1 750 0 0 0

Kështu që, baza e W -së është B ={w 1,w 2,w 3}.Teorema 2.4. dim(Rn )=n Vërtetim: Marrim bashkësinë

B ={(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,1)}e vektorëve elementar. Eshtë e qartë se kjo bashkësi gjeneron Rn meqënëse çdo vektor në Rn mund tëshkruhet si një kombinim linear elementësh në B .

Krijojmë matricën A

= [ w 1, . . . , w n ]. Atëherë A

= I, pra është në formën e reduktuar row-eçelon.

Meqënëse çdo kolonë ka një pivot, atëherë elementët e B -së janë linearisht të pavarur.

Baza B quhet baza standarte e Rn .

Shembull 2.16. Le të jetë P4 hapësira vektoriale e polinomeve me koecientë realëdhegradë ≤4. Përcakto nëse { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5} të dhëna si më poshtë f 1 =2x 4 −x 3 +2x 2 −1 f 2 =x 4 −x f 3 =x 4 +x 3 +x 2 +x +1 f 4 =x 2 −1 f 5 =x −1

formojnë një bazë për P4.

Zgjidhje: Marrim bazën B ={x 4, x 3, x 2, x ,1} për P4. Lexuesi duhet të verikojë se kjo është një bazë për P4. Atëherë kordinatat e f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 në lidhje me bazën B janë f 1 =(2,−1,2,0,−1) f 2 =(1,0,0,−1,0) f 3 =(1,1,1,1,1) f 4 =(0,0,1,0,−1) f 5 =(0,0,0,1,−1)


56/176

62 T. Shaska

Ne mund të përcaktojmë nëse polinomët janë të pavarur duke përcaktuar së pari nëse kordinatat e vek-torëve korespondues në R5 janë të pavarur. Matrica koresponduese është

2 1 1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 -1 1 0 1

-1 0 1 -1 -1

dhe forma e saj e reduktuar row-eçelon është matrica identike I5. Meqënëse çdokolonë ka njëpivot atëherë vektorët janë të pavarur në R5 dhesi rrjedhim f 1, . . . f 5 janëtë pavarur në P4. Dimensionii P4 është dimP4 =5. Kështu që { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5} formon një bazë për P4.

Ushtrime:

1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k . Në qoftë se një bashkësi vektorësh është linearisht epavarur në V, provo se bashkësia nuk e përmban vektorin zero.

2. Le të jetë W =Span ( w 1, w 2, w 3)⊂R4 e tillë që w 1 =(1,2,3,1) w 2

=(

−1,3,1,5)

w 3 =(1,4,0,6)(2.10)

Gjej një bazë për W.

3. Le të jetë W =Span ( w 1, w 2)⊂R6 të tillë që w 1 =(1,2,3,1,9,5) w 2 =(2,4,6,2,18,10)

(2.11)

Gjej një bazë për W.

4. Vërteto se çdo bashkësi B⊂

Rn , n vektorësh jo-zero të cilët janë dy nga dy pingulë formojnë një

bazë për Rn .

5. Le të jetë V =Mat 3×3(R). Gjej një bazë për V dhe dimensionin e V-së.

6. Le të jetë V =k [x ]. Vërteto se f 1 =x 6 +x 4 dhe f 2 =x 6 +3x 4 −x ,

janë linearisht të pavarur.


57/176

2.3. HAPËSIRA NUL DHE RANGU I NJË MATRICE 63

7. Le të jetë k një fushë dhe V :=k [x ] hapësira vektoriale e polinomeve në x . Shëno me Pn hapësirëne polinomeve në V të gradës ≤n . Gjej një bazë për Pn .

8. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f :R →R. Le të jetë W nënhapësira e V-së e tillë që W := Span (sin2 x ,cos2 x ).

Vërteto se W përmban të gjithë funksionët konstant.

9. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f :R →R. Vërteto se bashkësia{1,sinx ,sin2x ,...,sinnx }

është një bashkësi e pavarur vektorësh në V.

10. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f :R →R. Gjej një bazë të nënhapësirës W = Span (3−sin x ,2sin2x −sin3x ,3sin2x −sin4x ,sin5x −sin2x }.

Udhëzim : Përdor ushtrimin e mëparshëm.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri, i cili llogarit një bazë për

W =Span ( w 1, . . . , w n )⊂Rn .

2.3 Hapësira nul dhe rangu i një matrice

Le të jetë A një matricë m ×n mbi k . Marrim në konsideratë të gjitha rreshtat R i të A-së. Këta janëvektorë në k n . Hapësira e gjeneruar nga vektorët-rradhë të A-së quhet hapësira e rradhëve e A -së . Në tënjëjtën mënyrë vektorët-kolonë të A-së janë vektorë në k m dhe hapësira e gjeneruar e vektorëve-kolonë

quhet hapësira e kolonave e A -së . Si më parë hapësira nul e A-së do të jetë bashkësia e zgjidhjeve të A-së.

Teorema 2.5. Le të jetë A një matricë m ×n. Dimensioni i hapësirës rresht është i njëjtë me dimensionin e hapësirës kolonë. Ky dimension i përbashkët është i barabartë me numrin e pivotëve të formës row-eçelon të A -së.

Vërtetim: Përdorim metodën e mësipërmepër të gjeturdimensionin për të dy rastet. Ky dimensionështënumri i pivotëve.

Ky dimension i përbashkët quhet rangu i A -së dhe shënohet me rank (A). Dimension i hapësirësnul quhet nulitet i A-së dhe shënohet me null (A).


58/176

64 T. Shaska

Teorema 2.6. Le të jetë A një matricë m ×n dhe H forma e saj row-eçelon i) rank (A)=numri i pivotëve të H-së ii) null (A)= numri i kolonave pa asnjë pivot Për më tepër,

rank (A)+null (A)=n Vërtetim: Na ka mbetur për të treguar se null (A) është i barabartë me numrin e kolonave pa pivot nëformën row-eçelon. Kjo është e qartë, meqënëse numri i ndryshore të lira për sistemin korespondueslinear është i barabartë me numrin e kolonave pa pivot të A-së në formën row-eçelon .

Shembull 2.17. Gjej rangun, nulitetin , një bazë për hapësirën rresht, një bazë për hapësirën kolonë, dhe një bazë për hapësirën nul të matricës

A =2 1 13 2 2 1 1 1

Zgjidhje: Së pari gjejmë formë e reduktuar row-eçelon të A -së.

A =2 1 13 2 2 1 1 1

H =1 0 10 1 10 0 0

Atëherë rank (A)=2 dhe null (A)=1.

Një bazë për hapësirën kolonë është

B 1 = 2 3 1, 12

1.

Për të gjetur një bazë të hapësirës rresht përdorim rreshtat e H-së të cilët përmbajnë pivot. Pra kemi

B 2 ={(1,0,1),(0,1,1)}.Për të gjetur një bazë për hapësirën nul na duhet të zgjidhim sistemin

H x =0Matrica e augmentuar është:

[H |0]=1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

Kështu që, x 3 është një ndryshore e lirë dhe x 2 +x 3 =0 dhe x 1 +x 3 =0. Zgjidhja është

x =-x 3-x 3x 3

=x 3- 1-11

Pra, një bazë për hapësirën nul është

B 3 =- 1-11

.


59/176


2.3.1 Gjetjae njëbaze përhapësirat-rresht, hapësirat-kolonë dhehapësiranul e njëmatrice.

Na është dhënë një matricë A m ×n , duam të gjejmë bazat e hapësirave të shoqëruara të. Kemi algo-ritmin e mëposhtëm:

Algorithm 4. Input: Një matricë A m ×n Output: Një bazë për hapësirën rresht, hapësirën kolonë dhe hapësira nul e A-sëi) Gjej formën e reduktuar row-eçelon H të A -së ii) Kolonat e A -së të cilat i korespondojnë kolonave me pivot të H-së, formojnë një bazë për hapësirën kolonë.

iii) Rreshtat jozero të H-së formojnë një bazë për hapësirën rresht.iv) Përdor zëvendësimin nga fundi për të zgjidhur H x =0.

Shembull 2.18. Gjej bazat e hapësirave të shoqëruar me A

A =1 2 -1 3 1 1 2 12 -1 1 2

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon është

H =

1 0 0 3/2

0 1 0 1/2

0 0 1 -1/2

Një bazë për hapësirën kolonë është

112

,2 1-1

,-12 1

Rangu i A -së është rank (A)=3 dhe null (A)=1. Kështu që, ekziston njëndryshore e lirë të cilën e shënojmë me x 4. Duke zgjidhur H x =0 kemi

x =

- 32 x 4

- 12 x 4

12 x 4

x 4

=x 4

- 32

- 12

12

1


60/176

66 T. Shaska

Një bazë për hapësirën nul është

B =

- 32

- 12

12

1

.

Për një bazë të hapësirës rresht marrim tre rreshtat e H-së.

Shembull 2.19. Gjej rangun, nulitetin dhe një baze për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën nul të një matrice.

A =4 2 3 3

-2 1 1 2 3 -1 2 1

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon e A -së është

H =

1 0 0 - 623

0 1 0 923

0 0 1 25

23

Atëherë,rank (A)=3, null (A)=1

Për bazën e hapësirës kolonë kemi

4 -2 3

,2 1-1

,3 12

Për bazën e hapësirës rresht marrim tre rreshtat e A -së, meqënëse secila prej tyre përmban nga një pivot.Pastaj gjejme një bazë për hapësirën nul. Kështu që, duhet të zgjidhim sistemin

H x =0.Zgjidhja është

x =

- 623

923

2523

1

·x 4 =

- 6

9

25

23

·t ,


61/176


për disa ndryshore të lira t. Kështu që, një bazë është

B =- 6 9 25 23

Teorema në vazhdim lidh disa nga çështjet e mëparshme të këtij seksioni.

Teorema 2.7. Le të jetë A një matricë n

×n. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente:

i) A x =b ka një zgjidhje të vetme për çdo b∈Rn .ii) A është ekuivalente sipas radhëve me In iii) A ka të anasjelltë iv) Vektorët sipas kolonave të A -së formojnë një bazë për Rn

Vërtetim: Ushtrime Rezultati i mëposhtëm është shumë i përdorshëm në rastet kur duam të gjejmëtë anasjelltin.

Rrjedhim 2.3. Le të jetë A një matricë n ×n. Atëherë A ka të anasjelltë atëherë dhe vëtëm atëherë kur rank (A)=n .

Ushtrime:

1. Gjej rangun,njëbazëpërhapësirën rresht, njëbazëpërhapësirën kolonëdhe njëbazëpërhapësiënnul për matricat e mëposhtme.

2 3 2 11 1 0 12 3 1 -1

,1 1 11 2 33 4 5

,1 2 34 5 67 8 9

2. Le të jetë A një matricë katrore. Vërteto se

null (A)=null (A t ).

