Ecuaciones Tomo III

7/25/2019 Ecuaciones Tomo III

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Tomo III

Planteo de Ecuaciones


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P l an t e o d e E c u a c i o n e s

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Introduccin

Una de las mayores aportaciones a la teora de las ecuaciones se debe al matemtico francs,aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736 - 1813). Lagrange fue uno de losmayores cientficos de su poca y destacando tambin en otras disciplinas. Su mayoraportacin al lgebra es su famosa memoria "Sobre la revolucin de las ecuacionesnumricas", escrita en 1767.

La ecuacin, que es la parte sustantiva de las matemticas, tiene el mayor nmero de

aplicaciones como herramienta de resolucin de problemas. Plantear una ecuacin significatraducir adecuadamente el enunciado de un problema a W1aexpresin matemtica medianteuna o ms ecuaciones.

Una de las habilidades ms importantes en la resolucin de problemas es la destreza, paratraducir un problema dacio en nuestro idioma, al lenguaje matemtico. Ver el siguienteesquema:

A continuacin, resolveremos a modo de ejercicio la traduccin de ciertos enunciados dadosen forma verbal a su forma simblica matemtica

Enunciado delproblema

(Lenguaje Comn)Ecuacin(Lenguaje

matemtico)

LeerInterpretarSimbolizar


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Enunciado

(Forma verbal)

Expresin Matemtica

(Forma simblica)

La suma de tres nmeros

consecutivos es 69.

nmeros: x; (x + l); (x + 2)

x + (x + l) + (x + 2) = 69

El quntuple de un nmero,aumentado en 9.

nmero: x5 x + 9

El quntuple de un nmero ms 9.nmero: x

5 (x + 9)

8, menos 5 veces un nmero. nmero: x

8 5x

8 menos que 5 veces un nmero.Nmero: x

5x 8

En una reunin hay tantos hombres

como el triple del nmero de

mujeres.

Hombres Mujeres

3x x

El cuadrado de la suma de dos

nmeros.

Nmeros: x ; y

(x + y)2

La suma de los cuadrados de dos

nmeros.

Nmeros: x ; y

x2 + y2

El exceso de "A" sobre "B" es 90 A B = 90

"A" es excedido por "B" en 7. B A = 7

La edad de Pepe Lucho es cuatro

veces la edad de Pilar.

4 veces

Pepe lucho Pilar

4x x

La edad de Pepe Lucho es cuatro

veces ms que la edad de Pilar.

4 veces

Pepe lucho Pilar

5x x

"A" es a "B" como 5 es a 6. K6B

K5A;

6

5

B

A

He comprado tantas zapatillas como

soles cuesta cada una.

Compro: "x"

Cada una cuesta: S/. x


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Henry tiene S/. 80 ms que Dayana. Henry: S/.(x + 80)

Dayana: S/. x

Yo tengo la mitad de lo que t

tienes y l tiene el triple de lo que tu

tienes.

Yo T l

x 2x 6x

Una frase u oracin puede ser representada simblicamente de una o varias maneras, elestudiante deber actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Para

plantear un problema, es importante tener en cuenta las siguientes sugerencias:

Leer cuidadosamente bien el enunciado y entenderlo.

De ser posible haga un dibujo que le ayude a visual izar el problema.

Ubicar los datos y la pregunta.

Elegir las variables con las cuales se va a trabajar.

Relacionar los datos con las variables para plantear una o ms ecuaciones.

Resolver las ecuaciones y dar repuesta.

Nota:Es importante plantear problemas sobrenmeros enteros consecutivos,

Para cualquier nmero entero, podemos representar los nmeros enteros consecutivos:

x; (x + 1); (x + 2); (x + 3); (x + 4);

Los nmeros enteros consecutivos siempre se diferencian de 1 en l.

Para el caso de nmeros enteros pares consecutivos, lo representamos de esta manera:

2x; (2x + 2), (2x + 4); (2x + 6); (2x + 8),


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Los nmeros enteros pares consecutivos siempre se diferencian de 2 en 2.

Para el caso de nmeros enteros impares consecutivos, lo representamos de estamanera:

(2x + l); (2x + 3); (2x + 5); (2x + 7); (2x + 9);Para resolver estos tipos de problemas con dgitos, es necesario tener en cuenta losiguiente:

Indica el digito de las unidades.

73 = 7 (10) + 3 Podemos afirmar,que: d = 7 u = 3

Indica el digito de las decenas.

En forma general, se tiene:

Es la representacin de un nmero de dos cifras.

du = d (10) + u

Es la descomposicin polinmica de un nmero de doscifras.

EJEMPLO 1

El exceso del triple de un nmero sobre 37 equivale al exceso de 127 sobre el nmero.Hallar el nmero.

A) 37 B) 39 C) 45 D) 43 E) 41

Resolucin

Siendo "x" el nmero buscado, segn el enunciado se tiene:

3x 37 = 127 x

3x + x = 127 + 37

4x = 164

x = 41

Luego, el nmero pedido es 41.

Clave E


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EJEMPLO 2

Halle un nmero entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dichonmero sobre 106 es igual al dcuplo del exceso del nmero sobre 5.

