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DELIA TERESA ECtlA v 1:.,

MARtA EUGENIA URQUIJO RICAHDO A. GUIBOURG

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. Lógica, . . """ p.ropOSlClon

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DI-: ALfHEJ>O y HICAHOO DEi'ALMA

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FILOS()FIA y [)EHECI-IO

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PRÓLOGO

La lógica ocupa una posici6n muy peculiar dentro del IXinorama de las ciendas. Mientras que las demás ciencias se formaron paulati~arnente a través de una larga e incesante evolución y son, por 10 tanto, fruto -QCl esfuerzo colectivo de muchos hombres. la ló~ica nació como obra de un solo hom­bre. Al igual que don Fulgencio, nunca tuvo infancia; como Palas Atenea de la cab.cza de Zeus, nació tan desarrollada y perfecta (tal fue nI menos la creencia generalizada) de la cabeza de Aristóteles, que durante veintidós siglos casi no experimentó crecimiento alguno. a pesar de haber sido inten·

. samcIIte cultivada en la Antigiiedad, en la Edad Medi:l y también -aunque con menor intcnsidad- ~n la Edad ~lo·

derna. Hubo cicrtament~ desarrollos interesantes (especial­mente por parte de los lógicos antiguos y mediocvales), pero el núcleo de la teoría aristotélica permaneció incólhrr.,! hasta muy avanzado el siglo XJX. En est~ sentido es mur :caracte­rística la conocida opini6;1 de Kant de que la 16gica es una. ciencia perfecta, acabada, en la que no cabe esperar avance

alguno. Hoy estas palabras suenan como una cruel ironía; pocos

años después de h~berse escrito, la lógica experimentó un avance tan rApido y profundo que aún hoy hay gente que se niega a recouoc'er que se trata de la misma disciplina..

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En efecto. en la segunda mitad d(·1 siglo XJX y en lo que va ("! este siglo, el desarrollo uc la lógica f uc tremendo; es CdlllO si las energías acumuladas durante más de dos Inil

ailps estallaran de pronto en ulIa cdosióu mra V~'z vista en li historia de la d~ncia.

Este TApidn desarrollo de la lógica tuvo su Jado ncg~tivo: 110 hubo tiempo para su difusión entre Jos no esp,,-cialistas y, en cons(~c\lencia. la' lógica 110 ha sido c..1('bilbmellte asimilada por la cul! ura geIlcral de nue~;t fa épo~a. Existen bihliote­cas enteras de libros y artículos alt1r~eJltc especializados. ('scritos en un lengu:ijc que parece c.lda vez más esotérico, que (ksarrolbn técnicas cadu vez m~s sutiles y refinadas. Pero este alto desarrollo técrtico no fue ncompañado en gra­do suficiente por las obras de divulgación, de lrrodo que la lógica se ha convertido en algo totalmente inacccsihle para Jos no especialistas y el p{d}!ico culto en general tiene de <lJla uúa idea muy vaga.

Entendámonos bien; el alto desarrollo técnico de una cien­cia do es por cierto un defecto: tampoco son accesibles al público general los lihros de matemática superior o de física cllúntiC::l. Pero todo el mundo sabe algo de matenlática y

~ahc algo de física, mientras --salvo raras exccpciones- no ::abe na'da de lógica moderna. Los libros de lógica. no formall l);lrte d(~ nlH'stro acervo cultural y, fuera de los ini­ciados, lladic se siente obligado a {,Jllerarst.~ de qué se trat<l.

Este hecho es, sin duda, profundamente lamentahle, l'orcpw el objeto de la lógica no es algo alejado de la vida l'utidiana, como las galaxias, los dinosaurios o el sánscrito.

La lógica estudia algo que hacemos diariamente:. razonar. y la dbtinción entre un razonamiento correcto y otro in~ , correcto interesa por igual al matl'lIlát ico, al político, nI a bogado y al eco,llornista.

CaLe aquí una advertencia.: aunque la lógica moderna haya naciuo en el seno de b mutcrnntica. como respuesta a

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f'R6LOGO

la neccsidad Je elaborar reglas capaces de justificar los razonamientos de los matemáticos (tarea que estaba ITlás allá del n lcance de la l6gica aristotélica), no se confunde con la matemÁtica, ni con ninguna otra ciencia, si bien tiene apli­cación en todas "cllas.

Nos encontramos aquí con la segunda caractcrÍstibl pe­culiar de la lógica que la distingue de otra.s ciencias: su voeaci6n universal. La l6gica no es una ciencia más al lado de otras, como la química, la geología o la lingüística. Corno la matemática, que es usada por igual por los ingenie .. ros, los comerciantes" y los colectiveros, pero en grado aún n1ayor que la matemática, la 16gica es una ci~nda auxiliar de enonne valor para todas las demás ciencias y tarnbién para muchas actividades no científicas. Más aún, la lógica tuvo y sigue tenient4> en la filosofía una influencia que' no puede parangonarse" con In de ninguna otra ciencia.

En los últimos nños se ha despertado el interés de los lógicos hacia los conceptos relacionados con la conducta hu­mana, entre los cuales los conceptos nornlativos (tales como obligación, pro!úbici6n, permisión, etc.) desempeñan un pa­pel preponderante. La l6gica de normas o 16gica deóntica (lUC estudia las inferencia"s basadas en las relaciones lógicas entre esos conceptos es, por lo tanto. una disciplina n1uy jo­ven. Aunque haya importantes antecedentes, desde Aris­tóteles hasta Leibniz y Bentham, su estudio sistemático co­mienza en 1951, a partir de la publicación del famoso ensayo de C. H. vonWright, Deolltic Logíc. Desde esa fecha hasta nuestros días han aparecido nurnerosos artículos y libros, y cabe decir que la lógica deóntica es una de las "rarnas más intensamente cultivadas por los lógicos de hoy.

Lo que hemos dicho acerca dt la lógica rnoderna en ge­neral vule aÚJl en mayor n1edida para la lógica de nonnas. A pesar de la gran importancia de esa disciplina para todas

" las ciencias sociales y muy en especial para la ciencia del de­recho, el aprovechamiento de los adelantos logrades se ha

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hecho .nuy dificil por la falta de textos accesibles para los juristas, los sociólogos o los cultores de la ciencia política. Los pocos libros introductorios existentes en castellano (por

ejemplo, de lógic, jUrÍdica) presuponen ya conocimientos de lógica general que por 10 común no se dan; los otros. son demasiado especializados y, por ende, inabordables para tos legos.

E·' libro que prologamos se propone llenar esta laguna; el propósito de sus uuloréS e:; mucho m~s ambicioso de lo que podría parecer a primera vista: (;s nada menos que pro­porcionar al lector no especializado una guta dara y accesi­ble, capaz de conducirlo dentro de) intrincado campo de la 16gica moderna en general y de la ·lógica dc6ntica en par­ticular, hacia el conocimiento de algunos de sus problemas, sus métodos y sus técnicas.

Un rasgo muy importante del prescnte lC)ro es. su auto­suficiencia: no se presupone ningún conocimiento previo de lógica en el lector. En segundo lugar, es un libro extraor­dinariamente daro; aunque trata temns altamente abstractos y, por ende, difíci1es, es perfectan1.cnte comprensible para cualquier lector. Siguiendo el aforismo de Wittgenstein, todo lo que el libro dice lo dice dar!lmcnte y en ningún Ino­mento pretende remover las aguas para parecer pro.fllndo.

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En tcrccr lugar -y se trata de una característica nada desde-ñable, sobre todo desde el punto de vista pedagógico- el libro está escrito con un scntido del humor que rara vez se encuentra en este tipo de literutum. Pero el lector no debe cngailursc: el libro es de fácil y amena lectlJra, pero no de fá.cil asimilación; detrás de la aparente senciJJez hay compli­cados problcmas; detrás de los chistes hay observaciones muy profundas.

El capitulo 1, 1 ntroducclón, contiene una serie de con­sideraciones sobre 1a lógica y su utilidad práctica. Los ca­pítulos JI a V tratan la pRr~e má.s elemental y a la vez bá­sica de la lógica moderna: la llamada lógica proposicional.

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En el capítulo VI se esbozan los principales conceptos de la lógica modal, de la que se desprendi6 la 16gírn dc6ntica. Esta última es desarrollada en los capítulos VII y VIII. Pur último. en el capítulo IX se analizan algunos proble­mas tradicionales oc la filosofía. jurídica y se muestra de qu6 rn~ncra el aporte de la lógica puede contribuir a cbJi~ Cicar () replantear estos pro~lemas.

El libro puede leerse Je dos maneras: por un l~do es una excelente y autosuficiente introducción a la i6gica dcóntica; por el otro, sirve para fúnliliarízar al Icc_'Jr con la parte más elclnental y básica de la lógica lTIoderna. Es de esperar que este libro resulte de especial interés para los juristas y para los estudiantes de derecho, pero tanlbién será de utilidad para los estudiosos de otras ciencias socia­les, en la medida en que todas ellas tienen que ver con las normas.

Respecto' de los autores del libro, poco pooen10s decir. En primer lugar, porque nos comprenden las genernles de la ley: nos une una larga amistad. forjada a través de mu­chos años de cmpeilo común de enseñar y aprender. En segundo lugnr, pon]ue su mejor elogio se halla en cltcxto mismo. Nada hay mús difícil que la presentación fácil de un tema difícil. El h~ber1o logrado con un asunto tan abstr~d() y aparentemente árido como la 16gica es toda una h:tzaña.

CJJtLOS E. ALCHOURnÓN - EUCENIO BULYCIN

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lNDIC:E GENERAL

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INTHODUCCIÓN

1. ¿Lógica? Sí, lógica ......................... 19 2. Lógica y bl(><}uco mcnlnl, o el valor de la sonrisa. 23 3. D'e qué se trata, () a. qué vanlOS a jugar ......... . 26 4. Bueno, pero ¿por qué a n1í? .................. 29

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DE l.A PROPOSICIÓN A LA ¡'"'ÓRMULA

1. Concepto de proposici6n ..................... 35 i. Variables. conectivas y signos auxiliares.' Sinlbo-

logía y notaci6n .........................•... 38

3. Concepto de fórrnula proposicional ............ 43 4. Fórmulas ~t6micas' y fórmulas moleculares ..... 45

16

III

LAS CONECTrv AS

l. Casos IXJsibles ......... ,.... . ............. . 2. N egaci6n .... , ....... ",., .. , ...... , ........ . rl. C'"' . '6 v ,O/i J\1 nCI 11 .•• , ..•..•....•..•.....•.•••••••••

4. Disyunciól1 ... , .. , .......................... . 5. Condicional ..................... , ........... . 8. Bicondicional

IV

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T A UTOLOGl A, CONTRAI!ICCIÓN y CONTINGENCIA: LA IMPLICACIÓN FORMAL

l. Tautología ................ , ................. . 67 70 71 73 78

2. Contradicción ............... , .......... , ...... . 3. 4. 5.

C · . ..onl1 ngenclu ........... , ............ , ....... . Implicación forrnal .......................... . y" • 1 . 1.\C} u 1 Vá cnCIU •.••.....•••••.•..... 7 •••••••••••

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LEYES LóGICAS Y REGLAS DE INFERENCIA

l. "Dura lcx, sed lex'" ......................... . 81 2. U na cosa es una cosa. y otra cosa es otra cosa· . . . 83

u) El principio de identidad ................. &1 b) El principio de no contradicción ........... 84 c) El principio del tercero excluido ........... 85

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3. La justificación de los principios elementales ... 87 4. Pequeño digesto proposicional ............... 00 5. 1 ntcrdcfinibilioad de las conectivas ............ 94 ü. Los signos a uxiliares frente a las leyes de asocia-

ti \' id .. , d ......."".. _ . . .. " .. " . . . , . . " . . . .. . . . . .. . " . . 97 7. neglas de in! crcncia ........................ 98 8. La regla de sustítuci6n ."..................... 100 9. La regla del "modus ponens" ........•....... -. 103

VI

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. OPERADORES MODALES. ~10DALlDADES ALf:TICAS

1. ~Iodalidades ................................. 107 2. La lógica rnadal alética ...................... 111 3. El cuadro de oposición de las modalidades aléticas 114

VII

?\10DALIDADES DEóNTICAS"

l. ()l){:radoTcs ................................ . 2. Interdefinibilioad . " .. " ............ " . " ...... " " .. "

VIII

LEYES DEÓNTICAS

119 . 123

l. Importemos tautologías ...................... 125 2. El cuadro de oposición de6ntico ............... 127

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3. El princinio de subcontraricdad ............... 128 4. ContraricJau ................................ 130 5. Subalternaci6n............................... 131 o. Contradicción .............. .,.............. 132 7. El 0lx:raddr ·'r· ............................ 134 8. Calificación normativa de las conJuctas complejas 136 9. Princi pío de distribución de la permisión ....... 13ti

10. Teorema oe distribuciÓn de la ohligaci6n ....... 139 11. Teorema de la obligaci6n alten1utiva ......... 140 12. Teorema do la permIsión conjunta ............ 142 J 3. Teorema de la permisión n1ínima .......•..... 143

IX

CONDICIONES EXTHASISTEl\1ÁTICAS DE LA LóGICA DEONTICA

l. Conccl)to .................................. . 2. Las leyes de H tlOJe ................ ~ ....... . 3. El principiu de proh\bición ................. .

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. lBU()GHAFIA ......•...••..••...•.••••.•..•...••••

lNDlct: ALFAlJLl'¡OO .••..•• ' ...••..•.••••••....•..••.

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INTnODUCCIÓN

t. ¿Lógica? Sí, lógica

Quejarnos porque la cuenta oel restaurante es alta no nos dará ningún resultado: no lograremos convencer al 1110Z0 y pasaren10s por rnezquinos. Pero si encontranlOS algún error en la suma provoca­n~)TIOS una consulta y obtendrelTIOS, junto con la en­l1lienda, las corresponJientes excusas: tal es el poder 4c ]a aritrnética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la aritInética no es una invención uiab6lica, ni el anna secreta de la adnlinistraci6n ilnpositiva: es, sirnplernente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos accptanJos entre las cantidades concretas. Dos más dos es igual a cuatro en cualquier tiernpo y lu-' gar, se trate de dólares, camellos o vueltas en cale­

sita; y el conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalment~

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LOGJCA, "nO)'{)SiCl, '.'

admi tiJa, nos pennite verificar fornudrncnte la CX:1ctitud de cualquier cálc\llo.

Lo Illisn10 ocurre con la lúgica. Si alguien nos endilga un lar1;o discurso sobre un ten'la que igno­r~\1nos, nos ser~l diHcil forrnarnos tina idea sobre la verdad () la ,falsedad de cada lln:l de sus afinT13CÍo·

ncs; pero si entre ellas hay dos que resulten contra­dictorias entre sí, no nel~esilaren10s averiguar lnús para saber que en esa chúchara hay algo que HO

funciona bien. Al razonar de c!-ile Ino(lo habremos utilizado un sis~ema te()rico -la lógica- que reco­pila. generaliza, ahstrae y rccoilstruye en fórmulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es dctir, de n1odo c:omplet:Hnente fonnal.

En otras palabras, la ,lógica es un sistema, que -entre otras cosas- permite v.erificar la c.orrecciÓn ,de l~s' razonalnientos~ (~Qllé' es esto de la correc­ción' de' los razon~lJnientos? Lo entcnderenlos lnejor a través de algunos cjelYlplos.

Ej(;]H¡>lo .1: Toda ¡núsica se cornponc de sonidos. El tango es In ÚSiC¡l. Por lo tanto, el tango se COJl)­pone tIc sOlliuos.

E¡CH1}Jlo 2: Conlo el cic]o es azul y las nubes S011

blancas, Ine siento alegre y optirrlÍsta.

Ejcnlplo 3: C:onlo todas las <':t1caraehas tienen alas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas.

A prirnera vista ]05 dos prin1eros ejcnlplos pa­recen muy 44razonables", en tanto el tercero parece

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ridículo. Pero si nos quedarnos con esta iInpresión no irelnos muy lejos en nuestra capacidad de racio­cinio y seremos L~cilnH~nte engañados por una retó­rica falaz. ExanlÍncrnos los ejernplos uno por uno, con más cuidado.

El ejclnplo 1 propone dos prenlÍsas y una con­clusión. Y cualquiera que lo lea advertirú que la conclusión es una consecuencia necesaria d'3 las pre­rnisas. En efecto, podernos no saber gran· cosa de rntlsica, y podernos ignorar por completo la existen­cia del tango; pero si nos inforrnan que la IHllsica se COD1pone de sonidos y que el tango es una fonna de mllsica, en esos datos se encuentra contenido~ implícitamente, el resultado que aquel razonanden­to hace explícito: que el tango se cornpone de so­nidos.

El ejelnplo 2 también contiene dos preInisas y una conclusión, pero ésta no se desprende neceSQ­ria.1nente de aquéllas. Puede ocurrir, por cierto, que una persona de talante conten1plativo se sienta ilnpulsnc1a a un irresistible oplirnisn1o por la filera cornprobación del color del ciclo y de las nubes; pero talnbién sucede que a veces uno tiene un dolor de n1uelas, y entonces el cielo y las nubes carecen de toda eficacia conlO talisrnanes Je l.Hl~n hUlnor. y aquí aparece -entonces- un ilnporthnte dato sobre la 16gica: una deducción válida no es la que cventwlrnente lleva a un resultado verdadero, sino la que necesarial1lente lleva a un resultado verda .. dero sie¡npre que las pren1isas también lo sean.

22 1.')C(r.A. PR()pn~ICl<J.,

Esto podr¡) conlprenderse rhejor a partir del cjelnplo 3 que, contra lo que podría suponerse a ¡::rinlcra vista, es a bso!tl/(l1ne ni e tiríltdo. No, por cierto, porque C]uienes esto escrihen hayan sllfrido alguna Inetanlorfosis katki;-tna y Sf: dediquen a revo­lotear por las cOCÍnas, sino porqlle fa conclusión ~e desprende necesari:-unentc Jc las p' enlisas. En efecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tie­nen alas, y si fuera exacto que )'e) pertenc7Co a tan poco apreciada especie, entonces tanllJién sería cier­to que tengo aJas. Nótese (Inc no exisle otra posi­bilidad lógica: si )'0 no tengo a}¡ls no puedo ser una cucaracha (porque hemos supuesto que todas las cucarachas las tienen); y si no tengo alas y a pesar dc-eso sigo siendo l.Ina cllcaracha, entonces 1W pue­ele ser verdad ]a hipótesis general sohre el vue10 Ctl­

carachil. J)e nlooo que el ejcnlplo 3 es una deJuc­ción correcta, á pesar de que tanto sus prenlisas corno su conclusión son obviarnente falsas.

Claro csttl que aquí pucde surgir una reflexión escéptica: si ]a 16gica D prueba un razonamiento sc­gú n el cual todas las clIcarachas tienen alas y yo soy una cucaracha alada, tarnbjén podría aprobar que los chanchos escriben poclnas, y que la infla­ción no existe, y que la luna es una bola de queso

Gruycre. Entonces ¿para que sirve la lógica, si no pcnnite distinguir lo verdadero de )0 falso? Esto

vale tanto COlno preguntar para qué sirve la televi­

sión, si los programas son tan In310s. Si el espec·

t:lculo no nos gusta, harenlos bien en apagar el re-

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ceptor) pues no obtendremos de él mayor utllidad. Pero el día que haya un prograrna bueno ¿cómo ha­Ternos para verlo sin un aparato que funcione ade­cuadanlentc?

Del mismo lnouo) exigir a ]a lógica que nos en­sei1C lo verdadero y 10, falso es injusto: 1(: que no han 1r)grado hacer touavía la ciencia y la filosofía no puede conseguirse del nlero razonamiento, que es s610 una herramienta intelectual, y no la fuente de la verdad. Si partimos de premisas falsas, nin­guna seguridad tenorernos de llegar a conclusiones veruad,eras (si 10' hacenl0s) será por casualidad). Pero) si tenemos la fortuna de hallar prenlisas ver­daueras para a]inlentar el razonanliento, éste nos proporcionará lluevas y relucientes afirnJuciones, tan verdaderas C0010 a(l uéllas de las que partiInos.

Es que la lógica, pese a su utilidad, no es omni­Fotente. Reconlernos el cjenlplo del principio: el de }a cuenta del restaurante. La aritnH~tica no puede evitar que nos cobren por algún plato _lnás de 10 que vale (de otro modo existiría gran deman­da de textos sobre rnatclnáticas); pero ya es algo que nos pernlita controlar la suma para ver si tam­bién ahí alguien pretende quedarse. con nuestro di .. nero.

, 2. L6gica y bloqueo Jnental, o el valor de la sonrisa

"Claro, lógico", soIen10s decir (no siempre con propiedad) cuando oírnos una afirnlnción que nos

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parece sencilla y plausihle. Pero cUando el adjeti­

vo se vnclve sustantivo y nos hablan de la Lógica, la hnagirwlnos con una L tnayúscuia, alta corno un rnuro en el que nuestra capaciJad de cornprender se cstrellar{l itrcIllediaLlcn1cnte.

Por supuesto, esta predicción casi siclnpre se confirrna. (~on ella ocurre lo Inísrno que con los rtHnores de la Bolsa: si hacetnos corror la voz ele que c.lelcnninada acción va a subir, la gente lo cree, la clcrn:1nda a urnenta y el precio efectivanlcnte

sube. ])e idéntico Inodo, nuestra concepción de la

lógica corno un instruInento de tortura (imagen se­

nlcjante a la quc solemos tener (le las rnaten1áticas)

tiende a crear \In bloqueo ¡TIental que a rnenudo no o'()S pcnnite siquiera averigl.1ar si hay algo ~e cierto delr!\s tic aquella idea.

Lo prirnero que debe advertirse es (¡üe la lógica

no es \In pasatielnpo para chiflacl()s ociosos. l'ienc aplicación práctica, y está lÍluebtl lnás cerca de

nuestra experiencia cotidiana de lo que suele. supo­

nerse. 'T'odos saben10s algo de lógica y la usarnos

constanternente; pero, C01DO el burgués gentilhom. bre de !vlolicrc, que hablaba en prosa sin saberlü,

estarnos tan habituaJos a ella que no sabelnos verla. Si juegan Boca J uniors y River Plate y nos infomlan que uno de ellos ganó, autoDláticaIl1ente tenen10S la certeza de que el otro perdió. Si extravfanlOS algo

junto al Obelisco, no se nos ocurre ir a buscarlo a

la sOlnbra de la Torre de los Ingleses. Y, puestos

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--INTRODUa:JÓN

a comprar una ficha para hablar por teléfono) es­perarnos que el cajero nos la dé o nos la niegue, pero nos sentirnos budados si nos contesta: "toda­vía Ine quedan algunas, pero se 111C terrninaron". ToJ.as estas 3Ctituocs sun aplicaciones de leyes ló­gicas anti~llas y I1111y conocid~s) pero qu'? tienen sonoros nOlnbrcs en latín y se disfrazan cdr)' cierto clnpaque acadénlico c.HJa vez q \le un texto de lógi­ca nos 1as propina.

La receta p~Ha encarar satisfactoriamente el es­tudio de la lógica incluye, pues, dos remedios, que deben acln1Ínistrarse en fonna conjunta. El prime­ro consiste en advertir L1 irflport:\ncia de la lógica cOlno exposición de \In sistclna cxplícito que nos pcnnite orc1enar, controlar y -en caso necesario­rcf onnular la enonne c:lnlid~Hl de razonan1icJltos '1 ue de todos 71lod ns desarrolb.lnos cada día. y el segundo, no Jcj:lrnos inl1111idar y tonlar la lógica con caln1a, con buena voluntad y --si es posible­con una pizca de sentido del hUlnor. Si conscgui~ lnos pertrecharnos de este nlodo estare01US en con­diciones de adquirir, sin grave desgarrarniento afec­tivo un instrurnent() tIe valor inestirnablc. Pero

~ ., para lograr este resultado es indispensable aceptar el desafío intelectual que la lógica nos propone y ia1nlÍs, por ni'ngún 111otivo, lnurmurar para nosotros "esto no lo voy a entender nunca".

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LüCICA I PfWI'üSIClul'l ¡ •• ~ •••. _.-

[jo De qué se trata, o n qué vanws ti jugar

Funnuladas las advertencias prelin1inares, co-l I 1. 1 J ' . rrespo))( ena lnostrar a lora as caractensttcas con-

cretas del csttHlio que nos proponernos crnprcnd er. Pero no es fé1Cil hacer esto con la lógica, que es un sistCl na d e relaciones ahst ractas; y en Ulncrar los proh1elnas qne están o ]lan estado incluidos bajo este tí.tulo llev;lría a \Ina exposid()n hLt6rica bastan­te larga: en veinticinco siglos d~ desarrollo, la ló­gica occidental ha recorrido un canlino '.argo y muy. variado. Pa ra nuestros fines Lastará decir que la 16gica bu~ca" fonnu}ar . y sistematizar las: relaciones Gd111isibles entre lasproposicione~, y se preocupa por establecer métodos paradecid.irsí una' propoSl dúll se desprende o no deotrás a ttavés.·,cle unraz~­nnmiento vÁlido.

