1. Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA CMPUTO Y MODELADOCMPUTO Y MODELADO CUARTA EDICIN EDWARDS CUARTA EDICINPENNEY EDWARDS PENNEY Ecuaciones diferencialesY PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERAEsta obra se distingue por su slida estructura basada en: Captulos y secciones probados en clase. Figuras que ilustran la condicin final con infinidad de soluciones. Problemas para que los alumnos investiguen los ambientes de clculo tcni-cos como Maple, Mathematica y Matlab, utilizados en la prctica por inge-nieros y cientficos.Casi 700 figuras generadas por computadora que muestran al estudianteimgenes de la direccin de campos, curvas solucin y fotografas de planosde fase que proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales tomadas dela realidad.Alrededor de 45 mdulos de aplicacin de nuevas tecnologas localizados alo largo de todo el texto. Inclusin de algoritmos numricos presentados en paralelo con sus corres-pondientes grficas calculadas en MATLAB.La pgina Web www.pearsoneducacion.net/edwards ofrece apoyos importan-tes al profesor. CMPUTO Y MODELADO CUARTA EDICINISBN 978-970-26-1285-8C. HENRYDAVID E.EDWARDSPENNEY

2. Tabla de transformadas de LaplaceEsta tabla resume las propiedades generales de las transformadas de Laplace y las transformadas de Laplace defunciones particulares obtenidas en el captulo 7.Funcin TransformadaFuncin Transformadaf (t) F(s)eat1s2aaf (t) 1 bg(t)aF(s) 1 bG(s) tneatn!(s 2 a)n11f 9(t)sF(s) 2 f (0) cos kt ss2 1 k2f 0(t)s2F(s) 2 sf (0) 2 f 9(0)sen kt ks 1 k2 2f (n)(t)snF(s) 2 sn21 f (0)22 f (n21)(0) cosh ktss2 2 k2tF(s) kf (t)dt senh kt0ss 2 k2 2eat f (t) F(s 2 a)eat cos kts2a(s 2 a)2 1 k2u(t 2 a) f (t 2 a)e2asF(s)eat sen ktk(s 2 a)2 1 k2t 11f (t)g(t 2 t)dt F(s)G(s) (sen kt 2 kt cos kt)0 2k3 (s2 1 k2)2 tstf (t)2F9(s)sen kt2k(s 1 k2)22tnf (t) (21)nF (n)(s) 1(sen kt 1 kt cos kt)s22k(s 1 k2)22 qf (t)F(s)ds u(t 2 a) e2astsspf (t), periodo p 1e2stf (t)dt d(t 2 a) e2as1 2 e2ps01 1 (21)vtyab (onda cuadrada)1 tanh asss2 t 1 t (escalera) e2ass2as(1 2 e2as)tnn!n11s 1 1pt staG(a 1 1)sa11 3. Tab la de i nt e g r a l e sFORMAS ELEMENTALES1.udy 5 uy 2y du10. sec u tan u du 5 sec u 1 C12.un du 5 un11 1 C si n Z 21 11.csc u cot u du 5 2csc u 1 Cn11du3. 5 ln uu u 1 C12. tan u du 5 ln usec u u 1 Cu4.eu du 5 eu 1 C13. cot u du 5 ln usen u u 1 C au5.au du 5 1C14. sec u du 5 ln usec u 1 tan u u 1 Cln a6.sen u du 5 2cos u 1 C 15. csc u du 5 ln ucsc u 2 cot u u 1 Cdu u7.cos u du 5 sen u 1 C16.5 sen21 1Ca u2 2 a du 1 u8.sec2 u du 5 tan u 1 C 17. 5 tan21 1Ca 2 1 u 2 a a ln ``1C du1u 1 a9.csc2 u du 5 2cot u 1 C18. 5a 2 1 u 2 2au 2 aFORMAS TRIGONOMTRICAS 1 1119. sen2 u du 5 u 2 sen 2u 1 C23. sen3 u du 5 2 (2 1 sen2 u) cos u 1 C 2 4311120. cos2 u du 5 u 1 sen 2u 1 C24. cos3 u du 5 (2 1 cos2 u) sen u 1 C243121. tan2 u du 5 tan u 2 u 1 C 25. tan3 u du 5 tan2 u 1 ln ucos uu 1 C2122. cot2 u du 5 2cot u 2 u 1 C26. cot3 u du 5 2 cot2 u 2 ln usen uu 1 C21127. sec3u du 5sec u tan u 1 ln usec u 1 tan uu 1 C22 1128. csc3u du 5 2 csc u cot u 1 ln ucsc u 2 cot uu 1 C 22 sen ( a 2 b )u sen ( a 1 b )u29. sen au sen bu du 52 si a2 Z b2 2( a 2 b ) 2 ( a 1 b ) 1 C(Contina al nal) 4. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACmputo y modeladoCuarta edicin 5. ECUAC I O N ESD I F E RE N C I A L E SY P ROB L E M A SCO N VAL ORE SEN L A FRON T E R ACmputo y modeladoCuarta edicinC. Henry Edwards David E. Penney The University of Georgiacon la asistencia de David Calvis Baldwin-Wallace CollegeTRADUCCINRafael Iriarte Vivar BalderramaFacultad de IngenieraUniversidad Nacional Autnoma de MxicoREVISIN TCNICAErnesto Filio LpezUnidad Profesional Interdisciplinariaen Ingeniera y Tecnologas AvanzadasInstituto Politcnico Nacional (Mxico)Guillermo Basilio RodrguezEscuela Superior de Ingeniera Mecnicay Elctrica, ZacatencoInstituto Politcnico Nacional (Mxico) 6. EDWARDS, C. HENRY Y PENNEY, DAVID E.Ecuaciones diferenciales y problemas con valoresen la frontera. Cuarta edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2009ISBN: 978-970-26-1285-8rea: MatemticasFormato: 21 3 27 cmPginas: 824Authorized translation from the English Language edition, entitled Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing andModeling, 4th Edition by C. Henry Edwards and David E. Penney, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALLINC., Copyright 2008. All rights reserved.ISBN 978-0-13-156107-6Versin en espaol de la obra titulada, Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling, 4 edicin, deC. Henry Edwards y David E. Penney, publicada originalmente en ingls por Pearson Education Inc., publicada como PRENTICE HALLINC., Copyright 2008. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Riverae-mail: ruben.fuerte@pearsoned.comEditora de desarrollo: Claudia Celia Martnez AmignSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez GarduoEdicin en inglsEditorial Director, Computer Science, Engineering, and Advanced Mathematics: Marcia J. HortonSenior Editor: Holly StarkEditorial Assistant: Jennifer LonscheinSenior Managing Editor: Scott DisannoProduction Editor: Irwin ZuckerArt Director and Cover Designer: Kenny BeckArt Editor: Thomas BenfattiManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowellSenior Marketing Manager: Tim GalliganCUARTA EDICIN, 2009D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: editorial.universidades@pearsoned.comCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistemade recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico oelectroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes. ISBN 10: 970-26-1285-3 ISBN 13: 978-970-26-1285-8 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09 7. C ON T E N I D OMdulos de aplicacinxPrefacio xiAcerca de la portadaxvCAPTULOEcuaciones diferenciales de primer orden 1 1 1.1 1.2 1.3Ecuaciones diferenciales y modelos matemticosIntegrales como soluciones generales y particularesIsoclinas y curvas solucin19110 1.4Ecuaciones separables y aplicaciones 32 1.5Ecuaciones lineales de primer orden48 1.6Mtodos de sustitucin y ecuaciones exactas60CAPTULOModelos matemticos y mtodos numricos79 2 2.1 2.2 2.3Modelos de poblacin79Soluciones de equilibrio y estabilidadModelos de velocidad y aceleracin92100 2.4Aproximacin numrica: mtodo de Euler 112 2.5Un acercamiento ms profundo al mtodo de Euler 124 2.6Mtodo de Runge-Kutta135CAPTULOEcuaciones lineales de orden superior147 3 3.1 3.2 3.3Introduccin: Ecuaciones lineales de segundo ordenSoluciones generales de ecuaciones linealesEcuaciones homogneas con coeficientes constantes 161147 173 3.4Vibraciones mecnicas 185 3.5Ecuaciones no homogneas y coeficientes indeterminados 198 3.6Oscilaciones forzadas y resonancia 212 3.7Circuitos elctricos 225 3.8Problemas con valores en la frontera y eigenvalores 232 vii 8. viii ContenidoCAPTULO Introduccin a sistemas de ecuaciones diferenciales 246 44.14.24.3Sistemas de primer orden y aplicacionesEl mtodo de eliminacinMtodos numricos para sistemas258269246CAPTULO Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 285 55.15.25.3Matrices y sistemas lineales285El mtodo del eingenvalor para sistemas homogneosSistemas de segundo orden y aplicaciones mecnicas 304 3195.4 Soluciones para eigenvalores mltiples 3325.5 Matriz exponencial y sistemas lineales3485.6 Sistemas lineales no homogneos 362CAPTULO Sistemas no lineales y fenmenos 371 66.16.26.3Estabilidad y plano de faseSistemas lineales y casi lineales371384Modelos ecolgicos: depredadores y competidores3996.4 Sistemas mecnicos no lineales4126.5 Caos en sistemas dinmicos 429 7CAPTULO Mtodos con transformada de Laplace4417.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas4417.2 Transformadas de problemas con valores iniciales 4527.3 Traslacin y fracciones parciales4647.4 Derivadas, integrales y productos de transformadas 4747.5 Funciones de entrada peridicas y continuas por tramos 4827.6 Impulsos y funcin delta 493CAPTULO Mtodos en serie de potencia504 88.18.28.3Introduccin y repaso de series de potenciasSoluciones en series cerca de puntos ordinariosPuntos singulares regulares 530504 5178.4 Mtodo de Frobenius: casos excepcionales 5468.5 La ecuacin de Bessel 5628.6 Aplicaciones de las funciones de Bessel571 9. Contenido ixCAPTULOMtodos de series de Fourier 580 9 9.1 9.2 9.3 Funciones peridicas y series trigonomtricas Serie de Fourier general y convergencia Series seno y coseno de Fourier 597 589 580 9.4 Aplicaciones de las series de Fourier 609 9.5 Conduccin de calor y separacin de variables 615 9.6 Cuerdas vibrantes y la ecuacin de onda unidimensional 630 9.7 Temperaturas estacionarias y la ecuacin de Laplace 643CAPTULOEigenvalores y problemas con valores en la frontera654 10 10.110.210.3 Problemas de Sturm-Liouville y desarrollo en eigenfunciones Aplicaciones de las series de engenfunciones667 Soluciones peridicas estacionarias y frecuencias naturales 654 67810.4 Problemas en coordenadas cilndricas68710.5 Fenmenos en dimensiones superiores 702Referencias para estudios posteriores721Apndice: Existencia y unicidad de soluciones724Respuestas a problemas seleccionados 738ndice798 10. M DUL O S D E A PLI CA CI NLos mdulos listados se corresponden con las secciones indicadas en el texto. La mayora proporciona el clculo deproyectos que ilustran el contenido de las secciones correspondientes.1.3 Campos de isoclinas generadas por compu-5.5 Soluciones automatizadas de la matriz ex-tadora y curvas solucin. ponencial.1.4 La ecuacin logstica.5.6 Variacin de parmetros automatizada.1.5 Oscilaciones de temperatura en interiores.1.6 Soluciones algebraicas por computadora. 6.1 Plano de fase y ecuaciones de primer orden.6.2 Plano de fase de sistemas casi lineales.2.1 Modelo logstico de datos de poblacin. 6.3 Conservacin de la vida silvestre (su pro-2.3 Propulsin de cohetes.pio ejemplo).2.4 Implementacin del mtodo de Euler. 6.4 Las ecuaciones de Rayleigh y van der Pol.2.5 Implementacin del mtodo de Euler me-7.1 Transformadas y transformadas inversas ajorado.travs de sistemas de lgebra por compu-2.6 Implementacin del mtodo de Runge-tadora.Kutta.7.2 Transformadas de problemas con valores3.1 Gracacin de familias de soluciones de iniciales.segundo orden.7.3 Investigaciones sobre amortiguacin y re-3.2 Gracacin de familias de soluciones de sonancia.tercer orden. 7.5 Funciones de ingeniera.3.3 Soluciones aproximadas de ecuaciones li-8.2 Clculo automtico de coecientes deneales. series.3.5 Automatizacin del mtodo de variacin8.3 Automatizacin del mtodo de series dede parmetros.Frobenius.3.6 Vibraciones forzadas. 8.4 Caso especial al utilizar reduccin de orden.8.6 Ecuaciones de Riccati y funciones de Bessel4.1 Gravitacin y leyes de Kepler del movi-modicadas.miento planetario.4.2 Solucin de sistemas de lgebra con compu-9.2 Clculo algebraico por computadora detadora. los coecientes de Fourier.4.3 Cometas y vehculo espacial.9.3 Series de Fourier de funciones suaves portramos.5.1 Solucin automtica de sistemas lineales. 