Ecuaciones Diferenciales Teoria y Aplicaciones_grupo

8/13/2019 Ecuaciones Diferenciales Teoria y Aplicaciones_grupo

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La ecuacin diferencial es aquella ecuacin que

contiene las derivadas o diferenciales de una o

ms variables dependientes con respecto a una oms variables independientes.
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El orden de una ecuacin diferencial (ordinaria o en

derivadas parciales) es la derivada ms alta contenida

en ella.

Ejemplo:


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El grado de una ecuacin diferencial es la potencia

a la que esta elevada la derivada ms alta,

siempre y cuando una ecuacin diferencial est

dada forma polinomial.


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La ecuacin diferencial contiene derivadas

Ordinarias de una o ms variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente.

Tipo

La ecuacin diferencial contiene derivadas

Parciales parciales de una o ms variables dependientes.

Primer orden F( x, y, y )= 0

Segundo orden F ( x, y , y , y )=0

Orden Tercer orden F( x, y, y , y , y )=0

Orden n F(x, y , y ,, y(n))=0


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a) La variable dependiente y y todas

sus derivadas son de 1er. grado.

Lineales b) Cada coeficiente de y y sus derivadas

depende de solamente de la variable

independiente x (puede ser constante).

Grado

No lineales Las que no cumplen las propiedades

anteriores.


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La solucin en una ecuacin diferencial es una

funcin que no tiene derivadas y que satisface a

dicha funcin, esto quiere decir que al sustituir las

funciones y sus derivadas en la ecuacin

diferencial resulta un identidad.


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Otra manera de comprender sobre qu es lasolucin en una ecuacin diferencial ? es lasiguiente:

Cuando una funcin , definida en algnintervalo I, se sustituye en una ecuacindiferencial y transforma esa ecuacin en unaidentidad, se dice que es una solucin en elintervalo.


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La solucin general en una ecuacin diferencial es

la funcin que contiene una o ms constantes

arbitrarias (obtenidas de las sucesivas

integraciones).


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La funcin x + y2 = c es la solucin de la ecuacindiferencial:

Por que derivndola implcitamente tenemos:

1 + 2y ,o expresado en otra forma: 2yy = -1

Sustituyendo (y) y (y ) obtenemos una identidad

2

donde


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La solucin particular de una ecuacin diferencial

es la funcin cuyas constantes arbitrarias toman

un valor especfico.


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La funcin es la solucin particular de la

ecuacin diferencial , por que derivando la

solucin y sustituyndola en la ecuacin dada,

obtenemos:

Por lo tanto 0=0


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Tipo Orden Grado Lineal

Ordinaria 1 1 s

Parcial 1 1 s

X2y+xy+y = 0 Ordinaria 2 1 s

yy+x3y = x Ordinaria 2 1 No(Porque el coeficiente

dey no depende dex exclusivamente).

y+ y = x/y Ordinaria 1 1 No

sen y+ y=0 Ordinaria 1 ? No

La interpretacin de una ecuacin diferencial es la

descripcin matemtica de la misma para ello se mostrara

segn su orden, tipo y grado:


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Las trayectorias ortogonales son las curvas que se

intersectan formando un ngulo recto.

Para obtener las trayectorias ortogonales de una

ecuacin diferencial, se toma: m1= , como

m2= -

m2= de la trayectoria ortogonal a la

primera ecuacin.


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Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos

fundamentales:

Existe una solucin al problema ?, si la hay es nica?

Para un problema de valor inicial , en una ecuacin, se pregunta losiguiente:

La ecuacin diferencial tiene

Existencia soluciones ?

Alguna curvas solucin pasa por el punto (x0, y0)?

Cundo podemos estar seguros que hay

Unicidad precisamente una curva solucin que pasa por el

punto (x0, y0)?