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Resolucin

Sea el nmero pedido: "x"

El exceso del cuadrado del nmero sobre 106: x2 106

Dcuplo de exceso del nmero sobre 5: 10(x 5)

Segn el enunciado: x2 106 = 10(x 5)

x2 106 = 10x 50

x2 10x - 56 = 0

Factorizando por aspa simple:

x2 10x 56 = 0

x -14

x +4

Luego se tiene: (x 14) (x + 4) = 0

Igualando cada factor a cero:

x 14 = 0 x = 14 (se acepta por ser positivo)

x + 4 = 0 x = - 4 (se descarta por ser negativo)

Entonces, el nmero pedido es 14

Clave B


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EJEMPLO 3

Si subo una escalera de 5 en 5 escalones, doy 3 pasos ms que subiendo de 6 en 6escalones. Cuntos escalones tiene la escalera?

A) 90 B) 80 C) 75 D) 105 E)60

Resolucin

Sea "x" el nmero de escalones.

Al subir de 5 en 5:

nmero de pasos que sube:5

x

Al subir de 6 en 6:

nmero de pasos que sube:6

x

En el primer caso se dieron 3 pasos ms que en el segundo caso, se plantea de estamanera:

5

x= 3 +

6

x

5x =

6x18

6x = 90 + 5x

x = 90

Luego, la escalera tiene 90 escalones

Clave A


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PROBLEMA 1

Entre dos personas tienen "m" soles. Si unade ellas diera "b" soles a la otra las dostendran iguales cantidades. Cunto tienela persona que posee ms?

A) m + 2b B)2

m+ 2b C)

2

m- b

D)2

bm E)

2

b2m

Resolucin

Sea "x" soles lo que tiene la primerapersona, entonces la segunda persona tiene"m x" soles y entre las dos personastienen "m" soles. Si la primera personadiera "b" soles a la segunda persona,

tendremos igual cantidad.

1ra. Persona 2da. Persona

x m x

b

Luego, se tiene: x b = m x + b

2x = 2b + m

x =2

b2m

PROBLEMA 2

Un comerciante emple 4700 soles encomprar pantalones a 60 soles y camisas a

40 soles, si el nmero de pantalones y elnmero de camisas que se compr es 95,cuntos pantalones compr?

A) 45 B) 55 C) 60

D) 50 E) 40

Resolucin

Se puede esquematizaren el siguiente

cuadro:

Cantidad

de ropa

Costo

Unitario

Costo

Total

N dePantalones

x 60 60x

N decamisas

95 x 40 40(95x )

Su planteamiento es:

60x + 40 (95 x) = 4700

Clave E


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60x + 3800 40x = 4700

20x = 900

x = 45

Luego, se compr 45 pantalones.

PROBLEMA 31

Una persona tiene S/. 170 y otra S/.70,despus que cada una de ellas gast lamisma cantidad de dinero, a la primera le

queda el triple de lo que le queda a lasegunda. Cunto les queda en conjunto aambas personas?

A) S/. 180 B) S/.220 C) S/.240

D) S/.160 E) S/.200

Resolucin

Sea "S/.x" la cantidad de dinero que

gastaron ambas, cada una de ellas.

Tiene al

Inicio

Gasta x

soles

1ra Persona 170 170 x

2da Persona 70 70 x

Por condicin, tenemos:

170 x = 3(70 x)

170 x = 210 3x

2x = 40

x = 20

Lo que queda a cada una de ellas es:

La 1ra. Persona: 170x = 17020 = S/.l50

La 2da. Persona: 70 x = 70 20 = S/.50

Entre ambas tendrn:

S/. 150 + S/.50 = S/.200

PROBLEMA 4

Al comprar una licuadora, una planchaelctrica y un televisor he pagado por todoS/.520. Si la licuadora cuesta el quntuplede lo que cuesta la plancha elctrica y eltelevisor cuesta S/.80 ms que la licuadora,

calcular el precio del televisor.

A) S/.200 B) S/.40 C) S/.380

D) S/.280 E) S/.330

Resolucin

Del enunciado, se tiene:

S/.520

Plancha elctrica Licuadora Televisor

x 5x 5x + 80

Planteando, tenemos:

x + 5x + (5x + 80) = 520

11x + 80 = 520

11x = 440

x = 40

Por lo tanto, el televisor cuesta:

5x + 80 = 5(40) + 80 = S/.280

Clave D

Clave E

Clave A


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PROBLEMA 5

La suma de tres nmeros es 98. El segundoes un cuarto del tercero y el primeroexcede al tercero en 17. Hallar el menor

nmero.

A) 12 B) 6 C) 9

D) 8 E) 18

Resolucin

Sean los nmeros: a, b y c

ler. 2do. 3ro.De uno de los datos, tenemos:

b =4

1(c) b =

4

c

a c = 17 a = c + 17

Del otro dato y luego sustituyendo losvalores hallados:

a + b + c = 98

(c + 17) +4

c+ c = 98

2c +4

c= 81

4

c9= 81

c = 36

Nos piden, el valor del nmero menor:

b =4

36

4

c = 9

PROBLEMA 6

En un saln de clase hay 30 alumnos ycada uno iba a recibir 2 regalos, pero antesde la reparticin se perdieron algunos

regalos.

