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Ecologia Numérica

Aula 6: Interações Presa-Predador

Carlos Ruberto Fragoso Júnior

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Sumário

Revisão da aula anterior Introdução Equações de Lotka-Volterra Interações fitoplâncton-zooplâncton Parâmetros do zooplâncton Interações organismos/nutrientes Trabalho

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Revisão

Aprendemos sobre alguns fatores físicos e químicos (temperatura, luz e nutrientes) que limitam o crescimento do fitoplâncton;

Também descrevemos processos de perdas tais como respiração e excreção;

Falamos também como podemos modelar a predação de forma indireta;

Hoje focaremos na ação dos predadores (fitoplâncton) que usam as presas (zooplâncton) como fonte de alimento.

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Introdução

Existem diversos casos na natureza envolvendo a interação um par de organismos, um servindo como fonte de alimento do outro (ex. Alces e leão; leão marinho e Orcas).

O conhecimento destas interações é fundamental para gestão ambiental;

Alguns organismos em excesso são indesejáveis, podendo ser fruto de um desequilíbrio das interações presa-predator (ex. bloom de cobras píton em Everglades).

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Equações de Lotka-Volterra

Em 1926 o biólogo italiano Humberto D’Ancona estimou a população de predadores e presas no Mar Adriático baseado no número de peixes vendidos no mercado de 1910 a 1923;

Baseado nesta informação, ele observou que o período sem pesca durante a primeira guerra mundial levou a uma maior proporção de predadores;

Comunicou este fato ao seu padrasto, o matemático Vito Volterra.

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Equações de Lotka-Volterra

No ano seguinte Volterra desenvolveu vários modelos matemáticos para simular as interações envolvendo duas ou mais espécies;

Independente, o biólogo americano A. J. Lotka reproduziu diversos modelos semelhantes, baseado nos modelos de Volterra;

Esta variedade de modelos são comumente chamados de equações de Lotka-Volterra.

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Vamos escrever uma equação de crescimento para uma simples presa em um ambiente isolado, sem predador e repleto de alimento:

onde x é o número de presas e a é uma taxa de crescimento de primeira ordem.

axdt

dx

Equações de Lotka-Volterra

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A equação de um simples predador y na ausência de sua fonte de alimento x:

onde c é uma taxa de mortalidade de primeira ordem.

cydt

dy

Equações de Lotka-Volterra

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A interação entre as duas espécies depende da população das duas espécies;

Se existem poucos predadores ou poucas presas a magnitude desta interação diminui;

Uma simples maneira de representar esta interação é usando um produto, xy.

Equações de Lotka-Volterra

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Assim, como essa interação resulta em perda da presa, temos:

onde b é um parâmetro que quantifica o impacto da interação na presa.

Equações de Lotka-Volterra

bxyaxdt

dx

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E a equação do predador fica:

onde d é um parâmetro que quantifica o impacto da interação no predador.

Equações de Lotka-Volterra

dxycydt

dy

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Usando o GRIND:

Equações de Lotka-Volterra

dxycydt

dy

bxyaxdt

dx

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Interações fitoplâncton-zooplâncton

Respiração/Excreção

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Interações fitoplâncton-zooplâncton Na aula passada vimos que o balanço de massa

para o fitoplâncton pode ser escrito como:

predação

gz

excreçãorespiração

ra

oCresciment

g akakaINTkdt

da

/

,,

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Interações fitoplâncton-zooplâncton A taxa de predação não é uma constante e pode

ser aproximada por:

onde Cgz é a taxa de predação em m3 gC-1 d-1; θ é um fator de correção pela temperatura e z é a concentração de zooplâncton em gC m-3

20 Tgzgz zCk

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Interações fitoplâncton-zooplâncton Poderiamos ter uma variedade de refinamentos que

aumentaria o poder de representação desta taxa, como por exemplo:

ksa é a constante de meia-saturação para predação do zooplâncton no fitoplâncton.

20

T

gzsa

gz zCak

ak

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Interações fitoplâncton-zooplâncton Incorporando este processo, o balanço final da

concentração de fitoplâncton fica:

azCak

aakaINTk

dt

da Tgz

sarag

20,,

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Interações fitoplâncton-zooplâncton O balanço final da concentração de zooplâncton

fica:

onde ε é um fator de eficiência de conversão e kdz é a taxa de perda por respiração, excreção e mortalidade em d-1.

zkazCak

aa

dt

dzdz

Tgz

saca

20

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Interações fitoplâncton-zooplâncton O sistema de equações fica:

zkazCak

aa

dt

dzdz

Tgz

saca

20

azCak

aakaINTk

dt

da Tgz

sarag

20,,

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Parâmetros do zooplâncton

A taxa de predação varia entre 0,5 a 5, com valores mais comuns adotados entre 1 a 2 m3 gC-1 d-1;

O fator de correção pela temperatura geralmente é 1,08;

A constante de meia saturação varia entre 2 a 25 , com valores mais comuns adotados entre 5 a 15 μgCl-a L-1;

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Parâmetros do zooplâncton

A taxa de perda pode ser quebrada em duas partes:

onde krz é a taxa de perdas não-predatórias (respiração e excreção) e kgzc é a taxa de perda predatória por carnívoros;

gzcrzdz kkk

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Parâmetros do zooplâncton

A taxa de perdas não-predatórias pode ser adotada com valores entre 0,01 e 0,5 d-1, sendo os valores mais comuns entre 0,01 a 0,1 d-1;

A taxa de perda predatória depende do tipo de predador do zooplâncton (peixe onívoro, peixe planctívoro, macroinvertebrados, etc);

Valores podem ser encontrados em Bowier et al. (1985).

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Interações fitoplâncton-zooplâncton Exercício no Grind:

Modelo conceitual Modelo conceitual

zaCakkdt

dagzrag

zkzaCadt

dzdzgzca

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Interações fitoplâncton-zooplâncton a0 = 1mgCl-a m-3

z0 = 0,05 gC m-3

aca = 0,04 gC mgCl-a-1

Cgz = 1,5 m3 gC-1 d-1

ε = 0,6 kdz = 0,1 d-1

kg = 0,5 d-1

kra = 0,2 d-1

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Interação organismos cadeia alimentar

Zooplâncton(gC m-3)

Fitoplâncton(mgCl-a m-3)

Fósforo(mgP m-3)

apa

apc

aca

Cl-a

C

εapa

Cl-a P

PCl-a

1-ε

C P

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Interação organismos cadeia alimentar Seguindo o esquema, podemos escrever uma

sistema de equações para aproximar as relações entre fitoplâncton, zooplâncton e nutrientes:

zkzaCadt

dzdzgzca

zaCakkdt

dagzrag

akkazkazaCadt

dpragpadzpcgzpa 1

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Trabalho

Faça uma análise criteriosa dos Estados Alternativos de Estabilidade (ciclos no tempo, ponto de equilíbrio, nullclines e análise de parâmetros) entre organismos e nutrientes. Inclua um efeito de limitação por nutrientes no crescimento do fitoplâncton. Use um valor de 2 μgP/L para a constante de meia-saturação. a0 = 1mgCl-a m-3

z0 = 0,05 gC m-3

p0 = 20 μgP L-1

aca = 0,04 gC mgCl-a-1

apa = 1 mgP mgCl-a-1

Cgz = 1,5 m3 gC-1 d-1

ε = 0,6 kdz = 0,1 d-1

kg = 0,5 d-1

kra = 0,2 d-1