9.5 Investigaciones sobre la barra calentada.5.2 Clculo automtico de eigenvalores y ei-9.6 Investigacin de la cuerda vibrando.genvectores.5.3 Vibraciones inducidas por sismos en edi-10.1 Desarrollo en eigenfunciones numricas.cios de varios pisos.10.2 Investigaciones numricas de ujo de calor.5.4 Eigenvalores incompletos y eigenvectores 10.3 Vibracin en vigas y trampolines.generalizados. 10.4 Funciones de Bessel y cilindros calentados.x 11. P R EFA C I OLa evolucin en sucesivas ediciones del presente texto se funda en la experiencia de enseanza del curso introductorio de ecuaciones diferenciales, con nfasisen ideas conceptuales y uso de aplicaciones y proyectos que involucran a los estu-diantes en experiencias activas de solucin de problemas. Ambientes de clculotcnicos como Maple, Mathematica y MATLAB estn ampliamente disponibles yson ahora profusamente utilizados en la prctica por ingenieros y cientcos. Estecambio en la actividad profesional motiva a un desplazamiento de la tradicionalconcentracin en mtodos simblicos manuales hacia mtodos cualitativos basadosen la computadora, que emplean clculo numrico y visualizacin grca para unmejor entendimiento conceptual. Un aspecto adicional de este enfoque con mscomprensin es la accesibilidad a un mayor rango de aplicaciones ms realistas delas ecuaciones diferenciales.Principales caractersticas de esta edicinMientras que se han conservado las exitosas caractersticas de ediciones previas, laexposicin se ha mejorado signicativamente en cada captulo y en la mayora de lassecciones individuales de la obra. Se han insertado tanto grcas nuevas como textonuevo donde ha sido necesario, para mejorar la compresin de los conceptos claveen el estudiante. La slida estructura del libro en captulos y secciones, probada enclase, permanece sin cambio, por lo que las notas de aula y la nomenclatura no requi-rieron revisin para esta nueva edicin. Los siguientes ejemplos de la revisin ilus-tran la forma en que la estructura particular del texto ha sido aumentada y pulida enla nueva versin. Captulo 1. Las nuevas guras 1.3.9 y 1.3.10 muestran campos direccionales que indican la ausencia de existencia y unicidad de soluciones (pg. 24); los nuevos problemas 34 y 35 muestran que pequeos cambios en las condiciones iniciales pueden generar grandes diferencias en los resultados, pero que gran- des cambios en las condiciones iniciales pueden, algunas veces, desencadenar slo pequeos cambios en los resultados (pg. 30); los nuevos comentarios 1 y 2 aclaran el concepto de soluciones implcitas (pg. 35); un nuevo comentario aclara el signicado de homogeneidad de ecuaciones diferenciales de primer orden (pg. 62). Captulo 2. Se insertan detalles adicionales en la deduccin de la ecuacin de propulsin de un cohete (pg. 110), y un nuevo problema 5 para investigar la pausa de desprendimiento del cohete en su trayectoria de despegue, algunas veces observada antes de su explosin (pg. 112). Captulo 3. Se incorporan nuevas explicaciones de signos y direcciones de fuerzas internas en sistemas masa-resorte (pg. 148); una introduccin de ope- radores diferenciales y claricacin del lgebra de operadores polinomiales (pg. 175); una introduccin e ilustracin de formas exponenciales polares de nmeros complejos (pg. 181); una explicacin completa del mtodo de coe- cientes indeterminados en los ejemplos 1 y 3 (pg. 199); nuevos comentarios 1 y 2 con terminologa tajante, y las guras 3.8.1 y 3.8.2, que ilustran que como condicin nal algunos ejercicios tienen una innidad de soluciones,xi 12. xii Prefaciomientras que otros no tienen solucin (pg. 233); las nuevas guras 3.8.4 y3.8.5 ilustran a su vez diferentes tipos de eigenfunciones (pgs. 235-236).Captulo 4. Una presentacin nueva con las nuevas guras 4.3.11 y 4.3.12aclara la diferencia entre sistemas rotacionales y no rotacionales en problemasde rbita entre la Luna y la Tierra (pg. 278).Captulo 5. Se incorporan los problemas 20-23 para que los alumnos inves-tiguen un sistema de tres vagones de ferrocarril con diferentes condicionesiniciales de velocidad (pg. 329); un nuevo comentario ilustra la relacin entrelos mtodos de matriz exponencial y los mtodos de eigenvalores generaliza-dos presentados previamente (pg. 356); se agrega asimismo una presentacinal nal de la seccin para explicar la conexin entre la variacin de los parme-tros de la matriz y la variacin (escalar) de parmetros de una ecuacin desegundo orden presentada previamente en el captulo 3 (pg. 368).Captulo 6. Se aaden nuevos comentarios en imgenes de planos de fase,sistemas autnomos y puntos crticos (pgs. 373-374); una introduccin desistemas linealizados (pg. 386), y nuevas guras tridimensionales 6.5.18 y6.5.20, que ilustran las trayectorias de Lorenz y Rssler (pgs. 439-440).Captulo 7. Se insertan una presentacin que aclara funciones de ordenexponencial y la existencia de la transformada de Laplace (pg. 448); uncomentario que expone la mecnica del desarrollo en fracciones parciales(pg. 455), y una presentacin ampliamente extendida de la prueba del teore-ma de existencia de la transformada de Laplace y su extensin para incluir elsalto en discontinuidades, el cual juega un papel importante en muchas aplica-ciones prcticas (pgs. 461-462).Captulo 8. Se incluyen un nuevo problema 35 para determinar el radio deconvergencia de la solucin en series de potencias de ecuaciones diferenciales(pg. 528), y un nuevo ejemplo 3 justo antes de la subseccin de casos logart-micos en el mtodo de Frobenius para primero ilustrar la frmula de reduccinde orden con un problema sencillo sin series (pg. 552).Captulo 9. Se agregan una explicacin considerablemente amplia para ex-tensiones pares e impares y sus correspondientes series de Fourier seno-coseno(pgs. 599-600); una presentacin de soluciones particulares peridicas y noperidicas, que se ilustran por medio de la nueva gura 9.4.4, junto con losnuevos problemas 19 y 20 al nal de la seccin (pgs. 611-615); una presenta-cin con un ejemplo al nal de la seccin para ilustrar los efectos del amorti-guamiento en sistemas masa-resorte (pg. 614), y una muestra de signos ydireccin del ujo de calor en la deduccin de la ecuacin de calor (pg. 616).Captulo 10. En la deduccin de la ecuacin de onda para las vibracioneslongitudinales de una barra se aclaran los efectos de la dilatacin (pg. 669),mientras que las nuevas guras 10.5.15 y 10.5.16 ilustran las olas en el ocanoen un planeta pequeo (pg. 720).Caractersticas de cmputo Las siguientes caractersticas enriquecen la agradable bondad de la tecnologa de cmputo que singulariza nuestra exposicin. Casi 700 guras generadas por computadora muestran al estudiante imgenes vvidas de la direccin de campos, curvas solucin y fotografas de planos de fase que proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales de la realidad. 13. Prefacioxiii Alrededor de 45 mdulos de aplicacin se presentan a continuacin de seccio- nes clave a lo largo de todo el texto. La mayora de estas aplicaciones describe investigaciones tecnolgicamente neutrales e ilustra el uso de sistemas tcnicos de cmputo buscando que los estudiantes penetren en la aplicacin de nuevas tecnologas. Se brinda un fresco nfasis numrico con la introduccin temprana de soluciones numricas en el captulo 2 (en modelos matemticos y modelos numricos). Aqu y en el captulo 4, donde se abordan tcnicas numricas para sistemas, se disfruta un concreto, tangible y agradable sabor por la inclusin de algoritmos numricos presentados en paralelo con sus correspondientes grcas calcula- das en MATLAB.Caractersticas del modelado El modelado matemtico es una meta y una constante motivacin para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Para mostrar el rango de aplicaciones que ofrece este texto, es conveniente echar una mirada a las siguientes preguntas: Qu explica el tiempo de retardo comnmente observado entre las oscilacio- nes diarias de temperatura en el interior o en el exterior de una habitacin? (secc. 1.5). Qu hace la diferencia entre el n del mundo y la extincin de la poblacin de lagartos? (secc. 2.1). Cmo es que un uniciclo y un carro de dos ejes reaccionan diferente a las imperfecciones del camino? (seccs. 3.7 y 5.3). Cmo se puede predecir el tiempo del prximo paso por el perihelio de un cometa nuevamente observado? (secc. 4.3). Cmo un sismo puede demoler un edicio y dejar otro en pie justo al lado? (secc. 5.3). Qu determina que dos especies vivan juntas en armona, o que la compe- tencia resulte en la extincin de una de ellas y la sobrevivencia de la otra? (secc. 6.3). Cundo y por qu la no linealidad tiende al caos en sistemas biolgicos y mecnicos? (secc. 6.5). Si una masa en un resorte es golpeada peridicamente con un martillo, cmo es que el comportamiento de la masa depende de la frecuencia con la que el martillo golpea? (secc. 7.6). Cmo es que el asta de una bandera es hueca en lugar de maciza? (secc. 8.6). Qu explica la diferencia en el sonido de una guitarra, de un xilfono y de un tambor? (seccs. 9.6, 10.2 y 10.4).Organizacin y contenido Se le ha dado un aspecto diferente al enfoque y secuencia tradicional de los temas para introducir nuevas tecnologas y nuevas perspectivas. Por ejemplo: Despus de precisar una ecuacin diferencial de primer orden en el captulo 1 (desarrollando ciertos mtodos simblicos tradicionales), el captulo 2 ofrece una introduccin temprana al modelado matemtico, estabilidad y propiedades 14. xiv Prefaciocualitativas de las ecuaciones diferenciales y los mtodos numricos unacombinacin de temas que frecuentemente se dispersan en un curso introduc-torio. Los captulos 4 y 5 proporcionan un tratamiento exible de sistemas lineales.De acuerdo con las tendencias actuales en la educacin en ciencias e ingenieray la prctica, el captulo 4 ofrece una introduccin intuitiva temprana a lossistemas de primer orden, modelos y tcnicas de aproximacin numrica. Elcaptulo 5 comienza con un tratamiento del lgebra lineal, presentando luego elenfoque de eigenvalores para sistemas lineales. Se incluye una amplia variedadde aplicaciones (desde vagones de ferrocarril hasta sismos) para todos los dife-rentes casos del mtodo de eigenvalores. La seccin 5.5 incorpora un vastotratamiento de matriz exponencial, el cual se explota en la seccin 5.6 en siste-mas lineales no homogneos. El captulo 6 aborda sistemas no lineales y una variedad de fenmenos, desdeel anlisis del plano de fase hasta sistemas ecolgicos y mecnicos, que con-cluyen en una seccin de caos y bifurcacin en sistemas dinmicos. La seccin6.5 presenta una introduccin elemental de problemas contemporneos, talescomo el doble periodo en sistemas biolgicos y mecnicos, diagramas selec-cionados y el extrao atractor de Lorenz (todos ilustrados con vvidas grcaspor computadora). Los mtodos de la transformada de Laplace (cap. 7) y de series de potencias(cap. 8) siguen al material de sistemas lineales y no lineales, pero pueden sercubiertos en cualquier momento previo (despus del cap. 3) que decida el profesor. Los captulos 9 y 10 abordan las aplicaciones de la serie de Fourier, separacinde variables y la teora de Sturm-Liouville para las ecuaciones diferencialesparciales y problemas de valores en la frontera. Despus de la introduccin delas series de Fourier, las tres clsicas ecuaciones las ecuaciones de onda yde calor, y la ecuacin de Laplace se