3. Le të jenë A, B matrica të tilla që produkti AB është i përcaktuar. Vërteto se

rank (AB)≤rank (A).4. Jep një shembull dy matricash A,B të tilla që

rank (AB)


62/176

68 T. Shaska

6. Le të jenë u dhe v vektorë sipas kolonave linearisht të pavarur në R3 dhe A një matricë 3 ×3 e cilaka të anasjelltë. Provo se vektorët A u dhe A v janë linearisht të pavarur.

7. Përgjithëso problemin e mësipërm në Rn . Le të jenë u1, . . . ,u n vektorë sipas kolonave linearisht tëpavarur në Rn dhe A një matricë n ×n e cila ka të anasjelltë. Provo se vektorët A u 1, . . . ,A u n janëlinearisht të pavarur.

8. Letëjenë u dhe v vektorë sipas kolonavenë R3 dhe A një matricë 3 ×3 e cila ka të anasjelltë. Provo senë qoftë se vektorët A u dhe A v janë linearisht të pavarur atëherë u dhe v janë linearisht të pavarur.

9. Përgjithëso problemin e mësipërm në Rn . Le të jenë u1, . . . ,u n vektorë sipas kolonave në Rn dhe A një matricë n ×n e cila ka të anasjelltë. Provo se në qoftë se vektorët A u 1, . . . ,A u n janë linearisht tëpavarur atëherë u1, . . . ,u n janë linearisht të pavarur.

10. Le të jetë

A = cosθ −sin θ

sin θ cosθ

për një kënd θ. Merr çdo vektor u∈R2 dhe krahasoje me vektorin A u . Çfarë ndodh gjeometrikisht?

11. Le të jetë A si në ushtrimin e mësipërm dhe {u , v } një bazë në R2. Vërteto se {A u ,A v } është një bazëpër R2. Ndoshta duhet parë hapësira nul e A.

Ushrime Programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili llogarit rangun dhe nulitetin e një matrice të dhënë.

2) Shkruaj një program kompiuteri i cili gjen një bazë për hapësirën nul, hapësirën kolonë dhehapësirën rresht të një matrice të dhënë.

2.4 Shuma, shuma direkte dhe prodhimi direkt

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe U,W nënhapësira të saj. Shënojmëshumën U+ W të nënhapësirave U dhe W si më poshtë

U+ W :={u +w |u ∈U, w ∈ W}Kjo bashkësi U+ W është një nënhapësirë e V-së. Shiko ushtrimin 1 në fund të këtij seksioni.Lema 2.3. Le të jetë V njëhapësirë vektoriale me dimension të fundëmdhe U,W nënhapësirae saj. Atëherë

dim(U + W)=dimU +dimW −dim(U ∩ W).Vërtetim: Ushtrim.


63/176

2.4. SHUMA, SHUMA DIREKTE DHE PRODHIMI DIREKT 69

2.4.1 Shumat direkte

Themi se V është shumë direkte e U-së dhe W-së, e shënuar me V =U⊕ W, në qoftë se çdo elementv në V shprehet në mënyrë të vetme si shumë ev =u +w

për ndonjë u ∈

U dhe w ∈

W.

Teorema 2.8. Le tëjenë U,W nënhapësira të hapësirës vektoriale V . Në qoftë se V =U+ W dhe U∩ W ={0},atëherë V =U⊕ W.

Vërtetim: Le të jetë v në V dhe v =u +w për ndonjë u ∈U dhe w ∈ W. Për të provuar se V është njëshumë direkte na duhet të tregojmë se u dhe w janë të përcaktuar në mënyrë të vetme. Supozojmë seekzistojnë u dhe w të tillë që v =u +w . Atëherë,

v −v =(u −u )+(w −w )=0Kështu që, u −u =w −w . Meqënëse u −u =∈U dhe w −w ∈ W, atëherë

(u −u )=(w −w )∈U∩ W ={0}Pra,

u =u dhe w =w .Kjo plotëson vërtetimin.

Teorema 2.9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k dhe W një nënhapësirë e V -së. Atëherë, ekziston një nënhapësirë U⊂

V e tillë që

V =U⊕ W Vërtetim: Le të jenë dimV =n dhe dimU =r , ku r


64/176

70 T. Shaska

Teorema 2.10. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k, e tillë që V =U⊕ W . Atëherë,dim (V)=dim (U)+dim (W)

Vërtetim: Le të jenë B 1 dhe B 2 baza për U dhe W respektivisht. Themi

B 1 ={u 1, . . . ,u r }B 2 ={ w 1, . . . , w s }

Atëherë çdo element i U-së mund të shkruhet si një kombinim i vetëm linear i

u =x 1u 1 +···+x r u r dhe çdo element i W-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i

w = y 1 w 1 +···+ y s w r Pra, çdo element i V-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i

v =x 1u 1 +···+x r u r + y 1 w 1 +···+ y s w r Kjo tregon se bashkësia

{u 1, . . . ,u r , w 1, . . . , w s }

formon një bazë për V-në. Përkuzimi i shumës direkte mund të përgjithësohet për disa shuma.Themi se

V =n

i =1 V i = V 1⊕···⊕ V n

në qoftë se çdo element në V mund të shkruhet në mënyrë të vetme si shumë

v =v 1 +···+v n , w ith v i ∈ V i .

2.4.2 Prodhimi direkt

Përkuzimi i prodhimit direkt është i bazuar në prodhimin kartezian. Përsëritim disa nga përku-zimet më të rëndësishme të prodhimit kartezian. Le të jenë U dhe W hapësira vektoriale mbi një fushëk . Le të jetë U× W bashkësia e të gjithë çifteve të (u , w ) të tillë që u∈U dhe w ∈ W, dmth dhe w ∈ W. Pra,

U×

W :=

{(u , w ) |

u∈

U, w ∈

W}

Shumën e çdo dy çifteve të renditura ( u 1, w 1) dhe (u 2, w 2) e shënojmë si më poshtë

(u 1, w 1)+(u 2, w 2)=(u 1 +u 2, w 1 + w 2)Shumëzimin skalar e shënojmë si më poshtë: për çdo r ∈k ,

r (u , w )=(r u , r w )Ushtrim: Vërteto se U× W me këtë shumë dhe prodhim skalar është një hapësirë vektoriale mbi k .


65/176

2.4. SHUMA, SHUMA DIREKTE DHE PRODHIMI DIREKT 71

Përkuzim 2.8. Hapësira vektoriale U × W quhet prodhim direkt i U-së dhe W-së.

Lema 2.4. Le të jenë U,W hapësira vektoriale. Atëherë,

dim(U × W)=dimU +dimW Vërtetim: Vërtetimi është lënë për lexuesin.

Përkuzimi i prodhimit skalar mund të përgjithësohet për disa faktorë. Për shembull

V :=n

i =1 V i = V 1 ×···× V n

është bashkësia e n -elementëve të radhitur, ku mbledhja dhe shumëzimi skalar janë të përcaktuar koor-dinatë për koordinatë.

Ushtrime:

1. Le të jenë V =R2 dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w =(2,3). Le të jetë U një nënhapësirë egjeneruar nga u =(1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së. A mund ta përgjithë-soni këtë për çdo dy vektorë u dhe w ?

2. Le të jetë V =R3. Le të jetë W hapësira e gjeneruar nga w =(1,0, 0) dhe le të jetë U nënhapësira egjeneruar nga u1 =(1,1,0) dhe u2 =(0,1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së.

3. Le të jenë u dhe v dy vektorë jozero në R2. Nëse nuk ekziston një c ∈R e tillë që u =c v , vërtetose {u ,B v } është një bazë e R2 dhe se R2 është një shumë direkte e nënhapësirës së gjeneruar ngaU = u dhe V = v respektivisht.

4. Le të jenë U dhe W nënhapësira të V-së. Cfarë janë U +U, U+ V? A është U+ W = W +U?

5. Le të jenë U,W nënhapësira të hapësirës vektoriale V. Vërteto se

dimU +dimW =dim(U + W)+dim(U ∩ W)

6. Le të jetë V =Mat 2×2(k ),U :=

a b-b a |a ,b ∈k

dhe W :=

a bb -a |a ,b ∈k .


66/176

72 T. Shaska

Vërteto se:

i) U dhe W janë nënhapësira të V-së.

ii) V =U⊕ W

7. Le të jenë U dhe W nënhapësira të hapësirës vektoriale V.

i) Vërteto se U∩ W ⊂U∪ W ⊂U+ W.ii) Kur është U∪ W një nënhapësirë e V-së?ii Cila është nënhapësira më e vogël e V-së e cila përmban U

∪ W?

8. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësiae të gjithave nënhapësirave të V-së. Kon-siderojmë veprimin e mbledhjes së nënhapësirës në S . Vërteto se ekziton një zero në S për këtëveprim dhe ky veprim ka vetinë e shoqërimit.

9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësiae të gjithave nënhapësirave të V-së. Kon-siderojmë veprimin e prerjes në S . Vërteto se ky veprim ka vetinë e shoqërimit. A ekziston njëidentitet për këtë veprim (dmth, ekziston një E

∈S i tillë që A ∩E= A, për çdo E inS )?

2.5 Funksionet lineare ndërmjet hapësirave vektoriale

Në këtë seksion do të studiojmë funksionet ndërmjet hapësirave vektoriale. Ne jemi të interesuar nëfunksione të cilët ruajnëveprimet në hapësirënvektoriale. Para se të përkuzojmë këta funksione, duhettë përsëritni përkuzimet e funksioneve injektive, syrjektive dhe bijektive nga kalkulusi. Le të jenë V dhe V hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë k .

Përkuzim 2.9. Një funksionT : V → V

do të quhet funksion linear në qoftë se kushti i mëposhtëm është i vërtetë për çdo u , v

∈

V dhe r

∈R:

i) T(u + v ) =T(u )+T( v ),ii) T(r ·u )=r ·T(u )

Shembull 2.21. Le të jetë V =Rn dhe A një matricë n ×n. Përcaktojmë funksionin e mëposhtëm: T A : V −→ V

x −→ A · x (2.12)

Mund ta vërtetojmë shumë lehtë se ky është një funksion linear.


67/176

2.5. FUNKSIONET LINEARE NDËRMJET HAPËSIRAVE VEKTORIALE 73

Shembull 2.22. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k. Përcaktojmë Përcaktojmë bashkësinë e të gjithë funksioneve linear f : U→ V me

L (U,V):={ f : U→ V | f ështëlinear }Përcaktojmë mbledhjen në L (U,V) si mbledhjen e zakonshme të funksioneve dhe shumëzimi skalar do të jetë shumëzimi me një konstante nga k. Me një fjalë,

( f +g )(u )= f (u )+g (u )r ∗

f (u )=r · f (u )E lëmë si ushtrim për lexuesin vërtetimin se L (U,V) është një hapësirë vektoriale mbi k. Kjo është një hapësirë e rëndësishme të cilën do ta përdorim përsëri më vonë.

