Eco No Me Tri a Manual

8/4/2019 Eco No Me Tri a Manual

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Manual de Econometra

Alfonso Novales

April 29, 2003

Contents

1 I nt roduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Algunos conceptos estadsticos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Medidas de posicin y medidas de dispersin . . . . . . . . . . . . 52.1.1 La media muestral como predictor . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 La desviacin t pica como indicador de volat ilidad . . . . . 72.2 M edi das de asociaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Contrastacin de hiptesis estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Contrastes de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Contrates de asociacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Trat amient o de dat os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1 A just e est aci onal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Tasas de variacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Estimacin de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 El modelo lineal simple de regresin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Descripcin del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1.1 Nube de punt os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Esti macin por mnimos cuadrados (ordinarios) . . . . . . . . . . 15

5.2.1 Representacin grfica de la recta de regresin est imada . 155.3 Propiedades del est imador de mnimos cuadrados ordinarios . . . 15

5.4 Residuos del modelo. Grficos de residuos . . . . . . . . . . . . . 165.4.1 Est imacin de la varianza del trmino de pert urbacin . . 17

5.5 Cuando los coeficientes del modelo de regresin cambian a lo largode la muest ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.5.1 Cambio est ructural en los coeficientes del modelo de regresin 18


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5.5.2 Variacin gradual en los coeficientes del modelo . . . . . . 21

5.6 Algunos modelos de regresin sencillos . . . . . . . . . . . . . . . 215.6.1 El modelo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.6.2 El modelo con variables en desviaciones respect o a la media 23

5.6.3 El modelo con tendencia det erminista lineal y cuadrt ica . 245.6.4 Modelos no lineales en las variables . . . . . . . . . . . . . 25

5.7 Cmo especificar un modelo de regresin? . . . . . . . . . . . . . 265.7.1 Debe incluirse una constante en el modelo de regresin? . 26

5.7.2 Debemos est imar en valores originales o en logari tmos de

l as var iabl es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.7.3 Debe est imarse el modelo con vari ables en niveles o en

di fer encias? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.7.4 La frecuencia de observacin de las variables . . . . . . . . 27

6 Contrast es de hiptesis en el modelo de regresin lineal simple . . . . . 30

6.1 Significacin estadst ica versus precisin . . . . . . . . . . . . . . 306.1.1 Se hace una variable ms o menos significativa? . . . . . . 32

6.1.2 Cmo puede discut ir se qu vari able es ms relevante en

una regresin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Correlacin versus causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Variables no estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.1 Caractersti cas de una variable est acionaria . . . . . . . . . . . . . 328.2 Tendencias det erministas y tendencias est ocst icas . . . . . . . . . 33

8.3 Regresin esprea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.3.1 Regresin esprea bajo tendencias deterministas . . . . . . 388.3.2 Regresin esprea bajo tendencias est ocst icas . . . . . . . 39

8.4 Tratamiento de tendencias deterministas . . . . . . . . . . . . . . 428.5 Ejercicios de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.6 Tendencias est ocsti cas y races unit arias . . . . . . . . . . . . . . 448.7 Contrastes de raz unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.8 Coi nt egracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.8.1 Contraste de cointegracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.8.2 Contraste de hiptesis sobre la relacin de cointegracin es-

timada por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 478.8.3 Correlacin y cointegracin . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.8.4 Variables cointegradas: un ejemplo . . . . . . . . . . . . . 48

8.8.5 El modelo de correccin de error . . . . . . . . . . . . . . . 498.8.6 El contr aste de coint egracin de Johansen . . . . . . . . . 51

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8.8.7 Aspectoscomunes a varias variables t emporales: t endencias

comunes, volatilidad comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.8.8 Quhacer en presencia de vari ables con tendencias estocs-

ticas (races unitarias)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9 Matrices de covarianzas no escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.1 Deteccin de la autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.2 Tratamiento de la autocorrelacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3 El est imador de mnimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . 54

9.4 Deteccin de la heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.5 Contraste de igualdad de varianza entre submuest ras . . . . . . . 549.6 Tratamiento de la heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 El modelo de regresin lineal mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1 Estimacin por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11 Propiedades del est imador de mnimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . 60

12 Bondad de ajuste del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813 Contrastes de hiptesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

14 Matrices de covarianzas no escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

14.1 Comparacin de est imadores de la regresin mlt iple y la regresinsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

14.2 Regresin particionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715 Grado de ajuste del modelo de regresin mltiple . . . . . . . . . . . . 77

15.1 Coeficientes de correlacin parcial y de determinacin parcial . . . 78

16 Colinealidad ent re variables explicat ivas en un modelo de regresin . . . 8016.1 Efectos de la colinealidad entre variables explicat ivas . . . . . . . 8116.2 Deteccin de la colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

16.3 Tratamiento de la colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.3.1 Regresin ortogonalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

16.3.2 Otros tratamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717 Prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8718 Modelos univariantes de series temporales . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.1 Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8818.1.1 Procesos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.1.2 Funciones de autocorrelacin simple y parcial . . . . . . . 8818.2 Procesos autoregresivos, AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.2.1 El modelo A R(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.2.2 El modelo A R(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8818.3 Procesos de medias mviles, MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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18.4 Procesos mixtos, ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.5 Procesos integrados ARIMA(p,d,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8818.6 Prediccin con modelos univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.6.1 Prediccin con modelos AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18.6.2 Prediccin con modelos MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . 8818.6.3 Prediccin con modelos ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . 88

18.6.4 Prediccin con modelos ARIMA(p,d,q) . . . . . . . . . . . 8818.7 Est imacin de modelos univariantes de series temporales . . . . . 88

18.7.1 Est imacin de modelos autoregresivos . . . . . . . . . . . . 88

18.7.2 Esti macin de modelos de medias mviles . . . . . . . . . 8818.7.3 Est imacin de modelos ARMA(p,q) y ARIM A(p,d,q) . . . 88

19 El procedimient o de variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . 8819.1 Correlacin entre variables explicat ivas y trmino de error . . . . 8819.2 Errores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20 M odelos dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8820.1 Colinealidad entr e variables explicati vas . . . . . . . . . . . . . . 88

20.2 Est imaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20.2.1 Pert urbacin sin aut ocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . . 8820.2.2 Pert urbacin con autocorrelacin . . . . . . . . . . . . . . 88

21 Si mul taneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8821.1 Identificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8821.2 Esti macin de una ecuacin del sist ema . . . . . . . . . . . . . . . 88

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1. Introduccin

Ha sido tradicional dejar muchas decisiones a los mtodos est adst icos.

La discusin import ant e es si el invest igador debe plantear su invest igacinincorporando sus creencias a priori o, por el contrario, la investigacin ha de serasptica en ese sentido, no debiendo estar condicionada en ni ngn aspecto por las

creencias iniciales del invest igador.

2. A lgunos concept os est adst icos bsicos

2.1. M edi das de posicin y m edi das de di spersin

Media, media ponderada, mediana, moda, varianza, desviacin t pica. Medidasalt ernat ivas de volati lidad.

La media, muestral o poblacional, es la const ante con respecto a la cual elerror cuadrtico medio de la variable aleatoria es menor. Conveniencia de su

utilizacin.

2.1.1. L a m edia muest r al como pr edict or

La esperanza matemtica de una variable tiene una propiedad de gran impor-tancia: es la const ante alrededor de la cual la variable aleat ori a experi menta

fluctuaciones de menor t amao. Anlogamente, dada una det erminada muest ra,la media muestral es la constante con respecto a la cual la variable experimentaunas menores desviaciones. Es decir, si nos plantemos resolver el probelma,

M ina

F(a) M ina

E

(X a)2

donde la incgnita es la constante a, la solucin es a = . El valor mnimode la funcin objetivo es: F() = V ar(X). Dada una determinada muestra detamao n, la solucin al problema,

M ina

F(a)

nX

1

(Xi

a)2

viene dada por a = x. El valor mnimo de la funcin objet ivo es: F(x) =V ar(X), varianza muestral de X.

Quiz sorprendentemente, est a pr opiedad t iene implicaciones en relacin con

la prediccin: un ejercicio de prediccin consiste en anticipar un valor de una

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variable Xt en un instante futuro t0, xt0 a part ir de observaciones temporales

x1, x2,...,xT, T < t0. Por supuest o que una prediccin no se ver exactamentecorroborada por los dat os fut uros: el dat o que se reciba en el inst ante t0, xt0 ,podr exceder de la previsin xt0 que efect uamos en el inst ante T, o ser inferior ala misma. Lo que el invest igador quiere es que su mtodo de prediccin garant iceque el error que espera cometer sea el menor posible. no t endra sentido ut il izar

un mtodo de prediccin que incumpla esta propiedad, pues equivaldra a creerque existe algn mtodo de prediccin alternativo con una expectativa de error

inferior. Ahora bien, como el error de prediccin (definido como la diferencia entre

valor realizado y valor anticipado, xt0 xt0) que se materialice en t0 puede serposit ivo o negat ivo, es razonable buscar un mtodo de prediccin que minimice la

expresin,

Minxt 0

E

(xt0 xt0)2

(2.1)

Ahora bien, si la variable X t iene una distri bucin de probabilidad constanteen el tiempo, como ocurr ira si est amos considerando una muestra aleat oria simple,y en ausencia de t endencias, cambios est ructurales en media, et c., la propiedad

anterior nos sugiere que el mejor procedimiento de prediccin ser,

xt0 = x

Por tanto, si hemos de predecir un valor fut uro de una variable aleatoria, sindisponer de datos de la misma, su esperanza matemtica, si es conocida, minimiza

el Error Cuadrtico M edio entre todas las predicciones posibles. Si conocemosnicamente la media muest ral, pero no disponemos delosdatos individuales, dichamedia muest ral t iene una propiedad anloga a la que acabamos de enunciar.

Tan import ante es esta propiedad que la media muest ral debe util izarse comoreferencia con r espect o a la cual t ratar de obt ener una prediccin mejor. Cuando

decimos que una variable es impredecible, no nos referimos a que su prediccin

es cero, o que no puede obtenerse, sino a que propondremos como prediccin sumedia muest ral, sin hacer ningn clculo adicional. Lo import ante es observar que,

si se conoce la esperanza mat emt ica de la vari able, o se dispone de una mediamuest ral, stas son predicciones sencillas de obtener, y acept ables, al menos enausencia de informacin adicional.

