Ecuación de onda...1 Department of Physics and Electronics - Prof.: Juan Carlos Cersosimo Ecuación de onda Objetivos: El objetivo principal de este capítulo es presentar al estudiante

1 Department of Physics and Electronics - Prof.: Juan Carlos Cersosimo

Ecuación de onda

Objetivos:

El objetivo principal de este capítulo es presentar al estudiante la ecuación de onda. El estudiante tendrá dominio de todos los términos de la ecuación para aplicarla a todo tipo de fenómeno ondulatorio. Con la ayuda de la animación interactiva, se utiliza el modelo de movimiento circular para explicar el significado del ángulo de fase en la ecuación de onda. Identificará los términos del dominio del tiempo y del espacio del movimiento ondulatorio.

Después de terminar el capítulo 3, el estudiante

1. Utilizará el modelo de movimiento circular para explicar las oscilaciones 2. Identificará los términos y variables de la ecuación de ondas. 3. Reconocerá los términos del dominio del tiempo y del espacio. 4. Utilizará la ecuación de ondas para calcular sus propiedades físicas. 5. Calculará energía de los osciladores


Proyección del movimiento circular

El movimiento de una partícula en una trayectoria circular puede proyectarse en cualquiera de los dos ejes del plano donde pertenece la trayectoria. Permitamos proyectar sobre el eje horizontal. La proyección sobre el eje horizontal es función del ángulo

tcosxx ω0= [1]

La proyección de la posición sobre el eje vertical se expresa con la

formula

tsinxy ω0= [2]

x : posición en el eje horizontal [m]

0x : radio de la trayectoria [m]

ω : velocidad angular [rad/s]

t : tiempo [s]

Figure 1: Proyección del movimiento circular sobre el eje horizontal. La curva roja es la función posición de la partícula en función del ángulo. y : posición en el eje vertical [m]

0x : radio de la trayectoria [m]

ω : velocidad angular [rad/s]

t : tiempo [s]


La figura 2 muestra la proyección de la

posición sobre el eje vertical. La función

posición se grafica en función del ángulo,

tω

Ejemplo 1:

Una bola amarrada de una cuerda de 0.20 m gira sobre una mesa sin fricción a 2 rad/s. Un niño apenas alcanza la mesa y ve desde un borde el movimiento.

¿Cuál es la posición percibida a 45o después que pasa frente a él?

Solución:

Cuando la pelota pasa frente al niño la posición es en el origen de coordenadas, 𝑥𝑥 = 0 .

Cuando tiene un ángulo de 45 grados después que pasa frente a el la posición vista desde el borde de la mesa es

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑜𝑜 cos𝜔𝜔𝜔𝜔, o sea:

𝑥𝑥 = 0.20 cos 35𝑜𝑜 = −0.14 𝑚𝑚

Tabla 2: Proyección de la posición sobre los ejes x y y Posición

Angulo x y 0 0x+ 0

π/2 0 0y+ π 0x− 0

3π/2 0 0y−

Figure 2: Proyección del movimiento circular sobre el eje vertical. La curva roja es la función posición de la partícula en función del ángulo.


Problemas de reto: 1. En el modelo de movimiento circular para representar las oscilaciones, la amplitud, o sea la elongación

máxima es igual a: a. El radio de círculo b. La mitad del radio del círculo c. A la velocidad angular d. A π e. Ninguna de las anteriores

2. La velocidad angular de un motor es 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 × 0.65 rad/s. El ángulo de posicon después de 0.5 segundos que pasa por el punto de equilibrio de izquierda a derecha es:

a. 1170 b. 1200 c. 1370 d. 350 e. -1170

3. La masa de la figura está sujeta a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El movimiento se representa mediante la ecuación 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑜𝑜 cos𝜔𝜔𝜔𝜔, si 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 × 0.65 rad/segundo, y 𝑥𝑥𝑜𝑜 = 0.50 metros; la posición de la masa cuando 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 30𝑜𝑜 es:

a. 0.43 m b. 0.50 mm c. 0.30 m d. -0.25 m e. 0.86 m

4. En el problema 3, cual es la posición de la masa cuando 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 90𝑜𝑜

a. 0 m b. 0.50 m c. -0.50 m d. 0+.40 m e. -0.40 m

5. En el problema 3, la posición del cuerpo un segundo después que pasa por el punto de equilibrio, de

izquierda a derecha 1 segundo después a. -.22 m b. -.5 m c. -2.2 m d. .40 m e. -.40 m

Masa sujeta a un resorte. El cuerpo oscila horizontalmente sin fricción.