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Sistema

Fsico

Sistema (Fsico)

a modelarFunc in for zante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecnico (sistema de suspensin en los autos)

-Sistema Hidrulico (llenado de un tanque)

-Sistema trmico (temperatura en un horno)

-Sistema Elctrico (velocidad de motores)

-Sistema Fisiolgico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )

-Sistema Econmico ( inflacin)

-Sistema de produccin (produccin entre mquinas)

Relacin causal


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Leyes fsicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,

rigen la relacin causal entre las variables de inters.

Pruebas experimentales (anlisis de la respuesta transitoria

del sistema ante una funcin forzante conocida).

Por analogas de comportamientos entre sistemas que guardan

un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

Aplicacin de algoritmos y recursos computacionales paraprocesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.


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DESCOMPOSICION(DECRECIMIENTO) YCRECIMIENTO

I.MODELOS DEMOGRFICOS ,POBLACIN DINMICA (crecimiento)

El modelo matemtico mas fcil para

gobernar la dinmica de la poblacinde cierta especie es el modeloexponencial, es decir, el ndice delcambio de la poblacin es proporcional

a la poblacin existente, o en otraspalabras si P(t) mide la poblacin ,tenemos que:


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Donde k es constante. Esta ecuacin esuna ecuacin lineal, la cual tiene como

solucin:

.2

De donde P0 es la poblacin inicial, esdecir P (0)=P0 . De esta ecuacinconcluimos que si k > 0 , la poblacincrece y que continua amplindose al

infinito, es decir :


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Ejemplo 1:

Solucin:

Sea P0la cantidad inicial de la poblacin .Si la poblacin se duplica

en un ao entonces:

2P0= P

0ek

Luego, k = l n 2

Y la ecuacin 2 se convierte en P(t) = P0 e(ln 2)t

Y la poblacin se triplica cuando P(t) = 3 P0

luego 3 = e(ln 2) t

Y despejando t obtendremos la solucin.


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Para determinar Q(t) necesitamos encontrar laconstante r . Esto puede Hacerse usando lavida media del material x o semivida. La

semivida del material es el tiempo necesariopara desintegrar la mitad del material x. As,tenemos

Q(t) = Q0

lo cual da rT = ln 2 . Por lo tanto, si conocemos T,podemos encontrar r, y viceversa. Muchos textosde la qumica contienen el periodo de algunosmateriales radiactivos importantes. Por ejemplo, elperiodo del carbono-14 es 5568 30 aos. Por lo

tanto, la constante r asociada al carbono -14 es r=1,244x10-4.


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Ejemplo 1:

Solucin:Puesto que el periodo se da en das mediremos el

tiempo en das. Sea Q(t) la cantidad presente enel tiempo t . Sabemos que :

Donde r es una constante. Utilizaremos lasemivida T para determinar r. De hecho, tenemos:

luego

Y asig


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Horno

Flujo de

Combustible:

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relacin causal


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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/ejemplos/ejemplos.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/ejemplos/ejemplos.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/ejemplos/ejemplos.htm


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Obtenemos la relacin lineal siguiente.

ln(T-Ta)=-kt +ln(T0-Ta)

DespejamosT :


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En las pginas anteriores, hemosaplicado la ley del enfriamiento deNewton a un cuerpo caliente que

pierde calor y como consecuenciadisminuye su temperatura. Laatmsfera que le rodea gana el calor

perdido por el cuerpo, pero noincrementa su temperatura ya queconsideramos que tiene un tamao

infinito.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm


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En esta pgina, vamos a estudiar la

situacin en la que un cuerpo calientese coloca en un recinto de tamao finitoaislado trmicamente, tal como semuestra en la figura.


