ECUACIONES EN DIFERENCIAS, UNA APLICACIÓN AL …

FACULTAD DE CIENCIAS

ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

ECUACIONES EN DIFERENCIAS, UNA APLICACIÓN AL

CÁLCULO DE SALDOS PENDIENTES EN OPERACIONES DE

PRÉSTAMOS

Trabajo Fin de Grado presentado por Raquel Mirman Hernández, siendo el tutor del mismo el

profesor Francisco Begines Begines.

Vº. Bº. del tutor: Alumna:

D. Francisco Begines Begines D.ª Raquel Mirman Hernández

Sevilla, Junio de 2019

GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

FACULTAD DE CIENCIAS

ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

TRABAJO FIN DE GRADO

CURSO ACADÉMICO [2018-2019]

TÍTULO:

ECUACIONES EN DIFERENCIAS, UNA APLICACIÓN AL CÁLCULO DE SALDOS

PENDIENTES EN OPERACIONES DE PRÉSTAMOS

AUTOR:

RAQUEL MIRMAN HERNÁNDEZ

TUTOR:

D. FRANCISCO BEGINES BEGINES

DEPARTAMENTO:

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I

ÁREA DE CONOCIMIENTO:

MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA

RESUMEN:

En el presente trabajo se realiza un estudio sobre las ecuaciones en diferencias para

posteriormente aplicar su metodología a las matemáticas financieras. En concreto, se ha llevado

a cabo su aplicación al cálculo de saldos pendientes en operaciones financieras de préstamos,

para cualquier periodo a lo largo del horizonte temporal de la operación y en función del capital

inicialmente prestado. Esta metodología se ha desarrollado para los préstamos de tipo francés

(términos amortizativos constantes), préstamos con términos amortizativos variables en

progresión aritmética, préstamos con cuotas de amortización constantes (método uniforme) y

préstamos con términos amortizativos variables en progresión geométrica.

PALABRAS CLAVE:

Ecuaciones en diferencias; Saldos pendientes; Préstamos; Matemáticas financieras.

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS........................................................................................... 1

2. ECUACIONES EN DIFERENCIAS ......................................................................................... 3

2.1. ORÍGENES Y CONCEPTOS GENERALES ......................................................................... 3

2.2. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES ................................................................... 5

2.3. SOLUCION GENERAL DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL HOMOGÉNEA

DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES ......................................................... 7

2.4. SOLUCION DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL DE COEFICIENTES

CONSTANTES DE ORDEN n COMPLETA ...................................................................... 10

2.4.1. Método de los Coeficientes Indeterminados ............................................................. 11

3. OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS .................. 15

3.1. CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 15

4. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS AL CÁLCULO DE SALDOS

PENDIENTES EN PRÉSTAMOS........................................................................................... 21

4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 21

4.2. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS A TRAVÉS DEL MÉTODO PROGRESIVO O

FRANCÉS ............................................................................................................................. 22

4.3. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS VARIABLES

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA ...................................................................................... 26

4.3.1. El método uniforme: un caso particular del variable en progresión aritmética ......... 30

4.4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS VARIABLES

EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ..................................................................................... 30

5. CONCLUSIONES .................................................................................................................... 39

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 41

1

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

El siguiente trabajo es fruto de la fusión entre la técnica de análisis matemático de las ecuaciones en

diferencias y las matemáticas financieras aplicadas a las operaciones de préstamo. Las ecuaciones en

diferencias tienen especial relevancia en el análisis de series de datos (sobre todo si tratamos de

modelizar el comportamiento de éstas), si bien a lo largo del Grado en Administración y Dirección de

Empresas no se suelen desarrollar éstas como objeto de estudio. Es por ello, que resulta de especial

interés realizar un trabajo como éste, con el fin de demostrar su practicidad y aplicación también en el

ámbito económico y financiero.

La principal atención en este trabajo se centra, dentro de las operaciones financieras, en las

operaciones de préstamos entre deudor y prestamista, donde el primer sujeto obtiene del segundo un

capital inicialmente prestado que debe devolver a lo largo del horizonte temporal acordado (claro está,

junto con los intereses generados a lo largo de la operación a favor del prestamista). Dado que existen

diferentes tipos de préstamo atendiendo a la estructura de devolución del capital y los intereses, se realiza

dicha distinción a la hora de explicar su teoría y aplicar el método estudiado para cada uno de ellos en

los siguientes apartados de este documento. Los préstamos aquí diferenciados son: préstamos de tipo

francés (términos amortizativos constantes), préstamos con términos amortizativos variables en

progresión aritmética, préstamos con cuotas de amortización constantes (método uniforme) y préstamos

con términos amortizativos variables en progresión geométrica (de razón q = 1+i y de razón q ≠ 1+i).

Los objetivos planteados para este trabajo consisten en explicar la teoría básica en torno a las

ecuaciones en diferencias, repasando así mismo la teoría de las matemáticas financieras referente a las

operaciones de préstamos, y aplicar por último la funcionalidad de estas ecuaciones al cálculo de saldos

pendientes para los diferentes tipos de préstamos explicados. Para comprobar que se ha llegado a las

conclusiones acertadas a través de la aplicación de las ecuaciones en diferencias, se han resuelto casos

prácticos como ejemplos para cada tipo de préstamo.

2

3

CAPÍTULO 2

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

2.1. ORÍGENES Y CONCEPTOS GENERALES

Desde que se presentara la metodología ARIMA a comienzos de los años 70 como una herramienta útil

para “modelizar” el comportamiento de algunas magnitudes a lo largo del tiempo, el análisis de series

ha venido a convertirse en una referencia econométrica indispensable hoy en día. El origen del cálculo

en diferencias parece atribuirse al economista John B. Taylor, quien ha contribuido de forma constante

al desarrollo de métodos matemáticos para la resolución de modelos macroeconómicos bajo la asunción

de expectativas razonables. A pesar de ello, J. Stirling fue el primero en resolver cuestiones avanzadas

en la materia.

Son múltiples los problemas de significativa importancia en diversos campos del saber humano los

que requieren para su estudio de la confección de un modelo matemático que los represente. A través

de la observación y posterior análisis de la evolución temporal de determinadas variables, podemos

describir ciertos modelos o patrones que explican el comportamiento y evolución que siguen éstas a lo

largo del tiempo. El cálculo en diferencia nos permite aproximarnos a este análisis a través del estudio

de propiedades de las funciones reales de variable real, a partir de las diferencias sucesivas entre los

valores que toman dichas funciones en un conjunto determinado de puntos del dominio.

En ocasiones, al construir un modelo matemático, interesa escoger una variable que tome valores

discretos a lo largo del dominio. Este es el caso del tiempo, ya que es común realizar mediciones a

intervalos regulares de tiempo a la hora de controlar un experimento o análisis. Estos datos constituyen

un conjunto finito, o infinito numerable, de valores de la variable independiente. Para este tipo de

modelos determinísticos discretos, las herramientas matemáticas más adecuadas para analizarlos son las

ecuaciones en diferencias o relaciones en recurrencia.

Si consideramos el tiempo como una variable discreta, éste toma valores enteros 𝑡 = 0,1,2, …

(pudiendo también tomar valores negativos), donde t representa el número de periodos transcurridos

desde el instante inicial. El modelo de cambio de variable 𝑦 vendrá descrito por los valores que toma la

variable en 𝑡, es decir por una sucesión de valores: {𝑦(0), 𝑦(1), . . . , 𝑦(𝑡), . . . } que podemos también

representar como {𝑦0, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑡 , . . . }.

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Pasamos a continuación a definir ciertos conceptos que serán claves para comenzar nuestro estudio

del cálculo en diferencias:

Definición: Llamamos ecuación en diferencias (e.d) a toda expresión de la forma

𝐹 (𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦(𝑡 + 1), . . . , 𝑦(𝑡 + 𝑛), . . . ) = 0

Ejemplo:

𝑦𝑡+2 − 𝑦𝑡+1 = 𝑡 + 2 es una ecuación en diferencias.

Definición: Llamamos orden de una e.d. a la diferencia entre el operador diferencia mayor y menor

que aparezcan en la ecuación, es decir, t + n – t = n

Ejemplo:

𝑦𝑡+4 − 3𝑦𝑡+3 − 2𝑦𝑡+2 − 𝑦𝑡+1 − 4𝑦𝑡 = 𝑡 es una e.d. de orden cuatro, ya que 𝑡 + 4 – 𝑡 = 4,

mientras que 2𝑦𝑡+3 − 5𝑦𝑡+2 − 𝑦𝑡+1 = 𝑡2 es una e.d. de orden dos, ya que 𝑡 + 3 – 𝑡 − 1 = 2.

Definición: Llamamos solución de una e.d. a toda sucesión {𝑦(0), 𝑦(1), . . . , 𝑦(𝑡), . . . } que la

satisfaga.