Diferencia de fase

La Figura 3 muestra la trayectoria del movimiento circular uniforme. A la derecha se muestra la

proyección sobre el eje vertical, y luego se muestra la grafica de la partícula en función del tiempo.

La ecuación que representa el movimiento de la partícula en función del tiempo es

𝑦𝑦 = A sin𝜔𝜔𝜔𝜔 [3]

El ángulo tωθ = es la fase del movimiento. En la figura 1 una partícula (color rojo) comienza a

moverse en el circulo, el reloj mide el tiempo desde la salida, 0=t , en la posición 00== tωθ

. Luego se encuentra en 11 tωθ = para 1tt = .

Una segunda partícula (color azul) comienza el movimiento en el tiempo 1tt = . La fase inicial es

01 0=tω . La diferencia de tiempo entre la salida de la primera y la segunda partícula es

ttt ∆=− 01 . El movimiento comienza en el origen, en el mismo lugar de donde partió la primera

partícula, y con la misma velocidad angular.

Figure 3: Izquierda: Proyección del movimiento circular en el eje vertical. Dos partículas se mueven en la

trayectoria circular. A cada partícula se mide el tiempo utilizando un cronometro. La roja comienza en t=0,

la azul comienza en un tiempo posterior. La azul cronometro azul y la roja con cronometro rojo.

En la figura 7 la diferencia de fase es 𝜑𝜑 = 𝜔𝜔∆𝜔𝜔. La función de la posición de la partícula proyectada

en el eje vertical en función del tiempo. La función tiene la forma 𝑦𝑦 = A sin𝜔𝜔𝜔𝜔


La función que representa la posición de la partícula roja es: 𝑦𝑦 = A sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 0) con 𝜑𝜑 = 0

La función que representa la posición de la partícula azul (atrasada respecto de la roja) es:

𝑦𝑦 = A sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔∆𝜔𝜔) [4]

Si llamamos 𝜑𝜑 = 𝜔𝜔∆𝜔𝜔; la ecuación [4] puede escribirse de forma más general:

𝑦𝑦 = A sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) [5]

Donde el ángulo de fase toma valores entre 0 y 2π. La ecuación [5] es la ecuación de la onda cuyo

argumento es independiente de la puesta en marcha del cronómetro. El signo indica si la

perturbación está adelante o atrás respecto de una referencia arbitraria.

Cuerda oscilando

La Figura 4 representa una cuerda compuesta por una serie de partículas ligadas una a

continuación de la otra. La perturbación impartida en un extremo se propaga por el resto de la

cuerda.

Figure 4: Modelo de cuerda oscilando. La ventana 1 muestra la partícula del extremo donde la cuerda es sometida a pulsos sucesivos. La ventana 2 muestra un punto arbitrario de la cuerda para compararlo con la anterior.


La partícula en el origen comienza a oscilar en el tiempo 0=t . La partícula que analizamos en

la segunda ventana comienza en un tiempo posterior, la diferencia de tiempo en la oscilación

respecto de la primera partícula se llama retardo.

El producto de la velocidad angular por el intervalo de tiempo del retardo se llama ángulo de

fases:

𝜑𝜑 = 𝜔𝜔∆𝜔𝜔

La función del movimiento de la partícula en la ventana de la izquierda es: 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)

El movimiento de la partícula en la ventana de la derecha es:

𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑)

Relación entre el ángulo de fases y la oscilación de un elemento de la cuerda

Tenemos una cuerda. La hacemos oscilar por un extremo (el izquierdo). La perturbación viaja por

la cuerda. En otro punto cualquiera de la cuerda la perturbación llega en un tiempo ∆𝜔𝜔, posterior

respecto del inicio en el extremo. El tiempo que le toma a la perturbación en llegar allí es, ∆𝜔𝜔 =𝑥𝑥𝑣𝑣 , siendo x la posición del punto en cuestión respecto del situado en el extremo izquierdo, y 𝑣𝑣, es

la velocidad de la perturbación. Con un poco de algebra demostraremos que el ángulo de fase

describe el estado de oscilación del punto.