presentan en las ltimas tres seccio-nes del captulo 9. Los mtodos de Sturm-Liouville del captulo 10 se desarrollansucientemente para incluir aplicaciones signicativas y realistas.AgradecimientosEn la preparacin de la revisin nos apoyamos enormemente en las recomendacionesy asistencia de los siguientes, muy capaces y perceptivos revisores:Raymond A. Claspadle, University of MemphisSemion Gutman, University of OklahomaMiklos Bona, University of FloridaIrfan Ul-Haq, University of Wisconsin-PlattevilleCarl Lutzer, Rochester Institute of TechnologySigal Gottlieb, University of Massachusetts, DartmouthEs un placer (una vez ms) reconocer a Dennis Kletzing y su extraordinarioTEX pertise (experiencia al usar el procesador de texto) por la atractiva presen-tacin que realiz tanto para el texto como para el diseo artstico de este libro. Fi-nalmente, pero lejos de ser lo ltimo, estoy especialmente contento de agradecer a unnuevo colaborador de este esfuerzo, David Calvis, quien apoy cada aspecto de estarevisin y contribuy tangiblemente al mejoramiento de cada captulo.C. H. E.h.edwards@mindspring.com 15. ACERCA DE LA PORTADAEsta imagen ilustra la trayectoria de un punto en movimiento cuyo espacio de coordenadas satisface (como funcin deltiempo) el sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz que se presenta en las pginas 438439. En su movimiento alo largo de esta trayectoria de Lorenz, el punto puede aparecer en forma transversal a un nmero aleatorio de ciclos dellado izquierdo, despus a un nmero aleatorio de ciclos del lado derecho, luego a un nmero aleatorio de ciclos del ladoizquierdo, y as sucesivamente. En su devenir de un lado a otro, tpicamente se aproxima ms y ms a un misteriosoconjunto conocido como el extrao atractor de Lorenz. Las ecuaciones de Lorenz tienen un origen meteorolgico, porlo que uno puede suponer nmeros aleatorios de das lluviosos y de das soleados alternndose en la sucesin (pensandoque esto no es lo que realmente signican los ciclos).El ms pequeo cambio en el punto inicial de la trayectoria puede cambiar drsticamente el resultado del devenirde un lado hacia otro de la secuencia de los ciclos. Esto ilustra el fenmeno del caos, en el que pequeas diferencias enlas condiciones iniciales pueden resultar tiempo despus en enormes diferencias en las situaciones resultantes. Dospuntos que inician en imperceptibles diferentes posiciones pueden ms adelante separarse enormemente en diferenteslados de la Mariposa de Lorenz. La forma de mariposa de la gura recuerda el tan conocido efecto mariposa, queen aos recientes se ha hecho de uso popular. Una mariposa mueve sus alas y genera un suave movimiento de aire queacciona en cadena una secuencia de eventos atmosfricos que nalmente resultan en un tornado en algn lugar del ladoopuesto de la Tierra.Para marcar el progreso del devenir hacia un lado y otro del punto en movimiento, podemos referir su trayectoriacomo el hilo de un collar donde se han puesto las cuentas para marcar sus posiciones sucesivas en un incremento jo detiempo (de tal manera que el punto se mueve ms rpido cuando el espacio entre las cuentas es mayor). El color de lascuentas cambia continuamente con el paso del tiempo y el movimiento a lo largo de la trayectoria. La graduacin delcolor de las cuentas en el collar de Lorenz muestra visualmente de manera efectiva la cuarta dimensin del tiempoen adicin de las tres dimensiones espaciales. Si su ojo sigue el curso del punto movindose alrededor de la trayectoriacomo yendo con el ujo del color y ajustando su velocidad con el espaciamiento de las cuentas, entonces la guracompleta toma un aspecto dinmico ms que una representacin meramente esttica de la todava simple gura.xv 16. 21 Ecuaciones diferencialesde primer orden1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticosL as leyes del universo estn escritas en el lenguaje de las matemticas. El lgebraes suciente para resolver muchos problemas estticos, pero la mayora de losfenmenos naturales ms interesantes involucra cambios descritos por ecuacionesque relacionan cantidades que cambian.Debido a que la derivada dx/dt = f(t) de la funcin f es la razn a la cual lacantidad x f(t) est cambiando respecto de la variable t independiente, es naturalque las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir eluniverso cambiante. Una ecuacin que relaciona una funcin desconocida con una oms de sus derivadas se llama ecuacin diferencial.Ejemplo 1 La ecuacin diferencial dx= x2 + t2 dtinvolucra tanto la funcin desconocida x(t) como su primera derivada x(t) = dx/dt.La ecuacin diferencial d2 ydy+3+ 7y = 0 dx2 dxincluye la funcin desconocida y de la variable independiente x y sus dos primerasderivadas de y y y de y. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:1. Descubrir la ecuacin diferencial que describe una situacin fsica especfica.2. Encontrar exacta o aproximadamente la solucin apropiada de esa ecua- cin.3. Interpretar la solucin encontrada.1 17. 2Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEn lgebra, por lo regular se buscan nmeros desconocidos que satisfagan una ecuacin tal como x3 7x2 11x 41 0. En contraste, en una ecuacin diferen- cial el reto es encontrar funciones desconocidas y y(x), para las cuales una identi- dad tal como y(x) 2xy(x), esto es, la ecuacin diferencialdy= 2x ydx se cumple en algn intervalo de nmeros reales. Regularmente queremos encontrar, de ser posible, todas las soluciones de la ecuacin diferencial. Ejemplo 2 Si C es una constante y 2 y(x) = Ce x , (1) entonces dy2 2= C 2xe x = (2x) Ce x = 2x y. dx As, cada funcin de y(x), de la forma de la ecuacin (1) satisface y de este modo es una solucin de la ecuacin diferencial dy= 2x y (2) dx para toda x. En particular, la ecuacin (1) dene una familia innita de diversas solu- ciones de esta ecuacin diferencial, una para cada asignacin de la constante arbitraria C. Por el mtodo de separacin de variables (seccin 1.4) se puede demostrar que cada solucin de la ecuacin diferencial en (2) es de la forma de la ecuacin (1). Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos Los tres ejemplos siguientes ilustran el proceso de traduccin de las leyes y princi- pios cientcos en ecuaciones diferenciales. En cada uno de ellos la variable inde- pendiente es el tiempo t, pero veremos numerosos ejemplos donde alguna cantidad diferente del tiempo es la variable independiente. Ejemplo 3 La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera: La razn de cambio del tiempo (la razn de cambio respecto del tiempo t) de la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio Temperatura A ambiente (g. 1.1.1). Esto es,dT = k(T A),(3) Temperatura Tdt donde k es una constante positiva. Obsrvese que si T A, entonces dT/dt 0, por lo que la temperatura es una funcin decreciente de t y el cuerpo se est enfriando. Pero si T A, entonces dT/dt 0, por tanto, T est aumentando.FIGURA 1.1.1. La ley deAs, la ley fsica se traduce en una ecuacin diferencial. Si damos valores a k yenfriamiento de Newton, A, podremos encontrar una frmula explcita para T(t), y entonces con la ayuda deecuacin (3), describe elenfriamiento de una roca esta frmula ser posible predecir la temperatura que tendr el cuerpo. caliente en el agua. Ejemplo 4 La ley de Torricelli establece que la razn de cambio respecto del tiempo de un volumen V de agua en un tanque de drenado (g. 1.1.2) es proporcional a la raz cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque: dV = k y,(4) dt 18. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 3 donde k es una constante. Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y una seccin transversal de rea A, entonces V Ay, por lo que dV/dt A (dy/dt). En este caso la ecuacin (4) toma la forma dy = h y,(5) dt donde h k/A es una constante. Ejemplo 5 La razn de cambio respecto del tiempo de una poblacin P(t) con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tamao de la poblacin. Esto es, dP = k P,(6) dt donde k es la constante de proporcionalidad. Volumen V yProfundicemos en el ejemplo 5. Primero ntese que cada funcin de la formaP(t) = Cekt (7) es una solucin de la ecuacin diferencialFIGURA 1.1.2. La ley dedPdrenado de Torricelli, ecuacin (4),= kPdescribe el drenado de undttanque de agua.en (6). Puede vericarse esta aseveracin de la siguiente manera:P (t) = Ckekt = k Cekt = k P(t) para todo nmero real t. Debido a que la sustitucin en la ecuacin (6) de cada fun- cin de la forma dada en (7) produce una identidad, todas esas funciones son solucio- nes de la ecuacin (6). Entonces, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuacin diferencial dP/dt kP tiene una infinidad de soluciones de la forma P(t) Cekt, una para cada valor arbitrario de la constante C. Esto es comn en las ecuaciones diferenciales. Es tambin afortunado, porque nos permite usar informacin adicional para seleccio- nar, entre todas estas soluciones, una en particular que se ajuste a la situacin bajo estudio. Ejemplo 6 Supongamos que P(t) Cekt es la poblacin de una colonia de bacterias en el tiempo t; que la poblacin en el tiempo t 0 (horas, h) fue 1000, y sta despus de 1 h se du- plica. Esta informacin adicional acerca de P(t) nos lleva a las siguientes ecuaciones:1000 = P(0) = Ce0 = C,2000 = P(1) = Cek . Por lo que C 1000 y ek igual 2, de modo que k ln 2 0.693147. Con este valor de k la ecuacin diferencial (6) esdP = (ln 2)P (0.693147)P.dt Al sustituir k ln 2 y C 1000 en la ecuacin (7) se llega a la solucin particularP(t) = 1000e(ln 2)t = 1000(eln 2 )t = 1000 2t (entonces eln 2 2) que satisface las condiciones dadas. Podemos usar esta solucin particular para pre- decir futuras poblaciones de la colonia de bacterias. Por ejemplo, despus de hora y media (cuando t 1.5) el nmero de bacterias en la poblacin esP(1.5) = 1000 23/2 2828. 19. 4Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 8C = 12 C = 6 C = 3La condicin P(0) 1000 en el ejemplo 6 se conoce como condicin inicial C=1porque con frecuencia escribimos ecuaciones diferenciales para las cuales t 0 es el 6tiempo inicial. La figura 1.1.3 muestra diferentes grficas de la forma P(t) Cekt 4con k ln 2. Las grficas de la infinidad de soluciones de dP/dt kP de hecho 21 llenan completamente el plano de dos dimensiones sin que haya dos que se intersecten. C= 2 0Ms an, la eleccin de cualquier punto P0 en el eje P determina el valor de P(0).P C = 122Debido a que una solucin pasa exactamente a travs de cada uno de estos puntos,4vemos que en este caso la condicin inicial P(0) P0 determina una solucin nica6 C = 1 de acuerdo con los datos proporcionados.8 21 01 23 Modelos matemticos C = 12C = 6C = 3 tNuestra breve presentacin del crecimiento de la poblacin en los ejemplos 5 y 6FIGURA 1.1.3. Grcas de ktP(t) = Ce con k = ln 2.ilustra el proceso crucial del modelado matemtico (g. 1.1.4), el cual involucra losiguiente:1. La formulacin en trminos matemticos de un problema del mundo real; esto es, la construccin de un modelo matemtico.2. El anlisis o solucin del problema matemtico resultante.3. La interpretacin de los resultados matemticos en el contexto original de la situacin del mundo real; por ejemplo, respondiendo la pregunta postulada inicialmente.Situacin del mundo realFormulacinInterpretacin ModeloAnlisisResultadosmatemticomatemtico matemticos FIGURA 1.1.4. Proceso del modelado matemticoEn el ejemplo de la poblacin, el problema en el mundo real es determinar sunmero en un tiempo futuro. Un modelo matemtico consiste en una lista de varia-bles (P y t) que describen la situacin dada, junto con una o ms ecuaciones querelacionen esas variables (dP/dt kP, P(0) P0) que se conocen o que se asumeque son ciertas. El anlisis matemtico consiste en res olver esas ecuaciones (aqu,para P como una funcin de t). Finalmente, se aplican estos resultados matemti-cos para tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real.Como un ejemplo de este proceso, pensemos que la primera formulacin delmodelo matemtico consiste en las ecuaciones dP/dt kP, P(0) 1000, que descri-ben la poblacin de bacterias del ejemplo 6. Despus nuestro anlisis matemticoconsiste en encontrar la funcin solucin P(t) 1000e(ln 2)t 1000 2t como nuestroresultado matemtico. Para una interpretacin en trminos del mundo real lapoblacin de bacterias sustituimos t 1.5 para obtener una prediccin de la po-blacin de P(1.5) 2828 bacterias despus de 1.5 horas. Si, por ejemplo, esta pobla-cin crece bajo condiciones ideales de espacio y alimento ilimitados, nuestra prediccinpuede ser bastante exacta, en cuyo caso concluimos que el modelo matemtico esadecuado para el estudio de esa poblacin particularPor otro lado, podemos darnos cuenta de que no hay una solucin que se ajustede manera precisa a la poblacin real que estamos estudiando. Por ejemplo, no exis-ten valores de las constantes C y k para las cuales la solucin P(t) Ce kt en la ecua- 20. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 5cin (7) pueda describir con precisin el crecimiento real de la poblacin humana enel mundo en los siglos recientes. Debemos concluir que la ecuacin diferencial dP/dt kP es inadecuada para modelar la poblacin mundial la cual en dcadas recien-tes se ha estabilizado en comparacin con las grficas de ascenso excesivo que seobservan en la parte superior (P 0) de la figura 1.1.3. Con una mayor perspectiva,podramos formular un nuevo modelo matemtico incluyendo, tal vez, ecuacionesdiferenciales ms complicadas, como algunas que tomen en cuenta factores talescomo la limitacin en los alimentos o el incremento de la poblacin en funcin de lastasas de natalidad y mortalidad. Con este nuevo modelo matemtico podemos hacerel recorrido del diagrama de la figura 1.1.4 en el sentido contrario a las manecillasdel reloj. Si podemos resolver la nueva ecuacin diferencial, obtenemos una nuevafuncin solucin para compararla con la poblacin mundial real. De hecho, un an-lisis exitoso de la poblacin puede requerir afinar el modelo matemtico, incluso msall de que ste sea confrontado repetidamente con la realidad. Sin embargo, en el ejemplo 6 simplemente ignoramos cualquier factor de com-plicacin que pudiera afectar nuestra poblacin de bacterias. Esto hace el anlisismatemtico bastante simple, aunque quiz no tan apegado a la realidad. Un mode-lo matemtico satisfactorio est sujeto a dos requerimientos contradictorios: debe sersuficientemente detallado para representar con relativa exactitud la situacin real,tambin suficientemente simple para hacer prctico el anlisis matemtico. Si el mo-delo es muy detallado, de tal manera que representa por completo la situacin fsica,entonces el anlisis matemtico puede ser difcil de aplicar. Si, por el contrario, elmodelo es muy simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que no seran tiles.De este modo, hay una inevitable necesidad de equilibrar entre lo fsicamente alcan-zable y lo matemticamente posible. La construccin de un modelo debe cubrir demanera adecuada este resquicio entre la realidad y lo posible, el paso ms difcil ydelicado en el proceso. Por otra parte, deben encontrarse los caminos para simplifi-car el modelo matemticamente sin sacrificar rasgos esenciales de la realidad. A lo largo de este libro se presentan modelos matemticos. Lo que resta de estaseccin introductoria est dedicado a ejemplos simples y terminologa comnmenteusada en la presentacin de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones.Ejemplos y terminologaEjemplo 7 Si C es una constante y y(x) 1/(C x), entonces dy1== y2 dx (C x)2si x Z C. Entonces 1 y(x) =(8)Cxdene una solucin de la ecuacin diferencial dy = y2 (9) dxen cualquier intervalo de nmeros reales que no contenga el punto x C. En realidad,la ecuacin (8) dene una familia de soluciones de un parmetro de dy/dx y2, unapara cada valor de la constante arbitraria o parmetro C. Con C 1 obtenemos lasolucin particular 1 y(x) =1xque satisface la condicin inicial y(0) 1. Como se indica en la gura 1.1.5, esta solu-cin es continua en un intervalo (q, 1), pero tiene una asntota vertical en x 1. 21. 6 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Ejemplo 8Vericar que la funcin y(x) 2x1/2 x1/2 ln x satisface la ecuacin diferencial4x 2 y + y = 0 (10)para toda x 0. Solucin Primero calculamos las derivadasy (x) = 1 x 1/2 ln x2y y (x) = 1 x 3/2 ln x 1 x 3/2 . 4 2Entonces la sustitucin en la ecuacin (10) nos lleva a1 3/2 4x 2 y + y = 4x 24xln x 1 x 3/2 + 2x 1/2 x 1/2 ln x = 02si x es positiva, por lo que la ecuacin diferencial se satisface para toda x 0. El hecho de que podamos escribir una ecuacin diferencial no es suficientepara garantizar que sta tenga solucin. Por ejemplo, es claro que la ecuacin dife-rencial(y )2 + y 2 = 1 (11)no tiene solucin (en valores reales), porque la suma de nmeros no negativos nopuede ser negativa. Como una variacin en este tema, ntese que la ecuacin(y )2 + y 2 = 0(12)obviamente slo tiene la solucin (en valores reales) y(x) K 0. En los ejemplos ante-riores cualquier ecuacin diferencial tena al menos una solucin, de hecho tenainnidad de soluciones.El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta queaparece en ella. La ecuacin diferencial del ejemplo 8 es de segundo orden; las de losejemplos 2 al 7 son ecuaciones de primer orden, y y (4) + x2 y(3) + x 5 y = sen xes una ecuacin de cuarto orden. La forma general de la mayora de las ecuacionesdiferenciales de orden n con variable independiente x y funcin desconocida o va-riable dependiente y y(x) es F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0,(13)donde F es una funcin de valores reales especca de n 2 variables.El uso de la palabra solucin ha sido hasta ahora informal. Para ser precisos,decimos que la funcin continua u u(x) es una solucin de la ecuacin diferencial(13) en el intervalo I siempre que las derivadas u, u,, u(n) existan en I y F x, u, u , u , . . . , u (n) = 0para toda x en I. De una manera concisa, podemos decir que u u(x) satisface laecuacin diferencial (13) en I.Nota. Recurdese, del clculo elemental, que una funcin derivable en unintervalo abierto es necesariamente continua dentro de l. Por eso una funcin conti-nua puede calificar slo como una solucin (derivable) de la ecuacin diferencial enun intervalo. 22. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos 7Ejemplo 8 La gura 1.1.5 muestra las dos ramas conectadas de la grca y 1/(1 x). LaContinuacinrama del lado izquierdo es la grca de una solucin (continua) de la ecuacin dife-rencial y y2, que se dene en el intervalo (1, q). La rama del lado derecho es lagrca de una solucin diferente de la ecuacin diferencial que est denida (y escontinua) en otro intervalo diferente (1, q). As, la simple frmula y(x) 1/(1 x) de-termina realmente dos soluciones diferentes (con diferente dominio de denicin) dela misma ecuacin diferencial y y2. Ejemplo 9Si A y B son constantes y5y(x) = A cos 3x + B sen 3x(14)y = 1/(1 x)entonces dos derivaciones sucesivas nos llevan a(0, 1)x=1 y (x) = - 3A sen 3x + 3 B cos 3x,0 y (x) = - 9A cos 3x - 9 B sen 3x = -9y(x)ypara toda x. Consecuentemente, la ecuacin (14) dene lo que naturalmente llama-mos una familia biparamtrica de soluciones de la ecuacin diferencial de segundoorden5 505 y + 9y = 0(15) xFIGURA 1.1.5. Solucin de en toda la recta de nmeros reales. La gura 1.1.6 muestra las grcas de varias dey y2 denida estas soluciones.y(x) 1/(1 x). Aunque las ecuaciones diferenciales (11) y (12) son excepciones a la reglageneral, veremos que una ecuacin diferencial de orden n comnmente tiene unafamilia de soluciones de n parmetros cada una involucra n constantes o parme-5 tros arbitrarios. y3Tanto en la ecuacin (11) como en la (12) la forma en que aparece y, como una y1funcin implcitamente definida, causa complicaciones. Por esta razn, normalmentey2se asumir que cualquier ecuacin diferencial puede resolverse en forma explcitapara la derivada de mayor orden que aparezca; esto es, que la ecuacin pueda ser0 escrita en la conocida forma normalyq y (n) = G x, y, y , y , . . . , y (n1) ,(16)5donde G es una funcin de valores reales de n 1 variables. Adems, siempre se3 03 buscarn estos valores, a menos que se advierta al lector lo contrario. xTodas las ecuaciones diferenciales antes mencionadas son ecuaciones diferen-FIGURA 1.1.6. Las tres soluciones ciales ordinarias, lo que significa que la funcin desconocida (variable dependiente)y1(x) 3 cos 3x, y2(x) 2 sen 3x ydepende de una sola variable independiente. Si la variable dependiente es unay3(x) 3 cos 3x 2 sen 3x de lafuncin de dos o ms variables independientes, entonces aparecern derivadas par-ecuacin diferencialciales; si es as, la ecuacin se llama ecuacin diferencial parcial. Por ejemplo, lay 9y 0.temperatura u u(x, t) de una barra uniforme en el punto x en el tiempo t satisface(bajo condiciones apropiadas) la ecuacin diferencial parcialu 2u = k 2,txdonde k es una constante (llamada la difusividad trmica de la barra). En los captu-los 1 al 8 slo se abordarn ecuaciones diferenciales ordinarias y nos referiremos aellas simplemente como ecuaciones diferenciales. En este captulo nos concentraremos en las ecuaciones diferenciales de primerorden de la forma dy = f (x, y).(17) dx 23. 8 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Tambin expondremos un amplio rango de aplicaciones de estas ecuaciones. Cabe sealar que un modelo matemtico tpico aplicado a una situacin real ser un pro- blema de valor inicial, que consiste en una ecuacin diferencial de la forma presen- tada en (17), aunado a con una condicin inicial y(x0) y0. Ntese que llamamos a y(x0) y0 una condicin inicial, sea o no x0 0. As, resolver el problema de valor inicialdy = f (x, y), y(x0 ) = y0 (18)dx signica encontrar una funcin derivable y y(x) que satisfaga ambas condiciones de la ecuacin (18) en algn intervalo que contenga x0. Ejemplo 10Dada la solucin y(x) 1/(C x) de la ecuacin diferencial dy/dx y2 presentada en el ejemplo 7, resolver el problema de valor inicial dy= y2,y(1) = 2. dx SolucinSlo necesitamos encontrar un valor de C tal que la solucin y(x) 1/(C x) satis- faga la condicin inicial y(1) 2. Sustituyendo los valores x1 y y2 en la solucin dada, obtenemos1 2 = y(1) =,C 15as, 2C 2 1, y por tanto C = 2 . Con este valor de C se obtiene la solucin3 deseaday = 2/(3 2x)1 2(1, 2)y(x) = =. x = 3/232x 3 2x0y La gura 1.1.7 muestra las dos ramas de la grca y 2/(3 2x). La rama del lado (2, 2) izquierdo es la grca en (q , 2 ) de la solucin del problema de valor inicial 3 dado y y , y(1) 2. La del lado derecho pasa a travs del punto (2, 2) y es por2 tanto la grca en ( 3 , q) de la solucin de otro problema de valor inicial denido2 5como y y2, y(2) 2. 