Como matiz puede aadirse que, si el cri teri o a minimizar cuando se calculauna prediccin no es el ECM como en (2.1) , sino el Arror Absolut o M edio de laprediccin,

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M inxt 0E | xt0 xt0 | (2.2)

entonces la prediccin debe ser la Mediana poblacional, o la mediana muestral,

si se dispone de dicha informacin, xt0 = Mediana(x).Hay que resaltar, sin embargo, que, con ms informacin que simplemente la

media muest ral, el invest igador puede aspirar a obtener una prediccin mejor quela proprcionada por la media muest ral; para ello, deber sust it uir el promediomuest ral por la esperanza condicional ETxt0 . Si por ejemplo, el invest igador creeque la variable que pret ende predecir obedece una est ructura AR(1), entonces laprediccin que minimiza el Error Cuadrtico Condicional Medio vendr dada por

ETxt0 = (t0

T)

xT, como vimos al examinar este t ipo de procesos. La vari anzacondicional no es nunca superior a l a varianza i ncondicional y es, en la mayorade los casos, muy i nferior. La media muest ral minimiza la vari anza incondicional,

mientras que ETxt0 minimiza la varianza condicional, alcanzando un result adomenor de este cri teri o y, por tanto, preferible.

El modo en que puede util izarse la i nformacin muestral det allada disponible

para obtener el valor numrico dela vari anza condicional ETxt0 es el obj eto deXXX.

2.1.2. L a desvi acin t pica como i ndicador de volat il idad

Ha sido t radicional en el anli sis de dat os econmicos util izar la desviacin t picacomo medida de volatil idad de una vari able. Est o es especialmente ciert o enel analisis de datos financieros, donde, aunque recientemente se han introducido

otras medidas de volatilidad, el uso de la desviacin tpica es todava habitual.Est a prct ica se deri va de la interpretacin directa de la desviacin t pica,como la

desviacin promedio entr e los valores que t oma una determinada variable aleato-ri a, y su valor medio. Sin embargo, existen mlt iples situaciones en las que t al

caracterizacin de la volat ili dad puede proporcionar una imagen engaosa de lo

que el invest igader pretende medir.Tomamos como punt o de part ida la idea de que, al medir volatilidad, el inves-

t igador pretende cuantificar el tamao medio de las fluctuaciones que experimentauna determinada variable aleatoria. La simple lectura de est a afirmacin deberasugeri r al lector que, como posible definicin de volatilidad, resulta fundamen-

talmente incomplet a. Las fluctucaioens que experimenta una variable aleatoriano pueden est udiarse si no se define previamente el valor que sirve de referencia

respecto al cual medir dichas fluct uaciones.

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En una primera lect ura, podra pensarse que es evidente que la pretensin es

la de cuantificar las fluctuaciones que experi menta una vari able aleat oria respectoa su nivel medio. Esta es la i dea que subyace al uso de la desviacin t pica comomedida de volat ili dad; sin embargo, es fcil ver que exist en sit uaciones en que

dicha uti lizacin no est tot almente just ificada:

Cambio estruct ural en media: supongamos una variable X que es const antea lo largo de cada una de las dos submuest ras enque podemos dividir el

perodo muest ral. Es decir , X= 1 en la primera parte de la muestra, yX= 2 en la segunda part e de la muestra. En muchos sentidos, podramosdecir que est a variable es const ante, y ha experimenat do una volatil idadnula a lo largo del intervalo muestral, si bien es verdad que en el inst ante t0se produjo un cambio est ructural, de carcter permanente, en el nivel mediode la variable. Si no se t iene en cuenta dicho cambio en la media, la varianzade X result a ser no nula, mientras que si t enemos en cuenta el cambio enmedia, la varianza que calculemos ser cero.

Presencia de una t endencia determinista: supongamos una variable X quecrece a una t asa media de , a la vez que experimenta fluctuaciones alrede-dor de dicha tasa media de crecimiento. En est e caso, la vari anza muest ralde la variables, as como su desviacin t pica, sern import ant es, y t antoms elevadas cuanto mayor sea la tendencia o tasa de crecimiento . Esta

situacin es muy frecuente en Economa en general y en Finanzas en par-t icular, y se ut il iza la desviacin t pica como indicador de volatil idad. Hay

dos dificult ades que suelen ignorarse: una, que, en presencia de endencia,carecemos de valor central de referencia. En presencia de una t endencia o

crecimiento const ant e , el valor medio t ender a ser el valor que tom lavari able hacia el perodo central de la muestra, pero no es representati vo delos valores muestrales de la variable: la primera part e de la muestra tender

a estar por debajo de la media, est ando la segunda part e de la muest ra porencima de la media muest ral; en tal sit uacin la media muest ral no es unvalor representativo de la vari able y, en consecuencia, no t iene mucho sentido

calcular el t amao de las fluctuaciones alrededor de dicha media. En est e

contexto, el tamao medio de las fluctuaciones alrededor de la media ser,en realidad, un indicati vo de la magnitud de , la tasa media de crecimientoo tendencia determinista.

Este es un caso donde debemos dist inguir entre cort o y largo plazo: a largo

plazo, el uso de la desviacin t pica podra estar just ificado, si entendemos que la

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tendencia media de crecimiento ser eventualmente sust ituida por un descenso

en la variable, y la sucesin de un ciclo u oscil acin de perodo ampli o, que t ermi-nara just ificando el clculo de un valor central de referencia. La volati lidad a cort oplazo ser el tamao medio de las fluctuaciones alrededor de la t endencia det er-

minist a. Por t anto, tendra plena just ificacin ext raer de la variable el crecimientotendencial, que haba que est imar previamente, y calcular el tamao medio de las

fluctuaciones que experimente el component e que result a t ras la ext raccin de latendencia determinista.

Una vez ms, no se t rata de discutir cul es el modo correct o de proceder; ms

bien, hay que entender que estamos hablando de estimar caract erst icas diferentesy, alguna de ellas puede no est ar est adst icamente just ificada. De acuerdo con la

discusin anterior, medir la volatil idad mediante la desviacin t pica de una vari-able con tendencia determinista, tiene poca justificacin. Est o es especialmentecierto en el anlisis financiero: en un perodo en que el precio de un act ivo exper-

imente un slido crecimiento, su avrianza muest ral result ar relat ivamente alt a,por lo que podra concluirse que ofrece un riesgo importante; en consecuencia, a

pesar de su sostenida rentabili dad (variacin porcentual en precio), un inversor

podra decidir no incorporarl o en su cart era; est e anlisis sera incorrect o.

2.2. M edidas de asociacin

Coeficiente de correlacin. Coeficiente de correlacin parcial.

3. Contrastacin de hiptesis estadsticas

Uno de los procedimientos bsicos dela inferencia estadst ica es la contrastacinde hiptesis, mediante el cual el invest igador pret ende conocer el grado en que la

informacin muestral de que dispone es compatible con una det erminada hipte-sis. La hiptesis quee contrast a, denominada hiptesis nula, hace referencia a unadeterminada caracterstica de la distribucin de probabilidad de la que procede

la informacin muest ral disponible. As, la hiptesis nula, denot ada como H0,puede ser del t ipo: H0 : La poblacin de la que se extrajo la muestra es Nor-

mal o referirse a valores numricos para algn parmetro de dicha distribucinde probabil idad poblacional, como H0 : La esperanza matemti ca poblacional esigual a 10 : H0 : = 10, La vari anza poblacional es igual a 25 : H0 :

2 = 25, ambas propiedades a la vez: H0 : = 10,

2 = 25. Generalmente, los contrast esanteriores se realizan bajo el supuest o de que el carcter de la dist ribucin de

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probabilidad poblacional es conocido, por ejemplo, Normal. Est e t ipo de con-

trast es son contrastes paramtricos, puesto que se basan en la estimacin de al-gunos parmetros de la dist ribucin de probabil idad poblacional. El invest igadorno debe olvidar nunca que las propiedades de est os cont rastes dependen de que

sea correct a la hiptesis que se haya establecido acerca del t ipo de dist ribucinpoblacional de la que se ext raj o la muestra disponible, as como del carct er de

dicha muestra (muestra aleatoria simple). Un contraste que t iene muy buenaspropiedades XX XX

Existen contrastesno paramtr icos, queno precisan dela est imacin deparmet-

ros poblaiconales, ni descansan en ningn supuesto acerca de la dist ribucin deprobabil idad poblacional, que son de un enorme inters en el anlisis de dat os

econmicos, a pesar de ser poco habit uales. Son cont rastes cuyas propiedades sonmuy robustas (es decir, continan siendo vlidas tot al o aproximadamente) con in-dependencia del t ipo de distribucin poblacional. Una segunda razn que confiere

enorme inters a los contrates no paramt ri cos es que nos permit en discernir elgrado en que son vlidas hipt esis que no pueden representarse en t rmios de val-

ores numricos para los parmetros de la distri bucin de probabil idad poblaiconal.

As, en el primero de los ejemplos mant es mencionados, queremos contrastar lahiptesis de que la poblacin de la que se ext rajo la muestra sigue una dist ribu-

cin Normal. Por supuest o, que tambin podra contr astarse la hiptesis nulade que obedecve una distribucin t de Student, o chi-cuadrao, o cualquier ot ra.Asimismo, podemos contr astar la hiptesis de que dos muestra proceden de igual

distribucin de probabilidad, sin necesidad de especficar de qu tipo es ningunade ellas.

