UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLIVARFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

PROGRAMA INGENIERÍAASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

MATERIAL DE ESTUDIO 1 (M.E.1)

Problema 1 Determine el orden, el grado de cada una de las ecuacionesdiferenciales.

a) x d2ydx2� 3

�dydx

�4+ 4y = 0

b) x d3ydx3=

r�d2ydx2

�2+ 5

c)�d3ydx3

� 32=

q�dydx

�2+ 6

d) d3ydx3=

r�d4ydx4

�2+ dy

dx

Problema 2 Veri�que que la funciòn dada es soluciòn de la ecuaciòn difer-encial.

a) y = c1 cos 4x+ c2 sin 4x ecuaciòn diferencial y00 + 16y = 0

b) y = c1e3x + c2e2x ecuaciòn diferencial y00 � 5y0 + 6y = 0c) y = c1ex + c2xex + x2ex

2ecuaciòn diferencial y00 � 2y0 + y = ex

d) y = c1x2 + c2x

ecuaciòn diferencial x2y00 � 2y0 = 0e) y = e�3x [c1 cosx+ c2senx] ecuaciòn diferencial y00 + 6y0 + 10y = 0

f) ln�2�x1�x�= t ecuaciòn diferencial dx

dt= (2� x) (1� x)

Problema 3 En los ejercicios siguientes se da la soluciòn general y se pideencontrar la ecuaciòn diferencial.

a) y = c1 cos 4x+ c2sen4x (Rta y00 + 16y = 0)

b) y == c1e3x + c2e2x (Rta y00 � 5y0 + 6y = 0)c) y == c1ex + c2xex + 1

2x2ex (RTa y00 � 2y0 + y = 0)

d) y = c1x2 + c2x

(RTa x2y00 � 2y0 = 0)e) y = c1 + c2ex + c3e�x (RTa y000 � y0 = 0)f) y = e�3x(c1 cosx+ c2senx) (RTa y00 + 6y0 + 10y = 0)

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Ejercicio 1. Dada la ecuación diferencial

(x2 + 1)dy

dx+ 2xy = x (1)

a) Hallar la solución general de la ecuación diferencial (1) en forma ex-plícita.b) ¿Es posible que existan puntos del plano xy en los cuales el teorema

de existencia y unicidad no garantice una única solución? Justi�que.c) Suponga que el punto P (2; 1) pertenece a la grá�ca de una de las

soluciones de la ecuación diferencial (1):¿Encontrar dicha solución?.

Ejercicio 2. Dada la ecuación diferencial

dy

dx= xy2 � 9x; (1)

a) Hallar la solución general de de la ecuación diferencial (1) en formaexplícita.b) ¿Cuántas soluciones de (1) satisfacen la condición

y(1) = �3?:

Justi�que.

Ejercicio 3. Dada la ecuación diferencial

dy

dx=xy + 3x

x+ 1(1)

a) Hallar la solución general de de la ecuación diferencial (1) en formaexplícita.b) ¿Garantiza el teorema de existencia y unicidad una única solución cuya

grá�ca pase pory(1) = �3?:

Ejercicio 4.Hallar la solución particular de cada una de las ecuaciones difer-enciales siguentesa)

dy

dx=

x

x2y + y

sujeta a la condición

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y(1) = �1:b)

ydx+ (x� e�2yxy2)dy = 0

sujeta a la condición.

y(0) = 1

Problema 4 Resolver los siguientes ejercicios por el mètodo de separciònde variable

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Utilizar los conceptos de ecuaciones de primer orden de variable separable,para construir un modelo matemático que le permita analizar e interpretarcada uno de los problema que acontinuación se presenta.

Problema 5 Los datos de la tabla (1) corresponden al tamaño de la poblacióndel mundo en el siglo XX. Si se supone que la tasa de crecimiento es pro-porcional al tamaño de la población.

a) ¿Que modelo utilizaría para medir pautas de crecimientos?b) ¿Cuál es la tasa relativa de crecimiento?. Sugerencia. Use el hecho deque la población en 1910 es de 1750:c) ¿En que intervalos de tiempo las predicciones del modelo se vuelven muyinexactas?d) Usar la población de 1950 para determinar la tasa relativa de crecimientoe) ¿En que intervalos de tiempo las predicciones del modelo se vuelven muyinexactas?.f) Use los datos de la tabla (1) para modelar la población del mundo en lasegunda mitad del siglo XX. Utilice el modelo para estimar la población en1993 y predecir la del 2010:

Año Población1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25201960 30201970 37001980 53001990 5770

Problema 6 Transcurrido 60 días después de haberse elaborado cierto pro-ducto lácteo, los defensores del consumidor prueban que el número de bacte-rias presente es de 100000, y a�rman que están poniendo en riesgo la saluddel consumidor; puesto que el producto se vence a los 46 dias después dehaberse elaborado y en ese instante el número de bacterias es de 10000; locual lo hace no apto para el consumo humano.