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Descripcin El cuerpo caliente tiene una masa m1y su

calor especfico es c1, por tanto, sucapacidad calorficaes C1=m1c1. En elinstante tsu temperatura es T1

El recinto tiene una masa m2y su calor

especfico es c2, por tanto, su capacidadcalorfica es C2=m2c2. En el instante tsutemperatura es T2


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Como el recinto est trmicamente aislado, en elmismo intervalo de tiempo gana una cantidad decalor dQy su temperatura aumenta

dQ=C2dT2

El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado porel recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, latemperatura del recinto aumenta

-C1dT1=C2dT2 Supondremos que la prdida de calor del cuerpo

calienteobedece a la ley del enfriamiento deNewton

Donde a es el coeficiente de intercambio de calor y Ses el

rea del cuerpo.
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La ecuacin que nos da la variacin dela temperatura T1del cuerpo con eltiempo es

Para eliminar la variable T2

, derivamoscon respecto del tiempo


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La solucin de la ecuacin diferencial es

Las constantesA1y B1se determinan apartir de las condiciones iniciales, latemperatura inicial y su derivada. En el

instante t=0, la temperatura del cuerpoes T01

A1+B1=T01


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Su derivada en el instante t=0 vale

La solucin de la ecuacin diferencial es

La temperatura T2del recinto en funcindel tiempo se calcula del siguiente modo


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Las constantesA2y B2se determinan apartir de las condiciones iniciales, latemperatura inicial y su derivada. En elinstante t=0, la temperatura del cuerpoes T02

A2+B2=T02

Su derivada en el instante t=0 vale

La temperatura del recinto en funcin deltiempo es

En la figura se muestra la evolucin de


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En la figura, se muestra la evolucin detemperaturas del cuerpo T1y del recinto T2en funcin del tiempo t.

Cuando t, el cuerpo y el recintoalcanzan la misma temperatura que es lamedia ponderada.

L t t T d l T d l


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Las temperaturas T1del cuerpo y T2delrecinto se expresan en funcin del tiempot.

Cuando la capacidad calorfica del recintoC2 es muy grande (C1/C2) 0

Que es la expresin de la ley delenfriamiento de Newton
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm


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Al sacar un biscuit del horno, sutemperatura es de 300 F. Tres minutosdespus, su temperatura es de 200 F.

Cunto demorar en enfriarse hastauna temperatura ambiente de 70 F?

2da. Ley de Newton


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Despejamos T

Datos para conocer K=constante=

t=3 min T=100=dif de temperatura Ta=70 F=Temp. Ambiente T0=300=Temp. en un tiempo t=0


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FRMULA

sustituimos k para encontrar t


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La segunda ley de Newton dice: la suma de lasfuerzas que actan en un cuerpo en cada instantees igual al producto de la masa m por la

aceleracin


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R

Cvi(t): fuente

de voltaje

i(t):

vo(t)

vi(t): fuente de voltaje

vo(t): voltaje de salida

C:Capacitor

R: Resistencia

i

i

o o

oo

v (t)v (t) v (t)

v (

ddt

d

dtv (t

)t) )

tv (

R.C


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Se denomina circuito elctrico a unaserie de elementos o componenteselctricos o electrnicos, tales como

resistencias,inductancias,condensadores, fuentes, y/o dispositivoselectrnicos semiconductores,conectados elctricamente entre s conel propsito de generar, transportar omodificar seales electrnicas oelctricas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_(el%C3%A9ctrico)http://es.wikipedia.org/wiki/Fuente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Componente_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Componente_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Componente_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Componente_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuente_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_(el%C3%A9ctrico)http://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica


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Para el circuito simple RL que consiste enuna resistencia R, una inductancia L yuna fuerza electromotriz E, la ecuacindiferencial lineal que rige la cantidad decorriente I est dada por:


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En cintica de las reacciones en lo que se est


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En cintica de las reacciones, en lo que se estinteresado es en la evolucin de stas con eltranscurso del tiempo. Como las velocidades son

derivadas con respecto al tiempo, no es deextraar que la cintica de las reacciones semodelen mediante ecuaciones diferenciales. Unejemplo de tales reacciones son las reaccionesbimoleculares.Sea la reaccin bimolecular

elemental

en la que dos sustancias (reactantes) se unen paraformar una tercera (producto). Hallar unaexpresin para las distintas concentraciones encualquier unidad de tiempo.