Un t ipo de contr aste de gran inters para las cuest iones examinadas en el

trabajo especfico economtrico est riba en el grado de asociacin entre variables.Precisamente la Economet ra consiste en el cnojunto de mtodos estadst icos que

permit en asignar valores numricos a los coeficientes de un modelo que trata derepresentar la relacin exist ente entre un conjunto de vari ables econmicas. Es,por tanto, un anli sis de t ipo paramtrico; una vez asigndaos valores numri cos a

los parmetros del modelo, generalmente se llevarn a cabo contrast es paramt ri-cos de hiptesis, utilizando los valores numricos est imados. Existen, asimismo,

contrates no paramtricos que, sin necesidad de pasar por una fase de est imacin,permit en discutir si la evidencia muestral es consistente con la hiptesis de quedos

variables determinadas estn relacionadas entr e s. Es t an fcil ll evar a cabo este

t ipo de contrastes que deberan formar parte, como paso previo a la est imacinde t odo modelo econmtri co. No sera razonable que las conclusiones de t ales

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contrastes dictaminen la relacin de variables que deben incluirse en un modelo

economtrico, pero es sumamente iliust rat ivo compementar la informacin pro-porcionada por ambos tipos de cont rast es. En definitivia, como proponamos enla Introduccin a este t ext o, precisamente por su naturaleza probabilst ica, los

mt odos est adst icos no deben ut il izarse de manera dogmt ica. En definitiva, setrata de examinar la cuest in que est siendo obj eto de anlisis en un det erminado

est udio, a la luz de la informacin muestral disponible, desde diversas pticas, conel objeto de proporcionar dist int os t ipos de evidencia. Por supuesto que en la gen-

eralidad de los casos, esas distint as perspect ivas no sern t odas consistentes entre

s. Debe esperarse del invest igador que proporcione t oda la informcaion gener-ada en relacin con la cuestin que defina la investigacin, para que cada lector

pueda ext raer sus propias conclusiones. En un cont ext o probabil st ico no existenlas verdades absolut as, y un detemrinado anlisis puede conducir a conclusionesdiferentes.

En un contraste paramtrico se establece, como confrontacin a la hiptesisnula, una hiptesis alternativa. La forma que adopte dicha hiptesis no es ir-

relevante en cuanto a la resolucin del contraste de hiptesis. Como ejemplo,

tomando como un hecho cierto que la distribucin de probabilidad poblacionales Normal, y qeu la varianza de dicha distribucin es conocida, un investigador

puede desear cont rastar la hiptesis nula H0 : = 10, frente a la hiptesis al-ternativa H1 : 6= 10. En este caso, la hiptesis nula es simple, por cuanto queincluyeun nico valor posible para la esperanza mat emt ica poblaiconal, mientr as

que la hiptesis alt ernativa es compuesta, por cuanto que incluye todo un rangode valores, t odos los dist int os del incluido en la hiptesis nula. Est e contr astetiene, por tanto, otra caracterstica, y es que el conjunto de valores incluidos en

ambas hiptesis cubre t odo el espacio paramt rico. Un contraste diferente, conla misma hiptesis nula, sera aqul que considerase como hiptesis alternat iva,H01 : < 10. Est a es la hiptesis que debera especificar un invest igador que sabeque, dada la naturaleza del problema con el que trata, exist en razones t ericaspara creer que el valor numrico de no puede exceder de 10. Cuando se disponededicha informacin, el lt imo contr ast e descri t o, querest ringe el rango devaloresnumricos en la hiptesis alt ernati va fijando 10 como cota superior, t iene mejores

propiedades que el primero de los contrast es, que no estableca tal relacin. Enla mayora de las aplicaciones econmicas, se dispone de informacin de este t ipo,

por lo que el invest igador debe especificar cuidadosamente no slo la hiptesis

nual que contrast a, sino tambin la hiptesis que considera como alternati va,de modo que su contraste de hiptesis tenga las mejores propiedades posibles.

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Lamentablememnte, este hecho no suele t enerse en cuenta, establecindose con

demaisad frecuencia hipt esis del t ipo H1 : 6= 10. No slo el contr aste se re-suelve de distinta manera, segn sea sta o H01 la hiptesis alternativa; adems,cmoo hemos mencionado, las propiedades del contraste son dist intas, y mejoran

si introducimos en la definicin del mismo, informacin procedente del modeloterico que sea, por t anto, incuest ionable.

En un contraste de hiptesis, se rechaza la hiptesis nula cuando la infor-macin muestral es: i) significativamente contraria a la hiptesis nula, ii) a

la vez que es favorable a l a hiptesis alt ernat iva.

Est e principio, absolutamente bsico en la t eora estadst ica de contrastacin

de hiptesis, t ambin suele ignorarse con demasiada frecuencia. Por ejemplo, unode las actuaciones incorrectas en el anli sis est adst ico de datoseconmicos, quese

producecon ciert a frecuencia, se refiere a ocasiones en quela informacin muest rales contr aria al rango devalores numricos contenidos en la hiptesis nula, pero an

ms contraria al rango considerado bajo la hiptesis alt ernativa. Est e sera el casosi al confrontar H0 frente a H

0

1 obtenemos que la media muestral, un estadst icomuest ral que es est imador eficiente de la esperanza matemtica, result a ser igual

a 22, por ejemplo. Otro ejemplo (crecimiento monet ario e inflacin)En t al caso, los mtodos est adst icos de contrast acin de hiptesis conducirn

a no rechazar la hiptesis nula, a pesar de que la informacin muestral es contraria

a la misma. Cuando esto sucede, es muy frecuente comprobar que el invest igadorconcluye que su hiptesis nula es vlida (con ste u otro calificativo de simialres

connotaciones). Sin embargo, estamos en una sit uacin donda informacin mues-tral es contr aria a dicha hiptesis nula; lo que el invest igador debera hacer enest e caso es reconocer est e hecho, cuest ionar la validez de su hiptesis nula, pero

cuest ionar asimismo el razonamiento que le llev a est ablecer la hiptesis alt erna-t iva de su contrast e, pues la informacin muestral ha sido an ms contr aria a la

misma.

En cuant o a la resolucin de los contrastes paramt ri cos de hiptesis, es pre-ciso llevar a cabo previamente un ejercicio de est imacin que proporcione una

est imacin numrica (x1, x2,...,xn) a partir del clculo del valor numrico quetoma un determinado estimador del parmet ro o vector de parmet ros me-diant e el que se define la hipt esis nula. Recordemos que un est imador es una

funcin de la informacin muest ral; evidentemente, no t odas las funciones dela informacin muest ral, es decir, t odos los est imadores posibl es, t ienen buenas

propiedades estadst icas. Para l levar a cabo el contrast e de hiptesis es preciso

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que la dist ribucin de probabilidad del est adst ico (x1, x2,...,xn) dependa del

parmetro o parmet ros incluidos en la hipt esis nula. Por ejemplo,....A su vez, el contr aste de hiptesis t endr buenas propiedades si: i) ambas

hiptesis est n corr ectamente est ablecidas, ii) lossupuest ossobre losquese condi-

ciona el contrast e, que pueden referirse al t ipo de distribucin poblacional, ascomo al valor numri co de alunos parmetros que no aparecen explcit amente

en el contrast e, sean corr ect os, ii i) el est adst ico util izado en la resolucin delcontrast e tenga buenas propiedades est adst icas.

Cuando la hiptesis nula es simple, es decir, incluye un nico valor numrico,

y l a hiptesis alt ernat iva es del t ipo H01, la resolucin del contrast e se ll eva a cabomediant e la construccin deun intervalo de confianza alrededor del valor numrico

del est imador, util izando la dist ribucin de probabil idad del mismo. As, l legamosa una afirmacin del tipo,

= Ph

a g (X) ,

b

i(3.1)

donde, un nmero posit ivo prximo a 1, es el nivel de confianza del contraste.El cont rast e se resuelve despejando el valor terico del parmetro desconocido

dentro de la expresin anteri or, para obtener una igualdad del t ipo,

= Ph

h1( (X)) f() h2( (X))i

(3.2)

donde h1( (X)), h2( (X)) son nmeros reales que dependen de: i) el valornumrico del est imador (x1, x2,...,xn) en la muest ra disponible, ii ) el supuest oacerca de la distribucin poblacional, iii) el nivel de confianza (o el nivel de sig-nifcacin) escogidos para el contraste.

En esta expresin, dada una determinada muest ra, el valor numrico del est i-

mador (X) es conocido, por lo que puede comprobarse si se satisfacen o no l asdesigualdades,

h1( (X)) f0

h2( (X)) (3.3)donde hemos sust it uido el valor desconocido de por el valor numrico incluido

en la hiptesis nula, 0. SBajo el supuest o que se ha hecho acerca de la dist ribucin de probabil idad

poblacional, y de los valores numri cos de los parmet ros que se han supuest oconocidos (si haya alguno), la probabil idad de que el valor numrico de la funcinf() caiga fuera del int ervalo (3.3) es de 1- y, por tanto, pequea. Es decir,

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st e sera un suceso poco probable; si para = 0, la funcin f() incumple las

cot as definidas en (3.3) diremos quedicho valor del parmetro es poco verosmil ,rechazando, en consecuencia, la hipt esis nula.

A modo de ejemplo, recordemos cmo se lleva a cabo un contrast e dehiptresis

acerca del valor numrico de la esperanza matemtica de una poblacin Normalcuya varianza se supone conocida. El punto de part ida es la propiedad de la

media muest ral de t al poblacin, que sigue una distribucin asimismo Normal,con la misma esperanza matemtica que la poblacin, y con una varianza igual

a la vari anza poblacional dividida por el tamao muestral. As, si la poblacin

es X N(, 25), la media muest ral es una variable aleatoria con dist ribucinx N(, 25

n). Por tant o, si se trabaja a un nivel del confianza del 95%, por

ejemplo, t endremos,

0, 95 = P

1, 96 x 5/

n 1, 96

donde hemos ut ilizado el hecho de que x N(0, 25n

) y x25/n

N(0, 1).Est a igualdad es la corr espondiente a (3.1) , donde el parmetro poblacional sobreel que se est ablece el contraste es la esperanza matemtica, = ; el est imador (x1, x2,...,xn) = x =

1n

P ni= 1 xi es la media muestral, = 0, 95, y a = 1, 96; b =

1, 96.De est a igualdad, obtenemos,

0, 95 = P 1, 96 5n x 1, 96 5

n x = P x 1, 96 5

n x + 1, 96 5

n

que es una igualdad anloga a (3.2) , con h1(x) = x 1, 96 5n , h2(x) = x +1, 96 5

n, f() = .