Lema 2.5. Le të jetë T : V → W një funksion linear ndërmjet hapësirave vektoriale V dhe W . Atëherë po-himi i mëposhtëm është i vërtetë: i) T(0 V ) =0 W .ii) Për çdo v ∈ V , T(−v )=−T(v ).

Vërtetim: Vërtetimi është i thjeshtë.

T(0 V )=T( v − v )=T( v )+T(− v )=T( v )−T(v ) =0 W Pjesa ii) është e qartë.

Përkuzim 2.10. Le tëjetëT :U→ V një funksion linear ndërmjet hapësiravevektorialeU dhe V. Kernelii T-së, i shënuar me k er (T) është i përcaktuar si më poshtë

k er (T) :={u∈U |T(u )=0 W }Imazhi i T-së është i përcaktuar si:

Img (T) :={ v ∈ V |∃u∈U,T(u )= v }

Lema 2.6. Le të jetë T : V → W

një funksion linear. Atëherë,

i) ker (T) është një nënhapësirë e V -së ii) Img (T) është një nënhapësirë e W -së.

Vërtetim: Ushtrim Lema e mëposhtme është ndihmëse për të gjetur nëse një funksion linear ështëinjektiv ose jo.

Lema 2.7. Le të jetë T : V → W

një funksion linear. Atëherë ke r (T)={0 V } atëherë dhe vetëm atëherë kur T është injektiv.


68/176

74 T. Shaska

Vërtetim: Supozojmë se k er (T)={0 V }. Atëherë, për çdo v 1, v 2∈ V të tillë që T( v 1)=T( v 2) kemi:T( v 1)−T( v 2)=0 =⇒T( v 1 − v 2)=0 =⇒( v 1 − v 2)∈k er (T)

e cila do të thotë se v 1 − v 2 =0=⇒ v 1 = v 2

Supozojmë se T është injektiv dhe le të jetë v ∈

k er (T). Atëherë T(v ) =T(0 V ) =0 W sjell se v =0 V .

Shembull 2.23. Le të jetë C(R) hapësira vektoriale e të gjithë funksioneve të diferencueshëm f : R →R.Marrim në konsideratë funksionin D:C(R)→C(R) f (x )→D( f (x ))= f (x )

ku f (x ) është derivati i f (x ). Vërteto se D është një funksion linear.Teorema 2.11. Le të jetë T : V → W,një funksion linear injektiv. Në qoftë se v 1, . . .v n janë elementë linear-isht të pavarur në V , atëherë T(v 1),...,T(v n ) janë elementë linearisht të pavarur në W .Vërtetim: Le të jetë

y 1T( v 1)+···+ y n T( v n )=0 W për skalarët y 1, . . . , y n . Atëherë

T( y 1 v 1)+···+T( y n v n )=0 W e cila sjell se

T( y 1 v 1+···+

y n v n )=

0 W Meqënëse T është injektiv atëherë k er (T)={0} dhe

y 1 v 1 +···+ y n v n =0 V Kjo sjell se

y 1 =·· ·= y n =0meqënëse v 1, . . . , v n janë linearisht të pavarur. Kështu që T( v 1),...,T(v n ) janë elementë linearisht tëpavarur në W.Teoremat e mëposhtme do ti pranojmë pa vërtetim.

Teorema 2.12. Le të jetë T : V → W një funksion linear. Atëherë,dimV =dim ker (T)+dim Img (T)

Teorema 2.13. Le të jetë T : V → W një funksion linear dhe dimV =dimW . Në qoftë se ker (T)={0} ose Img (T)= W , atëherë T është bijektiv.Vërtetim: Në qoftë se k er (T)={0}, atëherë T është injektiv dhe

dimImg (T)≥dimV =dimW Kështu që Img T= W dhe T janë surjektiv.Në qoftë se Img (T)= W, atëherë T është syrjektiv dhe

dimk er (T)=0Kështu që k er (T)={0 V } dhe T janë gjithashtu injektiv.


69/176

2.5. FUNKSIONET LINEARE NDËRMJET HAPËSIRAVE VEKTORIALE 75

Shembull 2.24. Le të jetë A matrica -1 2 3 4 5 6 7 8 9

dhe L A funksioni linear

L A : R3 −→R3 x −→ A · x

(2.13)

Përcakto nëse funksioni L A është bijektiv.

Zgjidhje: Në llim përcaktojmë ker (L A ). Ne duam të gjejmë të gjithë x ∈R3, të tillë që

T( x ) = A x =0Kështu që ker (L A ) është i njëjtë si me hapësirën nul të A . Për të gjetur hapësirën nul procedojmë si më poshtë: Forma e reduktuar row-eçelon është

H =1 0 0 0 1 0 0 0 1

Kështu që rank (A)=3, null (A)=0 dhe hapësira nul e A -së është {0}. Kështu që, ker (L A ) ={0} dhe L A janë injektiv. Nga teorema e mëparshme arrijmë në përfundimin se L A është bijektiv.

2.5.1 Kompozimi i funksionëve linear, funksionëve të anasjelltë, izomorzmave

Eshtë e natyrshme pyetja nëse kompozimi i dy funksionëve linear është gjithashtu linear ose nëse ianasjellti i një funksioni linear është linear.

Teorema 2.14. Le të jenë U,V,W hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f dhe g funksione lineare:

U f

−→ V g

−→ W Atëherë funksioni

g ◦ f : U

−→ W

është gjithashtu linear.

Vërtetim: Le të jetë u1,u 2∈U. Atëherë

(g ◦ f )(u 1 +u 2) =g f (u 1 +u 2) =g f (u 1)+ f (u 2) =(g ◦ f )(u 1)+(g ◦ f )(u 2)Gjithashtu,

(g ◦ f )(r ·u ) =g f (r ·u =g (r · f (u ))=r ·(g ◦ f )(u )


70/176

76 T. Shaska

Shembull 2.25. Le të jenë A dhe B matrica me dimensione m ×n dhe n ×s respektivisht dhe L A ,LB funk-sione linear Rm

L A −→R

n LB−→R

s

të tillë që L A ( x ) = A x dhe LB( x ) =B x . Funksioni LB◦L A është i dhënë nga LB◦L A : Rm −→Rs

x −→(BA) x dhe mund të vërtetohet shumë lehtë që është linear.

Teorema 2.15. Le të jenë U,V hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f : U−→ V një funksion linear i cili ka të anasjelltë f −1 : V −→U. Atëherë, f −1 është linear.Vërtetim: Ushtrim Le të jenë U,V hapësira vektoriale dhe

L : U−→ V një funksion linear i cili ka të anasjelltë. Atëherë, L quhet izomorzëm dhe U dhe V quhen hapësira izomorke .

Ushtrime:

1. Le të jetë T :R →R, i tillë që T(x ) =sin x . A është T një izomorzëm? Shpjego.2. Le të jetë A =[a i j ] një matricë n ×n dhe me t r (A) shënojmë trace e saj. Vërteto se funksioni

tr : Mat n ×n (k ) −→k A −→t r (A)

është një funksion linear.

3. Le të jetë L ([0,1],R) bashkësia e funksionëve të integrueshëm në intervalin [0,1]. Kontrollo nësefunksioni

φ : L ([0,1],R)−→L (R) f (x )−→

1

0 f (x )dx

është një funksion linear.

4. Le të jetë T :Rn →Rn një funksion linear i dhënë nga T( x )= A x , për ndonjë matricëA n ×n e cila katë anasjelltë. Vërteto se T është një bijeksion.


71/176

2.6. MATRICAT E SHOQËRUARA ME FUNKSIONET LINEARE 77

5. Le të jetë P4 një hapësirë vektoriale e polinomëve me koecienta realë dhe me gradë ≤4. Vërtetose P4 është izomorke me R5.

6. Përgjithëso rezultatin e mësipërm. Pra, provo se P n është izomorke me Rn +1.

7. A mund të gjeni dy hapësira vektoriale me të njëjtin dimension, të cilat nuk janë izomorke? Shp- jegojeni.

8. Dimë se C është një hapësirë vektoriale mbi R. Përcaktojmë funksionin T : C → C, të tillë qëT(z )=z , ku z është i konjuguari kompleks i z -së. A është T një funksion linear?

9. Le të jetë T :C →C, e tillë që T(z ) =z +z 0, ku z 0 është një numër kompleks i dhënë. A është T njëizomorzëm?

10. Le të jetë T :C →C, e tillë qëT(z )=

1z

for z =00 for z =0

A është T një izomorzëm? Shpjego.

2.6 Matricat e shoqëruara me funksionet lineare

Një nga gjërat më të mira të algjebrës lineare është se çdo funksioni linear mund ti shoqërojmë njëmatricë dhe anasjelltas. Kështu që, ne mund të përdorim vetitë e matricave për të kuptuar funksionëtlinear. Në këtë seksion ne do të gjejmë se si mund të gjejmë matricën kur na është dhënë funksioni.

Le të jenë V dhe U hapësira vektoriale me dimension të fundëm mbi një fushë k dhe

L : U−→ V një funksion linear. Për më tepër, le të jenë

B 1 :={u 1, . . . ,u n }B 2 :={ v 1, . . . . . . , v m }

baza për U dhe V respektivisht. Atëherë vlerat e L(u 1),...,L(u n ) janë si më poshtë:

L(u 1) =a 1,1 v 1 +···a 1,m v m L(u 2) =a 2,1 v 1 +···a 2,m v m

·········L(u n ) =a n ,1 v 1 +···a n ,m v m


72/176

78 T. Shaska

për ndonjë skalar a i , j ∈ k . Marrim matricën n ×m dhënë me A = [a i , j ], ku a i , j janë si më poshtë. Etranspozuara e saj A t është matrica m ×n

A t =a 1,1 a 2,1 ··· a n ,1a 1,2 a 2,2 ··· a n ,2

··· ···a 1,m a 2,m ··· a n ,m e cila quhet matrica e shoqëruar me funksionin linear L në varësi të bazave B 1 dhe B 2 dhe e shënojmëMB 2B 1(L).