Aristóleles trató de cumplir c~ta tarca a través del fllisn10 Jenguaje Cju<: u~(\Jnos todos los días (l1a­nlado leng\laje Tl(Jtllral) , al que incorporó vocablos espcciahnentc clefinidos y aun:Jcicrtos sítnbolos abs­

t.ractos (let¡rascolno A o 13, por ejenlplo: para repre­sentar la estructura de una proposición con sujeto y predicado). Aristóteles en1prendió así, proba­blemente, el prinler estudio sisteInático de la ló .. gica formal; y puso en ello tanto genio que aun hoy SllS obras sobre el tema se leen con adrnlrac{ón. El mislno canlino siguieron los que vinieron después, y se prolongó a través de la Edad ~1edia y de] Hena-

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INTnODUCC¡ÓN

cin11ento. Pero en ocasiones el intento chocaba con ciertas dificultndes) a pesar del gran desarrollo alcanzado por la lógica aristotélica y medieval; el lengu8je natural contiene una grande y en buena rneuída inevitable do~is de ilnprecisión (vaguedad, anlhigüedad y otras intoxicaciones sCInánticas), de lTlodo que, por lnuy riguroso que fuera el propósito de establecer relnciones unívocas" sielnpre existía el riesgo ele interpretaciones diversas y de aparición de seudoproblcmas ha jo la fOrn1é1 de disputas verba­les, Aparte de esto el lenguaje natural está corh­pucsto por palahras que se supone tienen significa­dos concretos; y esta presencia constante de }js con­tenidos sen\:\nticns tiende a oscurecer la diferencia cntl~c distintos tipos de delnostración: "todas las rnaures tienen sexo fernenino", por ejenlplo, es ver­dadera por razolles scrn{llllicas, ya que la fenlinei­dad es característica defi nitaría de "lTIadre"; pero ''si llueve y hace frío, llueve" puede dClnostrarse sin recurso alJ.:,>LlllO al significado de las palabras "llue­ve" ni "hace frío", ya \lue su verdad resulta directa­

lncnte de la est ructura lt')gica de la proposición. Esta dernoslración, así co~no otros desarrollos Dl0-

dcrnos de la lógica, corresponde a una etapa en que quedó superado en gran Jl1edida el uso del lengua-

je natural. Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716),

pero se desarrolló a lo largo del siglo XIX en los

trabal'os de De Moro·an (1806-1876), Boole (1815-t')

18(14) Frege (1848-1D25) . y Peano (1858-193~).

28 I

1.0G1C..... 1'~(jI'OSIUu... Jo •• _ ••

entre otros, hasta quedar finYICrnentc establecida él

principios del siglo xx, cuando Hl1ssdl y \Vhitehcad puhlicaron su :jbra Principia AtathcH1olic12 (1910-1913). Esto~ a u lores aplica ron a la )()~!ica un for­IniJablc instnullcnto proveniente de las rnalern¡lti­cas, c1lnpo donde ya había dcrncstrado su utilidad. Este instnlnH~nto es el lenguaje forn1al, en e) que sÍlnholos con\'cnci{)naJes~ distintos de Jas palahra'-i que conocernos y definido? con rigllro~a precisi{)!l, ~egt'lfl la fllnci(')n (llle cUll:pJan, rllt~den c:ornbinarse entre sí a través de reglas dclibcradanlente cons­truidas.

I'~sh~ nuevo desarrollo recihió distintos nO~llhres, que óretcndían diferenciarlo de la Jr'¡gica tr;t{Jicio­/laJ: "J(')íTÍca rnatclnútica", "lútTÍca !\Írnbólica

u

• AI-b ~

gunos lo nanlan <'l6gica fornla)", a pesar del. car¡lcter reIcvantclnente formal de1 an~l1isis nristolélico. Pero, a nlcJida (lue pa~a el tiernpo y la .gente se h;lbitt'la al nlLlllcjo de Ins s!nlbolos (a 10 que contri­huye I1H1Cho el ~lprcndjzaje de la teoría de conjuntos en bs escuelas), la inlporLHlcia d(~ e~las denornina­dones disrniJlllyey toclo ernpie/.a a irarnar~c, l)Jlra }' silnplenlcntc, lógica. Esta cvoluciún es concep­tuallocnte ilnportllltc, pnrcl'le ayuda tl se¡-:¡alar que la lllleva lógica no se opone a la antigua, sino que la COlllpJerncllta, la cnrnarca, en parle la corrige )' en huena Jncdida la supera, sin que por ello Aris­t c')! el e s de h a ha j a r el e s tI pe d L' S (a 1.

Existen hoy n1 uchos lentas --t rad iciona] lncllt e englohados en 1a lóglc:\-- (jfle resultan alcanzados

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11

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IN·lll00UtL1V ....

poco o nada por el uso actual del lenguaje simbó­lico: el análisis de las funciones del lenguaje, por cjclnplo, o ]a teoría del significado y de la defini­ción) o el estudio de. las falacias no fonnales, o los conceptos relacioHados con el razonarniento induc­tivo. Pero nosotros accptarelnos directa e inrnedía~ tan-lente el desafio de que habJúbamos untes y -sin menospreciar la utilidad de aquellos ternas, ·~obre los que existen excelcn tes tcxtos- nos lanzarernos al asalto de lüs fórnlulas.

Para esto estudiar"cn10s primero las relaciones entre proposiciones (lógica proposicional), para lle­

gar luego a las lógicas Il1odales: alélica y de6ntica.

4. Bueno, pero ¿por qué n ¡ni?

El programa que acabamos de enunciar cntu­siasnlaría, segurarnente, a una persona con inclina­ciones n1aternáticas; pero el caso es que este libro Ha está dirigido a ingenieros ni a estudiosos oc las ciencias exactas. Y entonces el lect /)1' .-prcf( sional o estudiante de derecho, de sociología, de tlencias

políticas' 0, en fin, de disciplinas tTadicionalmente

humanísticas- puede sentirse corno aquel niño a quien regalaban una lnoneda por cada cucharada que le daban de un desagradable rernedio ... y eu ..

yos padres ron1pían la alcancía, cada vez que estaba Hena, para conlprar otro frasco del n1isrno remedio.

Las ciencias humanísticas se considerari tradicional-

30

Inente conl0 un refugio conlra las lnatemáticas, a cubierlo Jc la insiJiosa infiltraciún de las fórnlulas; y quien las ha elegido para sí con esa esperanza puede sentirse dcf~audado. Por sur uesto, podría ohscrvarse q\IC rnás vale advcf'~~r el fraude que ig­norarlo; pero, corno quiera q\l~:' esta reflexión no suena 111Uy cslirnulante, convcndr.l hacer algunas ac1araciones solHe el punto.

Ll\ lógica es una de InD Ji~ciplinashulnanísticas nl~S tradiclonales; pero 'le ·ha sucedido lo mismo que a la lnayoría de las .ciencias que, cuanto más se per­feccionan, .más se acercan a las 111atemática,. Gran p~Hte del progreso científico ha consistido en adver­tir quc dos o ln~\S conceptos difercntes no cran sino Jistintos estadios de una IrlÍslna realiJao continua, y en IncJir la diferencia entre ellos sobre cierta es­c~:da cOlnúll. Así es COI1)O, por cjenlplo, l~s relacio­ncs entre el espacio y el tiernpo y entre la mate­ria y la energía han .provocado una verdadera revo­lución en la física, (;UH ranlificaciones sobre otras disciplin:-ts (incluida la filosofía). Pues bien, las <.:Ícllcbs sociales adolecen desde su origen de la in­suficiencia de sus ¡nétodos para aislar los fenón1e­nos) coo1pararlos y rnedirlos. En la rnedida en que

esto se consigue poco a poco, el lenguaje forrnal se introduce para abstr2.er cierta relación o cierto as­pecto de un fenón1eno cornplcjo con independencia de su contexto contingente; y una vez hecho esto 3parecen las fónnulas para establecer los vínculos IJallados entre aquellas ahstntcciones. De ¡nodo

111 1-Ir IJ

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•• • Ir

•

lNTl\ODUCCIÓN

que esta suerte de rnalernatiza.ción de las ciencias sociales parece una tendencia inevitable, en la que la 16gica se presenta corno un sinlple- caso particular.

¿ y por qué precisa!nente la 16gica? Ante todo porque cualquier sector de la ciencia que Clnplee el lenguaje y el razonamiento debe someterse a la prueba de la validez de su propio rnétodo; pero una ciencia que no sólo ernplee el lenguaje COlno hcrra­nlienta sino que además tenga por objeto de estu­dio arguInentos gue se suponen 16gicarnente enca­den3dos -como las ciencias políticas y jurídicas no puede privarse de analizar la estructura de su propio objeto.

Esta circunstancia es particulannente sensible en el <.:3S0 de los sistenlas nonnativos. En efecto, en­tre los significados que pueden simbolizarse con el lenguaje hay algunos que nos afectan profundarnen­te en nuestros inter<:ses: son las normas, que nos obligan a cumplir ciertas conductas y nos prohíben otras; que lirnitan el universo de nuestra libertad y --en el caso del derecho- hasta nos amenazan' con el embargo, el desalojo, la prisi6n o la muerte. y existen personas cuya profesión es razonar sobre las nonnas, inventar y refutar argurnentos sobre ellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlás. Los abogados -de ellos se trata- no están todos de acuerdo sobre la justicia y la injusticia de c~~a nor­nla (como no lo están los cOlnerciantes sobre 'la ren­

tabilidad de determinado precio ni los científicos

sobre la verdad de ciertas afirmaciones de hecho);

32 U'X;IC..A I l'p.OrostC

pero la nlayorÍa de ellos está dispucsta a aornitir que existen entre las nonrws cierta) relaciones fornlales. y que si una conducta x está prohihiJa, por ejemplo. sería difícil aceptar silnu]b'lncan1cJlte que la rniSHUl

conducla x_ es obligatoria; y esto ocurre aun cuando no sepalnos cn qué consiste dicha conducta, ni si prohil)jrla es un acto de buen gubierno u una mues­tra de ilisufrible tiranía.

Existe, pues, desde hace aproxirnadan1ente n1C­

dio siglo, ~na lógica· famud de las n01TlUlS. también llamada lógica deontíca o Junmativo

Este esquema o s'¡stcrrJd teórico, a lo largo de sucesivas versiones, pernlite ejercer un éontrol for­nla} sobre el discurso norrnntivo, equivalente al que tenemos sobre los c;Ílculos rneclia:nte la aritmética ° sobre el discurso en genera}· a través de la lógica proposiciona1. Conlo en Jos otros casos, este instru­rncnto conceptual no no~ otorga un oOIninio abso­luto sobre los fenóIncnos'J que' se refiere (para ello habría que tener poder sobre las prernisas como el legislador lo tiene sobre las leyes que dicta); pero al rnenos nos enseña a exlraer conclusiones válidas a partir oe las prcInisas (lue se nos in1ponen; y no es poca cosa encontrar así una hase C0111Ún de razo­namiento en una materia COlno la normativa, tan polémica que la gente lnata )' lnucre por ella.

Si una lógica deóntica nlcrecc, rueos, un lugar prcelninente en la metodología d e la ciencia jurí­dica, conviene lan1hién sei1alar que. esa importancia está perdiendo rápidamente su ropaje especulativo

j.' .. A''-''_ ..... __ .. _

para hacerse cada vez más práctica y cotidiana. En materia tecnológica el derecho es el pariente pobre de las demás ciencias, y el jurista rnaneja aún sis­tCIna~ y procedírnientos conceptuales que no han variado casi en nli1enios. Pero, corno ya se ha vis­to, asistirnos aquí tamhién a un avance incontoJ~ble de las matelnáticas, de lo que puede ser -nledido, pesado, contado, calculado y... colnputado. Las non-nas son infornUlciún (en el sentido que a esta palabra atribuye la informática); y las computado­ras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, re­copil::lflas y reproducirlas para facilitar el trabajo de abogados, jueces y legisladores. Incluso se estudia en nuestros días la posibilidad de instituir proce­sos de decisión atllonuitica, en los que la solución de un caso surja c1ire~t~llnente de la norma, a tra­vés de un rnero cálculo lógico. El aprovechanlicn­lo de estas realidades y perspectivas exige al jurist3 Illoderno una precisión de conceptos y una exacti­tud de razonamientos a las que el abogado tradi­cional no está hahituado J cuya fuente es la 16gica forroa} y cuyo íostrurnenlo es la abstracción co.nte­niela en las fórmulas.

3. 1.6¡ira.

I

I

• I

•

, I

11

DE LA PHOPOSICI6N A LA F()RMULA

1. Concepto de proposicibn

En el uso corrient.e de] lenguaje es cornón que tomernos con10 sinónirnas expresiones tales COlno

"enunciado" y "proposicitSnu

• Decirnos, por ejcln­plo) "este p~lrrafo contiene siete proposiciones" o .. no creo en los enun,ci:¡dos de la astrología" y, a un­que de una Inanera vaga, sabernos qué quererr)os decir con ello. La propia grarnática espai101a suele usar con el nlisrno signific:¡do los vocablos "propo­sición", ce enunciado", "oración" y "aserción". Pero para ]a lógica algunas de estas denominaciones ad­quieren un scnti(lo n1~1s preciso, y se refieren a con­

ceptos distintos.

Al hablar nos expresarnos nlediante enunciados; esto es, oraciones conlO "este es un libro de lógica", "tengo sueño" o Hlo que estoy leyendo es trelnenda­lnente aburrjuo". Estos conjuntos de palabras son

LÓGIC.A. PROPO~k

oraciones porque curoplen con el requisito de ser signific:1 Uvas, de expresar cabaIlnente Ulla idea. No ocurre 10 lnismo, en canlhio, con expresiones corno .. vcnle el es campo", o ., cÍ ga rrillo ceni cero el el en

está", A pesc\r de estar. cornpllcstas por palabras conocidas, su desorden interno (respecto de las re­glas oe la conslrucL'Í()ll cast.ellana) las priva de .sig­nificado y con ello les irnpiJe constit.uirse en cnun­dados u oraciones.

Supongamos ahora tres enunciados: "hace frío", "il fait [raid", 'lit is cold". Salta a la vista que elJos ton diferentes: est~ln cOlnpucstos por palabras dis­tintas, y hasta corresponJen a diversos idiornas. Pero LlInbién :tdverlÍlnos que los tres tienen algo el", cOJnún: quieren decir lo 1nisrno. Y para esto no hace fa lta siquiera recurrir a otros lenguajes; "el presi{lente de Bolivia fue derrocado por el ejército"

y "el ejército derrocó al presidente de Bolivia" son

talnbién enunciados distintos que quieren decir 10 Inisrno: es decir, tienen idéntico significado. Cuan­do varios enunciados tienen el rnisn10 signifícado, decirnos de ellos que expresan la lnisnl3 proposición 1.

Una· proposici6n e!, pues, el· BignHitlldo de un

1 También puede ocurrir a la inverso: cnunciaJos id"nticos el­

¡)Cesall proposiciones JiÍt:rcntes. En efecto, según el sujeto que las pronuncie y la, cirCllnstulIcias de tiempo y lugar en que lo h;lga, las pnbbras ··:Ahora ulgo pnra allá" pUNen sigllificar (lue José Femándcz ¡C di~pone o viajar de MenJoza .1 Córdoha el 15 de fcbreroJe 1979 o qúe Margarita FilTilleJli proyecta trasbdarsé desde la esquilla de eo­nit'ntcs y Uruguny ha.(,ta Moutevidt:o 52.8, piso 51,1, oficina 508, el 23 de octubre úe 1931 entre hu }0.10 y las lG.25.

•

I.J~ .J..-'a. .... __ _ .... _

~~'}J.H~~~i~de ~~k~rahvQ lJdesoriplivLt t~e - es- -el enufloiaJofiliiffi01 qU8e~tá. (X)mpuestQ por pe labras de algún idioma detenninado,..ordenadas -según ciorw -reglas gramaticale~:es el conterddo del euunciadoque es cOUl.ún.a lai ,ruverias -maneras de decir lo mÍiinHi, Y exigin-los que el entmcültlo sea descriptivo para desechar expresanlente los otros usos del lenguaje: fr4ses corno H¡cáspitar o Hpáserne la Dlostaza, por favor" no expresan proposiciones, en el sentido que aquí darnos a este concepto J.

Esto ocurre pon1uc la lógi~a (al nlenos, la parte de ]3 lógica que estarnos estudiando) se maneja a través de los llalnados valores de verdad, que -en un sistclna bivalcnte con10 el que ana1izamos- son dos: verdadero 'J f(llso (algunos prefieren decirlo de Inouo rnás abstracto y utilizan los sÍrnbolos 1 y O). Cuando un enunciado hace referencia a ciertos estados de cosas, de tal suerte que sea posible deter­minar si es vercladero o falso, decin10s que es un enunciado descriptivo o declarativo, cuya ¡ verdad depende de la existencia real del estado de cosas descripto. El enunciado "está lloviendo", por ejern­plo, es verdadero si en efecto sucede el hecho ex­presado y falso si, por el contrario, el sol brilla en un cielo sin nubes. No irnporta en este mOlnento ave-

~ El lengua je Pllede U5:lfSe en sentido -dc.scr1ptívo r'la tierra el rcdondZ1"). uprerivo (" ji.ltiz..::d"), pre.scriptivo o directivo ("váyase y no vuelva nuncn más") y operalico o perjorT1llllivo ("buenos día¡, señor jde··). Sobre este tema pueden consultarle Carri6. Cenaro R., Notas wbrc derecho 1I1euglúJje, Es. As., 1965, p. 15 Y ss.; Y Copi, Irving, In­trO'ducdón a la 16g ic<J , Es. As., 1961, p. 34 Y siguiente •.

38 U/X;ICA, I'HOP()~

riguar si es verdadero o falso (en todo caso, siempre podernos tnirar por la ventana q extender el brazo fllera dc ella). Lo relevante es que, si el enun­ciado l)tl(~de ser verdadero o falso, entonces es des­criptivo y constituye ll1ateria p'i-ílna para la gran lHac¡ ninalÍa lógica. 'ral cosa no ocurrc, en princi-

. 1 . 1 11' 1 I ti , pl0, con e enUnCla( o llrese a no ! este expresa

lIna orden fllIe puede ser válida o no, justa o injusta, dispara tada o aceptable, pero I nunca verdadera ni falsa. Para este tipo de enunciados se ha creado una lógica algo diferente, que nlás adelante exalni­narCll10S.

2,' Vari:\blcs, concctivns y signos :uLx¡liarcs. Simbología y notación

(~()n10 ya sabernos, la lógic.u (lógica súnbólica o 1natcl111í lica) u tili.za un lenguaje f otinal üOlnpue~to por sínlbúlQS. cUDveJ1oionales f;~tC5 sínlholos par IHiten .lnanejar, .. las . proposiciones. según..lasrelacionss que tellgan .entre sí, y. sin pre~lnr atención n·su COM­

tenidf). En esto la }bgica se parece al álgehra, que hace lo rnisnlO con el cúlcu)o llun1érico. Sl.1ponga­In()~) por ejclnplo, la siguiente fc)rrnula algebraica:

a + b == b -1- a

No nos interesa saber qué núrnero puede asit,rnarse a caja una Je las letras JninúscuJas utilizadas, sienl­pre que caJa una de ellas tenga en todos los casos ---dentro' del nlisrno c61culo- un valor idéntico,

..

I

I

• I

• i ti

• I

le

• ••

-~

~

~

• O

~

~

e ,. ÍiI'

Así, si suponerrlos que el es 4 y que b es 5, la fórrnula debería interpretarse de este Dl0do:

4 -t- 5 == 5 -t 4

donde ~ada letra ha sido recn1plazada por el tnisrno núrnero en todas sus a p~riciones.

Pero, corno pOdCD10S asignar a "a" y a "bu ctlal­lltder valor que querarnos, la fórnlula algebraica rnencionada en prirner térnlino resulta especialrnen­te útil para' rnostrar una relación general, a saber: que si sumanl0S dos núnlcros cualesquiera, el resul­taJo será idéntico sin que irnporte el orden de los stunandos.

En la lógiea proposicional las letras rninúsculas no representan nl~llneros) sino proposiciones. Se llarnan por esto variables prol~oSiciona{es, ya que podelnos asii:,'1wrles cOrno contenIdo cualquier pro­posición concreta que deseernos (suponiendo que queramos asignarles alguno) lo que en general no sucede). Este es el. nOlnbre másextendiclo, pero algunos autores las l1aroan trrtnbién "letras esquerná­tieas" o "Iel ras scntenciales"~. Por costuln bre se usan prcfcrentenlenlc las letras ¡J, q, r, s, t, 1V) z; y cualquiera de ellas puede representar una propo­sici{)n. A su vez, cada variahle puede represen lar cualquier proposición) y aun distintas proposiciones en diferentes contextos: en una dern()str~~,jón, por cjclnplo, poJen10s suponer que "p" sirnbc{\2.a "hace

3 Orayt.'II, Haúl, Verdud, lógica y significado, t'n reViSl:I "CrítIC~l". Mhico, 1U7fi. \'01. VIII. p. 14.

<lO

un lindo día", y en ot.ro desarrollo podenios asignar­le el contenido "nli gato tiene bigotes largos", Pero igual quc en el úlgebra, es indispensahle tornar una etclnclllal prccaucibn: dentro de Hit 1r!isnUJ COlltex­

to, el significado que se nsigne a caJa variable debe :;cr sicrnprc idéntico.

Ahora bien; en el lcngur-je natural solenl0s vin­cular entre sí dos o 11lás enunciados para forrnar un enunciado 111ÚS cOlllplejo, de tal IYlodo que el valor de verdad del enunciado resultante depende de cierta cOlnhinación de los valores de verdad de SU!"

cOlnponcntcs. Así, uno lluc\:,c" será verdadero si "n tlevet es Ldso) )' viceversa. .. Llueve y' hace frío" s('))n s(~rú vcnLld si es verdad qn{: nueve lJ taH2viéu

es vcnbd qlle hace frío, y serú falso aunque llueva, ~i 11ace c:l1or, y aunque hiele, si ¡'o llueve. Esta funcic')n villculatoda es cUlnplida eH castellano

1 t 1 c' " e," "."" " por pa a )ras ta es COlno y, I (), SI) aunque, "pero", Hsin elnbl1rgo", "si y sólo st, Hsien1pre que" y olr~lS; pero no sielnpre es Líeil, dentro de la clá ... sica :lInbigüedacl del lenguaje natural, establecer unívocalnente el tipo de relación que se busca ex .. presar. Si alguien nos dice, por ejeo1plo) "esta no­che iré al cine o a con1cr" no saheo10s con sCl!uridad

'J

si pretend.e elegir una de dichas actividaJes o si t."l7nlJiÓn. Jeja abierta la posibilidad de hacer aJnLa~ cosas.

Para evitar prob'cn~as de este tipo y faciJitar el c[}}cI1)o, el lenguaje fonnal representa aquellos vínculos rnedia n le signos especia les, que reciben eJ

•

1

JI

•

• •

"1

I

• • I

I

DE LA rl\OPO~ICIÓN A LA f'ÓnMULA 41

nOlnbre de conectioas cx.tensiorwles (conectivas, a secas, para los íntirnos), sigJWS lógicos, constantes lógicas u operadores. Pero no existe un acuerdo ge­neralizado acerca de cómo representar estos ~jgnos. EstQ da lugar a la existencia de distintas llotaclones, o sistemas gráficos de escritura de la lógica sÍInbóli­ca. La notación Inás extendida es la Balnada in­glesa o de Russell, en una de cuyas versiones -que llSarelTIOS de aquí en aJclante- las conectivas prin­cipales se represenla.I1 n1ediante los símbolos si-

. t .... 4 ,) ., ., 't " c,~" ., ), "=.-::" 4 gulen.es. -, ., V) 7 ) ~ y - . Por el modo t:11 que las conectivas afectan. a las

va ria hIes a que se r(~fiercn, se las divide en Hlonádi-

Aunque se.' a n'c;d,) de i!UstT:lciún, conveúdl'\ tenH prcsl-ote (lUC

b mellciollada no cs b úllicil notación "inglesa" cxi~lt:'nte. Algunos t 1 ···,·· .• •.•.•• •• •••••• -"'\ .,

;1\1 ores recrllp aZJn - pur .- o por "'-; . pOI' /\; .-J rHJ! .. tI .," .." -t o := por H.

Hay ¡uJemás tina T1ot;¡cilin (:olllplelanwntc distint~, cl\yas vcnt~l ji.i5 consi~tcn t:n (lUC no r<.:CllfC(· .\ !iÍlllbolos difcrent(,~ Oc los nlfabéticos y <¡IIC no rcquit:re uso algllno d(~ p<lrénlesis. ap~lfte de ciertas bcilidadcs de dlculo que no vale b pena l:nllll)(~rar o.l)uí. Se trata de la Jl(¡(adón plJtaca, introducid., por Lubsic\Vicz, CUy;lS cqulvaJendas cou la nota­ción inglesa son las sigu¡elltes:' .

"Np" eC]uivult: a "-p" "":pq" e(l\1ivalc.\ "p.c( "Apq" equivale a "p v q" .'J pn" . 1" .,

'j ('I}lllva e:l p ~ fJ "Cpq" c~qlli\';llc a "p ::J (}" "Epq" ('quivale íl "p ==. q"

No Ilsarcmús It, IlO t.\(; it')ll 1)1)1:1CJ PCJr(lUC a! lado de sus virtudes ple­

s("nla :dgunas dificultades, solJft~ todo p~ra el principi3ntc: su ledura es menos intuitiva, y CUilOJO las fúrmllbs s'e hacen complicadas cs lIlás

fácil comprender de IIIl \"i:;law Sil é~1 fIIdura general con )a notacioll de HlIsseli, donde las c{medi\'as di:,dicas se ubican prccis.Hlwnte entre las ,':uia bies conect at!;.\).

42 LC)(;!CA, I'nOPOSICIG.. .. . . .... . .. ... ~

CII.S' .. y .dUídicas. O hi7UlTÍas. El signo ce_u es moná­<líeo, porque sólo afecta '.~ una proposición: la repre­sentada por la fónnula de la derecha. Así, la ver­dad de la fórnlula 44_p" dependerú del valor de verdad de "p" lnodificado por el operador u_". Las dernás conectivas mencionadas se llanlun diá­dicas porque afectuIl a dos proposicioIlGS conjunta­lnente: las situadas a derl~cha e izquierda del signo de . q \le se trate. Por ejenlp1o, el valor de "p .c(' depende del valor de ver\lao de "p" y del valor de verdad de "q", cOlnbin~ldos en la forrna indica-1 (' " (a por

Por el lnonlcnto, cor.viene quc resistalnos 'u la tcnt"aciún de bll~;car a cada uno de estos signos un er¡u4valenle en lenguaje nalllral. Talcs equivalen­cias -atin(lue cxisten- no son perfectas ni unívo­C~lS) debido él la inlprecisióll del lenguaje natural. Por esto, corno luego verell10S, tratarenlOS de defi­nir cada signo por su función de verdad y sólo a part i r de [d tí hllscarenlos las traducciones al cas­tellallo. Si hiciér:lInos a 1 revés, correríamos el ries­go de introducir en el 1enguaje fomlaI, por la vía de las definiciones) los mismQs .inconvenientes sc­Jn:lllticos que buscamos elirninar.

