Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias.

Profesor: Ortega Gutirrez Luis

Antonio.

Materia: Mtodos Numricos.

Alumnos: lvarez Pea Vianey.

Morales Aguilar Jeh Uziel.

Pea Quintero Dayetsi.

Snchez Honorato Csar.

Grupo: 4S2.

Fecha: 26 de noviembre del 2014

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ndice Contenido Introduccin. ....................................................................................................................................... 4

Resea histrica .............................................................................................................................. 4

Definicin genrica de ecuacin diferencial Ordinaria. ...................................................................... 5

Definicin de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. ...................................................... 5

Ejemplo: De Ecuaciones y Derivadas Parciales. ................................................................................. 6

Ecuaciones diferenciales ordinarias. ............................................................................................... 6

Ejemplo de Ecuacin Diferencial. ................................................................................................ 6

Definicin de ecuacin diferencial ordinaria de orden superior. ........................................................ 7

Ejemplo de Una Ecuacin Diferencial Ordinaria. ........................................................................... 7

Orden de una ecuacin diferencial. ................................................................................................. 7

Grado de una ecuacin diferencial. ..................................................................................................... 8

Ejemplo De Un Grado De Un Ecuacin Diferencial. .................................................................... 8

Resolucin de una ecuacin diferencial. ......................................................................................... 8

Solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria de orden n. ............................................... 9

Ejemplo de Una Ecuacin Diferencial Ordinaria Orden n. ........................................................... 9

Solucin General en forma explcita de Una Parbola. ..................................................................... 10

Reflexiones previas. .......................................................................................................................... 11

Ejemplo de Reflexiones Previas. ................................................................................................... 11

Existencia de una ecuacin diferencial que admita como soluciones una familia de curvas. ........... 12

Eliminando Constantes:..................................................................................................................... 13

Unicidad de las soluciones. ........................................................................................................... 13

Se presenta un ejemplo para motivar al lector: ............................................................................. 13

La Funcin Nula ................................................................................................................................ 14

Mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de forma normal.

....................................................................................................................................................... 14

Ecuaciones a variables separables. ................................................................................................ 14

Ejemplo de Ecuaciones Variables Separables. .................................................................................. 15

Desarrollo del mtodo. .................................................................................................................. 15

Integrando. ........................................................................................................................................ 16

3

Ejemplo Algebraicamente. ............................................................................................................ 16

Ecuaciones reducibles a variables separables. .................................................................................. 17

Ecuaciones homogneas. ................................................................................................................... 18

Ejemplo de homognea. ................................................................................................................... 20

Ecuaciones reducibles a homogneas................................................................................................ 21

Ecuacin diferencial lineal de 1 orden. ............................................................................................ 24

En efecto,....................................................................................................................................... 24

Mtodo de Bernoulli para la resolucin de la ecuacin diferencial ordinaria lineal de 1 orden. ..... 25

Mtodo del factor integrante para la resolucin de la ecuacin diferencial lineal de 1 orden

completa. ........................................................................................................................................... 26

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden reducible a lineal: .................................................. 27

Ecuacin de Bernoulli. ...................................................................................................................... 27

Ecuacin diferencial exacta. .............................................................................................................. 28

Ecuaciones reducibles a exactas. ....................................................................................................... 29

Mtodo de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de forma no normal.

........................................................................................................................................................... 30

Conclusin......................................................................................................................................... 31

Resumen. ........................................................................................................................................... 32

Bibliografa. ...................................................................................................................................... 33

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Introduccin. Surgimiento:

Las ecuaciones diferenciales surgen en forma espontnea cuando se quieren resolver

problemas fsicos, geomtricos, astronmicos, qumicos,

etc. Tambin en ciencias biolgicas, econmicas y sociales. Permiten formular planteos

matemticos que primero idealizan y luego clarifican los problemas que se desean resolver.