Ejemplo:

𝑦𝑡 = 𝑡 es solución de la ecuación 2𝑦𝑡+2 − 𝑦𝑡+1 = 𝑡 + 1, ya que 2𝑡 + 2 – 𝑡 − 1 = 𝑡 + 1.

Definición: llamamos solución general de una e.d. al conjunto de todas las soluciones, que tendrá

tantos parámetros como orden tenga la ecuación. Si determinamos dichos parámetros a partir de unas

condiciones iniciales dadas, obtendremos las distintas soluciones particulares.

Ejemplo:

𝑦𝑡+1 – 𝑦𝑡 = 2 es una e.d. de orden uno cuya solución general es 𝑦𝑡 = 2𝑡 + 𝑐. Si consideramos

unas condiciones iniciales, por ejemplo, 𝑦0 = 1, entonces 𝑦0 = 2 · 0 + 𝑐 = 𝑐, por tanto 𝑐 = 1 y

la solución particular es 𝑦𝑝(𝑡) = 2𝑡 + 1. Es decir, la solución es la sucesión: 𝑦𝑝(𝑡) = {1,3,5,7, . . . }

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Nota:

Si tenemos una e.d. de primer orden 𝑦𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦𝑡−1) y una condición inicial 𝑦0, obtenemos:

𝑦1 = 𝑓(1, 𝑦0), 𝑦2 = 𝑓(2, 𝑦1), 𝑦3 = 𝑓(3, 𝑦2), …

De ahí el nombre dado de relaciones de recurrencia. Así, si tenemos, por ejemplo, 𝑦𝑡+1 = 𝑎𝑦𝑡 y la

condición inicial 𝑦0, entonces:

𝑦1 = 𝑎𝑦0 → 𝑦2 = 𝑎𝑦1 = 𝑎2𝑦0 → 𝑦3 = 𝑎𝑦2 = 𝑎3𝑦0 → … → 𝑦𝑡 = 𝑎𝑦𝑡−1 = 𝑎t𝑦0

Sin embargo, si lo que queremos es llevar a cabo una aplicación económica de las ecuaciones en

diferencia, nos interesará fundamentalmente establecer resultados cualitativos sobre las soluciones. Un

ejemplo de ello podría ser analizar el comportamiento de las soluciones cuando la variable t crece mucho

o bien ver cómo variaciones de eventuales parámetros de la ecuación en diferencia afectan a la solución.

Es aquí donde pasamos a enfocar nuestro análisis en las ecuaciones en diferencia lineales, al ser éstas

uno de los tipos particulares de ecuaciones con las que podemos resolver dichas cuestiones.

2.2. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES

Definición: llamamos ecuación en diferencias lineal de orden n a toda expresión de la forma

𝑦(𝑡 + 𝑛) + 𝑎1(𝑡) 𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1) + . . . +𝑎𝑛−1(𝑡) 𝑦(𝑡 + 1) + 𝑎𝑛 (𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑏(𝑡)

con 𝑎𝑛 (𝑡) ≠ 0

donde 𝑎1(𝑡), 𝑎2(𝑡), … , 𝑎𝑛(𝑡) y 𝑏(𝑡) son funciones reales y continuas en un determinado intervalo

(𝑎, 𝑏).

Cuando 𝑏(𝑡) = 0, se dice que la ecuación es homogénea. Por el contrario, cuando 𝑏(𝑡) ≠ 0, se dice

que la ecuación es no homogénea o completa.

Si las funciones 𝑎𝑖 (𝑡) , 𝑖 = 0,1,2 … 𝑛, son constantes, o lo que es lo mismo, si 𝑎𝑖 (𝑡) = 𝑎𝑖 Ɐ 𝑖,

decimos que la ecuación en diferencia lineal es de coeficientes constantes.

Si 𝑎𝑖(𝑡) ≠ 𝑎𝑖 para algún 𝑖, decimos entonces que es de coeficientes no constantes.

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A continuación, vamos a centrar nuestra atención en las e.d. lineales homogéneas de grado n. Para

ello, vamos a establecer la Ecuación 2.1 como referencia para las posteriores explicaciones:

𝑦(𝑡 + 𝑛) + 𝑎1(𝑡)𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1) +··· +𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦(𝑡 + 1) + 𝑎𝑛(𝑡)𝑦(𝑡) = 0 (Ecuación 2.1)

Con el fin de poder encontrar una solución general a este tipo de ecuaciones, es necesario enunciar

los siguientes teoremas que nos guíen en la tarea:

Teorema 2.2.1 (Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones) Dada la Ecuación 2.1 y dados

𝑛 números reales k0 , k1 , …, kn-1 existe una única solución que verifica:

𝑦(0) = 𝑘0, 𝑦(1) = 𝑘1, . . . 𝑦(𝑛 − 1) = 𝑘 𝑛−1

Si a esta solución en sucesión la llamamos {𝑦(𝑡)}, podemos afirmar que:

- {y(t)} se define mediante una ley de recurrencia

- {y(t)} es solución de la ecuación

- {y(t)} satisface las condiciones iniciales

- {y(t)} es solución única, ya que si existe otra solución que verifique las condiciones iniciales,

entonces coinciden en todos los puntos, pues la propia ley de recurrencia determina los valores

posteriores de la solución.

Existe una única solución para cada conjunto de condiciones iniciales {k0, k1, …, kn-1}, por lo que, si

éstas cambian, también cambiará la solución. Entendido esto, podemos afirmar que una ecuación en

diferencias lineal homogénea tiene infinitas soluciones que dependerán de las condiciones iniciales

dadas, lo que nos deriva a la importancia del siguiente teorema.

Teorema 2.2.2. Toda combinación lineal de soluciones de una ecuación en diferencias lineal

homogénea de orden 𝑛 es también solución. Así también cabe mencionar que las soluciones de una

ecuación en diferencias lineal de orden n forman un espacio vectorial. De este teorema, derivan los dos

siguientes:

Teorema 2.2.3. Dos soluciones y1(t) e y2(t) de una ecuación en diferencias de orden 𝑛 (Ecuación 2.1)

son linealmente independientes si, y solo si, los vectores de ℝ𝑛 que se forman con las condiciones

iniciales (𝑦1(0), 𝑦1(1), … , 𝑦1(𝑛 − 1); 𝑦2(0), 𝑦2(1), … , 𝑦2(𝑛 − 1)) son linealmente independientes.

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Teorema 2.2.4. La dimensión del espacio de soluciones de una ecuación en diferencias lineal de

orden n será igual a n. Es decir, por ejemplo, si definimos un espacio de soluciones de una e.d. lineal de

orden 3, este espacio tendrá dimensión 3.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, concluimos que si {y1(t), y2(t), … yn(t)} son soluciones

linealmente independientes de la Ecuación 2.1 e 𝑦(t) es otra solución de la ecuación, existirán números

reales 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 tales que

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + ⋯ + cnyn(t)

Es decir, y(t) es combinación lineal de {y1(t), y2(t), … yn(t)}. Por tanto 𝑦(t) será la solución general

de la Ecuación 2.1. Si deseamos obtener las soluciones particulares, bastará con definir unas condiciones

iniciales a partir de las cuales podremos calcularlas.

A continuación, pasamos a centrarnos en el estudio de las ecuaciones en diferencia lineales con

coeficientes constantes. En primer lugar, buscaremos la solución general de la ecuación homogénea para

pasar posteriormente a la ecuación completa, ya que ésta, como veremos, derivará de la homogénea.

2.3. SOLUCION GENERAL DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL

HOMOGÉNEA DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES

Vamos a considerar la siguiente ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n con coeficientes

constantes:

𝑦(𝑡 + 𝑛) + 𝑎1 𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1) + · · · +𝑎 𝑛−1𝑦(𝑡 + 1) + 𝑎𝑛𝑦(𝑡) = 0 (Ecuación 2.2)

Con 𝑎𝑖 ϵ ℝ; ∀𝑖 y 𝑎𝑛 ≠ 0 (Si 𝑎𝑛 = 0, se hace el cambio 𝑡 + 1 = 𝑧).

Definición: Llamamos ecuación característica o polinomio característico asociado a la ecuación

en diferencias lineal homogénea de orden n (Ecuación 2.2) a la ecuación de la forma:

𝑃(𝑟) = 𝑟𝑛 + 𝑎1 𝑟𝑛−1 +··· +𝑎𝑛−1 𝑟 + 𝑎𝑛 = 0 (Ecuación 2.3)

La resolución de esta ecuación polinómica asociada a la homogénea nos ayudará a encontrar las

soluciones a la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n originaria. Si observamos la

ecuación característica, podremos advertir que el grado del polinomio que la conforma es igual a n.

Veamos entonces la relación que existe entre las soluciones de ambas ecuaciones y cómo resolviendo

la característica, llegamos a la solución de la originaria.