Në të vërtetë, çdo vektor x

∈

U shkruhet si

x =x 1u 1 +···+x n u n ku x 1, . . . ,x n janë skalar në k . Prej nga,

L( x )=x 1L(u 1)+···+x n L(u n )

= x 1 a 1,1 v 1 +···a 1,m v m +x 2 a 2,1 v 1 +···a 2,m v m

·········+x n a n ,1 v 1 +···a n ,m v m

=(a 1,1x 1 +a 2,1x 2 +···a n ,1x n ) v 1(a 1,2x 1 +a 2,2x 2 +···a n ,2x n ) v 2·········(a 1,m x 1 +a 2,m x 2 +···a n ,m x n ) v m

Kështu që, kordinatat e vektorëve L( x ) në varësi të bazës B 2 të V-së janë

L( x ) =

a 1,1 x 1 +a 2,1x 2 +···+a n ,1x n a 1,2 x 1 +a 2,2x 2 +···+a n ,2x n ·········

·········a 1,m x 1 +a 2,m x 2 +···+a n ,m x n

=a 1,1 a 2,1 ··· a n ,1a 1,2 a 2,2 ··· a n ,2

··· ···a 1,m a 2,m ··· a n ,m ·

x 1x 2

··x n

= A t x =MB 2B 1

(L) x


73/176


Kështu, për çdo funksion linear L : U → V ekziston një matricë MB 2B 1

(L) në varësi të bazave B 1 dheB 2, e tillë që

L( x ) =MB 2B 1

(L) x

Zakonisht M B 2B 1(L) e shënojmë si më poshtë

MB 2B 1(L)= L(u 1)B 2 | ··· |L(u n )B 2ku çdo L(u i )B 2 është vektori kolonë L(u i ) në varësi të bazës B 2 të V-së.

Shembull 2.26. Le të jetë L :R2 →R3 funksion linear i dhënë nga L(x , y )=(x − y ,2x −3 y ,x −3 y )

Gjej matricën e shoqëruar me L në varësi të bazës standarte.

Zgjidhje: Baza standarte për R2 është

B 1 ={i , j }={(1,0),(0,1)} Atëherë

L(i ) =(1,2,1)L( j ) =(−1,−3,−3)

në varësi të bazës standarte të R3. Kështu që, matrica e shoqëruar e L :R2

→R3 është

1 -12 -3 1 -3

në varësi të bazës standarte të R2 dhe R3.

Shembull 2.27. Le të jetë

T :R2 →R2(x , y )→(x cosθ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)

Lexuesi duhet të vërtetojë se T është një funksion linear. Eshtë një ushtrim në trigonometri të vërtetosh se

ky funksion rrotullon çdo pikë të R2

me një kënd θ. Kush është matrica e shoqëruar me T në varësi të bazës standarte të R2?

Zgjidhje: Kemi

T(1,0)= (cosθ,sin θ),T(0,1)= (−sin θ,cos θ)

Atëherë, matrica e shoqëruar është:

A :=M( f )= cosθ −sin θsin θ cosθ


74/176

80 T. Shaska

Kemi parë në ushtrimet e Chapter 1 se

A n = cosn θ −sin n θsin n θ cosn θ

Dhe në të vërtetë ky rezultat mund të pritet meqënëse duke u rrotulluar n-herë nga θ është njëlloj si të të rrotullohen me këndin n θ.

Tani do shikojmë një shembull ku asnjë nga bazat B 1, B 2 nuk është bazë standarte.


T :R3 −→R4(x , y ,z ) −→(x + y , y +z ,x − y , y −z )

një funksion linear. Fiksojmë bazat

B 1 ={(1,1,1),(2,1,0),(3,1,1)}={u 1,u 2,u 3},B 2 ={(1,0,0,1),(1,2,0,0),(2,3,2,1),(0,0,0,2)}={v 1,v 2,v 3,v 4}

e R3 dhe R4 respektivisht. Gjejmë matricën e shoqëruar të L-së në varësi të B 1 dhe B 2.

Zgjidhje: Në llim e gjejmë si më poshtë

T(u 1)=(2,2,0,0)=: w 1T(u 2)=(3,1,1,1)=: w 2T(u 3)=(4,2,2,0)=: w 3

Tani na duhet të shprehim vektorët w 1,w 2,w 3 në varësi të bazës B 2. Secila prej tyre duhet të shprehen si

r 1v 1 +r 2v 2 +r 3v 3 +r 4v 4 =(r 1 +r 2 +2r 3,2r 2 +3r 3,2r 3,2r 4)Kështu që kemi (në varësi të B 2 )

w 1 =(1,1,0,0)w 2 =(

94

,−14

, 12

, 12

)

w 3

=(3

2,

−1

2,1,0)

Matrica është

MB 2B 1 =

1 9432

1 −14 −120 −12 10 12 0


75/176


Teorema në vazhdim e bën më të qartë lidhjen midis matricave dhe funksionëve linear. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k dhe B 1, B 2 bazat e tyre respektive. Që këtej e tutje për një funksion linear f : U→ V do të përdorim M( f ) në vend të M

B 2B 1

( f ).

Teorema 2.16. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k dhe B 1, B 2 bazat e tyre respektive. Për çdo f ,g ∈L (U,V) pikat e mëposhtme janë të vërteta:

i) M( f +g )=M( f )+M(g )ii) M(r f )=r M( f ), për çdo skalar r ∈k.iii) M( f ◦g )=M( f )·M(g )

Vërtetim: Vërtetimi është lënë si ushtrim. Teorema e mëposhtme vërteton jo vetëm se çdo funksionilinear mund ti shoqërojmë një matricë, por edhe e anasjellta është e vërtetë.

Teorema 2.17. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k me dimensione n dhe m respectivisht. Fikso bazat B 1, B 2 të U-së dhe V -së. Për më tepër, le të jetë L (U,V) hapësira e funksionëve linear f : U→ V . Atëherë

Φ : L (U,V)−→Mat m ×n (k ) f −→M( f )

(2.14)

është një izomorzëm.Vërtetim: Teorema e mëparshme vërteton se Φ është një funksion linear. Së pari, vërtetojmë se φ ështëinjektiv. Le të jenë f ,g ∈L (U,V), të tillë qëΦ( f )=Φ(g ). Kështu që, M( f )=M(g ). Pra, përçdo x ∈U kemi

M( f ) x =M(g ) x e cila ndomethënë se f (x )=g (x ). Pra, f =g dhe Φ është injektiv.

Le të jetë A ∈

Mat m ×n (K). Përcaktojmë funskionin

L A : U−→ V x −→ A x

(2.15)

Atëherë, L A ∈

L (U,V). Kështu që,Φ është surjektiv.

Ushtrime:

1. Kontrollo nëse funksioni T : R3 −→R4, i tillë qëT(x , y ,z )=(x +2, y −x ,x + y )

është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese.


76/176

82 T. Shaska

2. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3 −→R3, i tillë qëT(x , y , z )=(x , y ,x + y +z )

3. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3 −→R3 i tillë qëT(x , y ,z ) =(x + y ,3 y ,7x +2 y +4z )

4. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R5 −→R5 i tillë qëT(x 1, . . . ,x 5)

=(x 1,x 2, x 3,x 4, x 5)

5. Le të jetëL 1(R) hapësira vektoriale e funksioneve të diferencueshëm nga R në R. Le të jetë

V := Span (sin x ,cos x )dhe D : L 1(R) →L 1(R) funksioni i diferencueshëm. Ngushtimi i këtij funksioni në V na jep njëfunksion linear D V : V → V. Gjej matricën shoqëruese të D V për B 1 =B 2 ={sinx ,cos x }.

6. Le të jetë Pn hapësira vektoriale mbi R e polinomëve me koeçientë në R dhe gradë ≤n . Derivimii polinomeve është një funksion linear në këtë hapësirë. Gjej maricën shoqëruese përB 1 =B 2 ={1,x , . . . ,x n }.

7. Le të jenë u =(1,2)∈R2 dhe T : R2 →R2 të tillë që T( x ) =u + x . Gjej matricën shoqëruese të T-së nëvarësi të bazave standarte të R2.

8. Le të jetë T :R2 →R2 transformimi i cili rrotullon çdo pikë me kënd Θ kundër lëvizjes sé akrepavetë orës. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit.

9. Le të jetë T :R2 →R2 transformimi i planit i cili çon çdo pikë në pikën e tij simetrike në lidhje meboshtin e x -ve(dmth,T( x , y )=T(x ,− y )). Gjej matricën shoqëruese të T-sënë varësi të bazavestan-darte të funksionit.

10. Gjej matricën standarte të reeksionit të planitt x y në lidhje me drejtëzën y =x +2.

2.7 Ndryshimi i bazave

Ndonjëherë na duhet të punojmë me dy baza të ndryshme për të njëjtën hapësirë vektoriale. Disku-timi i mësipërm na jep një rrugë për të gjetur kordinatat e vektorit në varësi të një bazë të dhënë.

Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B ,B dy baza të V-së të dhëna nga

B ={b1, . . . ,bn }, B ={b1, . . . ,bn }


77/176

2.7. NDRYSHIMI I BAZAVE 83

dhe T : V → V funksion linear, i tillë qëT : V −→ V

b i −→b i (2.16)

Matricën shoqéruese të T e shënojmë me M BB dhe e quajmë matrica e transformimit e B -së në B . Atëherë MBB është e dhënë nga

MBB =[T(b1)| · · · · · · |T(bn )]=[b1 | · · · · · · |bn ]ku b i -të janë dhënë në varësi të bazës B . Marrim algoritmin për të llogaritur matricën e transformimit.

Algorithm 5. Input: Një hapësirë vektoriale V dhe dy baza B 1 ={u 1,···u n } dhe B 2 ={ v 1,··· v n } të V-sëOutput: Matrica e transformimit M B 2B 1 , e tillë që

MB 2B 1 ·v B 1 =v B 2i) Krijojmë matricën

A =[ v 1 | ···| v n | u 1 | . . . | u n ]ii) Transformojmë A me anë të veprimeve me radhët të matricës

I |MB 2B 1

Shembull 2.29. Le të jetë V

=R2 dhe

B 1 ={(1,1), (1,0)}, B 2 ={(1,2), (−1,1)}dy baza të V -së. Gjej matricë e transformimit MB 2B 1 . Janë dhënë vektorët u ,v me kordinata

u =(3,4), dhe v =(−2,3)në varësi të bazës B 1, gjej kordinatat e tyre në varësi të B 2.

Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

A = 1 -1 1 12 1 1 0

Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në

1 0 2

313

0 1 - 13 - 23

Atëherë,

MB 2B 1 =13 ·

2 1-1 -2

ku u B 2 =M

B 2B 1 ·

3 4 =

13

10 -11 dhe v B 2 =M

B 2B 1 ·

-2 3 =−

13

14 .


78/176

84 T. Shaska

Shembull 2.30. Le të jetë u ∈R3 me kordinata në bazën standarte u =(1,2,3). Gjej kordinatat e u -së në varësi të bazës B ={(1,1,1),(2,0,1),(3,1,1)}.

Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

A =1 2 3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1

Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në

1 0 0 - 1212 1

0 1 0 0 -1 10 0 1 1212 -1

Atëherë

M :=MB 2B 1 =

−12 12 10 −1 112

12 −1

dhe

M·u =

72

1

−32

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe B e B baza të V-së. Le të jetëL : V → V një transformim linear dhe M B dhe MB matrica shoqëruese për L në varësi të bazave B dheB respektivisht. Kemi teoremën e mëposhtme:

Teorema 2.18. Le të jetë M :=MBB matrica e transformimit nga B në B . Atëherë,

MB (L)=M−1 ·MB (L)·MVërtetim: Ushtrim.