En definit iva, nos queda comprobar si cuando se introduce en est a lt imaigualdad el valor de que define la hiptesis nula, la cadena de desigualdadesse satisface o no. Supongamos que en la muest ra di sponible, de t amao 400, se

ha calculado para la variable X una media muestral x = 7, 5;en consecuencia, elintervalo anterior es: 0, 95 = P [7, 0 8, 0] .

3.1. Contr ast es de N ormalid ad

3.2. Cont r ates de asociacin

Antes de proceder a la est imacin de un modelo especfico que establezca una

relacin paramtrica entre dos variables, conviene explorar la posible exist encia

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de una relacin entre ellas por los procedimientos est adst icos disponibles. Uno

de ellos son los contrastes no paramtricos. Como ya hemos comentado ante-riormente, una de las virt udes de est e t ipo de anlisis es que su validez y, enpart icular, los umbrales crt icos que debe sobrepasar el est adst ico que define el

contraste, no dependen de ningn supuesto acerca de la distribucin de proba-bil idad seguida por las variables cuya relacin se t rata de caracterizar. Frente

a otros procedimientos que forman el ncleo tradicional de la Econometra, estoes una ventaja pues, en el caso de los lt imos, la Normali dad de la vari able cuyo

comport amiento se pret ende explicar es clave. Como, adems, el supuest o de Nor-

malidad acerca de la distribucin de probabilidad de una variable econmica esmucha veces rechazado, result a que las buenas propiedades de las est imaciones de

un modelo economt rico quedan muchasveces en cuest in. Por eso es convenientesu uso en combinacin con otro t ipo de procedimientosestadst icos, especialmentesi sus propiedades no precisan t al hiptesis.

4. Tratamiento de datos

4.1. A j ust e est acional

4.2. Tasas de variacin

4.3. Estimacin de componentes

5. El modelo lineal simple de regresin

5.1. Descripcin del modelo

5.1.1. Nube de puntos

5.2. Est im acin por mni mos cuadrados (ord inari os)

5.2.1. R epr esent acin grfica de la recta de regresin estimada

5.3. Propiedades del estimador de mnimos cuadrados ordinarios

Generalmente, estamos muy interesados en contratar hiptesis de disti nto t ipo: a)si una variable explicat iva contiene informacin significat iva acerca de la variabledependiente, b) si el coeficiente de imapact o de una det erminada variable es igual

a 1, c) si dos vari ables explicat ivas t ienen el mismo coeficiente, etc...Sin embargo, aunque los coeficientes del modelo de regresin son constantes,

si bien desconocidas, sus est imaciones, por cualquier procedimiento que podamos

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util izar, son aleat ori as, pues son funcin de la muest ra que ut il icemos, que es

aleat oria. Si el modelo que estamos est imando es corr ect o, como hemos desuponer, la pert urbacin aleat oria del mismo, ut, otorga naturaleza asimismoaleat ori a a la vari able dependiente, yt. Est o significa que si cambiamos por ejem-plo el perodo muest ral que ut il izamos en la est imacin, la realizacin de dichapert urbacin, es decir, sus valores numricos, sern diferentes, con lo que las ob-

servaciones de yt tambin los ern, y la estimacin de los parmetros diferir dela obtenida con otro perodo muestral. Asimismo, si cambiamos la frecuencia de

observacin de los datos, de diaria a mensual, por ejemplo tomando el lt imo dato

de cada mes, la muest ra cambia, y con ella, las est iamciones de los coeficientes delas variables explicat ivas en el modelo.

Siendo variables aleatorias, nos interesa que los est imadores t engan ciertaspropiedades deseables, lo cual depender del procedimiento de est imacin ut i-lizado, y de lasc aract erst icas del modelo que est amos est imando. Las principales

propiedades en que podemos estar interesados son: insesgo, eficiencia y consis-tencia.

El insesgo consiste en que la esperanza matemtica del est imador coincida

con el verdadero valor numrico del coeficiente que est amos est imando. Un est i-mador eficiente es un est imador de mnima vari anza. El procedimiento demnimos

cuadrados proporciona el est imador lineal de mnima varianza, si bien pueden ex-istir ot ros est imadores no lineales de varianza t odava menor. Un est imador esconsistente si, al aumentar el tamao muestral, converge en probabilidad al ver-

dadero valor del parmetro desconocido que se est est imando. Se dice entoncesque su lmit e en probabil idad es dicho parmetro. Bien podra ocurrir que el est i-mador fuese sesgado en muestra pequeas, pero si es consistente, dicho sesgo ir

reducindose si ampliamos el t amao muest ral. El est imador de mnimos cuadra-dos no es siempre consistente. El est imador de mxima verosimi li tud lo es, pero

siempre que la hipt esis acerca de la dist ribucin de probabil idad en que se basa,sea corr ecta, sobre lo que no se puede tener seguridad.

5.4. R esiduos del modelo. Gr ficos de residuos

Los residuos del modelo, a veces denominados los err ores del modelo de regresin,son aqul componente de la variable dependiente que no est explicado por los

valores que toma l a variable independiente o explicati va. En consecuencia, losresiduos ut se calculan a part ir de la expresin,

yt = 0 + 1xt + ut

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de la que se obtiene,

ut = yt 0 1xten el caso de dat os de serie t emporal, y

ui = yi 0 1xien el caso de dat os de seccin cruzada.

Grficamente, si volvemos a la nube de puntos que representa la posiblerelacin entre x e y, y dibujamos sobre ella la recta de regresi n, el residuono es sino la distancia vert ical ent re la alt ura (ordenada) de cada punto de la

nube, y la alt ura que le correspondera de acuerdo con la rect a de regresin est i-mada. Dicha alt ura debe t omarse con signo, de modo que el residuo es posit ivo

cuando el punto de la nube est por encima de la recta de regresin est imada, ynegati vo cuando el punto queda por debajo de la recta de regresin est imada.

5.4.1. Estimacin de la varianza del trmino de perturbacin

5.5. Cuando los coeficient es del mod elo de r egresi n cambi an a l o l argo

de la muestra

Supongamos que se dispne de datos de seri e t emporal, y que el coficiente que

mide la relacin entre las variables x e y, es decir, la pendiente del modelo, havariado a lo largo del t iempo. Es claro que un procedimiento de est imacin como

mnimos cuadrados nos proporcina un nico valor numri co de dicho coeficientey, por t anto, cobra pleno inters nicamente bajo el supuesto de que dicho valornmri co ha permanecido const ante a lo largo del perodo muest ral.

Sin embargo, en la mayora de las apli caciones econmicas que pueden consid-erarse, t al supuesto parece demasiado restrict ivo pues, ms bien, el valor numrico

de dicha elast icida habr variado a lo largo de la muestra. Qu proporciona en

tal caso el mtodo de mnimos cuadrados? Lo pr imero que debemos entender esque el invest igador no observa en ningn caso si el coeficiente ha variado en el

t iempo o no, dado que no observa el valor numri co de dicho coeficiente. Esta es,precisamente, la razn que le mueve a est imar su valor numrico.

En muchas sit uaciones, sin embargo, el invest igador puede t ener fundadas

creencias acerca de que se han producido variaciones en el mismo. Por ejemplo,muchas veces se afirma que la capacidad de la polt ica monetaria para cont rolar la

inflacin se ha reducido significati vamente recientemente; tal afirmacin se debe

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a la observacin, en datos reales, de que una fuerte expansin monet ari a sola

venir acompaada de un claro repunte inflacionist a, mientras que, ms reciente-mente, un robusto cecimeinto monetario puede ser compatible con una inflacincontenida.

En una sit uacin de tal t ipo, un procedimient o de est imacin como MCO pro-porciona como valor numri co del parmet ro un promedio de los valores numri -

cos que ha tomado durant e el intervalo de t iempo correspondinte a la muestra dedat os disponible. Por t anto, result a de suma import ancia el modo en que el coe-

ficiente ha variado en el t iempo, como vamos a ver en los ejercicios de simulacin

siguient es.

5.5.1. C ambi o est r uctu r al en los coeficient es del modelo de r egresin

Supongamos que el coeficient e ha sido constant e enla primera mitad de la muestra

e igual a 0,5, mientars que en la segunda mitad de la muestra ha sido asimismoconstant e, e igual a 1,5. El est imador de mnimos cuadrados proporcionara en-tonces una est imacin en torno a 1,0. En r ealidad, 1 = 1, 0 no es representati vode lo que ha ocurrido en ningn momento de la muestra, como ilustra el grficoXX .

Est e t ipo de sit uaciones puede conducir a impresiones engaosas, como ocur-

ri ra si en una part e de la muest ra la pendiente ha sido posit iva, invirt indose elsigno de la relacin entre x e y en la segunda mit ad de la muest ra. Si en ambas

partes el valor numri co de la pendiente ha sido el mismo, cambiando nicamentesu signo, la estimacin resultante ser prxima a 1 = 0, 0, sugiriendo la ausen-cia de relacin entre ambas variables. Tal conclusin ser bast ante err nea, pues

habra existido una relacin, posiblemente bastante exact a entre x e y a lo largode t oda la muest ra, pero el signo de la misma habra cambiado de la primera a lasegunda submuestra, conduciendo a l a equvoca est imacin mencionada.

Que la est imacin proporcionada por un procedimeit no del t ipo de MCO seaun promedio de los verdaderos valores numricos (no observados) de la pendiente,

no debe tomarse en el sentido de que es l a media ari tmetica de dichos valores

numricos. Sin embargo, t al int uicin es aproximadamente corr ect a. As, por

ejemplo, si en el primer t ercio de la muest ra la pendiente hubiese sido 1 = 1, 0, yen las dos terceras part esfinales de la muest ra la pendiente hubiese sido 1 = 1, 0,la est imacin numrica del parmetro no seria muy diferente de 1 = 0, 33, comocorrespondera a la media aritmtica de los verdaderos valores, ponderados por elnmero de observaciones a los que aplica cada uno de ell os.

