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MB0001_M2AA1L1_Ecuaciones Versión: octubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín

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Ecuaciones de primer grado Por: Oliverio Ramírez Juárez

Introducción

Las ecuaciones de primer grado se presentan en una gran diversidad de situaciones, tanto en el ámbito científico, social, económico y hasta en el entretenimiento, como lo muestra el siguiente caso.

Figura 1. Bewitched (Graat, 2012).

En un espectáculo, el mago realiza el siguiente truco a un espectador. Le dice:

1. Piensa un número cualquiera. 2. Súmale 15 al número que pensaste. 3. Multiplica por tres el resultado. 4. Al resultado réstale 9. 5. Ahora divídelo entre 3. 6. Y por último réstale 8.

Mago: Dime ¿cuál es el resultado obtenido y te diré el número que pensaste?

Espectador: 32.

Instantáneamente el mago le dice: El número en que pensaste fue el 28

¿Cómo lo hizo?

¡Efectivamente, el mago utilizó un método matemático para poder adivinar el número pensado!

Representa tal número con una letra cualquiera y realiza las operaciones que el mago indicó.

• Súmale 15 𝑥 + 15 • Multiplica por 3 el resultado 3(𝑥 + 15) • Al resultado réstale 9 3 𝑥 + 15 − 9 • Divídelo entre 3 ! !!!" !!

!

• Réstale 8 ! !!!" !!!

− 8



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Simplifica la expresión:

3𝑥 + 45 − 93

− 8

3𝑥 + 363

− 8

𝑥 + 12 − 8

= 𝑥 + 4

Finalmente, toma en cuenta que esta expresión deberá ser igual al número que indica el espectador, es decir,

𝑥 + 4 = 32

La ecuación anterior representa una relación de igualdad entre dos expresiones, en este caso entre:

𝑥 + 4

y

32

Si al número elegido por el espectador le sumamos 4, nos da como resultado 32. Entonces, podemos deducir que, si a 32 le quitamos 4, entonces obtendremos el valor de 𝑥, esto es:

𝑥 = 32 − 1

𝑥 = 28

Por lo que 28 es el número que el espectador pensó. ¡Intenta nuevamente este ejercicio, utilizando un número diferente y analiza el resultado!



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Una habilidad que se requiere para utilizar el Álgebra en la solución de problemas cotidianos es traducir del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa.

¿Qué es una ecuación?

De acuerdo con Rees, Sparks & Sparks (1991, p. 121), “una ecuación es un enunciado que afirma que dos expresiones algebraicas son iguales”.

Las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al número de incógnitas que tengan o al número del exponente de la incógnita, conocido como grado (ver figura 1).

Figura 1. Clasificación de Ecuaciones

Ecuaciones

Número de incógnitas

Una incógnita x+2= 5

Dos incógnitas x+y=32

Tes incógnitas x+2y= 5z+3

Etcétera

Exponente al que esten elevada sus incógnitas (grado)

De primer grado o lineales x +1 = 34

De segundo grado x2+3x=2

Etcétera



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Propiedades de ecuaciones lineales

Para resolver una ecuación de primer grado, es decir, para encontrar el valor de la incógnita, es necesario utilizar dos de las propiedades que tienen las ecuaciones algebraicas:

a) Sumar o restar el mismo número a cada miembro de la ecuación.

b) Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número.

Sin que la ecuación se altere.

Por ejemplo: Al resolver la ecuación

3𝑥 + 1 = 𝑥 − 2

utilizando las propiedades de las ecuaciones lineales

a) Resta en cada miembro de la ecuación, el número 1

3𝑥 + 1 − 1 = 𝑥 − 2 − 1

3𝑥 = 𝑥 − 3

b) Resta 𝑥 en cada miembro de la ecuación

3𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 3 − 𝑥

2𝑥 = 3

El procedimiento anterior también se puede expresar diciendo: Si está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando

c) Ahora divide ambos miembros de la ecuación entre 2

2𝑥2=−32



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𝑥 = −32

Esta regla, la enuncias también como:

Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando.

Pasos generales para resolver ecuaciones de primer grado

1. Elimina los denominadores de la ecuación multiplicando cada término por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) de los denominadores.

3. Si es necesario quita los paréntesis y simplifica los términos semejantes.

4. Agrupa los términos que contengan una incógnita en un miembro y en el otro los números.

5. Despeja la incógnita.

Por ejemplo: Ejemplo 1.- Resuelve la siguiente ecuación.

𝑥4−16=

712(𝑥 − 2)

Multiplica cada término por 12 para eliminar denominadores.

12𝑥4− 12

16= 12

712(𝑥 − 2)

3𝑥 − 2 = 7(𝑥 − 2)



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Simplifica quitando paréntesis.

3𝑥 − 2 = 7𝑥 − 14

Agrupa y reduce términos semejantes.

3𝑥 − 7𝑥 = −14 + 2

Simplifica y despeja 𝑥.

−4𝑥 = −12

−𝑥 =−124

−𝑥 = −3

𝑥 = 3

Ejemplo 2.- Resuelve la siguiente ecuación.

724

=𝑥8+16

Solución


24724

= 24𝑥8+ 24

16

7 = 3𝑥 + 4

Simplifica agrupando términos similares.

7 − 4 = 3𝑥

Reduce términos semejantes.

3 = 3𝑥

Simplifica y despeja.



7

33= 𝑥

𝑥 = 1

Ejemplo 3.- Resuelve la siguiente ecuación.

15−𝑥4=7 𝑥 + 310


2015− 20

𝑥4= 20

7 𝑥 + 310

4 − 5𝑥 = 14(𝑥 + 3)

Simplifica quitando paréntesis.

