1

Aplicaţie – serii cronologice afectate de sezonalitate

Considerăm seria cronologică privind sosirile trimestriale de turişti la hotelul “Creasta” dintr-o

zona montană, in perioada 2005-2007:

Anul Numărul turiştilor cazaţi

I II III IV

2005 940 650 1934 1360

2006 952 706 2072 1406

2007 992 734 2088 1478

Anul Trimestrul Perioada t ty

2005

I 1 1y =940

II 2 2

y =650

III 3 3y =1934

IV 4 4

y =1360

2006

I 5 5y =952

II 6 6y =706

III 7 7y =2072

IV 8 8y =1406

2007

I 9 9y =992

II 10 10y =734

III 11 11y =2088

IV 12 12y =1478

Atunci când seria cronologică prezintă fluctuaţii regulate (sezoniere sau ciclice), componenta

trend a unei serii cronologice se estimează prin metoda mediilor mobile (MM), pentru a netezi evoluţia

fenomenului. Trendul se determină sub forma unor medii, calculate din atâţia termeni (p), la câţi se

2

manifestă o oscilaţie completă. Mediile se numesc mobile sau glisante, deoarece în calculul unei astfel

de medii, se lasă în afară primul termen al mediei anterioare şi se introduce următorul termen.

Se observă că o oscilaţie completă se realizează într-un număr de 4 perioade (trimestre), atunci

trendul va fi determinat prin metoda mediilor mobile din patru termeni, valorile ty ale seriei

cronologice modificându-se după formula:

2,...,3,2,4

5.05.0 2112

)( −=

⋅++++⋅

=++−−

ntyyyyy

yttttt

MMtT

Anul Trimestrul Perioada

t ty

4

5.05.0 2112)(

++−−⋅++++⋅

=ttttt

MMtT

yyyyyy

2005

I 1 1y =940 *

II 2 2

y =650 *

III 3 3y =1934

4

5.05.0 54321

)(3

yyyyyy

MMT

⋅++++⋅

= =1222,5

IV 4 4

y =1360

4

5.05.0 65432

)(4

yyyyyy

MMT

⋅++++⋅

= =1231

2006

I 5 5y =952

4

5.05.0 76543

)(5

yyyyyy

MMT

⋅++++⋅

= =1255,25

II 6 6y =706 )(6 MMT

y =1278,25

III 7 7y =2072 )(7 MMT

y =1289

IV 8 8y =1406 )(8 MMT

y =1297,5

2007

I 9 9y =992 )(9 MMT

y =1303

II 10 10y =734

4

5.05.0 12111098)(10

yyyyyy

MMT

⋅++++⋅

= =1314

III 11 11y =2088 *

IV 12 12y =1478 *

3

Pentru a măsura efectul sezonier, vom determina devieri (abateri) sezoniere (pentru modelul

aditiv al unei serii cronologice) sau indici de sezonalitate (pentru modelul multiplicativ al unei serii

cronologice.

Devierile sezoniere măsoară, în medie, abaterile fiecărui sezon de la trend, iau valori pozitive şi

negative, astfel încât suma devierilor sezoniere, pentru toate sezoanele, să fie egală cu zero.

Indicii de sezonalitate măsoară, în medie, de câte ori se abate variabila, în fiecare sezon, de la

trend, iau valori supraunitare sau subunitare, astfel încât produsul lor să fie egal cu 1.

Pentru determinarea abaterilor sezoniere se parcurg următorii paşi:

Pasul 1. Se elimină din valorile observate (ty ) componenta de trend (

tTy ) determinată prin MM, adică

se elimină )(MMtTy :

ntyyyytRtStTt

,...,2,1, =++=

(modelul aditiv pentru o serie cronologică)

ntyyyytRtStTt

,...,2,1, =+=−⇒

Pasul 2. Pentru fiecare sezon (trimestru) se calculează media valorilor obţinute la Pasul 1 (prin calculul

mediei se înlătură cea mai mare parte din variaţiile reziduale).

Pasul 3. Mediile se vor ajusta astfel încât suma lor să fie egală cu 0, adică se calculează abaterile

sezoniere corectate, ce reprezintă componenta sezonieră a seriei cronologice.

