Ecuaciones Diferenciales

DEFINICIONES: Es une ecuación que establece una relación ente la variable independiente x (puede existir más) y la variable dependiente y, y sus derivadas.

F (x , y , y , ,… , yn−1 )=0

TIPO:

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.): Contiene sólo derivadas ordinarias, ejemplo:

3 y ,+3 xsen (x ) y=0

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (E.D.P.): Contiene sólo derivadas parciales, ejemplo:

δ2 μδ t2

+ δ2μδ x2=0

GRADO: Es el máximo exponente de la variable y/o sus derivadas, ejemplo:

( y ,)2+ y=xsen (x )

ORDEN: Es la máxima de las derivadas.

LINEAL: Una ecuación diferencial se dice lineal si se puede expresar de la siguiente manera,

SOLUCIONES:

EXPLÍCITA →→→→→ y=x2+2

2010

AUTOR: VITERI RAMBAY IRWIN ALBERTOE-MAIL: [email protected] TWITTER: https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi

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mailto:[email protected]

IMPLÍCITA →→→→→xy−sen (x+ y2 )=3

ECUACIÓN LINEAL DE 1er ORDEN

y ,+ p ( x ) y=q (x)

MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE

Objetivo: Encontrar la función u(x ) tal que

u ( x ) ( y ,+ p ( x ) y )= ddx

( y u ( x ))

u ( x ) y ,+u ( x ) y p (x )= y ,u ( x )+ yu, (x)

u ( x ) y p ( x )= y dudx

u ( x ) p ( x )=dudx

∫ duu(x )

=∫ p ( x )dx

ln (u )+c=∫ p ( x )dx

u+ec=e∫ p ( x )dx

ecESCONSTANTE

u=e∫ p ( x )dx

RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

x y ,=2 y+x3 cos ( x)

/*Lo primero que hay que hacer es tratar de dejar a esta ecuación 𝑥y ,=2 y+x3 cos (x ) expresada a la forma y ,+ p ( x ) y=q (x)para poder usar la fórmula*/

x y ,−2 y=x3 cos (x)

y ,−2xy=x2cos (x ) (1) /*Donde encontramos que p ( x )=−2

x */

2010




u=e∫ p ( x )dx

u=e−2∫ dx

x

u=e−2 ln (x )

u=x−2

/*Multiplicando por x−2 a la ecuación (1) tenemos: */

x−2 y ,−2x−3=cos ( x)

ddx

( y x−2 )=cos (x )

∫ d ( y x−2 )=∫cos ( x )dx

y x−2=sen ( x )+c

∴ y=x2 sen ( x )+c x2

RESOLVER LA SIGUENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

(x2+1 ) dydx

+3 x3 y=6 xe−32x2

y,+

3 x3

(x2+1)y=

6 x e−32x2

(x2+1) (2)

u=e∫ p ( x )dx

u=e3∫ x3

(x2+1)dx

→→→ u=e3∫ (x− x

(x2+1 ))dx

u=e32x2−3

2ln (x2+1) →→→ u=e

32x2

(x2+1)−32

/*Multiplicando por e32x2

(x2+1)−3

2 a la ecuación (2) se obtiene*/

e32x2

(x2+1)−3

2 y ,+e32x2

(x2+1 )−52 (3 x2 y )=6 x (x2+1)

−52

2010




ddx

( ye 32x2

(x2+1 )−32 )= 6 x

(x2+1)52

∫ d ( ye32x2

(x2+1 )−32 )=∫ 6 x

(x2+1)52

dx

( ye 32x2

(x2+1 )−3

2 )=−2¿

∴ y=−2¿¿


dydx

= y3

1−2x y2 ; y (0 )=1

dxdy

=1−2x y2

y3 →→→→ dxdy

= 1

y3−2 xy

/*Ya está expresado de la forma x ,+ p ( y ) x=q ( y)*/

x ,+ 2yx= 1

y3 (3)

u=e∫ p ( y )dy

u=e2∫ dy

y

u= y2

/*Multiplicando por y2 a la ecuación (3) tenemos: */

y2 x ,+2xy= 1y

ddy

(x y2 )= 1y

∫ d (x y2 )=∫ 1ydy

x y2=ln ( y )+c

/*Evaluando para y (0 )=1 se obtiene: */

0¿

2010




∴ x y2=ln ( y )


(x+ y e y ) dydx

=1

(x+ y e y )=dxdy→→→→→→ (x+ ye y )=x ,

x ,−x= y e y (4)

u=e∫ p ( y )dy→→→→u=e−∫dy→→→→u=e− y

/*Multiplicando por e− y a la ecuación (4) nos da como resultado*/

e− y x ,−x e− y= y

ddy

(x e− y )= y→→→→∫d (x e− y )=∫ y dy

∴ x e− y= y2

2+c


dydx

=sen (x+ y )

/*Esta ecuación NO es lineal es por eso que vamos a hacer un cambio de variable*/

t=x+ y→→→→→dtdx

=1+ dydx

dtdx

−1=sen ( t )→→→→→→dtdx

=sen ( t )+1 /*Es separable*/

∫ dtsen ( t )+1

=∫dx /*Integrando por el método de sustitución universal tenemos: */

sen ( t )= 2 z1+z2 ;cos ( t )=1−z2

1+z2 ; dt=2dz

1+z2 ; z= tan ( t2)

2010




∫2dz

1+z2

2 z1+z2 +1

=x+c→→→∫2dz

1+z2

z2+2 z+11+z2

=x+c

∫ 2dz

z2+2 z+1=x+c→→→∫ 2dz

(z+1)2=x+c→→→− 2

z+1=x+c

−2

tan (t2)+1

=x+c

∴− 2

tan( x+ y2 )+1=x+c


y ,+2 y={1 ;0≤ x≤10 ; x>1

y (0 )=0

TRAMO 1 0≤ x≤1

y ,+2 y=1

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫dx→→→u=e2 x

ddx

( y e2x )=e2x→→→∫ d ( y e2x )=∫ e2 xdx→→→y e2x=12e2x+c

/*Evaluando y (0 )=0 por que se encuentra dentro del TRAMO 1 */

¿

∴ y=12−1

2e−2 x

TRAMO 2 x>1

y ,+2 y=0

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫dx→→→u=e2 x

ddx

( y e2x )=0→→→ y e2 x=c

∴ y=c e−2x

2010




y ( x )={12−1

2e−2x ;0≤x ≤1

ce−2x ; x>1

limx→ 1−¿ 1

2−

12e−2 x= lim

x→1+¿ ce−2 x

¿ ¿¿

¿

12−1

2e−2=c e−2→→→c=1

2e2−1

2

∴ y ( x )={ 12−

12e−2 x ;0≤x ≤1

( 12e2−1

2 )e−2x

; x>1


y ,=ex + y

t=x+ y→→→→dtdx

=1+ dydx

dtdx

−1=e t→→ dtdx

=e t+1→→dxdt

= 1

e t+1→→∫ dx=∫ dt

et+1

u=et+1→→du=et dt→→dt=duet→→dt= du

u−1

∫ dx=∫ dt

et+1→→→x=∫

duu−1u

→→→x=∫ duu (u−1 )