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Teorema 2.3.1 Si 𝑟0 es solución de la ecuación característica (Ecuación 2.3), entonces 𝑦(𝑡) = 𝑟0𝑡 es

solución de la homogénea (Ecuación 2.2)

Veamos cómo llegamos a dicha conclusión. Para ello sustituímos 𝑦(𝑡) = 𝑟0𝑡 en la ecuación

homogénea (Ecuación 2.2) y nos queda lo siguiente:

𝑟0𝑡+𝑛 + 𝑎1𝑟0

𝑡+𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑟0𝑡+1 + 𝑎𝑛𝑟0

𝑡 = 𝑟0𝑡(𝑟0

𝑛 + 𝑎1𝑟0𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛) = 𝑟0

𝑡𝑃(𝑟0) = 𝑟0𝑡 · 0 = 0

En base a este resultado, debemos en primer lugar resolver la ecuación característica (Ecuación 2.3)

como un polinomio de grado n. Atendiendo a los resultados obtenidos, se pueden dar los siguientes

casos:

1. La ecuación característica (Ecuación 2.3) tiene todas sus raíces reales y simples 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛, por

lo que podemos afirmar que la solución general de la ecuación en diferencias homogénea vendrá

dada por:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐1𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟2

𝑡 +··· +𝑐𝑛𝑟𝑛𝑡

Dado que ya sabemos que 𝑟𝑖𝑡 es solución de la homogénea (Ecuación 2.2), podemos afirmar,

de acuerdo a sus propiedades, que toda combinación lineal de soluciones de la Ecuación 2.2, será

tambien solución de la Ecuación 2.2. Resolvamos un ejemplo para demostrar lo anteriormente

explicado:

Ejemplo: buscamos la solución general de la ecuación

𝑦𝑡+3 − 5𝑦𝑡+2 + 2𝑦𝑡+1 + 8𝑦𝑡 = 0

Su ecuación característica asociada sería 𝑟3 − 5𝑟2 + 2𝑟 + 8 = 0 , cuyas raíces serían:

𝑟1 = 4, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = 2. Pasamos a sustituir 𝑦(𝑡) = 𝑟0𝑡 en la ecuación homogénea y obtenemos

su solución general:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐1 4𝑡 + 𝑐2 (−1)𝑡 + 𝑐3 2𝑡

2. La ecuación característica (Ecuación 2.3) tiene todas sus raíces reales: r1 con multiplicidad k y

𝒓𝒌+𝟏, … , 𝒓𝒏 simples. La solución general de la ecuación homogénea (Ecuación 2.2) vendría definida

por:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐1𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑡 𝑟1

𝑡 + ··· +𝑐𝑘𝑡𝑘−1𝑟1𝑡 + 𝑐𝑘+1𝑟𝑘+1

𝑡 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑟𝑛𝑡

= 𝑟1𝑡𝑃𝑘−1(𝑡) + 𝑐𝑘+1𝑟𝑘+1

𝑡 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑟𝑛𝑡

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Ejemplo: buscamos la solución general de la ecuación

𝑦𝑡+3 − 5𝑦𝑡+2 + 8𝑦𝑡+1 − 4𝑦𝑡 = 0

Su ecuación característica asociada sería 𝑟3 − 5𝑟2 + 8𝑟 − 4 = 0 , cuyas raíces son 𝑟1 = 2 ,

con multiplicidad 2, y 𝑟2 = 1 con multiplicidad uno, por lo que la solución será:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐12𝑡 + 𝑐2𝑡2𝑡 + 𝑐31𝑡 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)2𝑡 + 𝑐31𝑡 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑡)2𝑡 + 𝑐3

3. La ecuación característica (Ecuación 2.3) tiene raíces complejas simples. Si 𝑟1,2 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 son

raíces complejas conjugadas, siendo 𝜌 = √𝛼2 + 𝛽2 el módulo y 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝛽

𝛼) el argumento

correspondiente, entonces podemos afirmar que la solución asociada a las raíces 𝑟1 𝑦 𝑟2 es

𝑦ℎ(𝑡) = 𝜌𝑡 (𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑡))

Ejemplo:

𝑦𝑡+3 − 3𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 − 12𝑦𝑡 = 0

La ecuación característica asociada es 𝑟3 − 3𝑟2 + 4𝑟 − 12 = 0 cuyas raíces son

𝑟1 = 3, 𝑟2 = 2𝑖, 𝑟3 = −2𝑖 . El módulo es 𝜌 = 2 y el argumento 𝜃 =𝜋

2. Por tanto la solución

será:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐13𝑡 + 2𝑡 [ 𝐴 cos (𝜋

2𝑡) +𝐵 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2𝑡) ]

4. La ecuación característica (Ecuación 2.3) tiene raíces complejas múltiples.

Si r1,2 = α ± βi son raíces complejas conjugadas de multiplicidad m, siendo ρ = √α2 + β2 el

módulo y θ = arctg (β

α) el argumento correspondiente, entonces la solución asociada a las raíces

r1 y r2 es:

𝑦ℎ(𝑡) = 𝜌𝑡( 𝑃𝑚−1(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑡) + 𝑄𝑚−1(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑡))

Donde 𝑃𝑚−1(𝑡) y 𝑄𝑚−1(𝑡) son polinomios en t de grado menor o igual que 𝑚 − 1.

Ejemplo:

𝑦𝑡+4 − 2𝑦𝑡+2 + 𝑦𝑡 = 0

La ecuación característica es 𝑟4 + 2𝑟2 + 1 = 0 cuyas raíces son 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑖 𝑟3 = 𝑟4 = −𝑖.

El módulo es 𝜌 = 1 y el argumento 𝜃 =𝜋

2. Por tanto la solución será:

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𝑦ℎ(𝑡) = 1𝑡[ (𝐴𝑡 + 𝐵) 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2𝑡) + (𝐶𝑡 + 𝐷)𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2𝑡) ]

5. Si la ecuación característica (Ecuación 2.3) tiene raíces que combinan los tipos anteriores, la

solución será combinación lineal de las soluciones expuestas en los casos anteriores.

2.4. SOLUCION DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL DE COEFICIENTES

CONSTANTES DE ORDEN n COMPLETA

Una vez conocido cómo resolver la e.d. lineal homogénea con coeficientes constantes, pasamos a

conocer a continuación el procedimiento a seguir para su resolución cuando se trata de una e.d. lineal

completa con coeficientes constantes, es decir, cuando 𝑏(𝑡) ≠ 0.

Vamos a considerar la siguiente ecuación:

𝑦(𝑡 + 𝑛) + 𝑎1 𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1) +··· +𝑎𝑛−1 𝑦(𝑡 + 1) + 𝑎𝑛𝑦(𝑡) = 𝑏(𝑡) (Ecuación 2.4.)

Con 𝑎𝑛 ≠ 0 y 𝑏(𝑡) ≠ 0

Teorema 2.4.1 Si u y v son soluciones de la ecuación no homogénea, u-v lo es de la homogénea

asociada.

Teorema 2.4.2. Si u es solución de la no homogénea y v lo es de la homogénea, entonces u + v lo es

de la no homogénea.

Teorema 2.4.3. La solución general de la ecuación completa se obtiene sumando la solución general

de la ecuación homogénea (𝑦ℎ(𝑡)) con la particular de la completa (𝑦𝑝(𝑡)).

𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)

Aplicando dichos teoremas deducimos que, conocida la solución general de la ecuación homogénea,

para obtener la solución general de la no homogénea, basta con encontrar una solución particular. Para

las ecuaciones con coeficientes constantes, esto es posible mediante dos técnicas distintas, denominadas

método de variación de las constantes y método de los coeficientes indeterminados. A pesar de ser muy

restrictivo por depender de la forma del término independiente, vamos a desarrollar este último dada su

practicidad.

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2.4.1. Método de los Coeficientes Indeterminados

El método de los coeficientes indeterminados para la resolución de este tipo de e.d. consiste en buscar

una solución particular 𝑦𝑝 dependiendo de la forma que tenga 𝑏(𝑡).

Para aplicar la siguiente tabla al método de resolución, debemos también atender a las distintas raíces

de multiplicidad m de la ecuación característica y en función de éstas optar por una de las alternativas

aquí indicadas.