Shembull 2.31. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T :R3 −→R4të tillë që

T(x , y ,z )=(x − y +2z , y +z ,3x −2 y −z ,7 y +z )dhe gjej një bazë për ker (T).

Zgjidhje: Kemi

T(1,0,0)=(1,0,3,0)T(0,1,0)=(−1,1,−2,7)T(0,0,1)=(2,1,−1,1)

(2.17)


79/176

2.7. NDRYSHIMI I BAZAVE 85

Matrica shoqëruese është:

M(T):=1 -1 2 0 1 13 -2 -10 7 1

dhe forma e reduktuar row-eçelon e tij është:

H(T) :

=

1 0 0 0 1 0

0 0 10 0 0

Sistemi H(T) x =0

ka si zgjidhje vetëm x =0. Pra, ker (T)={0}.

Ushtrime:

1. Le të jetëB 1 ={1,x ,x 2,x 3} një bazë për P3. Vërteto seB 2 ={2x −1,x 2 −x +1,x 3 −x ,x 3 −x ,−2}

është gjithashtu një bazë. Gjej matricën shoqëruese nga B 1 në B 2.

2. Le të jetë V := Span (e x ,e −x ). Gjej kordinatat e f (x )=sinh x , g (x ) =cosh x

në lidhje me B ={e x ,e −x }.

3. Le të jetë V := Span (e x , xe x ). Gjej matricën transformuese nga B 1 në B 2, kuB 1 :={e x , xe x } dhe B 2 ={2xe x ,4e x }.

4. Le të jetë B 1 :={i , j } baza standarte e R2 dhe u , v vektorët e përftuar duke rrotulluar në drejtim tëkundërt të akrepave të sahatit, me kënd θ, vektorët i , j respektivisht. Eshtëe qartë B 2 :={u , v } ështënjë bazë për R2. Gjej MB 2B 1 .


80/176

86 T. Shaska

2.8 Ushtrime përsëritje

1. Përkuzo hapësirën vektoriale mbi një fushë k , nënhapësirën, hapësirën nul, shumën direkte,prodhimin direkt, funksionin linear, kernel dhe image e një funksioni linear.

2. Një matricë katrore quhet trekëndore e sipërme në qoftë se të gjithë elementët nën diagonalenkryesore janë zero. Le të jetë V =Mat n ×n (R) dhe W bashkësia e të gjitha matricave trekëndore tësipërme të V-së. A është W nënhapësirë e V-së? Justiko përgjigjen.

3. Një matricë katrore quhet trekëndore e poshtme në qoftë se të gjithë elementët mbi diagonalenkryesore janë zero. Le të jetë V = Mat n ×n (R), W 1 bashkësia e të gjitha matricave trekëndore tësipërme të V-së dhe W 2 bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të poshtme të V-së. Çfarë ështëprerja e W 1 ∩ W 2?

4. Le të jetë A një matricë e anasjelltë n ×n . Sa është rank (A), null (A)? Çfarë është forma e reduktuarrow-eçelon e A-së.

5. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T :R3 −→R4

i tillë qëT(x , y ,z )=(x − y +2z , y +z ,3x −2 y −z ,7 y +z )

dhe gjej një bazë për k er (T).

6. Gjej matricën standarte të rrotullimit të planit x y ne drejtim të kundërt me akrepat e sahatit rrethorigjinës me kënd:

i) 45◦ii) 60◦iii) 15◦

7. Le të jetë B :={u , v , w } një bazë për R3 dhe A një matricë 3 ×3, e cila ka të anasjelltë. Vërteto se{A u , A v , A w } është një bazë për R3.

8. Le të jetë A x =b

njësistemlinearme n ekuacione dhe n tëpanjohura. Sazgjidhjekaky sistemnë qoftë se rank (A) =n ? Po në qoftë se rank (A)


81/176

2.8. USHTRIME PËRSËRITJE 87

9. Gjej një bazë për nënhapësirën W = Span ( w 1, w 2, w 3, w 4) në R3, ku w 1, . . . , w 4 janë dhënë si mëposhtë: w 1 =(1,0,3,1) w 2 =(−1,3,1,5) w 3 =(1,4,2,1) w 4 =(3,0,1,5)

(2.18)

10. Le të jenë V = R2

dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w = (2,3). Le të jetë U nënhapësira egjeneruar nga u =(−1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së.

11. Kontrollo nëse funksioni T : R3 −→R3 i tillë qëT(x , y ,z )=(x −2, y −x ,x + y )

është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese.

12. Le të jetë T :R2 →R2 rrotullimi kundër akrepave të sahatit me kënd θ = π3 . GjejT(1,0), T(1,1), T(−1,1).

13. Gjej rangun, nulitetin dhe bazat për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën nul të ma-tricës:

1 2 3 1-2 1 1 2-1 3 4 3-1 3 4 3

14. Le të jetëB :={u , v , w } e tillë qëu =(1,2,3), v =(1,−1,1), w =(1,3,1)

A është B një bazë për R3? Justiko përgjigjen.

15. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T :R4 −→R4

i tillë qëT(x , y ,z ,w )=(x − y +z ,2x −2 y +2z ,x + y −z −b ,2x −w )

dhe gjej një bazë për k er (T).


82/176

88 T. Shaska

16. Le të jetë V = Mat n (R). Gjej matricat që janë ndërrimtare me çdo element të V-së.

17. Le të jetë GL2(k ) bashkësia e matricave në M at 2(k ) të cilat kanë të anasjelltë. A është GL2(k ) njënënhapësirë e M at 2(k )? Justiko përgjigjen.


83/176

Kapitulli 3

Përcaktorët, eigenvlerat, eigenvektorët

Teoria e përcaktorëve u zhvillua në shekullin e 17-të dhe 18-të. Fillimisht ishte Cramer i cili hodhibazat e para në teorinë e përcaktorëvedhemë vonë e vazhduan Bezout, Vandermonde, Laplace, Cauchy,etj. Me zhvillimin e algjebrës moderne dhe koncepteve të reja, si psh format multilineare, grupet epërkëmbimeve, etj, koncepti i përcaktorit u bë më i plotë. Dhe ne vazhdojmë me këtë koncept në al-gjebrën e lartë edhe në ditët tona. Kjo çështje është trajtuar në Apendiks B.

3.1 PërcaktorëtNë këtë seksion do të përkuzojmë përcaktorin e matricës. Rruga më e mirë për këtë është me for-

mat e alternuara dhe përkëmbimet, por kjo mund të jetë disi e vështirë në këtë nivel. Në vend të saj nepërdorim një këndvështrim më kompjutacional.

Përkuzim 3.1. Le të jetë A =[a i j ] njëmatricë n ×n . Përçdo(i , j ) letë jetë A i j një matricë ( n −1)×(n −1)e përtuar duke hequr rreshtin e i -të dhe kolonën e j -të. Atëherë, A i j quhet një minor i A-së dhe

ā i j =(−1)i + j det (A i j ) (3.1)

quhet (i, j)–kofaktor i A-së.

Përkuzim 3.2. Le të jetë A =[a i j ] një matricë n ×n . Atëherë për një i =1,...n të ksuar përcaktori i A-së është i përcaktuar si më poshtë:

det (A) :=n

j =1(−1)i + j ·a i , j ·det (A i j )=

n

j =1a i , j · ā i , j

dhe është i pavarur nga zgjedhja e i -së.

Përcaktori i matricës A

89


84/176

90 T. Shaska

A :=

a 1,1 a 1,2 a 1,3 . . . a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3 . . . a 2,n a 3,1 a 3,2 a 3,3 . . . a 3,n

· ·· ·· ·a m ,1 a m ,2 a m ,3 . . . a m ,n

jepet si më poshtë

det (A)=

a 1,1 a 1,2 a 1,3 . . . a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3 . . . a 2,n a 3,1 a 3,2 a 3,3 . . . a 3,n

· ·· ·· ·a m ,1 a m ,2 a m ,3 . . . a m ,n

Shembull 3.1. Le të jetë A një matricë 2×2

A = a b c d

Atëherë përcaktori i saj është

det (A)= a b c d =ad −bc .

Shembull 3.2. Le të jetë A një matricë 3×3

A =a 1,1 a 1,2 a 1,3a 2,1 a 2,2 a 2,3a 3,1 a 3,2 a 3,3

Atëherë përcaktori i saj është

det (A)

=a 1,1

a 2,2 a 2,3

a 3,2 a 3,3 −a 1,2

a 2,1 a 2,3

a 3,1 a 3,3 +a 1,3

a 2,1 a 2,2

a 3,1 a 3,2

=a 1,1a 2,2a 3,3 +a 1,2a 2,3a 3,1+a 2,1a 3,2a 1,3 −a 3,1a 2,2a 1,3−a 3,2a 2,3a 1,1 −a 2,1a 1,2a 3,3

Në shumë libra të algjebrës lineare elementare teknika e mëposhtme jepet për të kujtuar se si të gje- jmë përcaktorin e një matrice 3 me 3.

Përkuzim 3.3. Përkuzimi i përcaktorit si më sipër quhet shtjellim me minorë përgjatë rreshtave tëi -të.


85/176

3.1. PËRCAKTORËT 91

Një interpretim vizual i përcaktorit jepet si më poshtë. Shigjetat e drejtuara për poshtë përfaqësojnëprodhime me koeçientë 1 dhe shigjetat e drejtuara lartë përfaqësojnë prodhime me koeçientë -1.

det (M)=a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33

= a 11a 22a 33 +a 21a 32a 13 +a 31a 12a 33 − a 13a 22a 31 +a 23a 32a 11 +a 33a 12a 31

a 11

a 12

a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 13

+

++

−−−

Së pari, na duhet të tregojmë që zgjedhja e rreshtave nuke ndryshon përcaktorin. Nenukdo ta bëjmëvërtetimin e teoremës, pasi për një vërtetim të plotë duhet një përkuzim shumë i saktë i përcaktorit,sikurse është dhënë në Apendiks B.

Teorema 3.1. Shtjellimi përgjatë çdo rreshti apo kolone nuk e ndyshon përcaktorin.

Teorema e mësipërme na lejon të zgjedhim rreshtin apo kolonën me sa më shumë zero gjatë llogarit- jes së përcaktorit të matricës.