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Ejercicios de simulacin

Ejercicio 1: Simule 300 observaciones de un camino aleat orio N(10,25) comodat os muestrales de la variable explicat iva x. Utilizando un valor numericode -1,0 para l a pendiente, e ignorando el t rmino de pret urbacin del mod-elo, simule los 100 primeros datos para la variable dependiente y. Luego,uti lice un valor igual a 1,0 para la pendiente y genere los dat os ficticios

correspondientes a las observaciones 101 a 300 de la variable dependiente.Est ime el modelo de regresin simple con dichos dat os.

Comentario: Al ejecutar el programa XX X, el lect or comprobar que la est i-macin de la pendiente del modelo se comport a de acuerdo con l o comentado en

la seccin previa.

Es recomendable ejecutar el programa varias veces, para obtener as un con-junt o de est imaciones numricas de dicho parmetro. En ningn caso se obtendr

est imaciones prximas al verdadero valor de la pendiente, que es de + 1,0 en unapart e de la muestra, y de -1,0 en la ot ra, sino ms bien un promedio, ponderado de

acuerdo con el nmero de dat os u observaciones en el que la pendiente ha tomadouno u otro valor numrico.

El lector puede comprobar que, si aumenta la longitud muestral, las est ima-

ciones que obtiene al ejecutar repet idas veces el programa, se aproximan an msal promedio que cabra esperar, dado el porcentaje de datos con pendiente igual

a + 1,0 -1,0.

Los estadsticos resultantes de la estimacin presentan toda la apariencia deproceder de un problema est adst ico de relacin entre dos variables aleat orias. Sin

embargo, es muy import ant e observar que el problema que acabamos de est imares, en realidad, puramente det erminista. No hay en el mismo ningn componenteest ocst ico o aleatorio pues, no hemos util izado un lemento de perturbacin. En

nuestra simulacin, la relacin entre las variables x e y es, en todos los perdosexacta, no falt ando ninguna otra variable, ni est ando sujet a a ningn elemento de

error impredecible.

Es precisamente el hecho de t ratar como constante un coeficiente del mod-elo que no lo es, lo que produce la apariencia de ser un problema de naturaleza

est ocst ica. Considerar tal supuest o (errneo, aunque no l o sabamos), es com-parable a introducir una pert urbacin est ocst ica en el verdadero modelo, queincorporara la variacin temporal en la pendiente.

En dicha est imacin, aparentemente est adst ica, obtenemos un R-cuadradoreducido, junto con una pendiente estimada que resulta estadsticamente signi-

ficativa, si juzgamos por su estadst ico t ipo-t.

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Simule asimismo con pert urbacin. Construya un grfico de varianza de la

pert urbacin y varianza de la dist ribucin de la pendient e est imada para unnmero de observaciones muest rales dado.

5.5.2. Variacin gradual en los coeficientes del modelo

5.6. A lgunos m odelos de r egresin sencill os

5.6.1. El modelo constante

Como representacin analt ica dle comport amiento de una variable, no cabe duda

de que el modelo est adstico ms sencil lo es,

yt = 0 + ut

que especifica que, excepto por un t rmino de pert urbacin de naturaleza aleato-ria, la variable yt es const ante. Con este modelo, el invest igador declara l a im-posibilidad de encontr ar ninguna vari able que pueda explicar el comport amiento

de yt.Puest o que la matriz de datos de la (nica) variable explicat iva es en este caso,

X = (1, 1, 1, ..., 1)

un vector de dimensin T, se tiene X = 1T, y recordando que 10

T

1T = T,y 10Ty = P

t= Tt= 1 yt podemos adaptar la expresin general (XX) del est imador de

mnimos cuadrados a est e caso part icular, teniendo,

0 = (10

T1T)1

10Ty =

P t= Tt= 1 ytT

= y (5.1)

de modo que la est imacin de mnimos cuadrados de la const ante es la media

muest ral de lavariable que pretendemos explicar. En consecuencia, el residuo es,en cada perodo,

ut = yt

0 = yt

y

es decir, el dat o correspondiente, en la forma de desviacin respect o a la mediamuest ral. Por t anto, la Suma Residual, o suma de los residuos al cuadrado es,

SR = u2t =

t= TX

t= 1

(yt y)2 = T S2y

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es decir, igual al product o del tamao muest ral por la varianza muest ral de

la variable dependiente yt. Por otra part e, la Suma Total es, como en cualquiermodelo de regresin,

ST =t= TX

t= 1

(yt y)2 = T S2y

y, por tanto, es especfico de este modelo que SR = ST . En consecuencia,puest o que el modelo t iene una const ante, se t iene: SE = ST SR = 0. En estemodelo, la Suma Residual coincide con la Suma Tot al, indicador de las variacionesen yt que se pret ende explicar, por lo que la Suma Explicada es igual a cero. En

consecuencia, el R-cuadrado de la regresin es asimismo cero,

R2 = 1 SRST

=SE

ST= 0

Esto puede parecer paradjico a primera vista; sin embargo, tiene una inter-

pret acin t otalmente acorde con la naturaleza del modelo de regresin. Comodiscutimos en la Seccin XX, aunque el modelo de regresin se especifica gen-eralmente para relacionar los valores numricos observados para variables yt, xt,en r ealidad, su ut ilizacin fundamental en Economa estriba en est ablecer algunainferencia acerca de la relacin que pueda exist ir entre las variaciones que exper-

imentan las variables explicat ivas por un lado, y la variable dependiente por ot ro.Son las fluctuaciones en ambas variables lo que fundamentalmente pret endemoscaracterizar. Como vimos al caracteri zar el est imador MCO, una vez que tenemos

est imaciones numricas para los coeficientes aosicados a las variables explicat ivasdel modelo, obtenemos la est imacin numrica de la constant e del modelo medi-

ante,

0 = y 1x00que relaciona las medias muest rales de t odas las vari ables del modelo. Por

tanto, la relevancia de la constante en el modelo estriba en ajustar las distintas

medias muestrales de las variables del mismo, corri gido cada una de ellas por elcoeficiente asociado. Pero est e es un ajust e generalmnente poco relevante parael invest igador, que se interesa bsicamente en el modo en que variacioens en las

variables xt generan fluctuaciones en yt. Por tanto, en est e modelo const ante, enque no se explican las fluctuacioens de yt, llevndose nicamente a cabo el ajustede medias muestrales a travs de (5.1) ,es lgico que el indicador de ajuste R2

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result e igual a cero. Ntese, por lt imo, que no hemos impuesto est a condicin,

sino que est amosmint erpretan la propiedad del modelo constant e, de t ener un R2igual a cero.

5.6.2. El modelo con variables en desviaciones respecto a la media

Consideremos un modelo lineal,

yt = 0 + 1x1t + 2x2t + ut (5.2)

cuya versin est imada es,

yt = 0 + 1x1t + 2x2t + ut (5.3)y calculemos su promedio a t ravs de todas las observaciones muestrales. Ten-

dremos,

t= TX

t= 1

yt =t= TX

t= 1

0 + 1

t= TX

t= 1

x1t + 2

t= TX

t= 1

x2t +t= TX

t= 1

ut (5.4)

y teniendo en cuenta la propiedad de los residuos MCO de t ener suma igual acero, se convierte en,

y = 0 + 1x1 + 2x2 (5.5)Restando (5.5) de (5.3) se t iene,

yt y = 1 (x1t x1) + 2 (x2t x2) + uten el que se observa que el modelo (5.2) es consistente con un modelo cuyas

variables son las de (5.2)pero medidas cada una de ell as en desviaciones respect oa su promedio muestral; los coeficientes est imados por MCO en este modelo coin-

cidiran con los que se est imaran para el modelo original, excepto por el hecho deque el modelo en desviaciones respecto a la media carece de trmino constant e.

Por lt imo, los residuos MCO del modelo en desviaciones son, observacin a ob-servacin, los mismos que se tendran para el modelo en las variables originales.

La diferencia entre ambosmodelos es queel modelo con las vari ables en desvia-

ciones respcto a la media no precisa de trmino constant e. Es fcil entender porqu: de acuerdo con (XX) , la estimacin MCO de la constante es la diferenciaentr e la media muestral de la vari able dependiente y las medias muestrales de

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las variables explicat ivas, cada una de ellas corr egida por el coeficiente asociado.

Pero en el modelo con vari ables en desviaciones respecto a la media, t odas lasvriables, dependiente y explicat ivas, t iene media muestral igual a cero. Por tanto,la est imacin MCO de una hipott ica const ante en dicho modelo sera igual a

cero. incluso si incluimos dicha const ante, su est imacin de mnimos cuadradosser numricamente igual a cero.

5.6.3. El modelo con tendencia determinista lineal y cuadrtica

Un modelo sencillo interesant e es aqul que incluye una t endencia deterministacomo nica variable explicat iva, adems del t rmino constante,

ln yt = 0 + 1t + ut (5.6)

en el que la est imacin del coeficiente 1 nos proporciona una estimacin dela t asa de crecimiento muest ral de la vari able yt. En efecto, si consideramos laestructura,

yt = Ae1t (5.7)

t endremos una t asa de crecimiento dada por,

dyt/dt

yt

=d (ln yt)

dt

=d (ln A + 1t)

dt

= 1

En definitiva, el modelo (5.6) no es sino la versin logart mica de la ecuacinde crecimiento (5.7), con 0 = ln(A), y donde el t rmino de pert urbacin ut puderecoger cualquier fluctuacion de corto plazo alrededor de la tasa de crecimeintoconst ant e, 1. Este modelo es, por tanto, apropiado cuando se pretende estimarla tasa de crecimiento media de una variable yt a lo largo del perodo muestral.Hay que tener en cuenta, sin emabrgo que el parmet ro 1 proporciona la tasa de

crecimiento, supuest a const ante, entre cada dos observaciones consecutivas. Si l os

dat os de que disponemos son de naturaleza anual, entonces habremos estimado elcrecimiento anual de la variable. Si losdatosson tr imestrales, el crecimiento anual

se obtendr a part ir de la est imacin de1 mediant e= (1 + 1)4

1, quehabre-mos de mult ipl icar por 100 si queremos presentar en trminos porcentuales. Si losdatos de base son de naturaleza mensual, entonces obt endremos una est imacin

del crecimeinto anual a partir de = (1 + 1)12 1.