. I

Aparte de las variables y de las conectivas, la lógica cuenta también con síl1dJqlos lluxiliares~ que hacen las veces de signos de puntuación y sirven para separar, en caso llecesario, unas fórmulas de otras. Se trata de los paréntesis H( )", los corche­tes H[ 1", las llaves U{ }" y las barras "11".

I

I

DE LA PROpOSICIÓN A LA FÓRMULA

3. Concepto de fómmla proposicional

lIasta ahora hcn10s hablado bastante sobre las fórmulas, de modo C]lle resulta oportuno fijar un contenido preciso para esta palabreja. Una fór mula proposicional es· \lnaexpresi6n ~imb6lica que está comp.uestaexclúsivamente .por variables pr~­poslciona!~ conectivas o signos' .lógicos' y símbolos áuxiuares Esta definición puede tOlnarnos algo desprevenidos, por 10 que convendrá hacer algunas aclaraciones sobre ella.

Una fórrnllla está sielnpre cornpuesta, en fOfIna exclusiva, por los signos apuntados,' que constitu­yen -por así dccirlo-- ~<;u elenco estable. Ningún actor ajeno a la c()rnpal~ía puede introducirse en la función ("llueve. hace frío"; "llueve y p"; u p . hace frío") pues el resultado no sería una fórmula (sería algo así COfilO lnezclar, en una sola frase, palabras de varios idionlus diferen tes: "Ich all1 going au cin-é­rna dOlnunÍ por la noche").

Que variables, conectivas y signos auxiliares for­Inen el elenco estable del teatro lógico no implica que todos ellos deban estar siempre en escena: bas­tará con que haya, por 10 mcnos, una variable. Así, "p" es una fórrnula; "-p" y '.p . qn también lo son, igual (lue otras más cornplicadas COlno:

44 (p . q) ::> [r v (q == s)]" .

~ Cfr. Ora)'cn. oh. dtada.

44

PCJf· úl ti 1110, no basta q t le los 'actores estén en escena par.1 constituir una función te41traJ: adelnás es necesario que desernpcñcn su papel según cier­to libreto y <.le acuerdo con cie.r l as reglas que defi­nen esa activülatl. ])el rnÍsnlO 1110<10, los cOlnpo­nentes Je una fórrnllla no pueden estar rnczclados al azar: hán de respetar las llartladas re.glas de [or­mación¡ o nonnas sintácticas convencionales que ri­ge.n'·la estruchlra sirnbólica de las f órrnulas. Estas

, reglas pueden enunciarse así:

1) tI na variable propo.-;icional es una fórnlu}a.

2) tJna fórrnula precediua por un operador mo­n~1clico es tlna fónnula~

• e

1...,. f. "cc J' •• 'JI :'J.: -p, -q, -·r.

3) 1)05 fÓflnulas tllcerraoas dentro de un par oe signos auxiliares y entre las cuales hay un opera­dor diádico (y sólo un operador diádico), consti­tuyen una fórrnula.

Ej.: ". (p . q)", te ( __ p ~ q)", "-[ (p . q) ::> (r v s) ]".

Las reglas de forrrlaciÓ"n, que en su conjunto pueden consiJerarse tarnbién COlno una definición de 4tfórn1ula", perrniten excluir de nuestro lenguaje sirnbólico todas las expresiones que no se ajusten a ella.s. Así, "~", "q-':, "pq", "rs", "(q v . q)", "( r .), s" no son fórrnulas bien formadas; y puede constituir un interesante ejercicio averiguar cuál es el defecto que aqueja a cada una de tales expresiones.

~

.t J ~

-=4 ., -~ , ~

~

~ d

LA

'Conviene aquí hacer una aclaración sobre los signos auxiliares. Su función consiste en elirninar anlbigüedades: sin ellos, la expresión H_p . q", por cjclnpio, podría interpretarse de dos maneras:

a) (-p . q) donde el operador monádica. afecta sólo a la fónnula "p", o bien

b) -( p . q), donde el operador rnonádico afec­taalafónnúla"(p. q)".

No toda fónnula, sin ernbargo. plantea semejan­tes alnbigücdades; y de allí resulta que puede e~ta­Llecerse una convención práctica: cuando una ex­presión sin) bólíca no es susceptible de interpreta­ciones esquernálicas diversas, es posible eliminar los signos au.:xiliares innecesarios; por ejeln plo, en lu­gar de .. (p . q)" puede escribirse el p . q"; pero si la n1isrna fórmula ha oe relacionarse a su vez con otra -por ejernplo; en H(p . q) v r"- el uso de paréntesis no puede ornitirse.

4. Fónnulas nt6rnicas y fómlu]as O"lOlccuhlfcs

Así'como el lenguaje natural vincula dos o más " enunciados para fonnar lln enunciado cOluplejo, el

lenguaje simbólico cOJnbina las variables --por me­dio de las conectivas- para constituir fórmulas conl­puestas. Por asociación de ideas con el rnodo en que los átomos de elen1entos sirnples constituyen las lnoléculas de los cOll1puestos qUÍlnicos, la lógica ha adoptado aquí una nornenclatura con reminiscencias

I..óCICA. l'IV)l'(}SlCIÚt

de la física nuclear. Una fórrnula a16nl.ica es aque­·11~. constituida exclusivamente por una variable pro­p()!)iciol1al .. no nlodificada por operador al!,runo: 'CpH, por cjcrnplo. Las fórmulas en las que aparece un operador H1onádit:o (H'-(l") o que resuhan de una cOlnhi nadcll1 ele f()nnulas unidas pór conectivas diá­dicas (<Ir v st~, cez === w") se l1alnan l1wleculares.

Toda fónnula Tnoleeular es una función de ver­dad de las f6nnulas atórnicas que la cOlnponen: es decir, su verdad () su falsedad dependen de la verdad o (le la falsedad ele' hi.s proposiciones representadas por las variables sirnplcs. Pero, conlO he~nos visto antes, el 1}l()t!O en que deben cOlnbinarse la verdad o la fal:>cdaJ de los cornpollcntes para dcterrninar el va)or~ <.le verdad ele 1a fónnula Tuolccúlar depende de l~s cOJ)ectivas qué aparezcan en la rnislna fónnu­la. Por esto los ()per~dores resultan ser la c13vc p~Ha dcsent.raiiar la estructura interna de una fór-1l"l1l1a. A su estuuio, pues, dcdicarclnos el próxirrlo c:-'1) í ("tI}().

• I

I

I ,

lB

LAS CONECTIVAS

1. Casos posibles

U na proposioión describe un estado de c.'Osas, y su verdad depende de que dicho estado de cosas exista en realidad. Frente a cada descripción sim­pIe (por ejernploJ "el río está crecido") caben, pues, dos posibilidades: que ella sea verdadera (es decir, que el río haya en verdad utllnentado su caudal) o sea falsa (que dicho caudal sea igualo menor que el habitual, ]0 que iInplica que no ha crecido). En sÍrnbolos suele usarse la siguiente tabla:

p

V F

La fórmula atórnica que se encuentra encima de la línea horizontal representa la proposición a que nos referiInos, y las iniciales "V" y UF') simbolizan los

48 . ' LOClCA, PROPOSICIóN y NORMA

dos casos posibles que existen para "p": que p sea' vcrdnc1.ero y que p sea falso. Algunos autores más inclinados a usar palabras grandilocuentes les .lla-1nan 7nundos posibles, y dicen que .lara u p" hay dos 111UIH]OS (desde el punto de vista especulativo, pu­ramente l6gico): el mundo en que p es verdadero y el Inundo en que p es falso.

El panorama de los casos posibles se complica cuando la proposici6n se compone de dos o más descripciones de estados de cosas (Hel río está cre­cido, pero contaminado") o, en lenguaje simbólico, cuando se trata ele una fórmula mole~ular compues­ta por dos o más f6nnuJas atómicas C·p . q".). Cuando la proposición que nos interesa es una com­binación de dos proposiciones que la componen, los casos posibles son cuatro: que ambas proposiciones conlponentes sean verdaderas, que la primera sea fal­sa y la segunda verdadera, que la primera sea verdadera y la segunda falsa y, por último, que las dos sean falsas:

v V F V V F F F

¿Por qué esta diferencia en el número de casos posibles? Porque a cada variable proposicional co­

. rresponden dos casos (V Y F); y, ce mo una combi-

I

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• 'JI .. I

I

I¡

-

I

nación de variables debe prever cada uno de los casos de l~ segunda (y aun todo esto para cada uno de los casos de la tercera, si la hubiese), existe entre el número de variables y' el de casos una re1aci6n inatemática: a una variable corresponden do; ca­sos; . a dos variables, cuatro; a tres variables, ocho; a cuatro variables, dieciséis, etcétera. El número de casos posibles, pues, es 2", donde '''n'' es el número de variables proposicionales presentes en una f6rmu­la y la base 2 representa la dualidad de los valores de verdad en la 16gica binaria: V y F'.

El orden en' que aparezcan los casos en la tabla que los contiene no es en sí mismo importante, con tal que la tabla contenga todos los casos y ninguno de ellos resulte repetido. Pero para asegurar .el cum- . plimiento de estas condiciones se acostumbra a se­guir un orden -conveniente aunque no estricta­mente necesari~ en la construcci6n de la tabla de que se trate. Supongamos que se nos presenta una fór.mula que contiepe tres variables proposicionales -"(p. q) :J r", por' ejemplo-- y deseamos hacer una lista de los casos posibles para -las distintas combi­naciones de verdad y falsedad de sus componentes. Primero estableceremos· cuántos casos contendrá nuestra tabla: como en el ejemplo'n = 3, el número

o La lógicá más cOflocida y usada es ID. binaria o bivalente~ que maneja los valores de verdad y falsedad (V y F). Hay. ,in embargo, otras 16gicas cJiferentes -con utilidad para fines específicos- que tienen mayor n{lmero de valores y permiten, por ejemplo, computar Krados de seguridad o de preferencia.

50 LÓGICA, PROPOSICH

dr. casos será 2n == 23 == 8. Luego cscribirelT\os, de­hajo de la prÍlnera variable que aparezca, una suce­sión de ocho valores de verdad en que "V" y "F)' se alternen de a uno por vez. Bajo la segunda varia­hle anotarclnos ocho valores de verdad, pero alter­l1~ndo "v" y 4cF" de dos en dos, y por últirno, a la tcrccr:l variable asignaren lOS valores de verdad al­ternados de cuatro en cuatro. Así obtendremos la siguiente tabla de casos:

p q r - -- -V V V F V V V F V F F V V V F F V F V F F F F F

Na( uraltncnte, si en la fúnnllla huhiera una C\lart a ,variable J a ésta correspondería una al terna­ción de ocho en ocho (pues los CaSd$ serían dieci­séis); y a una quinta (con treinta y dos casos posi­bles) a tribuiríarnos valores de verdad alternados de dieciséis en dieciséis, y así en adelante.

Al construir una tabla de casos es necesario tener en cuenta que CC n" es el nÚlnero de variables propo­sicionales (Iue apar~cen, y no el rll~lInero de sus apa­riciones u ocurrencias. Las variables repetidas sólo

I

~í

.­e ~

-

se cuentan una vez: así, a la fónllula tep . -p" 5610 corresponden dos casos posibles, ya que n == l.

2. Negación

El único operador monádico de la lógica propo­sicional (U_") tiene por función invertir el valor de verdad de la fónnula a que se aplique. Dada, pues, una f6nnula H p",poden10s cOfilparar su tabla de casos con el resultado que provee esta conecti­va 1 para cada caso. Construiremos así lo q ne se l1anla la tabla de verdad del operador que e."o¡nina­nlOS, llamado negación:

p -p

V F F V

Corno puede observarse, una fónuula verdadera l)e­gada es falsa, y una fónnu}a falsa negada es verda-

'7 Algunos autores llaman cont!(;tivllS 8 los opemdorcs diádicos, que COl1Cctan fórmulas cntre sí, pelO vncilan en dar ese nombre n la negación llut!, como operador monádico, sólo afecta n una f6rmula. Sin embargo, puede considerar~e que tauto la negación cuanto lo, opcraúores Jiádicos vincubn la fórmula en que nparccen con dert:\ combinación de los vaJores de vt!Jdad de su o su, Com1-1oncntes, por lo I¡ue cumplen -en oho scntido- el p'1pel de conexiones. En virtud de esta consideración seguimos aquí la nomr.ndatum de Benson Ma. les, Lógica matemática eleml.'l1tal, MaJrid. 1971, p. OO¡ ElIiott Men· dclson, Iutroduction lo Mathematical Logic, Princcton. 1008, {l. 14; Y Rudolf Carnap, ¡"trocluclion lo Svmbolic Logia atld Uf ApplicatiOfu. N uevu York, 1958, p. 7.

52

1 . , " " 1 le "'1 1 <. era. 1...n exprcsJon -p se ee no p o no es e caso (jl J(~ p"; )' eorrcspond e nonna lrllcn te --en el lengu:tjc nall1ral- al cnullt:ÍlHlo de 1I1la proposici()u q tiC inclu ye la Pj' la hra uJ1()", Pero, corno ya hcnlos advertido, esta correspondencia no es perfecta. En el idioIfla corrÍelite existen expresiones negativas (lllC no contienen esa palabra: 41difíciln·lente podría estar yo de acuerdo con lo expuesto"; Hes inexacto

, " .1 • ,.

que, .. ; es lnentnu que ...

:l. Conjunción

U na f ónnllIa Ino)ecu1a r q lJe vinéula a sus C0111-

poní;ntes Jnediante ]a CUiljllllció71 (Up . qU) sólo es verd:Hlcra si sus dos ténninos son verdaderos, y es falsa en cua)cluicr otro caso. ¡\sí:

P le¡ 'p I

q - - ----V V

I V I

F V ! F V F I F F F I F l

La fónnula resultnnle se lee· H p Y q", Y su tabla de verdnJ corresponde, aproxiJnada,ncnte, al uso de la lnayoría de las palabras O expresiones idiomátic~ls

que en el lenguaje natural se clasifican como con­junciones. De este Jnodo, "p . q" podría interpre­tarse con10 H)}ueve y hace frío!', o "quis0. lJaJnartc) pero lni teléfono estaba dcscornpucsto", ó ··su pro-

~

1: l

• • ~

•

,,:v, • ':1 • ~

I

..

LAS CO¡\E(,llVA:l

yecto lne parece aceptable, aunque convendría in­troducirle algunos retoques". O aun: "ya sé que Cardel rnurÍó; sin ernhargo, cada día canta rnejor". En cada uno de estos cjenlplos se afirrnan dos esta­dos de cosas conju,Htan1cnte, por 10 que la cOlnbina­ción de arnbas aserciones resultará verdadera si y sólo si los dos estados de cosas afirmados son reales; es decir, en el prirnero de los cuatro casos posibles de la labJa de venlao correspondiente.

4. Disyunción

¿(¿ué nfirrno al decir "llueve o hace frío'? Doy por sentado ql1C si IIl1cve no hace frío y que si hace frío no llueve? ¿.() acepto que pueden ocurrir ~un­has cosas? ACl'lí el lenguaje natural nos tiende ·la hahitual trarnpa lle su ~Hnhjgiicdad, }' a la lógica corresponde desentrai)ar su sentido.

Suponga1l10s que en el 01enú fijo de 111\ restau­rante leernos, al final de h\ lista de platos: #'postre o fruta", EntenderCITlOS que la elección de uno ex­cluye l~ de la otra: pódernos elegir postre o podelnos elegir fruta, pero no ,1Inbas cosas.

Irnaginclllos ~lhora que una librería hace una oferta "sólo p~Ha escribanos o abogados", COln­prcnderelno~) fúc:ihnente que quienes teng;'1H uno de

I 1 J ,1 1 r h' I esos lltu os goz:1ran ue a Olerta; pero t¡un len con-sidcrarenlos incluidos entre sus beneficiarios a los prof esionaJes q tle ,rellJlan la~ dos condiciones, y nos 1 JarecefÍa absurdo que se negara el derecho de ad-

I

LOr.¡CA I'J\OPUS

quirir los lihros en oferla ~I quien hay;) obtenido aln­hos títulos.

La i1tnhigiiedad consiste) pues, en que la con­j'lnciún dis,Yl1ntiva 0.0 " del lellguaje natural puede cntcndt!rSl~ conlO "lIna cosa n la otra, pero IH) arl1-

has", () bien COB10 Huna cosa) l~ otra o arnbas sirnul-1:;'IJlCarrlt~nt(~··. Para disolver esta (unhigúcdad US3-

n lOS a \'eces la fonna "y/ o'" (cxpresiéJn que 10$ puris­tas del idi(JIna no rccorniendan) para la alternati­va no excluyente. Si una cuenta hancaria está abier­t:l a DOlnbre de Juan y/o Pcdro~ entendernos que ] uan y Peuro pueden hac,~r 11S0 de la cuepta en for­lila conjunta o scp~rada, independiente o sin1uhá­nca, según cada lino prefiera.

Existen, 'pues, dos tipos de disyunción. U na es la excluyente, cuya tabla de verdad es:

La otra es la esta tabla de

,p q p'~ q -- -

V V F F V V V F V F F F

di~yunción simple o

verdad:

p q p v q

v V V }1""' V V V F V F F F

incluyente, con

J;

r JJ , r 11 la '1 , I J

I

LAS o)NECnYJ\~

. Arnbas disyunciones tienen algo en cornún, corno surge de las tablas de verdad enunciadas: para ser verdaderas exigen que por lo rnenos uno de sus conl­

ponentes 10 sea. En otr3s palabras, son falsas cuan­do sus dos conlponentes son falsos. La única dife­rencia reside en la solución que cada conectiva prevé para el prirl1ero de los casos posibles: aquel en que los dos cornponentes son verdaderos. t.Jna de .las disyunciones ]0 aclnlite (lo incluye) corno caso de verdad de la f6nnula cornpuesta, en tanto la otra lo rechaza (10 excluye) al tonlurlo COlno friso. Si volvenlos) pues) a los ejernplos del principio,' descu­brirclnos que la disyunción del rnenú fijo era exclu­yente, en tanto la de la oferta de la librería era in­cluyente.

En el lengua je natural se usa una u otra disyun­ción (cosa que puede advertirse por el contexto en que ella aparece) seglJn convenga a 10 que huya. de expresarse; pero en- la lógica sÍrnbólica es habitual

el uso de la disyunción incluyente, en tanto la" otra sólo aparece por excepción. Esta preferencia se

debe a ciertas particularidades del cálculo lógico, que permite la fácil traducción de la disyunción simple en términos de otras con~ctivas) n1ientras la excluyente requiere circunloquios Jnás complejos 8.

Nos guiaremos, pues, por este criterio y dircn10s -en general- que una disyunción es verdadera cuando por lo luenos uno de los ténninos .disyuntos

8 Ver, en el capitulo V, las leyes de De Morgan.

56 .

J.c >CICA, J'lF )I'OS1(;I\..... • ., _ ..

es verdadero (es decir> l1anléne¡nOS dL<;!funci6n a secas a 1 a d i:,yu ncillll i nclll yen te ) . C:uando se trate de la cxcl uycnte, la ca li fica renlOS COI no tal y lisa re­IlIOS el ~;Í1nholo correspond i(~l1tc (" :.,t.'. ").

5. Condicional

rrantG la conjllllciún corno las disyunciones ~on relaciones COTl7Hutalivas, porque "p . q" tiene el )))iSlI10 valor de verdad (fue uf( p", "p v q" que .." "41 ",,t., ' J (. ]) f ' q v p y p 7: q q u e q ~ p e ro en t1 na o r-lnula cOlldiciofwl -( tl p ::.> q") esto no ocurre: irnporta distinguir el orden en que aparecen los cOlnponentes. Par~ esto (y sólo respecto de esta conecl iva), la fl>nnll1a (lue aparece a la iZf}uierda del condicional se Barna antecedente y ]a que aparece a la derecha recihe el nonllHe de consecuente. Sentado esto, puede definirse éL condicional :'0 corno la relacion que, resulta falsa cuando el antecedente es verda­(lero y el consecuente falso, y es verdadera· en t6dos los dernás oasos. l)e acuerdo con esta definición,

Estas afirma<.:Íol\l·S debcn clitl'\)(lt'rse ('1\ d contexto estricta­lI:elltc (Ol'lllal. Eu el lt'II~lIajc Ilat IIral ('\ orden de los t{:rnlillos no

('.~ siemprc indiferente: "Vino .1 visil:IfIIH! y muriú" 110 l'S In lIli!\1I10

tlllC "'lIlIri,') y villo f.l visilarme"· l!or ejelilplo. Iu l\lllchos .lIllort'S l.) Il:UIIJU !;llllh¡t:1I j/1lpli('(lcj(írc o illljJliC(l(;iÓII

1/;(/111';(//, para distillgllirlo de la impliea<:iI')J1 Illrflllll, o IrígiclI. (JIU'!

'I!Aamillarcmos más ndclallte (ver Cill'íllllo IV). Pam cvitar <.'ont'u­~.i()llCS hemos prdaido no utilizar aqllí \l!dlO Ilombrc y n~sl'r\'arl() p:\la la ililplicaciún lúgi<:a, como 10 hact~ (h IÍ lit! (\'t~r Qllinc, \\'illard V:1I1 OIllIIlU, Lus métodos de la lúgictl, IhreeJolI:l, J 9(>9, p. ·t8 y 7:2).

or

• I

....

• ....

11

•

I

.. I

LAS CO~ocnVAS

pues, la tabla de verdad del condicional es la si­guiente:

p qLp ::> q

~\i i

I i \ V \' ~f

F V \ V \' F '1 'F -, F L \' 11 1 • :\

El uso lógico de esta conectiva se parece lllucho al enlpleo de la palabra ''si'' en el lenguaje natural: "p :) CI" puede interpretarse, por ejernplo, COlllO f(si los lnetales se calientan, se dilatan", o ''si gano a la nl1eta podré pagar la cuenta del carnicero". Pero,

corno en casos anteriores, este signo lógico no puede asociarse 1is~ y lIana1l1cntc con Ulla pal::lbra deter­

rninada. U na fórn~llla condicional puede interpre­tarse talnbién CODH.) c'firnlaré el contrato siempre

que 111i socio esté de acuerdo", () "el que I11ata va preso") o aun "ya no p()clI(~!n()s subsistir, Eduviges, a lncnos que h~ie el precio del caviar~_

Pero cuando eJnpczatnos a jugar Gon los 'ejem­plos aplicándoles la tabla de verdad del cOTldicional,

una dificultad llarna ele ÍlHncdiato nuestra alencibn.

Suponganlos que hen'los interpretado "p :::> q»» como "si es de noche, hace frío". Coo1prendenlos fácil­filente los casos priInero y tercero de la tabla: si es de noche y hace frío, lo afinnado es cierto; si) en

calnbioJ estamos en una de esas noches de verano en que el termónlctro no baja de treinta grados.

S8 LÓGICA, I'nnrOsh.....

nuestro condicional rneteorológico resulta cláranlen­te injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto :dgo parece Inarchar rnal: si el antecedente es falso (es deci r, si no es de lIoci le), ¿ cónlO puede afirrnar­se <J ue sea \'chlad qne si es de nod le hace frío? ¿y CÓlno puede dar 1() lnisn1o, parar el ('~IS0, que haga frío () calor (es decir, la '¡crdad o falsedad del con· seCllentc), y que en cualq Uier¡l de esos supuestos el cone! icional resulte verdadero?

Esta perplejidad es cornpletnm~nte nonnal. Casi todos los estudiantes de lógica sienten algo parecido a la rebeldía cuando se topan con ella, hasta tal punto qne se le ha dado tl,n nombre que h\ identifica: es l1an1ada la TJ(lradoja del condicional. Cuando hen10s dado nornhre a ]0 que nos preocupa -y sobre lodo un nonlbre tan sonoro- solemos c;cntirnos algo rn~ls aliviados: nunca es ]0 n1isn1o sentirse difusamente l1Ull que saber positivamente que uno padece, por ejen)plo, una gripe causada por virus del tipo B.

Para seguir, puüs, con el sÍlnil rnédico, la para­doja del condicional adnlltc dos lratulnientos: el quirúrgico y el clínico.

El lratarniento quirúrgico es r¡'pido y doloroso: con~ist(~ en no explicar nada y recordar que las co­nectivas se definen estipulativarHcnte por sus tahlas de verdad, de lnodo que no hay lugar para debate alguno: la tabla del condicional es ésa y basta.

El otro medio de vencer la paradoja --que no es fllcjor que el prin-lero pero sí ln~s fácilnlcnte acep-

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,r , ;1.

~ ., ,

, r ,1

'1

I \. ~I

'il

'1

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Li.$ CúNl::CTtVAS

table- lleva a mostrar que toda la perplejidad pro­viene de una cornprensión incolnpleta de lo que el cond icional si gní fíca.

En cf ceto, es preciso d istingllir cuidadoS3lnente ]a fórmula lno]ecular condicional ("p :::> q", interpre­taJa corno ··si es de llochG, hace frío") de sus forrnu­las atórnicas cOlllponcntes (44p" Y Clq", interpretadas corno "es de noche" y 44hace frío", respectivulncnte). El condicional no afinna que es de noche) y ta1npoco

afinna g ue hace [río: sólo enuncia cierta relación en­tre las dos proposiciones simples, de tal modo que· si es de noche, entonces hace frío. rola única manera de demostrar que tal afÍlmación es falsa consistirá, pues, en verificar que es de noche, pero no hace frío. La oración condicional no dice nada sobre la tem­perahlra diurna; y así, si no es de noche) poco importa que haga frío o calor, ya que no habren10s afirn1udo una cosa ni la otra, y nadie podría decir que hemos n1entido.

En términos nlás rigurosos puede decirse que 1'1 fórmula condiéiónaJ no afirn1a su antecedente ni su consecuente: sólo afinna que no es el caSo de qUE;

el antecedente sea verdndero y el consecuente falsa que si el antecedente -es verdadero también la .es 81 cOTlseauente;, y que, por lo tanto~ si es falso el COl1H~" cuente también loes el antecedente.

