ECON2915 - Forelesning 9 Generell likevekt i en … - Forelesning 9 Generell likevekt i en ˝konomi Kapittel 2, Norman (2010) Teori om generell likevekt Studerer hvordan likevekt i

ECON2915 -Forelesning 9

Generelllikevekt i en

økonomi

ECON2915 - Forelesning 9

Generell likevekt i en økonomi

Fredag 25.oktober, 2013



økonomi

Kapittel 2, Norman (2010)Teori om generell likevekt

Studerer hvordan likevekt i markedene for alle goder oginnsatsfaktorer bestemmer priser, allokering av innsatsfaktorer,produksjon av varer og tjenester og fordeling av inntekt oggoder mellom konsumentene.



økonomi

Produksjonsmulighetskurven

En økonomis produksjonsmuligheter er alle varer og tjenesterøkonomien kan produsere for gitt ressurstilgang og teknologi.

Ved a begrense oss til to varer kan produksjonsmuligheteneillustreres ved produksjonsmulighetskurven (PMK).



økonomi

Figur 2.1: Produksjonsmuligheter

Helningen gir antall enheter vi ma redusere produksjonen av gode 2

med for a produsere en ekstra enhet av gode 1 (MTB).



økonomi

Figur 2.2:Produksjonstilspasningen

I markedslikevekt er MTB = prisforholdet



økonomi

Talleksempel

p1 = 12, p2 = 3

Antall enheter vi ma redusere produksjonen av gode 2 med for a

produsere en ekstra enhet av gode 1, MTB = 2

Er vi i markedslikevekt?

Prisforholdet p1/p2 = 12/3 = 4 gir oss antall enheter gode 2 vi ma

betale for en ekstra enhet gode 1. p1/p2 > MTB, det vil lønne seg a

produsere mer av gode 1.

Øker vi produksjonen av gode 1 med en enhet, øker

produksjonsverdien med 12 kr. Økningen krever en reduksjon i

produksjonen av gode 2 med to enheter. Produksjonsverdien

reduseres da med 6 kr. Gevinst: 12− 6 = 6.



økonomi

Formell utledning

Betrakt en økonomi med to varer, x1 og x2, med priser p1 ogp2.

La mengden av innsatsfaktoren som brukes i produksjonen avvare i være zi , med prisen q.

Produsentenes profitt være gitt ved

πi = pixi − qzi i = 1, 2 (1)

Bedriftene velger den profittmaksimerende kombinasjonen(x0

i , z0i ) gitt (p0

i , q0). Da gjelder

π0i = p0

i x0i − q0z0

i ≥ p0i xi − q0zi (2)

for alle (xi , zi ).



økonomi

Formell utledning

Summer (2) for gode 1 og 2:

π01 +π0

2 = p01x

01 +p0

2x02 −q0(z0

1 +z02 ) ≥ p0

1x1 +p02x2−q0(z1 +z2)

Profittmaks gir full utnyttelse av ressursene: z01 + z0

2 ≥ z1 + z2.

⇒ p01x

01 + p0

2x02 ≥ p0

1x1 + p02x2.

BNP er høyere i markedsløsningen enn for enhver annenkombinasjon (x1, x2)!



økonomi

EtterspørselssidenPreferansene til en representativ konsument kan illustreres vedindifferenskurver.

Helningen pa indifferenskurven (MSB), angir hvor mange enheter avgode 2 konsumenten er villig til a gi opp for a fa en ekstra enhet avgode 1.

Figur 2.3: Konsumenttilpasningen

Tilpasning derMSB = p1/p2.



økonomi

Figur 2.4: Generell likevekt i enlukket økonomi



økonomi

Figur 2.5: Generell likevekt i enapen økonomi



økonomi

Kapittel 2, Bævre og Vislie (2007)Om produsentene

Hecksher-Ohlin-Samuelson modellen

To varer, Y1 og Y2

To innsatsfaktorer, K og L

Teknologien er gitt ved Yi = F i (Li ,Ki ), i = 1, 2.

Neoklassiske forutsetninger:

1) Positivt avtagende marginalprodukt (F iL > 0, F i

K > 0,F iLL < 0, F i

KK < 0)

2) Konstant skalautbytte: F i (tLi , tKi ) = tF i (Li ,Ki )

⇒ δ2F i (Li ,Ki )δLiδKi

> 0



økonomi

Figur 1: Isokvanter ved konstantskalautbytte



økonomi

Kostnadsminimering

Bedriftene tar faktorprisene, w (lønn per enhet arbeidskraft) ogq (pris per enhet kapital), og ferdigvareprisene, pi , som gitte.

Kostnadsminimeringsproblemet gitt ved:

Min{Li ,Ki}wLi + qKi gitt Y 0i = F i (Ki , Li )

Lagrangefunksjonen gitt ved

Λ(Li ,Ki ,Y0i , λ) = wLi + qKi − λ[F i (Ki , Li )− Y 0

i ]



økonomi

Førsteordensbetingelser

δΛ

δLi= w − λ

δF i (L0i ,K

0i )

δLi= 0 (i)

δΛ

δKi= q − λ

δF i (L0i ,K

0i )

δKi= 0 (ii)

Ved a dele (i) pa (ii) far vi tilpasningen (tangeringsbetingelsen):

MTSB(L0i ,K

0i ) :=

δF i (L0i ,K

0i )

δLiδF i (L0

i ,K0i )

δKi

=w

q(1)

Y 0i = F i (Ki , Li ) (2)



økonomi

Figur 2: Kostnadsminimering forgitt Y 0

1

MTSB uttrykker antall kapitalenheter vi kan redusere bruken av hvis

vi øker bruken av arbeid med en enhet.