Consideremos el tiempo congelado, es decir un tiempo t=cte, que arbitrariamente lo elegimos igual

a cero. Entonces:

𝑦𝑦 = A sin(𝜑𝜑)

(hemos consideramos el modulo del ángulo).

𝜑𝜑 = 𝜔𝜔∆𝜔𝜔 = 𝜔𝜔 𝑥𝑥𝑣𝑣, pero como 𝑣𝑣 = 𝜆𝜆

T resulta: 𝜑𝜑 = 2𝜋𝜋 𝑥𝑥

𝜆𝜆

Vemos que la ecuación:

𝑦𝑦 = A sin �2𝜋𝜋𝑥𝑥𝜆𝜆�


𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 2𝜋𝜋 𝑥𝑥𝜆𝜆, describe la forma de la cuerda para un tiempo fijo. Los valores de y cuando 𝑥𝑥 =

𝜆𝜆, implica que y=0

Se representan en la tabla la función que corresponde a la figura.

Figura 9: Cuerda vibrando congelada en el tiempo

Ejemplo 1:

Una partícula se somete a un MAS comenzando en el tiempo 0tt = . Una segunda partícula comienza a oscilar después en el tiempo ( ) stt 20 += . La ecuación del MAS para ambas partículas es ( ) metrost.cosAy 30= . ¿Cuál es el ángulo de fase de la segunda partícula respecto del tiempo inicial de la primera?

Solución: ( ) metrostcosAy φω −= . Debemos averiguar el ángulo de fase.

El ángulo de fase rad..t 60230 =⋅=∆=ωφ .

La segunda partícula esta atrasada 0.6 radianes o 34.480 . Ejemplo 2: El extremo izquierdo de una cuerda, de masa 1m∆ se somete a una oscilación periódica comenzando en 0t . Un elemento de la cuerda, de masa nm∆ comienza a oscilar cuando el cronometro marca el tiempo t posterior a 0t . La ecuación de la posición vertical es

( ) metrosty 4/cos4.0 ππ −= .

Determinar la amplitud, frecuencia, periodo y la fase Solución:

x λπ /2 x

λπxAy 2sin=

4/λ 2/π A

2/λ π 0

λ43

π23

A−

λ π2 0


Comparando esta ecuación con la ecuación general ( )φω −= tAy sin tenemos que: m.A 40= , s/radπω = , en consecuencia la frecuencia es: 1502 −== s.f πω y el periodo

es: sf/T 21 == . La constante de fase es: rad4πφ = . Ejemplo 3: Volviendo al problema del ejemplo 1, queremos averiguar cuanto tiempo tarda la perturbación en llegar hasta el elemento de la cuerda, nm∆ . Solución: La constante de fase es: rad4πφ = . La frecuencia angular es: rad.50=ω . El ángulo de fase se escribe: t∆= ωφ , o sea que el retardo es: ( ) s.//t . 5714 250

1 ====∆ ππωφ Comentario: Desde que comienza la oscilación en el extremo izquierdo la perturbación tarda 1.57 segundos en llegar hasta el elemento de masa nm∆ . Podemos comprobar este resultado calculando el ángulo: 4785057150 /...t πωφ ==⋅==


