Si usamos la función factorial (t)n, definida para enteros no negativos n como (7) entonces podemos expresar an de manera más compacta como (8) [Podemos escribir n! como (1)n]. Si a0 1 y sustituimos la expresión para an en (8) dentro de (2), obtenemos la siguiente solución de la ecuación hipergeométrica: (9) La solución dada en (9) se llama función hipergeométrica de Gauss y se denota F(, ; ; x).† Es decir, (10) Las funciones hipergeométricas son generalizaciones de las series geométricas. Para ver esto, observe que para cualquier constante β que no sea cero ni un entero negativo, Es interesante notar que muchas otras funciones familiares se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica. P

Sistemas normales homogéneos x(t) A(t)x(t) Suponemos que la función matricial n

n A(t) es continua en un intervalo I. Conjunto fundamental de soluciones: 5x1, . . . , xn6. Las n soluciones vectoriales x1(t), . . . , xn(t) del sistema homogéneo en el intervalo I forman un conjunto fundamental de soluciones, siempre que ellas sean linealmente independientes en I, o en forma equivalente, su wronskiano nunca se anula en I. Matriz fundamental: X(t). Una función matricial n

n X(t) cuyos vectores columna forman un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo es una matriz fundamental. El determinante de X(t) es el wronskiano del conjunto fundamental de soluciones. Como el wronskiano nunca se anula en el intervalo I, entonces X1 (t) existe para t en I. Solución general de un sistema homogéneo: Xc c1x1 . . . cnxn. Si X(t) es una matriz fundamental cuyos vectores columna son x1, . . . , xn, entonces una solución general del sistema homogéneo es donde c col(c1, . . . , cn) es un vector constante arbitrario. Sistemas homogéneos con coeficientes constantes. La forma de una solución general para un sistema homogéneo con coeficientes constantes depende de los valores y vectores propios de la matriz constante A n

n. Un valor propio de A es un número r tal que el sistema Au ru tiene una solución no trivial u, llamada un vector propio de A asociado al valor propio r. La determinación de los valores propios de A es equivalente a hallar las raíces de la ecuación característica A rI 0 . Los vectores propios correspondientes se encuentran resolviendo el sistema (A rI)u 0. Si la matriz A tiene n vectores propios linealmente independientes u1, . . . , un y ri es el valor propio correspondiente al vector propio ui , entonces es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo. Una clase de matrices que siempre tiene n vectores propios linealmente independientes es el conjunto de matrices simétricas; es decir, las matrices que satisfacen A AT . Si A tiene valores propios complejos conjugados

i y vectores propios asociados z a ib, donde a y b son vectores reales, entonces dos soluciones vectoriales reales linealmente independientes para el sistema homogéneo son 5or ejemplo,