Una vez analizadas dichas características, podemos guiarnos fácilmente con la siguiente tabla para

encontrar soluciones particulares de la ecuación completa:

Tipo de 𝒃(𝒕) No raíz Raíz de

multiplicidad m

𝒚𝒑

𝒄 1 - 𝑘

𝒄 - 1 𝑘𝑡𝑚

𝑷𝒏(𝒕) 1 - 𝑄𝑛(𝑡)

𝑷𝒏(𝒕) - 1 𝑡𝑚𝑄𝑛(𝑡)

𝒓𝒕 𝑟 - 𝑘𝑟𝑡

𝒓𝒕 - 𝑟 𝑘𝑡𝑚𝑟𝑡

𝑷𝒏(𝒕) 𝒓𝒕 𝑟 - 𝑄𝑛(𝑡) 𝑟𝑡

𝑷𝒏(𝒕) 𝒓𝒕 - 𝑟 𝑡𝑚𝑄𝑛(𝑡) 𝑟𝑡

𝜶 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒕) + 𝒃𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒕) cos(𝛼) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝛼) - Acos(𝛼𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑡)

𝜶 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒕) + 𝒃𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒕) - cos(𝛼) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑡𝑚(Acos(𝛼𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑡))

𝒓𝒕(𝜶 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒕) + 𝒃𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒕)) r(cos(𝛼) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝛼)) - 𝑟𝑡(Acos(𝛼𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑡))

𝒓𝒕(𝜶 𝐜𝐨𝐬(𝜶𝒕) + 𝒃𝒔𝒆𝒏(𝜶𝒕)) - r(cos(𝛼) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝛼)) 𝑟𝑡𝑡𝑚(Acos(𝛼𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑡))

TABLA 1. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Fuente: Elaboración Propia

A continuación, veamos algunos ejemplos para poner en práctica el método de los coeficientes

indeterminados siguiendo la tabla proporcionada:

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Ejemplo 1.

Si 𝑏(𝑡) es constante c y 𝑟 = 1 no es solución de la ecuación característica (fila 1), entonces probamos

con 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑘. Si tomamos como ejemplo la siguiente e.d. lineal completa con coeficientes constantes

𝑦𝑡+2 − 𝑦𝑡+1 − 12𝑦𝑡 = −24

buscamos en primer lugar las raíces de la ecuación característica:

Ec. característica → 𝑟2 − 𝑟 − 12 = 0 , con raíces 𝑟1 = −3 y 𝑟2 = 4

Por lo que la solución general de la ecuación homogénea sería

𝑦ℎ(𝑡) = −𝑐13𝑡 + 𝑐24𝑡

Para encontrar ahora la particular de la completa, basta con probar 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑘 y sustituimos en la

e.d. completa:

𝑘 − 𝑘 − 12𝑘 = −24 → −12𝑘 = −24 → 𝑘 = 2

Por tanto:

𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡) → 𝑦(𝑡) = −𝑐13𝑡 + 𝑐24𝑡 + 2

Ejemplo 2.

Si 𝑏(𝑡) es constante c y 𝑟 = 1 es solución de la ecuación característica de multiplicidad m (fila 2),

entonces probamos con 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑘𝑡𝑚. Tomamos como ejemplo la ecuación:

𝑦𝑡+2 − 6𝑦𝑡+1 + 5𝑦𝑡 = 20

Su ecuación característica y raíces son:

13

𝑟2 − 6𝑟 + 5 = 0 , con raíces 𝑟1 = 1 con multiplicidad 1 y 𝑟2 = 5

Por lo que la solución general de la ecuación homogénea sería

𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐11𝑡 + 𝑐25𝑡 → 𝑦ℎ(𝑡) = 𝑐1 + 𝑐25𝑡

Para encontrar la particular de la completa, probamos con 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑘𝑡𝑚 tal y como nos indica la

tabla, y sustituimos en la e.d. completa:

𝑘(𝑡 + 2) − 6𝑘(𝑡 + 1) + 5𝑘𝑡 = 20 → 𝑘𝑡 + 2𝑘 − 6𝑘𝑡 − 6𝑘 + 5𝑘𝑡 = 20 → −4𝑘 = 20

→ 𝑘 = −5 → 𝑦𝑝(𝑡) = −5𝑡

Por tanto

𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡) → 𝑦(𝑡) = 𝑐1 + 𝑐25𝑡 − 5𝑡

Para los demás casos, la resolución se llevaría a cabo de forma similar siguiendo las indicaciones de

la Tabla 1.

14

15

CAPÍTULO 3

OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZACIÓN DE

PRÉSTAMOS

3.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Las operaciones financieras de amortización de préstamos son aquellas operaciones por las que una

persona, denominada prestamista o acreedor, se compromete a entregar a otra persona, denominada

prestatario o deudor, en cierto momento (t0) un determinado capital (C0; t0) y el deudor a su vez se

compromete a reembolsar en un periodo (t0; tn) el capital prestado junto con los intereses

correspondientes.

Por lo general, la operación del préstamo está formada por una prestación única (C0; t0) y una

contraprestación múltiple (a1; t1); (a2; t2); …; (an; tn), aunque como veremos, dependerá del tipo de

préstamo que se trate y no siempre será así. La contraprestación tiene como objetivo abonar los intereses

formados a lo largo de la operación y a su vez devolver el principal de la deuda, y está formada por los

términos amortizativos a1, a2 ,…, an. Gráficamente podemos representarlo de la siguiente manera:

FIGURA 3.1. OPERACIÓN DE PRESTAMO

Fuente: Elaboración propia

Existen dos formas típicas de devolver un préstamo:

1. Amortización del préstamo a través de un reembolso único:

(a) Con un pago único que englobe capital e intereses al final de la operación

16

FIGURA 3.2. AMORTIZACIÓN DEL PRÉSTAMO Y SUS INTERESES CON PAGO ÚNICO


(b) Con pago periódico de intereses y reembolso del capital principal al final de la operación

FIGURA 3.3. AMORTIZACIÓN CON PAGO PERIÓDI CO DE INTERESES Y

REEMBOLSO DEL CAPITAL PRINCIPAL AL FINAL DE LA OPERACIÓN


2. Amortización del préstamo a través de una renta que cubra el capital prestado junto con los intereses

generados, que conforma los términos amortizativos. Atendiendo a sus características, distinguimos

diferentes tipos:

(a) Método progresivo o francés: con términos amortizativos constantes

(b) Método uniforme: con cuotas de amortización constantes

(c) Método americano: con pago periódico de intereses y aportación periódica al fondo de

constitución de capital para su devolución íntegra al final del préstamo

(d) Método de términos amortizativos variables: en progresión aritmética o geométrica

(e) Método alemán: con pago de interés anticipado

17

Para poder estudiar las operaciones financieras de préstamos es necesario definir la notación que

usaremos en adelante:

• Co: Capital inicialmente prestado al comienzo de la operación

• ik: Tanto de interés correspondiente al periodo [k-1;k]

• ak: Cuantía del término amortizativo que vence al final del periodo k, y se compone

conjuntamente de la cuota de amortización (amortizando parte del capital prestado) y la cuota

de intereses de un periodo, verificando:

𝑎𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐼𝑘

Si conocemos cómo se distribuyen estos términos amortizativos a lo largo del tiempo (constantes,

variables en progresión aritmética o geométrica, etc.) y el interés aplicable, es fácil calcularlos por

equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación:

FIGURA 4. EQUIVALENCIA FINANCIERA ENTRE PRESTACIÓN Y

CONTRAPRESTACIÓN A INTERÉS i


𝐶𝑜 = 𝑎1(1 + 𝑖)−1 + 𝑎2(1 + 𝑖)−2 + 𝑎3(1 + 𝑖)−3 +··· + 𝑎𝑛(1 + 𝑖)−𝑛

• Ck: Reserva, saldo o capital pendiente de amortizar al principio del periodo k+1, supuesto

pagado el término amortizativo del periodo k. Este elemento es uno de los más importantes, ya

que a partir de él podemos calcular prácticamente todo el resto de elementos del préstamo.

Existen dos formas distintas de calcularlo:

18

(a) Método prospectivo

FIGURA 5. Ck COMO VALOR ACTUAL DE LOS TÉRMINOS A MORTIZATIVOS

PENDIENTES


𝐶𝑘 como valor actual en k de los términos amortizativos que quedan por pagar a interés i:

𝐶𝑘 = 𝑎𝑘+1(1 + 𝑖)−1 + 𝑎𝑘+2(1 + 𝑖)−2 +··· + 𝑎𝑛(1 + 𝑖)−(𝑛−𝑘)

(b) Método retrospectivo

FIGURA 6. Ck A TRAVÉS DEL MÉTODO RETROSPECTIVO


𝐶𝑘 es igual a 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 menos el valor final en k de los términos amortizativos ya pagados a

interés i:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − (𝑎1(1 + 𝑖)𝑘−1 + 𝑎2(1 + 𝑖)𝑘−2 +··· + 𝑎𝑘−1(1 + 𝑖) + 𝑎𝑘)

19

Nota: Este método es el que se nos revela al calcular el capital pendiente como ecuación en

diferencias, por lo que será con el que nos quedemos de aquí en adelante para nuestro estudio.

(c) O bien 𝐶𝑘 es la suma de todas las cuotas de amortización que quedan por pagar

𝐶𝑘 = 𝐴𝑘+1 + 𝐴𝑘+2 +··· +𝐴𝑛

Cuando conocemos la estructura de los términos amortizativos 𝑎𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 , es decir en el método

francés y de términos amortizativos variables en progresión aritmética o geométrica, se usan las dos

primeras opciones, mientras que cuando conocemos las cuotas de amortización, es decir en el método

uniforme, se utiliza la tercera opción.