5 05x La pregunta central de mayor inters es: si nos dan una ecuacin diferencialFIGURA 1.1.7. Solucin dey y denida por2sabiendo que tiene una solucin que satisface una condicin inicial dada, cmoy(x) 2/(3 2x). encontrar o calcular esa solucin? Y, una vez encontrada, qu podemos hacer con ella? Veremos que, pocas tcnicas relativamente simples separacin de variables (seccin 1.4), solucin de ecuaciones lineales (seccin 1.5), mtodos elementales de sustitucin (seccin 1.6) son suficientes para resolver una variedad de ecuaciones de primer orden con aplicaciones impresionantes. 1.1 ProblemasEn los problemas 1 al 12 vericar, por sustitucin, que cada5. y = y + 2e x ; y = e x e xuna de las funciones dadas es una solucin de la ecuacin di- 6. y + 4y + 4y = 0; y1 = e 2x , y2 = xe 2xferencial dada. En estos problemas, las primas signican laderivada respecto de x. 7. y 2y + 2y = 0; y1 = e x cos x, y2 = e x sen x8. y + y = 3 cos 2x, y1 = cos x cos 2x, y2 = sen x cos 2x1.y = 3x 2 ; y = x 3 + 712.y + 2y = 0; y = 3e 2x 9. y + 2xy 2 = 0; y =1 + x23.y + 4y = 0; y1 = cos 2x, y2 = sen 2x 14.y = 9y; y1 = e 3x , y2 = e 3x10. x 2 y + xy y = ln x; y1 = x ln x, y2 = ln x x 24. 1.1 Ecuaciones diferenciales y modelos matemticos9 1 ln x 35. En una ciudad con una poblacin ja de P personas, la11. x2 y + 5xy + 4y = 0; y1 = 2, y2 = 2razn de cambio respecto del tiempo de un nmero N dex x12. x2 y xy + 2y = 0; y1 = x cos(ln x), y2 = x sen(ln x)personas que han escuchado cierto rumor es proporcionalal nmero de ellas que an no lo han escuchado.36. En una ciudad con una poblacin ja de P personas, laEn los problemas 13 al 16 sustituir y erx dentro de la ecuacin razn de cambio respecto del tiempo de un nmero N dediferencial dada para determinar todos los valores de la constan- personas infectadas con cierta enfermedad contagiosa este r, para los cuales y erx es una solucin de la ecuacin. proporcional al producto del nmero de aquellas que tie-nen la enfermedad y al nmero de las que no la tienen.13. 3y = 2y 14. 4y = y15. y + y 2y = 016. 3y + 3y 4y = 0En los problemas 37 al 42 determinar por inspeccin al menosEn los problemas 17 al 26 vericar primero que y(x) satisface una solucin de la ecuacin diferencial dada. Esto es, aplicarla ecuacin diferencial dada. Despus determinar un valor el conocimiento sobre derivadas para hacer una suposicinde la constante C, tal que y(x) satisfaga la condicin inicialinteligente, y posteriormente probar su hiptesis.dada. Usar una computadora o calculadora grca (si se de-sea) para trazar varias soluciones de la ecuacin diferencial 37. y = 0 38. y = ydada, y destacar la que satisfaga la condicin inicial. 39. xy + y = 3x 2 40. (y )2 + y 2 = 141. y + y = e x 42. y + y = 017. y + y = 0; y(x) = Ce x , y(0) = 218. y = 2y; y(x) = Ce 2x , y(0) = 3 43. (a) Si k es una constante, mostrar que una solucin gene-19. y = y + 1; y(x) = Ce x 1, y(0) = 5ral (de un parmetro) de la ecuacin diferencial20. y = x y; y(x) = Ce x + x 1, y(0) = 1021. 3y + 3x 2 y = 0; y(x) = Ce x , y(0) = 7dx = kx 222. e y y = 1; y(x) = ln(x + C), y(0) = 0 dtdy23.x + 3y = 2x 5 ; y(x) = 1 x 5 + Cx 3 , y(2) = 1 dx 4 est dada por x(t) 1/(C kt), donde C es una24. xy 3y = x 3 ; y(x) = x 3 (C + ln x), y(1) = 17constante arbitraria.25. y = 3x 2(y 2 + 1); y(x) = tan(x 3 + C), y(0) = 1(b) Determinar por inspeccin una solucin del problema26. y + y tan x = cos x; y(x) = (x + C) cos x, y (p) = 0de valor x kx2, x(0) 0.44. (a) Continuando con el problema 43, asumir que k es po-sitiva y disear grcas de soluciones de x kx2 paraEn los problemas 27 al 31 una funcin y g(x) se describe porvarios valores positivos de x(0).alguna propiedad geomtrica de su grca. Escriba una ecua- (b) Cmo dieren estas soluciones si la constante k escin diferencial de la forma dy/dx f(x, y) que tenga la negativa?funcin g como su solucin (o como una de sus soluciones).45. Considrese que una poblacin de P roedores satisface laecuacin diferencial dP/dt kP2. Inicialmente, hay P(0)27. La pendiente de la grca de g en el punto (x, y) es la 2 roedores, y su nmero se va incrementando a razn desuma de x y y.dP/dt 1 roedores por mes cuando hay P 10 individuos.28. La lnea tangente a la grca de g en el punto (x, y) corta Cunto tiempo tomar a esta poblacin crecer a un cientoel eje de las x en el punto (x/2, 0). de roedores? A un millar? Qu est sucediendo aqu?29. Toda lnea recta normal a la grca de g pasa a travs del46. Supngase que la velocidad v de un barco costero en elpunto (0, 1). Proponga: cmo sera la grca de la fun-agua satisface la ecuacin diferencial dv/dt kv2. La ve-cin g? locidad inicial de la embarcacin es v(0) 10 metros/30. La grca de g es normal a toda curva de la forma y x2segundo (m/s), y v disminuye a razn de 1 m/s2 cuando k (siendo k constante) en el punto donde se encuentran. v 5 m/s. Cunto tiempo transcurrir para que la velo-31. La lnea tangente a la grca de g en (x, y) pasa a travs 1cidad del barco disminuya a 1 m/s? A 10 m/s? Cundodel punto (y, x).se detiene el barco?47. En el ejemplo 7 vimos que y(x) 1/(C x) dene unaEn los problemas 32 al 36 escribir en la forma de las ecua-familia monoparamtrica de soluciones de la ecuacinciones (3) a la (6) de esta seccin una ecuacin diferencial diferencial dy/dx y2. (a) Determinar un valor de C talque sea un modelo matemtico de la situacin descrita.que y(10) 10. (b) Existe un valor de C tal que y(0) 0?No obstante, por inspeccin, se puede encontrar una32. La razn de cambio respecto del tiempo de una poblacin solucin de dy/dx y2 tal que y(0) 0? (c) La guraP es proporcional a la raz cuadrada de P.1.1.8 muestra las grcas de las soluciones de la forma33. La razn de cambio respecto del tiempo de la velocidad vy(x) 1/(C x) Estas curvas solucin llenan todo elde un barco costero es proporcional al cuadrado v.plano x, y? Se podra concluir que, dado cualquier pun-34. La aceleracin dv/dt de un Lamborghini es proporcionalto (a, b) en el plano, la ecuacin diferencial dy/dx y2a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del auto- tiene exactamente una solucin y(x) que satisface la con-mvil.dicin y(a) b? 25. 10Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenC = 2 C = 1 C = 0 C = 1 C = 2 C = 31003802 60401 C=4 20 0y 0 20yC=4 401 60 2 80 1003 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 3 2 101 23x C = 3 C = 2 C = 1 C = 0 C = 1 C = 2 xFIGURA 1.1.9.Grca de y Cx4 para diferentes FIGURA 1.1.8. Grcas de las soluciones de lavalores de C. ecuacin dy/dx y2.48. (a) Mostrar que y(x) Cx4 dene una familia monopara- dene una solucin derivable de yx x4 para toda x, peromtrica de soluciones derivables de la ecuacin diferen- no es de la formay(x) Cx4. (c) Dados dos nmeros rea-cial xy 4y (g. 1.1.9). (b) Mostrar que les cualesquiera a y b, explicar por qu en contraste con lo propuesto en el inciso (c) del problema 47 existe un x 4 si x 0 nmero innito de soluciones derivables xy 4y que sa-y(x) tisfacen todas las condiciones y(a) b.x 4 si x 01.2 Integrales como soluciones generales y particularesLa ecuacin de primer orden dy/dx f(x, y) toma una forma especialmente simplesi el lado derecho de la funcin f no involucra en realidad a la variable dependientey; as, dy = f (x). (1) dxEn este caso especial slo se necesita integrar ambos lados de la ecuacin (1) paraobtenery(x) =f (x) d x + C.(2)Esta es una solucin general de la ecuacin (1), lo que signica que involucra unaconstante arbitraria C, y cada seleccin de C es una solucin de la ecuacin diferencialen (1). Si G(x) es una antiderivada particular de f esto es, si G(x) K f(x),entoncesy(x) = G(x) + C. (3)Las grficas de cualesquiera de estas dos soluciones y1(x) G(x) C1 y y2(x) G(x) C2 en el mismo intervalo I son paralelas en el sentido ilustrado por lasfiguras 1.2.1 y 1.2.2, donde vemos que la constante C es geomtricamente la distan-cia vertical entre las dos curvas y(x) G(x) y y(x) G(x) C.Para satisfacer una condicin inicial y(x0) y0 slo es necesario sustituir x x0y y y0 en la ecuacin (3) a fin de obtener y0 G(x0) C, tal que C y0 G(x0).Con esta eleccin de C se obtiene la solucin particular de la ecuacin (1) que sa-tisface el problema de valor inicial. dy = f (x),y(x0 ) = y0 . dx 26. 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 11 4C=3 6 3C = 1C=4C=2 4C = 2C=2 2C=12 1C=0 C=0 00 yyC=2 12 2C = 34 3 C=4 4 6 4 3 2 1 0 1234642 0 246 xx FIGURA 1.2.1. Grcas de FIGURA 1.2.2. Grcas de y 1 x2 C para diferentes y sen x C para diferentes4 valores de C.valores de C. Veremos que ste es el patrn comn para la solucin de ecuaciones diferencia- les de primer orden. Regularmente se encuentra primero una solucin general que involucra una constante arbitraria C. Tambin se puede intentar obtener, para alguna eleccin apropiada de C, una solucin particular que satisfaga la condicin inicial y(x0) y0 dada.Nota. De la forma en que se emplea el trmino en el prrafo anterior, una solucin general de una ecuacin diferencial de primer orden es simplemente una fa- milia monoparamtrica de soluciones. Una pregunta natural es: cundo una solu- cin general contiene cualquier solucin particular de la ecuacin diferencial? Cuando se sabe que esto es verdad, la llamamos la solucin general de la ecuacin diferen- cial. Por ejemplo, debido a que cualesquiera dos antiderivadas de la misma funcin f(x) pueden diferir slo por una constante, se concluye entonces que toda solucin de la ecuacin (1) es de la forma (2). As, la ecuacin (2) sirve para definir la solucin general de (1).Ejemplo 1Resolver el problema de valor inicial dy= 2x + 3, y(1) = 2. dxSolucin Al integrar ambos lados de la ecuacin diferencial como en la ecuacin (2), inmedia- tamente se llega a la solucin general4y(x) = (2x + 3) d x = x 2 + 3x + C.20C=2 La gura 1.2.3 muestra la grca de y x2 3x C para diferentes valores de C.2 La solucin particular que se busca corresponde a la curva que pasa a travs del pun-C=0to (1, 2) satisfaciendo por tanto la condicin inicialy4 C = 26 C = 48y(1) = (1)2 + 3 (1) + C = 2. C = 6 10 642 0 2 4xSe concluye entonces que C 2, por lo que la solucin particular esFIGURA 1.2.3. Curvas solucinde la ecuacin diferencial delejemplo 1. y(x) = x 2 + 3x 2. 27. 