Tema: Ecuaciones Cuadrticas Maestro: Francisco A. Prieto Ortiz Ecuaciones Cuadrticas Esuntipodeecuacinparticularenlacuallaincgnita est elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sera: 2x2 3x = 9. En este tipo de ecuacin noesposibledespejarfcilmentelax,porlotantose requiereunprocedimientogeneralparahallarlas soluciones.Definicin: Mtodos de solucin: Por Factorizacin Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Por Frmula General Forma General: 02= + + c bx axEcuaciones Cuadrticas Una ecuacin cuadrtica puede generar tres tipos de soluciones, tambin llamadas races, a saber: Dos races reales distintas Una raz real (o dos races iguales) Dos races imaginarias distintasEl criterio que establece la diferencia entre estos casos es el valor del discriminante. Se define al discriminante D como: ac b D 42 = Si el discriminante es positivo, entonces su raz cuadrada es un nmero real y se generan dos races reales distintas. Sieldiscriminanteescero,surazescero,yambas racesresultanelmismonmero,entoncesslotieneuna raz real. Sieldiscriminanteesnegativo,surazcuadradaes imaginaria,producindosedosracesimaginariaso complejas. Tipos de soluciones: Ecuaciones Cuadrticas A las ecuaciones cuyos parmetros a, b y c son diferentes decero,selesconocetambincomoecuaciones cuadrticas completas. De la forma general: 02= + + c bx axCuando alguno de los parmetros b c son cero, entonces se dice que las ecuaciones cuadrticas son incompletas 02= +c ax 02= +bx axEs importante notar que el parmetrono puede ser cero, ya que eso convertira a la ecuacin en una ecuacin lineal. aEcuaciones Cuadrticas Solucin por Factorizacin: ElmtododefactorizacinsebasaenelTeoremadel Factor Cero, que se enuncia como sigue:Si dos o ms nmeros al multiplicarse dan como resultado cero, entonces por lo menos uno de ellos es cero, esto es: Si ab=0, entonces a=0 b=0 Estemtodopuedeserutilizadopararesolverecuaciones cuadrticasincompletasecuacionescuadrticascompletas quepuedenserexpresadascomoelproductodedos binomios. Lasecuacionescuadrticassonfactorizablessiel discriminanteDesigualaceroesunnmeroconraz cuadrada exacta. Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. x2 - x = 20 Solucin:-Dada x2 - x = 20-Reescribimos la ecuacin igualando a cero. x2 - x - 20 = 0-Calculamos eldiscriminante D = b2 - 4ac D = b2 - 4ac D = (-1)2 - 4(1)(-20) D = 81 -Como el discriminante es un nmero con raz cuadrada exacta, la ecuacin es factorizable, por lo tanto factorizando tenemos:(x - 5)(x + 4) = 0 Ecuaciones Cuadrticas - De la ecuacin factorizada (x-5)(x+4)=0 - Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales.a) x + 4 = 0b) x - 5 = 0- Resolvemos la ecuacin a).x1 = -4- Resolvemos la ecuacin b).x2 = 5 Comprobando las soluciones: 1. Para x1=-4 (-4)2 - (-4) = 20 16 + 4 = 20 20 = 20 2. Para x2=5 (5)2 - (5) = 20 25 - 5 = 20 20 = 20 Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas por x1= -4yx2= 5. Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 2: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. 6x2 -12 = -x Solucin:-Dada 6x2 -12 = -x-Reescribimos la ecuacin igualando a cero. 6x2 + x - 12 = 0-Calculamos eldiscriminante D = b2 - 4ac D = b2 - 4ac D = (1)2 - 4(6)(-12) D = 289 -Como el discriminante es un nmero con raz cuadrada exacta, la ecuacin es factorizable, por lo tanto factorizando tenemos:(2x + 3)(3x 4) = 0 Ecuaciones Cuadrticas - De la ecuacin factorizada (2x + 3)(3x -4)=0 - Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales.a) 2x + 3 = 0b) 3x - 4 = 0- Resolvemos la ecuacin a).x1 = -3/2- Resolvemos la ecuacin b).x2 = 4/3 Comprobando las soluciones: 1. Para x1=-3/2 6(-3/2)2 - 12 = -(-3/2) 6(9/4) - 12 = 3/2 27/2 12 = 3/2 3/2 = 3/2 Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas porx1= -3/2yx2= 4/3. 2. Para x2= 4/3 6(4/3)2 - 12 = -(4/3) 6(16/9) - 12 = -4/3 32/3 12 = -4/3 -4/3 = -4/3 Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 3: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. x2 = 3 Solucin:- Dada x2 = 3 - Reescribimos la ecuacin igualando a cero. x2 - 3 = 0- Factorizando tenemos: ( )( ) 0 3 3 = + x x-Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales. -Resolvemos la ecuacin a). -Resolvemos la ecuacin b). 0 3 a) = + x0 3 b) = x3 a)1 = x3 b)2 = xEcuaciones Cuadrticas Comprobando las soluciones: Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas por ( )3 33 33 Para 1.21== = x( )3 33 33 Para 2.22== = x3 y 32 1= = x xEcuaciones Cuadrticas Ejemplo 4: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. 5x2 = 6x Solucin:- Dada 5x2 = 6x - Reescribimos la ecuacin igualando a cero. 5x2 6x = 0- Factorizando tenemos: x(5x - 6)=0 -Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales. a) x = 0b) 5x 6 = 0 -Resolvemos la ecuacin a).x1= 0 -Resolvemos la ecuacin b).x2= 6/5Ecuaciones Cuadrticas Comprobando las soluciones: 1. Para x1=0 5(0)2 = 6(0) 0 = 0 Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas porx1= 0yx2= 6/5. 2. Para x2= 6/5 5(6/5)2 = 6(6/5) 5(36/25) = 36/5 36/5 = 36/5 Ecuaciones Cuadrticas Solucin completando el TCP: Si tenemos una expresin de la forma o ,