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Para las reacciones elementales existe un principio bsico,l l d i d l l id d d i


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la ley de accin de masas: la velocidad de una reaccinelemental es proporcional al producto de lasconcentraciones de los reactantes:

velocidad = k[A][B]

La ley de accin de masas est basada en la suposicin deque reacciones elementales ocurren cuando las molculasde los reactantes estn en contacto simultneamente. Portanto, a mayor concentracin, mayor velocidad.

El coeficiente k es la constante de la reaccin y se tomasiempre positiva.

Por ltimo la ley de conservacin: la suma de lasconcentraciones de los productos y de cualquiera de losreactantes permanece constante a lo largo de la reaccin.

[B] + [P] = B0 + P0

[A] + [P] =A0 + P0;

A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno delos componentes.

3 Pl t i t d l i


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3. Planteamiento de la ecuacin. Igualando velocidades:

Por ltimo, aplicando la ley deconservacin, se pueden eliminarvariables para obtener la ecuacin de[A]:

D l i f bti l i


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De la misma forma se obtienen las ecuacionesque proporcionan las dems concentraciones:

* Condiciones adicionales En el proceso de modelado, con bastante

frecuencia, aparecen condiciones adicionalesque se deben aadir al problema que seplantea. En el caso de las reacciones del

ejemplo anterior, las concentraciones inicialesde los elementos son datos del problema quese consideran en la formulacin de ste.


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AHORA VEAMOS UN EJEMPLO:

Supongamos que una solucin que

inicialmente contiene 2 moles / litro de Yy 1 mol / litro de Zse hace reaccionar.Find an expression for the amount of Xattime t. Hallar una expresin para lacantidad de Xen el tiempo t

Solucin Tenemos que resolver el problema de

valor inicial

(L t t d 2 1 i d l


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(Las constantes de 2 y 1 provienen de lasconcentraciones iniciales.) Separacinde variables obtenemos

Usando la tcnica descritaanteriormente, que integramos amboslados con respecto a t.

(Si A l i t l d l i i d


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(Sin Arce, la integral de la izquierda sepueden evaluar usando fraccionesparciales.) La integral de la derecha esfcil y el uso de Arce para la integral dela izquierda nos

> int(1/((2-x)*(1-x)),x); > Int (1 / ((2-x) * (1-

x)), x);

As, la solucin general, en forma

implcita, es

Ahora obtener una solucin explcita para el


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Ahora obtener una solucin explcita para ely el uso de la condicin inicial paradeterminar c.

> a1 := solve(ln(2-x)-ln(1-x) = k*t+c,x);

> a2 := solve(subs(t=0,a1)=0,c);

> a3 := simplificar (subs (c = a2, a1));

As que la solucin explcita al problema devalor inicial es


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Consideremos un tanque que cont iene inic ia lmente

galones de soluc in sal ina

la cant idad d e sal (en l ibras) en el tanque en

un momento t

b =volum en con tenido en el recip iente que es vertido enel tanque

)1(......dt

dh(t)AAv(t)(t)(t)(t) qqq

acum0i

(2).....Rh

h(t)(t)q

0

o 0i

H(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.

Rh

Caudal de

entradaCaudal de

salida

Caudal

Acumulado=


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qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:rea del tanque

p(t): seal que regula

el caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidrulica

TanqueCaudal de

entrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relacin causal


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qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:rea del tanque

p(t): seal que regula el caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidrulica

dc(t) + c(t) = .dt

Ku(t)

K:Ganancia en estado estable

:Constante de tiempo

qi(t)

0(t)

dq0(t)

q

dt

d

dtqi(t)+ q0(t) =

R.A q0(t)


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Separando variables:

Integrando

De donde

Por tanto: es la so lucin de la ecuacin (1)

Para t = 0, a = Q = 20 (cantidad de sal al inicio y al f inal) se tiene:

, de modo q ue la cant idad de sal en el tanque en un momento t esta dado por:


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