12 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de segundo orden. La observacin de que la ecuacin especial de primer orden dy/dx f(x) tiene solucin (dado que se puede encontrar una antide- rivada de f) se extiende a las ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma especial d2 y= g(x),(4) dx2 en la cual la funcin g del lado derecho de la ecuacin no involucra ni la variable dependiente y ni tampoco su derivada dy/dx. Simplemente se integra una vez para obtener dy=y (x) d x = g(x) d x = G(x) + C1 , dx donde G es una antiderivada de g, y C1 es una constante arbitraria. Entonces una nueva integracin nos lleva ay(x) = y (x) d x =[G(x) + C1 ] d x = G(x) d x + C1 x + C2 , donde C2 es una segunda constante arbitraria. En efecto, la ecuacin diferencial de segundo orden en (4) se puede obtener resolviendo sucesivamente las ecuaciones de primer ordendvdy = g(x)y = v(x).dxdx Velocidad y aceleracin Una integracin directa es suciente para permitirnos resolver un importante nmero de problemas relativos al movimiento de una partcula (o punto masa) en trminos de las fuerzas que actan sobre ella. El movimiento de una partcula a lo largo de una lnea recta (el eje x) es descrito por su funcin posicinx = f (t) (5) conociendo su coordenada en el eje x para el t. La velocidad de la partcula se dene como dx v(t) = f (t);esto es, v=. (6) dt Su aceleracin a(t) es a(t) v(t) x(t); en notacin Leibniz,dvd2x a== 2. (7)dtdt La ecuacin (6) puede aplicarse en forma de integral indefinida x(t) v(t)dt o en forma de integral definidatx(t) = x(t0 ) + v(s) ds, t0 la cual se reconocer como un postulado del teorema fundamental de clculo (preci- samente porque dx/dy v). 28. 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares13 La segunda ley de movimiento de Newton dice que si una fuerza F(t) acta enuna partcula y sta la dirige a lo largo de su lnea de movimiento, entonces(8) ma(t) = F(t);esto es, F = ma,donde m es la masa de la partcula. Si se conoce la fuerza F, entonces la ecuacinx(t) F(t)/m se puede integrar dos veces para encontrar la funcin posicin x(t) entrminos de sus dos constantes de integracin. Estas dos constantes arbitrarias sonfrecuentemente determinadas por la posicin inicial x0 x(0) y la velocidad inicialv0 v(0) de la partcula.Aceleracin constante. Por ejemplo, supngase que la fuerza F, y por tanto laaceleracin a F/m, son constantes. Entonces iniciamos con la ecuacindv =a (a es una consonante) (9)dte integrando ambos lados de la ecuacin, se obtiene v(t) =a dt = at + C1 .Se sabe que v v0 cuando t 0, y la sustitucin de esta informacin dentro de laecuacin anterior nos lleva al hecho de que C1 v0. As dx v(t) = = at + v0 .(10) dtUna segunda integracin da como resultadox(t) = v(t) dt =(at + v0 ) dt = 1 at 2 + v0 t + C2 ,2y la sustitucin de t 0, x x0 hace que C2 x0. Por tanto, x(t) = 1 at 2 + v0 t + x0 .2 (11)De este modo, con la ecuacin (10) es posible encontrar la velocidad, y con laecuacin (11) la posicin de la partcula en cualquier tiempo t en trminos de suaceleracin constante a su velocidad inicial v0 y su posicin inicial x0.Ejemplo 2 Una nave lunar est cayendo libremente en la supercie de la Luna a una velocidadde 450 metros por segundo (m/s). Cuando se activan sus retropropulsores, se lograuna desaceleracin constante de 2.5 metros por segundo en cada segundo (m/s2) (seasume que la aceleracin gravitacional producida por la Luna est incluida en ladesaceleracin dada). A qu altura, por encima de la supercie lunar, debern acti-varse sus retropropulsores para asegurar un alunizaje suave (v 0 impacto)? 29. 14Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Solucin Sea x(t) la altura de la nave lunar encima de la supercie, como se indica en la gu-ra 1.2.4, donde t 0 denota el tiempo en el cual los retropropulsores deben serencendidos. Entonces v0 450 (m/s negativo debido a que la altura x(t) est dis-minuyendo), y a 2.5, porque un empuje hacia arriba aumenta la velocidad v(aunque decrece la velocidad absoluta v). Entonces las ecuaciones (10) y (11) nosllevan av(t) = 2.5t 450 (12) a vySuperficie lunar x(t) = 1.25t 2 450t + x0 , (13)FIGURA 1.2.4.Nave lunar del donde x0 es la altura de la nave por encima de la supercie lunar en el tiempo t 0ejemplo 2.cuando los retropropulsores deben ser activados. A partir de la ecuacin (12) se observa que v (0) (alunizaje suave) ocurrecuando t 450/2.5 180 s (esto es, 3 minutos); entonces la sustitucin de t 180,x 0 dentro de la ecuacin (13) admite quex0 = 0 (1.25)(180)2 + 450(180) = 40,5001metros, esto es, que x0 40.5 km 25 6 millas. Por tanto, los retropropulsoresdebern activarse cuando la nave est a 40.5 km por encima de la supercie de laLuna, y sta deber tocar suavemente la supercie lunar despus de 3 minutos dedescenso desacelerado.Unidades fsicasEl trabajo numrico requiere unidades para la medicin de cantidades fsicas como ladistancia y el tiempo. Algunas veces se utilizan unidades ad hoc tales como dis-tancia en millas o en kilmetros, y el tiempo en horas en casos especiales (comoen algn problema que involucre un viaje en auto). Sin embargo, los sistemas deunidades fps (pie-libra-segundo, por sus siglas en ingls) y mks (metro-kilogramo-segundo) generalmente se usan ms en problemas cientcos y de ingeniera. Dehecho, las unidades fps son comnmente utilizadas slo en Estados Unidos (y enalgunos cuantos pases), mientras que las unidades mks constituyen el sistema inter-nacional de unidades cientcas estndar. unidades fpsunidades mks Fuerzalibra (lb) newton (N) Masaslug kilogramo (kg) Distancia pie (ft) metro (m) Tiemposegundo (s)segundo (s) g 32 ft/s2 9.8 m/s2La ltima lnea de la tabla proporciona los valores para la aceleracin gravitacio-nal g en la superficie de la Tierra. Aunque estos valores aproximados sern suficientespara la mayora de ejemplos y problemas, valores ms precisos son 9.7805 m/s2 y32.088 ft/s2 (a nivel del mar y en el Ecuador).Ambos sistemas son compatibles con la segunda ley de Newton F ma. As,1 N es (por definicin) la fuerza requerida para transmitir una aceleracin de 1 m/s2a una masa de un kilogramo. De manera similar, 1 slug es (por definicin) la masaque experimenta una aceleracin de 1 ft/s2 bajo la accin de la fuerza de una libra.(Se utilizarn unidades mks en todos los problemas que requieran unidades de masay muy ocasionalmente slugs.) 30. 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares 15Pulgadas y centmetros (as como millas y kilmetros) tambin son comn-mente usados en la descripcin de distancias. Para conversiones de unidades entrefps y mks conviene recordar que1 pulgada 2.54 cm (exactamente) y 1 libra (lb) 4.448 N.Por ejemplo, 1 ft 12 pulgadas 2.54cm 30.48 cm, pulgadasy por tanto1 milla (mi) 5280 ft 30.48 cm 160934.4 cm 1.609 km. ftPor tanto, una seal de lmite de velocidad en Estados Unidos de 50 mi/h signicaen trminos internacionales que el mximo de velocidad legal es ms o menosde 50 1.609 80.45 km/h.Movimiento vertical y aceleracin gravitacionalEl peso W de un cuerpo es la fuerza de la gravedad ejercida sobre el cuerpo. As, lasustitucin de a g y F W en la segunda ley de Newton F ma resulta en W = mg(14)para el peso W de la masa m en la supercie de la Tierra (donde g 32 ft/s2 9.8m/s2). Por ejemplo, una masa de m 20 kg tiene un peso de W=(20 kg)(9.8 m/s2)= 196 N. De forma anloga, una masa m pesando 100 libras tiene un peso en el sis-tema mks deW = (100 lb)(4.448 N/lb) = 444.8 N,de tal manera que su masa es W 444.8 N m== 45.4 kg. g 9.8 m/s2Para estudiar el movimiento vertical es natural escoger el eje y como el sistemacoordenado para posicin, donde frecuentemente y 0 corresponde al nivel delpiso. Si se selecciona la direccin hacia arriba como positiva, entonces el efecto dela gravedad en un movimiento vertical del cuerpo es para disminuir su altura y tam-bin su velocidad v dy/dt. En consecuencia, si se ignora la resistencia del aire,entonces la aceleracin a dv/dt del cuerpo est dada por dv = g.(15) dtEsta ecuacin de aceleracin proporciona un punto de inicio en muchos problemasque involucran un movimiento vertical. Integraciones sucesivas [como en las ecua-ciones (10) y (11)] nos llevan a frmulas de velocidad y de alturav(t) = gt + v0(16)yy(t) = 1 gt 2 + v0 t + y0 . 2 (17)Aqu y0 representa la altura inicial del cuerpo (t 0) y v0 su velocidad inicial. 31. 16Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEjemplo 3 (a) Supngase que una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso (y0 0)con una velocidad inicial v0 96 (ft/s, por tanto usamos g 32 ft/s2 en unidades fps).La pelota alcanza su altura mxima cuando su velocidad [ecuacin (16)] es cero. v(t) = 32t + 96 = 0,y de este modo, cuando t 3 s. En consecuencia, la altura mxima que alcanza lapelota es y(3) = 1 32 32 + 96 3 + 0 = 144 (ft)2[con ayuda de la ecuacin (17)](b) Si se dispara una echa en lnea recta hacia arriba con una velocidad inicial v0 49 (m/s, por tanto usamos g 9.8 m/s2 en unidades mks), entonces sta regresa alpiso cuando y(t) = 1 (9.8)t 2 + 49t = (4.9)t (t + 10) = 0,2despus de 10 s de permanecer en el aire.Problema del nadadorLa gura 1.2.5 muestra un ro de w 2a de ancho que uye hacia el norte. Laseje y rectas x a representan las orillas del ro y el eje y su centro. Supngase que lavelocidad vR a la cual el agua uye se incrementa conforme se acerca al centro delvRro, y en realidad est dada en trminos de la distancia x desde el centro porvSx2(a, 0)(a, 0)eje x v R = v0 1 .(18)a2Se puede utilizar la ecuacin (18) para vericar que el agua uye ms rpido en elcentro, donde vR v0, y que vR 0 en cada orilla del ro. vRSupngase que un nadador inicia en el punto (a, 0) de la orilla oeste y nadaa hacia el este (en relacin con el agua) con una velocidad constante vS. Como se in- vS dica en la figura 1.2.5, su vector de velocidad (relativo al cauce del ro) tiene unaFIGURA 1.2.5. Problema delcomponente horizontal vS y una componente vertical vR. En consecuencia, el ngulonadador (ejemplo 4).de direccin a del nadador est dado por vR tan =. vSSustituyendo en (18), debido a que tan a dy/dx, se obtiene la ecuacin dife-rencialdy v0x2 =1 (19)dx vSa2para la trayectoria del nadador y y(x) conforme ste cruza el ro.Ejemplo 4 Supngase que el ro tiene 1 mi de ancho y la velocidad en su parte central v0 9 mi/h.Si la velocidad del nadador es vS 3 mi/h, entonces la ecuacin (19) toma la formady = 3(1 4x 2 ).dxLa integracin resulta en y(x) = (3 12x 2 ) d x = 3x 4x 3 + C 32. 1.2 Integrales como soluciones generales y particulares17 para la trayectoria del nadador. La condicin inicial y( 1 ) = 0 hace que C 1, y as 2y(x) = 3x 4x 3 + 1. Entonces1 3y1 2=3 1 2 4 2+ 1 = 2, as que el nadador es llevado por la corriente 2 mi abajo, mientras que l nada 1 mi a lo largo del ro. 1.2 ProblemasEn los problemas 1 al 10 encuentre la funcin y f(x) que19. 10satisfaga la ecuacin diferencial dada y la condicin inicialprescrita. 8dy 1.= 2x + 1; y(0) = 36dx(5, 5) vdy 4 2.= (x 2)2 ; y(2) = 1dxdy 2 3.= x; y(4) = 0dx 0dy10 24 68 10 4.=; y(1) = 5tdx x2dy 1FIGURA 1.2.6. Grca de la funcin 5.= ; y(2) = 1para la velocidad v(t) del problema 19.dxx +2dy 6.= x x 2 + 9; y(4) = 0 20.10dxdy10 dy8 7.= 2 ; y(0) = 0 8.= cos 2x; y(0) = 1dx x +1dx 6dy1dy (5, 5) 9.= ; y(0) = 0 10.= xex ; y(0) = 1 vdx1 x2 dx4En los problemas 11 al 18, encuentre la funcin de posicin 2x(t) de una partcula movindose con una aceleracin dadaa(t); considere como posicin inicial x0 x(0), y como veloci- 0dad inicial v0 v(0).024 68 10t11. a(t) = 50, v0 = 10, x0 = 20 FIGURA 1.2.7. Grca de la funcin12. a(t) = - 20, v0 = -15, x0 = 5 para la velocidad v(t) del problema 20.13. a(t) = 3t, v0 = 5, x0 = 014. a(t) = 2t + 1, v0 = -7, x0 = 421. 1015. a(t) = 4(t + 3)2 , v0 = -1, x0 = 1 8 116. a(t) =, v0 = -1, x0 = 1t + 4 6(5, 5)1 v17. a(t) =, v0 = 0, x0 = 0 4(t + 1)318. a(t) = 50 sen 5t, v0 = -10, x0 = 8 2En los problemas 19 al 22, una partcula inicia su recorrido enel origen y viaja a lo largo del eje x con una funcin de veloci-0024 68 10dad v(t) cuya grca se muestra en las guras 1.2.6 a la 1.2.9. tTrace la grca de la funcin para la posicin que resultante FIGURA 1.2.8. Grca de la funcinx(t) en el intervalo 0 F t F 10.para la velocidad v(t) del problema 21. 