Shembull 3.3. Llogarit përcaktorin e matricës

A =

1 2 0 4 0 0 2 0 0 12 1 2 1 2 1 1 2 4 5 0 2 1 2 0

Zgjidhje: Meqënëse rreshti i dytë ka tre zero, ne bëjmë llogaritjen përgjatë këtij rreshti. Pra kemi

det (A)=2·1 0 4 0 2 2 1 2 1 2 4 5 0 1 2 0

−1·1 2 0 4 2 1 2 11 1 2 4 0 2 1 2

Le të jetë

A 1 :=1 0 4 0 2 2 1 2 1 2 4 5 0 1 2 0

, A 2 =1 2 0 4 2 1 2 11 1 2 4 0 2 1 2


86/176

92 T. Shaska

Atëherë

det (A 1) =1·2 1 2 2 4 5 1 2 0 +

4·2 2 2 1 2 5 0 1 0

=(5+8−8−20)+4(2−2·5)=−15−32=−47(3.2)

det (A 2)=1 2 11 2 4 2 1 2 −

2·2 2 11 2 4 0 1 2 −

4·2 1 2 1 1 2 0 2 1

=(4+16+1−4−4−4)−2(8+1−4−8)−4(2+4−8−1)=9−2·(−3)−4·(−3)=27

Kështu që,det (A)=2·(−47)−27=−121

Lema 3.1. det (A)=det (A T)Vërtetim: Le të jetë A =[a i j ] një matricë e dhënë. E vërtetojmë Lemën me anë të induksionit. Për n =1vërtetimi është trivial. Supozojmë se lema është e vërtetë për n


87/176


88/176

94 T. Shaska

të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur det (H) =0. Si rrjedhim, A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëmatëherë kur det (A) =0.

Lema 3.3. Le të jetë A,B∈Mat n ×n (k ). Në qoftë se det (A)=0 atëherë det (AB)=0.Vërtetim: Ushtrim për lexuesin.

Teorema 3.3. Le të jetë A,B∈Mat n ×n (k ). Atëherë

det (AB)=det (A)det (B).Vërtetim: Së pari supozojmë se A është diagonal. Atëherë, për të përtuar matricën AB, çdo rresht i B-sëshumëzohet me A i ,i . Pra,

det (AB)=(a 11 ···a nn )·det (B)=det (A)·det (B).Supozojmë se A ka të anasjelltë (në rast të kundërt teorema është e vërtetë si rrjedhim i Lemës së më

sipërme). Atëherë, A mund të kthehet në formën diagonale D duke kryer veprime me rreshtat (shumëz-imi me konstante nuk është i lejuar). Kështu që, D =EA për një matricë elementare E ku E korespondinme kembim radhësh ose mbledhje radhësh. Pra, det (A) =(−1)r ·det (D), për disa r . Atëherë,

E(AB)=(EA)B=DB.Pra, kemi

det (AB)=(−1)r ·det (DB)=(−1)r ·det (D) ·det (B)=det (A)·det (B).Kjo plotëson vërtetimin.

Shembull 3.5. Gjej përcaktorin e matricës AB kur

A :=1 0 0 0 2 2 0 0 9 2 4 0 12 10 2 5

, B=3 0 0 0 2 1 0 0 21 -7 2 0 13 2 31 2

Zgjidhje: Meqënëse të dyja janë matrica trekëndore dhe det (AB)=det (A)·det (B) kemi det (AB)=(1·2·4·5)·(3·1·2·2)=480

3.1.1 Llogaritja e përcaktorëve

Të llogaritësh një përcaktor sikurse e kemi përshkruar më sipër është një proçes i gjatë. Gjithësesi nemund të bëjmë veprime me rreshtat për ta llogaritur përcaktorin më shpejt.


89/176

3.1. PËRCAKTORËT 95

Algorithm 6. Input: Një matricë katrore A Output: Përcaktori i A-së

1) Redukto A -nënë formënrow-eçelonduke përdorur vetëmmbledhje dhendërrimtë rreshtave.2) Në qoftë se gjatë kësaj proçedure të gjithë elementët e një prej rreshtave bëhen zero atëherë

det (A)=0,në të kundërt

det (A)=(−1)r ·n

i =1p i

ku p i -të janë pivotët dhe r është i barabartë me sa herë i kemi ndëruar vendet rreshtave.

Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë (n ×n ) e cila ka të anasjelltë. Vërteto sedet (A −1) =

1det (A)

2. Gjej përcaktorin e

A =1 1 1

1 1 12 0 1

, B=2 1 3

2 -1 04 0 3


A =1 0 10 1 02 0 1

, B=2 1 32 -1 0

-1 0 5


A =5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B=5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

dhe përdor rezultatin për të gjetur det (A −1) dhe det (B−1).

5. Le të jetë A një matricë e tillë që det (A)=0. A ka ndonjë zgjidhje sistemi A x =b ?

6. Le të jetë A e dhënë si më poshtë

A = a bc d

Cili është kushti për a ,b ,c ,d e tilla që A të ketë të anasjelltë? Gjej të anasjelltin.


90/176


91/176

3.2. RREGULLI I KRAMERIT DHE MATRICAT AXHOINT 97

Vërtetim: Zgjidhja është x = A −1b . Shtjellojmë det Bk në kofaktorët e kolonës së k-të. Kemidet Bk =b 1 A 1k +···+b n A nk .

Duke shumëzuar me 1det A , ky është komponenti i k-të i vektorit x .

Shembull 3.6. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me anë të rregullit të Kramerit

2x +3 y =55x − y =7

Zgjidhje: Atëherë

A = 2 3 5 -1 , B1 =

5 3 7 -1 , B2 =

2 5 5 7

dhe det (A)=−17, det (B1) =−26, det (B2)=−11

Pra,x 1 =

2617

, x 2 =1117

Tani mund të ilustrojmë sistemin linear me pesë ekuacione dhe pesë të panjohura.

Shembull 3.7. Zgjidh sistemin linear A x =b , ku A është si në Shembullin 3.3 dhe

b =

10 0

-10

Zgjidhje: Sikurse në Shembullin (3.3) përcaktori i A -së është det (A)=−121. Llogarisim det (B1)=−61, det (B2)=−14, det (B3)=44, det (B4)=−8, det (B5)=28

Atëherë, zgjidhja e sistemit është

x =

61121

14121

− 4118

121

− 28121


92/176


93/176


Vërejtje. Kini parasysh se në qoftë se matrica kaelementë në R, atëherë nukështë e nevojshmetë marrimtë konjuguarit e c i , j meqënëse i konjuguari i një numri realë është po ai numër. Kjo është arsyeja psenë shumë libra të cilët trajtojnë vetëm matrica me elementë nga R përkuzimi i axhoint nuk përmendmarrjen e të konjuguarëve.

Shembull 3.9. Le të jetë A matrica e mëposhtme.

A :=1 2 0 -10 2 0 0 2 1 -1 11 1 2 -1

Zgjidhje: Atëherë, axhointi saj është

adj (A)=-2 5 -4 -2 0 -6 0 0 6 -3 0 -6

10 -7 -4 -2

Teorema 3.6. Le të jetë A një matricë e cila ka të anasjelltë dhe adj (A) axhoint i saj. Atëherë

A · adj (A)= adj (A)· A =det (A)·In

Vërtetim: Ushtrim.Nga teorema e mësipërme arrijmë në përfundimin se për një matricë të dhënë A e tillë që det (A) =0kemi A −1 =

1det (A)

adj (A)

Atëherë e anasjellta e matricës A jepet si më poshtë

A −1 =1

det (A) adj (A)=

c 11| A |

c 21| A | ···

c n 1| A |

c 12| A |

c 22| A | ···

c n 2| A |

......

.. . ...

c 1n | A |

c 2n | A | ···

c nn | A |

Shembull 3.10. Gjej axhointin e A -së

A =1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

Zgjidhje: Axhointi është

adj (A)=-3 6 -3 6 -12 6

-3 6 -3

Vini re se det (A)=0, pra kjo matricë nuk ka të anasjelltë.


94/176

100 T. Shaska

Ushtrime:

1. Le të jetë kurba A +B y +Cx +D y 2 +Exy +x 2 =0

e dhënë e cila kalon nga pikat ( x 1, y 1),. . . ,(x 5, y 5). Përcakto A,B,C,D dhe E. Ky ishte problem i parë për të cilin Kramer ishte i interesuar kur zbuloi këtë formula.

2. Duke përdorur rregullin e Kramerit zgjidh sistemin A x =b ,ku

A =5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, b =5332

3. Gjej axhointin e

A =1 0 10 1 02 0 1

, B=2 1 32 -1 0

-1 0 5

dhe përdore rezultatin për të gjetur A −1 dhe B−1.

4. Gjej axhointin e

A =5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B=5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

dhe përdore rezultatin për të gjetur A −1 dhe B−1.

5. Përcakto në qoftë se matrica

A :=1 0 0 -1

0 1 0 02 1 -1 11 0 2 -1

ka të anasjelltë.

6. Le të jenë f ,g si më poshtë:

f (x ) =a l x l +···+a 0g (x ) =b m x m +···+b 0

(3.3)


95/176


Matrica

S yl ( f ,g ,x )=

a l b m a l −1 a l b m −1 b m a l −2 a l −1 . b m −2 b m −1 .. a l −2 . . . . . .. . . . a l . . . . b m a 1 . . . a l −1 b 0 . . . b m −1a 0 a 1 . . a l −2 b 0 . . .a 0 . . . . . .

. . . .. . .

a 0 b 0

(3.4)

quhet matrica Silvester e f (x ) dhe g (x ). Rezultanti i f (x ) dhe g (x ), e shënuar me R es ( f ,g ,x ),është

Res ( f ,g ,x ) :=det (S yl ( f ,g ,x )).Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve:

Polinomët f (x ) dheg (x ) kanë njëfaktortë përbashkët nëk [x ] atëherë dhevetëmatëherë kur Res ( f ,g ,x ) =0.

Le të jetë

F(t )=u (1+t 2)−t 2G(t )=v (1+t 2)−t 3

(3.5)

Gjej Res (F,G,t ).

7. Le të jetë

f (x )=x 5 −3x 4 −2x 3 +3x 2 +7x +6g (x )=x 4 +x 2 +1

(3.6)

Gjej Res ( f ,g ,x ).

8. Le të jetë f (x ) =a n x n +. . .a 1x +a 0

dhe f (x ) derivati i tij. Përkuzojmë dallorin ∆ f e f (x ) në lidhje me x si më poshtë:

∆ f :=(−1)

n (n −1)2

a n Res ( f , f , x ).

Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve:


96/176

102 T. Shaska

Polinomi f (x ) ka rrënjë të dyshta atëherë dhe vetëm atëherë kur ∆ f =0.

A ka f (x )=6x 4 −23x 3 −19x +4

ndonjë rrënjë të dyshtë në C?

9. Gjej b -në e tillë që f (x )=x 4 −bx +1

ka një rrënjë të dyshtë në C.

10. Gjej p -në e tillë që f (x ) =x 3 −px +1

ka një rrënjë të dyshtë në C.