økonomi

Kostnadsfunksjonen

Løs (1) og (2) for Li = Li (w , p,Yi ) og Ki = Ki (w , q,Yi ).

Insetting i malfunksjonen (wLi + qKi ) gir kostnadsfunksjonen

Ci (w , q,Yi ) = wLi (w , q,Yi ) + qKi (w , q,Yi )

Egenskaper ved kostnadsfunksjonen:

(1) Ci (w , q,Yi ) er ikke-avtagende i Yi

(2) Ci (tw , tq,Yi ) = tCi (w , q,Yi ) for alle t > 0

(3) Ci (w , q,Yi ) er konkav i w og q



økonomi

Figur 3: Kostnadsfunksjonenskonkavitet i lønna



økonomi

Shephards lemma

δCi (w , q,Y

δw= Li (w , q,Yi ) ≥ 0

δCi (w , q,Y

δq= Ki (w , q,Yi ) ≥ 0



økonomi

Shephards lemma: Bevis

Ci (w , q,Yi ) = wLi (w , q,Yi ) + qKi (w , q,Yi )

δCi (w , q,Y )

δq= w

δLi (w , q,Yi )

δqqδKi (w , q,Yi )

δq+ Ki (w , q,Yi )

= λ

[δF i

δLi

δLi (.)

δq+δF i

δKi

δKi (.)

δq

]+ Ki (w , q,Yi )

= Ki (w , q,Yi )

Andre likhet følger fra FOC (i) og (ii)

Tredje likhet følger av at Yi = F i (Li ,Ki ) er gitt og uavhengig av q:

δYi

δq= 0 =

δF i

δLi

δLiδq

+δF i

δKi

δKi

δq

Tilsvarene bevis for δCi (w ,q,Yδw = Li (w , q,Yi ).



økonomi

Homogenitet

Eulers setning: Dersom F(X,Y) er homogen av grad 1 er dederivert homogene av grad 0.

Bevis:

F (tX , tY ) = tF (X ,Y )

δF (tX , tY )

δ(tX )

δ(tX )

δ(X )=δF (tX , tY )

δ(tX )× t = t × δF (X ,Y )

δX



økonomi

Homogenitet

Eulers setning ⇒

δCi (tw , tq,Yi )

δ(tq)=δCi (w , q,Yi )

δq

Tilsvarende for w .

Shephards lemma ⇒

Li (tw , tq,Yi ) = Li (w , q,Yi )

Ki (tw , tq,Yi ) = Ki (w , q,Yi )

Definerer

Li (w , q,Yi ) = Li (w/q, 1,Yi ) := Li (w/q,Yi )

Ki (w , q,Yi ) = Ki (w/q, 1,Yi ) := Ki (w/q,Yi )



økonomi

Effekt av prisendringer

Vi vil finne δKi/δq, δLi/δw , δKi/δw , δLi/δq.

Deriverer Ki (w , q,Yi ) = δCi (w ,q,Yi )δq m.h.p. q:

δKi (w , q,Yi )

δq=δ2Ci (w , q,Yi )

δq2≤ 0

Tilsvarende har vi

δLi (w , q,Yi )

δw=δ2Ci (w , q,Yi )

δw2≤ 0



økonomi

Effekt av prisendringer

Deriverer δCi (tw ,tq,Yi )δ(tq) = δCi (w ,q,Yi )

δq m.h.p. t:

δ2Ci (tw , tq,Yi )

δ(tq)δ(tw)

d(tw)

dt+δ2Ci (tw , tq,Yi )

δ(tq)2

d(tq)

dt= 0

⇔δ2Ci (w , q,Yi )

δqδw× w +

δ2Ci (w , q,Yi )

δq2︸︷︷︸≤0

×q = 0

δ2Ci (w , q,Yi )

δqδw=

δ

δw

δCi (w , q,Yi )

δq=δKi (w , q,Yi )

δw≥ 0

=δ

δq

δCi (w , q,Yi )

δw=δLi (w , q,Yi )

δq≥ 0



økonomi

Konsekvenser av konstantskalautbytte

Konstant skalautbytte ⇒

Ci (w , q,Yi ) = ci (w , q)× Yi

ci (w , q) er enhetskostnaden, uavhengig av skala (Yi ). Detfølger at:

Li (w , q,Yi ) =δCi (w , q,Yi )

δw=δci (w , q)

δwYi = li (w , q)Yi

Ki (w , q,Yi ) =δCi (w , q,Yi )

δq=δci (w , q)

δqYi = ki (w , q)Yi

li (w , q) og ki (w , q) er bruken av hhv arbeid og kapital iproduksjonen av 1 enhet.



økonomi


Li (w , q,Yi ) = Li (w/q, 1,Yi ) = li (w/q, 1)× Yi := li (w/q)× Yi

Ki (w , q,Yi ) = Ki (w/q, 1,Yi ) = ki (w/q, 1)× Yi := ki (w/q)× Yi

⇔Ki (w , q,Yi )

Li (w , q,Yi )=

li (w/q)× Yi

ki (w/q)× Yi

=li (w/q)

ki (w/q)= φi

(w

q

)

Det kostnadsminimerende faktorforholdet avhenger kun avfaktorprisforholdet.



økonomi


Oppsummering

F i (tLi , tKi ) = tF i (Li ,Ki ) t > 0

Ci (w , q,Yi ) = ci (w , q)× Yi

Li (w , q,Yi ) = li (w , q)× Yi ,

Ki (w , q,Yi ) = ki (w , q)× Yi

Ki

Li= φi

(w

q

), for alleYi

Documents

ECON2915 - Forelesning 9 Generell likevekt i en … - Forelesning 9 Generell likevekt i en ˝konomi Kapittel 2, Norman (2010) Teori om generell likevekt Studerer hvordan likevekt i