/*Aplicando fracciones parciales tenemos: */

x=−∫ duu

+∫ duu−1

→→→x=− ln (u )+ ln (u−1 )+c

x=ln(u−1u )+c→→→x=ln(1−

1u )+c→→→x=ln(1− 1

e t+1 )+c

∴ x=ln(1− 1

e x+ y+1 )+cRESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

sen ( x ) y ,+ y−2 cos (x)=2cos2(x )

2010




sen ( x ) y ,+ y=2 cos2 ( x )+2 cos ( x)→→→sen ( x ) y ,+ y=2 cos (x )(cos ( x )+1 )

y ,+y

sen ( x )=

2cos ( x )sen ( x )

(cos ( x )+1 )sen ( x )

→→ y ,+csc ( x ) y=2cot ( x )( cos ( x )sen ( x )

+1

sen ( x ) )y ,+csc ( x ) y=2 cot ( x )(cot ( x )+csc ( x ))

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e∫csc ( x )dx

→→→u=e−ln|csc ( x )+ cot ( x )|

u= 1csc ( x )+cot (x)

y ,

csc ( x )+cot (x )+

csc ( x ) ycsc ( x )+cot (x )

=2cot (x )

ddx (( 1

csc ( x )+cot ( x ) ) y )=2 cot ( x )→→d (( 1csc ( x )+cot ( x ) ) y)=2 cot (x )dx

∫ d (( 1csc ( x )+cot ( x ) ) y)=∫2cot ( x )dx

∴ ycsc ( x )+cot ( x )

=2 ln|sen (x)|+c


y ,+ ycos ( x )=sen ( x ) cos ( x )

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e∫cos ( x )dx

→→→u=esen(x)

esen ( x ) y ,+ y esen ( x ) cos ( x )=esen ( x ) sen ( x ) cos ( x )

ddx

(esen ( x ) y )=esen ( x ) sen (x ) cos ( x )→→→∫ d (esen ( x ) y )=∫ esen( x ) sen ( x )cos (x )dx

/*Desarrollando la integral ∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx */

∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx→→

∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx=esen ( x ) sen (x )−∫ esen (x )cos (x )dx

∫ esen( x )sen ( x ) cos ( x )dx=esen ( x ) sen (x )−esen(x)+c

∴ esen ( x ) y=esen ( x ) sen (x )−esen(x )+c

2010





x y ,− yx+1

−x=0

y ,− yx+1x

−1=0→→→ y ,− xyx+1

=1

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−∫ x

x+1dx

/*Desarrollando la integral ∫ xx+1

dx */

∫ xx+1

dx→→→→→→

∫ xx+1

dx=xln ( x+1 )−∫ ln ( x+1 )dx→→

∫ xx+1

dx=xln ( x+1 )−∫ ln ( z )dz→→→→→→

∫ xx+1

dx=xln ( x+1 )−¿

∫ xx+1

dx=xln ( x+1 )−( x+1 ) ln ( x+1 )+( x+1 )+c

u=e−xln ( x+1 )+( x+1) ln ( x+1 )−( x+1 )→→→u= (x+1 )−x (x+1)x+1 e−(x +1)

u=(x+1)e−(x+1)

y , ( x+1 ) e−( x+1)−( x+1 ) e−( x+1) xy=( x+1 ) e−(x +1)

ddx

(( x+1 ) e−( x+1) y )=( x+1 ) e−( x+1)→→∫ d ( ( x+1 )e−( x+1 ) y )=∫ ( x+1 )e−( x+1 )dx

/*Desarrollando la integral ∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx */

∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx→→→→∫ ue−udu→→→→

∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−ue−u+∫e−udu

∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−ue−u−e−u+c

∫ ( x+1 ) e−( x+1) dx=−( x+1 ) e−( x+1)−e−(x +1)+c

2010




∴ ( x+1 ) e−( x+1) y=−( x+1 ) e−( x+1)−e−( x+ 1)+c


y ,+ xsen (2 y )=x e−x2

cos2( y )

/* Sustitución */ t=tan ( y )

dtdx

=sec2 ( y ) dydx→→→

dydx

= 1

sec2 ( y )dtdx

1

sec2 ( y )dtdx

+xsen (2 y )= xe− x2

cos2 ( y )→→→1

sec2 ( y )dtdx

+2xsen ( y )cos ( y )=x e−x2

cos2 ( y )

dtdx

+2 xsen ( y ) cos ( y ) sec 2 ( y )=x e−x2

cos2 ( y ) sec2 ( y )

dtdx

+2 xtan ( y )=xe− x2

→→→dtdx

+2 xt=xe− x2

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e2∫ xdx

→→→u=ex2

dtdxex

2

+2ex2

xt=x ex2

e− x2

→→→ddx

(ex2

t )=x→→→∫d (e x2

t )=∫ x dx

∴ ex2

tan ( y )= x2

2+c


2 xdydx

= y+2 xcos ( x ); y (1 )=0

2 xdydx

− y=2 xcos ( x )→→→dydx

− 12x

y=cos ( x )

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−1

2 ∫ dxx →→→u=e

−12

ln (x)→→→u=x

−12

dydxx

−12 − 1

2xx

−12 y=x

−12 cos ( x )→→→

ddx

(x−12 y )=x

−12 cos ( x )

d ( x−12 y )=x

−12 cos (x )dx→→→∫ d (x

−12 y)=∫ x

−12 cos ( x )dx

/*Desarrollando la integral ∫ x−1

2 cos ( x )dx para esto hay que recordar lo

siguiente: */

2010




x−12 y=∑

n=0

∞ (−1 )n x2n+(1

2 )