Este galilnatías es tan conocido -hasta pura los que creen no entenderlo- que a menudo se i~acen bromas basadas en él. Decimos, por ejelnplo: C4si

--.. ---C"·",_.~---,--_--,-_____________________ --,--_""",,,,

U)CICA, rn'hPG

la lógica es sencilla, yo soy japonés", y con esto con­~iJcranlos haber nfim'lado qlle la lógica es COHlplica­da. Esto es, en efecto, 10 fIue hichnos; pero exalni­nen10S el razonarniento paso por paso.

Supon ga r110s CJ \le "la l()gica e~ senC';lla" se si rnho­liza con "p" y "yo soy japonés" con "q". Al afirnlar "si la lógica es sencilla, yo soy japonés", he postulado COlno verdad era la f órm ula

p ::> q

Pero al Jnismo tierrlpo es obvio que yo no soy ja­ponés (si esto no fuera claro para todos, la broma no funcionaría: es de suponer que los japoneses usan la expresión "yo soy sanlíagueilo").· Es decir Cjue el consecuente es falso.

Ahora bien, cOlno nuestra hipótesis cOllsistÍa en fIne la fónnula p ::> q es verdad, dchelnos buscar en la tal> la del condicionalul1 case) en que J icho supues­to resulte cornpatihle con la fal~edad del consecuen­te.' Si 10 hacernos> hallarenl0s que el lÍnico caso en que tal cosa ocurre es el CU:lrto: en él el consecuente es rabo y la fúnnula cOlldicional verdadera, ¡Jero el

antecedente es falso. Hcsulta de allí que, si es vcr­dad que si la lógica es sencilla, )'0 soy japonés lj es falso que yo sea japonés, entunces tiene que ser falso q \le la ]{)gica sea sencilla.

Después de este anúlisis es prubahle que la brOl1ltt

resulte lllcnos graciosa; pero, () hien habrernos C0111-

prendido la paradoja del conoicionaI, o bien estare-

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LAS CONECnVAS. 61

HlOS dispuestos a pedir la ciudadanía japonesa con la esperanza de facilitarnos la tarea.

Aclarada, pues, su tab~a de verdad, podemos ad­vertir c¡ue el conuicional expresa cierta situación que en los hechos puede darse respecto de dos est~Hlos de cosas: uno cuya descripción simbolizaren10s con)o "p" y otro cuya descripción sirnbolizarernos COl1"}()

"qH. Nonnalmente decirnos (pIe el antecedente es c07ulición del consecuente; pero lógicos y fil'-)$'Jfos -fIue hilan Hlás fino- distinguen dos tipos de condi­ción: la necesaria y la suficiente.

El hecho p es condición suficiente de q cuando conocer la verdad de H p" permite afirnulf la verdad de "qu. Dado un cnuncinuo condicional que supon­g<:l1nos verdadero (por ejemplo, Hsi el perro Inueve )a cola, está contento"), la verdad de] antecedente es condición suficiente de la verdad del consecuente: si VC1110S que la cola se agita, poJrclllos afinnar que su canino propietario está contento (y lo afinnarclnos COI) la 1nisnla conjianzo con que hayalnos aceptado la pren1isa condicional sobre el significado de dicho rnovÍJni euto ). .

En carnbio, el hecho q es condición necesaria de p si conocer la falsedad de uqu nos pennite asegurar la ialscdad de H p". En el misnlO ejelnplo, el conse­cuente resulla condición necesaria del antecedente: si s3ben1os que el perro no está contento pod~.ernos nfinnar que no nlueve la cola aunque el bicho esté a

. nuestras espaldas. En efecto, si la n10viera estaría contento} y estamos persuadidos de que no 10 está.

62 , I

LOCICA, l'H!WOSIClON y NOHMA

Con sujeción, pues, a la verdad del condjcÍonal (verdad que depende de su coincidencia con cierta situación empírica), el all teccdente es condición su­ficiente del 'consecuente (basta que el perro rnueva 1a cola para que sepalnos que está cí'ntento), y el consecuente es condición necesaria del antecedente (es indispensable que el perro esté contento para que In ueva la cola).

G. niconJicional

J-Iclnos dicho antes que en el condicional importa distinguir el orden en que aparecen los cOlnponelltes de la fórnlula) ya que esa conslanle 1()gica no es con­mutativa, y por eso distingtlÍlnos el antecedente del consecuente. Supongalnos ahora ü n condicional conrnutativo, en el qUé cada ténnino sea a la vez antecedente y consecuente del otro:

"[(p ~ q) . (q :J p)]"

Esta conlbinación de dos conuicionales cruzados corresponde a una nueva conectiva, llaIl1acla bicon­dicional", que resulta verdadera si y sólo si sus ·dos

JI El bicondicional recibe a mentido el nombre de equivalencia materiul, o simplemente equ;r.;111euL'itJ. Por las mismas Td20nes ex­puestas en el c¡:¡so del conJicion¡¡I, heHlOS preferido reservar este nombre p~ra la e<Jllivnlcllcia formal o lógica. que más ndehlJlle in­troduciremos (ver capítulo IV).

LAS (X)NECrIY AS

términos tienen el miSD10 valor de verdad (es de­cir, si son ambos verdad~ros o ambos falsos):

p q pE=: q - -

V VI V F V F V F, F F F V

Al leer una fómHlla bicondicional suele utilizar­se la expresión ccsi y sólo si", que algunos l6gicos abre­vian como ·'sü". De este Jnodo, "'p :=:i q" puede in­terpretarse COlno Hme gusta el asado si y sólo si está bien cocido", de donde resulta que si está bien cocido rne agrada y de otro JnoJo no; c, inversarncnte, que 1ii lne gusta está cocido y si no me gusta no 10 está. COH10 puede observarse, esta conectiva es e.r. treola­

damente rigurosa: en el caso elel ejernplo no adnlite el supuesto de c¡ue el asado me desagrade pese a ha­llarse bien cocido (por ser duro, O estar quemado, o por alguna otra razón). Es decir que cada término es a la vez condición suficiente y necesaria del otro. El lenguaje diario, en cambio, suele dejar cabos suel­tos (COD10 el condicional simple): cuando afirmo que sólo Ine gusta el asado bien cocielo, no pretendo en general sostener que en cualquier circunst.ancia ll;n asado que curnpla ese requisito me pone tan ansioso conlO el perro de Pavlov.

El bicondicional, pues, no suele usarse para for­n1alizar la nlayorÍa de !as expresiones del lenguaje natural (aunque tal cosa puede ocurrir). En cam-

I ,

I oc ¡ c." , PfV)l'USh. .. l\)I·( , . ................ .

!>io, su enipleo es bastante cOlnún en la forrnulación de definiciones y de leyes 16g1cas.

El sÍnlbolo ulilizaJo para n~pr~?entar esta concc­~iva lllcrecc Ull cOlneuL.uio (Hlidon:d. Hecordare­¡nos que el sírnlJolo de la dis)'UIH:ión excluyente (ti =JI.':.") es el lnislno Jet bicondicional, peTo cruzado --COIno tachado- por una 1í\lea diagonal. Esta scrnejanza no parece caprichosa, a p ")co que se COln­paren las tablas de vcrdáJ de las dos conectivas:

p \

q p :):'i' . - .el p -- q - _.

V V F \' F V V F V F V F F F T;- V

Corno puede observarse, el biconJicional equi­vale a la negación de la disyunción excluyente ()' viceversa), ya que en caJa caso en que una conecti­va es verdadera la otra resulta fn1sa. De aquí se (leuuce que pOtldalDos representar la disyunción excluyente (le esta Inanera:

-(p == q)

E, \nvers~tlncnte) sería posihlt~ sirlll)(}lizar el hicon­Jicional así:

-(p 7- q) Por esto se ha. elegido para el bicondicional el

símbolo que los Inatclni:lticos utilizan para .la scnl-e-

, .-. l t .. ~ ;

í L

r ¡ ¡

f

;aHza (dos variables uniúas por un bicoflc.1ícional son sClncjantes en sus valores de verdad). y se usa el ndSlno sÍlnbolo tachado (es decir, negaclo) para la conectiva inversa.

IV

TA UTOLOC!A, CONTHADICCIÚN y CONTINGENCIA: LA I~IPLICACION FOmtAL

l. Tautología

Al analizar las 'tablas de verdad de las conecti­vas hClnos observado que la verdad de una fónnu­la rnolecular depende del valor' de verdad que se asigne a cada una de ]as 'fórmulasatónri'cas que la

, integran: así, por ejernplo, la conjunción A es verda­dera cuando sus dos ténninos son verdaderos, y falsa en los denlás casos; el" condicional es falso cu~ndo el antecedente es verdadero y el consecuente f~lso, y es verdadero en los otros tres supuestos; y el hicon-' dicional es verdadero si sus dos ténninos tienen el Inisn10 valor de verdad (V o F), y falso cuando ellos tienen valor distinto ..

EXUlnÍnelnos ahora ]a tabla de verdad de la si­guiente fónnula: "p v -p".

pI/ l? \: --p, -- -v. v V F F F V V

{~OIll0 Ja fórnHda' propuesta s/)}o contiene una variable ("p.'), los casos son 2 l =: 2. En el prin1c­ro }J es verdadero y, consiguientcu1cnte, -p es falso; en el segundo ocurre a la inversa. Pero, como la disyunción resulta verdaJera cuando cualquiera de los términos disyuntos lo es, nuestra fórrnu1a se r.eve-·· la como vercladerapara tDdos los casos posibles.

Esta cornprobaci6n tiene un curioso. efecto: el de independizar la verd.ld de la fórn1ula de cual­gujcr averiguación sobre la verdad ele p. En efecto, a~ignaremos a "p" uná interpretación cualquiera: "ftunar hace daño", por cjenlplo. Así, fe_ p" deberá traducirse por ufuffiar no hace daño" (o, ]0 que es 10 rnisn1o, "no es el caso de' que fumar haga dailo", o "no es verdad que funlar haga daño", o cualquier otra exprcsi6n semejante). La fónnula molecular quedari interpretada como Hfumar hace dai10 O (fu­Inar) no hace daño'·, y resultará verdadera en toda circunstancia.

Pero ¿fumar hace realn1cn.te daüo? Esta pre­gunta tiene irnportancia n1édica, social y econ6nlica"', pero no perturba ]a placidez de la lógica. Porque, cualquiera sea la opÍlúón que sustenten sobre ta respuesta correcta) fumadores en1pedernidos y lnédieos solícitos, directores de eJllpreSas tabacale­ras y activistas de la Liga de la Tcrnplanza han de

ro' l

'JhUlVJ....'-A~ .... ~, ..... v .. ' '._' ____ " .

~q estar de acuerdo en que fuxnar hace daño o no lo bace. Es más, ni sig uicra es necesario interpretar la fórnlula para conocer su verdad. Corno la verdad de p Y·_p no depende de la de p sino de la estructura lógica de la cxpresi6n lnolecular, tanto da que atri­buyaInos a u p" la representación de una u otra pro­posición, o aun que considerenl0s la variable en su n1ás puro y original estado simbólico: si no nos es preciso conocer la verdad de p tampoco nos hace falta asignarle un significado.

Estas fórnlulas cuya labIa de verdad arroja valor positivo ,para toJos los casos posibles se lIa.T)an tau­tologías. Tienen la ventaja de ser siempre :verdade­ras con independencia de su contenido, pero -por esto Inisn10- tienen tanlbién una desventaja: no proporcionan ninguna infonnación sobre el mundo que nos rodea. La verdad absoluta suele ser trivial; y, salvo cuando se trata de fórnlulas muy conlplica­das, resulta tan sabida que no despierta gran interés. Ilnaginenl0s un hon.brc que pasara la vida enun· ciando únicalncnte las más soJelnnes tautologías: Hrnaiiana habrá tonnenta, o no la habnf', ··si tÍn ani­rnal tiene cinco patas, tiene seguramente cinco pa-

\... tas"; ~·la existencia es un río que nos lleva hacia el infinito ... o Lien es alguna otra cosan. Tal perso· ' na no correría jalnás el riesgo de afirnlar algo fa1so, pero su charla resultaría tan' insulsa que nadie que­rría oírla: ninguna ,de sus afirn13ciones contendría datos empíricos.

y sin embargo, no por ser vacías de contenido

70 LÓC1CA, PROPOSI

las tautologías son inútiles: en ITlilChos casos su ver· dad formal no es evidente, y se requiere un detenido exanlen para ad vertir]a. Adernás, si descubrinlos (lllC un enunciado encierra una tautología dejare­lnos de irllTICuifto de discutir sobre ella, perderernos interés en la averiguación (le sus presupuestos empí­ricos (ya que no los ti~ne) y -lo que es más in1por­tantc-- podrernos utilizarla cúlno puente para razo­namientos más cOlnplejos. Por esto la lógica trata. lnuy espcciahnente sobre las .tautologías, y por esto enlplean10s hoy rnn.(luinas -las computadoras- que ~ son forrnidablcs constructoras de relaciones tautoló­gicas: dados un prognllna y los datos con que se la aliInenta, la lnúquina produce una respuesta que re­sulte for1Halnlcnte verdadera bajo (:ondic~·ón de la verdad de aquellas prelnisas.

2. COIlI radiccí6n

Las tautologías tienen su contrapartida negati­va. SupongalTIOS la siguient fórrnula: "p . -p".

P I P ..-P --~-lr--

v V F F F F F V

Al construir la tabla de verdad de esta conjun­ción advertilnos que para todos ·sus casos posibles (que son dos) su valor de verdad es F.· Esto indica que cualquier proposición con selnejante estructura

í I [

T i\ UTULLJ"uLi'\., ................ _ ~_. ___ _

lógica C'la luna es redonda, pero no es redonda"; o '~no es que yo sea racista, pero síernpre he sostenido que hay razas insoportables") es falsa en cua](luicr

circunstancia, independientelllente de la verdad o la falsedad de p y aun' del significado que momentá­neanlen te atribuyan10s a la variable.

Una f6rmula rnolecular cuyo valor de verdad es F para todos y cada uno de sus casos posibles se llama contradicción, y, por cierto, tiene tan poco con­

. tenido empírico como las tautologías: es una false­dad fornwl.

I-Ia de notarse que -por aplicación de la tabla de verdad de ]a negación- toda tautología negada se convierte en contradicci6n, y toda contradicción negada se tranSlnuta en tautología. Así COIT10 en el

cuento de Stevenson el perverso ?vlr. I-Iyde era el otro yo del bondadosó Dr. Jekyll, ]a tautología y la contradicción pueden transformarse una en otra me­

diante una sinlple operación, pero, con10 luego vere­

~nos, una representa el rDodelo de razonaluiento a seguir y la otra una impureza cuya presencia echa por tierra el valor de cualquier dernostraci6n.

3. Contingencia

Si sustituirnos la con1paración anterior por un

sírnil ferroviario, podeInos afirn1ar que la tautología

y la contradicción son las dos estaciones terminales de una línea con nluchos puntos intermedios~ entre

72 LÓGICA, pn()POSho.~'-" • .' o~ '0' • __

el cxtren10 p.ositivo (verdad fonnal) y el negativo (falsedad fonnal) hay infinidad de fónnulas que re­sultan verdaderas para algunas cOlnbinaciones de verdad de sus cornponentes, y falsas para otras: son las fórnHllas dJntingentes.

Para uecirlo con 111ayor rigor, una fórnlula es con­tingente si y sólo si resulta verdadera por lo Inenos en uno de sus casos posibles y falsa por lo ITlcnos en otro. Cunlplidas estas condici'Ones, poco inlporta que sean 111ÚS los casos de verdad que los de falsedad, o viceversa: loda fórrnu)a que no sea tautológica ni contradictoria es. contingente.

La proposición que se obtiene por interpretación de las variahles de una fónn111a contingente (por ei~¡nplo, usi se pr~híbe él ~so de la barba y se im­planta la censura )cinenlatográfica, se contribuirá a constituir una socicBad pacífica y virtuosa") no es forrnahnente falsa ni foni1aln1cnte verdadera; y, por· esto lnislno) lejos ele ser vacía de contenido, encierra I¡na infornlación sobre la. realidad (esto es, describe un estado de cosas). Si la descripción se ajusta a lo que en realidad acontece, la inforo'ación conte­nida en la proposición scrú verdadera; si difiere de la realidad, scrú una información falsa. Dc aquí se desprende que para averiguar la verdad o la false­dad de una proposición conlingente (es decir, de una proposición cuya eslructura lógica puede sÍln­bolizarse lnediante una fónnu]a contingente) no basta con analizar su tabla de verdad: es preciso exulninar el nnlndo elnpirico y buscar en él prue ...

T A UTOLOGÍA 1 CONTIUDlCClÓN y CONTINGENCIA 73

bas que verifiquen la proposici6n o que lnuestren su falsedad. Desde luego, no existen garantías de que hallemos tales pruebas: las ciencias empíricas, cuya !area consiste precisamente en investigacion~s (le este tipo, contienen infinidad de preguntas para las que aún no ~e ha e.ncontr~do respuesta conclu­yente.

Incidentahnente, '10 expuesto nos proporciona un nuevo dato para ubicar a la 16gica denh"o ·del panorruna del conocirniento hunlano: ella busca, en­tre otras cosas, descubrir y probar formaln1ente las tautologías, en tanto las ciencias naturales, por ejeln­plo. procuran cleterrninar la verdad de ciertas pro­posiciones contingentes.

1. Implicación fonnal

Recorden10S ahora, por un Inon1ento, la tabla de verdad del condicional:

p q Ip => q I I

V V ;V V V', F V I F V v~ y F¡·Y·F F. F F¡!F'V: F

...

C'orno puede observarse) la fónTlula "p ::> q" es con­tingente: corresponde a proposiciones que dicen algo sobre el mundo y cuya verdad depende d:; que el valor de verdad del antecedente y del c-onse-

7·i LÓGICA, l'ROPO:

cuente se cOlnbincn en la realidad según una u otras de las rnancras Cnl..lIllCradas en la t.abla. A Inenudo HsanlOS el condicional para expresar una rcbci6n ca usa} ('\i torno vitarnina e estaré a salvo de rc~f ríos" L o las cond iciones para lCHna r una de­cisión ("si a pruebo él exa nlen il é a Llljftn a pie"), () para seflalar que un llecho es indicio de otro ("si la~ luces est:\n apagadas, no hay nadie en casa"); pero ninguno uc estos vínculos ernpíricos es indis­pensable para la verdad del condicional. E3ta co­nectiva es poco exigente, y se contenta con una correspondencia de hecho, aunque sea circunstan­cial o casual. "Si torno café, 110verá mañana" será verdadt~ra si runbas cosas ocurren, aunque entre ellas no exista relación alguna. Es nlás: l¡lInbién s~rá verdadera si llueve lnal1ana, aunque yo no tome café ho)'; y otro tanto si no tOIno café, cualesquiera sean 1:15 condiciones rneteor.ológicas del día si­guiente. De todos rnodos, lo ~ que irnporta destacar es que cualquiera de estos cora.1icionales (u otro seniejantc que pueda in1agina'rsc) será falso o ver­dadero según exista o no un estado de cosas capaz de verificar el antecedente y hacer falso, al InisillO

tiernpo, el consecuente. Supongarr\os, en cambio, esta otra fórmula:

p ~ (p v q)

Una interpretación adecuada sería, por ejclnplo, "si soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que para ser abogado o violinista basta con ser abogado

·1 l

y basta también con ser violinista (sin excluir, por cierto, la eventualidad de un letrado aficionado al vio] Ín): todo abogado es abogado ó violinista (o zapatero, o astronauta); de lnodo 'que el condicio­nal de nuestro ejernplo es tal que la afinl1aci.ón del antecedente fWS obliga a afirnlar el consecuente 12

Para probarlo, construyarnos una tabla de .,.'!~rdad en la que Clp" corresponda a '''soy abogado') ~ "q" a H soy violinista":

p q jp ~ (p v (1) - -V V V V VVV F Vi F V FVV V¡F V V VV F F F F V FFF

Nos encontranlos, pues, ante un condicional tau­tológico. En uno de los ejen1plos anteriores podía darse el caso de que las luces estuvieran apagadas y hubiese alguien en casa (lo que detenninarÍa la falsedad de] condicional rnaterial); pero si soy aho­gado no puedo dej(lr de ser abogado o violinista, de Jl10do que la verdad de este condicional depende eJe su estructura f ornlal, y no de su correspondencia con la realidad eHlpírica. '

¿Por qué hay condicionales tautológicos? Lo que ocurre, en verdad, es que el enunciado que apa ..

J2 Una disyunción ('S vcrdatJera cuando .tI menos uno de sus componentes lo cs. Por lo tnnto, hajo el liupucslO de verdad de p estamos obligudos n llhiuuir \'crdaJ n la disyunción 'lue tiene a "p'. como uno de sus Jisyuntos ..

76

rece en el10s corno consecuen te ya está' contenido en el antecedent.e: de allí que, en el supuesto de ver­dad del t'1'lunciado rnás restringido~ no podarnos ne­gar la proposición cuya verdad exi ge Incnos requisi­tos. 'Tal es, llespués de todo, el principio rector de cualquier razonaIniento deductivo: si la' vcn1ad de las prc1l1isas nos garantiz.a la verdad de la conclusión, es porque ésta ya estaba contenida -de un Inodo u otro- en aquéllas.

Tan irnportante resulta esta relación para la lÓgi­ca que ha merecido un nÓlnbre propio: cuando un enunciado está incluido en otro, de tal 11lanera que la verdad de este último garantiza la verdad del an­terior, Jccinlos que Inedia entre alnbos una rclaci6n de irnplicnción (tanlb{(!n l1alnada inlplicación lor­mnl, estdcta o lógica). ASÍ, todo enunciado cuya verdad asegura forrnnlnleTlte la verdad de otros enunciados inlplíca a cada uno de éstos. T'odo con­dicional forrnado de 1l1anera que el antecedente Íln­plique a) consecuente será. tautoltlgico; y, a la inver­sa, todo condiciounl tautológico indica una relaci6n de irrlpiicación entre su an~ecedente y su conse­cuente.

IIa de quedar en claro qu~ no toclJ condicional encierra una irrlplicnciún: para ello se requiere que el condicional sea tautológiCo. . '...Jos condicionales contingentes, COn1Q ya se 11ft visto, describen una situación de hecho, por lo q l1e su verdad estA sujeta n la realidad de esta rnisrna situación. Pero no es lógicamente posible un estado de cosas en que el

, , TA UTOLOC1.A, CONTRADJCCI0N y CONTINGf.¿"'lCL\

condicional tautológico o inlplicación resulte falso: la imp]¡cación -vacía de contenido enlpírico como todas las tautologías- no se refiere a los hechos ni afirrna cierta relación entre éstos: simplemente da cuenta de una relación abstracta, puramente lógica, entre proposiciones. Un hecho puede ser causa de otro, pero no puede implicarlo: la implicaci6n faonal es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de los hechos tendría tan poco sentido como afirmar que el número 17 es yerno del 9, o que el edificio Cavanagh es un sublnúJtiplo de ,la Casa Rosada.

Como la Ílnplicación es un caso especial dentro del género de 105 condicionales, entre sus elemen­tos puede observarse tarnbién la relaci6n de condi­ción necesaria y de condición suficiente. En la fór­Inula H p :::> (p' v q) u, p es condición suficiente de

p v q, ya que garantiza su verdad. Y p v q es con­dición necesaria de p: si p v q no fuera verdadera resultarían falsas tanto p como q (por la tabla de verdad de 'la disyunción); y entonces el anteceden­te p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de un condicional tautológico, la, necesidad o ]a sufi­ciencia con que antecedente y consecuente son con­diciones uno del otro no son l1wteriales (es' decir, relaciones de hecho, dependientes de la verdad o falsedad de cada uno), sino fonnales, de naturale­za estrictamente l6gica. Así, en la hnplicación es lógicanwnte necesario que el consecuente sea ver­dadero si el antecedente 10 es, y es 16gIca1nente im-

78 lix:¡CA, I'HOPOSk ..

lJo,yihle que el antecedente sea verdadero si el con·

seCllcnte no lo es.

5. EquivulclH.:ih

Cuando por l'(l;:ones lógicas Jos proposicIones tienen sielnpre el rnisrno valor de verdad, podemos forn1ar con ellas un bicondiciolWl tautológico. Esto ocurre" por cjernplo, con el enunciado ccsoy abogado si y sólo si soy ahogado", cuya estructura corresponde a la f6rmula 41p =: p" y cuya tabla de verdad es la siguiente:

p I p ::.:-,; p -,----v VVV FI F V F

Así con10 todo condiciona 1 tautológico expresa una ilnplicaci6n, todo bicoudiciollal tautológic..'O ex­presa una equivalencia. })05 enunciados son equi­valentes cuando Inedia entre ellos una relación tal que la verdad de uno garantiza forn1ahncnte la del otro y viceversa, y que la falsedad de uno asegura forn1~ Imente la falsedad del otro y viceversa.

I)el rnismo n10do que la Ílnplicación, la eq uiva­lencia es \1na relación entre proposiciones y no un vínculo entre hechos. Un biconuiciona-l contin­gente ( "hace frío si y sólo si rlle visto de azur') pue­de resultar verdadero porque eventualrnente sus dos térrninos tengan en un rnornento dado el rnis-

n10 valor de verdad; pero es 16gicanlcnte inlposible la exist.encia de un estauo de cosas en que la equi­valencia resulte falsa, por lo que ésta --conlO cual­(luier tautología- se encuentra desvinculada del rnundo eJnpírico.

Conviene hacer notar que) tal como acontece entre el condicional y el bicondicional, la equiva­lencia es una relación lnás restringida que la de implicación; cuando dos enunciados son equivalen­tes púclelnos afirrnar que cada uno de ellos ín1plica al otro (ya que la verdad de uno garantiza la ver­dad del rest~nte); pero, si sólo sabernos que un enunciado irnplica a otro, no podernos sin n1ás ase­gurar que alnhos son equivalentes. Co¡no una avenida de tloble Inano, la equivalencia contiene UOS inlplicaciones de sentido inverso .

. ,:,

v

LEYES LóGICAS y HEGLAS DE INFERENCIA

l. "Dura lex) sed lex··

I-Icnlos dicho antes que una de las tareas prin­cipales de la lógica ctJnsiste en buscar y probar las tnuto]ogÍas. Pero ¿no habíamos quedado en que la función de ]a lógica es establecer y contrblar la validez de los rnzonarnientos'? Pues bjen: alguna relación ha de existir entonces entre razonanliento

válido y tautología, y esta relación puede observar­se a través del concepto de ley.