Est e modelo det endencia det erminist a lineal es tambin muy til precisamente

para ext raer de una variable su comport amiento de largo plazo, cuando se supone

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que ste est bi en representado por el supuest o de una tasa de crecimiento con-

st ante. As, una vez est imado el modelo (5.6) , los residuos ut nos proporcionan ellogarit mo de la variable yt desprovist o de tendencia, es decir, ut = ln yt 0 1t,recogiendo as el comport amiento de la variables segn fluct a alrededor de su

tendencia de largo plazo. Diremos t ambin que est a es la representacin de lavariable corregida de t endencia lineal. Como hemos vist o, est e ejercicio, efectu-

ado sobre el logaritmo de la variable original, incorpora el supuesto implcito deque la t asa de crecimiento de dicha variable es const ante.

5.6.4. M odelos no lineales en las variables

Algunos modelos no lineales pueden t rat arse de modo muy sencill o, sin necesidad

de desarrollar mtodos dist intos de los est udiados en los captulos anteriores. Ello

ocurre en muchas situaciones en que el modelo presenta no li nealidades exclu-

sivamente en las variables que aparecen en la relacin que se pretende estimar,como,

yt = 0 + 1xt + 2x2t + ut (5.8)

que es un modelo con una nica vari able explicat iva, que aparece t anto en suforma original, como al cuadrado. Es interesante observar que, en est e modelo,

la derivada parcial, que recoge la magnit ud de los cambios inducidos en yt por un

cambio en el valor numrico de xt viene dada por,dytdxt

= 1 + 22xt

A diferencia de la quet enamos en el caso del modelo de regresin lineal simple,que era,

dytdxt

= 1

y, por tanto, constante, la derivada parcial del modelo (5.8) depende del valor

numrico de la variable explicat iva. Esto puede ser muy interesante en muchasrelaciones econmicas, en las quees lgico pensar queel impacto quesobre yt tieneuna variacin unitaria en xt depende del valor numrico de xt a partir del cualse produce dicha variacin unit aria. As, no t endra el mismo impacto negat ivosobre el consumo un incremento de un punto en el t ipo imposit ivo del IVA si ste

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se produce cuando dicho t ipo es del 3%, que si dicho incremento se produce a

part ir de un t ipo del 15%. Parece lgico que as sea.Si las variables ut il izadas en la r egresin son los logari t mos naturales de las

variables para las que inicialmente obtuvimos dat os, como consumo y renta,yt = ln(Yt), xt = ln(Xt), estaramos recogiendo en (5.8) la creencia en una elast i-cidad no constante, como aparece en muchos modelos tericos econmicos. Si el

valor numrico del coeficiente 2 es negativo, tendremos que la variable yt crecemenos que proporcionalmente con un aumento en xt, lo que corr espondera a unanube de puntos en la forma de una funcin cncava, mient ras que si est imamos

un valor numrico positivo para 2, tendremos que la variable yt crece ms queproporcionalmente con un aumento en xt, lo cual correspondera a una nube de

puntos convexa. Por contraposicin, en el modelo lineal incorporamos a priorila hipt esis de elast icidad constante, es decir, el supuesto de que la variable ytcrece proporcionalmente con xt.Sin duda que, aunque no se considera habitual-mente, parece conveniente permit ir en un priemr anlisis la posibili dad de unarelacin cuadrtica contrastando, si se desea, la significat ividad est adst ica del

coeficiente 2, si bien dicho contraste habra que verlo a la luz de la discusin

de la Seccion XX. As, en muchas ocasiones (como puede ser si se quiere utili zarel modelo est imado con fines predictivos) puede result ar conveniente mantener

un posible trmino cuadrtico incluso si el coeficiente 2 asociado aparece comoest adst icamente no significat ivo, en t rminos del habit ual contraste de la t deStudent.

Queda por discutir cmo obtener est imaciones de mnimos cuadrados para estemodelo, a pesar de ser una relacin no l ineal entre variables. Pero est e tipo demodelos es muy sencil lo de est imar, pues bast a definir una nueva variable x2t = x

2t

para t ener el modelo de regresin,

yt = 0 + 1xt + 2x2t + ut (5.9)

que, como modelo lineal que es en lasvari ables explicat ivasxt y x2t, est imamospor medio de los procedimientos descri t os en la Seccin XX, teniendo el est imador

MCO de este modelo las propiedades habit uales.

5.7. Cmo especificar un modelo de regresin?

5.7.1. Debe incluirse una constante en el modelo de regresin?

Consideremos el modelo de regresin simple,

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5.7.2. D ebemos est im ar en valores ori ginales o en logar it mos de las

variables?

5.7.3. D ebe est im arse el m odelo con var iables en ni veles o en di fer en-

cias?

5.7.4. L a fr ecuencia de obser vacin de l as var iabl es

Muchas veces se alusin al aparente principio de que, en cualquier t rabajo es-

tadst ico con datos, ms informacin es preferible a menos, por los que, un mayornmero de datos es preferible a un nmero inferior. En este sentido, si el in-vest igador t iene la posibil idad de trabajar con dat os mensuales de las variables

dependiente e independiente, debe util izar est os en preferencia al uso de dat os an-uales. Esto no es en modo alguno ciert o, debido al menos a dos consideraciones.

Er r ores de medida Por un lado, lasvariables econmicas, especialment e si sonde carcter financiero, t ienen un nivel de volatil idad potencialmente import ante,

por lo que cada dato frecuente que se publica (digamos que mensual) recoge, noslo la evolucin subyacente o verdadera de la vari able que se observa, sino tam-bin el componente de volat ili dad en la misma. esto quiere decir que, al observar

una vari able cada mes, los datos t ienen un componente de naturaleza errti ca,

es decir , puramente aleat ori o o impredecible, que puede venir sucedido por uncompoenente de igual naturaleza, pero signo opuest o, al mes siguiente. En con-

secuencia, si slo observramos el dato t rimestral, que se forma bien mediante unpromedio de los trimest rales, (si la variable es un st ock), o acumulando lo t res

dat os mensuales correspondientes a dicho t rimestre (si la variable es un flujo), unabuena part e de los componentes errt icos habr desaparecido por compensacin,y el dato t ri mest ral sera, muy posiblemente, msfiable, que los t res dat os mensu-

ales. Algo similar puede decirse en cuanto a observar datos t rimestrales o anuales.

Est a observacin est detrs de l a sensacin que muchas veces se t iene al asist ir

a la divulgacin en los medios de comunicacin de un nuevo dato mensual de ex-pectativas de empresarios, inflacin, etc.. No es ext rao asist ir , en variables tanimportant es, a un dato mensual aparentemente posit ivo sigue que se interpret a

como negat ivo, quiz uno siguiente posit ivo, etc.. De est e modo, la avalancha dedatos frecuentes genera una incertidumbre que podra evitarse en cierta medidasi, aun recogiendo dat os mensualmente, se evaluaran slo con menos frecuencia.

Est o t iene implicaciones cuande se t rata de caract erizar la relacin que exist eentre variables. Si, por ejemplo, estamos int eresados en analizar el modo en que

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las expectativas de los empresarios acerca de la demanda futura incide en sus

decisiones de inversin, la presencia de los componentes err t icos en los dat os quese publican nos llevara a est imar un modelo,

inversiont = 0 + 1 exp ectativast

donde,

inversiont = inversiont + t

exp ectativast = exp ectativast + t

siendo t, t, los componentes err t icos a los quenos hemos referido, quesupon-dremosno relacionados, Corr(t, t) = 0. Incluso si Corr(inversiont, exp ectativast)eselevada, la presencia det, t, har que, generalmente, Corr(inversion

t , exp ectativas

t )

sea inferi or a Corr(inversiont, exp ectativast), proporcionando un ajuste pero delque habramos t enido en ausencia de dichos componentes errticos. Como conse-cuencia dequeslo podemos util izar en la regresin lasmedidas inversiont , exp ectativas

t ,

quiz incluso tengamos una estimacin del coeficiente 1 no significativa, debido

a la prdida de precisin en su est imacin.

Ejercicio de simulacin Otra posibil idad sera examinar los datos mensu-

ales a la luz de una referencia t emporal adecuada.

L a fr ecuencia en las r elaciones est r uct ur ales Otra razn por la cual no esnecesariamente preferible ut ilizar datos ms frecuentes que menos re refiere a la

propia naturaleza de la relacin que se est t ratando de medir. Por ejemplo, con-sideremos la import ante relacin exist ente entr e crecimeint o monet ari o e inflacin.

Ningn economista duda de que t al relacin exist a; algunos, incluso defienden la

idea de que la inflacin es puramente un fenmeno monetario, estando completa-mente det erminada, por t anto, por la t asa decreciemit no dela cantidad dedinero.

Otros economist as no llegan t an l ejos, pero aceptan que hay una relacin posit iva

entre creciemit no moentario e inflacin; precisamente contrastar si dicha relacines ms o menos est recha, o si un mayor crecimiento monet ari o se t ransmit e com-

pletamente (es decir, con coeficiente 1 = 1) a una mayor inflacin, puede ser lamotivacin para estimar un modelo,

inflaciont = 0 + 1crecimiento monetario + ut

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Ahora bien, verdaderamente creemos que un mayor crecimiento monetario

en marzo, por ejemplo, genera una mayor inflacin en dicho mes? Muy pocoseconomistas suscri bir an t al concepto. Mucha mayor uniformidad de pareceresencontraramos en cuanto a creer que observado ao a ao, mayor crecimiento

monet ario viene asociado con mayor inflacin, mientras que un ao en que seinstrumenta una poltica monetaria ms restrictiva, definida por una reduccin

del crecimiento monetario, es un ao de inflacin menor. Es decir, la proposicinconceptual que relaciona positivamente crecimiento monetario e inflacin es una

proposicin referent e al medio o largo plazo.