(2n )! (2n+( 12 ))

+c→→→ y=x12∑n=0

∞ (−1 )n x2n+( 1

2 )

(2n )!(2n+( 12 ))

+c x12

y=∑n=0

∞ (−1 )n x2n+1

(2n ) !(2n+( 12 ))

+c x12

/* Evaluando en y (1 )=0 */

0=∑n=0

∞ (−1 )n

(2n )! (2n+( 12 ))

+c→→→c=−∑n=0

∞ (−1 )n

(2n ) !(2n+( 12 ))

∴ y=∑n=0

∞ (−1 )n x2n+1

(2n )! (2n+( 12 ))

−∑n=0

∞ (−1 )n

(2n ) !(2n+( 12 ))

x12

ECUACIÓN DE BERNOULLI

y ,+ p ( x ) y=q (x ) ynn− {0,1 }

Multiplicando a toda la expresión por y−n

y−n y ,+ y−n p ( x ) y=q ( x ) yn y−n

y−n y ,+ y1−n p ( x )=q ( x ) (1)

2010




t= y1−n dtdx

=(1−n) y−n dydx

1

1−ndtdx

= y−n dydx

Reemplazando en la ecuación (1)

11−n

dtdx

+ p (x ) t=q (x)

t ,+(1−n ) p ( x ) t=q ( x )(1−n)

Esta expresión quedó semejante a y ,+ p ( x ) y=q (x) ya que (1−n) es sólo una constante.


x dy− y dx=(xy)12 dx

xdydx

− y=( xy )12→→→→x

dydx

− y=x12 y

12→→→→

dydx

−yx=x

−12 y

12 (1)

t= y1−n→→→t= y1−1

2→→→t= y12

dtdx

=12y

−12 dydx→→→→ y

−12 dydx

=2dtdx

/*Dividiendo a toda la ecuación (1) por y12∗¿

y−1

2 dydx

− y−12 yx= y

−12 x

−12 y

12

y−1

2 dydx

−1xy

12=x

−12

2dtdx

−1xt=x

−12 →→→→

dtdx

−1

2xt=x

−12

2

u=e∫ p ( x )dx→→→→u=e−∫ dx

2x→→→→u=x−12

ddx

(t x−1

2 )= 12 x→→→∫ d (t x

−12 )=∫ 1

2 xdx→→→t x

−12 =1

2ln ( x )+c

2010




∴ y12 x

−12 =1

2ln ( x )+c


dydx

= x

x2 y+ y3

dxdy

= x2 y+ y3

x→→→

dxdy

=xy+ y3 x−1 /*n=-1*/

t=x1−n→→→t=x2→→→dtdy

=2xdxdy

/*Multiplicando por x a la ecuación*/

xdxdy

=x xy+ y3 x−1 x→→→→xdxdy

=x2 y+ y3

xdxdy

−x2 y= y3→→→→12dtdy

−ty= y3→→→→dtdy

−2 ty=2 y3

u=e∫ p ( y )dy→→→u=e−∫2 y dy

→→→u=e− y2

e− y2 dtdy

−2 ty e− y2

=2 y3 e− y2

ddy

(e− y2

t )=2 y3 e− y2

→→→∫d (e− y2

t )=∫ 2 y3e− y2

dy

/*Desarrollando la integral ∫2 y3 e− y2

dy */

∫2 y3 e− y2

dy→→→→→→

∫2 y3 e− y2

dy=2¿

∫2 y3 e− y2

dy=−e− y2

y2−e− y2

+c

e− y2

t=−e− y2

y2−e− y2

+c

∴ e− y2

x2=−e− y2

y2−e− y2

+c


x y ,+ y= y2ln ( x ) ; y (1 )=1

(1 ) y ,+ yx= y2 ln (x)

x→→→

2010




/*Multiplicando a toda la ecuación (1) por y−2 */

y , y−2+ y−2 yx= y−2 y2 ln (x )

x→→→→y , y−2+ y

−1

x=

ln (x)x

−dtdx

+ tx=

ln (x)x

→→→dtdx

− tx=

−ln (x)x

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−∫ dx

x →→→u=x−1

x−1 dtdx

−x−1 tx=−x−1 ln (x)

x→→→x−1 dt

dx−x−2 t=

−ln (x )x2

ddx

(x−1 t )=−ln (x )x2 →→→∫ d (x−1 t )=−∫ ln (x)

x2 dx

/*Desarrollando la integral ∫ ln (x)x2 dx */

∫ ln ( x )x2

dx→→→→→→

∫ ln ( x )x2

dx=−ln (x )

x+∫ 1

x2dx

∫ ln ( x )x2

dx=−ln (x )

x−1x+c

x−1 t=ln (x)x

+ 1x+c→→→x−1 y−1=

ln ( x)x

+ 1x+c

/* Evaluando en y (1 )=1 da como resultado: */

(1 )−1 (1 )−1=ln (1 )

1+ 1

1+c→→→c=0

∴ x−1 y−1=ln (x)x

+ 1x


8 xdydx

− y= −1

y3 √x+1

dydx

−18yx=−1

8y−3

x √x+1→→→t= y1−n→→→t= y4→→→

dtdx

=4 y3 dydx

2010




/* Multiplicando a la ecuación por y3 */

y3 dydx

− y3 18yx=−1

8y−3 y3

x √x+1

14dtdx

−18tx=−1

81

x √ x+1→→→

dtdx

−12tx=−1

21

x√ x+1

u=e∫ p ( x )dx→→→u=e−1

2 ∫ dxx →→→u=x

−12

x−12 dtdx

−12x

−12 tx=

−12

x−12

x √x+1→→→

ddx

( x−12 t )=−1

21

x32 √ x+1

∫ d (x−1

2 t )=−12∫ 1

x32 √x+1

dx

/* Resolviendo la integral ∫1

x32 √ x+1

dx */

∫ 1

x32 √ x+1

dx→→→→2∫ (u2−1 )−32 du

u=sec ( z )→→→du=sec ( z ) tan (z)

2∫( tan¿¿2(z ))−3

2 (sec ( z) tan ( z ))dz→→→2∫ sec (z )dztan2(z)

→→→2∫ cos ( z )dzsen2(z)