U na ley lógica es ~lna fórnHlla proposicional tal

que, si en ella se sustituyen las variables por cons­

tantes del tipo a que ellas se refieren (en nuestro C3S0, por proposiciones), el resultado será sielnpre una proposición lógicamente verdadera.

¿Por qué una leyes una fónnuJu, y no una pro­

posición? Existen proposiciones lógicamente ver­daderas ("el cielo es azulo no lo es

n; '·'no es posible

82 U>Cl\.A, pnoPOS¡c.

que alguien sepa leer y escribir y sea a la vez anal­f abeto"); pero cada una de ellas, aisladamente con­siderada, es apenas un ejenlplo de una estructura lc')gica que detennina su verdad. Y, COIno ya sa­henlos, el uso de variables (es decir, de símbolos abstractos a los que puede atribuirse un significado cualquiera de cierta categoría) permite aislar aque­lla estructura y distinguirla de otras, con total in­dependencia del enunciado real en que ella se ma­nifieste. Cada ley lógica enuncia una tautología, de tal modo que su verdad formal se Inantiene en t0dos los ejemplos que con su rnisnla estructura se obtengan por interpretación de variables.

Ahora bien, todllS las tautologías son leyes ló­gica.s; y de allí proviene su irnportancia. Cada' vez <lue descubramos que una fónnula es tautológica, podremos estar seguros de que hemos hallado una ley; y, al grito de cc¡Eurekal." -u otro que nuestra inclinación nos sugiera- podrelnos inscribirla en .. tre las inmutables verdades de la 16gica. Desde luego, no es aconsejable asulnir esta tarea con afán de coleccionista: el número de las tautologías es infinito, y sólo algunas de ellas son apreciadas, se­gún la utilidad que brinden 11

13 A modo de salvedad y con miras a la mejor comprensi6n' eJe temas futuros, conviene adé\rar que todas las tautologías proposicio­na les son leyes 16gicas pero que no to.:.las las leIJe3 lógica3 son tauto­logÚl3 Vropo.tidonaI83. En efecto, la lógica' proposicional es sólo un

,.capitulo dentro de un campo mucho más nmplio; y dentro de otros sistemas (lógica de predicados, lógica modal. lógica de6ntica. por .ejemplo) existen leyes adicionales que no SOn tautolog[as proposicio-

f ¡ t.

......... '\.,I.~.- __ _ .. '. _ ... _.

2. Una cosa es una cosa, y otra cosa es otra cosa

Gomo todas las leyes de la lÓgica proposicional son tautologías (esto es, estructuras capaces de al­bergar -por interpretación qe variables- propo­siciones formalmente verdaderas), no existen teó· ricalnente leyes que sean más importantes que otras: cada una de eH as puede deducirse de otras

leyes (colno luego verernos)) y ninguna tiene el pri­vilegio intrínseco de servir de base a las demás. Algunas, sin ernbargo, por su sencillez y la f recuen­cia de su uso, han sido consideradas tradicional .. rYlente corno princi¡Jíos elementales de la lbgica. Tal es el caso de los principios (o leyes) de identi­dad, de no contradicción y del tercero excluido.

a) El principio de identidad

El principio de identidad no es otro que el que in1plícitamente solclnos enunciar cuando -entre bromas y veras- afinnamos que fe una cosa es una cosa, y otra cos~ es otra cosa" En efecto, la ¡den­tidad puede fonnularse así: toda proposición se inl­

plica a sí misnla.

p ::> p

lIales. A C!it:l previsión (.·oH('sponot! t.1Jllhiéu el modo gcoerJco en que se ha odinldo el cOllccplo 0(' It'r: en t\ Mgica proposicional las varhdJles representan precisamente pr.oposidoncs; pero cn otros 1.:01-pitulos de la lógica exblcu \'ariables de Jifereule natnfuJc:z.n.

84 LÓGICA, PROPOS1Ch

Es decir: 'Hsi hace sol, hace sor; o Hsi las bnljas \' .elun, vuelan". Esta írnplicación, sin embargo, t:, ¡le una :pec:uliarídad: como su antecedente y su cOllsecuent,e son idénticos, y por lo tanto. intercam­biables, la relación entre 3rnbos fUIlciona tanto en un sentido como en el otTo~ Hesulta de ello, pues, ti. 1 · una cqu1va encUl:

plEp

a saber: toda proposici6n es equivalente a sí 1nis1rUl. Es más cornún, clnpero, enunciar el principio de identidad como una inlplicación.

b) El principio de no contradicción

El principio de no contradiccilSn establece que ningunIl ]1roposici6n puede ser verda'lera y falsa al 1Hisn~o tiernpo:

-.( p . -p)

1:n ocasiones anteriores hCInos utilizado ejemplos de contradicci0nes para mostrar intuitivalnenle ca-' S0S típicos de enunciados lógicanlentc inadlnisi­bIes: "Todavía Ine quedan algunas fichas para el teléfono, pero se file tenninaron"; e'la lun~ es redon­da, pero no es redonda". Tales enunciados tienen la estructura sintáctica representada por la fórrnu]a :

p . -p'

Pues bien, al negar dicha fórmula, el principio de no contradicción indica precisarnente que cualquier

enunciado con esa estructura lógica es formalmente falso (una contradicción); y el propio principio, que niega la contradicción, resulta forrnahnente verdadero (u~a la utología) ..

e) El principio del tercero e~cluido

El principio del te:fcero excluido puede enUll­

ciarse así: toda proposición ,es verdadera o falsa. O, lo que es lo 11lisrno, o bien es verdad-el'a una pro­posición, o bien es verdadera su negl1ci6n:

p v-p

Esta ley -que corresponde al carácter bivalen­te de la 1ógica que estudiarnos- fija dos (y s6lo dos) posibilidades para cualquier proposici6n) a la vez que excluye, como inexistente, cuaJqui~r terce­ra posibilidad que no sea su verdad o su fa,isedad: la pared puede ser Llanca o no ser blanca, "pero al­guno de estos dos enunciados (lila Ilared es blanca'" y "la pared no es blancaf~) tiene que ser verdadero.

Aquí es posible prcf.,runtarse.: si una proposici6n debe ser, necesarian1ente, verdadera o falsa (terce­ro excluido), péro no puede ser a la vez verdadera y falsa (no contradicción) ~por qué sinlbolizar el principio del tercero excluido con una disyuncibn incluyente? ¿No sería Inás propio utilizar la dis­yunción excluyente?· En efecto, la fónnula;

p =F --p

RO LÓGICA, PROrnSlC¡

pcrrnitiría n1a~ar dos pájaros de un tiro, al resunlir en sí los principios de no contradicción y del terce­ro excluido. Pero la lógica nohu5cu ahorrar per­digOHCS, sino analizar los razonárnientos del Inodo lnús profun(lo p()sible. Y para qsto debe desnlenu­zar las fórnlulas válidas y aislar las tautologías nlás clcnlcnta les, sin perjuicio de observar luego el rnodo en que puedan cOlnbinarse. La no contra­dicción y el tercero, excluido son tautologías dife­rentes, y su fonnuluci6n por separado pennite indi­vidualizarlas ¡nejor.

Pero aún suele suscitarse una rcf]exióI1 más: ¿el principio del tercero excluido no resulta demasiado r¡guroso en relación con la realidad? Puede ser de día "puede ser de noche, pero también existe un nlornento del crepúsculo en que no es exactalnente de día ni de noche. Y algo senlejante puede de­cirse del color gris entre el blanco y el negro, y de la tihieza entre el frío y el calor) y de todos los tér­nli nos Inedios en cuanto resultan distintos de los extrenlOS.

Para aclarar este punto es nrcciso jistinguir la contradicción de la contrariedad. Dos proposicio~ nes son contradictorias entre sí cuando unn equiva­le a la negación de la otra, de tal nlodo que no pueden ser las dos verdaderas ni las dos falsas: "llueven y Uno llueve"; "huce frío" y Uno hace frío", En calnbio, dos proposiciones son contrarias cuan­do son incolnpatibles (es decir) no pueden 'ser am .. has verdaderas) pero dejan entre ellas un espacio

. para otras posibilidades. ASÍ, contraria de 4'la pa­red es blanca" sería. 4'la pared es negra"; pero con­tradictoria es C']a pared no es blanca

n• Contraria

de HLeónidas era valiente" es "Leónidas era cobar­de"; pe,ro contrqdictoria es "Leónidas no era valien­te", o ~]o que es lo Inismcr- c'No es verdad que Leónidas fuera~ valiente·'. Dos proposiciones con­trarias pueden ser ambas falsas, pero entre dos proposiciones contradictorias (es decir, entre una proposición y su negación lisa y llana) alguna tiene que ser verdadera. La pared es blanca o bien no . 10 es (por ser negra, gris, verde o de cualq Lier otro' color); y Le6nidasera valiente o bien no lo era (por ser cobarde o porque su valor no alcanzase el

(

grado que la historia le atribuye) ..

3. La justificación de los principios elementales .

. Cada uno de los tres principios tradicionales tiene una . justificación extrasistemática e intuiti­va, y su uso puede advertirse en todos los razona­n1ientos, incluso en 1«,1 construcción de las tablas de verqad.

El principio de identidad es una nece.6idad de todo lenguaje: para hablar de un objeto o para des­cribir un estado de cosas es preciso suponer que ese objeto o ese estado de . cosas es idéntico a sí nlismo" &1 n1enos en el momento al que nos referimos. La pirueta de una bailarina es un acto fugaz; pero una

88

vez curnplida es posible recordarla y hablar de ella corno de una realidad fija :?or cOlnparación con la cual heITlOS de detern1inar la verdad o la falsedad de la descripción que de ella se haga. Si adoptá­~e)nos una lógica en la que (por ejernplo) el COfl­

,~( l'lto de un estado de cosas fuera tan transitorio COIno el propio estado de cosas a q tIe .se refiere, no l){)(lríarnos hablar del soniJo de t~na c~l1npana, lli ,1(~1 sabor de un sorbo de vino, ni de ]a película que vinl0s ayer: palabras, nombres y descripciones ten­drían vida tan corta que su uso resultaría inútil en la' nlayoría de los casos. Pues bien, una nluestra del uso de esta ley aparece en la lasignación de va­lores de verdad a las variables de una fónnulu. Si a una variable detern1inada C'q", por ejelnplo) he­lHosasignado el valor V para uno de los casos posi .. bIes de la tabla de verdad, dentro del tnismo caso ntribuirernos el valor V a cualquier nueva aparición de la variable HqU en la miSlna fórnlula.

La no contradicción está estrechalnente vincu­lada con la identidad: si el lengua je ha de servir para translnitir infonnaciones, no sólo se requiere . 'que -cada proposición tenga siempre el nlislT10 valor de verdad: tall1bién es preciso que ese valor sea uno solo. Para esto las tablas de verdad asignan a cada fórmula un valor (y sólo uno) para cada ca .. so posible. Supongarnos por un lTIOIllento que, frente a una f6rnlula cualquiera, respetarnos el prin­cipio de identidad ll1c<.liante la asignacibn a cada vari~hle del niÍsn10 valor para ,todas sus apariciones

en ~ada caso posible, pero que este valor es a la vez V y F. Este rechazo del principio de no con­tradicción nos llevada a consecuencias ciertalncnte molestas: nuestro cálculo lógico resbalaría sobre la ambivalencia de las variables y arribaría a todas las conclusiones, deseadas o no. Por ejenlplo, cada vez que afinnamos que este tren va a C6rdoba ase­guraríarnos, al miSD10 tiernpo, que se dirige a Men­doza, a Salta y a Río Gallegos, e incluso que se queda tranquilanlente en Buenos Aires, lnientras atraviesa el océáno para llegar a ,Tokio.

l-"a ley del tercero excluido, en cambio, no es una necesidad del lenguaje: es, en todo caso, una rnanifestación del carácter bivalente de la lógica rnás cOlnún H. En efecto, estarnos habituados a dis-

, tinguir entre proposiciones verdaderas y proposicio­nes falsas. Mientras nos atengalnos a esta distin­CiÓI~, el principio del tercero excluido formará parte de nuestros razonamientos válidos. Si, por el con­trario, supusiéranlos tres valores de verdad, una proposición podría tener cualquiera de estos tres valores y aparccerb., un principio que podría lIalnar­se "del cuarto excluido". De este modo, cualquier elección de n valores de verdad para fundar una lógica dará lugar á una ley según la cual toda pro­posición debe' tener necesariamente uno de aquellos valores, con exclusión de olro u otros (n -1- 1, por ejclnplo) que pudieran in1qginarse. Dentro de

Ji Ver capitulo IlI.

90 LÓCICA, PRO. fA

nuestra. lógica hivalente, la construcción de una ta­bla de verdad aplica el principio del tercero excluí­Jo cuando en ella 'se alternan sólo los valores V y F.

4. Pequeño digesto proposicional

Entre las infiIlitas leyes de la lÓf.,rica proposicio­nal, helnos exulninado con rnayor detenÍlniento las tres que la tradición aristotélica ha consagrado con10 elen1entales por la facilidad de su justificación in­tuitiva. Pero rnuchas otras leyes tienen uso fre­cuente en las demostraciones lógicas; por lo que conviene tener presenl e una lista de las más comu­nes:

Identidad: P ::.J P (tan~bién p == p)

No contradicción: - (p . --p)

'[erecro excluido: p v-p

1 clelnpotencia de la conjunción: (p . p) ::::;: p

ldempotencia de la disyunción: (p v p) == p

I)oble negación: - -p:::= r

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r 1 L.

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L

LEYES I.ÓCICAS y RECLhS DE lNl"DtE.NClA

Simplificación: (p . q) :J P

Adición:

P :J (p Y q)

Ley de De ?vlorgan 15:

(pI. q) == .:...( -p v -q)

Ley de De Margan lG:

(p V q) ;;: -(-p -q)

Definición del bicondicional: (p :::: q) == [( p ::> q) (q:::> p )]

Definición del condicional:

(p ::J '1) == (-p v q)

(p ::> q)' Ea - (p . -q)

Negación del condicional: - (p ::> .. q) -- (p . -q)

Transposición;

(p ::J q) ~ (-f} :J -p)

Transitividad del condicional: [(p ::> q) . (q ::> r)] ::> (p ::> r)

Asociatividad de la conjunción: fp . (q . r)] == [(p. q). r)

u Las equivalencia!! que pern1it~n trnnsfomlnr una conjunción eH disyullción y vice\ersn (por ello lIamada:s lelles de tTon .. vfornwcMn) fueron enunciadas por el ulalemAtico y lógico Ingl~s Augu~hu De Morgan (1806-1871).

92 LÓGICA, rROPO!..

Asociatividad de la disyunción: f. p v (q V r)] == ( (p v (1) v r}

Asociatividad del hiconclicional: f. P T (CJ ::-.5 r) 1 ":-: í (p =::.: q) -- r 1

ConlYlutatividad de la conjunción: (p . q) ~ (q . p)

Conmutativjdad de la disyunción. (p v q) .::::: (q V p)

Conmutatividad del bicondicional: (p E3 q) :::::: (CJ == p)

. Distlibutividad de la conjunción resp~cto de la dis­yunción:

[p .(q v r)] ES [(p. q) y (p . r)]

Distributividad de la disyunción respecto de la con-• • I

Junclon: [p v (q . r)] =:: [(p V q).(p.y r)]

A utodistributividad del condicional: [p ::l (q :J r)] == [(p ::> q) ~ (p :J r)]

Alodus ponens JI:

(p ::::> q) . p] ::::> q

10 El modus poncnf (cuyo nomhre completo en latín es modus ponendo ponens) es una ley do larga tratlidóll, estrechamente lig:\tla u la estructura de los silogisffios (;olldicionales. Etimol6gicamente, es el modo que afirma (pone) afirmando (poniendo): dado el condicional (p ::) q) I la aHnnad6n del ¡mteccdcntc P pt!rmitc af{rmar el consecuen­te q.

r ¡ L

LEYES LÓGICAS Y REGLAS DE INf1::R.ENClA

f.,f odus tollens 11:

[( P :J q) . -q] ::> -p

Silogismo disyuntivo: . [(p v q) . -p] ::> q

Adición de tautología: p IX:: [p. (q v -q)]

Adici6n de contradicción: p e: r p v (q . -q)]

In1plicación de los conjuntos: [p => (q . r)] :J (p :J q)

[p :::> (q . r)] :J (p :::>r)

! ---

Frente a este despliegue de fórmulas convendrá que no nos dejemos dOlninar por el desaliento. Si, en lugar de contemplar su conjunto con ojos lán­guidos y triste meneo de cabeza, exalninamos las leyes una por una y -en caso necesario-- las ejcln­plificamos en lenguaje natural a través de la inter­pretación de variables, advertiremos que todas ellas son de fácil comprensión. Y, una vez aprehendidas intuitivamente, las recordaremos sin mayor dificul.: tad para utilizarlas cuando nos convenga.

17 El modw tollen, (o modw tollendo tollen.s) el una tautología similar al moduJ poneru, pero 11 la inversa. T ollere, en latín, significa sacar. quitar y -en este caso- llegar. Se trata, pUe5 del modo negativo. del modo que nie~a negando: dado el condicional (p ::J q), la nc¡aci6,n de! consecuente q' lleva a negar tambiin el antecedente p.

LÓGICA, Pf\OPOSI

5. Inlcrdcfinihitidad de las conectivas

Entre las leyes ya enurneradas se distinguen al­gunas (defilliciones del condicional y del hiconoí­cional, leyes de I)e tv1organ) que perrrlÍten trans­[onnar una fónliula basada ep una conectiva en otra fÓrnl\¡}a equivalente construida en derredor de otra conectiva.. Esto sugiere que las conectivas son definibles entre sÍ) con ayuda de la negación; y, en efecto, pqr lYlcdio de aquellas leyes y de sus cODlbinacioncs es posible trazar el cuadr? de inter­definibilidad que aparece. en la página 96.

El análisis del cuadro de interdcfinibilidad per­mite fonnular algunas observaciones_ Ante todo, naturahnente, se advierte que la negación es un ins­trurnento necesario para definir las restantes canee· Uvas, pero no es el1a n1isll1a definible en ténnint}s de otras: por ser la nlás sencilla de las constantes 1, . 1 ' 'd- '} oglcas -rccon eInos su caracter nloIla' leO-- so o puede ser definida mediante la tabla de verdad correspondiente.

IIan quedado anulados los lugares. situados en la diagonal que arranca desde la esquina superior izquierda del cuadro, ya que en ellos sólo cabría la repetición lisa y llana de la fórmula a definir; pero existen además otras ausencias, todas ellas si· tuadas en las colulnnas de la disyunción exc1uyente y del bicondicional. Y esto ocurre de un modo

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L

l.LYES LÓGICAS Y nEGl..AS DE l~F1:.J'\t:::NC¡A

peculiar: cada una de estas dos conectivas puede definirse en ténninos de la otra, pero ninguna de

ellas pennite definir la conjunci6n, la disyunción incluyente ni el condicional; en tanto estas últimas definen cualquier 9tru. ¿A qué se debe esta. si­tuación? Sucede que las conectivas proposicionales tienen distintos gr~dos de conlplejicL.1d. La Hlás

sirnple es, COlTIO hernos señalado, la negación. En el grado siguiente se sitúan la conjunción. la dis­yunci6n incluyente y el condicional, que pueden definirse entre sí con ayuda de la negación y, del miSH10 lTIodo, pern1iten definir la disyunción ex­cluyente y el hicondicional. Estas Jos últirnas co­nectivas, ee canlbio, contienen relaciones comple­jas. Hecordemos que, en tanto la disyunción inclu­yente .'p v q"' indica que es verdad p o es verdad q, la excluyente "p =¡t:: qU siInboliza lo Inislno, pero con el agregado de que no son verdaderas p y lJ a la vez. Del rnismo 1l10do, el bicondicional com­prende dos condicionales cruzados entre sí, de nlO­

do que tarnbién incluye mayor inforn1ación que 1as , conectivas por medio de las cuales se lo defínc. Las conectivas nlás cornplicadas, pues, pueden ex-

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plicarse entr~ sí y talnbién a partir de las Inás 5en-

cil1as, pero nO a la .inversa.

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6. Los signos auxiliares frente a las leyes de 8sociatividad

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RecorJelnos que al establecer las reglas de fOf­

Inación u se dijo que dos fónnulas unidas por una conectiva diádica debían estar encerradas en un par de signos auxiliares. Pero, como dice el refrán, ·"hecha la ley, hecha la .trampa'·: la profusión de paréntesis, corchetes y llaves tiende' a hacerse .fa­rragosa, por ]0 que inmediatamente establecimos una convención a fin de sua vízar los efectos de aquella exigencia: cuando una expresión sinlbólica no diese lugar a alnbigüedades, onlitirÍamos los pa­réntesis.

Aquí se nos presenta una nueva perspectiva pa­ra ampliar la libertad que nos ~omamos respectd de los signos auxiliares. La conjunción es asociativa:

[p . (q . r)] :::= ( p . q). . r] De aquí resulta que, frente a tres o más fórolu]as unidas entre sí por conjunciones, el uso de parén­tesis no establece difGrencias: cualquiera que sea la fornla en que los dispongamos, el valor de verdad de la fómlula fnolecular no 'sufrirá modificación al­guna. Es lícito, pues, escribir:

p.q.r

Otro tanto puede decirse de la disyunción y del bicondicional, de nlodo que también escribiremos

lit Ver C'apituJo 1I~

LÓ(::CA, PllOPOSlc

te ,... "Nf 1 t P v q v r y p == q :.:;::: r . a tu ra In {~n .C, no puede hacerse lo ndslno con el condicional, que no e~tú sujeto a la ley de asociatividad.

7. Hcglas de infl!rcllt'Ía

Si ql1CrCH\OS trasladarnos a di:stancias cortas, sin gasto ue cOlnbllstible ni contalllinaei()n del ~llnbicn­te pero 111:'15 rápido que a pie, pOdenHJS cOlnprar una bicicleta; pero tenerla en·' nuestro poder no garantiza todavía el cumplÍlllicnto de nucstros ob­jetivos, a menos que seanlOS capaces de ~nantel~cr­nos en equilihrio sohre el sillín. Para lograr esto existcn técnicas, ciertas reglas acerca de CÓlTIO ha­cer girar el Jl1anuhrio o inclinar el cuerpo en cada circunstancia, que aprendernos tras inevitables po­lTazos y que, por úhilno, se convierten en un au­

,tornatislllo, en algo que hacenlos sin pensar. Sólo ~l, partir de este nlOHlento podenlos utilizar nuestra flamante adquisición para ir adonde queramos.

Algo :-;elnejante ocurre con las leyes lógicas.. Ellas sirven para controlar la vnl~uez <.le los razonanlien­los; pero en sí nlisJn~lS son fórnlu}as tautológicas, IHOdeJos de razollarnicnto vúlido a partir de las cuales han de inJerirse o deducirse otras fónnulas. Esta inferencia es el rnouo de (,0111pnrar una fónnu­la (:on ot ras (por cjen)plo, la forrnalización de un

razonarniento que hCIll0S escuchado o leído con una ley (ltlC a prilnera vista. p~lrecc corresponderle); es

t o

decir, un procedimiento intelectual en el que las le­yes han de usarse de cierta manera. Este 1TUlnual

para el uso de las leyes está cODlpuesto por las lIa­rnadas reglas de iHferencia. I .. as r~glas de inferen­cia son distintas de las leyes, del nlÍSHlO rnod,p que el arte de conducir una bicicleta es diferente de la bicicleta misrna. Podríalnos decir de ellas que son rnetaleyes (es decir, leyes sobre leyes) ; y, en la lnedida en que las leyes fOIman parte de cierto len­guaje fonnalizado objeto de nuestro estudio (el len­guaje objeto, el utilizado para construir f6rnlulas), las reglas de inferencia han de expresarse en otro nivel de lenguaje, desde afuera del lenguaje en que e.stán expresadas ¡las tautologías; es decir, en un lnetalenguaje, que bien puede ser -para el caso­el idioma natural en que nos expresamos habitual­mente 1".

Pues bien, ¿y cuántas reglas de inferencia exis­ten? Infinitas: hay una general, común al D1anejo de todas las leyes) y además una instrucción espe­cial para cada ley. Sin embargo, cOJno verernos,

10 En renlü.lad. la diferencia entre lenguaje objeto y metalenguaje ya ha sido ulili:wJa. nUllqut! CII forma algo subrepticia. Se ha definido la implicación como un condicional tautológico; pero cuando decimos •. 'p ::J p' es una tautología" .\Íirmnmos de "p :> p" algo que dicha fór­mula es (o muestra, comO diri.íl \Viugenstcin). pt:ro que ella no dice: acerca de sí misma. Tal nflrmación corresponde entonces al nivel me-talingüístico. .

Es mas, los propias taLlas de verdnd forman parte del metalen­guaje; no son fórmulas, sino eS(Juem.1s que permiten averiguar el ca­rácter de las fórmulas.

100 L6cICJ., PI\OPOSl

nuestro manual de instrucciones puede reducirse en la práctica a dos reglas de inferencia.

8. La regla dc~ sustitución

Suponganlos que, nI observar la ley de adición, alguien nos dijera: "Si, comprendo que p ::::> (p v q); pero esto s610 enuncia una propiedad de "pu. ~.y las otras variables? ¿Y las infinitas fórmulas de la lógica ?u. Indudablelnente, quien interpretara las leyes de un rnodo tan lim"itado no sería capaz de aplicarlas a los casos concretos: para esto último es preciso generalizar la estructura válida contenida en cada ley.

Por esto, el empleo de las leyes 16gicas -de to­das ellas- requiere tener presente la regla de sus­titución implícita en el uso :de variables: puesto que una variable puede tener¡ cualquier contenido, y puesto que cualquier proposición puede ser sim­bolizada filediante cualquier variable, una variable presente en una ley puede ser sustituida por otra, D aun por una fórmula rnolecular, sin que la estruc­tura original de la ley deje de ser tautológica. Cla­ro está que en toda sustitución debe curnplirse inexorablernente el requisito básico del lenguaje sirnb6lico: la variable debe sustituirse del lnisrnú filado en cada una de sus apariciones.

