ECONOMETRÍA APLICADA A LA TOMA DE DECISIONES … · ECONOMETRÍA APLICADA A LA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES Lección 4: Autocorrelación. S jm1. Diapositiva 1 jm1 Se agradece

ECONOMETRÍA APLICADA A

LA TOMA DE DECISIONES

EMPRESARIALES EMPRESARIALES

Lección 4: Autocorrelación.

Sjm1

Diapositiva 1

jm1 Se agradece la contribución de los profesores Arranz, Suárez y Zamora, cuyos materiales de clase se han utilizado en la elaboración de esta presentación.juan muro; 28/09/2007

Autocorrelación.

1. ¿ Qué es un modelo con autocorrelación?

2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se

11/29/2012 Juan Muro

2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se suelen presentar modelos autocorrelacionados? Datos de serie temporal

Correlación espacial (Econometría espacial)S

Distintas acepciones de autocorrelación

• Autocorrelación o correlación serial en una serie temporal

Series estacionarias y no estacionarias

• Autocorrelación o correlación serial en un modelo econométrico

Perturbaciones aleatorias


A

Condiciones de estacionariedad

• Estacionariedad fuerteLa función de distribución de yt se mantiene a lo

largo de los periodos.

• Estacionariedad débil (o en las • Estacionariedad débil (o en las covarianzas)

E(yt)= µ √ t

Var(yt)= σ2 √ t, E(yt, yt-s)= γs √ t

• Ejemplo: ilustracion_mcg.prg; cne.wf1


A

Series no estacionarias

• TSP, trend stationary processSeries no estacionarias que se convierten en

estacionarias mediante la eliminación de una tendencia determinística temporal.

yt= α + βt + εt ; εt i.i.d. N(0,1) √ t

• DSP, difference stationary processSeries no estacionarias que se convierten en

estacionarias mediante diferencias (tendencia estocástica).

yt= yt-1+ εt (random walk)

• Ejemplo: ilustracion_mcg.prg; cne.wf111/29/2012 Juan Muro

A

Autocorrelación.

3. ¿ Qué problemas plantea a la estimación por MCO?

3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz


3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz

de varianzas y covarianzas de los

estimadores MCO corregida por el efecto

de la autocorrelación, Newey-West(1987)?

S

Autocorrelación.

4. ¿ Cómo se detecta la autocorrelación?


S

Autocorrelación.

5. ¿ Cómo se estima un modelo

autocorrelacionado mediante estimadores que

tengan buenas propiedades estadísticas?

¿ Qué se entiende por la estimación de un modelo


¿ Qué se entiende por la estimación de un modelo en cuasidiferencias?

¿ Qué problemas plantea la utilización de un “modelo en diferencias" como método para resolver la autocorrelación?

S

4.1. Consecuencias de la autocorrelación.

MRLG:

Yt=X’tβ+ut; t=1,2,……T. Serie temporal; icorte transversal.


X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yt, ut, escalares.

E(utut+s|X)= σtt+s (elementos de la matriz devarianzas y covarianzas Ω).

S


Impondremos el supuesto deestacionariedad débil.


σtt+s = σ2 para s=0. (homoscedasticidad).

σtt+s = γs para s≠0. (covarianza sólodepende del desfase temporal).

S


Estimador MCO: b= (ΣXtX’t)-1ΣXtYt.

E(b|X)= β.


E(b|X)= β.

Var(b|X)=(ΣXtX’t)-1ΣΣE(utus|X)XtX’s (ΣXtX’t)

-1.

Como E(utus|X)= γt-s es desconocida, lamatriz lo es.

S


En expresión matricial:

====ΩΩΩΩ====

====−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

............

...1

...1

............

...

...

)'(21

11

222

2

1

11

2

T

T

T

T

uuE

ρρ

ρρ

ρρ

σσ

σγγ

γσγ

γγσ


Donde

No hay resultados generales para el sesgo de la matrizpor MCO, s2(ΣXtX’t)

-1.

−−−−−−−−−−−−−−−−

1......21

2

21 TTTTρρσγγ

S

... 2, 1, 0,s )()(

),(

0

±±===+

+

γ

γρ S

Stt

Stt

SuVaruVar

uuCov


La autocorrelación sigue las siguientes estructuras, AR(p),MA(q), ARMA(p,q).