¿

v=sen ( z )→→→dv=cos ( z )dz

2∫ dvv2 =−2

1v=−2

1sen (z)

=−2u

2−1u

=−2(√x+1)2−1

√ x+1=−2

x√x+1

∴ x−1

2 y4= x√ x+1

+c

ECUACIONES EXACTAS

Sean M, N, My, Nx, continuas en la región rectangular <x< ,

<x< , entonces la ecuación M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta en

sí y sólo si My = Nx en cada punto de esto es ,

2010




y

Interpretación:


( y exy cos (2 x )−2exy sen (2x )+2 x) dx+( xe xycos (2x )−3 )dy=0

/* Lo que acompaña al dx es la M y lo que acompaña al dy es la N */

∂M∂ y

=cos (2x ) exy+xy exy cos (2 x )−2 xexy sen (2x )

∂N∂ x

=cos (2 x )exy+xy exy cos (2 x )−2 x exy sen (2 x )

∂M∂ y

=∂ N∂ x

∴Es exacta

∂σ∂ x

=M= y exy cos (2 x )−2exy sen (2x )+2 x

/* x es una constante en la siguiente integral: */ σ=∫ (x exy cos (2 x )−3 )dy

σ=cos (2 x ) exy−3 y+c ( x )(1)

/* Derivando a (1) con respecto a x (y es una constante) da como resultado M */

2010




∂σ∂ x

=M→→ y exy cos (2x )−2e xy sen(2x )+c , ( x )= y exy cos (2x )−2exy sen (2 x )+2x

c , ( x )=2 x→→→c ( x )=∫2 xdx→→→c ( x )=x2

∴cos (2x ) exy−3 y+x2=d ;d∈R


dydx

=2 ysen ( x )−ex sen( y)excos ( y )+2cos (x )

(excos ( y )+2cos (x ) )dy=(2 ysen ( x )−e xsen ( y ) )dx

−(2 ysen ( x )−ex sen ( y ) )dx+(e xcos ( y )+2cos (x ) )dy=0

∂M∂ y

=−2 sen ( x )+excos ( y ) ∂ N∂ x

=−2 sen (x )+e xcos ( y )

∂M∂ y

=∂ N∂ x

∴Es exacta

∂σ∂ x

=M=(−2 ysen ( x )+ex sen ( y ) ) ∂σ∂ y

=N=(ex cos ( y )+2cos ( x ) )

/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ (−2 ysen ( x )+ex sen ( y ) )dx

σ=2 ycos ( x )+ex sen ( y )+c ( y )(2)

/* Derivando a (2) con respecto a y (x es una constante) da como resultado N */

∂σ∂ y

=N→→2cos (x )+excos ( y )+c , ( y )=ex cos ( y )+2 cos ( x )

c , ( y )=0→→→c ( y )=a ,a∈R

∴2 ycos (x )+ex sen ( y )+a=d a ,d∈R


x dx+ ydy= x dy+ y dx(x2+ y2)

2010




(x2+ y2 ) (x dx+ y dy )=x dy+ y dx

(x2+ y2 )x dx+(x2+ y2 ) ydy−xdy− y dx=0

(( x2+ y2 ) x− y )dx+( (x2+ y2 ) y−x ) dy=0

∂M∂ y

=2 yx−1∂N∂ x

=2xy−1→→→∂M∂ y

=∂ N∂ x

∴Es exacta

∂σ∂ x

=M=(x2+ y2 ) x− y ∂σ∂ y

=N=(x2+ y2 ) y−x

/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ ((x2+ y2 ) x− y )dx

σ= x4

4+ y

2 x2

2− yx+c ( y )(3)


∂σ∂ y

=N→→ y x2−x+c , ( y )= (x2+ y2 ) y−x

c , ( y )= y3→→→c ( y )=∫ y3dy→→→c ( y )= y4

4

∴ x4

4+ y

2 x2

2− yx+ y

4

4=d ,d∈R


y ,=y ( y−ex)e x−2xy

dydx

=y ( y−ex )ex−2 xy

→→→dy (ex−2 xy )=( y ( y−e x)) dx

( y ( y−ex ))dx−(ex−2 xy )dy=0→→→

∂M∂ y

=2 y−ex ∂ N∂ x

=2 y−ex→→→∂M∂ y

=∂ N∂x

∴ Esexacta

∂σ∂ x

=M=( y ( y−ex )) ∂σ∂ y

=N=(−ex+2xy )

/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫ (−e x+2 xy )dy

2010




σ=− y ex+x y2+c ( x )(4)


∂σ∂ x

=M→→− yex+ y2+c , ( x )=( y ( y−ex ))

c , ( x )=0→→→c ( x )=a ,a∈R

∴ y ex+x y2+a=d ,a ,d∈R

ECUACIONES QUE NO SON EXACTAS

El objetivo es una función (x,y) tal que al multiplicar a la ecuación, la misma se convierta en EXACTA.

μMdx+μNdy=0

(μM ) y=(μN )x

μyM+μM y=μxN+μ N x

Caso a)

μM y=dμdxN+μ N x

μ (M y−N x )=dμdxN

∫ M y−N x

Ndx=∫ dμ

μ

∫ M y−N x

Ndx= ln (μ )

∴μ=e∫M y−Nx

Ndx

2010




Caso b)

dμdyM+μM y=μ N x

dμdyM=μ (N x−M y)

∫ N x−M y

Mdy=∫ dμ

μ

∫ N x−M y

Mdy=ln (μ)

∴μ=e∫ N x−M y

Mdy


y (1+ln ( xy )+2 x )dx+(x−2 y2 )dy=0

∂M∂ y

=2+ ln (xy )+2x∂ N∂x

=1→→→∂M∂ y

≠∂N∂ x

∴Noesexacta

μ=e∫ N x−M y

Mdy→→→μ=e

∫ 1−(2+ln ( xy )+2 x)y (1+ln ( xy )+2x )

dy

→→→μ=e−∫ (1+ln ( xy )+2x)

y (1+ ln ( xy )+2x )dy

μ=e−∫ dy

y →→→μ=e−ln ( y )→→→μ= 1y

y1y

(1+ ln ( xy )+2x )dx+ 1y

(x−2 y2 )dy=0→→→

∂M∂ y

= 1y∂ N∂ x

=1y→→→

∂M∂ y

=∂N∂x

∴Esexacta

∂σ∂ x

=M=(1+ln ( xy )+2 x) ∂σ∂ y

=N=1y(x−2 y2)