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a) Se le invita a que modele con una ecuación diferencial la rapidez de crec-imiento de las bacterias y determine la cantidad inicial de éstasb) ¿Cúantas bacterias hay a los 10 días ?

Problema 7 Supongamos que el coe�ciente de variación instantáneacon que se desintegra un núcleo radiactivo es proporcional al número de talesnúcleos, presentes en una muestra dada. En una cierta muestra, el 10%del número original de núcleos radiactivos ha sufrido desintegración en unperíodo de 200 años.

(a) ¿Qué porcentaje de los núcleos radiactivos originales quedará al cabo de1000 años? (Rta 59,05%.)(b) ¿En cuántos años quedará solamente un cuarto del número original? (Rta

2631 años)

Problema 8 Un cierto compuesto se convierte en otro compuesto medianteuna reacción química. El coe�ciente de variación instantánea con elque se convierte el primer compuesto es proporcional, en cualquier instante,a la cantidad presente. En 5 minuto se ha convertido el diez por ciento de lacantidad original del primer compuesto.

(a) ¿Qué porcentaje del primer compuesto se habrá convertido en 20minutos?(b) ¿En cuántos minutos se habrá convertido el 60 % del primer compuesto?

Problema 9 Una reacción química convierte un cierto compuesto en otro,siendo la razón de conversión del primer compuesto proporcional a la can-tidad de éste presente en cualquier instante. Al cabo de una hora quedan 50gramos del primer compuesto, mientras que al cabo de tres horas solamentequedan 25 gramos.

(a) ¿Cuántos gramos del primer compuesto existían inicialmente? (Rta 50p2gramos)

(b) ¿Cuántos del primer compuesto quedarán al cabo de cinco horas? (Rta12,5 gramos)(c) ¿En cuántas horas quedarán solamente 2 gramos del primer compuesto?

(Rta 10,29 horas)

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Problema 10 Supongamos que la población de cierta ciudad aumenta conun coe�ciente de variación que es proporcional al número de habitantesen ese tiempo. Si la población se dobla en 40 años, ¿en cuántos años setriplicará?

Problema 11 La población de una ciudad aumenta con un coe�ciente devariación que es proporcional al número de sus habitantes en cualquier in-stante t. Si la población de la ciudad era 30000 en 1960 y 35000 en 1970,¿cuál será su población en 1980?

(Rta 40.833 )

Problema 12 En cierto cultivo bacteriano el coe�ciente de variación delaumento del número de bacterias es proporcional al número presente.

(a) Si se triplica el número en 5 horas, ¿cuántas habrá presentes en10 horas?(b) ¿Cuándo será el número presente 10 veces el número inicial de bacterias?.

Problema 13 Un cuerpo se enfría de 60o C a 50� C en 15 min, encontrán-dose sumergido en aire que se mantiene a 30� C. ¿Cuánto tiempo tardaráeste cuerpo en enfriarse de 100� C a 80o C en aire que se mantiene a 50� C?Supóngase válida la ley de enfriamiento de Newton.

Problema 14 En circuntancias naturales la población de ratones de ciertaisla aumentaría a un ritmo proporcional al número de ratones presentes encualquier instante, suponiendo que en la isla no existen gatos. Sin gatos enla isla desde el comienzo de 1960 hasta el comienzo de 1970, la poblaciónde ratones se dobló durante esta década, alcanzando una cota de 10000 alcomienzo de 1970. Alarmados por el número creciente de ratones, los habi-tantes de la isla importan cierto número de gatos para que maten los ratones.Si la tasa natural indicada de aumento de ratones fuese partir de entoncescompensada por la labor de las gatos, que matan 1000 ratones al mes, cuántosratones quedaban al comienzo de 1971:

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Problema 15 Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500organismos (bacterias), un día después de haber sido embotelladas y al se-gundo dia se encuentran 8000 organismos. ¿Cual es el número de organismosen el momento de embotellar la leche?.

Problema 16 Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regresó congripa. Si se supone que la gripa se propaga con una rapidez directamenteproporcional al número de agripados como también al número de no agripa-dos; determinar el nnímero de agripados cinco días después, si se observaque el número de agripado en un dia es 100 .