Procesos autorregresivos:

AR(p): u = Φ u + Φ u +…….+ Φ u +ε .


AR(p): ut= Φ1ut-1+ Φ2ut-2+…….+ Φput-p +εt.

AR(1): ut= Φ1ut-1 +εt.

Procesos de medias móviles:

MA(q): ut= εt+ θ1εt-1+ θ2 εt-2…….+ θq εt-q.

MA(1): ut= εt+ θ1 εt-1.

S


Procesos autorregresivos y de medias móviles:

ARMA(p,q): ut= Φ1ut-1+ Φ2ut-2+…….+ Φput-p +εt

+θ1εt-1+ θ2 εt-2…….+ θq εt-q.

ARMA(1,1): ut= Φ1ut-1+ εt+ θ1 ε t-1.


ARMA(1,1): ut= Φ1ut-1+ εt+ θ1 ε t-1.

A

Matriz de Newey-West (1987).

La matriz

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

.1

;'1

.'''1

'

1

2

0

1

1 10

1

++++====

====

++++++++

∑∑∑∑

∑∑∑∑ ∑∑∑∑

====

−−−−

==== ++++====−−−−−−−−−−−−

−−−−

L

lwXXe

TS

XXXXXXeewT

SXXT

l

T

iiii

L

l

T

lttltlttlttl


Es un estimador consistente de la matriz de

varianzas y covarianzas asintótica del

estimador b. Matriz HAC.

1++++ LT

S

.'1

'1

'11

1

2

1 −−−−−−−−

ΩΩΩΩ

==== XX

TXX

TXX

TTV

MCOσ

Matriz de Newey-West (1987).

La sugerencia de Newey y West es estimarpor MCO (lineal e insesgado) y calcularconsistentemente los errores por mediode su matriz (estimadores no eficientes).


de su matriz (estimadores no eficientes).

Se pueden utilizar los estadísticos t (no asíel F).

A

4.2. Contrastes de autocorrelación.

Carácter

Hipótesis nula

Exactos Asintóticos

Generales (robustos)

Durbin y Watson(1950, 1951). Contraste exacto.

Breusch-Godfrey(1978)

Correlograma de

11/29/2012 Juan MuroS

exacto.

Residuos Recursivos: Razón de Von Neumann modificada (MVNR)

Correlograma de residuos.

Específicos (potentes)

h de Durbin(1970).

Sargan(1964)

Durbin y Watson(1950, 1951). Contraste exacto.

• Diseñado para contrastar la presencia de procesos AR(1), estacionarios.

• Es robusto ante la presencia de otro tipo de autocorrelación.

11/29/2012 Juan Muro S

• No permite la presencia de especificación dinámica en el modelo.

• Las tablas de la distribución del estadístico D-W habitualmente utilizadas requieren la especificación con término independiente (Savin-White)(Farebrother para cte).

Durbin-Watson(1950, 1951). Contraste exacto.

Yt=X’tβ+ut

Con ut=ρut-1+εt.

H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.

1. Estimar el modelo por MCO. Obtener los residuos minimocuadráticos et.


1. Estimar el modelo por MCO. Obtener los residuos minimocuadráticos et.2. Calcular el estadístico de D-W:

3. Comprobar en las tablas oportunas de la distribución del estadístico deD-W, para un nivel de significación determinado, si el valor anterior cae enlas zonas de rechazo, indecisión o no rechazo de la hipótesis nula.4. Emplear algún criterio para resolver la indecisión en el caso en que elvalor caiga en dicha zona.

e

)e-e(=d

2

t

T

1=t

2

1-tt

T

2=t

∑∑∑∑

∑∑∑∑

Teniendo en cuenta que: , el rango de variación del estadístico:

Autocorrelación negativa

Ausencia autocorrelación

Autocorrelación positiva

Durbin y Watson hallaron unos límites superior du e inferior dL que permitentomar una decisión acerca de la presencia o ausencia de autocorrelación:

Autocorrelación Zona Región de no rechazo: Zona Autocorrelaciónpositiva indecisión No autocorrelación indecisión negativa