4 − 5𝑥 = 14𝑥 + 42

Agrupa y reduce términos semejantes.

−5𝑥 − 14𝑥 = 42 − 4

Simplifica y despeja 𝑥.

−19𝑥 = 38

𝑥 =38−19

𝑥 = −2



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Método para resolver problemas

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones lineales o de primer grado es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Para hacerlo, es necesario transformar los datos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.

Por lo que es importante que identifiques algunas de las equivalencias entre el lenguaje algebraico y el lenguaje cotidiano (Tabla 1).

Lenguaje cotidiano Lenguaje Algebraico

se agrega, se suma, se añade,

la cantidad aumenta, más

+

se resta, la diferencia, disminuye,

menos, se quita

-

multiplica, producto de,

por (a)*(b)

dividido por, dividir,

cociente, /

es igual, resulta,

se obtiene, da como resultado

=

Tabla 1. Traducción lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico

Una vez que tradujimos del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico dicha problemática, se escribe la ecuación matemática que represente lo traducido y, finalmente, se resuelve la ecuación. Para lograr esto, realiza los siguientes pasos:

1. Lee el problema con cuidado y detecta qué es lo que se pide (incógnita). 2. Selecciona una variable para representar esa incógnita. 3. Piensa en un plan para representar el problema en forma de una ecuación. 4. Utiliza el álgebra para resolver la ecuación resultante. 5. Escribe el resultado y comprueba la respuesta.



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EJEMPLO 1 ¿Has comido en un restaurante de comida rápida recientemente? Si comes una hamburguesa con queso y papas a la francesa, consumes 1070 calorías. De hecho, las papas contienen 30 calorías más que la hamburguesa con queso. ¿Cuántas calorías hay en cada producto?

1. Lee el problema, y detecta qué es lo que se pide.

En esta instrucción, debes encontrar la cantidad de calorías en la hamburguesa con queso y en las papas

2. Selecciona la incógnita.

Haz que la ecuación represente las calorías de la hamburguesa, por lo que las calorías de las papas serán:

𝑥 + 30

3. Piensa en un plan para representar el problema en forma de una ecuación.

Traduce el problema.

Caloría de las papas más calorías de la hamburguesa es igual a 1070.

( 𝑥 + 30 ) + 𝑥 = 1070

4. Resuelve la ecuación.

𝑥 + 30 + 𝑥 = 1070

𝑥 + 30 + 𝑥 = 1070

𝑥 + 𝑥 = 1070 − 30

2𝑥 = 1040

𝑥 =10402

𝑥 = 520



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5. Escribe tu respuesta

La hamburguesa tiene 520 calorías y las papas = 520+30=550.

EJEMPLO 2 El hermano mayor, de una familia de tres hermanos, tiene 4 años más que el segundo, y éste último tiene 3 años más que el menor. Si la suma de sus edades es igual a la edad de su padre que tiene 40 años, ¿qué edad tiene cada hermano?

1. Lee el problema, y detecta qué es lo que se pide.

En esta instrucción, te pide encontrar la edad que tiene cada hermano.

2. Selecciona la incógnita.

Si la variable 𝑥 representa la edad del hermano menor, entonces las edades de los otros hermanos se pueden representar de la siguiente forma:

𝑥 + 3 : edad del hermano mediano. 𝑥 + 3 + 4 : edad del hermano mayor.

3. Piensa en un plan.

Traduce el problema.

La suma de las tres edades es igual a 40 que es la edad del padre.

𝑥 + 𝑥 + 3 + (𝑥 + 7) = 40



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4. Resuelve la ecuación.

𝑥 + 𝑥 + 3 + 𝑥 + 7 = 40

𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 40 − 3 − 7

3𝑥 = 30

𝑥 =303

𝑥 = 10

5. Escribe tu respuesta

Edad del hermano menor: 𝑥 = 10 años. Edad del hermano mediano: 𝑥 + 3 = 13 años. Edad del hermano mayor: 𝑥 + 7 = 17 años. Como puedes ver el representar las situaciones cotidianas en forma algebraica, es de mucha utilidad ya que nos permite resolver problemas de forma sencilla y rápida

Referencias

Antonyan, N y Cendejas, L. (2006). Matemáticas 1. Fundamentos de Álgebra. México: Thompson. [Versión en línea]. Recuperado el 30 de mayo de 2012, de http://books.google.com.mx/books?id=T0hBYgjyXE8C&pg=PA231&dq=Ecuaci%C3%B3n+lineal+con+una+inc%C3%B3gnita++Se+llaman+ecuaciones+a+las+igualdades+en+las+que+aparecen+n%C3%BAmeros+y+letras+%28inc%C3%B3gnitas%29,+relacionados+mediante+operaciones+matem%C3%A1ticas,+por+ejemplo:&hl=es&ei=-1rGT_K8Fcjm2gXVxLXnAQ&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=1&ved=0CDYQ6wEwAA#v=onepage&q&f=false Cuéllar, J. A. (2006). Matemáticas I, Álgebra (2ª. ed.). México: McGraw-Hill.

Martínez, M. A. (1996). Aritmética y Álgebra. México: McGraw-Hill.

Rees P. K., Sparks, F. W. & Sparks, C. (1991). Álgebra (10a. ed.). México: McGraw-Hill Interamericana. [Versión en línea]. Recuperado el 27 de junio del 2012, de la base de datos E-libro de la Biblioteca Digital de la UVEG.

Graat, C. (2012). Bewitched. Recuperada el 6 de noviembre de 2012, de http://www.sxc.hu/photo/1401853 (imagen bajo licencia SXC.Hu Free of charge, de acuerdo a: http://www.sxc.hu/txt/license.html).

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