Problemas de selección múltiple

1. El desplazamiento de una cuerda esta dado por ftAy π2sin= , cuya rapidez de propagación es v, La frecuencia angular es:

a. fπ2 b. π2 c. A d. f/2π

2. Una partícula realiza un MAS dado por ( )25.010sin2 −= ty . La amplitud, la frecuencia y el ángulo de fase son:

a. 2m, 10/2π, 0.25 b. 4m, 10 π,0.25 c. 8m, 20 π,0.25 d. 2m, 10/ π, 0.25

3. Las ondas sísmicas de viajan a 4000 m/s y a una frecuencia de 50 Hz. Se detecta el temblor a 10 km del epicentro, el ángulo de fase en la localidad es:

a. 45o mn b. 20o c. 145o d. 100o

4. Un movimiento oscilatorio de una columna de aire satisface la ecuación ( )ty 10sin2= , viajando a 300 m/s. A 30 metros de la columna el ángulo de fases de la oscilación es:

a. 57.30 b. 2.50 c. 50 d. 100

5. El desplazamiento de una cuerda está dado por ( )φω += tAtxy sin),( . La perturbación viaja hacia la:

a. Izquierda b. derecha e izquierda c. hacia la derecha y se detiene después de cierto tiempo d. Derecha


Vibraciones – El péndulo simple El péndulo oscila con movimiento periódico. La posición de equilibrio es donde el péndulo cuelga de forma vertical. Si desplazamos el péndulo con respecto al equilibrio la cuerda forma un ángulo θ, con la vertical. Observando la figura vemos como en la posición fuera del equilibrio la fuerza del peso, mg se descompone en dos; la componente a lo largo del movimiento, mg senθ , y la componente que se opone a la tensión T de la cuerda, mg cosθ. La fuerza que restaura el péndulo al equilibrio es:

𝐹𝐹 = −𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 si el ángulo de oscilación es muy pequeño, se puede igualar

sin 𝜃𝜃 ≈ θ

entonces escribimos:

𝐹𝐹 = −𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 = −�𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿�𝑥𝑥

De inmediato se puede identificar la constante de fuerza k a partir de la forma general: 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑥𝑥, 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝐿𝐿

Por lo tanto la frecuencia se obtiene directamente: Lg

mkf

ππ 21

21

==

Ejemplos: 1. ¿Qué Longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea de 1 .00 s en un

lugar de la tierra donde la aceleración debida a la gravedad es 9.82 m/s2? Solución: El período del péndulo está relacionada con la longitud y la aceleración

de la gravedad: Lg

Tf

π211

==

2. Una bala de 5.0 g se dispara horizontalmente a un bloque de madera de 1kg de masa, que esta fijo a una barra de 1 metro de largo, que se sujeta del extremo opuesto y puede oscilar como un péndulo (péndulo balístico). La bala se incrusta en la madera y el péndulo se mueve hasta formar un ángulo de 55 grados respecto de la posición inicial.

a. ¿Qué energía cinética tiene la bala en el momento de chocar con el bloque?

b. ¿Cuál es la ecuación de movimiento del péndulo? ( ))cos(0 tωθθ =


3. La expresión de la ecuación de movimiento de una masa de 0.5 kg sujeta en el extremo de un resorte horizontal es: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑜𝑜 cos𝜔𝜔𝜔𝜔 donde 𝑥𝑥𝑜𝑜 = 12 𝑐𝑐𝑚𝑚. La constante es k=15 N/m.

a. Calcular la frecuencia, el periodo, y la amplitud. b. ¿Cuál es la posición de la masa 10 segundos después que se libera la

masa apartándola 12 cm de la posición de equilibrio? 4. Un bloque uniforme cuyos lados tienen longitudes a,

b y c, flota parcialmente sumergido en agua. Es empujado un poco hacia abajo y se suelta dejándolo oscilar. Como el lado vertical tiene longitud b y la densidad del bloque es κ,

a. Demostrar que el movimiento es armónico simple.

Preguntas: ¿Que debo demostrar para concluir que el movimiento MAS? Respuesta: La fuerza restauradora neta debe ser proporcional al desplazamiento. Pregunta: ¿Qué fuerzas actúan sobre el bloque? Respuesta: El peso del bloque se equilibra con la fuerza del empuje del agua Pregunta: ¿Qué determina la fuerza de empuje?