33. 18Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden22. 10 32. Supngase que un auto se mueve a una velocidad de 50 km/h, aplica sus frenos y patina 15 m. Considerando8 que el vehculo tiene una desaceleracin constante, qu tan lejos patinar si se mueve a 100 km/h cuando se apli-6(3, 5) (7, 5)can los frenos?v 33. En el planeta Gzyx una bola lanzada desde una altura de4 20 ft golpea el piso en 2 s. Si la bola se lanza desde la parte ms alta de un edicio de 200 ft en Gzyx, cunto tiempo2 le tomar golpear el piso?, con qu velocidad lo golpear? 34. Una persona puede arrojar una bola en lnea recta hacia00 24 68 10 arriba desde la supercie de la Tierra a una altura mxima t de 144 ft, qu tan alto podra arrojar esta misma personaFIGURA 1.2.9. Grca de la funcin la bola en el planeta Gzyx del problema 33?para la velocidad v(t) del problema 22.35. Se lanza una piedra, desde la posicin de reposo, a una altura inicial h arriba de la superficie de la Tierra. Mostrar que la velocidad con la cual golpea el piso es23. Cul es la altura mxima obtenida por la echa en el in-v = 2gh.ciso (b) del ejemplo 3?36. Supngase que una mujer tiene suciente rebote en sus24. Se lanza una pelota desde la parte superior de un ediciopiernas para saltar (en la Tierra) desde el piso hasta unade 400 ft de altura, cunto tiempo le tomar llegar alaltura de 2.25 ft. Si salta en lnea recta hacia arriba con lapiso? Con qu velocidad la pelota golpea el piso? misma velocidad inicial en la Luna donde la aceleracin25. Se aplican los frenos a un auto cuando se est moviendo agravitacional en la supercie es (aproximadamente) de 5.3una velocidad de 100 km/h provocando una desaceleracinft/s2, qu altura alcanzar esta mujer?constante de 10 metros por segundo al cuadrado (m/s2). 37. Al medioda un auto inicia un recorrido en lnea recta conCunta distancia viaja antes de detenerse?una aceleracin constante desde el punto de reposo A has-26. Se dispara un proyectil en lnea recta hacia arriba con unata el punto B. Si el vehculo llega al punto B a las 12:50velocidad inicial de 100 m/s desde la parte superior de un P.M. con una velocidad de 60 mi/h, cul es la distanciaedicio de 20 m de altura, y luego cae al piso en la baseentre A y B?del edicio. Encontrar (a) su altura mxima en referencia38. Al medioda un auto inicia un recorrido en lnea recta concon el piso; (b) cundo pasa la parte superior del edi-una aceleracin constante desde el punto de reposo A,cio?; (c) su tiempo total en el aire.hasta el punto C, 35 mi adelante. Si el auto, con acelera-27. Se lanza una pelota en lnea recta hacia abajo desde lacin constante, llega al punto C con una velocidad de 60parte superior de un edicio alto. La velocidad inicial de mi/h, qu tiempo le toma llegar hasta all?la pelota es de 10 m/s. Golpea el piso con una velocidad 39. Si a 0.5 mi y v0 9 mi/h, como en el ejemplo 4, culde 60 m/s, qu tan alto es el edicio?debe ser la velocidad del nadador vs para que la corriente28. Se lanza una bola de beisbol en lnea recta hacia abajo conlo arrastre slo una milla aguas abajo al cruzar el ro?una velocidad inicial de 40 ft/s desde la parte superior del 40. Si a 0.5 mi, v0 9 mi/h y vs 3 mi/h como en elmonumento a Washington (555 ft de altura). Cunto tar-ejemplo 4, pero la velocidad del ro est dada por la fun-da la pelota en alcanzar el piso, y con qu velocidad lo cin de cuarto gradogolpea?29. Un automvil diesel acelera gradualmente, de tal manera x4v R = v0 1 que para los primeros 10 s la aceleracin est dada por a4dv en lugar de la funcin cuadrtica en la ecuacin (18). En- = (0.12)t 2 + (0.6)t(ft/s2 ).dt cuentre ahora a qu distancia aguas abajo es llevado el nadador al cruzar el ro.si el auto parte de la posicin de reposo (x0 0, v0 0),41. Se lanza una granada desde un helicptero suspendido aencontrar la distancia que ha recorrido al nal de los pri-una altura de 800 ft arriba del piso. Desde el piso, directa-meros 10 s y su velocidad en ese tiempo. mente bajo el helicptero, se dispara un proyectil en lnea30. Un auto, viajando a 60 mi/h (88 ft/s), patina 176 ft des-recta hacia la granada, exactamente 2 s despus de quepus de frenar repentinamente. Bajo la consideracin desta fue soltada. Con qu velocidad inicial debe disparar-que el sistema de frenos proporciona una desaceleracinse el proyectil para que alcance la granada a una altitud deconstante, cul es esa desaceleracin?, por cunto tiem- exactamente 400 ft?po patina el vehculo? 42. Un vehculo espacial en cada libre hacia la supercie de31. La marca del patinado dejada por un automvil indica la Luna viaja a una velocidad de 1000 mph(mi/h). Susque sus frenos fueron aplicados completamente a unaretropropulsores, cuando arrancan, proporcionan una des-distancia de 75 m antes de que se detuviera. Se sabe que aceleracin constante de 20,000 mi/h2. A qu altura porel carro en cuestin tiene una desaceleracin constante de encima de la supercie lunar deben los astronautas arran-20 m/s2 bajo estas condiciones, qu tan rpido encar los retropropulsores para asegurar un contacto suave?km/h viajaba el vehculo al momento en que se aplica- (Como en el ejemplo 2, ignorar el campo gravitacional deron los frenos?la Luna). 34. 1.3 Isoclinas y curvas solucin1943. El viento desde el Sol, de Arthur Clark (1963), describe a 44. El conductor de un auto involucrado en un accidente sos-Diana, un vehculo espacial impulsado por el viento solar. tena que iba solamente a 25 mph. Cuando la polica pro-Su vela aluminizada le proporciona una aceleracin cons- b su vehculo y aplic los frenos del automvil a 25 mph,tante de 0.001g 0.0098 m/s2. Supngase que este ve-ste patin slo 45 ft antes de detenerse. Pero las marcashculo espacial inicia su movimiento partiendo del reposodel patinado medidas en la escena del accidente eran deen el tiempo t 0, y simultneamente dispara un proyec- 210 ft. Asumiendo la misma desaceleracin (constante),til (hacia delante, en lnea recta en la misma direccin)determinar la velocidad a la que viajaba el conductor an-que viaja a un dcimo de la velocidad de la luz c 3 tes del accidente.108 m/s. Cunto le tomar a la nave espacial alcanzar alproyectil y cunto habr viajado hasta entonces?1.3 Isoclinas y curvas solucinConsidere la ecuacin diferencial de la formady= f (x, y)(1)dxdonde la funcin del lado derecho f(x, y) depende tanto de la variable independiente xcomo de la variable dependiente y. Se Podra pensar en integrar ambos lados de (1)con respecto de x, y por tanto escribir y(x) f(x, y(x))dx C. Sin embargo, esteenfoque no conduce a la solucin de la ecuacin diferencial, porque la integral indi-cada involucra la misma funcin y(x) desconocida; por tanto, no puede ser evaluadaexplcitamente. En realidad no existen procedimientos directos para resolver unaecuacin diferencial general explcitamente. De hecho, las soluciones de una ecua-cin diferencial que parece tan simple como y x2 y2 no pueden expresarse entrminos de las funciones elementales ordinarias estudiadas en los libros de texto dey clculo. Sin embargo, los mtodos grcos y numricos que se presentan en estaseccin y en secciones posteriores pueden usarse para obtener soluciones aproximadasde ecuaciones diferenciales que, en la mayora de los casos, son ms que sucientes. (x1, y1)Campos de isoclinas y soluciones grcasx Existe un camino geomtrico sencillo para obtener las soluciones de una ecuacin(x2, y2)diferencial y f(x, y) dada. En cada punto (x, y) del plano x, y, el valor de f(x, y) (x3, y3)determina una pendiente m=f(x, y). Una solucin de una ecuacin diferencial essimplemente una funcin derivable cuya grca y y(x) tiene su pendiente correc-ta en cada punto (x, y(x)) a travs del cual pasa esto es, y(x) f(x, y(x)). Por lotanto, una curva solucin de la ecuacin diferencial y f(x, y) la grca de lasolucin de la ecuacin es simplemente una curva en el plano x, y cuya lnea tan-FIGURA 1.3.1. Curva solucingente en cada punto (x, y) tiene pendiente m=f(x, y). Por ejemplo, la gura 1.3.1para la ecuacin diferencialmuestra una curva solucin de la ecuacin diferencial y x y junto con su lneay x y junto con las lneas tangente en tres puntos tpicos.tangentes con Esto, desde el punto de vista geomtrico, sugiere un mtodo grfico para ob- pendiente m1 x1 y1 en eltener soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial y f(x, y). A travs de punto (x1, y1); pendiente m2 x2 y2 en elcada grupo representativo de puntos (x, y) en el plano se obtiene un segmento lineal punto (x2, y2);corto que tiene una pendiente propia m=f(x, y). Todos estos segmentos lineales pendiente m3 x3 y3 en el constituyen un campo de pendientes (o un campo direccional) comnmente lla- punto (x3, y3).mados campos de isoclinas de la ecuacin y f(x, y).Ejemplo 1 Las guras 1.3.2(a)-(d) muestran las isoclinas y las curvas solucin de la ecuacindiferencialdy= ky(2)dxcon valores de k 2, 0.5, 1 y 3 de este parmetro en la ecuacin (2). Obsr-vese que cada isoclina nos proporciona una importante informacin cualitativa 35. 20 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden4433221100y y1 12 23344 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 10 1 2 3 4 xxFIGURA 1.3.2(a) Campos de FIGURA 1.3.2(b) Campos deisoclinas y curvas solucin paraisoclinas y curvas solucin paray 2y.y (0.5)y.4433221100y y1 12 23 34 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 xxFIGURA 1.3.2(c) Campos deFIGURA 1.3.2(d) Campos deisoclinas y curvas solucin para isoclinas y curvas solucin paray y. y 3y.sobre el conjunto de todas las soluciones de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, lasguras 1.3.2(a) y (b) sugieren que cada solucin y(x) tiende a q cuando x qsi k 0, mientras que en las guras 1.3.2(c) y (d) sugieren que y(x) 0 cuando x q si k 0. Ms an, aunque el signo de k determina la direccin de incremento odecremento de y(x), su valor absoluto k determina la razn de cambio de y(x). Todoesto puede apreciarse en el campo de isoclinas como el de la gura 1.3.2 sin conocerque la solucin general de la ecuacin (2) est dada explcitamente por y(x) Cekx.Un campo de isoclinas sugiere visualmente la forma de las curvas solucin dela ecuacin diferencial. A travs de cada punto, una curva solucin debe tender enalguna direccin de tal manera que su lnea tangente sea paralela cercanamente alentorno de segmentos lineales del campo de isoclinas. Comenzando en cualquierpunto inicial (a, b), puede intentar trazarse a mano una curva solucin aproximadaque vaya trazando su camino a travs del campo de isoclinas siguiendo los segmen-tos de lnea visibles tan cerradamente como sea posible. Ejemplo 2Construir un campo de isoclinas para la ecuacin diferencial y x y, y utilizarlopara bosquejar una curva solucin aproximada que pase a travs del punto (4, 4). Solucin La gura 1.3.3 muestra un conjunto de pendientes para una ecuacin dada. La pen-diente numrica m x y aparece en la interseccin del rengln horizontal x y lacolumna vertical y de la tabla. Si se inspecciona el patrn de las diagonales desdela parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha de la gura, se puede apreciarque fue fcil y rpidamente construida. (Por supuesto, una funcin f(x, y) ms compli-cada en el lado derecho de la ecuacin diferencial necesitar clculos ms complejos. 