2010




/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫( 1y

(x−2 y2 ))dyσ=xln ( y )− y2+c ( x )(1)


∂σ∂ x

=M→→ ln ( y )+c , ( x )=(1+ ln (xy )+2 x )→→ ln ( y )+c , ( x )=1+ ln (x )+ ln ( y )+2 x

c ( x )=∫ (1+ln ( x )+2x )dx→→→c ( x )=x+xln ( x )−x+x2

∴ xln ( y )− y2+xln ( x )+x2=d ,d∈ R


y ,=−2 xyln( y)

x2+ y2 √ y2+1

dydx

=−2 xyln ( y )x2+ y2 √ y2+1

→→→ (x2+ y2 √ y2+1 )dy=−(2 xyln ( y ) )dx

∂M∂ y

=2 xln ( y )+2 x∂ N∂ x

=2 x→→→∂M∂ y

≠∂ N∂ x

∴Noes exacta

μ=e∫ N x−M y

Mdy→→→μ=e

∫ 2 x−2 xln( y )−2x

(2xyln ( y ) )dy

→→→μ= 1y

1y

(2 xyln ( y ) )dx+ 1y

(x2+ y2 √ y2+1 )dy=0

∂M∂ y

=2 xy∂ N∂x

=2xy→→→

∂M∂ y

=∂ N∂x

∴ Esexacta

∂σ∂ x

=M=(2 xln ( y )) ∂σ∂ y

=N= 1y

(x2+ y2 √ y2+1 )

/* y es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(2 xln ( y ))dx

σ=x2 ln ( y )+c ( y )(2)


2010




∂σ∂ y

=N→→x2

y+c, ( y )=1

y(x2+ y2√ y2+1 )→→→

x2

y+c , ( y )= x

2

y+ y

2 √ y2+1y

c ( y )=∫ y2√ y2+1y

dy→→→c ( y )=∫ y√ y2+1→→

c ( y )=12∫√ zdz→→→c ( y )=1

3( y¿¿2+1)

32 ¿

∴ x2 ln ( y )+13( y¿¿2+1)

32=d ,d∈ R ¿


(x+sen ( y ) )dx+cos ( y )=0

∂M∂ y

=cos ( y ) ∂ N∂ x

=0→→→∂M∂ y

≠∂N∂ x

∴Noes exacta

μ=e∫M y−N x

Ndx→→μ=e

∫ cos ( y)cos ( y)

dx

→→μ=ex

∂M∂ y

=excos ( y ) ∂ N∂ x

=ex cos ( y )→→→∂M∂ y

=∂ N∂ x

∴Esexacta

∂σ∂ x

=M=(ex x+ex sen ( y )) ∂σ∂ y

=N=excos ( y )

/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(excos ( y ))dy

σ=ex sen ( y )+c ( x ) (3 )


∂σ∂ x

=M→→ex sen ( y )+c , ( x )=(ex x+e xsen ( y ) )

c ( x )=∫ ex x dx→→→c ( x )=e x(x−1)

∴ ex sen ( y )+ex (x−1 )=d ,d∈ R


(cos (2 y )−sen ( x ) )−2 tan ( x ) sen (2 y ) y '=0

2010




∂M∂ y

=−2 sen (2 y ) ∂ N∂ x

=−2 sec2 ( x ) sen (2 y )→→∂M∂ y

≠∂ N∂x

∴ Noesexacta

μ=e∫M y−N x

Ndx

→→→μ=e∫ 1

−2 tan (x ) sen (2 y )(−2 sen (2 y )+2 sec2 ( x ) sen ( 2 y ))dx

μ=e∫ −2 sen (2 y )

−2 tan ( x ) sen (2 y )(1−sec2 (x ))dx

→→→μ=e∫−tan2 (x)

tan ( x )dx

→→→μ=e−∫ tan ( x )dx

μ=e ln|cos (x)|→→→μ=cos (x)

(cos (2 y ) cos (x)−sen (x ) cos (x))dx−2 tan ( x )cos (x )sen (2 y )dy=0

∂M∂ y

=−2 sen (2 y )cos ( x ) ∂N∂ x

=−2cos ( x ) sen (2 y )→→→∂M∂ y

=∂ N∂ x

∴Es exacta

∂σ∂ x

=M=( cos (2 y )cos (x )−sen ( x )cos (x )) ∂σ∂ y

=N=−2 sen ( x ) sen(2 y )

/* x es una constante en la siguiente integral */ σ=∫(−2 sen ( x ) sen(2 y ))dy

σ=sen ( x )cos (2 y )+c ( x ) ( 4 )


∂σ∂ x

=M→→cos (2 y ) cos (x )+c , ( x )=(cos (2 y )cos (x )−sen ( x ) cos (x ))

c , ( x )=−sen ( x ) cos ( x )→→→c ( x )=−∫sen ( x )cos ( x )dx→→→c ( x )=14

cos (2 x)

∴ sen ( x ) cos (2 y )+ 14

cos (2x )=d ,d∈R

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Sea y ,=f (x , y ). Se dice que la ecuación es homogénea si:

f ( x , xt )=f (1 , t)

Ejemplo:

2010




y ,= x−3 yx−2 y

=f (x , y)

f ( x , y )= x−3 yx−2 y

f ( x , xt )= x−3 ( xt )x−2 ( xt )

f ( x , xt )=f (1 ,t ) ∴Eshomogénea

y ,=f (x , y ) si es homogénea se la puede expresar como: y,=F ( y

x)

t= yx

y=tx dydx

=x dtdx

+ t

y ,=F (t) y,=F ( y

x)

dtdxx+t=F ( t )∴Es separable


x dy− y dx=√ x2+ y2dx

x dy=√ x2+ y2dx+ y dx→→→x dy=(√x2+ y2+ y )dx

dy=(√x2+ y2+ y )

xdx→→→dy=(√x2+ y2

x+ yx )dx→→→

dydx

=(√ x2+ y2

x2 + yx )

dydx

=(√1+( yx )2

+ yx )→→→

t+ dtdxx=√1+t 2+t→→→

dtdxx=√1+ t2→→→∫ dx

x=∫ dt

√1+t 2→→

ln ( x )+c=∫ sec 2(z )dzsec (z )