Incluso con dat os anuales surgir, lgicamente, la cuest in de si un menor crec-imeinto monet ario conduce a una menor inflacin ese mismo ao, el ao siguiente,

o en ambos. Est a ser una cuest in que puede discut ir se mediante los proced-imientos economtricos y los contrast es estadst icos adecuados, y que conduce auna i nvest igacin siempre interesante. Pero st a es la perspectiva adecuada: en

modo alguno t iene sentido pensar que las fluctuaciones que, mes a mes, experi-menta el crecimiento monetario se corresponden con las fluctuaciones mensuales

que se observan en la tasa de inflacin. est e t ipo deinvest uigaciones, con dat os

mensuales, est n condenados al fracaso; incluso si est adst icamente det ectsemosuna relacin posit iva, deberamos est ar dispuest os a calificarla de esprea, en el

sentido de no ser la relacin estructural quecualquier economist a est ara dispuest oa admitir entre crecimiento monetario e inflacin.

Este ejemplo no debe sino sugerir que las proposiciones econmicas t ericas

no dicen nada acerca de cul es la frecuencia en la que se cumplen, y no debemosen modo alguno inferir que una proposicin t erica debe cumplirse en todo t ipode datos. Por el contrario, cuando nos proponemos examinar empricamente una

proposicin t erica, hemos de pensar cuidadosamente acerca de la frecuencia dedat os en que esperamos que sta se manifieste, y ello debe determinar el tipo de

dat os a util izar. El posible cumplimiento de la proposicin puede apreciarse endat os de una frecuencia pero no en dat os de frecuencia diferente.

Est r uct ur a dinmica de una relacin y fr ecuencia de observacin de

los datos Un aspecto relacionado se refiere a las caractersticas dinmicas dela relacin que se est tratando de est imar: supongamos que existe una relacin

entre variables econmicas que t arda un mes en manifestarse. As, con datosmensuales, un modelo apropiado sera,

yt = 0 + 1xt1 + ut

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afirmando en est e caso que la relacin es dinmica, por cuanto que no se

manifiesta contemporneamente, esdecir, durante el mismo mes. De acuerdo conest e modelo, un incremento en xt tendera a conducir a un valor ms elevado de ytpero no este mes, sino al mes siguiente. Supongamos ahora que slo disponemos

de datos trimest rales: por ejemplo, el dat o del primer t rimestre ser, para ambasvariables, el promedio de l os dat os de enero, febrero y marzo, tenindose las

relaciones,

yfebrero = 0 + 1xenero + ufebrero

ymarzo = 0 + 1xfebrero + umarzo

Aunque yenero no est relacionado con xenero, xfebrero, o xmarzo, las relacionesexistentes entre yfebrero, ymarzo y xenero, xfebrero son suficientes para que los datosdel pri mer t rimestre de ambas variables,

y primer trimestre =yenero + yfebrero + ymarzo

3, x primer trimestre =

xenero + xfebrero + xmarzo3

est n relacionados. Sin embargo, debe apreciarse que la relacin ser entre

lso datos de x e y correspondientes ambos al primer trimestre. En consecuencia,una r elacin que con datos mensuales t ena una naturaleza dinmica, pasa a ser

est rictamente cont empornea con datos triemstrales.

As, es import ante recordar que algunas de las propiedades de una relacineconomtrica dependen de la frecuencia de observacin de los datos, no siendo,por tanto, propiedades de carct er absolut o de la relacin entre x e y.

6. Contrastes de hiptesis en el modelo de regresin lineal

simple

Como se ha comentado anteriormente, t res son las finalidades posibles que se

derivan de la est imacin de un modelo economt rico: a) la posibilidad de con-trastar hiptesis econmicas tericas alternativas, b) la prediccin de los valores

futuros de la variable dependient e

6.1. Significacin est adst ica ver sus p r ecisin

Uno de los contrastes ms habituales tras estiamr un modelo de regresin se re-

fiere a la hiptesis del t ipo H0 : = 0, con la que el invest igador se pregunta si la

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variable asciada a dicho coeficente t iene un impact o significat ivo sobre la variable

dependiente, cuyo comport amiento se pret ende explicar. No debemos olvidar quecon ello, lo queest amos contrastando es si dicho impacto es estadst icamente signi-ficativo, y t ratando deidentificar dicha caract erst ica con la exist encia deun efecto

estructural significat ivo de la vari able explicat iva sobre la vari ables dependiente.Pues bien, ya hemos vist o que la manera de resolver el contr aste de dicha

hiptesis consist e en util izar el t est t de Student, que en el caso de la hipt esis designificacin adopta la forma,

DT() tTk

donde T k denota el nmero de grados de libert ad del modelo de regresin,definido como la diferencia entre el nmero de observaciones ut ili zado en la est i-

macin del mismo y el nmero de coeficientes est imados. Por tanto, para decidir

acerca de la hiptesis nula de significacin de un coeficiente , se const ruye elcociente entre la estimacin numrica de dicho coeficiente y su desviacin tpica

est imada, y se compara con el umbral crt ico de la distribucin tTk al nivel designificacin escogido de antemano.

La prct ica habit ual consiste en concluir que la variable explciati va x no esrelevante para explicar el comport amiento de la variable y si el valor numrico desu estadst ico t de St udent es inferior al nivel crt ico proporcionado por las tablas

de dicha dist ribucin al nivel de significacin deseado. Que la comparacin seest ablezca en trminos del valor absolut o del est adst ico muestral o no dependede que el contraste sea de una o dos colas, lo cual depende a su vez de la forma

que adopte la hiptesis alt ernat iva, segn sea sta H1 : 6= 0, o adopte alguna delas formas H1 : < 0, H1 : > 0.

La forma que adopta est e cont raste sugiere de modo bast ante evidente que el

est adst ico t puede ser inferior al umbral crtico de la distribucin de referenciaa) bien porque el valor est imado sea pequeo incluso cuando se tie en cuentael rango de variacin de la vari able asociada, o b) porque, aun siendo suficiente

como para generar un impacto cuantitati vo apreciable de x sobre y, dicho valor

numri co se est ima con poca precisin, es decir, con una desviacin tpica elevada.Mientr as el primer caso corresponde a una sit uacin en la quequerramos concluirque, efect ivamente, la vari able x no es relevante para explicar y, en el segundocaso, tal conclusin sera errnea; lo queest sucediendo en este caso es nicamente

que la muestra disponible no nos permite asignar un valor numrico concreto al

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coficiente asociado, a pesar de que la variable x es un fact or explicat ivo relevante

de la variable y.A pesar de sus import ant es implicaciones para el contrast e de hiptesis estads-

t icas, est a discusin se ignora con demasiada frecuencia en el t rabajo empri co. Su

importancia deriva de que, como hemos ido revisando con anterioridad, existendistintas razones que pueden implicar una prdida de precisin en la estimacin

puntual, con independencia del contenido informativo que la variable x tiene so-bre y. Por ejemplo, aparece una prdida de precisin apreciable cuando el valornumri co del coeficienteha variado a lo largo del intervalo muestral [Recurdese

el ejercicio de simulacin X XX ]. en dist intos puntosEsta senumri camente de Con mucha frecuencia se ignora

6.1.1. Se hace una variable ms o menos significativa?

6.1.2. Cmo puede discuti r se qu var iable es ms r elevant e en unaregresin?

mayor valor numrico

mayor estadstico t

7. Correlacin versus causalidad

8. Variables no estacionarias

La no estacionariedad de las variables involucradas en una regresin es uno delas situaciones que requiere una consideracin ms cuidadosa en el anli sis de

regresin. La ausencia de estacionari edad se produce con mucha frecuencia en

variables econmicas; adems, como vamos a ver, sus implicaciones en la est i-

macin de modelos de regresin pueden ser bast ante negativas e importantes. Porlt imo, su deteccin y trat amiento no son siempre evidentes.

8.1. Caractersticas de una variable estacionaria

Una variable estacionaria t iene generalmente varianza finita (salvo que obedezca

a una distri bucin que como la Cauchy, carece de este momento); ms precisa-mente, su varianza no cambia con el paso del t iempo y, desde luego, no t iende a

infinit o. una pert urbacin t ransit oria sobre una variable estacionaria t iene efectos

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puramente transitorios; pueden durar varios perodos, pero sus efectos terminan

desapareciendo. Los valores sucesivos de su funcin de auocorrelacin convergenrpidamente hacia cero, excepto quiz en los retardos de carcter estacional. laserie temporal correspondiente a una variable estacionaria no deambula durante

perodos largos de tiempo a un mismo lado de su media muestral, sino que cruzafrecuentemente dicho nivel medio. El nmero medio de perodos que transcurre

entre dos cruces consecutivos del nivel medio muestral es pequeo.Por el contrario, una perturbacin de carcter transitorio sobre una variable

no estacionaria t iene efect os permanentes. La funcin de autocorrelacin de una

variable no est acionaria converge a cero muy lentamente, y su serie temporalmuest ra claramente largos perodos de t iempo en que deambula sin cruzar su

nivel medio.

8.2. Tendencias d et er m ini st as y t endencias est ocst icas

La ausencia de est acionariedad en variables econmicas puede reflejarse mediantela presencia de t endencias est ocst icas o de tendencias deterministas en losprecios

de mercado, a t ravs de volatil idad cambiante en el t iempo, etc.. Una tendenciaestocstica es un componente estocst ico cuya varianza t iende a infinito con elpaso del t iempo. Una tendencia determinista es una funcin exacta del tiempo,

generalmente li neal o cuadrt ica, lo que hace que el valor de la variable crezca odisminuya const antemente; si la t endencia es lineal, la variable t ender a ms o

menos infinit o; si la tendencia es cuadrt ica o de orden superior, la variable puedeest ar acotada.

Si una variable presenta una tendencia determinista lineal, su valor esperado

tender a aumentar o disminuir continuamente, con lo que ser imposibl e man-tener el supuesto de que la esperanza mat emt ica de la sucesin de variablesaleatorias que configura el proceso estocst ico corr espondiente a dicha variable,

es const ante. En consecuencia, tampoco podr mant enerse que la distribucin deprobabilidad de dichas vari ables es la misma a t ravs del t iempo. Sin embargo, si

efect uamos una correcta especificacin de la estructura de dicha t endencia, podr

est imarse y ext raerse del precio, para obtener una variable estacionaria, que no

presentara las dificult ades ant es mencionadas.Mayor dificultad entraa el caso en que una variable precio incluye una ten-

dencia est ocst ica pues, en tal caso, su esperanza y varianza no estn definidas.