1ˆ1 ≤≤− ρ

4d 1ˆ ≈→−=ρ

2d 0 ˆ ≈→=ρ

0d 1 ˆ ≈→=ρ


positiva indecisión No autocorrelación indecisión negativa

0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4

Es decir:

0 < d < dL Se rechaza H0, existe aut. positiva con esquema AR(1)4- dL < d < 4 Se rechaza H0, existe aut. negativa con esquema AR(1)

du < d < 4-du No se rechaza H0, no existe autocorrelacióndL < d < du El contraste no es concluyente

4-du < d < 4-dL El contraste no es concluyente

A

MVNR(1941). Contraste exacto.

Yt=X’tβ+ut

Con ut=ρut-1+εt.

H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.


H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.

1. Estimar el modelo por mínimos cuadrados recursivos.Obtener los T-k residuos recursivos (wt).2. Calcular el estadístico de la razón de von Neumannmodificada (MVNR):

w

)w-w(

1-k-T

k-T=MVR

2

t

T

1+k=t

2

1-tt

T

2+k=t

∑∑∑∑

∑∑∑∑••••

MVNR(1941). Contraste exacto.

3. Comprobar en las tablas de la distribución delestadístico MVNR, para un nivel de significacióndeterminado, si el valor anterior cae en las zonas derechazo o no rechazo de la hipótesis nula.

11/29/2012 Juan Muro A

4. El contraste se realiza como un contraste de una solacola frente a la autocorrelación positiva y negativa,respectivamente.

H de Durbin(1970). Contraste asintótico.

donde la Y* significa una matriz de valores retardados de la variableregresando y; X matriz de regresores que no incluye los valoresretardados del regresando.

ttt

tttt

+u=u con

u+X+Y=y

ερ

γβ

1

'*'

−−−−


retardados del regresando.

H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0, |ρ|<1 .

1. Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos MCO et.2. Estimar r. De una manera apropiada es el coeficiente de et-1 en laregresión de et frente a et-1. Se puede hacer también a través delestadístico de D-W.


3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula elestadístico h se distribuye asintóticamente como unaN(0,1).

Tr=h


donde b1 es el coeficiente de yt-1 en la regresión delapartado 1 y T el tamaño de la muestra. El contraste esde una sola cola.

)bTvar(-1

Tr=h

1


4. En el supuesto de que h no pueda ser calculado porser el radicando negativo, Durbin sugiere unprocedimiento asintóticamente equivalente que consisteen4.1 Estimar la regresión del apartado 1.

11/29/2012 Juan Muro A

4.1 Estimar la regresión del apartado 1.4.2 Estimar la regresión siguiente

Bajo la hipótesis nula, el coeficiente de et-1 no serásignificativamente distinto de cero.

u+X+Y+e=e tttttγβφ '*'

11 −−−−

Breusch-Godfrey(1978). Contraste asintótico.

donde X puede contener valores retardados del

)(=u o

+u........++u+u=u con

u+X=y

tqt

tp-tp2-t2-1t1t

ttt

ε

εφφφ

β

Θ,

'


donde X puede contener valores retardados delregresando.

H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: Φτ=0; Θτ=0; paratodo τ.

H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(p) oMA(q).

1. Estimar el modelo original por MCO y obtener losresiduos minimocuadráticos et.

Breusch-Godfrey(1978). Contraste asintótico.

2. Estimar la regresión

. u+E+X=e tptt γβ ''

11/29/2012 Juan MuroA

3. Forma del contraste (contraste de multiplicadores deLagrange): bajo la hipótesis nula el estadístico TR2 sedistribuye asintóticamente como una Chi-2 con pgrados de libertad.

e tpt

Correlograma de residuos.

H0 : No hay autocorrelación.H1 : Autocorrelación de cualquier tipo AR(p), MA(q), ARMA(p,q).

Se rechaza la hipótesis nula en el caso de que el correlograma no sea plano, es decir, en el caso de que no todos los valores de la función de autocorrelación y autocorrelación parcial estén dentro de las bandas.