→→→ ln ( x )+c=∫ sec ( z )dz→→→ ln ( x )+c=ln|sec ( z )+ tan (z)|

ln ( x )+c=ln|√1+t 2+t|

2010




∴ ln (x )+c=ln|√1+( yx )2

+yx |


dydx

= x+3 yx−2 y

dydx

=

x+3 yx

x−2 yx

→→→dydx

=1+3( yx )1−2( yx )

→→→

dtdxx+t=1+3 t

1−2t→→→

dtdxx= 1+3 t

1−2 t−t→→→

dtdxx=2t 2+2 t+1

1−2t

∫ 1−2 t dt

2 t2+2 t+1=∫ dx

x→→→

12∫

1−2t dt

t2+t+12

=¿∫ dxx

¿

←←←12∫

1−2 t dt

(t+ 12)

2

+ 14

=∫ dxx

12∫

1−2(u−12 )

u2+ 14

du=∫ dxx→→→∫ 1−u

u2+ 14

du=∫ dxx

∫( 1

u2+14

− u

u2+14 )du=ln (x )+c→→→2arctg( u12 )−1

2ln|u2+ 1

4|=ln ( x )+c

2arctg ( t+12

12

)−12

ln|( t+ 12 )

2

+14|=ln ( x )+c

∴2arctg (yx+ 1

212

)−12

ln|( yx +12 )

2

+14|=ln (x )+c

2010





( x− y ) y ,=x+ y

( x− y )dy= (x+ y )dx→→→x− yx+ y

=dxdy→→

x− yyx+ yy

=dxdy→→→

t−1t+1

= dtdyy+ t→→→

t−1t+1

−t= dtdyy→→→

−1−t2

t+1= dtdyy→→→

−(1+ t2)t+1

= dtdyy

−∫ t+1

1+ t2dt=∫ dy

y→→→−∫( t

1+t 2 +1

1+t2 )dt=ln ( y )+c

−12

ln (1+t 2 )−arctg ( t )=ln ( y )+c

∴−12

ln(1+( xy )2)−arctg ( xy )=ln ( y )+c


x dx+ ( y−2 x )dy=0

x+( y−2 x ) dydx

=0→→→dydx

=−xy−2x

→→→dydx

=x

2 x− y→→→

dydx

=

xx

2 x− yx

dydx

= 1

2−yx

→→→→→→dtdxx+t= 1

2−t→→→

dtdxx= 1

2−t−t

dtdxx=

(t−1 )2

2−t→→→∫ dx

x=∫ 2−t

(t−1 )2dt /* Integrando por fracciones parciales */

2−t(t−1)2

= At−1

+ B

(t−1)2→→→2−t=A ( t−1 )+B→→→A=−1 B=1

ln ( x )+c=−ln ( t−1 )− 1t−1

∴ ln (x )+c=−ln( yx−1)− 1yx−1

2010





(x2+ y2 )dx+ (x2−xy )dy=0

(x2+ y2 )+(x2−xy ) dydx

=0→→→ (x2+ y2 )=−(x2−xy ) dydx

(x2+ y2 )=(xy−x2) dydx→→→

dydx

=(x2+ y2 )(xy−x2 )

→→→dydx

=

(x2+ y2 )x2

(xy−x2 )x2

dydx

=1+¿¿

dtdxx=1+ t2

t−1−t→→→

dtdxx= t+1

t−1→→→∫ dx

x=∫ t−1

t+1dt

ln ( x )+c=∫ dt−∫ 2t+1

dt→→→ ln ( x )+c=t−2 ln ( t+1 )

∴ ln (x )+c= yx−2 ln( yx +1)

ECUACIONES DE LA FORMA dydx

=a1 x+b1 y+c1

a2 x+b2 y+c2

OBJETIVO: Eliminar constantes c1 yc2.

Cambio de Variable:

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=a1 (X+h )+b1 (Y +k )+c1

a2 (X+h )+b2 (Y +k )+c2

dYdX

=a1 X+b1Y +(a1h+b1 k+c1)a2 X+b2Y +(a2h+b2k+c2)

{a1h+b1k+c1=0a2h+b2k+c2=0

∴Paraque seahomogénea


2010




dydx

= x+2 y−52 x+ y−4

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=(X+h )+2 (Y +k )−52 ( X+h )+(Y +k )−4

→→→dYdX

=X+2Y +(h+2k−5)2 X+Y +(2h+k−4)

{h+2k−5=02h+k−4=0

h=1k=2∴Paraque seahomogénea

dYdX

= X+2Y2 X+Y

→→→dYdX

=

X+2YX

2 X+YX

→→→dYdX

=1+2( YX )2+( YX )

→→→

dtdX

X+ t=1+2 t2+t

→→→dtdX

X=1+2 t2+t

−t→→→dtdX

X=1−t 2

2+t

∫ dXX

=∫ 2+t1−t 2

dt /* Integrando por fracciones parciales */

2+t1−t 2

= 2+t(1−t )(1+t)

= A1−t

+ B1+t

→→→A=32B=1

2

ln (X )+c=−32

ln (1−t )+ 12

ln (1+t )→→→ ln ( X )+c=−32

ln(1−YX )+ 12

ln(1+ YX )

∴ ln (x−1 )+c=−32

ln(1− y−2x−1 )+ 1

2ln(1+ y−2

x−1 )RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL:

dydx

= 3 x+ y−16 x+2 y+3

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=3 ( X+h )+(Y +k )−16 (X+h )+2 (Y +k )+3

→→→dYdX

=3 X+Y +(3h+k−1)

6 X+2Y +(6h+2k+3)

2010




{ 3h+k−1=06h+2k+3=0

NOTA :Estas ecuaciones son paralelas NO vamosa poderencontrar los valores deh y k .Loque significaque se puede

hacer uncambiode variable .

dydx

= 3 x+ y−16 x+2 y+3

→→→dydx

= 3 x+ y−12 (3 x+ y )+3

/* Cambio de variable */ t=3 x+ y→→→ y=t−3 x→→→dydx

= dtdx

−3

dtdx

−3= t−12 t+3

→→→dtdx

= t−12t+3

+3→→→dtdx

=7 t+82t+3

→→→2 t+37 t+8

dt=dx

∫ 2 t+37 t+8

dt=∫ dx→→→27∫dt+∫

57

7 t+8dt=¿∫ dx¿

27t+ 5

49ln (7 t+8 )=x+c

∴ 27(3 x+ y)+ 5

49ln (7(3 x+ y )+8 )=x+c


dydx

= 2 y−x+52 x− y−4

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=2 (Y +k )−(X+h )+52 ( X+h )− (Y +k )−4