Problema 17 Un paciente llega a las 9 am de la mañana al consultorio deun dermatólogo y este inmediatamente le formula una crema cuya temper-atura es de 250C, pero su aplicación debe hacerse cuando su temperaturaesté a 60C: El paciente observa que a las 10 am la temperatura de la cremaha descendido a 160C después de haberla introducido en una nevera cuyatemperatura es de 20C:

¿A que hora puede aplicarse la crema el paciente?

Problema 18 Justamente antes de las tres de la tarde, el cuerpo de unaaparente víctima de un homicidio, se encuentra en un cuarto que se con-serva a temperatura constante a 700F , pero las dos personas sospechosasniegan rotundamente las acusaciones. La policía y el juez logran probar quela primera persona estuvo en el lugar de los hechos de 12 : 00 del medio dia a12:10 p:m: La segunda de 1 : 28 p:m: a 1:35 p:m: a) Cual de éstas personases la principal sospechosa si justamente a las tres de la tarde, la temperaturadel cadaver es de 800F y a la 4 : 00 p:m es de 750F , suponiendo además, quela temperatura normal del cuerpo es de 98:60F y que despues de su muerteempieza a enfriarse.

Problema 19 La tasa de cambio, con respecto al tiempo, de una poblaciónde conejos P es proporcional a la raíz cuadrada de P . En el instante t = 0(meses) la población asciende a 100 conejos y está aumentando a razón de20 conejos por mes. ¿Cuántos conejos habrá dentro de un año?

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Problema 20 Suponga que la población de peces P (t) en un lago es atacadapor una enfermedad en el instante t = 0, con el resultado de que los pecescesan de reproducirse (o sea que la tasa de natalidad es � = 0) y la tasa demortalidad � (muertes por semana por pez) de ahí en adelante es propor-cional a 1p

P. Si inicialmente había 900 peces en el lago y 6 semanas después

quedaban 441, ¿cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago?

Problema 21 Suponga que cuando en cierto lago se puebla con peces, la tasade natalidad � y de mortalidad � son ambas inversamente proporcionales apP Demuestre que

P (t) = (1

2kt+

pP0)

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donde k es constante. Si Po = 100 y después de 6 meses hay 169 peces en ellago, ¿cuántos habrá al cabo de un año?

Problema 22 La tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblaciónP , de lagartos en un pantano es proporcional al cuadrado de P . El pantanoalbergaba una docena de lagartos en 1988, dos docenas en 1998. ¿Cuándohabrá cuatro docenas de lagartos en el pantano? ¿Qué sucede a partir de esemomento?.

Problema 23 Considere una población P (t) que satisface la ecuación gística

dP

dt= aP � bP 2

donde B = aP es la tasa, con respecto al tiempo, a la cual ocurren losnacimientos y, bP 2 es la tasa a la cual ocurren las muertes. Si la poblacióninicial es P (0) = Po y B0 los nacimientos por mes y D0 muertes por mesque tiene en el instante t = 0, demuestre que la población límite es

M =B0P0D0

Problema 24 Considere una población de conejos P (t) que satisface la ecuaciónlogística, como en el problema anterior. Si la población inicial es de 120 cone-jos y hay 8 nacimientos por mes y 6 muertes por mes en el instante t = 0,¿cuántos meses pasaran para que P (t) alcance el 95% de la población límiteM?

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Problema 25 Considere una población de conejos P (t) que satisface la ecuaciónlogística. Si la población inicial es de 240 conejos y en el tiempo t = 0 hay9 nacimientos por mes y 12 muertes por mes, ¿cuántos meses pasarán paraalcanzar el 105% de la población límite?

Problema 26 Suponga que en el instante t = 0, un medio de la poblacónlogística de 100000 personas han escuchado cierto rumor, y que el número deaquellos que han oído empieza a aumentar a razón de 1000 por día. ¿Cuántotiempo pasará para que este rumor se propague al 80% de población?

Problema 27 Determinar la ecuaciòn diferencial que modela todas las fun-ciones cuadraticas

Problema 28 Hallar la ecuaciòn diferencial que modela todas las curvas quetienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmentotangente entre los ejes coordenados.

Problema 29 Hallar la ecuaciòn diferencial de todas las rectas que distan3 unidades del origen. ( Rta. (y � xy0)2 = 9(1 + (y0)2) )

Problema 30 Hallar la ecuaciòn diferencial que modela todas las circunfer-encia con centro en la recta y = x (Rta (x� y)2(1 + (y0)2 = (x+ yy0)2

Problema 31 Hallar la ecuaciòn diferencial de todas las rectas tangentes ala grà�ca de la funciòn y = f(x) = 4x� x2

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