Respuesta: El peso del agua desplazada por el bloque es la fuerza de empuje: 𝐹𝐹𝑤𝑤 = M𝑤𝑤g = 𝜌𝜌ach g, donde la masa de agua desplazada es M𝑤𝑤 = 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑐𝑐𝑦𝑦 Pregunta: si empujo el bloque una distancia adicional y, ¿Cuánta fuerza de empuje adicional produce? Respuesta: [ ]yacgF )(ρ= (𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑦𝑦) el término entre corchetes es constante.

Pregunta: ¿Qué determina la frecuencia? Respuesta: Mkf

π21

= , donde

gack ρ=

Solución: El problema está casi resuelto: yg

acygacf

πρρ

π 21

21

==

El periodo es: gyT π2= .

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Energía en las vibraciones

MAS: 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑) , 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)

𝐾𝐾 =12𝑚𝑚 𝑣𝑣2 =

12𝑚𝑚𝜔𝜔2𝐴𝐴2[sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)]2

𝑈𝑈 =12𝑘𝑘𝐴𝐴2[cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)]2

K y U son siempre cantidades positivas. La energía total:

𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 =12𝑚𝑚𝜔𝜔2𝐴𝐴2[sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)]2 +

12𝑘𝑘𝐴𝐴2[cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)]2

Sabiendo que: 𝜔𝜔2 = 𝑘𝑘/𝑚𝑚

𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 =12𝑘𝑘𝐴𝐴2 and 𝐾𝐾𝑚𝑚𝑥𝑥 =

12𝑚𝑚𝜔𝜔2𝐴𝐴2; 𝑈𝑈𝑚𝑚𝑥𝑥 =

12𝑘𝑘𝐴𝐴2

Por otra parte tenemos la energía total:

𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 =12𝑚𝑚𝑣𝑣2 +

12𝑘𝑘𝑥𝑥2 =

12𝑘𝑘𝐴𝐴2

𝑣𝑣 = ±�𝑘𝑘𝑚𝑚

(𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2) = ±𝜔𝜔�(𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2)

Ejemplo: Un objeto de 0.5 kg unido a un resorte carente de masa despreciable, con una constante de fuerza de 20.0 N/m, oscila sobre una superficie horizontal, sin rozamiento.

a) Calcular la energía total y la velocidad máxima si la amplitud del movimiento es 3.00 cm b) La rapidez del objeto cuando la posición es 2.00 cm c) La energía potencial y la energía cinética del sistema cuando la posición es 2.00 cm d) Para que valores de x es la rapidez del objeto igual a 0.100 m/s

Ejemplo: Sea 25 gr la masa de un cuerpo, 𝑘𝑘 = 0.4 𝑁𝑁/𝑚𝑚 la constante recupcradora, y supongamos quc el movimicnto se inicia desplazando el cuerpo 𝑥𝑥𝑜𝑜 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚 hacia la derecha de su posición de equilibrio, comunicandole una velocidad hacia la dereha de 40 cm/s. Calcular;

a) el periodo T: 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�𝑚𝑚/𝑘𝑘 = 1.57 𝑠𝑠 b) la frecuencia: 𝑓𝑓 = 1

𝑇𝑇= 0.638

c) la frecuencia angular: 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓 = 4 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟/𝑠𝑠 d) la energia total: 𝐸𝐸 = 1

2𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 1

2𝑘𝑘𝑥𝑥2 = 2 × 10−3𝐽𝐽

e) la amplitude: 𝐴𝐴 = �2𝐸𝐸/𝑘𝑘 = 0.1 𝑚𝑚


f) la fase: sin𝜃𝜃𝑜𝑜 = 𝑥𝑥𝑜𝑜𝐴𝐴⟹ 𝜃𝜃𝑜𝑜 = arcsin 𝑥𝑥𝑜𝑜

𝐴𝐴= arcsin � 1

√2�

g) la velocidad maxima: 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑥𝑥 = �2𝐸𝐸/𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝐴𝐴 = .56 𝑚𝑚𝑠𝑠

h) la aceleración maxima: 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝜔𝜔2𝑥𝑥𝑚𝑚𝑥𝑥 i) la elongación, velocidad y aceleración en el instante π/8 segundos depues del iniciado el movimiento.

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