1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.2. Calcular el correlograma de los residuos MCO e. 3. Calcular el estadístico de Ljung-Box y la probabilidad asociada a

dicho estadístico bajo la hipótesis nula.4. Cualquier valor de la probabilidad asociada al estadístico de

Ljung-Box inferior a 0.05 permite rechazar la hipótesis nula a un nivel de significación del 5%.

Contraste de Sargan(1964).

Contraste de falta de especificación dinámica en un modelo (la autocorrelación es un síntoma de esa especificación errónea)

Si


1|<| ;+u=u con

u+x=y

t1-tt

ttt

ρερ

β

Contraste de Sargan(1964).

y sustituimos la segunda ecuación en la primera, queda

.-=:H

cumplirsedebe idénticos sean modelos ambosque para

+x+x+y=y ndo,Generaliza

.+)x-x(+y=y

3210

t1-t3t21-t1t

t1-tt1-tt

βββ

εβββ

εβρρ


1. Estimar el modelo general por MCO.2. Contrastar la hipótesis nula H0 por medio del contraste

de WALD. En concreto:

donde b son los estimadores MCO del modelo general.

.-=:H 3210 βββ

ΧΧΧΧ2

1

2

Avar[f(b)]

][f(b)=W

~

4.3. Solución a la autocorrelación.

Yt=X’tβ+ut; t=1,2,……T. Serie temporal; icorte transversal.

X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,


X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yt, ut, escalares.

E(ui uj |X)= σij.

S

4.3. Solución a la autocorrelación.

MCO: estimación lineal, insesgada y no óptima; matriz deNewey y West(1987).

MCG: exige el conocimiento de la matriz Ω. Estimaciónlineal, insesgada y óptima; autocorrelación teórica.


MCGF: Estimación en dos etapas o iterativa, consistente.

MV: exige una parametrización de la matriz Ω. Estimaciónconsistente, asintóticamente eficiente y con distribuciónasintótica normal.

A

Estimación por MCG.

• Es imposible en casi todos los casos por el desconocimiento de Ω.

• El realizar supuestos sobre la estructura


• El realizar supuestos sobre la estructura de la autocorrelación ayuda poco.

S

Estimación por MCGF.

• Estimación para un AR(1) estacionario

.1 ttt

uu εφ ++++====−−−−


S


• En este caso,

t )E(ut ∀= 0 11

)()(2

2

2 <<<<−−−−

======== φφ

σε

ttuEuVar

φφγ ============ 2ρσ)uE(u


φφγ ============−−−− 1

2

11ρσ)uE(u

utt

2

2

22

22φφγ ============

−−−−ρσ)uE(u

utt

S

Su

S

sSttρσ)uE(u φφγ ============

−−−−

2

S


• La matriz de varianzas y covarianzas es

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

...1

...1

...1

...12

12

22

12

T

T

T

T

φφ

φφφ

σφφ

φφφ


−−−−====

========−−−−−−−−

∑∑∑∑

1...

......

...1

1

1...

......

...1)|'(

2

2

22

2

TT

uuuXuuE

φφ

φ

σφφσ ε

S

La matriz Ω es:

y su inversa,

−−−−====ΩΩΩΩ

−−−−

−−−−

1...

......

...1

...1

1

12

12

2

T

T

φφ

φφφ

φ

−−−− 000...01 φ


−−−−

−−−−++++−−−−

−−−−++++

++++−−−−

−−−−++++−−−−

−−−−

====ΩΩΩΩ −−−−

10...000

1...000

01...000

.....................

000...10

000...1

000...01

2

2

2

2

1

φ

φφφ

φφ

φφ

φφφ

φ

S

La matriz de transformación será:

con

IPP =Ω ' 1' −Ω=PP

−−−−

−−−−

−−−−

====

..................

00...10

00...01

00...001 2

φ

φ

φ

P


Por lo que el modelo de regresión que cumple los supuestosdel MRLC, será el que relaciona las variables transformadas:

−−−− 1...000

..................

φ

(((( ))))

−−−−

−−−−

−−−−

====

−−−−1

12

1

2

*

...

1

TTYY

YY

Y

Y

φ

φ

φ(((( ))))

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

====

−−−−1

12

1

22

*

1

......

1

11

TTXX

XX

X

X

φφ

φφ

φφ

S


• Por tanto,

• Lo primero es estimar el coeficiente Φ.