→→→dYdX

=2Y−X+(2k−h+5 )2 X−Y + (2h−k−4 )

{2k−h+5=02h−k−4=0

h=1k=−2∴Paraque sea homogénea

dYdX

=2Y−X2 X−Y

→→→dYdX

=

2Y−XX

2 X−YX

→→→dYdX

=2(YX )−1

2−(YX )→→→

dtdX

X+ t=2 t−12−t

→→→dtdX

X=2 t−12−t

−t→→→dtdX

X= t2−12−t

dXX

= 2−tt2−1

dt→→→∫ dXX

=∫ 2−tt 2−1


2010




ln (X )+c=−32

ln (t+1 )−52

ln ( t−1 )→→→ ln (X )+c=−32

ln( YX +1)−52

ln( YX−1)∴ ln (x−1 )+c=−3

2ln( y+2x−1

+1)−52

ln( y+2x−1

−1)


(−3 x+ y+6 )dx+( x+ y+2 )dy=0

( x+ y+2 )dy=−(−3 x+ y+6 )dx→→→ (x+ y+2 )dy=(3x− y−6 )dy

dydx

=(3 x− y−6 )

( x+ y+2 )

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=3 (X+h )− (Y+k )−6

(X+h )+(Y +k )+2→→→

dYdX

=3 X−Y +(3h−k−6)X+Y +(h+k+2)

{3h−k−6=0h+k+2=0

h=1k=−3∴Paraque seahomogénea

dYdX

=3 X−YX+Y

→→→dYdX

=

3 X−YXX+YX

→→→dYdX

=3−( YX )1+(YX )

→→→

t+ dtdX

X=3−t1+ t

→→→dtdX

X=3−t1+t

−t→→→dtdX

X=−t2−2t+31+ t

dtdX

X=−( t+3 )(t−1)

1+ t→→→

dtdX

X=(t+3 )(1−t)

1+t→→→

dXX

=1+t

( t+3 )(1−t)dt

∫ dXX

=∫ 1+t(t+3 )(1−t)


2010




ln (X )+c=−12

ln (t+3 )−12

ln (1−t )→→→ ln (X )+c=−12

ln(YX +3)−12

ln(1−YX )

∴ ln (x−1 )+c=−12

ln( y+3x−1

+3)−12

ln(1− y+3x−1 )


dydx

=−4 x+3 y+52x+ y+7

x=X+h y=Y +k

dx=dX dy=dY

dYdX

=−4 ( X+h )+3 (Y +k )+5

2 (X+h )+(Y +k )+7→→→

dYdX

=−4 X+3Y +(−4 h+3k+5)

2 X+Y +(2h+k+7)

{−4 h+3k+5=02h+k+7=0

h=−85k=−19

5∴ Paraquesea homogénea

dYdX

=−4 X+3Y2 X+Y

→→→dYdX

=

−4 X+3YX

2 X+YX

→→→dYdX

=−4+3( YX )

2+(YX )→→→

t+ dtdX

X=−4+3 t2+t

→→→dtdX

X=−4+3 t2+t

−t→→→dtdX

X=−t2+t−42+t

dtdX

X=−(t 2−t+4)

2+ t→→→

dXX

= −2+t(t 2−t+4)

dt→→→∫ dXX

=−∫ 2+t(t 2−t+4)

dt

2+ t(t 2−t+4)

=A (2t−1 )+Bt 2−t+4

→→→2+t=A (2 t−1 )+B→→A=12B=5

2

−∫ 2+ t(t 2−t+4)

dt=−12

ln (t 2−t+4 )−52∫

dt

t 2−t+4

/* Desarrollando la integral ∫ dt

t 2−t+4 */

∫ dt

t 2−t+4=∫ dt

( t2−t+ 14 )+4−1

4

→→→∫ dt

( t−12 )

2

+ 154

→→

2010




ln (X )+c=−12

ln (t 2−t+4 )−52 ( 2

√15arctg( 2( t+ 1

2 )√15 ))

ln (X )+c=−12

ln((YX )2

−YX

+4)− 5

√15arctg (( 2Y

X+1)

√15)

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE Ier ORDEN.

Harry Potter sabe que la única forma de derrotar a Lord Voldemort es produciendo un compuesto llamado DUPREE, para luego ingerirlo combinado con agua, lo que le proporcionará más poderes que su eterno rival y así finalmente acabar con él. Para ello necesita de dos sustancias clave: “saliva de lagarto con gripe” y “moco de rata de alcantarilla”. Hermione le dice a Harry que la rapidez de transformación de la cantidad X del compuesto es proporcional al producto de las cantidades NO transformadas de las sustancias antes mencionadas (suponer que una onza de cada sustancia es necesaria para generar una onza del compuesto). Ron ha podido conseguir 4 onzas de la primera sustancia y 5 onzas de la segunda para iniciar el procedimiento. Al cabo de 50 minutos, Harry ha fabricado una onza de DUPREE. Hermione le recuerda que necesita suministrarle 1.5 onzas para alcanzar los efectos deseados. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para obtener la dosis necesaria?

Seax (t )el número deonzas de DUPREE enel instante t .

El problemade valor inicial es :

dxdt

=k (5−x ) (4−x ) ;x (0 )=¿0 , x (50 )=1¿

2010




∫ kdt=∫ dx(5−x ) ( 4−x ) /* Desarrollando por fracciones parciales */

1(5−x ) (4−x )

= A5−x

+ B4−x

→→→ A=−1B=1

∫ kdt=∫( 14−x

− 15−x )dx→→→kt+c=ln|5−x|−ln|4−x|

kt+c=ln|5−x4−x|Sustituyendo x (0 )=0 , se tiene :

k (0 )+c=ln|54|→→→c=ln|5

4|kt+ln|5

4|=ln|5−x4−x |Sustituyendo x (50 )=1 , se tiene :

k (50 )+ ln|54|=ln|5−1

4−1|→→→50k+ ln|54|=ln|4

3|→→→50 k=ln|43|−ln|5

4|50k=ln|16

15|→→→→k= 150

ln|1615|

Laecuación es :∴ t50

ln|1615|+ ln|5

4|=ln|5−x4−x|

Porúltimocalculando el valor de t para cuando x=1.5( 32)onzas se tiene :

t50

ln|1615|+ ln|5

4|=ln|5−32

4−32|→→→

t50

ln|1615|+ln|5

4|=ln| 7252|

t50

ln|1615|+ ln|5

4|=ln|75|→→→→

t50

ln|1615|=ln|75|−ln|5

4|

t50

ln|1615|= ln|7

554|→→→→

t50

ln|1615|=ln|28

25|

2010




∴t=50 ln|28

25|ln|16

15|≈87.8min

Una taza de café es preparado con agua hirviendo en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30 C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de café, alcanzando una temperatura de 90 C; y los 8 minutos, la taza de café es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18 C, después de dos minutos se observa que la taza de café es 65 C.¿A los cuantos minutos de estar la taza de café en el comedor, puede ser ingerido el café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45 C?