Ejemplo

Escribir la ecuacin de la curva C tal que en cada punto P(x,y) C la pendiente sea igual al

doble de la suma de las coordenadas de dicho punto.

Sea y = f (x) la funcin que tiene como grfica a la curva C. Luego y= f (x) representa la

pendiente de la curva C en el punto P(x,y).

Por lo tanto la condicin exigida es y= 2(x + y). Con este elemental planteo hemos

formulado una ecuacin diferencial.

Desde este simple ejemplo hasta cuestiones de importante complejidad, se aplican las

ecuaciones diferenciales en diferentes reas.

Resea histrica Las primeras y ms sencillas ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII por

Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometra y Mecnica. Estos

primeros descubrimientos hicieron creer que las soluciones de todas las ecuaciones

diferenciales originadas en problemas geomtricos y fsicos podran expresarse por medio de

las funciones elementales del Clculo. Por ello gran parte de los primeros esfuerzos fueron

orientados al desarrollo de tcnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por

medio de recursos sencillos aplicados, tan slo un nmero finito de veces, a las funciones

ordinarias del Clculo. Durante el siglo XVIII, fueron desarrollados procedimientos ms

sistemticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace.

En 1820, Cauchy obtuvo el primer teorema de existencia para las ecuaciones diferenciales,

pero en 1841, Jos Liouville, demostr que tal condicin no siempre era posible con medios

elementales.

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Definicin genrica de ecuacin diferencial Ordinaria. Genricamente, se llama ecuacin diferencial Ordinaria a una ecuacin que vincula un

conjunto de variables independientes, un conjunto de funciones en dichas variables

independientes y un conjunto de derivadas (ordinarias o parciales) de estas funciones.

Ms precisamente, una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas

totales o parciales de una funcin desconocida y:

i) si aparece una sola variable independiente, las derivadas son derivadas ordinarias y la

ecuacin se denomina ecuacin diferencial ordinaria.

ii) si aparecen dos o ms variables independientes, las derivadas son derivadas parciales y la

ecuacin se llama ecuacin en derivadas parciales.

Luego, en los casos particulares, si la funcin desconocida es:

i) una funcin escalar (o funcin real de variable real, f: A R / A R X A y = f(x) R),La ecuacin diferencial ser ordinaria y las derivadas que intervienen son ordinarias; un campo escalar

NOTA: Se da por supuesta la existencia de las derivadas, es decir, no se hace referencia a las

condiciones que refieren a la existencia de las mismas.

Definicin de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. (Se la presenta slo a modo de introduccin a futuros estudios del lector)

Una ecuacin en la que figura como incgnita una funcin u= u( X1 , X2 ,..., x) = de dos o

ms variables y que establece un vnculo entre.

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Ejemplo: De Ecuaciones y Derivadas Parciales. Por lo tanto, las ecuaciones entre derivadas parciales, son aquellas que contienen una o ms

derivadas parciales, por lo que la funcin incgnita tiene que tener, al menos, dos variables

independientes.

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Se utiliza la palabra ordinaria para hacer referencia a las ecuaciones donde slo aparecen

derivadas ordinarias y no derivadas parciales.

Una expresin de la forma f (z, w, w') = 0 donde ZC se llama ecuacin diferencial ordinaria de primer orden.

Ejemplo de Ecuacin Diferencial.

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Definicin de ecuacin diferencial ordinaria de orden superior.

Ejemplo de Una Ecuacin Diferencial Ordinaria.

Orden de una ecuacin diferencial. Ecuacin diferencial ordinaria de orden n es toda ecuacin en la que interviene una derivada de orden n y ninguna derivada de orden superior a (n).

Orden de una ecuacin diferencial es el mayor orden de derivacin que aparece en la misma.

Ejemplo de Ecuacin Diferencial De Orden n

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Grado de una ecuacin diferencial.