Tornemos corno ejemplo la ley de adición:

(1 ) p ::> (p v q)

La variable "p" podría sustituirse por "r":

(2) r :J (r v q)

(3) r => (r v s)

La fónnula 3, así obtenida, es también una tautolo­gía y otro modo de enunciar la ley de adición. Pe­ro no s610 se trata de sustituir va!iables por varia­bles. Examinemos esta fórmula:

( 4) (q es: ~r) :J [( q == -r) v ( p . s)] '----y---.J '-.---:.....,.. J '----.--

P P q

Las llaves horizontales lnuestran el modo en que cada vadable de (1) ha sido sustituida por una fór M

InuIa nlolecular arbitrariulnente elegida (claro es-.tá, la miSlna para las dos apariciones de "p" en (1)) y 01uestran que la estructura tautológica de (1) ha

. sido conservada, por lo que (4) resulta también una tautología. Lo. Jllistno ocurrirá con cualquier otra s~~stitución n1ás cOlnpleja que se nos venga en gana, sicrnpre (lue respeternos la estr\lctu~ básica de la fórmula original. En otras palabras, lo que en una ley se dice sobre una variable puede hacer­se extensivo á cualquier fórnlula que sustituya á di- . CM variable para todas sus apariciones dentro de la lnis11Ul estructura; es decir, siempre que no se tú­

(luen las conectivas de la fórmula original.

lO ¡

102 LOGICA, l'RU1'O~1

Existe una forma privilegiada de sustitución, lla­lnada intercG1nbio ~o. El privilegio del intercarn­bio consiste en que no es necesario sustituir la va­ri~b]e en todas sus apariciones: puede hacerse el reenlplazo en una de ellas, sin tocar las denlás. Pero para gozar de esta prerrogativa es necesario cunlpBr un requisito riguroso: una fónnula sólo puede ser intercambiada con otra fórmula equiva­lente a ella (recorJelnos que esta palabra indica eq uivalencia forrnal, bicoildicional tautoI6gico).

Así, si se nos presenta la fónnu]a

(1 ) - -p v -p

paJrcInos simplificarla de este lnodo:

(2) p v -p

ya que sabenlos, en virtud de la ley de la doble negación, que

- -p == p

Del nlislno luodo, de la f6nuula

( 1 ) (p. q) :::> [( p . qJ v. r] . l·

",

puede inferirse

( 2 ) - ( - P v -'q) :::> [( p. q) v r] " ,

20 Se sigue aquí la terminología de Quine (ver Quine, \ViII.ud Van Orman, Los métodos de la lógica. Barcelona, 1005. p. 90 )' si­:.:uientcs) .

donde hemos intercalnbiado "( p . q )'., en sü pri­rnera aparición, por su equiyalente según la ley de De !vi ofgan.

Para resurnir, pues, este telna, pueden fj jarse las siguientes reglas:

19 ) Una variable (una variable, no cualquier fórmula) puede ser sustituida por cualquier fórmu­la, siempre que la rnisma sustitución se opere en todas las aparicion'es de la lnísma variable.

29 ) Cualquier fórmula (no ya necesariamente' '.' una variable) puede ser intercambiada, en cualquie­ra de sus 'apariciones, por otra fórmula equivalente a eIJa.

Estas formas genéricas de inferencia no valen sólo para 1as tautologías: la sustitución permite tam­bién inferir una contradicción de otra contradicción, y el intercanlbio sirve, (u[Clluís, para deducir una fórrnula contingente de otra fórmula contingente.

9. La regla del "modus poneos"

lIemos dicho que cada . ley podría tener una

instrucción particular para su uso; pero, como quie­ra que las' leyes están deductivamenle relacionadas entre sí, en la práctica basta con saber utilizar el

11lodus ponens nara que, nlediante diversas combi­naciones, todas las denlás reglas de inferencia que­den a nuestro alcance.

104 L6GICA, pnop~

¿ y (lué dice la regla del 11UJdus ponens? Que de un condicional (p :J q) y de la afirrnación oe su antecedente (p) se infiere el consecuente . ( q). Este ra:Lonanlicnto se expresa Hinchas veces eneo­hlInnado y con una raya antes del resultado,· COlno

S1 flJcra una sunla:

P :J q P q

Pero -diren1os- horizontal o vertical, este te· 111:1 ya resulta repetido. ¿Acaso no hernos estudia­do el 1HOdus f10nens conlO ley? Allí se decía:

[(p => q) . p]=> q

de lo. que se desprende que si afinno "p ::> q" y tarnbién afinno "p", necesarian1en le he de aclrnitir

. la verdad de q. Ojalá fuera tan siroplc. Lewis C::arroll (1832·

1898), el aulor lle ¡\licio en el país de las 1}l{lravillas,

q lle era UI1 clni nCll te lna l crn út ieo y lógico, d(~d icó \In divertid ísítno trabajo:!1 a dcrnostrar que la ley elel 1J u)(1 11 s' ponen') no 1I0S perrllitc inferir el conse­cuente él ¡nenos que, previarnente, hayulnos acep­tado itl1nhién la regla de inferencia correspondiente expresada en lnetalenguaje. En el cuento de (:a· 1'r01l, la astuta tortuga hace ver al ernpeñoso Aquiles

!!l C~rrolJ. Lt!wis (Charles L. Dodgson). Lo '1ue ltl ttlttU}{ll le di;o (1 Aquiles, en "El juego de 1" h)~ica y olros escritos", t-.t..ulrid, 1972. p, 153 Y siguientes.

I

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I I . ! L.

I I

que una cosa es aceptar una implicación (corno la ley del 1nDdus ponens) en la que 110 se afirnla el antecedente .. (p :,:) q) . p" ni el consecuente "q", }' otra distinta es adolítir primero el condicional (p :::> q) J después su antecedente (p), y a partir

'de tales' prcluisas inferir el consecuente (q).

En efecto. la tortuga adnlite el condicional y su antecedente, pero niega el consecuente. Aquiles invoca la ley del 1nodus ponens

l y la tortuga acepta

talYlbién la ley, aunque mantiene su posición. En cada paso sucesivo, ante las protestas de Aquiles, la tortuga adlnite todas las prenlisas que su contrin­cante le propone ... sieJnpre que se expresen hipo­téticaIuente; esto es, corno partes del antecedente de una iropBcación. Esto le deja siempre la posi­bilidad de rechaz~r el, consecuente, con lo que el argun1cnto se convierte en una intenninable burla para Aquiles: en cada nl0rnento, la aceptación con­creta del consecuente depende <.le alguna prenlisa hipotética q~le la tortuga aún no ha adrnitido, y que una vez est~lblecida ser{t trunbién insuficiente. '

El truco de la tortuga es SClTlejante ··-~n otro plano- al de un abogado que reconociera la vi­gencia de todas 1as nornlas jurídicas del país~ pero se negara a cUlnplirlus. Vano sería uictar una, nue­va ley que dijera que las' nonnas vigentes deben ser cUlnplidas: aceptaría también esto y lnanten­dría su negativa. Para obtener resultado prúetico

. sería lnenester ohligarlo por la fuerza a realizar la conduct~ exigida; esto es, a poner en (/cción Jo que

lUO LÓGICA, Pnopo,'

tan f{(cilrneI1te aceptaba dcsJe el punt.o de vista intelect ua1. Pues bien; la 1lSgiea no contiene nor­rnas coactivas, sino csqueJnas válidos de ,razOna­lllÍcnto. Pero para ponf:r en acción tales esquenlas es preciso ac(~rdar que (Jk\s han de servirnos COlno

pautas para nuestros argUlTlcntos sobre la propia lógica; y este acuerdo !lO puede establecerse sino desde fucrá de las nlÍsnlas leyes flue forrnan nues­tro ohjeto de conocimiento: es decir, desde una suerte Je 1ncta-lágicll, así COlno el precepto según el cual las normas jurídicas de.ben ser cumplidas es una l1lCla-rl0r112fl, y así cornO I los comentarios con­tenidos en las solapas de una novela corresponden a un nivel de lenguaje diferente del de la propia nGveJa a (pIe se refieren. T'al es, pues, la sutil. dislinciC)Jl entre una regla de inferencia y una ley -las del 1nodus ponens- que parecen tener idén­tico contenido pero se nluevcn en d.iferentes nive­les.

VI

OPEHADOHES MODAI ... ES. ~JODALIDADES ~Lf:TICAS

1. 1\fodalidadcs

En la 16gica proposicional usalnos letras nlinús­culas (p, q, T, etc.), a las que llanlamos variables, para representar proposiciones. Estas proposicio­nes son descripciones de estados de cosas, y pue­den ser verdaderas (cuando desc.iben un estado real) o falsas (cuando afinnan un estado de cosas inexistente). Así, "pu puede representar expresio­nes conlO Htodos los hornbres son mortales", "la lu­na es una bola de queso Gruyere

J

' ú '''rni tío abuelo fue ahorcado esta nlañana". A su vez, a partir de las variables es posible silnbolizar proposiciones cOIllplejas (cuyo valor depende de lo~ valores de .

. verdad de sus cOlnponentes) por rrledio de conec­tivas u operadores lÓbricos, De .. estos operadores, uno es 1Tlonádico (la negación, que sólo se refiere a la fó'nnu]a situada inmediatamente a su dere-

108 L6cIC.~:, l'ROPOSICIÓN Y ~OnMA

cha) y los delnás son diádicos o binarios (vjnculan . dos f6rmulas, una de las cuales -se encuentra a lá iz~ quierda y otra a la derecha del operador).

Una proposición, como sabemos, puede ser ver­dádera o falsa (y, por. cierto, una y s610 una de)as dos cosas). Pero a menudo usamos expresiones cuyo significado no se agota .en la .afirmaciórt de hecho' -verdadera o falsa- . 'iue contienen.. Tomemos los siguientes ejemplos: . .

1) ccM i tío abuelo fue ahorcado esta mañana, la­ínentablemente".

2) ((Mi tío abuelo fue ahorcado esta mañana, afortunadamente".

Tanto en 1 como en 2, la verdad o la falsedad de la descripción de estado dependen de una misma, situación (a saber, que mi parie!lte haya sufrido o no esta ¡nañana la poco estimulante· anécdota que se le atribuye). Pero entr.e ambos ejemplos existe una diferencia relevante, que va· más allá de aquella des­cripción.. Esta diferencia está aquí .representada por dos adverbios, que expresan -en este caso­cierto juicio de valor act!rca de aquel hecho.

lIaciendo, pues, abs9"acci6n del estado de cosas cent~al, los mismos ejelnplos podrían simbolizarse parcialmente de esta manera:

3) c~La verdad de p es digna de ser lanlentada"

4) ceLa verdad de p es digna de ser festejada"

Cón10 po~emos obselvar, en estas estructuras ló-gicas la proposición p (que contiene dentro de sí

OPUADORES J..íODALES. MODALIDADES 'ALmCAS 109

un sujeto~ mi., tío abuelo, y un predicado, su penosa aventura matInal) constituye a su vez, toda ella,' el ' sujeto de una proposición más grande, donde el predicado es lo que se d;ice de p. Esto es lo que los lógicos llaman un predicado de segundo ni~el: el primer nivel es el de la descripción de un estado de cosas, y el segUndo aparece cuando decimos algo sobre aquella descripción.

Cuando uno de estos predicados de segundo ni­vel (o un grupo de ellos, debidamente interrelacio­nados) nos parece 'suficientemente interesante, ha­bitual y fructífero, podemos i!1ventar símbolos para r~presentarlo e investigar cuáles son las reglas que gobiernan su ,uso.

ASÍ, podríamos decidir que el carácter de p en el, ejemplo 3 será representado con una L y que el ' carácter de p en el ejemplo 4 puede simbolizarse. con' una B. Y escribir, muy sueltos de cuerpo:

5) Lp 6) Bp A partir de aUí descubriríamos, probableTll'ente,

que "B" y "L" son incompatibles entre sí) de lnodo que no sería posi.ble, afi~ar conjuntamente Bp y Lp. Y así estableceríamos las bases de una nueva lógica, a la que buscaríamos un nombre adecuado: cClógica de la aprobación", Cfl6gica de las emociones~', o algo por el estilo. .

Semejante sistema sería, una lógica modal, por­que expresaría las relaciones entre modalidades de

110 I

U)(";lCA, I'ROPOS1Cl

cierto tipo que pueden afectar a una proposici6n: las q Be hClnos silnbolizado con 441./' y ,. R". Y estos sÍrnholos serían operadores (tamhién Harnados nw­da/izacZorcs) cSl?ecíficos de nucstra lc')gica, que ven­drían a agregarSe a todos los sílllholos ya conocidos de la lógica proposicional. En el ejenlplo uL" y "Ir"" actúan COlno operadores rnonáJicos; POf<lue, igual que la negación, s610 pueden afectar a la fór­lnula que les sigue (p, o lJ, o cualquier otracombi­naCi()ll de variables proposicionales reunidas en una fónnu]u por obra de las conectivas).

Pero conviene aclarar aquí que estos operadores, a diferencia" de las conectivas de la l6gica proposi­cional, no son extensionalcs 22: es decir, el valor de verdád ue la f6rn1ula modal no es una función del valor de verdad de sus c.)mponentes. Puedo con­siderar lalllentable la lnuerte de mi tío abuelo aun cuanJo él goce de buena salud (como cuando elni­lo un juicio sobre un hecho hipotético o ir~agina­rio); y así, uLp" puede ser verdad aun cuando no . .. ". . lo sea p, y VIceversa.

Estas modalidades '\1<::: la aproLadón", que nca-" banl0S de construir, constituyen J)ruhable,ocnte un

cjelnpln trivial, sólo destinado a exponer con ll1ayor clarid~Hl en qué consiste una U'gh';l "Iliodal, cómo unce y para qué sirve. Pero ,las lógi(:as lnodales que se han desarrollado son Qtras. La más anti-

:!:! Ikcon.lénlOS que las constantes dé 1.\ Mgica proposicional se Ibman cOlleclit;t1s1 ext~llsiorwle$ (ver c;lpitulo n).

OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALF...TJc..'\:; 111

gua es la que rnaneja las modalidades "necesario", "posible" e "irnposible

n

• Otra,]a que nos ocupará específica,mente, utiliza modalidades corno ('obliga­torio") Hpermitidou o "prohibido·'.

2. La lógica modal alética

Ya Aristóteles había advertido que los enuncia ... dos de una ciencia 'no siernpre son shnplemente ver­daderos, sino que 'lnuchas veces~ se Ionnulan conlO necesariamente verdaderos o como de verdad H\e­

raluente posible. Tanto la posibilidad como la necesidad Inqdifi­

can el sentido de la sÍlnple verdad, y son por esto llanladas modalidades aléticas o moualidades de la verdad 23. Ambas están a la vez íntimamente rela­cionadas entre sí, por lo que una de ellas puede ser definida a partir de la otra.

Para mostrarlo, tonlarenlOS eOOlO término sin de ... finir (térnlino prinlilivo, o base para las demás de· finiciones) el concepto de posibilidad. A partir de esta rnodalidad y con la ayuda de la negación, den­nireIT10S las demás nl0dalidades. Conviene acla­rar aquí que, en las fónnu]as que construyamos, las n~gacion~s podrán ser internl)'s (cuando niegan la proposición) o externas (cuando niegan el opera .. dor modal).

23 Dd griego áA ~ahaJ verdad.

112

Si una proposición no es posihle, sellan1a impo­sible. Por ejcrnplo: decir que no es posible que los olrnos den peras equivale a sostener que es im­posihle que de ellos se ohtenga [al fruto. '

Si tlO es posible <j ue una proposici()n no sea ver­'dadera, dirernos que taJ proposición es necesaria. Así, si no es posible que no salga el sol H1añana, será necesario fIue salga el sol Il'arlana.

Introducirernos ahora Jos sÍtnbolos "~r' para "posible" y uN" para 44necesa,rió":!~. A continuación pueoe rnoslrarse que los operadores NI y N son in-terdefinibles: '

(t) -M-p == Np b) -:-Mp ~ N-p e) M-p == -Np ti) !v1p =: -N-p

La interdefinibilidad expresada en las fórn1ulas precedentes puede comprenderse lncjor mediante el uso de un ejemplo para cada una de ellas:

a) (4No I es posible que yo 'no sea yo" equivale ~ ... " es necesano que yo sea yo . b) "No es posible que Rodríguez dibuje un

círculo cuadrado", o, 10 que es lo lnismo, ··es impo-

24 Como sticcde con la Jógicn ploposidonal, también la ¡()tik'u modal aléticu tiene distintas notaciones.. AflU¡ seguimos a von \Vrighl y utiliz:lfemos la letra N mny\'ascula para simbolizar el moc.l&lliz:&dor "necesario". nsí COIllO la mayúscula M para el mooaliz.'\llor "pusiLlc". Pero existen otras variantes. Lukasiewicz, por ejemplo" reempbz:.. la "N" por la "L". Otros uliliL'l1l un l:uadrauu va", simbolizar 1.'1 neo

cesidad y un rOI'llbo para la posibilio;ld.

, í

\ L ~

sible que Rodríguez dibuje un círculo cuadrado", equivale a ""es necesario que Rodríguez no dibuje un círculo cuadrado".

e) "Es posible que no me aUUlcnten el sueldou

es 10 Inismo que Ilno es necesario que me aumenten el sueldo·'.

d) "'Es posible que yo estudie lógica" puede traducirse por ·"nb es necesario que yo no estudie lógica". .

Algunas leyes modales clásicas ·expresan las re­laciones que existen entre la simple verdad y las rnodalidades aléticas. Si una proposici6n es nece­S3 ría (esto es, necesarianlcnte verdadera), claro está que es verdadera, pues la necesidad es más fuerte que la simple verdad:

1) . Np ::> P

Asimismo, si una proposición es verdadera, queda claro que ella es posible, pues la posibilidad es más débil que la verdad:

2) p ::> Mp

Pero, como herrlos de recordar, una de las leyes de la lógica proposicional es la denominada "tran­sitividad del condicional", que dice que si una pro­posición inlplica materialnlente una segunda y ésta a una tercera, entonces la primera implica a la ter­cera:

[(p ::> q) . (q ::> r)] ::> (p ::> r)

I

LOGICA. I'H()J>OSli

Por aplicación de esta ley y a partir de las leyes 1 )' 2 obtendreUlos, pues, que aeplCllo que es necesa~ rio es posible:

a) Np :) Mp •

T'ratc.lnos de verlo nlCllíantc un ejelnplo. Si es nccesarialnente verdadero (lue 2 -j- 2 ;::: 4, entonces es \'cn.1flllcro q ne 2 + 2 :::;: 4. Si H2 '1- 2 == 4" es verdadero, lcndrú que ser posib1c. Y, por t"ransiti­,,¡dad, concluirc1l10s qHe si "2 .+ 2 -= 4" es necesario, "2 -1- 2 == 4" es posible.

~.L El cuadro de oposición ()c lus JJwc1 .. lidadcs nléticas

~A partir de la verdad o de. },a falsedad de una proposición 1110dal se pu~de deJ\lcir la verdad o la falsedad de otras proposiciones relacionadas con la prÍlncra. Estas relaciones entre las proposiciones tonelales suelen representarse l:nec1iante el l1an1ado ctlad:'o de opusición:

CONTRA1\lEDAD Np ... 04--------..,..~ N-p

• / VI

0~~ . G'cf/ ~ 1¡ <)f/ ~

~, t" V/...... :;::l '-o z

la :> .l-- (') -o z 11

Mp" -M"':'p SUBCONTRAI\lEDAD

r ¡ I

¡'

't...J' .. ..-_. __ ... _~_

, En este esquerna, la línea horizontal superior re­presenta la relación de contraliedad; la inferior, la subcontrariedad; las diagonales, la contradicci6n, y las verticales, la subalte'nlación.

Dos proposiciones son contrarias entre sí ("N P Y 4fN_p") cuando es posible que alnbas sear:-:. falsas pero no es posible que las dos sean ven~a~eras. Así, si es necesario que yo estudie, no puede ~er ne­cesario que no estudie, y viceversa. Pero puede re­sultar falso que sea necesario estudiar y tarnbién que sea necesario no estudiar ..

Dos proposiciones son contradictorias CfNp" y .cM_p"; "N-p" y 4IMp") cuando si una de ellas es verdadera la otra es falsa, y viceversa. De este lnodo, si es verdad que es necesario que yo estudie, es falso que sea posible que no estudie. Y si es falsa la necesidad de estudiar, entonces es verdad que es posible no estudiar.

Dos proposiciones son llamadas subcontrarias ('4tv1 pU y U?vl_p") cuando es posible que sean arn-bas verdaderas, pero no que ambas sean falsas. Puede ser verdad que sea posible estudiar y a la vez posible no estudiar; pero no ha de ocurrir que las dos posibilidades sean falsas: si no es ¡posible estudiar tendrá que ser posible no estudiar, y vice­versa. Al gunade las dos posibilidades -por lo 111enos- tiene que ser verdadera.

En la relación de subaIternación, las proposicio­nes colocadas en los vértic~s superiores se denomi-

116

nan sllbalternantes, y subalternas las ubicadas en los inferiores.

Dos proposiciones se hallan en relaci6n de sub­alternación cuando: a) de la verdad de la subalter­nante se infiere la verdad de la subalterna; b) la fal­~edad de la. subaltenla perrnite deducir la falsedad de la subaltcITlnnte; e) la falsedad de la suhalter­nante deja indefinida la verdad o falsedad de la sul)altema; . y ti) la verdad oe la subalten"ta deja indefinida la verdad o falsedad de la subalternantc. EjCIUplifiquctllOS cada ca~jo:

a) Si "es necesario fine dos más dos, sean cua­tro" es verdadero, es posible que dos rrlás dos arro­jen aquel resultauo.

b) Si la posibilidad de ql1e un n1uerto esté vivo no existe (de rnodo que s.u afirnlaci6n es falsa), con 111ayor razón será falsa la necesidad de que ello ~contczca.

e) Si la necesidad de estudiar es falsa, saberlo no indico. nada sobre ]a posibilidad de estudiar: tal "ez pueda hacerlo si (luiero y tal vez no pueda aun­<¡ue lo desee.

a) Si Hes posible que nueva" es verdadero) na­

da puede inferirse sobre ~i es necesario qne llueva; lo únicO que saben10S es que no es necesario. que

ilO llueva.

Se observnr{\ que en el diagran1a las relaciones de confrariedad, contradicción y subcontrariedad estún representadas n1ediante flechas de dos pun-

tas, lnientras que las flechas representativas de la sllbalternación s610 indican hacia abajo. Esto sir­ve para recordar que las tres prirneras relaciones son sinwtricas: "Np" es contraria de "N-p" y "N-p" es contraria de HNp"; HNp" es contradict~ria de

. H1-.1_p" Y viceversa, etcétera. La subaltemación, en canlbio, no es simétrica: no es lo mismo ser subal .. tenlante que subalterna, ya que lo que puede de­ducirse en un sentido de 'la flecha no puede infe­rirse ta¡nbién en el opuesto.

VII

~10D:\LIDADES DEÓNTICAS

l. Operadores

¡ I • i

r \\ q

Quienes se encuentran de alguna rnanera vincu­lados al lenguaje del 'derecho, de la moral o, en ge­neral, al lengu'nje .de las Ilorrnas) lnanejan cie~tas nociones COJl10 las de obligaci6n. permisi?n y prohi­bición. Estas nociones tienen, curiosamente, \Jn cornportamiento fom1al análogo al de 105 conceptos

aléticos. ' Así corno podclnos afirmar que:

J) uno es posible"' equivale a Hes imposibleu

, y 2) -(no es posible que no" equivale a .~ ~s nece-

sario", puede afirrnarse tarnbién que .

1') Clno está permitido-' equivale a "·está prohi­

bido", y-2') ··no está pernlitido que no" equivale a "es

obligatorio" •

12Ó I

LOCICA, ['HOPO:

Si utilizarnos el operador 411" para s~nlbolizar la pennisión podernos, ptF~S, establecer la siguiente analogía:

rv1 (posible),. -~1 ( itnposible) -1\'1- (necesario)

P ( pcrrni tido) -p ( prohibido) -' p- (obligatorio)

El descubrimiento de estas sernejanzas pennitió a yon \Vright el estudio lógico':' form~1 de los -con­ceptos norrnalivos, paralelo al d~ los conceptos alé­ticos: surgió así la 16gica deóntica 2~, que incorporó al análisis de las normas los conocimientos obteni­dos y parte de los rnétodos utilizados por la lógica de las rnodalidades aléticas.

Sin elnbargo, el cornportaluiento de los opera­dores de6nticos no es idéntico al de los correspon­clientes aléticos. Los operadores u~r' y uN" nOs servían para calificar proposiciones que describían estados de cosas. Vale la pena preguntarse qué ca­Ji fic~\n los <)peradores deón ticos: cuflles son las '\~o­

sas" de las Cj\le decirnos (jlIe ~on obligatorias, per-1l1itidas o prohibiJas. lIay una respuesta plausible: son las conductas. De ellas preJicarnos la obliga­turiedad, la pennisión o la prohibición.

Así, a diferencia de los operadores aléticos que afectan a descripciones de estados de cosas en gene-

2~ La expresiún "dt'óntica" flle ton;ada pm von \ \'dgJ&t del ~ricgo bÉo\', -O'V'tO'; (el Jeher).

r . !

L_ 1

r I I

ral, los operadores deónticos son menos ambiciosos: sólo afectan a descripciones de ciertos estados de cosas: las conductas o acciones.

1 1 f ' 1 I "1) "1 ,,, " ..Juego, en a onnu a vaCla ... , e vaclo .. , habrá de llenarse con el nombre o la descripción de una acción ~4l.

Supongamos ahora. que "p" designa una acción cualquiera, tal corno usar sOlTlbrero. La lectura de

nuestras fónnulas sería, entonces, la siguiente:

"Ppu equivale a: 1 ) HPennitido usar sornbrero" u_pp'. eq ni vale a: 2) HProhibido usar sorn brero"

u_P_p" equiyale ·a: J) "Obligatorio usar sOInbrero"

Las expresiones 1, 2 Y 3 podrían considerarse sinlplclnente Honnas: unn nornla que pernlÍte, una que prohíbe y una tercera (pIe declara obligatoria la acción de usar sornbrero.