se suma;esto es, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente depara completar el TPC. 1) 2) kx x +2kx x 222|.|

\| kx2 222 2|.|

\| + =|.|

\|+ +kxkkx x2 222 2|.|

\| =|.|

\|+ kxkkx xEcuaciones Cuadrticas Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin: Rescribiendo la ecuacin para slo trminos en a la izquierda

restar -3 completar el cuadrado sumando ecuacin equivalente

tomar la raz cuadrada sumar 0 3 52= + x xx0 3 52= + x x3 52 = x x225|.|

\|2 22253255|.|

\|+ =|.|

\|+ x x413252=|.|

\| x41325 = x21325 = x25Ecuaciones Cuadrticas De donde: Comprobando los resultados:

Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas por

213251+ = x213252 = x0 00 3213 5225413213 54250 3213255213252== + + += +||.|

\|+ ||.|

\|+0 00 3213 5225413213 54250 3213255213252== + + + = +||.|

\| ||.|

\|213251+ = x213252 = xEcuaciones Cuadrticas Ejemplo 2: Encuentra todas las soluciones para la ecuacinRescribiendo la ecuacin Multiplicando por 1/4 sumando ecuacin equivalente tomar la raz cuadrada sumar52352352323411233411311 12 40 11 12 422 22222 = = =|.|

\||.|

\|+ =|.|

\|+ = = = xxxx xx xx xx x223|.|

\|23Ecuaciones Cuadrticas De donde: Comprobando los resultados:

Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas por 5231+ = x5232 = x5231+ = x5232 = x0 00 11 5 12 18 5 12 290 11 5 12 18 5 5 34940 11 52312 52342== += |.|

\|+ += |.|

\|+ |.|

\|+0 00 11 5 12 18 5 12 290 11 5 12 18 5 5 34940 11 52312 52342== + = + |.|

\|+ = |.|

\| |.|

\|Ecuaciones Cuadrticas Solucin por Frmula General: Lafrmulageneralpararesolverecuacionescuadrticas,se deduce del mtodo de completar el TCP, la deduccin se deja como ejercicio. De la forma general: 02= + + c bx axRecordemosquea,bycpuedentenercualquiersigno,por loquehayquetenercuidadoalahoradehacerla sustitucin de los valores en la frmula. Se tiene que: aac b bx242 =Ecuaciones Cuadrticas Deduccin de la Frmula Cuadrtica. acababxabxacxabxc bx axc bx ax|.|

\|=|.|

\|+ + = + = += + +2 222222 20Ecuaciones Cuadrticas aac b bxaac babxaac babxaac babx2444244244222222222 = = = +=|.|