Anul Trimestrul Perioada t ty )(MMtT

y )(MMtTt

yy −

1998

I 1 1y =940 * *

II 2 2

y =650 * *

III 3 3y =1934 )(3 MMT

y =1222,5 )(33 MMTyy − =711,5

IV 4 4

y =1360 )(4 MMTy =1231 )(44 MMT

yy − =129

1999

I 5 5y =952 )(5 MMT

y =1255,25 )(55 MMTyy − =-303,25

II 6 6y =706 )(6 MMT

y =1278,25 )(66 MMTyy − =-572,25

III 7 7y =2072 )(7 MMT

y =1289 )(77 MMTyy − =783

IV 8 8y =1406 )(8 MMT

y =1297,5 )(88 MMTyy − =108,5

2000

I 9 9y =992 )(9 MMT

y =1303 )(99 MMTyy − =-311

II 10 10y =734 )(10 MMT

y =1314 )(1010 MMTyy − =-580

III 11 11y =2088 * *

IV 12 12y =1478 * *

4

Anul I II III IV

2005 * * )(33 MMTyy − =711,5 )(44 MMT

yy − =129

2006 )(55 MMTyy − =-303,25 )(66 MMT

yy − =-572,25 )(77 MMTyy − =783 )(88 MMT

yy − =108,5

2007 )(99 MMTyy − =-311 )(1010 MMT

yy − =-580 * *

Mediile pe

trimestru

(Abaterile

Sezoniere

brute)

( ) ( )=

−+−

2

31125,303

= -307,125

( ) ( )=

−+−

2

58025,572

= -576,125

=+

2

7835,711

= 747,25

=+

2

5,108129

= 118,75

Suma devierilor

(abaterilor ) sezoniere=

=Suma mediilor=

= -22,667≠0

Media devierilor

sezoniere este

4

667,22−

=S

= -5,667

Abaterile

sezoniere

corectate

SyIS

−−= 125,307

=-302,8125

SyIIS

−−= 125,576

=-571,8125

SyIIIS

−= 25,747

=751,5625

SyIVS

−= 75,118

=123,0625

Suma abaterilor

sezoniere corectate = 0

Abaterile sezoniere în trimestrele I şi II sunt negative (niveluri sub trend), iar abaterile sezoniere pentru trimestrele III şi iV sunt pozitive

(vârfuri de activitate).

Rezultatele arată că factorul sezonier deviază numărul de turişti ce se cazează la hotelul „Creasta” astfel:

- în trimestrul I cu 302,8125 ≈ 303 turişti sub linia de trend,

- în trimestrul II cu 571,8125 ≈ 572 turişti sub linia de trend,

- în trimestul III cu 751,5625 ≈ 752 turişti peste trend,

- în trimestrul IV cu 123,0625 ≈ 123 turişti peste trend.

Componenta sezoniera tSy este data de

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

==

==

==−

==−

=

an fiecarui al IV Trimestrul12,8,4pentru ,0625,123

an fiecarui al III Trimestrul11,7,3pentru ,5625,751

an fiecarui al II Trimestrul10,6,2pentru ,8125,571

)anfiecaruialITrimestrul9,5,1pentru,8125,302

ty

ty

ty

ty

y

IVS

IIIS

IIS

IS

tS

Observatie: 0=+++IVSIIISIISIS

yyyy .

5

Previzionarea fenomenelor afectate de sezonalitate

În cazul fenomenelor afectate de sezonalitate, nivelurile previzionate, pentru tendinţa pe termen lung pe sezoane, trebuie corectate cu factorul sezonier.

După determinarea abaterilor sezoniere, se parcurg următorii paşi în vederea previzionării:

Pasul 1. Se determină seria desezonalizată prin eliminarea componentei sezoniere tSy din valorile ,

adică se calculează: ntyytSt

,1, =− ,

ce reprezintă termenii seriei desezonalitate.

Pasul 2. Se determină trendul ( )ty al seriei desezonalizate ntyy

tSt,1, =− prin metoda analitică, de

regulă. Unul dintre cele mai utilizate este trendul linear:

( ) tbayyyTrendttSt

⋅+==− ˆ .

Pasul 3. Se previzionează componenta de trend astfel determinată pentru perioadele viitoare:

4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

++++ nnnnyyyy

Pasul 4. Se adună valorile previzionate pe sezoane de la pasul anterior cu abaterile sezoniere, pentru a obţine previziunea finală:

( ) ISntprevizionan yyy +=++ 11

ˆ ,

( ) IISntprevizionan yyy +=++ 22

ˆ ,

( ) IIISntprevizionan yyy +=++ 33

ˆ ,

( ) IVSntprevizionan yyy +=++ 44

ˆ .