La presencia de una tendencia estocst ica requiere transformar la variable, gen-eralmente en primeras diferencias t emporales, o t omando las diferencias entre las

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observaciones correspondientes a una misma est acin cronolgica, en el caso de

una variable estacional. La transformacin mediante diferencias result a bast antenat ural en el anlisis de dat os financieros, por cuanto que la primera diferenciadel logari tmo de un precio, en logari tmos, es la rentabilidad del act ivo, loq ue hace

que la t ransformacin logart mica sea ut ilizada muy frecuentemente.Como prcticamente ningn precio o ndice financiero es est acionario, el uso

indiscri minado de un estadst ico como la varianza o la desviacin t pica comoindicador de ri esgo conduce a medidas de volatil idad sesgadas al alza. Consider-

emos un modelo muy popular en el anli sis de mercados financieros, el camino

aleatorio:

yt = + yt1 + t, t = 1, 2,...

que evoluciona a part ir de un valor inicial y0dado, donde t es un ruidoblanco: sucesin de variables aleatorias, independientes, con media const ante (quesuponemos cero), y varianza asimismo const ante 2. Mediante sucesivas sust itu-

ciones, este proceso puede escribirse, de modo equivalente:

yt = y0 + t +tX

s= 1

s

En consecuencia, un camino aleatorio yt t iene varianza creciente en el t iempo:

V ar(yt) = t2

Ello se debe a que el lt imo sumando en la representacin anterior es unejemplo de tendencia estocstica. Cuanto mayor sea el nmero de observaciones

consideradas, mayor ser la varianza muestral del camino aleat orio: un caminoaleatorio t iene menor varianza a lo largo de una hora que a lo largo de un da, a

lo largo de un da que a lo largo de una semana, etc..

Est o es lo que ocurrir con la inmensa mayora de los precios cot izados en losmercados financieros. Aunque la presencia de tendencias est ocst icas se produce

generalmente junt o con est ructuras ms complejas que la de un camino aleatorio,la implicacin acerca de una vari anza creciente con el t iempo se mantiene cuandose aaden a sta componentes autoregresivos o de medias mviles para yt. Paraevitarlo, caracterizamos la volatilidad de un mercado o de un activo analizandoel comportamiento de la rentabilidad que ofrece a lo largo del tiempo, no de su

precio o cotizacin.

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En el ejemplo anterior, deun camino aleatori o, la t endencia estocst ica aparece

debido al coeficiente unit ario del retardo deyt en la ecuacin queexplica el compor-tamiento de esta variable, por lo que una tendencia est ocst ica se conoce asimismocomo una raz unitari a. Con ms generali dad, recordemos que por la descomposi-

cin de Wald, todo proceso est acionario acept a una representacin autoregresiva,quiz de orden infinito,

yt = 0 +X

s= 1

jytj = (L) yt

donde L denot a el operador de retardos, definido como Ljyt = ytj. Si obten-

emoslas racesdedicho polnomio deretardos, podremos escribir , (L) =

Qpi= 1(1aiL) Q qj= 1(1 bj L cjL2), donde los lt imos factores t ienen como races dos

nmeros complejos conjugados. una raz unit ari a es un factor del primer t ipo, con

ai = 1. En el lenguaje est adst ico, se dice que el proceso yt t ieneuna raz unit aria.Si el proceso yt siguiese una estructura dependiente de su pasado, pero del

tipo:

yt = 0 + 1yt1 + t t = 1, 2,..., 1 < 1 < 1

sus propiedades seran bast ante dist intas, con:

yt = 01 t11 1

+ s1y0 +tX

s= 1

ts1 s

y si consideramos que el proceso ha durado infinit os perodos,

E(yt) =0

1 1; V ar(yt) =

2

1 21est aran bien definidas, son constantes, y el proceso es estacionario. Est e pro-

ceso se denomina proceso autoregresivo de primer orden y en l hay quedist inguir

entre momentos incondicionales, cuyas expresiones analt icas acabamos de calcu-lar en el caso de esperanza matemtica y varianza, y momentos condicionales.

donde suponemos que ut es un proceso sin autocorrelacin (correlacin tem-poral consigo mismo). Es decir, Corr(ut, utk) = 0 k.

En estas condiciones, si ut sigue una distribucin Normal ut N(0, 2u), en-tonces yt sigue una distribucin

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yt N( 01 1

,2u

1 21)

Est a es la dist ribucin marginal o incondicional, de yt.Por otra parte, condicional en la historia pasada de yt, sin incluir el dato de

fecha t, la distribu8cin de probabil idad condicional de yt es,

yt N(0 + 1yt1, 2u)

que tiene una menor varianza. De hecho, la varianza incondicional de yt es

tant o mayor cuanto ms se acerque el parmet ro 1 a 1, creciendo dicha varianzasin lmit e. Sin embargo, la vari anza condicional es siempre 2u, con independenciadel valor numrico del parmetro 1.

La varianza condicional de yt es igual a la vari anza de ut, 2u, mient ras que lavarianza incondicional de yt es siempre mayor que

2u.

Adems,

E(yt/yt1) = 0 + 1yt1; E(yt) =0

1 1Como veremos ms adelant e, el concepto de proceso browniano est bast ante

ligado al de camino aleatorio. Por t anto, la afirmacin ant erior es coherente conestablecer la hiptesis de que la rentabilidad de un determinado activo sigue unproceso browniano, pero no tanto con efect uar dicha hiptesis sobre su precio.

8.3. Regresin esprea

El problema de la regresin esprea fue analizado por Granger y Newbold (1974),quienes most raron la posibil idad de que, en determinadas sit uaciones, est ima-

ciones mnimocuadrticas de un modelo de regresin lineal que sugieren una es-trecha relacin entre vari able dependiente y variables independientes, estn re-

flejando, en realidad, una relacin esprea o ficticia, que en realidad no existe.

Es evidente que tal posibi li dad sera ext remadamente peligrosa, tant o en la es-timacion de coeficientes de imapcto o elast icidades, como en la contrast acin dehiptesis t ericas. Lo que suele ignorarse con demasiada frecuencia es que las

condiciones para que una regresin sea esprea se dan con mucha frecuencia enla invest igacin aplicada en Economa, en general, y en Finanzas, en part icular.

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Comenzamos describiendo el t ipo de dificult ades a que puede dar lugar la

ausencia de estacionariedad de las variables dependiente e independiente en unmodelo de regresin l ineal. Para ello, pensemos en el siguiente ejercicio: comen-zamos simulando dos ruidos blancosindependientes, xt , yt , t = 1, 2,...,T, a partirde distr ibuciones de probabil idad Normal, con esperanza matemtica x , y (por

ejemplo, iguales a cero) y varianzas2x ,2y

; el coeficiente de correlacin muestral

entre las seri es t emporales result ant es ser, por const ruccin, muy reducido, sibien no exactamente igual a cero.

Nota: Cuanto mayor sea el t amao muestral, ms probable es que dicha cor-relacin sea igual a cero, debido a que la correlacin muest ral, es decir, la cor-relacin entre las dos seri es t emporales simuladas es, por la ley de los grandes

nmeros, un est imador consistente de su anlogo poblacional, que es el coeficientede corr elacin terico entre los dos procesos xt , yt , que es igual a cero. Por t anto,al aumentar T, la distri bucin deprobabil idad del coeficiente de correlacin mues-tral se concentra alrededor de cero.

El grfico de ambas vari ables presentar una pauta oscilando alr ededor de

su media muestral que, por la misma razn apunt ada para el coeficente de cor-relacin, sern prximas, si bien no iguales, a x , y . Observaremos que cadaserie temporal cruza repetidamente su nivel medio. Si est imamos una regresindel tipo:

yt =

0 +

1

xt + ut, t = 1, 2,...,Tdeberamos obtener una est imacin de 1 no significativamente diferente de

cero, y un R2 prct icamente nulo. En efect o, salvo por el err or est adst ico, asocurre cuando llevamos a cabo un ejercicio de simulacin de Monte Carlo: al 95%de confianza, el habit ual contrast e t ipo t rechazar la hiptesis nula de ausencia

de capacidad explicat iva de xt H0 : 1 = 0 aproximadamente en un 5% delos casos, y el valor mediana del coeficiente de det erminacin R2 para todas lassimulaciones es muy reducido. El trmino constant e slo r esultara significativosi en la generacin de las series t emporales, hemos util izado valores diferentes dex , y .

Est e result ado no se ve afect ado significativamente en ningn otro sentido porla presencia de t ales t rminos constantes, ni tampoco por cambios en el valorde las respect ivas varianzas. Al variar el valor relativo de 2y /

2x

t an slo se

observa un comport amiento algo err t ico del tamao del contrate de significacindel parmetro 0. En definitiva, en esta primera parte del ejercicio tendremos el

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result ado que esperaramos: una regresin no significativa, excepto en lo relativo

al nivel escogido para el contrast e.

8.3.1. Regresin esprea bajo tendencias deterministas

A cont inuacin, aadimos una tendencia lineal det erminist a a cada una de ell os,

yt = at + ytxt = bt + xt

donde a y b son constantes arbitrarias y t es una tendencia determinista, esdecir , una vari able que aumenta cada perodo en una cantidad constant e, .

Si calculamos el coeficiente de correlacin muestral entre xt e yt, apreciaremosque es elevado. Esto es sorprendente porque, como muestran las expresionesanteriores, cada variable es la suma de un componente de nat uraleza det erminista,

que no experimenta ninguna fluctuacin aleatoria, y un segundo componente denaturaleza est ocst ica. El coeficiente de corr elacin debera indicar la asociacin

est adst ica entre ambas variables, que es lo mismo que la asociacin entre sus

componentes estocst icos, es decir, entre sus innovaciones. Pero dicha correlacindebera ser, por const ruccin, prct icamente igual a cero, en contra del result ado

que se obtiene cuando se lleva a cabo este ejercicio de simulacin. En todo caso,

tal elevada correlacin no refleja ninguna relacin real entre las variables, por loque se denomina correlacin esprea.

Como consecuencia de la misma, si se est ima una regresin l ineal, t omandocualquiera de est as variables como variable dependiente y la otra como indepen-

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