\|+Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin: x 2 + 3x = 4 Solucin:-Dadax 2 + 3x = 4-Reescribimos la ecuacin igualando a cero.x 2 + 3x - 4 = 0-Calculamos eldiscriminante D = b2 - 4acD = b2 - 4acD = 32 - 4(1)(-4) D = 25-Como el discriminante es positivo, la ecuacin tiene dos races reales, dadas por:4 ;25 3;225 31 ;25 3;225 32 2 21 1 1 = = ==+ =+ =x x xx x xEcuaciones Cuadrticas Comprobando las soluciones: 1.x1 = 112 + 3(1) = 4 1 + 3 = 44 = 4 2. x2 = -4(-4) 2 + 3(-4) = 4 16 - 12 = 44 = 4 Conclusin: Las soluciones a la ecuacin dada son x1 = 1 y x2 = -4 Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 2 : Encuentra todas las soluciones para la ecuacin.

Solucin: - Dada

- Cancelamos el denominador multiplicando todos los trminos de la ecuacin por 3:

- Simplificamos y reescribimos la ecuacin igualando a cero.x 2 - 6x + 9 = 0- El discriminante D est dado porD = b2 - 4acD = (-6)2 - 4(1)(9) D = 36 36 D = 0 xx2 332= +xx2 332= +( ) xx2 3 3332=||.|

\|+Ecuaciones Cuadrticas -Como el discriminante es igual a cero, la solucin est dada por x = -b/2a y la ecuacin tiene una solucin. x = 3Comprobando las soluciones: Para x = 3 Conclusin:Hay una solucin real (con multiplicidad 2) para la ecuacin dada: x = 3.abx2=( )( )( ) 1 26 = x( )( ) 3 2 3332= +6 339= +6 3 3 = +6 6 =Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 3: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin.x 2 - 4x + 13 = 0Solucin: - Dadax 2 - 4x + 13 = 0- El discriminante D est dado por:D = b2 - 4acD= (-4)2 - 4(1)(13)D = -36 - Como el discriminante es negativo, la raz cuadrada del discriminante es un nmero imaginario puro. i DDD636 136= = =dondei es la unidad imaginaria definida como1 = iEcuaciones Cuadrticas -Usamos la frmulacuadrtica para encontrar las dos soluciones. Comprobando las solucionesPara x1 = 2 + 3ix 2 - 4x + 13 = 0 (2 + 3i)2 - 4(2 + 3i) + 13=04 - 9 + 12i - 8 - 12i + 13 = 00 = 0Conclusin:La ecuacin dada tiene dos soluciones complejas dadas porx1= 2 + 3i y x2= 2 - 3i. Para x2 = 2 - 3ix2 - 4x + 13 = 0 (2 - 3i) 2 - 4(2 - 3i) + 13 = 0 4 - 9 - 12i - 8 + 12i + 13 = 00 = 0( )( )( )( )i xixixix 3 2 ;23 2 2;26 4;1 26 41 1 1 1+ =+=+=+ =( )( )( )( )( ) i xixixix 3 2 ;23 2 2;26 4;1 26 42 2 2 2 === =Ecuaciones Cuadrticas Ecuaciones que pueden reducirse a una ecuacin cuadrtica: Existenciertasecuacionesque,aparentementenoson ecuaciones cuadrticas. Por ejemplo x6 - x3 12 = 0. Sinembargo,conunpequeotrucoalgebraicoes posible convertirla en una ecuacin de segundo grado. Estepequeotrucoseconocecomocambiode variable. Para el ejemplo anterior podemos notar que x6 =(x3)2,loquenospermitehacerelcambiodela siguiente manera: Ecuaciones Cuadrticas u=x3 Entonces: (x3)2 (x3) 12 = 0 u2-u-12 = 0 Y ahora, podemos tratarla como una ecuacin cuadrtica y resolverla por alguno de los mtodos vistos Es importante recordar que al final del proceso habr que cambiar nuevamente de u a x Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. x 4 + x 2 - 6 = 0Solucin:-Dadax 4 + x 2 - 6 = 0-Como (x2)2 = x4, hacemos u = x2 y reescribimos la ecuacin en trminos de u.u2 + u - 6 = 0-Factorizamos el lado izquierdo.(u + 3)(u - 2) = 0-Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales.a) u + 3 = 0b) u - 2 = 0-Resolvemos la ecuacin a).u = -3-Resolvemos la ecuacin b).u = 2-Usamos el hecho de que u = x2, la primera solucin para u nos da.x2 = -3Ecuaciones Cuadrticas -Y la segunda solucin nos da. x2 = 2-Larazcuadradadeunnmerorealnopuedesernegativo,de dondelaecuacinx2=-3notieneningunasolucinreal,peros dos complejas. -La segunda ecuacin se resuelve sacando la raz cuadrada y da dos soluciones reales. i x x x 3 ; 3 1 ; 31 1 1= = =i x x x 3 ; 3 1 ; 32 2 2 = = =23 = x24 = xComprobando las soluciones( ) ( )0 00 6 3 90 6 3 332 4== = +=i ii x( ) ( )0 00 6 3 90 6 3 332 4== = + =i ii xEcuaciones Cuadrticas ( ) ( )0 00 6 2 40 6 2 222 4== += += x( ) ( )0 00 6 2 40 6 2 222 4== += + = x2 y2 = = x xi x i x 3 y 3 = =Conclusin: La ecuacin dada tiene dos soluciones reales dadas por ,y dos soluciones complejas dadas por. Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 2 : Encuentra todas las soluciones para la ecuacin. Solucin:-Dada