Grado de una ecuacin diferencial es el mayor exponente con que aparece la derivada que da

el orden. El grado existe si la ecuacin diferencial puede anotarse como polinomio respecto

de las derivadas.

Ejemplo De Un Grado De Un Ecuacin Diferencial.

Resolucin de una ecuacin diferencial.

9

Solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria de orden n. La solucin puede hallarse a veces en forma explcita o normal, pero en otras ocasiones se la

obtiene en forma implcita.

Puede llegarse a la solucin mediante una o ms integrales que eliminan la o las derivadas.

Cada vez que se integra aparece una constante o parmetro C.

Se llama solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria de orden (n) a una funcin f

tal que sus valores y los de sus derivadas satisfacen la ecuacin diferencial y en cuya

expresin aparecen n constantes arbitrarias independientes (o parmetros). La cantidad de

constantes puede reducirse mediante condiciones iniciales o tambin a travs de condiciones

frontera.

En el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, para cada valor de la

constante C existe una solucin particular de la ecuacin (grficamente una curva plana).

Existe otro tipo de solucin, llamada solucin singular, que no es ni general ni particular. La

solucin de una ecuacin diferencial, que no est contenida en la expresin que define a la

solucin general se llama solucin singular.

Ejemplo de Una Ecuacin Diferencial Ordinaria Orden n.

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Solucin General en forma explcita de Una Parbola.

11

Reflexiones previas. La existencia de soluciones para las ecuaciones diferenciales no ser objeto de tratamiento

en este apunte. Slo y para que el lector pueda valorizar la importancia de este tem

presentaremos algunos ejemplos. Planteada la ecuacin diferencial, el primer objetivo es encontrar una expresin matemtica

que determine perfectamente todas las soluciones de ella. Ello es factible en un importante

nmero de ecuaciones pero tambin existen ecuaciones donde no se puede asegurar la

existencia de las soluciones y otras donde, pese a existir la solucin, no se encuentra una

expresin clara de la misma.

Ejemplo de Reflexiones Previas.

Asimismo y una vez encontrada una relacin matemtica que permita hallar las soluciones

de la ecuacin diferencial, tambin cabe preguntarse si puede haber otras soluciones adems

de las contenidas en esa expresin o, si todas las formas de la misma sern solucin de la

ecuacin planteada.

Luego, para una ecuacin diferencial de primer orden, cuando se puede encontrar una familia

de curvas, que dependen de un parmetro; no se puede afirmar que necesariamente cubrirn

todas las soluciones de la ecuacin.

La afirmacin anterior tambin lleva a cuestionarse si toda familia de curvas planas que

dependen de un parmetro permite hallar una ecuacin diferencial de la cual esta familia de

curvas es solucin. As se llega al siguiente punto.

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Existencia de una ecuacin diferencial que admita como soluciones

una familia de curvas. Dada una familia de curvas, el problema ahora es hallar, una ecuacin diferencial que la

admita como solucin.

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Eliminando Constantes:

Con los ejemplos presentados se intenta mostrar que: dada para una

Familia de curvas planas derivables con continuidad de orden n , en general, es posible

encontrar una ecuacin diferencial de orden n que admita a dicha familia como soluciones

de la ecuacin.

Unicidad de las soluciones. Se presenta un ejemplo para motivar al lector:

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La Funcin Nula Ntese que como tambin la funcin nula ( y = 0) , es solucin de la ecuacin diferencial,

pero no se obtiene a partir de la expresin general, debe agregarse al conjunto solucin.

Adems si se considera la condicin inicial y00 , se encuentra que P(X) = x3 es tambin una solucin al problema con condiciones iniciales planteado (Ms an, se pueden encontrar infinitas soluciones al problema dado). Luego el estudio de la unicidad, en las soluciones de un problema con condiciones iniciales, requiere un detenido anlisis de las hiptesis del problema, para poder asegurar que se cumple dicha propiedad.

Mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden de forma normal. Los siguientes son algunos mtodos, para ecuaciones diferenciales de primer orden de

forma normal (o que pueden alcanzar una expresin de ese tipo, mediante algn cambio de

variable conveniente). Son mecanismos que permiten alcanzar la resolucin de la ecuacin

diferencial a travs de cuadraturas (es decir, por medio de integrales indefinidas).

En todos los mtodos desarrollados en el presente apunte, se dar por supuesto el

cumplimiento de las condiciones de existencia en Df.

Ecuaciones a variables separables.

Sea y' = f (x, y), donde f es una funcin continua dada, tal que puede descomponerse en

producto de dos factores uno dependiente exclusivamente de x y el otro de y , se dice

que es una ecuacin diferencial de variables separables.

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Ejemplo de Ecuaciones Variables Separables.

Desarrollo del mtodo. Las ecuaciones diferenciales de variables separables, deben poder expresarse de la forma:

Donde m y q son funciones escalares continuas.

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Integrando. Y as, integrando, obtenemos la solucin general, de la forma:

Ejemplo Algebraicamente.

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Ecuaciones reducibles a variables separables. Sea la ecuacin yf (ax by), con f continua, a y b constantes no nulas. En principio esta ecuacin no es a variables separables, pero con un conveniente cambio

de variables u ax byse puede aplicar el mtodo mencionado.

18

Ecuaciones homogneas.

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Ejemplo de homognea.

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Ecuaciones reducibles a homogneas.

La ecuacin diferencial:

Pero puede transformarse en una ecuacin de este tipo mediante un cambio de variables

conveniente y si se cumple la condicin.

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Ecuacin diferencial lineal de 1 orden. Se llama ecuacin diferencial lineal de 1 orden a una ecuacin del tipo:

y + p(x) y=r(x) donde p y r son funciones

Escalares conocidas y continuas en un intervalo I.

Si r(x) = 0 x I, la ecuacin lineal suele llamarse incompleta (o lineal homognea) y puede

resolverse separando variables.

En efecto,

La funcin y = 0 tambin es solucin de la ecuacin y est contenida en la expresin general

para C = 0.

Si r(x) 0 , la ecuacin se llama ecuacin lineal completa (o no homognea) y puede

resolverse mediante diversos mtodos.

25

Mtodo de Bernoulli para la resolucin de la ecuacin diferencial

ordinaria lineal de 1 orden.

26

Mtodo del factor integrante para la resolucin de la ecuacin

diferencial lineal de 1 orden completa.

El siguiente mtodo puede aplicarse para resolver algunas ecuaciones diferenciales. Consiste

en multiplicar los dos miembros de la ecuacin diferencial por un factor, no nulo, que haga

posible la integracin.

Para y'+ p(x)y = r(x) cuya resolucin se desarroll en el punto anterior,

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Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden reducible a lineal:

Ecuacin de Bernoulli. Una ecuacin fcilmente reducible a lineal es la siguiente:

y p(x)y y r(x) ' = n donde p(x) y r(x) funciones continuas; n una constante real donde n

0 n 1 (si n = 0 o n = 1se llega a los casos ya vistos).

Esta ecuacin se conoce como ecuacin de Bernoulli en honor al matemtico Jacques

Bernoulli (1654-1705), miembro de una clebre familia de matemticos suizos, a quien se le

atribuye haber usado por primera vez la palabra integral en matemtica.

Como el exponente de y en el segundo miembro no es ni 0 ni 1, la ecuacin no es lineal.

Entonces, suponiendo (para los casos en que n > 0 , pues si n < 0 esta restriccin ya est

impuesta en la definicin de la ecuacin dada) que y 0 , se divide ambos miembros de la

ecuacin diferencial por n y , y se obtiene:

y-n y y1-n p(x) r(x).

28

Ecuacin diferencial exacta.

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Ecuaciones reducibles a exactas. En las aplicaciones no es frecuente que las ecuaciones diferenciales de 1 orden sean exactas.