• En una segunda etapa se transforman las variables y se aplican MCO al modelo resultante.


aplican MCO al modelo resultante.

• La estimación en dos etapas es consistente y con distribución asintótica normal (eficiencia desconocida).

• El incremento de la eficiencia se consigue iterando el proceso.

S

Procedimiento de Cochrane-Orcutt.

• Procedimiento tradicional de aplicar MCGF con AR(1).

• 1) Se estima el modelo por MCO y se calcula la serie de residuos.

• 2) Se realiza una regresión auxiliar de los residuos sobre los residuos del periodo anterior sin incluir término constante. De este modo se obtiene una primera estimación del coeficiente de


modo se obtiene una primera estimación del coeficiente de autocorrelación de primer orden.

• 3) Se transforman las variables del modelo y se repite la estimación del modelo (etapa 1) y se continua con el procedimiento descrito.

• 4) Se finaliza cuando el estadístico d de Durbin-Watson indique que los residuos de la etapa 1 son de ruido blanco o cuando las estimaciones de ϕ difieran en menos de una cantidad prefijada por ejemplo 0,01 ó 0,005 (o cualquier otro criterio de convergencia).

S

Estimación por MV en presencia de autocorrelación.

Función de verosimilitud.

),|....,,(),,....,,|(

),|....,,(|

13211321

321

ΘΘΠ=

ΘΘ=

=ΘΘ

−− .XYYYYfXYYYYYf

XYYYYf=)XL(Y,

TTT

T


Se obtiene de la aplicación de la descomposiciónde la probabilidad conjunta en términos de lacondicional y de la marginal. La maximizaciónde esa función proporciona los estimadores MV(problema de las condiciones iniciales).

A

).,|(),||( 1 ΘΘΠ= − XYfXYYf iTi

Predicción con autocorrelación.

• La presencia de autocorrelación en un modelo debe considerarse para realizar la predicción. Por ejemplo, en un modelo de regresión con perturbaciones AR(1) la mejor predicción para un periodo extramuestral T+1 debe incluir una corrección por autocorrelación; por tanto, no es la mejor predicción.

• La predicción que incorpora la información es:

11ˆ

++++++++++++====

TTbXaY


• La predicción que incorpora la información es:

•

• y este predictor coincide con el que se obtendría habiendo transformado el modelo con cuasidiferencias.

)(ˆˆ11 TTTT

bXaYbXaY −−−−−−−−++++++++====++++++++

ρ

TTTubXaY ρˆ

11++++++++====

++++++++

S

Bibliografía.• Breusch, T.S.(1978) "Testing for Autocorrelation in Dynamic Linear

Models", Australian Economic Papers, 17, págs. 334-355.

• Durbin, J.(1970) "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression when Some of the Regressors are Lagged Dependent Variables", Econometrica, 38, págs. 410-421.

• Durbin, J. y G.S. Watson(1950) "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression", Biometrika, 37, págs. 409-428; 38, págs. 159-178.


págs. 159-178.

• Farebrother, R.W.(1980) "The Durbin-Watson Test for Serial Correlation when There Is No Intercept in the Regression", Econometrica, 48, págs. 1553-1563.

• Godfrey, L.G.(1978) "Testing Against General Autorregresive and Moving Average Error Models when the Regressors Include Lagged Dependent Variables", Econometrica, 46, págs. 1293-1302.

S

Bibliografía.• Hannan, E.J. y R.D. Terrell(1968) "Testing for Serial

Correlation after Least Squares Regression", Econometrica, 36, págs. 133-150.

• Savin, N.E. y K.J. White(1977) "The Durbin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Sample Sizes or Many Regressors", Econometrica, 45, págs. 1989-


or Many Regressors", Econometrica, 45, págs. 1989-1996.

• Theil, H. y A.L. Nagar(1961) "Testing the Independence of Regression Disturbances", JASA, 56, págs. 793-806.

• Wallis, K.F.(1972) "Testing for Fourth Order Autocorrelation in Quarterly Regression Equations", Econometrica, 40, págs. 617-636.

A

Referencia al manual de Wooldridge (2006)

• Capítulos 10, 11 y 12.

• Para material más avanzado, Capítulo 18.


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