-Nota que implica que x tiene que ser positive o cero. Comohacemos y reescribimos la ecuacin en trminos de u.2u2 + 3u = 5-Igualamos la ecuacin a 0. 2u2 + 3u - 5 = 0-Factorizamos el lado izquierdo.(u - 1)(2u + 5) = 0-Usamos el teorema del factor cero para obtener las ecuaciones lineales.a) (u - 1) = 0b) 2u + 5 = 0-Resolvemos la ecuacin a).u = 1-Resolvemos la ecuacin b).u = -5/25 3 2 = + x x5 3 2 = + x xx ( ) x x =2x u =Ecuaciones Cuadrticas -Usamos ahora el hecho de que y resolvemos para x. La primera solucin para u nos da: -Elevando al cuadrado ambos lados tenemos: x = 1-La segunda solucin para u nos da: -Esta ltima ecuacin no tiene soluciones reales, dado que la raz cuadrada de un nmero real positivo debe ser un nmero real positivo.Comprobando la solucin:1 = xx u =2 / 5 = x( )5 55 3 25 1 3 1 21== += += xConclusin:La solucin real a la ecuacin dada es x = 1.Ecuaciones Cuadrticas Ecuaciones que contengan expresiones racionales. Gua para resolverlas: 1. Determina elmnimo comn denominador de las expresiones racionales. 2. Halla los valores de la variable que hagan cero el mnimo comn denominador. stas no sonsoluciones porque dan como resultado al menos un denominador cero al sustituirlo en la ecuacin dada. Ecuaciones Cuadrticas 3. Multiplica cada trmino de la ecuacin por el mnimo comn denominador y simplifica, con lo cual eliminars todos los denominadores. 4. Resuelve la ecuacin obtenida. 5.Las soluciones de la ecuacin dada son las encontradas en el inciso 4, con la exclusin de los valores encontrados en el inciso 2. Ecuaciones Cuadrticas Ejemplo 1: Encuentra todas las soluciones para la ecuacin: -se factorizan denominadores y se obtiene m.c.d. -dominio -multiplicar por el m.c.d.Y simplificar -multiplicar factores y restar36 -simplificar -factorizar -teorema del factor cero( )( )( ) ( )( )( ) 0 3 17 20 51 11 20 36 15 5 6 236 3 5 3 23 3 . . .9363532222= += += + += + ++ ==++x xx xx x xx x xx x d c mx x xx3 = xEcuaciones Cuadrticas despejar x Debido a queno puede ser una solucin, vemos que es la nica solucin para la ecuacin dada. 217, 0 17 2 == +xx30 3= = xx3 = x217 = xEcuaciones Cuadrticas Comprobando los resultados:

Conclusin: La ecuacin dada tiene una solucin real dada por :

217 = x25314425314425314411102334942893621152231792173632175321721722== =+|.|

\|=+ + |.|

\|