Si así fuera, nuestro intento de fornlulizar un c~l1culo lógico <.le l~s expresiones deónticas elllpeza­ría por una Jifjcultad. Este cálculo lógico nos in­

duce a asignar valores de verdad a nuestros enun-

:!(i Si bien es ésta la manera más sencilla e intuitiva de leer fórmulas tales (·omO "Pl)", no es la 'lmica propuesta. Otra I~ctur., posible es L\ r¡lIe illll.'flH"ela'·p·· como la uescripción de un c!)t;.Hlu

de cosas cunlqu!cm: podri:& ucdrsf.' 1.uc cuando un acto ('sta permi­tido, lo que en JdillirivR se ¡}{'rmite es el estado de cosas que re­sulta tras el aclll~H Ud a~cntc, nsí .. {lcnnIHllo ccrrar la puerta" (1'1» podría leerse cuma "permitido que In· put:rla esté cerrada" donde h, puerta (:cHada St!ni, el est.H.lo de CO~lS tjue rcsulhlrla tras la Olcciüu de cerrar la puerta.

122 LÓCICA, PROrOSK

ciados; )' ya sabemos que las normas, las ~irectivas) las prescripciones, carecen de tales valores.

El escollo' es salvable; bastará l:ue leamos las fórmulas de otra nlunera:

"Pp" equivdle a "existe una nOTIlla que pernlite 1 ..

usar son1 )rero .

H_pp" equivale a 'Cexiste una nonna que prohíbe b " usar SOlTl rero .

H_p_p" equivale a ·"existe una nonna que .obliga a. usar sOlnbrero

u• -

Con10 la existencia de Ulla nonna es un hecho, la proposicUUl que 10 afin11c será una proposición descripti:,a, con su correspondiente valor de' verdad. U_llp,J será una proposicic)n verdaderr. ·si existe una

nortna que prohíba ]a acción de usar sombrero, y será falsa si tal norma no existe.

Esta lectura de nuestras fórinulas de6nticas per­tnite analizarlas como proposiciones acerca de ]a existencia de nonnas; tales enunciados se han 11a­Inado pro1J()siciones norr1lalivas, susceptibles de ser verdaderas o falsas, por oposición a las norrnas, en las que el uso puramente prescriptivo del lenguaje

inlpide asignar tales valores.

l-Iasta ahora, nos hernos lllanejado con un solo operador: upu. Sin embargo, habíamos hablado de

tres conceptos de6nticos: pennitido, prohibido y obligatorio. Es hora de introducir'l?ues, los dos operadores faltantes:

MOOALIDADES DEÓNTlCAS

UsarelUOS "Qu para referimos a la obligación y c4Ph" para referirn~s a la prohibición:n:

#·Op" será entonces leído, por ejemplo,. como "existe ul~a norma que declara la obligatoriedad de usar son1brero" o, más escuetamente, ,ces oblige torio usar sombrero".

ICph p" se leerá, a su vez) como "existe una nor­rna que prohíbe usar sOlnbrero" o 4'está prohibido

b t' usar som rero .

2. lulerdefinibiJidad

Estan10S ya en condiciones de establecer las si­guientes equivalencias 28.

Pp == ----O-p ;:s -Ph p. ...... Pp e= O-p ~ Ph P

p-p.::= -Op == --Ph-p --P-p === Op ES . Ph-p

!!1 En la nota<:Íón de lit 16gica deóntica I.JJI,t,ión sl'guillloS n von 'Vright: los opc.·r.\dvres "llt'rmHido" y "ObJigHloriu" Sto sÍJnLolizau nlcaiahtc la letra con que ~mpjt:z.'l su nornhre ("P". "0"); y dope­raJor "prohibido" con mm comhillación de do.s ktras C·Ph"). p.lr:¡ '1",. no se confunda con ",wrmiti(hJ" ("P"). Algunos ilUtOfc'S n'r)f~;)(,lltau "prohibido" con \Ina V m:\yllst'Uhl, tom:lll.l del nlemán "yerboten" «'u c:sparlol, "veaíldo··).

28 En materb de inlenll.'finibilidad de operadores el propio \"on \Vright ha o!'cilóldo a Ir:1"és de SIIS c.listi¡ltas obras. En :IJ~unt)~ (liSOS considera u los tres 0lwr:a!ofes C0ll10 inh'rdelinibles; ('JI otros sólo interdefine "0·' con "Ph··. sin hólccr lo mismo con "p". En este plinto hemos elegido el sí..¡h'ma que illtcrddine los tres opera Llores. por considerarlo más ¡JlI uitivo y por 10 tanto más comprensible en el dvel introductorio.

124

Los operadores HQ" y 4cph" pu,;den ser definidos rnediante el operador Hpt. y .la negación H_", o,' 10 que es lo rnisrno) los conceptos de obligatoriedad y de prohibic:¡{,n pueden definirse en térrninos de per ... nli~ión con la ayuJa de la negación. Si es obliga­torio usar sOH1brero, será cierto que no está penni­tido no usarlo; y si usar sOlnbrcro está prohibi~o, usarlo no ~stá pennitído.

f t L.

I l

f _ ~

VIII

LEYES DEúNTICAS

1. Importernos tautologías

Así cenlO existen leyes autologías) en 'el C31n .. ·

po de la l6gica. proposici na1, de la misma rnanera pueden establecerse tautologías de6nticas en el do­n1inio del~ normativo.

Cabe advertir, an'te todo, que la 'lógica deóntica

no reelnplaza a la proposicional, sino que la incluye. Por esto todas las tautologías proposicionales cons­tituyen úllnbién tautologías deónticas, nlediante el solo requisito de sustituir las variables que en ellas aparecen ("p", u q", etc.) por f6nnuJas bien for­nladas del lenguaje norolativo CCPp", "Oq", etcé .. tera). La ley del tercero excluido, por ejemplo, dice que o bien es verdadera una proposición, o bien es verdadera su negación (llueve o no llueye). Co­n10 se recordará, ella puede simbolizarse así: p V -p. Si sustituimos "p" por ".pp", 'obtenetuOs una fornlu-

126 LÓCICA, PROrOSl(

ladón dcóntica 'del nlÍsnlo principio: Pp v _Pp 2". La nueva fónnula señala que una acción está per­nlÍtida, o bien no lo está: o se puede estacionar en las a venidas O nó se puede, pero nO existe una ter­cera alternativa .. 'También puede elegirse algún otro operador: p~ p v -ph 11 (nlatar está prohibido o nO 10 está).

El del tercero exclUido 'es sólo un caso: la susti­tución puede hacerse en todas las leyes de la lógica proposicional, y en cada caso la variable puede re­ernplazarse por una f6nnula de6ntica shnple (Pp, Op) O compleja, como (()p. Pe¡):J, (Pr v Oq).

SCgtlll puede observarse el lnétodo' para ('im_ portar" táutologías proposicionales a la lógica de6n­tica' no es otro que nuestra vieja conocida, la regla de sustituci6n 30. lIemos de recordar, empero, que la regla de sustitución contiene uu caso especial pri. vilegiado: el intercalnbio. Estp ocurre también -en él paso de la l6gica proposicional a la deóntica: cualq\lier cornponente proposicional de una fórmula deóntica puede intercalnbiarse por un eqtúvalen!e, sin alterar el valor de la fónnu]a inicial. Así, ((OpU equivale a 410 - -p'., ya que &Cpu equivale a u_ -::p" por la ley de la doble negación.

Ahora bien, existe asimisniO un repertorio de tautologías que s6lo pertenecen a la lógica de6ntica

29 Conviene recalcar aquí que, al ~ustituir "p" por ''Pp'', de ""-p" se obtiene d_pp", y de ninguna manera "P-p": la negación debe ocupar el rnisUlu Jugar que tenía en la fórmula originaria.

30 Ver capitulo V. ,

{L I

y que no son, por así decirlo, inlportadas de la 16-gica proposicional. A ellas dedicaremos ahora nuestra atención, ya que las anteriores se presumen suficienten1ente conocida"s.

2. El cuadro de oposici6n de6ntico

Al estudiar las lnodalidades aléticas helnos ex a­rninado alguna~ relaciones existentes entre ellas, y estableciInos el cuadro de oposición qu~ las repre­sentaba. La lógica TlOrnlativa tanlbién cuenta con

un cuaJro sinli1ar, en el que se indican gráficamente· algunas de las relaciones entre modalizadores deón­ticos.

CONTflAnIED:\O Op ........ --------------... Ph p

Pp ...... -------_· ..... • P-p sunCONrnAnlEDAO .

La línea horizontal superior representa la ley de contrariedad, que vincula como contrarios a "Op" y a 44Ph p"; la horizontal inferior siInboJiza la ley de subcontrariedad ("Pp" y "P-p" son sub-

[?CJ

telna; pero es posible formular una justificación ra­cional y hasta intuitiva de tal principio.

En' efecto, lo que esta ley "sostiene es que no todo puede estar prohibido. Alguna vez se ha vis .. to en esta expresión el requisito" de un mínimo de libertad (esto es, de existencia de actos facultativos dentro del sistelna); pero tal cosa no es, en rigor, estrictanlente necesaria: nuestro sistema detSntico nos permitirá simbolizar, del misrno modo, un or­den normativo en que la libertad brille por su au­sencia.

Supongulnos que me prohíben usar sombrero: si el orden conserva un mínimo de racionalidad, me. estará perrnitido andar descubierto>, Y si me pro­híben no usar sOJnbrero (es decir,' lne obligan a usarlo), tendrán que 'perrnitirme que "lo use. Na­turalmente, taInDién' puede ser que un "legislador rnenos proclive a fastidiar· a sus semejantes nle per­lnita tanto" usar sombrero COlno no usarlo (con 10 que el acto deviene libre o, para decirlo con mayor propiedad, facultativo). Pero, aunque el legislador· no desee dejarrne l margen algu~o de libertad, al ·ITIe ..

nos deberá permitinne que ctuupla con rnis obliga­ciones y perniitirn1e que no realice las conductas prohibidas. Esto es, si pretende que las nonnas nlotiven nli conducta '0 sirvan al Illenos para dis­tinguir rnis acciones lícitas de nlis acciones ilícitas. Tal es, precisamente, el sentido de la ley de suh­contrariedad: dada una acción determinada (p), o bien está pennitido cumplirla (Pp) O bien está per-

130

lnitido olllitirla (P-p). Sin excluir, por supuesto, la posibilidad de q uc tanto la acción conlO su onli­si<'>n estén igualn1ente perndtic.las .

. f. Contrarieuad

TencnlOS, pues, nuestro axi<Hna:

1 ) Pp v P-p

COIDO saben10s, la disyunción es cOlllnutativa: 1:1 ley de conInutatividad de la 1ógica proposicional pCfInite variar el orden de los disyuntos sin modifi­car el va10r de la disyuncibn: (p v q) =: (q V p). Esto nos 11eva a:

2) P-p v Pp

La ley de De Morgan pen11ite convertir una di~ ... 'yunción en conjunción mediante el uso de neg;cio­

nes: (p v q) == - (-p . -q). Por este q1edio oh­tencUlOS:

3) -( -P-p . -Pp)

Pero, por interdcfiníbilidad de operadores deón­

ticos, -P-p ;:=.: Op, y -Pp ===: Ph p. Así:

4) -( Gp . f>h p.)

fIemos obtenido -como teorClna- la ley de contrariedad deóntic3, que afinl1a que un mismo a'cto no puede ser a la, vez obligatorio }' prohibido.

, -- l

5. Suhn1tern~ción

Volvarnos ahora a nuestro uxionla:

1 ) Pp v P-p

Como en el caso anterior, conmutamos:

2) P-p v Pp

Ahora bien) la ley de definición del condicional indica que la disyunción equivale al condicional con el antecedente negado: (p v q) ES (-p => q). Así:

l·

3) -P-p.~ Pp

Finahnente, por interdcfinibilidad de operado­res, obtenemos:

4) Op ::> Pp'

que es una de las leyes de subalternación de6ntica: lo que es obligatorio está permitido (por ejemp10, si me obligan a pagar las deudas, Ine estará permi-tido pagarlas). .

De modo parecido. puede deIn0strarse como teo­reIna la otra ley (le subalternaci6n:

1) Pp v P-p

Sin usar la conmutación, transformarnos la fór­mula en un condicional:

2) -Pp ::> P~p

132 I

LOCICA, I'R')POS.

y por interc1efinibilidad, I1egamos a:

.'3) Ph P ::) P-p

que indica que si algo t!;cá prohibido, entonces es­tú. perrnitido 3ornitirlo (por ejenlplo, si fuular está prohibido, no fumar está pero1itioo).

fr. Contradicci6n

Veanl0S ahora las leyes que nos faltan para com­pletar el cuadro de oposición. t Por interdefinibili ... dad de operadores sabemos que:

1 ) Op ss: -P--p

y también recordamos que una tautología proposi­ci6~1al (la definición del bicondieional) indica que (p E: q) ::) (p ::) q). De este Inodo,

2) Op ::) -P-p

Pero otra ley proposicional (la definici6n del con­llicional) rnuestra que un condicional puede transfor­lTlarSC en conjunción: (p ::> 1) == -(p. -q). De

, . aqul se slgue:

3) -(Op . - - P-p)

La doble negaci6n se suprirne. Por lo tanto,

4) -(Op . P-p)

que es una de las leyes de contradicción de6ntica. Del mismo modo puede demostrarse la otra ley de contradicci6n:

LEYES DEÓNTlCAS

1) Ph P e;; -Pp por interdefinibilidad de ope .. radores

2) Ph P :J -Pp por definición del bicondicio­nal

3) -(Ph p. - -Pp) por definición dt!l condi-cional .

4) -(Ph P . ~p) por doble negación,

con lo que hemos obtenido .la ley que buscábalnos .. ··

Las leyes de contradicción, pues, enuncian qp.e una acción no puede ser obligatoria cuando se per~. nlite su ornisión, y que tampoco puede estar a la . vez prohibida y perrnitida: si es obligatorio pagar las deudas, no puede estar permitido no pagarlas; y si está prohibido f unJar no puede estar a la vez pero-&i tido hacerlo.

La formulación de las leyes de contradicción:

-(Op . P-p) -(Ph p . Pp)

se parece lnucho a 'la de la ley de contrariedad:

-(Op . Ph p)

Esto puede suscitar alguna perplejidad, ya que la contrariedad y la contradicción se diferencian pre-. cisarnente en un punto que no aparece en esas f6r­.nulas: dos proposiciones contrarias pueden ser am­bas falsas, en tanto de dos contradictorias una y sólo una ha de ser verdadera. Pero es preci!;o aplicar aquí lo que dijiInos en el capítulo V al tratar sobr(l.

134 LÓGICA, f'I\~)l?OSI.

la eontra(liccÍón. Una forrnulación cOlJlpleta de la relación de contradicción:

Op ~ P-p Ph p ~ Pp

incluiría tarnlJién la versión dcónUca Je la ley pro­posicional del tercero excluido:

Op v P-p . Ph P v Pp

con lo que fonnnlarLllnos (los leyes cOII)binaJas en lugar de una.

7. El opcr~u.lor uF"

Conviene aquí rctOJnar una idea que henlos mena donado nI justificar extrasistclTi4tk'alnente la ley de sl1bcontrariedad: la de los actos facl1ltativos.

Cuando en el lenguaje corriente hablamos de una cOllducta pernlitidll, danios a esta palabra un significado ln{ls fuerte que el que le atribuye el lenguaje de la I()gica deúntica: generalrnente que­ren10S dec:ir que está pernlitído tanto clllnplir la ac­ción C01no oInitirla. En el uso cOJ)lún (y aun en el de los abogados), Hpern1itiJo contraer ITlatrinl0· nio" significa que uno pllede casarse si lo desea, pero que también -si tal es su decisión- le esbl pennitido observar una conducta rnás prudente. En nuestro sisten1a, las acciones que es+án "perrnitidas

lJ

r , !

r . i

LEYES DEON11CAS

en ese sentido' bidireccional de la pennísión se Ila­lnarán facultativas. Pero hay que aclarar que, cuando decirnos de una acción que está perrnitida (Pp) 7 sólo queremos afinnar que está permitido CU1U­

,,/irla) sin abrir juicio sobre su ornisi6n: si la oIni­sión está tarnbién pennitida, la conducta será facul­tativa: si la olnbión está prohibida, la acción resul­t.ará, en definitiva, obli gatoria.

Estas precisiones nos pernliten introduc.r el ope­rador '''F'', que (lIgunos autores utilizan para las ac- . ciones f acultat ¡vas. Su definición puede sÍJnholi-

, zarse aSl:

Fp ~= (Pp. P-p)

Es decir que una acción es facultativa si (y sólo si) está pemlitido cUInplirla y tarnbién está pcnnitido olnitirla.

De los cuatro operadores deónticos que hernos estudiado

J éste es el único cuya interdefinibilidad

es c0I11pleja: puede definirse en términos de per-;­nlisión (conlo lo hernos hecho); pero para eso no puede usarse una fórn1ula sill1ple (atórnica), sino una conjunción de dos fórrnulas (fórmula conlpues­

ta o 1noleculal'). 1'anlbién podríaIT10S definir el operador "F" en ténninos de obligaci6n:

.Fp === (-Op . -O-p)

O bien en ténninos de prohibición:

Fp ss (-Ph P . -Ph-p)

· L(:CICA. ¡'HOPO

Pero lJinguno de los restantes o~)eradores puede definirse por F sin el auxilio de illbún otro. Esto ocurre porque 4lFp" dice algo de p y algo de -p, en condiciones tales que el carácter deóntico de la :tcción no se rlec1uce lógicarne~te del de la otnisión ni vjceversa, (al contrario de lo que ocurría, po:' ejclnplo, con "Op", donde la prol1ibicL)1l de -p s ~ (lcduce lle la obligatorieJad de p).

R. Calificnción uormntivn dt! las contludns complejas

.I Icn\os analizado hasta ahora fórn1ulas Jeónti-1 "f) ., 440 "·f PI JI" 1 cas la es COJno p. -q, - 1 P , 'etc., en as

qlle In arect~l(l() por el operado)' es la descripción de tina conducta, simbolizada nH.:diante una fórrnula atón1ica n, a lo SUI110, lnediante la negación de una f t')rnl ula a tó¡nica.

f:n el lenguaje J)ornlativo, no ohstante, la per­rnisióTl, 1a obligación y la prohibición pueden cali­ficar conductas eoniplejas: por cjenlplo) es obliga­torio curnplir los contratos o indcllYnizar los datl03 provoc:tdos por el inculnplilniellto; est{l prohibido tener hijos y no <~lilnentnrlos; nos está permitido se­guir o no seguir una carrera universitaria.

Nuéstras fónnulas de()nticas dcberiln dar cuen­ta de tales situaciones, no reflejadas en hl) fórnlulas con las c¡ uc, hasta ahora. nos h\~nlos lnanejado.

Convcndren1os en que expresiones tales COlllU

"P( P V c¡)" (cst~ es: está penllitida la conducta p o la cOlld ueta y); "-O (p ::-.J q) (no es obligatorio

LEYES DEÓNTICAS

que si se realiza la conducta p Sf! j"~alice la conducta q); HPh (-p . q) n (está prohibidu orr,itir p y rea­lizar q)) etc., serán talnbién lónnulas bien fonna-das de la lógica dcóllticr\. ,

Por cierto que las leyes deónticas enu~nerada~ en Jos apartac1o~ ánleriorts talnbién serán válidas para las nuevas fónnulas introducidas.

ELprineipiü_de--sl1hcontraric-dad-(-Pp-v-P--p-) podrá talnbién cllunciarst. -por ejemplo- conlO:

P(p . Jj) v }'-(p . q)

El de suhalternaciún (()p :::> Pp). conlO:

O(p . ,]) :::> P(p : (])

El de contrndicción, - (()p . P-p), eonlO:

-[O(p . (1) . P~(p . (1)]

Aden1ás, existen ciertls tautologías específicas ele las fórrnulas que contiel'tll descripciones Inole­euJares de conclucbls.

Con10 saheJnos ya qlle las fórmulas nl0dales no son extensionalcs, obscrvarelnos que la verdad de la afinnación de qne una conducta está pern1itida, es obligatoria o está probibida no depende en absolu­to de la realización u 0111Ísión de la conducta así calificada. Las fónnulas deónticas no se refieren al real cornportamienio, sino j la calificación' norma­tiva de las conductas, con independencia de que en los hechos éstas se realicen o no. Así,]a verdad de la afinnación "P(p y q r" HU depcnd~ de ]a ve','­dad de "p y q"; conlO VerelTIOS rnás tarde, la exis-

J18 ,

LOr.ICA, J'HOPOSICJ\)f'i l , • .., ...... ~

tencia de ciertas norrnas no pennite inferir lógica­Jncnte nada acerca del con1portarlliento real de los individuos a quienes tales Honnas están dirigidas.

()tras son las j n[ereJ'~das que la lógica de6ntica nos pcrrnitc. De la verdad de la afinnación de que una detenninada conducta está permitida (o es obli­gatoria, o ha sido prohib.ida), puede deoucirsc: al rnellOS en ciertos casos que olra. u otrns conductas han sido permitidas (ti obligadas o prohibidas). El hecho (le que la caH [icación deónticu de ciertas conductas ucpcnda. 16gjcanlente oc la calificacit)n dc{)ntic¡} de otras nos pennitirá estable,cer inferen­cias, que serán tautologl:.ls Jel sistelna. A cI1us hc-1110S de referirnos.

9. Principio de c1isldbuci6n (}(' 1:\ ilcrmisión

Decir que estú pennitido un ncto detenninado u otro es 10 IllisnlO (lue afinnar que está pennitido uno o estft pennitido el otro. I Si está pennitido to­)l};lr caf{~ o té, puedo inferir que estú permitido 10-lnaf café o está penl1H~~to tomar té, y viceversa.

La pennisión de una disyunción eJe conductas es equivalente a ]a disyunción de la pcrnlisión de ca­da una de ellas. Es, pues, válida la siguiente equi­valencia:

P(p v q) :-= (Pp V Pq)

LlarnareInos a esta fórnlula 1Jrincipio de dislri .. bJl(:i(5n de in pennisiórz; será aXiOnl3. de nuestro sis ..

LEYES DE6NTlCAS

tema y puede ser enunciada de la siguiente mane­ra: la disyunción ¡de dos actos está pennitida si y sólo si por lo menos uno de los actos en disyunción es per1nilido.

10. Teorclua de dislribución de la obligaci6n

Afirrnar que es obligatorio pagar el alquiler y restituir el inn1ueble en ténnino equivale a afir­mar que hay ohligación de pagar el alquiler y hay obligación de, restituir el innlueble en ténnino. Puede fornlularse corno:

O(p . q) ~ (Op . Oq)

Esta ley ya no es un axioma sino un teorema de nuestro cálculo, porque' puede deducirse de princi­pios ya introduciuos. Para hacerlo, partiremos de la siguiente equivalencia:

1 ) O ( P . q) == - p- ( p . q)

La validez de esta fórmula surge de la interdefini­bilidad de operadores. Por la ley de De Morgan, aplicada al segundo término de la equivalencia en virtud de la regla de intercanlbio, obtenemos:

2) Ü(p. q) == -P{ -p v -q)

Aplicando al segundo térrnino de la equivalencia e1 principio de distribución de la permisión, obtene.,. n105:

3) O(p. q) == -(P-p v P-q)

14U L' " . : l. . .. • ! li· .. " .. n

U saren10S nUeValTICntt! la ley Je J)e M organ, sienl­pre en el segundo térnlino de la equivalencia, para llegar a:

4) ü(p. q) =.: (-P-p . -P-q)

Ahora hiel~; por intcn.1cfinibilidad de operadores, H_p __ " equivale a "O", tIe donde resulta que:

5) ()(p . q) ~!: (Op . Oq)

Queda, pues, de01ostrac1o el car,ll'ter fil\lh~tl)gír..YJ de la ley introu \.leida, que podernos enunciar de ]a si­guiente n1anera: la conjuncivll de dos actos es obli­gatoria si !J sólo 051 cadl' UfU) de ellos es obligatorio.

1.1. Teorema' de la oblignción alternativa

Si es obligatorio realizar un acto o es ohligatorio realizar otro, entonces será obligatorio realizar el lH10 o el otro. La inversa, en c::ur'lhio, no es válida. Si existe la obligaci6n di! usar guardapolvo o la obligación de usar unifonne, poclclnos inferir. la obligación de usar uniforrne ci guardapolvo; en canl­bio, si recibirnos una lnercu<]ería n prueba tendre-

1l10S obligación de pagarla n devolverla (conaD al­ternativa), pero no existen ni la obligación de pa­gnr ni la de devolver la 1 fH.:!rc3tl ería, cada una en fonll~l in(lepenJiente )' cspc.cífica~ L~l ley pueJ(: fonnularsc corno:

(()p v Oq) :J O(p vq) t'

I l j

14J.

Para probar su validez, partire~10s de la ley de adición de contradicción: p ES! [p V (q . -q)]. En virtud de esta ley y por sustitución de6ntica, resulta váHdo afim-)ar que:

1) Op;:O[pv(q. -q)]

Distribuiremos la disyunción que aparece en el se­gundo térrnino de la equivalencia, para obtener:

2) Op == O [ (p y q) . (p v -q)]

Por distribución del operador "O'·, llegamos a:

3) Op s; [O(p y q) .O(p v -q)]

De donde, a través de la ley proposicional (~e in1 .. p1icaci6n de los Cúnjuntos: [p ::> (q . r)] ::> (p ~ q), obtenemos:

4) Op :J Ü(p v q)

Podemos seguir los n)iSlnOS pasos, reemplazando en tvdas las fórmulas utilizadas 4Cp~' por "q'. y "qU por "pu, de la siguiente lnanera:

1') Oq ::- O[q V (p . -p)]

2·) Oq a; O[(q v p) . (q v -p)]

3') Oq == [O (q y' p) . O (q V -p)]

5) OC} ::> O (q v p)

De 4 y 5 obtenemos:

6) (Op v Oq) ::> O (p v q)

112 LÓ/~lCA, HlOPOSICIÓN y NORMA

Esta era la ley introducida, que podríamos enun­ciar de la siguiente manera: si 'es ohligatoria la rea­lización de un acto o es obligatoria la realizacióH de otro, enlqnces es obligatorio realizar el uno o el otro.