El profesor mand inmediatamente quetraigan tantos regalos como regalos habanquedado y dos regalos ms para reponer lo

perdido. Cuntos regalos se perdieron?

A) 29 B) 32 C) 30

D) 28 E) 31

Resolucin

Datos del problema:

Nmero de alumnos: 30

Cada uno recibir 2 regalos, entonces enlos 30 alumnos recibi: 2(30) = 60

Sea "x" el nmero de regalos que seperdi, entonces quedaron: (60 x)

Planteando, tenemos:

x = (60-x) + 2

2x = 62

x = 31

Entonces, se perdieron 31 regalos.

PROBLEMA 7

Con 74 monedas en total, unas de 5 soles yotras de 2 soles se quiere pagar una deudade 250 soles. Cuantas monedas de cadaclase se tienen, respectivamente?

A) 34; 40 B) 26; 48 C) 42; 32

D) 38; 36 E) 36; 38

Clave E

Clave C


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Resolucin

Sea el nmero de monedas 74, tenemos:

74 monedas

x 74 x

C/u. S/.2 C/u. S/.5

Como la deuda total es 250 soles, se tiene:

2(x) + 5(74 - x) = 2,50

2x + 370 5x = 250

120 = 3x

x = 40

Finalmente:

# monedas de S/.2 = x = 40

# monedas de S/.5 = 74 x = 74 40 = 34

Se tienen 40 monedas de S/.2 y 34

monedas de S/. 5.

PROBLEMA 8

En una granja hay patos, conejos ygallinas. Si en total se cuentan 110 cabezasy 290 patas de animales. Cuntos sonconejos?

A) 32 B) 48 C) 75

D) 35 E) 57

Resolucin

Escogiendo las variables:

# de conejos # de patos y gallinas

x 110 x

c/u.: 4 patas C/u.: 2 patas

Como en total hay 290 patas de animales:

4x + 2(110 x) = 290

4x + 220 2x = 290

2x = 70

x = 35

Por lo tanto, son 35 conejos.

PROBLEMA 9

Un examen de admisin consta de 70preguntas, por cada respuesta correcta se lebonifica 4 puntos y por cada respuestaincorrecta le restan un punto. Cuntas

preguntas respondi acertadamente unalumno, si despus de responder todo elexamen obtuvo 17 puntos.

A) 52 B) 48 C) 38

D) 46 E) 22

Resolucin

Del enunciado, se tiene:

N de

Preguntas Puntaje Obtiene

Correctas x 4 4x

Incorrectas 70 x -1 -1(70x)

Como obtuvo 170 puntos:

4x 1(70 x) = 170

4x 70 + x = 170

5x = 240

x = 48

Clave D

Clave A


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Entonces, respondi 48 preguntasacertadamente.

PROBLEMA 10

En una granja se tienen pavos, gallinas ypatos. Sin contar a las gallinas tenemos 23aves, sin contar a los pavos tenemos 19aves y sin contar a los patos tenemos 16aves. Cuntos patos ms que gallinas hay?

A) 6 B) 8 C) 10

D) 7 E) 9

Resolucin

Se tiene:

# pavos # gallinas # patos

m n p

Del enunciado, tenemos:

Sin contar las gallinas

m + p = 23 (I)

Tenemos 23 aves

Sin contar a los pavos

n + p = 19 (II)

Tenemos 19 aves

Sin contar a los patos

m + n = 16 (III)

Tenemos 16 aves

Sumando (I) + (II) + (III) miembro amiembro:

2m + 2n + 2p = 58

m + n + p = 29

m + 19 = 29

m = 10

Luego en (I): 10 + P = 23 p = 13

Luego en (II): n + 13 = 19 n = 6

Nos piden:

# patos # gallinas = 13 6 = 7

PROBLEMA 11

La suma de las dos cifras que componenun nmero es igual a 15. Si se invierte elorden de las cifras de dicho nmero y se lesuma 147, entonces se obtiene el triple delnmero original. Hallar el nmero originalaumentado en 26.

A) 98 B) 106 C) 104

D) 95 E) 109

Resolucin

Seaabel nmero de 2 cifras.

Se tiene: a + b = 15 b = 15 a

Su planteamiento ser:

ba + 147 = 3( ab )

10b + a + 147 = 3(10a + b)

10b + a + 147 = 30a + 3b

7b + 147 = 29a

Sustituyendo el valor de "b" en la relacinanterior:

7(l5 - a) + 147 = 29a105 - 7a + 147 = 29a

Clave D

Clave B


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252 = 36a

a = 7

Hallando el valor de "b" ser:

b = 15 7 = 8

Entonces el nmero es 78.

Nos piden:

78 + 26 = 104

PROBLEMA 21

El precio por enviar un telegrama es decierta cantidad por cada una de las "x"

primeras palabras y otra cantidad por cadapalabra adicional. Un telegrama de 24palabras cuesta S/.90 y uno de 30 palabrascuesta SI. 108. Cunto costar enviar untelegrama de 38 palabras, sabiendo que x

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