• Mk: Se trata del capital amortizado en los k primeros periodos, como suma de las k primeras

cuotas de amortización:

𝑀𝑘 = 𝐴1 + 𝐴2 +··· +𝐴𝑘

Aunque si conocemos el capital pendiente en k, es también posible calcularlo como la diferencia

entre el capital inicialmente prestado Co y el capital pendiente en k:

𝑀𝑘 = 𝐶0 – 𝐶𝑘

• Ik: Cuota de interés del periodo k, que son los intereses correspondientes al periodo [𝑘 − 1, 𝑘]

generados por el capital pendiente 𝐶𝑘−1:

𝐼𝑘 = 𝐶𝑘−1 × 𝑖𝑘

• Ak: Cuota de amortización del periodo k, es decir, la parte del capital que se amortiza en el

momento k, por lo que será la diferencia entre el capital pendiente en k-1 y el capital pendiente

en k. Además, es posible calcularlo como la diferencia entre el término amortizativo (𝑎𝑘) y la

cuota de interés:

𝐴𝑘 = 𝐶𝑘−1 − 𝐶𝑘 o bien 𝐴𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝐼𝑘

20

Una vez conocidos los tipos de préstamos existentes y sus componentes para el estudio,

procederemos en el siguiente capítulo a aplicar la metodología matemática de las ecuaciones en

diferencias a diferentes tipos de préstamos con el fin de calcular sus capitales pendientes en cualquier

periodo 𝑘.

21

CAPÍTULO 4

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS AL

CÁLCULO DE SALDOS PENDIENTES EN PRÉSTAMOS

4.1. INTRODUCCIÓN

A lo largo de este capítulo, procederemos a combinar y aplicar las teorías explicadas previamente en

referencia a las ecuaciones en diferencias y a los préstamos financieros. En concreto, vamos a aplicar lo

estudiado sobre ecuaciones en diferencias al cálculo de capitales pendientes en diferentes tipos de

préstamos.

Comencemos en primer lugar enfocándonos de nuevo en la definición de capitales pendientes y en

su descomposición según los diferentes métodos de cálculo. Recordamos que los capitales pendientes

𝐶𝑘 son la reserva, saldo o capital pendiente de amortizar al principio del periodo k+1, supuesto pagado

el término amortizativo del periodo k. Centrémonos en el segundo método para calcular capitales

pendientes, el método retrospectivo, y recordamos:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − valor final en 𝑘 de los términos amortizativos ya pagados a interés i

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − (𝑎1(1 + 𝑖)𝑘−1 + 𝑎2(1 + 𝑖)𝑘−2 +··· + 𝑎𝑘−1(1 + 𝑖) + 𝑎𝑘)

Es decir, realizamos en primer lugar un movimiento de capitalización del capital inicialmente

prestado hacia el momento 𝑘 para restarle posteriormente el valor de los términos amortizativos

𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑘 capitalizados al momento 𝑘. Si comenzamos a desarrollarlo desde 𝑡 = 1 y sucesivamente,

tendríamos:

𝐶1 = 𝐶0(1 + 𝑖) − 𝑎1

𝐶2 = 𝐶0(1 + 𝑖)2 − 𝑎1(1 + 𝑖) − 𝑎2 = [𝐶0(1 + 𝑖)1 − 𝑎1](1 + 𝑖) − 𝑎2 = 𝐶1(1 + 𝑖) − 𝑎2

𝐶3 = 𝐶0(1 + 𝑖)3 − 𝑎1(1 + 𝑖)2 − 𝑎2(1 + 𝑖) − 𝑎3 = 𝐶2(1 + 𝑖) − 𝑎3

𝐶4 = 𝐶0(1 + 𝑖)4 − 𝑎1(1 + 𝑖)3 − 𝑎2(1 + 𝑖)2 − 𝑎3(1 + 𝑖) − 𝑎4 = 𝐶3(1 + 𝑖) − 𝑎4

…

𝐶𝑘+1 = 𝐶𝑘(1 + 𝑖) − 𝑎𝑘+1

22

Comprobamos a continuación si llegamos a la conclusión correcta aplicando el método regresivo:

𝐶𝑘 − 𝐶𝑘+1 = 𝐶𝑘 − [𝐶𝑘(1 + 𝑖) − 𝑎𝑘+1]

𝐶𝑘 − 𝐶𝑘+1 = − 𝐶𝑘𝑖 + 𝑎𝑘+1

𝐶𝑘(1 + 𝑖) − 𝐶𝑘+1 = 𝑎𝑘+1

Si llamamos 𝑦(𝑘) = 𝐶𝑘 y 𝑏(𝑘) = −𝑎𝑘+1, nos queda una ecuación en diferencias de orden 1:

𝑦𝑘+1−(1 + 𝑖) 𝑦𝑘 = 𝑏(𝑘)

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎𝑘+1

Nuestro objetivo en los siguientes apartados será resolver la ecuación en diferencias de orden 1 aquí

expresada para obtener los capitales pendientes según el tipo de amortización aplicable y obtener así, a

través de la solución general de la e.d., una expresión general para calcular los capitales pendientes en

función del capital inicialmente prestado ( 𝐶0).

4.2. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS A TRAVÉS DEL MÉTODO PROGRESIVO O

FRANCÉS

Consideremos un préstamo de cuantía 𝐶0 unidades monetarias para ser amortizado en 𝑛 años mediante

términos amortizativos constantes, es decir, 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 = 𝑎; ∀𝑘 = 1, … , 𝑛 y siendo valorado a un

interés constante anual 𝑖. Gráficamente:

FIGURA 7. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN PROGRESIVO O FRANCÉS


23

Si tenemos en cuenta que en este tipo de préstamos los términos amortizativos son constantes:

𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 = 𝑎

Por lo que

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎𝑘+1

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎

𝑦𝑘+1−(1 + 𝑖) 𝑦𝑘 = 𝑏(𝑘) , siendo 𝑏(𝑘) = 𝑐𝑡𝑒. y conocida

Llegados a este punto, nos queda una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes de

orden 1 completa que pasamos a resolver. Recordamos que para resolver una ecuación de este tipo:

𝑦(𝑘) = 𝑦ℎ(𝑘) + 𝑦𝑝(𝑘)

por lo que en primer lugar buscamos las raíces de la ecuación característica asociada

𝑟 − (1 + 𝑖) = 0 → 𝑟 = 1 + 𝑖

y obtenemos así la solución general de la ecuación homogénea 𝑦𝑘+1−(1 + 𝑖) 𝑦𝑘 = 0:

𝑦ℎ(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘

Buscamos ahora la solución particular de la ecuación completa 𝑦𝑘+1−(1 + 𝑖) 𝑦𝑘 = −𝑎:

Dado que 𝑟 = 1 + 𝑖 ≠ 1 al ser 𝑖 un tanto de interés > 0, aplicamos el método de los coeficientes

indeterminados y probaríamos a sustituir, atendiendo a la TABLA 1. Método de los Coeficientes

Indeterminados, con 𝒚𝒑 = 𝒌. Dado que ya estamos utilizando la letra 𝑘 para expresar el periodo a lo

largo del préstamo, tomaremos la letra 𝐴, 𝑦𝑝 = 𝐴, y sustituímos:

𝑦𝑘+1−(1 + 𝑖) 𝑦𝑘 = −𝑎 → 𝐴 − (1 + 𝑖)𝐴 = −𝑎 → −𝑖𝐴 = −𝑎 → 𝐴 =𝑎

𝑖

24

Con lo que ya podemos obtener la solución general de la ecuación en diferencias originaria:

𝑦(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘 +𝑎

𝑖

Una vez obtenida dicha solución general, tan sólo basta con definir el importe inicialmente prestado

𝐶0 , el término amortizativo 𝑎 y el interés anual del préstamo 𝑖, para obtener la solución particular y

obtener así cualquier capital pendiente en función de 𝐶0:

𝑦(0) = 𝐶0 → 𝐶0 = ℂ(1 + 𝑖)0 +𝑎

𝑖 → 𝐶0 = ℂ +

𝑎

𝑖 → ℂ = 𝐶0 −

𝑎

𝑖

Una vez obtenido ℂ, podemos sustituir en la solución general junto con el resto de parámetros a

definir según las condiciones del préstamo y obtener así el capital pendiente a calcular deseado:

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑘 = (𝐶0 −𝑎

𝑖 ) (1 + 𝑖)𝑘 +

𝑎

𝑖

A continuación, vamos a realizar dos comprobaciones. La primera consistirá en comprobar que,

aplicando nuestra metodología, llegamos a las mismas fórmulas para la resolución de este caso según la

teoría de las matemáticas financieras. La segunda será comprobar que, dados los datos de un problema

en concreto, somos capaces de llegar de forma inmediata al capital pendiente del periodo deseado tan

sólo sustituyendo los datos dados en nuestra expresión final.