În exemplul considerat, pe baza datelor trimestriale din perioada 2005-2007,

trimestrennt 12,,1 == , privind numărul de turişti cazaţi la hotelul „Creasta”, s-au calculat termenii

seriei desezonalizate ntyytSt

,1, =− , iar apoi, pentru seria desezonalizată s-a determinat componenta

trend folosind metoda analitică - trendul linear:

( ) tbayyyTrendttSt

⋅+==− ˆ .

Coeficienţii a şi b reprezintă soluţia sistemului de ecuaţii normale:

( )

( )

−⋅=⋅+⋅

−=⋅+⋅

∑∑∑

∑∑

===

==

n

t

tSt

n

t

n

t

n

t

tSt

n

t

yyttbta

yytban

11

2

1

11,

unde ( )2

1...21

1

+⋅=+++=∑

=

nnnt

n

t

si ( ) ( )

6

121...21

222

1

2 +⋅+⋅=+++=∑

=

nnnnt

n

t

.

Atunci, sistemul ecuatiilor normale este:

=⋅+⋅

=⋅+⋅

5,10130065078

153127812

ba

ba

cu soluţia a=1195,43 şi b=12,40,

deci trendul seriei desezonalizate este ( ) tyyyTrendttSt

⋅+==− 40,1243,1195ˆ .

6

Calculele intermediare sunt prezentate în tabelul următor:

Anul Tri-

mestrul

Perioada

t

ty tS

y

(componenta

sezoniera)

tStyy −

(seria

desezonalizata)

( )tStyyt −⋅ 2

t

2005

I 1 1y =940 S

y1

=-302,8125 =−S

yy11

1242,8125 1242,8125 1

II 2 2

y =650 Sy2

=-571,8125 =−S

yy22

1221,8125 2443,625 4

III 3 3y =1934 S

y3

=751,5625 =−S

yy33

1182,4375 3547,3125 9

IV 4 4

y =1360 Sy4

=123,0625 1236,9375 4947,75 16

2006

I 5 5y =952 S

y5

=-302,8125 1254,8125 6274,0625 25

II 6 6y =706 S

y6

=-571,8125 1277,8125 7666,875 36

III 7 7y =2072 S

y7

=751,5625 1320,4375 9243,0625 49

IV 8 8y =1406 S

y8

=123,0625 1282,9375 10263,5 64

2007

I 9 9y =992 S

y9

=-302,8125 1294,8125 11653,3125 81

II 10 10y =734 S

y10

=-571,8125 1305,8125 13058,125 100

III 11 11y =2088 S

y11

=751,5625 =−S

yy1111

1336,4375 14700,8125 121

IV 12 12y =1478 S

y12

=123,0625 =−S

yy1212

1354,9375 16259,25 144

∑=

12

1t

t =

=78

=∑=

12

1t

ty

=15312

( ) =−∑=

12

1t

tStyy

=15312

( )∑=

=−⋅

12

1t

tStyyt

=101300,5

=∑=

12

1

2

t

t

=650

7

8

Pentru a previziona numarul de turisti pentru cele patru trimestre ale anului 2008, procedam

astfel:

1. Previzionam valorile componentei trend: ( ) tyyyTrendttSt

⋅+==− 40,1243,1195ˆ

( ) turisti63,13561340,1243,1195ˆ,2008 I, trimestrul1313

=⋅+== yt ,

( ) turisti03,13691440,1243,1195ˆ,2008 II, trimestrul1414

=⋅+== yt ,

( ) turisti43,13811540,1243,1195ˆ,2008 III, trimestrul1515

=⋅+== yt .

( ) turisti83,13931640,1243,1195ˆ,2008 IV, trimestrul1616

=⋅+== yt .

2. Corectam valorile previzionate prin adunarea abaterilor sezoniere corectate:

( ) ( ) =+== IStpreviziona yyyt1313

ˆ,2008 I, trimestrul13

( )

turisti10541053,8175

8125,30263,1356

≅=

=−+=

( ) ( ) =+== IIStpreviziona yyyt1414

ˆ,2008 II, trimestrul14

( )

turisti977,2125977

8125,57103,1369

≅=

=−+=

( ) ( ) =+== IIIStpreviziona yyyt1515

ˆ,2008 III, trimestrul15

turisti13322132,9925

5625,75143,1381

≅=

=+=

( ) ( ) =+== IVStpreviziona yyyt1616

ˆ,2008 IV, trimestrul16

turisti15171516,8925

0625,12383,1393

≅=

=+=