3.3 Eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat

Lexuesi, besoj se e ka vënë re se është shumë më e lehtë të punosh me matrica diagonale. Për shem-bull, në qoftë se A është diagonaleatëherë det (A) është i lehtë për tu gjetur, një sistemlinear A x =b ështëi lehtë për tu zgjidhur dhe A n është e lehtë për tu llogaritur. Si mund të "transformohet"një matricë nënjë matricë diagonale? Në këtë seksion do të studiojmë një nga konceptet më të rëndësishme të algje-brës lineare sikurse eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat. Rëndësia e tyre do të jetë e qartë nëseksionin tjetër.

Përkuzim3.5. Letë jetë A një matricë n ×n . Njëskalar jozero λ quhet një eigenvlerë nëqoftë seekzistonnjë vektor jozero v i tillë që

A v =λ v Vektori v quhet eigenvektori , i cili i korenspondon λ -së.

Pohim 3.1. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente: 1) λ është një eigenvlerë i A -së 2) det (λ I− A)=0

Vërtetim: Për të llogaritur eigenvlerat dhe eigenvektorët e vëmë re se

A v =λ v =⇒(A −λ I) v =0Pra, një eigenvlerë është një skalar λ për të cilin sistemi

(A −λ I) x =0ka një zgjidhje jotriviale. Dimë se ky sistem ka një zgjidhje jotriviale atëherë dhe vetëm atëherë kur për-caktori i matricës koeçient është zero. Kështu që, ne duam të gjejmë λ të tillë që

det (A −λ I)=0.


97/176

3.3. EIGENVLERAT, EIGENVEKTORËT DHE EIGENHAPËSIRAT 103

Le të jetë A =[a i , j ] një matricë e dhënë. Atëherë ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

det (A −λ I)=

a 1,1 −λ a 1,2 a 1,3 . . . a 1,n a 2,1 a 2,2−λ a 2,3 . . . a 2,n a 3,1 a 3,2 a 3,3 −λ . . . a 3,n · ·· ·· ·a n ,1 a n ,2 a n ,3 . . . a n ,n −λ

Kjo plotëson vërtetimin. Duke llogaritur këtë përcaktor marrim një polinom në varësi

të λ -së, të gradës të paktën n . Ky quhet polinomi karakteristik i A-së, të cilin e shënojmë me char (A, λ ).Të gjesh eigenvlwrat e A-së është njëlloj si të gjesh rrënjët e polinomit char (A, λ ).

Rrjedhim 3.1. λ është një eigenvlerë atëherë dhe vetëm atëherë kur është një rrënjë e polinomit karakter-istik.

Vërejtje. Kujtoni nga algjebra se një polinom i gradës n mund të ketë të paktën n rrënjë. Kështu që njëmatricë n ×n mundtë ketëtë paktën n eigenvlera. Shiko ApendiksB përmë shumëdetaje mbipolinomët.

Shumëshmëria e një eigenvlere, si një rrënjë e polinomit karakteristik quhet shumëshmëri al-gjebrike e një eigenvlere . Për një eigenvlerë të ksuar λ , eigenvektorët korespondues janë dhënë ngazgjidhjet e sistemit

(A −λ I) x =0Në të njëjtën mënyrë një hapësirë të tillë e kemi quajtur hapësirën nul të matricës koeçient (A −λ I).Përkuzim 3.6. Në qoftë se λ është një eigenvlerë e A-së, bashkësia

EL :={v ∈ V | A v =λ v }quhet eigenhapësirë e A-së që i korenspondon λ -së. Dimensioni i eigenhapësirësquhet shumëshmërigjeometrike e eigenvlerës λ .

Vërejtje. Mund të tregohet se shumëshmëria gjeometrike është gjithmonë ≤se shumëshmëria algje-brike.Të gjesh eigenvlerat kërkon të zgjidhësh ekuacionin e një polinomi, gjë e cila mund të jetë e vështirë

për polinome të gradave të larta. Pasi kemi gjetur eigenvlerat atëherë përdorim sistemin linear

(A −λ I) x =0

për të gjetur eigenvektorët. E paraqesim këtë në shembullin e mëposhtëm.Shembull 3.11. Gjej polinomin karakteristik dhe eigenvlerat e matricës:

A = 1 2 5 4 .

Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A,λ )=det (A −λ I)= 1−λ 2 5 4−λ

=(1−λ )(4−λ )−5·2=λ 2 −5λ −6=(λ +1)(λ −6)


98/176

104 T. Shaska

Eigenvlerat janë λ 1 =−1 dhe λ 2 =6. Të dyja kanë shumëshmëri algjebrike 1.Në qoftë se λ 1 =−1 sistemi ndryshon: −1 2 5 2 x =0

dhe zgjidhja e tij është

v 1 = -1

1Eigenhapësira e tij është

Eλ1 = v 1 .

Ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëshmëri gjeometrike e λ 1 =−1 është gjithashtu 1.Për λ 2 =6 sistemi bëhet:

-5 2 5 -2 x =0

dhe zgjidhja e tij është

v 2 =152

Eigenhapësira e tij është Eλ2 = v 2 .

Kjo eigenhapësirë gjithashtu ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëshmëri gjeometrike i λ 2 = 6 është gjithashtu 1.Shembull 3.12. Gjej eigenvlerat dhe shumëshmëritë e tyre për matricën

A :=1 0 2 12 1 0 -10 0 2 0 0 0 1 -2

Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A,x )=(x −1)2 (x −2)(x +2)Kështu që janë tre eigenvlera, λ 1

=1, λ 2

= −2, λ 3

=2. Eigenvlera λ 1

=1 ka shumëshmëri algjebrike 2,

ndërsa të tjerët kanë shumëshmëri algjebrike 1.Për të gjetur shumëshmëritë gjeometrike për λ 1,λ 2,λ 3 duhet të gjejmë eigenvektorët korespondues.

Duke zgjidhur sistemin korespondues kemi

v 1 =0 10 0

, v 2 =1

- 530 -3

, v 3 =9

17 4 1

Kështu që shumëshmëritë gjeometrike për λ 1,λ 2,λ 3 janë respektivisht 1, 1, 1.


99/176

3.3. EIGENVLERAT, EIGENVEKTORËT DHE EIGENHAPËSIRAT 105

Më poshtë do të shohim një shembull kur shumëshmëritë algjebrike dhe gjeometrike janë të njëjtëpër çdo eigenvlerë.

Shembull 3.13. Gjej eigenvlerat dhe shumëshmëritë e tyre për matricën

A :=1 0 0 10 1 0 2 1 -1 2 3 0 0 0 -2

Zgjidhje: Polynomi karakteristik është

char (A,x )=(x −1)2 (x −2)(x +2)Kështu që janë tre eigenvlera, λ 1 =1, λ 2 =−2, λ 3 =2. Eigenvlera λ 1 =1 ka shumëshmëri algjebrike 2 dhe të tjerët kanë shumëshmëri algjebrike 1.

Për të gjetur shumëshmëritë gjeometrike për λ1,λ 2,λ 3 duhet të gjejmë eigenvektorët e tyre korespon-dues. Duke zgjidhur sistemin korespondues kemi:

Për λ =1 eigenvektorët janë

u =110 0

, u =-10 10

Kështu që shumëshmëria gjeometrike e λ 1 =1 është 2.Për λ 2 dhe λ 3 eigenvektorët janë respektivisht v 2 dhe v 3, si më poshtë:

v 2 =12 52-3

, v 3 =0 0 10

Pra, shumëshmëria geometrike për λ 2 dhe λ 3 është 1.

Vërejtje. Do shikojmë në kapitullin tjetër se dy shembujt e mësipërm paraqesindy klasa të matricave. Nedo të mësojmë se si të veprojmë me secilën nga këto klasa.

Ushtrime:

1. Gjej eigenvlerat dhe shumëshmëritë algjebrike dhe gjeometrike të tyre, për secilën nga matricat

A =5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B=5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2


100/176

106 T. Shaska

2. Le të jetë A një matricë diagonale n ×n e dhënë si më poshtë

A =1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

Cilat janë eigenvlerat dhe t shumëshmëritë e tyre?

3. Llogarit eigenvlerat dhe shumëshmëritë e tyre për matricën A 3

, ku A është e njëjtë si në shem-bullin e mësipërm.

4. Le të jetë A një matricë diagonale n ×n e tillë që det (A)=0. Supozojmë se të gjithë elementët nëdiagonale janë të ndryshëm. Saeigenvlera të ndryshmeka A dhecilat janë shumëshmëritë e tyre?

5. Le të jetë A një matricë 2 me2 me trace T dhe përcaktorD. Gjej një formulë e cila të jap eigenvlerate A-së në termat e T-së dhe D-së.

6. Le të jetë A dhe B e dhënë si më poshtë:

A =5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B=5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

Gjej eigenvlerat e tyre. Në secilin rast llogarit shumën dhe prodhimin e eigenvlerave dhe krahasoime tracenë dhe përcaktorin e matricës.

7. Vërteto se një matricë katrore ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjithë eigenvlerat janë jozero.

8. Le të jetë A një matricë 3 me 3. A mund të gjeni një formulë e cila të përcaktojë eigenvlerat e A-sënë qoftë se njohim trace dhe përcaktorin e A-së?

9. Gjej polinomin karakteristik, eigenvlerat dhe eigenvektorët e matricës

A =-1 -1 01 1 13 1 -2


101/176


102/176

108 T. Shaska

Teorema 3.8. Le të jetë A një matricë n ×n dhe λ 1, . . . ,λ i , . . . ,λ s

të gjitha eigenvlerat e ndryshme të A -së. Në qoftë se për çdo λ i shumëshmëria gjeometrike është e njëjtë me shumëshmërinë algjebrike, themi

alg. mult. (λ i )=geom. mult. (λ i )=e i Atëherë

A =CDC−1

ku D është matrica diagonale e dhënë më poshtë

D=

λ 1. . .

λ 1λ 2

. . .λ 2

. . .λ n

. . .λ n

e 1

e n

dhe C= v 1,1, . . .v 1,e i ,v 2,1, . . . ,v 2,e 2 , . . .v s ,e s

si dhe v i ,1, . . . ,v i ,e i është një bazë për eigenhapësirën Eλ i .

Matricën C në teoremën e mësipërme e quajmë matricë tranzicioni të A-së të shoqëruar me D.Shohim dy shembuj në lidhje me teoremën e mësipërme.


A =2 1 0 2

-1 0 -1 0 2 1 0 11 0 -1 1

Zgjidhje: Polinomi i saj karakteristik është

char (A,λ )=(λ 2 −2λ +2)(λ 2 −λ −1)Eigenvlerat janë

1±i, 12 ±

52

dheshumëshmëria algjebrike e tyre është 1. Tani gjejmëshumëshmërinë gjeometrike përçdoeigenvlerë.λ =1+i: atëherë zgjidhim sistemin A −(1+i)In =0


103/176


104/176


105/176


106/176

112 T. Shaska

3. Le të jetë

A =2 1 3 2

-1 0 -1 05 1 0 11 0 -1 3

, dhe B=3 1 4 2

-1 0 -1 02 1 0 11 0 -1 1

.

Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

4. Le të jetë

A =

2 1 3 2-1 0 -1 05 1 0 11 0 -1 3

, dhe B=

-10 -2 2 3+ 11 7 -5 1-15 -2 5 4-15 -4 5 3

.

Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

5. Le të jetë

A = 8 22 5

Gjej eigenvkerat dhe eigenvektorët e saj. Gjej shumëshmërinë gjeometrike dhe algjebrike. Gjejmatricat C,D të tilla që

A =C−1DC

6. Le të jetë A =

1 2 43 5 22 6 9

Gjej eigenvlerat e A-së. Llogarit A 11.

7. Le të jetë A një matricë 4 me 4

A :=

-2 -5 -2 -1

32

72

32 0

12 −12 −32 -1

−52 −72 −12 1 Vërteto se A =C−1DC ku

C :=1 2 1 11 1 -1 0

-1 1 1 21 1 0 -1

, D :=-1 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 2

Llogarit A 6.


107/176

3.6. USHTRIME PËRSËRITJE 113

8. Llogarit A r për

A = -3 5-2 4

ku r është një numër pozitiv.

Ushtrime programimi:

1)Shkruajnjëprogramkompjuteri i cili tëpërcaktojë nëse njëmatricëA është e diagonalizueshmedhe nëse po të llogarisë matricat C dhe D të tilla që A

=C−1DC. Programi nuk duhet të ekzeku-

tohet, por të shkruhet në pseudo-code. Mund të supozoni ekzistencën e një funksioni i cilizgjidh ekuacione polinomiale të gradës n.

3.6 Ushtrime përsëritje

1. Le të jenë A dhe B dy matrica me eigenvlera të njëjta. A janë A dhe B domosdoshmërisht të ngjashme? Shpjego përgjigjen.

2. Gjej eigenvlerat dhe shumëshmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

A =1 1 0 2

1 2 1 01 1 2 40 1 -1 2

3. Gjej eigenvlerat dhe shumëshmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

B=2 2 0 11 1 1 01 1 -2 11 4 -1 2

4. Një formë kuadratike është një ekuacion polinomial i gradës së dytë me tre ndryshore x , y , z , i cilika formën

F(x , y ,z )=ax 2 +by 2 +cz 2 +2dxy +2ex z +2 f yz ku koeçientët a deri në i janë numra realë. Marrim në konsideratë kurbën

F(x , y ,z )= j . Atëherë ky ekuacion mund të shkruhet në formën

x t A x = j


108/176

114 T. Shaska

ku

x =x y z

dhe A =a d ed b f e f c

Matrica A quhet matrica e shoqëruar me formën kuadratike F(x , y , z ). Ndonjë herë është ndih-mëse nëse rrotullojmë boshtet xy në mënyrë të tillë që ekuacioni i kurbës së më sipërme të mos iketë termat x y , yz ,xz . Këto forma kuadratike quhen forma kuadratike diagonale .

Le të jetë forma kuadratike F( x , y ,z ) e dhënë si më poshtë

F(x , y , z )=2x 2 +3 y 2 +5z 2 −xy −xz − yz .Gjej matricën tranzitive e cila transformon këtë formë në një formë diagonale.

5. Le të jetë F(x , y ,z ) një formë kuadratike dhe A matrica e saj shoqëruese. Inertia e A-së, e shënuarme in (A), është e përkuzuar si treshja

in (A):=(n 1,n 2,n 3)ku n i për i =1,2,3 përcakton numrat pozitivë, negative dhe zero të eigenvlerave të A-së respek-tivisht. Vërteto pikat e mëposhtme:

i) Në qoftë se in (A)=(3,0,0) atëherë forma kuadratike është një elipsoid.ii) Në qoftë se i n (A)=(2,0,1) atëherë forma kuadratike është një parabolë eliptike.

iii) Në qoftë se in (A)=(2,1,0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of one sheet.

iv) Në qoftë se in (A)=(1,2,0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of two sheets.

v) Në qoftë se in (A)=(1,1,1) atëherë forma kuadratike është një parabolë hiperbolike.

vi) Në qoftë se in (A)=(1,0,2) atëherë forma kuadratike është një cilindër parabolik.

6. Le të jetë sfera njësi në R3 me ekuacion

x 2 + y 2 +z 2 =1të dhënë. Duke përdorur metodën e ushtrimit të mëparshëm, klasikoje sipas listëssë më sipërme.

7. Klasiko sipërfaqen kuadratike

2x 2 +4 y 2 −5z 2 +3xy −2xz +4 yz =2.


109/176


110/176

116 T. Shaska


111/176

Kapitulli 4

Format kanonikeQëllimi kryesor i këtij kapitulli është të klasikojmë transformimet e ndryshme lineare të njëhapësire

vektoriale apo klasat e ngjashmërisë së matricave.Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension n mbi fushën k dhe B një bazë e V-së. Gjithashtu,

T : V → V është një funksion linear dhe A =MBB (T) është matrica e tij shoqëruese. Duke zgjedhur një

bazë tjetër B për V na jep një matricë të re B =MBB (T) të shoqëruar me T, të quajtur

B=P−1 APku P =M

BB (i d ), shiko Kapitullin 2. A mund të gjejmë B të tillë që matrica shoqëruese e T-së të jetë sa

mëe thjeshtë? Strategjiaështë të zgjedhim B të tillë që B të jetë samë afër me matricën diagonale. Kemidy raste:

i) k nuk i përmban të gjithë eigenvlerat e A-sëii) k i përmban të gjithë eigenvlerat.

Këto dy raste na sjellin respektivisht tek forma racionale kanonike dhe forma kanonike e Xhordanit tëcilat do ti studiojmë ne seksionet 2 dhe 3.

4.1 Vetitë elementare të polinomëve

Në këtë seksion do të përsërisim disa nga vetitë elementare të polinomëve. Për më shumë detajelexuesit e interesuar mund të lexojnë [?SB ], [?Sh-gal ] ose [?DF ].

Si më sipër, me fushë k do të kuptojmë një nga bashkësitë e mëposhtme: Q , R, or C.Një polinom f (x ) me koeçientë në k jepet si më poshtë

f (x )=a n x n +a n −1x n −1 +···+a 1x +a 0ku a 0, . . . ,a n ∈k . a n quhet koeçienti i parë i f (x ). Polinomi f (x ) quhet monik në qoftë se a n =1.Përcaktojmësi k [x ] bashkësinë e tëgjithëpolinomëve në x me koeçientënga k . Letë jenë f ,g ∈k [x ].Me f +g , f ·g përcaktojmëmbledhjendheshumëzimin e zakonshëmtë polinomëve. Bashkësia e të gjithëfunksioneve racional p (x )q (x ) përcaktohet nga k (x ),

k (x ) :=p (x )q (x )

p (x ), q (x )∈

k [x ]

117


112/176

118 T. Shaska

dheështë një fushë. Teoremanë vazhdim vërteton se algoritmi i mirënjohur i Euklidit aplikohetedhe përpolinomet.

Teorema 4.1. ( Algoritmi i Euklidit ) Le të jenë f ,g ∈ k [x ] dhe supozojmë se g = 0. Atëherë ekzistojnë numrat e vetëm r, q ∈k [x ], të tillë që f =q ·g +r ku deg r


113/176

4.1. VETITË ELEMENTARE TË POLINOMËVE 119

Teorema 4.3. (Test i rrënjës integrale) Le të jetë f (x ) një polinom me koeçientë të dhënë si më poshtë

f (x )=a n x n +a n −1x n −1 +···+a 1x +a 0

dhe α një rrënjë e f (x ) e tillë që α = b d , (b ,d ) =1. Atëherë b | a 0 dhe d | a n .Shembull 4.2. Vërteto se polinomi f (x )=x 3 +2x +2 është i pathjeshtueshëm mbi Q .Zgjidhje: Supozojmë se faktorët e f (x ) janë në Q[x ] dhe se një nga faktorët është linear. Kështu që, f (x ) ka një rrënjë racionale α = b d . Nga teorema e mëparshme kemi

b |2, d he d |1Kështu që, b = ±1,±2 dhe d = ±1. Atëherë kemi α = ±1,±2. Eshtë e thjeshtë për të parë se këto vlera nuk janë rrënjë të f (x ). Kështu që f (x ) është i pathjeshtueshëm.Teorema 4.4. (Kriteri Eisenstein) Le të jetë f (x ) një polinom me koeçientë të dhënë si më poshtë

f (x )=a n x n +a n −1x n −1 +···+a 1x +a 0

dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që:

i) p | a i për çdo i ≤n −1ii) p 2 a 0iii) p a n .

Atëherë, f (x ) është i pathjeshtueshëm mbi Q .Shembull 4.3. Vërteto se

f (x )=x 7 +12x 6 −9x 5 +30x 4 −6x 3 +15x 2 +12x −3është i pathjeshtueshëm mbi Q .

Zgjidhje: Kini parasysh se p =3 i pjeston të gjithë koeçientËt, përveç koeçientit të parë. Për më tepër p 2 =9 nuk pjeston a 0 =−3. Duke aplikuar teoremën e mëparshme arrijmë në përfundimin se f (x ) është i pathjeshtueshëm mbi Q .Teorema 4.5. (Kriterii plotë i Eisensteinit) Letëjetë f (x ) njëpolinom mekoeçientë tëdhënësi mëposhtë

f (x )

=a n x n

+a n

−1x n −1

+···+a 1x

+a 0

dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që:

1. Ekziston një r ( 0 ≤r ≤n) e tillë që p a r 2. p | a i për çdo 0≤i ≤r −13. p 2 a 0

4. f (x )=h (x )·g (x ), e tillë që h ,g ∈ A[x ]. Atëherë, deg(h )≥r ose deg(g ) ≥r .


114/176

120 T. Shaska

Shembull 4.4. Le të jetë p një numër i thjeshtë. Vërteto se

f (x ) =x 5 +2x 4 +3x 3 +3është i pathjeshtueshëm në Q[x ].

Zgjidhje: Përdorim teoremën e mëparshme. Meqënëse 3 pjeston a 0, . . . ,a 3 por jo a 4 atëherë r =4. Kështu që, në qoftë se f (x ) është i thjeshtueshëm atëherë është prodhim i polinomëve të gradëse 4 dhe 1. Pra f (x )ka një rrënjë recionale. Vërteto se kjo nuk mund të ndodh me anë të testit të rrënjës integrale.

Ushtrime:

1. Përdor algoritmin e i Euklidit për të shkruar x n −1x −1

si një polinom.

2. Vërteto se f (x ) =x 3 −3x −1 është i pathjeshtueshëm në Q .

3. Për çdo numër të thjeshtë p , vërteto se x 2 −p dhe x 3 �

Documents

algjebra lineare.pdf