Operamos:

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑘 = (𝐶0 −𝑎

𝑖 ) (1 + 𝑖)𝑘 +

𝑎

𝑖 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 −

𝑎

𝑖 (1 + 𝑖)𝑘 +

𝑎

𝑖 =

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 +𝑎

𝑖 (1 − (1 + 𝑖)𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎

(1+𝑖)𝑘−1

𝑖

Recordamos el valor final de la renta unitaria según la teoría de las matemáticas financieras:

𝑆�̅�|𝑖 = (1+𝑖)𝑘−1

𝑖

25

Por lo que llegamos a:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎 𝑆�̅�|𝑖

Que es exactamente la fórmula que nos indicaba cómo calcular capitales pendientes para préstamos

de tipo francés según el método retrospectivo. Vamos ahora con una aplicación práctica:

Dado un préstamo de 10.000€ a devolver en 10 años, al 5,3% de interés anual y con términos

amortizativos constantes de 1313,98€, queremos averiguar el capital pendiente en el cuarto y en el

octavo año.

𝑎 = 1313,98 𝑦(𝑘) = 𝐶𝑘 = (𝐶0 −𝑎

𝑖 ) (1 + 𝑖)𝑘 +

𝑎

𝑖

𝐶0 = 10000 𝑦(4) = 𝐶4 = (10000 −1313,98

0,053 ) (1 + 0,053)4 +

1313,98

0,053= 6605,848€

𝑖 = 0,053 𝑦(8) = 𝐶8 = (10000 −1313,98

0,053 ) (1 + 0,053)8 +

1313,98

0,053= 2432,884€

Si desarrollamos el cuadro de amortización, comprobamos que hemos llegado a los resultados correctos:

Periodo i ak Ak Ik Ck

0 10000

1 0,053 1313,98 783,98 530,00 9216,02

2 0,053 1313,98 825,53 488,45 8390,49

3 0,053 1313,98 869,28 444,70 7521,20

4 0,053 1313,98 915,36 398,62 6605,85

5 0,053 1313,98 963,87 350,11 5641,98

6 0,053 1313,98 1014,96 299,02 4627,02

7 0,053 1313,98 1068,75 245,23 3558,27

8 0,053 1313,98 1125,39 188,59 2432,88

9 0,053 1313,98 1185,04 128,94 1247,84

10 0,053 1313,98 1247,84 66,14 0,00

*cifras redondeadas a dos decimales, los resultados pueden variar en centésimas. 𝑎1 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1313,98026606474

TABLA 2. CUADRO DE AMORTIZACIÓN PARA PRÉSTAMO DE TIPO FRANCÉS


26

4.3. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS

VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En este tipo de préstamo, la amortización se desglosa en términos amortizativos “𝑎” que varían en

progresión aritmética de diferencia = 𝑑. Su estructura es la siguiente:

𝑎1 = 𝑎

𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑

𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑

…

𝑎𝑘 = 𝑎1 + (𝑘 − 1)𝑑

𝑎𝑘+1 = 𝑎1 + 𝑘𝑑

…

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Gráficamente:

FIGURA 8. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS

VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE DIFERENCIA d


Si nos quedamos con la expresión 𝑎𝑘+1 = 𝑎1 + 𝑘𝑑 , y sustituimos en la ecuación general, nos queda:

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎𝑘+1

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −(𝑎1 + 𝑘𝑑)

27

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎1 − 𝑑𝑘

Es decir, una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes de orden 1 completa, con

b(k) = −𝑎1 − 𝑑𝑘 o lo que es lo mismo, un polinomio de primer grado en 𝑘 . A continuación, pasamos

a resolver la ecuación buscando en primer lugar la solución general de la homogénea:

Ecuación característica: 𝑟 − (1 + 𝑖) = 0 𝑟 = (1 + 𝑖)

𝑦ℎ(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘

Para encontrar la solución particular de la completa, buscamos en la TABLA 1. Método de los

Coeficientes Indeterminados 𝑃𝟏(𝒌) , ya que b(k) = −𝑎1 − 𝑑𝑘 es un polinomio de grado 1 en 𝑘, y

siendo 𝑟 ≠ 1, probamos con otro polinomio del mismo grado: 𝑄1(𝑘). Sustituimos ahora en la ecuación

completa 𝑦𝑝(𝑘) = 𝐴 + 𝐵𝑘:

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎1 − 𝑑𝑘

𝐴 + 𝐵(𝑘 + 1) − (1 + 𝑖)(𝐴 + 𝐵𝑘) = −𝑎1 − 𝑑𝑘

−𝐴𝑖 + 𝐵(𝑘 + 1) − (1 + 𝑖)𝐵𝑘 = −𝑎1 − 𝑑𝑘

−𝐴𝑖 + 𝐵 − 𝐵𝑘𝑖 = −𝑎1 − 𝑑𝑘

−𝐴𝑖 + 𝐵 = −𝑎1

−𝐵𝑘𝑖 = −𝑘𝑑

−𝐵𝑘𝑖 = −𝑘𝑑 𝐵𝑖 = 𝑑 𝐵 =𝑑

𝑖

−𝐴𝑖 + 𝐵 = −𝑎1 − 𝐴𝑖 +𝑑

𝑖= −𝑎1 𝐴𝑖 = 𝑎1 +

𝑑

𝑖 𝐴 =

𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2

Por lo que la solución particular quedaría:

𝑦𝑝(𝑘) = 𝐴 + 𝐵𝑘

𝑦𝑝(𝑘) = 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘

Que sumándola a la solución general de la homogénea, nos queda la solución general de la ecuación en

diferencias originaria:

28


𝑦(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘

Dado que 𝑦(0) = 𝐶0, sustituímos:

𝑦(0) = 𝐶0 = ℂ(1 + 𝑖)0 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖0

𝐶0 = ℂ + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2

ℂ = 𝐶0 − 𝑎1

𝑖−

𝑑

𝑖2

Y así obtenemos la solución en función del capital inicialmente prestado 𝐶0:

𝑦(𝑘) = (𝐶0 − 𝑎1

𝑖−

𝑑

𝑖2) (1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘

Si seguimos operando en busca del valor final de la renta unitaria según la teoría de las matemáticas

financieras:

𝑆�̅�|𝑖 = (1+𝑖)𝑘−1

𝑖

Concluimos que:

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1

𝑖(1 + 𝑖)𝑘 −

𝑑

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘 =

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − (1 + 𝑖)𝑘 𝑎1

𝑖+

𝑎1

𝑖− (1 + 𝑖)𝑘 𝑑

𝑖2 +𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘 =

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 −𝑎1

𝑖[(1 + 𝑖)𝑘 − 1] −

𝑑

𝑖[

(1+𝑖)𝑘

𝑖−

1

𝑖− 𝑘]=

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [(1+𝑖)𝑘−1

𝑖] −

𝑑

𝑖[

(1+𝑖)𝑘−1

𝑖− 𝑘]=

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 𝑆�̅�|𝑖 −𝑑

𝑖(𝑆�̅�|𝑖 − 𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − [𝑎1 𝑆�̅�|𝑖 +𝑑

𝑖(𝑆�̅�|𝑖 − 𝑘)]

29

Que coincide con la forma de calcular el capital pendiente por el método retrospectivo, aplicado al

tipo de préstamos con términos amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia = 𝑑. Lo

comprobamos ahora con un caso práctico:

Dado un préstamo de 25.000€ a devolver en 10 años, al 4% de interés anual y con términos

amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia d = 200, teniendo que pagar el primer

año 2246,82 €, queremos averiguar cuanto nos quedará por devolver aún en el tercer y en el quinto

año.

𝐶0 = 25000

𝑎1 = 2246,82 𝑦(𝑘) = (𝐶0 − 𝑎1

𝑖−

𝑑

𝑖2) (1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘

𝑑 = 200 𝒚(𝟑) = (25000 − 2246,82

0,04−

200

0,042) (1,04)3 + 2246,82

0,04+

200

0,042 + 200

0,043 = 20499,926€

𝑖 = 0,04 𝒚(𝟓) = (25000 − 2246,82

0,04−

200

0,042) (1,04)5 + 2246,82

0,04+

200

0,042 + 200

0,045 = 16165,207€


Periodo i ak Ak Ik Ck

0 25000,00

1 0,04 2246,82 1246,82 1000,00 23753,18

2 0,04 2446,82 1496,69 950,13 22256,49

3 0,04 2646,82 1756,56 890,26 20499,92

4 0,04 2846,82 2026,82 820,00 18473,10

5 0,04 3046,82 2307,90 738,92 16165,20

6 0,04 3246,82 2600,21 646,61 13564,99

7 0,04 3446,82 2904,22 542,60 10660,77

8 0,04 3646,82 3220,39 426,43 7440,38

9 0,04 3846,82 3549,21 297,62 3891,17

10 0,04 4046,82 3891,17 155,65 0,00

*cifras redondeadas a dos decimales, debido a esto los resultados pueden variar en las centésimas.