COCINA

COMEDOR

2010




;

;

Por último calculando “t” para cuando T=45ºC

2010




, El café debe ser ingerido a los 5,16 minutos en el comedor.

El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una caverna de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual al de la fogata. Se ha establecido que solamente el 1% de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata. Calcule la edad del cráneo si la semivida (tiempo en que tarda una sustancia radioactiva en desintegrarse la mitad) del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.

Por último calculando el tiempo “t” para cuando x=1%x0 (1/100)

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SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Sean p, q funciones continuas sobre el intervalo (α,β), entonces se dice:

L()=❑, ,+ p ( x )❑,+q (x)

Sea y= y1(x ) , y= y2(x ) dos soluciones de la ecuación diferencial

y , ,+ p ( x ) y ,+q ( x ) y=0 (1)

L ⟨ y ⟩=0→Núcleo de latransformada

L ⟨ y1 ⟩= y1,,+ p ( x ) y1

,+q ( x ) y1=0

L ⟨ y2 ⟩= y2,,+ p ( x ) y2

,+q ( x ) y2=0

L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=¿

L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=c1 ( y1, ,+ p ( x ) y1

, +q ( x ) y1 )+c2( y2, ,+ p ( x ) y2

, +q ( x ) y2)

∴L ⟨c1 y1+c2 y2 ⟩=c1 L ⟨ y1 ⟩+c2L ⟨ y2 ⟩

Condiciones iniciales y (x¿¿0)= y0 y, (x0 )= y0

, ¿

( x )=c1 y1 ( x )+c2 y2(x )

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❑, ( x )=c1 y1, ( x )+c2 y2

, (x )

{y0=c1 y1 (x0 )+c2 y2(x0)y0,=c1 y1

, (x0 )+c2 y2, (x0)

WRONSKIANO→→→→[ y1(x0) y2(x0)y1, (x0) y2

, (x0)]=( y1 y2,− y2 y1

, )≠0 , x0 ϵ (α , β ) .

W ( y1 , y2)≠0∴Loque quieredeci r es quesonlinealmente independientes .

{ y1 , y2 }Se los conoce comoconjunto fundamental de solusiones de la ecuaciónhomogénea(C .F .S .)

−W ,−p ( x )W=0 dWdx

=−p (x )W ln (W )=−∫ p ( x )dx

W ( y1 , y2)=e−∫ p ( x )dx∴Teoremade ABEL

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN

y , ,(x )+ p ( x ) y ,(x )+q ( x ) y (x)=0 (1)

Consideremos que y1(x) es una solución de la ecuación (1), se

pretende encontrar una solución linealmente independiente y2(x ).

y2(x )=v ( x ) y1(x )

y2, ( x )=v , ( x ) y1(x)+v (x) y1

, (x)

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y2, , ( x )=v ,, ( x ) y1(x )+2 y1

, ( x ) v , ( x ) y1,, ( x ) v (x)

y2, ,(x )+ p ( x ) y2

, (x)+q (x ) y2(x)=0

(v¿¿ , , ( x ) y1 ( x )+2 y1, ( x ) v , ( x ) y1

,, ( x ) v ( x ))+ p ( x ) (v , ( x ) y1 ( x )+v ( x ) y1, ( x ) )+q ( x ) (v ( x ) y1 ( x ) )=0¿

v ( x ) ( y1, , ( x )+ p ( x ) y1

, ( x )+q ( x ) y1 ( x ) )+¿

¿

t=dvdx dt

dx=d

2 vdx2

t , ( x ) y1 ( x )+ t ( x ) (2 y1, ( x )+ p ( x ) y1 ( x ) )=0

dtdxy1 (x )+t (x ) (2 y1

, (x )+ p ( x ) y1 ( x ) )=0

dtdxy1 (x )=−t ( x ) (2 y1

, ( x )+ p ( x ) y1 ( x ) )

∫ dtt ( x )

=−∫(2y1, ( x )y1

¿+ p (x))dx¿

ln (t ( x ) )=−2 ln ( y1 (x ) )−∫ p ( x )dx

t= y1−2 ( x )e−∫ p (x )dx

dvdx

=∫ e−∫ p ( x )dx

y12(x)

∴ v (x )=∫ e−∫ p (x )dx

y12(x )

dx

Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

2 x2 y , ,+¿

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t= y , t ,= y ,,2 x2t ,+t 3=2 xt

Expresando de la forma y ,+ p ( x ) y=q (x ) yn(Ecuación de Bernoulli)

t ,−1xt=−1

2t 3

x2 (1)

z=t 1−n

z=t−2

dzdx

=−2 t−3 dtdx

Multiplicando por −¿2t−3 a la ecuación (1)

−2 t−3t ,+ 2xt−2= 1

x2

dzdx

+ 2xz= 1

x2 (2)

u=e∫ p ( x )dx

u=e2∫ dx

x

u=x2

Multiplicando por x2 a la ecuación (2)

x2 dzdx

+2xz=1

ddx

( z x2 )=1

∫ d ( z x2 )=∫ dx

z x2=x+c

z= x+cx2

1

t2= x+c

x2

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t 2= x2

x+c

t=√ x2

x+c

dydx

=√ x2

x+c

dy= x

√ x+cdx

y=∫ x

√ x+cdx

y=∫❑2−c❑ (2d )

y=2∫ (❑2−c )d

y=23(√ x+c)3−2c (√ x+c )+d

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Ecuaciones Diferenciales