Tambin, puede demostrarse que cualquier ecuacin normal de 1 orden puede transformarse

en total exacta. Para ello, en algunos casos, basta elegir una funcin tal que, si la ecuacin

diferencial P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 no es exacta, lo sea la ecuacin que se obtiene

multiplicando ambos miembros por = (x, y). Es decir, se debe encontrar no nula, tal

que (x, y)[P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = 0 sea una ecuacin diferencial total exacta.

Lamentablemente, no se conoce ninguna forma sistemtica para hallar estos factores de

integracin y, en la prctica, slo pueden encontrarse para expresiones muy especiales. La

situacin ms sencilla es aquella en que un factor integrante es una funcin escalar, es decir,

el factor depende exclusivamente de la variable x o de la variable y.

30

Mtodo de resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden de forma no normal.

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Donde la solucin est dada en forma paramtrica (parmetro P) y no es una solucin general

ni particular de la ecuacin diferencial. A esta solucin se la denomina singular y

geomtricamente representa la envolvente de todas las rectas dadas por y = x C + f (C).

Recordar que la solucin singular no es general pues no est comprendida dentro de la

expresin donde aparece la constante arbitraria, ni es solucin particular pues no se obtiene

a partir de la general (no existe valor de la constante que nos permita alcanzarla).

Luego, la ecuacin de Clairaut, admite como solucin general a una familia de rectas y una

solucin singular que es la envolvente de dichas rectas.

Recordar: Una curva es envolvente de una familia de curvas si, y slo si, en cada uno de sus

puntos es tangente a la curva de la familia que pasa por dicho punto.

Conclusin

Finalmente y para concluir se determin que, la resolucin de problemas de ingeniera est

asociada, por lo general, a resultados numricos puesto que se requieren respuestas prcticas.

La mayor parte de las leyes cientficas de expresan en trminos de rapidez de variacin de

una variable con respecto otra.

Adems proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en

Ingeniera, Fsica, Economa y Biologa, puesto que estos, por lo general, requieren la

determinacin de una funcin que satisface a una ecuacin diferencial.

El Mtodo de Runge Kutta es mejor que el mtodo de Euler, pero an as es posible aumentar

la precisin achicando los pasos entre los puntos o implementando el mtodo de orden

superior.

Es el mtodo ms utilizado para resolver numricamente problemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el mtodo de Runge-Kutte, el cual

proporciona un pequeo margen de error con respecto a la solucin real del problema y es

fcilmente programable en un software para realizar iteraciones necesarias.

El dominio de los mtodos numricos, en combinacin con las capacidades y potencialidades

de la programacin de computadoras resuelve problemas de ingeniera de manera ms fcil

y eficientemente.

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Resumen.

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Bibliografa. [1] Apstol, T., Calculus Vol. I, Editorial Revert.

[2] Apstol, T., Calculus Vol. II, Editorial Revert

[3] Apuntes de clase, Ingeniera FRSN (UTN), Anlisis Matemtico II, Lic.

Graciela Bojanich

[4] Ayres, F. Ecuaciones Diferenciales, Coleccin Schaum.

[5] Coddington, E. A., Introduccin a las ecuaciones diferenciales ordinarias, Compaa

Editorial Continental, S.A.

[6] Ghizzetti, A. Complementos y Ejercicios de Anlisis Matemtico Vol.

II, Editorial Universitaria Cultura Argentina.

[7] Ghizzetti, A. Lecciones de Anlisis Matemtico Vol. II, Editorial

Universitaria Cultura Argentina.

[8] Rabuffetti, T., Introduccin al Anlisis Matemtico Vol. II, Editorial

El Ateneo

[9] Apuntes de clase Licenciatura en Matemtica, FCEI (UNR), Anlisis

Matemtico IV Dr. Roffman E.

[10] Stewart, J., Clculo, International Thomson Editores.