𝑎1 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 2246,82082476023

TABLA 3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN PARA PRÉSTAMO CON TÉRMINOS

AMORTIZATIVOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA


30

4.3.1. El método uniforme: un caso particular del variable en progresión aritmética

El método uniforme se caracteriza por tener cuotas de amortización 𝐴 constantes, pero términos

amortizativos variables en progresión aritmética de diferencia = −𝐴𝑖 . Para obtener una expresión

general para calcular capitales pendientes en función del periodo, bastaría con sustituir 𝑑 = −𝐴𝑖 y

quedaría:

𝑦(𝑘) = (𝐶0 − 𝑎1

𝑖−

𝑑

𝑖2) (1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖+

𝑑

𝑖2 + 𝑑

𝑖𝑘

𝑦(𝑘) = (𝐶0 − 𝑎1

𝑖+

𝐴𝑖

𝑖2) (1 + 𝑖)𝑘 + 𝑎1

𝑖−

𝐴

𝑖− 𝐴𝑘

siendo 𝐴 = 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Aunque la expresión aquí indicada nos sirve para calcular el saldo pendiente a través del método

retrospectivo, cabe recordar también el tercer método explicado en el capítulo 3 para calcular saldos

pendientes: 𝐶𝑘 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟. Dado que en

este tipo de préstamo las cuotas de amortización son constantes, bastaría con multiplicar 𝐴 por el número

de periodos pendientes de abonar para averiguar el capital pendiente en el periodo deseado.

4.4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS

VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En este tipo de amortización consideraremos términos amortizativos variables en progresión geométrica

de razón = 𝑞. Es decir:

𝑎1 = 𝑎

𝑎2 = 𝑎1 · 𝑞

𝑎3 = 𝑎1 · 𝑞2

…

𝑎𝑘 = 𝑎1 · 𝑞(𝑘−1)

𝑎𝑘+1 = 𝑎1 · 𝑞𝑘

…

𝑎𝑛 = 𝑎1 · 𝑞(𝑛−1)

31

Gráficamente:

FIGURA 9. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS

VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN q


Recordamos de nuevo la expresión general obtenida para calcular capitales pendientes y sustituimos

la expresión de 𝑎𝑘+1 :

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎𝑘+1

𝑎𝑘+1 = 𝑎1 · 𝑞𝑘

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −(𝑎1 · 𝑞𝑘)

𝐶𝑘+1− 𝐶𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎1 · 𝑞𝑘

Nos queda una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes de orden 1 completa, con

b(k) = −𝑎1 · 𝑞𝑘 o lo que es lo mismo, una exponencial del tipo 𝒓𝒕 en la TABLA 1. Método de los

Coeficientes Indeterminados, donde 𝑞 = 𝑟 y 𝑘 = 𝑡 . Se nos pueden dar dos casos:

𝑞 ≠ 1 + 𝑖 o bien 𝑞 = 1 + 𝑖

Es decir, que la razón a la que varía sea igual a 1 + 𝑖, o sea distinta de 1 + 𝑖 (tal y como se estudia

en la teoría de las matemáticas financieras), por lo que tendremos que matizar dicha distinción a lo largo

del desarrollo. Comencemos entonces por encontrar la solución general de la homogénea a partir de la

ecuación característica, ya que este primer paso será común para ambos casos:

Ecuación característica: 𝑟 − (1 + 𝑖) = 0 𝑟 = (1 + 𝑖)

𝑦ℎ(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘

32

Y ahora sí, debemos distinguir el procedimiento para los distintos casos:

Para 𝑞 ≠ 1 + 𝑖

En busca de la solución particular de la ecuación completa, buscamos el tipo 𝒓𝒕 en la TABLA 1.

Método de los Coeficientes Indeterminados, indicando que 𝑟 no es raíz, (en nuestro caso 𝑞) por lo que

probamos según nos indica con 𝑦𝑝 = 𝑘𝑟𝑡, o traducido a nuestros parámetros, 𝐴𝑞𝑘 (siendo 𝐴 = 𝑐𝑡𝑒.) y

sustituimos:

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎1𝑞𝑘

𝐴𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝐴𝑞𝑘 = −𝑎1𝑞𝑘

𝐴[𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘] = −𝑎1𝑞𝑘

𝐴 =−𝑎1𝑞𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘

Por lo que probamos con:

𝑦𝑝(𝑘) = 𝐴𝑞𝑘

𝑦𝑝(𝑘) = −𝑎1𝑞𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘𝑞𝑘

𝑦𝑝(𝑘) =−𝑎1𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘

Y nos queda:


𝑦(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1−(1+𝑖)𝑞𝑘

Dado que 𝑦(0) = 𝐶0, sustitumos:

𝑦(0) = ℂ(1 + 𝑖)0 − 𝑎1𝑞2·0

𝑞0+1−(1+𝑖)𝑞0 = 𝐶0

𝑦(0) = ℂ −𝑎1

𝑞−1−𝑖 = 𝐶0

ℂ = 𝐶0 +𝑎1

𝑞−1−𝑖

33

Y sustituimos en la solución general:

𝑦(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1−(1+𝑖)𝑞𝑘

𝑦(𝑘) = (𝐶0 +𝑎1

𝑞 − 1 − 𝑖) (1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1

𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘=

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘−

(1 + 𝑖)𝑘

𝑞 − 1 − 𝑖]

Por lo que obtenemos la expresión general para calcular el saldo pendiente para cualquier periodo 𝑘

en préstamos con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón 𝑞 en función del

capital inicialmente prestado 𝐶0:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [𝑞2𝑘

𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑞𝑘−

(1 + 𝑖)𝑘

𝑞 − 1 − 𝑖]

Si seguimos operando y despejando:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [𝑞𝑘 · 𝑞𝑘

𝑞𝑘 · (𝑞 − (1 + 𝑖))−

(1 + 𝑖)𝑘

𝑞 − 1 − 𝑖] =

= 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [𝑞𝑘 − (1 + 𝑖)𝑘

𝑞 − 1 − 𝑖]

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑞𝑘

1 + 𝑖 − 𝑞]

Para demostrar su concordancia con la teoría de las matemáticas financieras basta con recordar el

valor final de la renta con términos variables en progresión geométrica cuando 𝑞 ≠ 1 + 𝑖, al que

llamaremos 𝑆:

𝑆 = 𝑎1(1+𝑖)𝑛−𝑞𝑛

1+𝑖−𝑞 𝑆 = 𝑎1

(1+𝑖)𝑘−𝑞𝑘

1+𝑖−𝑞

34

Y teniendo en cuenta que, aplicando el método regresivo, el saldo pendiente debe ser igual al capital

inicialmente prestado 𝐶0 capitalizado al momento 𝑘, restándole el valor final de los términos

amortizativos 𝑎 v.p.g. de razón 𝑞 llevados al momento 𝑘, nos queda:

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑞𝑘

1 + 𝑖 − 𝑞]

𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑆

Pasamos a comprobar los resultados con un caso práctico:

Contamos con un préstamo de 100.000€ a devolver en 12 años, al 6% de interés anual y con términos

amortizativos que van aumentando un 10% cada año, siendo el primer pago de 7.146,65€. Nos gustaría

averiguar cuánto nos quedará pendiente a devolver a finales del segundo y del décimo año.

𝑞 = 1,1 ≠ 1 + 𝑖 = 1,06 𝐶𝑘 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1 [(1+𝑖)𝑘−𝑞𝑘

1+𝑖−𝑞]

𝑎1 = 7146,65 𝐶2 = 100000 · (1 + 0,06)2 − 7146,65 · [(1+0,06)2−1,12

1+0,06−1,1] = 96.923,24€

𝐶0 = 100000 𝐶10 = 100000 · (1 + 0,06)10 − 7146,65 · [(1+0,06)10−1,110

1+0,06−1,1] = 35.634,57€


Periodo i 𝑎𝑘 𝐴𝑘 𝐼𝑘 Ck

0 100000,00

1 0,06 7146,65 1146,65 6000,00 98853,35

2 0,06 7861,32 1930,11 5931,20 96923,23

3 0,06 8647,45 2832,05 5815,39 94091,18

4 0,06 9512,19 3866,72 5645,47 90224,46

5 0,06 10463,41 5049,94 5413,47 85174,52

6 0,06 11509,75 6399,28 5110,47 78775,24

7 0,06 12660,73 7934,21 4726,51 70841,02

8 0,06 13926,80 9676,34 4250,46 61164,68

9 0,06 15319,48 11649,60 3669,88 49515,08

35


10 0,06 16851,43 13880,52 2970,91 35634,56

11 0,06 18536,57 16398,50 2138,07 19236,06

12 0,06 20390,23 19236,06 1154,16 0,00



AMORTIZATIVOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN q≠1+i


Una vez resuelto el caso para 𝑞 ≠ 1 + 𝑖 , pasamos a resolver el siguiente caso.