36. 1.3 Isoclinas y curvas solucin21xy 4 32 101 2 344 0 12 3 4 567 83 101 2 3 456 72 21 0 1 2 345 61 32 10 1 234 5 0 43 210 123 4 1 54 321012 3 2 65 4321 01 2 3 76 5432 1 0 1 4 87 6543 2 10FIGURA 1.3.3. Valores de la pendiente y x y para 4 F x, y F 4.5 5 (4, 4)43210 y 0 y 1 2 3 4 5 5 5 05 5 05 xx FIGURA 1.3.5. Curva solucin FIGURA 1.3.4. Campo de isoclinasque pasa a travs de (4, 4). para y x y correspondientes a la tabla de pendientes de la gura 1.3.3. La gura 1.3.4 muestra el campo de isoclinas correspondiente, y la gura 1.3.5, la curva solucin aproximada trazada para que pase a travs del punto (4, 4). De aqu se concluye que este campo de isoclinas estar tan cerca como sea posible. En cada punto se observa que la curva tiende en la direccin indicada por los segmentos de lnea del entorno del campo de isoclinas.Aunque el programa en una hoja de clculo (por ejemplo) permite construir rpidamente una tabla de pendientes como la de la figura 1.3.3, el graficar a mano un nmero suficiente de segmentos de pendientes como en la figura 1.3.4 puede resultar tedioso. Sin embargo, la mayora de los sistemas de lgebra por computadora cuenta4con instrucciones para una rpida construccin del campo de isoclinas con tantos3segmentos de lnea como se requieran; estos comandos se ilustran en el material de2aplicacin para esta seccin. Cuantas ms lneas de segmentos se construyan, se1podrn visualizar y trazar curvas solucin ms precisas. La figura 1.3.6 muestra un0campo fino de isoclinas para la ecuacin diferencial y x y del ejemplo 2,y1 junto con las curvas solucin trazadas a travs de este campo.2Si se observa detalladamente la figura 1.3.6, se puede sealar una curva solu-3 cin que parece ser una lnea recta! De hecho, puede verificarse que la funcin4 lineal y x 1 es una solucin de la ecuacin y x y, y se observa que otras 4 3 2 1 0 1 2 3 4 curvas solucin tienden asintticamente hacia esa lnea recta en la medida en que x x q. Esta inferencia ilustra el hecho de que un campo de isoclinas puede suge-Figura 1.3.6. Isoclina y curvasrir informacin tangible acerca de soluciones, y no todo es evidente desde la ecua-solucin tpicas y x y. cin diferencial misma. Se puede, por el trazo de la curva solucin apropiada en 37. 22 Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenesta gura, inferir que y(3)2 para la solucin y(x) del problema de valor inicialy x y, y(4) 4?Aplicaciones de los campos de isoclinasLos siguientes dos ejemplos ilustran el uso de los campos de isoclinas para recuperarinformacin en situaciones fsicas que se modelan por medio de ecuaciones diferencia-les. El ejemplo 3 se basa en el hecho de que una pelota de beisbol se mueve en el airea una velocidad moderada v (aproximadamente menor de 300 ft/s) y encuentra ciertaresistencia por el aire, la cual es proporcional aproximadamente a v. Si la pelota selanza en lnea recta hacia abajo desde la parte superior de un edicio alto o desde unhelicptero suspendido, entonces experimenta tanto la aceleracin de la gravedad ha-cia abajo como la aceleracin hacia arriba de la resistencia del aire. Si el eje y es ladireccin hacia abajo, entonces la velocidad de la bola v dy/dt y su aceleracingravitacional g 32 ft/s2 son ambas positivas, mientras que la aceleracin debida a laresistencia del aire es negativa. En consecuencia, la aceleracin total es de la forma dv= g kv.(3) dtUn valor tpico de la resistencia del aire proporcionalmente constante podra serk=0.16. Ejemplo 3Supngase que se lanza una pelota de beisbol en lnea recta hacia abajo desde unhelicptero suspendido a una altitud de 3000 ft. Nos preguntamos si alguien abajopudiera cacharla. Para estimar la velocidad con la cual la bola llegar a tierra, puedeusarse un sistema de lgebra en una computadora porttil para construir un campode isoclinas de la ecuacin diferencial dv400 = 32 0.16v.(4) dt300El resultado se muestra en la figura 1.3.7 junto con varias curvas solucin co- 200vrrespondientes a diferentes valores de la velocidad inicial v(0) con las cuales se podra 100lanzar la pelota hacia abajo. Ntese que todas estas curvas solucin tienden asintti- 0camente a la lnea horizontal v 200. Esto implica que como quiera que sea 05 10 t 15 20 25 lanzada la bola de beisbol se acercar a la velocidad lmite de v 200 ft/s en lugarde acelerar indefinidamente (como sera en ausencia de la resistencia del aire). Con-FIGURA 1.3.7. Campo devirtiendo el resultado a millas por hora, 60 mi/h 88 ft/s, resultaisoclina y curvas solucin parav 32 0.16v. ft 60 mi/h mi v = 200 136.36. s 88 ft/shTal vez un catcher acostumbrado a bolas rpidas de 100 mi/h podra tener algunaoportunidad de capturar esta pelota. Comentario. Si la velocidad inicial de la bola es de v(0) 200, entonces,por la ecuacin (4), tenemos que v(0) 32 (0.16)(200) 0, de tal forma quela bola no experimenta aceleracin inicial. Por tanto, su velocidad permanece sincambio, y entonces v(t) K 200 es una solucin de equilibrio constante de la ecua-cin diferencial. Si la velocidad inicial es mayor a 200, entonces la aceleracin ini-cial dada por la ecuacin (4) es negativa; as la bola baja lentamente al caer. Pero sila velocidad inicial es menor a 200, entonces la aceleracin inicial dada por (4) espositiva, de tal manera que la velocidad de la bola aumenta conforme va cayendo.Por eso parece bastante razonable que, debido a la resistencia del aire, la pelota debeisbol se acercar a la velocidad lmite de 200 ft/s sin importar la velocidad ini-cial con la que comience. Puede verificarse que, en ausencia de la resistencia delaire, esta misma bola golpeara en el piso a ms de 300 mi/h. 38. 1.3 Isoclinas y curvas solucin23En la seccin 2.1 se presentar con detalle la ecuacin diferencial logstica dP= k P(M P)(5) dt que se utiliza frecuentemente para modelar una poblacin P(t) donde sus habitantes, en un medio ambiente determinado, cuentan con una cuota limitada M. Esto signi- ca que M es la poblacin mxima que ese medio ambiente puede sostener a la larga (por ejemplo, en trminos del alimento mximo disponible). Ejemplo 4 Si tomamos k 0.0004 y M 150, entonces la ecuacin logstica en (5) toma la forma. dP = 0.0004P(150 P) = 0.06P 0.0004P 2 . (6) dt El trmino positivo 0.06P en el lado derecho de (6) corresponde al crecimiento natu-300ral a una tasa anual de 6% (con tiempo t medido en aos). El trmino negativo2500.0004P2 representa la inhibicin del crecimiento debido a una limitacin de los200recursos en ese medio ambiente. La figura 1.3.8 muestra un campo de isoclinas para la ecuacin (6) junto conP150100varias curvas solucin correspondientes a los diferentes valores posibles de la po-50 blacin inicial P(0). Ntese que todas estas curvas solucin que aparecen tienen 00 25 50 75 100 como asntota a la lnea horizontal P 150. Esto implica que para cualquiertpoblacin inicial la poblacin P(t) se acercar a la poblacin lmite conformeFIGURA 1.3.8. Campo de P 150 t q.isoclina y curvas solucinP 0.06P 0.0004P2. Comentario. Si la poblacin inicial es P(0) 150, entonces la ecuacin (6) resultaP (0) = 0.0004(150)(150 150) = 0, as la poblacin no experimenta cambio inicial (instantneo). Por tanto, permanece inalterable, y en consecuencia P(t) 150 es una solucin de equilibrio constante de la ecuacin diferencial. Si la poblacin inicial es mayor de 150, entonces la razn de cambio inicial dada por (6) es negativa, as la poblacin comienza a disminuir in- mediatamente. Pero si la poblacin inicial es menor de 150, entonces la razn de cambio inicial dada por (6) es positiva, de tal manera que la poblacin comienza a crecer inmediatamente. Por eso parece bastante razonable concluir que la poblacin se aproxima a un valor acotado de 150 cualquiera que sea la cifra inicial (positiva). Existencia y unicidad de soluciones Antes de invertir tiempo tratando de resolver una ecuacin diferencial dada, es con- veniente saber qu soluciones existen realmente. Tambin podemos querer saber si existe slo una solucin de la ecuacin que satisface la condicin inicial dada esto es, cundo sus soluciones son nicas. Ejemplo 5 (a) [No cumple existencia]. El problema de valor inicial 1 y = , y(0) = 0 (7) x no tiene solucin, porque sta no existe para y(x) (1/x)dx ln x C en la ecuacin diferencial en el punto x 0. Esto se observa grficamente en la figu- ra 1.3.9, la cual muestra un campo direccional y algunas curvas solucin tpicas para la y 1/x. Se aprecia que las isoclinas indicadas obligan a todas las curvas solu- cin cercanas al eje y las hace tender hacia abajo, de tal manera que ninguna pasa a travs del punto (0, 0). 39. 24Captulo 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden 2 1(0, 0)y1(x) = x2 0 y yy2(x) = 0 0(0, 0) 210 101x x FIGURA 1.3.9. Campo FIGURA 1.3.10. Campo direccional y curvas solucin paradireccional y dos curvas solucin la ecuacin y 1/x. diferentes para el problema de valor inicial y = 2 y, y(0) = 0. (b) [No cumple unicidad]. Por otro lado, se puede fcilmente vericar que el proble- ma de valor inicial y = 2 y, y(0) = 0(8) tiene dos soluciones diferentes y1(x) x2 y y2(x) K 0 (vase problema 27). As, la gura 1.3.10 muestra un campo direccional y dos curvas solucin diferentes para el problema de valor inicial en (8). Se observa que la curva y1(x) x2 traza su camino a travs del campo direccional indicado, mientras que la ecuacin diferencial y = 2 y especica la pendiente y 0 a lo largo del eje x, y2(x) 0. El ejemplo 5 ilustra ese hecho. En consecuencia, antes de que podamos hablar de la solucin de un problema de valor inicial, es necesario conocer si tiene una y solo una solucin. Preguntas de existencia y unicidad de soluciones tambin apare- cen en el proceso del modelado matemtico. Supngase que se estudia un sistema fsico cuyo comportamiento est determinado completamente por ciertas condicio- nes iniciales, pero nuestro modelo matemtico propuesto involucra una ecuacin diferencial que no tiene una solucin nica que satisfaga esas condiciones. De aqu surge de inmediato la pregunta de cul o qu modelo matemtico representa adecua- damente dicho sistema fsico. El teorema de abajo implica que el problema de valor inicial y f(x, y), y(a) b tiene una y solamente una solucin definida cerca del punto x a en el eje x, siempre que tanto la funcin f como su derivada parcial f/y sean continuas en el entorno del punto (a, b) en el plano xy. Los mtodos para demostrar los teoremas de existencia y unicidad se presentan en el Apndice.y TEOREMA 1 Existencia y unicidad de solucionesRSupngase que tanto la funcin f(x, y) y su derivada parcial Dy f(x, y) son conti- (a, b)nuas en algn rectngulo R en el plano xy que contiene el punto (a, b) en su inte-b rior. Entonces, para algn intervalo abierto I conteniendo el punto a, el problemay = y(x)de valor inicialdyI = f (x, y), y(a) = b (9)a x dxFIGURA 1.3.11.Rectngulo R eintervalo de x en I del teorema 1, ytiene una y slo una sol