Para 𝑞 = 1 + 𝑖

En busca de la solución particular de la ecuación completa, buscamos el tipo 𝒓𝒕 en la TABLA 1.

Método de los Coeficientes Indeterminados, indicando que 𝑟 sí es raíz de multiplicidad 1, por lo que

probamos según nos indica con 𝑦𝑝 = 𝑘𝑡𝑚𝑟𝑡, o traducido a nuestros parámetros, 𝐴𝑘𝑚𝑞𝑘 (siendo 𝐴=cte.)

y sustituimos:

𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘(1 + 𝑖) = −𝑎1𝑞𝑘

𝐴(𝑘 + 1)𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝐴𝑘𝑞𝑘 = −𝑎1𝑞𝑘;

Despejamos 𝐴:

𝐴 · [(𝑘 + 1)𝑞𝑘+1 − (1 + 𝑖)𝑘𝑞𝑘] = −𝑎1𝑞𝑘;

𝐴 =−𝑎1𝑞𝑘

(𝑘+1)𝑞𝑘+1 −(1+𝑖)𝑘𝑞𝑘;

𝐴 =−𝑎1

(𝑘+1)𝑞−(1+𝑖)𝑘;

Y sustituimos 𝑦𝑝 = 𝐴𝑘𝑞𝑘:

𝑦𝑝 =−𝑎1

(𝑘+1)𝑞−(1+𝑖)𝑘𝑘𝑞𝑘;

Luego nos queda:


𝑦(𝑘) = ℂ(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘𝑞𝑘

(𝑘+1)𝑞−(1+𝑖)𝑘

36

Dado que 𝑦(0) = 𝐶0, sustituímos:

𝑦(0) = ℂ(1 + 𝑖)0 − 𝑎1 · 0 = 𝐶0

ℂ = 𝐶0

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘𝑞𝑘

(𝑘+1)𝑞−(1+𝑖)𝑘

Y ya que sabemos que en este caso particular los términos amortizativos varían en progresión

geométrica de razón 𝑞 = 1 + 𝑖, sustituimos para llegar a la expresión final que nos permite obtener el

saldo pendiente para cualquier periodo 𝑘 en función del capital inicialmente prestado 𝐶0:

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘(1+𝑖)𝑘

(𝑘+1)(1+𝑖)−(1+𝑖)𝑘;

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘(1+𝑖)𝑘−1

𝑘+1−𝑘;

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘(1 + 𝑖)𝑘−1;

Para comprobar que llegamos a la conclusión acertada, confirmamos que cumple con el mismo

procedimiento acorde a las matemáticas financieras. Aplicando de nuevo el método regresivo, el saldo

pendiente debe ser igual al capital inicialmente prestado 𝐶0 capitalizado al momento 𝑘, restándole el

valor final de los términos amortizativos 𝑎 v.p.g. de razón 𝑞 llevados al momento 𝑘. Recordamos el

valor final de una renta variable en progresión geométrica de razón 𝑞 = 1 + 𝑖, al que llamaremos 𝑆:

𝑆 = 𝑛 · 𝑎1(1 + 𝑖)𝑛−1 𝑆 = 𝑘 · 𝑎1(1 + 𝑖)𝑘−1

Por lo que nos queda:

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘(1 + 𝑖)𝑘−1

𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑆

Que coincide, según la teoría de las matemáticas financieras, con la forma de calcular el saldo

pendiente aplicando el método retrospectivo. Aplicamos nuestras conclusiones ahora a un caso práctico:

37

Nos han concedido un préstamo de 85.000€ a devolver en 11 años, al 7,5% de interés anual y con

términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q=1,075, siendo el pago del primer

año 8.306,82€. Nos gustaría averiguar cuánto nos quedará pendiente a devolver a finales del sexto y

del noveno año.

𝑞 = 1,075 = 1 + 𝑖 𝑦(𝑘) = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑘 − 𝑎1𝑘(1 + 𝑖)𝑘−1

𝑎1 = 8306,82 𝑦(6) = 85000(1,075)6 − 8306,82 · 6 · (1,075)5 = 59.627,54€

𝐶0 = 85000 𝑦(9) = 85000(1,075)9 − 8306,82 · 9 · (1,075)8 = 29.630,02€

Comprobamos los resultados con el cuadro de amortización:


0 85000

1 0,075 8306,82 1931,82 6375,00 83068,18

2 0,075 8929,83 2699,72 6230,11 80368,47

3 0,075 9599,57 3571,93 6027,63 76796,53

4 0,075 10319,53 4559,79 5759,74 72236,74

5 0,075 11093,50 5675,74 5417,76 66561,00

6 0,075 11925,51 6933,44 4992,07 59627,56

7 0,075 12819,93 8347,86 4472,07 51279,70

8 0,075 13781,42 9935,44 3845,98 41344,26

9 0,075 14815,03 11714,21 3100,82 29630,05

10 0,075 15926,15 13703,90 2222,25 15926,15

11 0,075 17120,61 15926,15 1194,46 0,00



AMORTIZATIVOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN

q=1+i


38

39

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES

A través del desarrollo de este trabajo, hemos conseguido cumplir los objetivos en torno al planteamiento

de las ecuaciones en diferencias, junto con la teoría de las matemáticas financieras referente a las

operaciones de préstamos y la aplicación de estas ecuaciones al cálculo de saldos pendientes para los

diferentes tipos de préstamos. El trabajo se ha estructurado en distintos bloques, explicando de manera

sencilla y a la vez completa los diferentes pasos a seguir hasta llegar a las conclusiones para cada tipo

de préstamo aquí explicado, por lo que hemos cumplido otro de los objetivos planteados durante la

realización de este trabajo: explicarlo de tal manera que, incluso aquellos que no hayan tratado esta

temática con anterioridad, fueran capaces de entender el desarrollo del mismo y sus explicaciones.

Por un lado, hemos obtenido expresiones para calcular de forma directa los saldos pendientes

aplicables a distintos préstamos, lo que nos permite averiguar dichas cantidades con tan sólo sustituir

los valores que definen las características del préstamo a analizar. Estas expresiones obtenidas han sido

corroboradas por la teoría referente a los préstamos según las matemáticas financieras, siendo también

comprobadas a través de un ejemplo práctico para cada caso, donde el lector de este trabajo puede

comprobar que la expresión final obtenida es de utilidad para calcular el saldo pendiente para cualquier

periodo a lo largo del horizonte temporal del préstamo.

Por otro lado, resulta de especial interés llegar a dichas conclusiones a través del desarrollo y

razonamiento de los cálculos, partiendo de una ecuación en diferencias de orden uno, pasando por su

resolución aplicando el método de los coeficientes indeterminados y llegando a las mismas conclusiones

que aplicamos en matemáticas financieras. Con esto nos referimos al interesante procedimiento hasta

llegar a las conclusiones que buscamos, pues por lo general solemos aplicar directamente expresiones

de este tipo a nuestros cálculos sin poder dedicar mucho tiempo al razonamiento que se encuentra detrás

hasta llegar a dichos resultados.

En este trabajo hemos enfocado el interés en los préstamos de tipo francés, uniforme, con términos

amortizativos variables en progresión aritmética y con términos amortizativos variables en progresión

geométrica, ya que son estos los más comunes a tratar en la vida real. Si por el contrario se quisiera

analizar un préstamo de otra modalidad no desarrollada en este trabajo, bastaría con aplicar su

justificación y cálculo a través del método retrospectivo aquí explicado, capitalizando la cantidad

inicialmente prestada hasta el periodo para el que queremos calcular el saldo pendiente, y restándole el

valor final de la renta formada por sus términos amortizativos ya pagados.

40

Como valoración personal de este trabajo, me gustaría poder expresar mi satisfacción y gratitud de

haber podido realizar un trabajo en referencia a la aplicación de las matemáticas en el mundo financiero,

pues para aquellos a los que nos apasiona el mundo matemático y sin embargo nos especializamos en el

sector económico y financiero de la industria, siempre resulta muy interesante poder realizar

aplicaciones matemáticas a nuestros estudios en dicho sector.

Por último, me gustaría agradecer a mi profesor y tutor de este trabajo por su dedicación, motivación,

ayuda e interés en sacar lo mejor de cada alumno. Agradecerle su confianza depositada en mí, por darme

la oportunidad de realizar este trabajo bajo su tutela, sabiendo que realizaría un buen aprovechamiento

de ella y disfrutaría con la elaboración del mismo.

41

BIBLIOGRAFÍA

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