12. Teorema de In pcrrnisión conjunta

Si está pennitido rea~izar dos actos conjunta­rncnte, cada uno de ellos estará tan1bién perln.iti­do. Si se Tne pennite asistir a clase y presentarnle a exalncn, ~)ucJo inferir que tanto el asi;tir a cl~s.e C()lno el presentarme a exan1en n1e estan pernlltl­dos. Sin enlbargo, no resulta a la, inversa: puede darse el caso de, actos individuahnente perr'nitidos cuy:\ renlización 'conjunta esté veJada. Por ejein­plo, asistir a clase está perrnilido y también lo cstú jugar al truco; pero la conjunción de ambas accio­nes no está pennitida.

En otras palabras, HPp. Pq" no es equivalente a Hp (p . q)":' si bien no es inferencia vá.lida que (Pp . Pq) ::) P (p . q), sí es v,Hido, en c~l111bio, que P(p . q) ::> (Pp. Pq).

Para delnostrarló, partirernos de la ley ante­rior (obligación alternativa), sustituyendo las va­riables por sus negaciones. Esto nO altera el valor de la tautología, puesto que si la ley vale para las acciones valdrá talnbién para las omisiones. Así 1legamos a:

1) (O-pvO~q)::)O(-pv-q)

, LEYES DEON11CAS

Reemplazando el operador uO" por su equivalente en

ténninos de pern1isión, tendremos:

2) .(-Pp v -Pq)·:; -P-(-p v -q)

ApliqueJTIos ahora la ley de De ?\'Iorgan en €l an ... tecedente:

3) -(Pp. Pq}::J -P-(-p v -q)

y Juego al consecuente:

4) -(Pp. Pq) :J -P(p . q)

Por transposición) obtendren1os:

5) P ( P . .C)) :J (Pp . P q )

IIernos llegado así a la ley que. queríarnos demos­trar. Podemos enunciarla como: si la conjunción de dos actos está permitida, cada u~ de ellos tam­bién estará pennitido 3:1.

13. Teorema de la pennisióil mínirna

Si existe la obligación de realizar una u otra conducta, no puede darse el caso de que ambas conductas estén prohibidas. Si tengo la obligación de cun1plir el contrato o indemnizar, no pueden prohibírselne, sirnultáneamente, el cumplirniento y

33 Los autores agradecen al esludiante Juan José Úlgorio la de­rr.ostraciún que nqui se incluye, más breve y sencIJI'l que Ll original.

14·1

la indemnización. Podclnos f()fJnuh~r esta ley de la siguiente lnanera:

- r () (p v q) . (--Pp. -P q ) ]

Para dernosfrarlú, partirernos del principio de sub­altcrn:H.:i{)n, en !a :lÍguiflltc f()nl·l\lla\.~i{)n:

1 ) () (p v q.J :) }1 (p y '1)

Por el principio ele distribución de la pennisión, a plicado al COll!;ec:uente, oh tenernos:

2) O(p v q) ~ (Pp v Pq)

Por definición del condicional, podemos transfor­marlo en ]a siguiente conjunción:

a ) --r () (p v q") . . _. ( p p v P (1 ) ]

Apliquernos la ley de ])c l\·f org:1tl ~l segundo con­junto:

4) --(()(p \' q) . (_.pp . -P(l)]

Esta es la le)' qUe qUérlalnOS di?1l10strar, y puede ser eOllndatla c(})no: es [t)giCQlncnte inndlnisi}Jle es­

tar obligado a elegir entre c/os alternativas lJrvhi­hidas.

~

~

J ~

~

J IX

CONDICIONES· EXlllASISTEMÁTICAS DE LA LÓGICA D·EONTICA

1. Concepto

. .-

La lógica de6ntica, como la proposicional. como la geolnctrÍa (]a de Euclides u otra)) puede pre­sentarse corno un sistema deductivo forInal, que parte de ciertos enunciados tomados COlno axiomas y de ellos infiere otros enunciados, a Jos que suele

. darse el nOlnbre d.é teorenlas. Existen algunas cualidades que usuahnente se consideran deseables en un· ~istenla de esta naturaleza: por ejemplo, que sea coherente· o consistente (que no contenga con­tradicciones); que·. sea deductivamente completo. (que todos los enunciados que lo componen sean, . ellos o sus negaciones, demostrables dentro del sis­tenla); que sus axiOlnas sean independientes (que nO puedan denlostrarse unos a partir de los otros). Pero todas éstas son propiedades intrasistematicas, que se refieren a la ~structura interna del sistelua.

146

hllaginernos por un mOlnenlo que cslanlOS fren­te á un aparato desconocido, H·hH~ienh: y red(~n aceitado: tiene engranajes y poleas que ~ir:tJl a dis­tintas velocid~des, luces de cCJlores ql1C! se ('ncien­den á1tcrnativanlcnte, )' funciona en fonna silenciosa y con poco gasto de energía. Puede lnaravil1arnos la precisión y a.un la helleza con cltiC ha)'asido cons­truido, peró en algún rnocncnto nos, ntrevercnl0S él

preguntar para qué sirve. Se nos c()ntcst~rá enton­ces que sirve para fabricar tornillos, para abrir .latas () para vacunar lOlnhrices; se Í10S dirá, tal vez, que eS una escultura rnóvil O que es el resullqdo de un trabajo pnlctico de alumnos de una escuela técnica. Según sea la respuesta, empezarcJnos a rrlirár el apa­rato des(le un ñuevo punto eJe vista: primero había­lnos apreciado sus propiedades internas (su estruc­t.ura y la forrna de su funciona\l1iento); ahora esta010S

valorandó su inserción en el mundo exterior: su utilidad práctica y el modo en que su funcionamien­to responde a 1as expectativas de quienes ]0 cons­h·uycron.

Los sistenlas deductiv~s son talnbién aparatos idea1es, que se cónstruyen para algo. Algunos pue­den ~er sitnples juegos, que sólo tienen por objeto, entretener a sus autores o a ot"l& personas; pero Jos nlás cOllocidos buscan recnnslruir de un modó cla­ro y rigurosaltlente preciso, clerta~ ,relaciotles rna­tcriales o 'conceptuales pre'existentes, que esperamos tnanejar rnejor con su ayuda. En otras palabras,

, ereamús' rnode)os que guan]en cierta. seluejanza con

i .-

{ I

CONDICIONES EXTRASISTEMATlCA~

algún sector de la realidad, de tal modo que a través del rnodelo abstracto podamos profundizar. y orga­nizar el estudio oe ciertos hechos concretos que nos parecen· relevantes. Así, la geometría euclidiana reproduce ciertas relaciones entre la fonna. y las di ... mensiones de los objetos materiales, y con "ello nos permite, por ejelnplo, medir terrenos y calcWar dis­tancias. La lógica proposicional reconstruye en .

-abstracto ciertas relaciones de inferencia que oQ$er~· _ 'vamos entre las proposiciones concretas, y así' ge .. -. neralizamos 105 modos de derivar unas proposicione.~ de otras y aislamos e identificamos las condiciones· r¡ue nos permiten distinguir un razonamiento válido de otro falaz. .

Existe, pues, un vínculo entre un sistema deduc­tivo y el sector de la realidad (Inaterlal o concep­tual ) que dicho sistelna intenta reconstruir, del mis- . Ino modo que existe una relación entre un retrato y la persona que le si~e de modelo. Es probable que el pintor acentúe en su obra los rasgos que lé pare­cen 111ás relevantes o representativos de la persona ... lidad del retratado; pero si se . llegara . al extremo de -que nadie reconociese en el cua~ro a la persona en él representada, el retrato no contendría ya suficien­te información sobre el aspecto de su modelo y su valor sería puralnente estético.

La 16gica deóntica,de manera semejante, no ha inventado Jas nociones de obligación, prolúbición y permisi6n: las toma del lenguaje nonnativo vulgar,

-e intenta rCéonstr~rlas en un sistema que les asigne.

148 LÓGJCA, ' PROPú,.

significados precisos y las vincule mediante relacio­nes inefluívocas. Infinitos sistenlas podrían idearse con distintas variaciones de tales significados y de" tales relaciones, y aun con la introducción de otros' operadores que inlagináran1os; y todos esos sistemas poJrían eventualmente poseer las cualidades intra­sisternátfcas tnás des~ables. Pero,. si queremos que nnestra 16gica deónt.ica sirva para controlar fonnal­n1ente la plnusibilidad de los razonanlientos norma­tivos, será preciso que no nqs evadamos de las con­diciones generales en que estos·' razonamientos se expresan.

Estas condiciones extrasisternáUcas (presupues-." tos de la utilidad práctica del sistelna) se enuncian n 'veces lTIcdiante leyes o prÍilcipios que 'no son es­trictnn1cnte deoucibles en 'el mismo sistema o que, cuando lo son, tienen un contenido que trasciende esa déoucibilidad. Exanlinarernos aquí dos tondí­ciOJleS de esta naturaleza: las leyes de Hume y el principio de prohibición ..

2. Las leyes de lIume

1\1 eX~lJninar las fil0dalidaJes aléticas helnos ob­servado que existe un punto de contacto entre las proposiciones lTIodales y las no 'lnodnles (o, para de­cirlo de un lnodo rn~ls ponlposo, entre el "mundo de la llcccsiclad y de la posibilida(r' y el simple ",nun­do de la realidad"): una proposición necesaria es

f 1,

verdadera, y una proposici6n verdadera es posible (N P ::> p; P =? ~1 p).

¿l>odríamos, análogamente, establecer un víncu­lo entre la realidad, y las modalidades de6nticas (o, con palabras de Kelsen, entre el 4"lnundo del ser'· y el --mundo del deber ser")? •

Ya hemos estipulado una respuesta negativa a esta pregunta cuando dijimos que los operadore~;., de6nticos fl{J son extensío1Ulles: es decir~ que el valor '~" de verdad de una proposición deóntica' que mo~hi-: i,

liza la descripción. de una acci6n no depende del valor de verdad de esta des~ripci6n;' pero ha llegad~ el fnOITlcnto de dar ra~anes que justifiquen adoptfr' la1 puntó de YÍstn. . . ,..,

En su Tratado de la naturaleza humana, David lIume decía: "En la medida en que se r.eco~lozca que la razón no tiene influencia en nuestras pasiones y acciones, será en vano pretender que ]a moral pue­de descubrirse por la mera deducci6n racional. Un principio activo jamás puede fundarse en otro inac .. tivo; y) si la razón es' inactivá en sí lnisma, d~be per­manecer tal en' todas' sus' fonnas y apariencias, ya sea qüe se ejerza en nlatenas naturales o morales, ya sea que considere ]05 poderes de los cuerpos ex· ternos o las acciones de los seres racionales". Más adelante agregaba: "La raz6n es el descubrimiento de la verdad O la falsedad. La verdad o la falsedad consisten en el acuerdo () desacuerdo COIl unarela­ción real de ideas,. o con la real existencia de una

, situación de hecho. Por lo tanto, aquello' que no

150 , ,

l.OClCA •. Pi'nrosó\"' •. ' ..

sea susceptible de este acuerdo o desacuerdo será incapaz de ser verdadero ni falso, y jamás puede ser ohjeto de nuestra razón. ~hora bien, es evi­dente que nuestras pasiones, voliciones y acciones no son susceljtibles de tal acuerdo () desacuerdo, ya que son hechos y realidades originales, completos en sí rraismos, y no itnplican referencia alguna a otras pasiones, voliciones y acciones.' EsinlposibJe, por 10 tanto, calificarlas de verdaderas ni falsas ni que sean contrarias o conformes a la razón~t :\4.

Estas observaciones de 1-!tune sobre 'la lnoral fueron generaliznda~ por otros pensadores y resumi­das en una idea precisa: es imposible déducir una proposición nornlativu (del udeber ser") de una serie q~' proposiciones descriptivas (del "ser") 36. Tam­bién fueron postuladas en su fornla inversa (de una proposición normativa no puede deducirse una des­~riptiva), y representada5. como un rechazo de cier­tas inferencias simbolizables 30.

COlno puede advertirse, estos principios tienen una peculiaridad que los distingue de las leyes ló­gicas en genera), que son tautologías. o Leyes conlO las del tercero excluido, de I)e ?\1organ o de subal­ternación debntica, por ejenlplo, indican l)lodos vá­lidos de inferencia; en c,lll1bio la:> de IIlune resultan

3.. Hume, Du\·hl. A, Trealise un Ilu"wn Ntllurc:, Nueva Ymol, 19(H, libro 111, parte l'. seccUnl 1, )l. 414 Y 415. '

3t\ Hare~ R. M., Tlae Langull~c 01 Af 0((1 Is. OxCord. 1952. 1>: 29¡ Kclscn, Il:lns. Tl,éorie ¡JUre du droil. I'aris. 1902, (l. 00 y siguit·utes.

ae Yernengo, oh. cit.. pAN. 1.3.9. '1 2.1.6. p. 46, 79 Y 80.

,l

I .,... f

una suerte de leyes negativas: señalan que ciertas deducciones n.o pueden hacerse' válidamente. Cons­tituyen así un límite, una valla extrasistemática que se inlpone a la lógica nor~ativa.

Pero ¿por qué ha de acatarse tal lhnite? ¿Aca .. , so no podría construirse un sistema de6ntic(i en el que las inferencias prohibidas por I-Iume fueran vá­lidas? Sí, se podría, ya que la cQIlstrucci6n. de un sistelna depende de n\lestra, voluntad para la elec- ,,'

,ción de los axionlas. ~ero supongamos que en la,: lógica nor'mativa que hemos exarninado en los capí-",';', tuJos anteriores introdujéran10s corno postulado al-,' guna de las' fornlas de inferencia en cuestión: por' .,' ejemplo, p :J Op. Resultarían de ahí consecuen-' cias sorprendentes, tales corno que matar es obliga­torio para los asesinos y proh~bido para 1a gente pa­cífica; que pagar hnpuestos sólo ~s debido para los contribuyentes puntuales, pero no para los evasores; y que, en resun1en, cada uno está estrictament~ obli- ' gado u' hacer 10 que en cada rnomento hace; y tiene prohibido hacerlo (1ue en cada instante se)e ocu­rriera 0111i tiro

Claro está que nadie propugna una tesis tan ex­trema. Pero nUlnerosos autores, a ,lo largo de )a historia, han intentado hallar un vínculo entreJas

, nornlas (jurídicas y Jl1orales) y la razón, de tal nlodo que el reconocinliento de lo verdadero pern1itiera descubrir, sil) intervención ~e voluntad· nonnativa' alguna. ciertas leyes qne los homhres deban cum-

152 l.ÓGICA, Pl\()ro~

plir ll. Esta inquietud" suele englobarse, en la teo­ría general del derecho, bajo el nombre de fusllatu­talisrno o doctrina de) derecho natural; y parte pre­cisamente ~e adn1itir que, al menús en algunas cir­cunstancias, él estudio de la realidad empírica (la Ilaturaleza, el hombre, las cosas) o de las ideas a priori (la razón) perrnite ~t:lferit' el contenido de' ciertas nom13S. En otras p~labras, que habría al­gún preuicado no normativo de~ segundo nivel (11a­mémosle Z) tal que Zp ::> Op, o que Zp ::1 Pp, aun cuando está lejos de haberse Jlcgn(lo aun acuerdo sobre cuál sería el éontenido que debiera atribuir-se a "Z". .

.No . corresponde hacer aquí un examen crítico d~l iusl1aturalismo, tema más adecuado para· un . texto sobre filosofía de] derecho o sobre ética." "Lo que importa destacar es . que las leyes de IIume, como condiciones extraSisteináticas de la .lógica de6n­tica, están sujetas a . las mismas controversias que afectan a ]a lnateria a la que el sistema pretend~ aplicarse. La respuesta que se dé a detennÍlfadó interrogante sobre el derecho o sobre la moral -por ejemplo- llevará a aceptar, a rechazar o a limitar la estricta separación entre 10 nornlativo y 10 real.

n Ejemplos de esta posición son j>latói1, lIugo Grocio. Samucl Pulendorr. Jean-Jacques Rousseau 'j. en la actualidad, Joho l\awIs. En cambio, queda exc1uldadeJ conflicto con las )eyes de Hume )a orientación iusnnturalisto que funda el derecho nnhmll en aJguna forma o manifestación df' Jti \'oJuntnd divina".

('

3.. El l)rincipio de prohibición

"Ningún habitante de la Naci6n será obligado a hacer lo que no· manda la ley, ni privado de loq~e . ella no prohíben. Esta declaración, contenida. en .. , el artículo 19 de la Constitución Nacional, es ba~i- '~ .. ,~.~'. tualmente considerada como un freno a la arbitra!!.;:·/~;: rieJad y al despotisnlo, y como una garantía g~~~~ji:(.t. rica de l~ li.b~rtad 3~. 'Pero la .l,dea que elIa exp.~~~~&{~:~ como pnnclplo de lnterpretaclon del orden n,?p)1a~~¡i{~~ . tivo ha dado lugar a controversias entre autor~$·. ~~~::'~;:E~ teoría general del derecho y de lógica deóntica;::.' ,~~:W~~/ ha dicho' de ella que es necesaria, que es trjvi~l'y'.,'<,·::~~~ hasta que .podría resultar falsa. . , . ,

Kelsen, por ejcrnplo, sostiene firmemente que "cuando el orden jurídico no: establece para un in­dividuo la obligac'ión de adoptar cierta conducta, pennite la conducta contraria" u. Con éste argu­mento rechaza en principio la existencia de lagunas en el derecho (conductas no regladas), y~que, ne­cesariamente, todo lo que. no esté prohibido está permitido, aun cuando no exista en la Constitución una cláusula COlno la· apuntada.

Alchourr6n . y B~lygin"'o sostienen una tesis di-

3d Gonzálcz CaMer¡m. Juan A., Curso de derec1ao constitucional. Bs. As., 1958, p. 146.

:SV Kclsen, oh. cit., p. 330. 40 AJchourrón, Carlos E. y BuJ)'gin, Eugenio, lnlro(luccMna la

metodología dtf lal ciencias jurídicas V soc'üfes, Ds. As .• 1975, 1)~ ] 77 . )' siguIentes. . . '

154 L6clCA, PROPOSICIÓN Y NORMA

f erente. Distinguen para ello una pernlisión ufuer­te" (la que resulta de un acto nonnativo expreso) y una pcrmbión "débil" (la que consiste en la mera ausencia de JHohibici6n); y, conseCllcntcrncnte, enuncian dos fonnulacione!¡ (débil Y fuette) del prin. cirio de prohibición.

La pritnera de ellas -diccn~ consistiría- en sos·· '1 ener que todo lo que 110 est(í prohibido está perrni­!idó (en sentido débil). Pero la pennisión 4cdébil" consiste en la falta de prohibición, por ]0 que el pun­to queda diriIYlido por shnple interdefinibilidadde operadores dcóntitos. Cierto, lJero trivial: tanto corno la ley de identidad o la del tercero excluido.

Lá fonn ulación f llcrte, en can1bio, diría que lo que nótestá llfohib¡do está pénnitidc{ ren sentido fuerte). Este enunciado -agregan A lchourr6n y Bulygin­ni siquiera es verdadero, salvo par~ ciertos sistenlUS normativos ahsolutanlente cerrados: del solo hecho (le que una cierta norma (la que prohíbe p)' no per-. tcí\czCa al sistema, no se puede inferir que otra nor­Jna distintá (1i' que pennHc p) fonne parte del mis-' 10'0. . A nlenOS -aclaran- que el sistclna contenga otra oornla adicioual, n la que llall1:1n reg'!1 de (:lau­surll: la que, a modó de tapajuntas normativo, dis­ponga la pennisiói1 expresa de todc\ 10 que las de­ln:\S l101111as no prohíban.

De lo dicho se desprende que la cláusula de nuestro artículo 19 de la Constitución puede inter- .' pretarse como una regla de clausura: una regla de clausura "1iherar', entre otras posibles. En efecto,

())NDICIONES EXTRASl~TEMÁTlCAS

I . as! corno ella dice que todo lo no nonnado (y por ello no, prohibido) está pennítidq, podría decir -por eicInplo- que todo 10 no nornludo (y por ello. 11'1 .

pennitido) está prohibido, cOn 10 que el orden nor- . n,ativo se parecería más a un régimen can;.;)ario. ¿1'odo se reduce, entonces, a una elección "alorati­va (y legislativa) entre narrnas de clausura?, '

l'illnbién resulta de allí que la opinión de Kelscn (y de otros autores), en cuanto pretende fundar de este lnodo la completitud (ausencia de lagunas)· del derecho, o bien es una verdad tautológica (y por 10 tanto trivial) o bien constituye una falacia sólo fundada en la ideología de quien la sostiene. ¿No existe una tercera posibilidad que deje a salvo el valor teórico del principio?

El terna es cicrtan1ente polémico; pero tal vez uil ejelnplo ilnaginario ayude a entrever una solu­ción distinta.

Supongamos que 'hubo cnt~e los charrílus un gru .. po que vivía de la caza y de la pesca sin sujeción n . norn1as ni autoridades de' ninguna cla.si! .. ¡:Jn. día,' al ver que otras tribus obtenían mejor sus objetivos gracias a la organización de que se habían dotado, decidieron elegir a un cacique para que los nu\ndase. La elección recayó en Toro Sentado que, a diferen­cia d~ su hom6nimo piel roja, era un indio pacífico

. ,y poco dado a interferir en la vida de sus congéne­res. Toro 'Sentado reunió entonces a la tribu, y dic-

. tó su prÍJnera rtonna: "A partir de hoy -dijO- es­tará permitido cazar los martes y lc;>s jueves". Jnn- r

156 L.6cJCA, J'ROl"lOSJ06N y NORMA

que], un indígena con dotes innatas de leguleyo, in­tentó una interpretación á contrario: ·'¿Eso quiere· llecir que no podernos cazar Jos dernás días?". "De pinguna lnanera -se apresuf(> a aclarar el benévolo cacique-: )'0 pernlito cazar los Jnartes y.jtÍcves, pero no digo nada ~ohre el resto de la sernanu·'. Janquel qued6 desconcert~H.lo) pero ()nín, tdbcño proclive a las reflexiones éticas, insisl ió: Utfal vez eso irn· plica tina prolncsn de no pl~()hihir en el futuro las cacerías de nlartcs y jueves?", "Tarnpoco --repuso 'foro Scntado-; no H'lC agrada ünponer prohibicio.:. nes a lTli tribu, pero lne reservo la posi,bilidad de carnhiar de idea. ¿Qué gobernante no 10 hace?" ..

. Los a horígcnes se rniraron unOs a olros, )' ernpeza­ron a dispers:lrsc en silencio: no podían evitar el sentinliento de que la elecci()ll del jefe había resul­truJo, nI- JilCnOS hasta ese rnOlnento, conlpletamenle intltil. Toda la vida habían cazado y pescado COlTIO

les venía en gana, sin consultnr el ca1endario; y ah()rá~ luego de sancionada l'1 prilncra 1ey de su tri­bu, las cosas seguirían cxact:lJnente igual Inientras á Toro Sentado no se le. ocurriera prohibir algo.

L;i decepción de los charrúqs es, en realidad, el resultúdo de una expectativa futtdada en ]a utilidad práctica de ·las BOrntas. Ui) sistenla normativo Ítn­plica la intención de regular, epcaUl.ar, definir lílTli­les. En otras palabras, ordenar. 10 no ordenado. Pero la percepci()n nlisma de· algo conlodesorden ilnplica una actituJ valnratíva de disconfonnidad con la siloación actual o potencial: de otro lnodo no

. , OOND!(,10NES I:XTRA.Sl~TEMATlC;\S 157

la l1an1arÍarnos desorden sino libertad, y no se nos ocurriría ]:nodificarla.

Para .operar, pues, esta lTIodificación se introdu­cen pautas (lue oponen resistencia a la voluntad de' la gente en ciertos aspectos, o ca1ifi~aciones ~que se dirigen a interpretar ciertas conductas corno iru::onl.­]JO tibIes con el 1110delo propuesto. Así· se di vide el universo de las acciones en dos sectores: el de las acciones ]ÍInitadas (obligatorias e prohihidas) y el de las no lirnitadas (o no limitadas todacfa)) que son las pennitidas. Antes de la introdll.cci6n de un ~js­tcn13 nonnativo no existen conductas pern1itidas, pero esta afirn1aci6n es rncranlcnte lingüística: sólo señala el hecho de que, .} falta de una idea de lhni­taci6n, no es posihle calificar su ausencia .. ASÍ, no se concibe la pcrrnisión sin la prohibición,.conlo no hay silencio sin' sonido ni tío sin sobrino. Podría­rnos decir en este contexto --para usar llna expre­sión del derecho rClllano·-- que antes de la primera nornla todas las conduclas son ingenuas .. Cuando se introduce el sistema normativo, a.lgunas dé las conductas dejan de ser ingen~as para ser limitadas, y otras dejan de ser ingenuas para ser perrnitidas. Pero hay una diferencia entre estos dos canlbios: el paso de ingenua a Jimitada ent.raña un efecto real (su rechazo nonnativo, que puede ser meramente conceptual ó traducirse en vías de hecho), en tanto el paso de ingenua a no limitada no varía las expec­tativas de quien piense realizar o haya realizado la conducta en cuestión.

•

158 . . LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA

Aun<}ue el punto est{, lejos de hallarse definiti­vamente resucIto, los argumentos expuestos permi- . ten c0l11prender cuál es la línea de razonarniento -llanulC.la hnperaUvisJno- que lleva a postular el principio de prohibicibn corno un presupuesto prag­rnático de la teoría nornlativu, y no como una "nor­ma de clausuran c-ontingente. l\1ás a.lIá de la tauto­logía intrasisteulática serlalaoa por Alchourrón. y Bulygin, la regla según la cual todo 10 no prohibido está permitido (o, lnejor dicho, todo lo no norrna­do está pcnnitido) puede fonnu)arse COIUO una con­dici6n extrasistelná lÍcn. para que nuestra lógica deón­tica refleje, reproJuzca () reconstruya dé. Bl0do re­conocible Jos conceptos non nativos usados en ]a pr{lctica: es lógicanlcnte posihh~ construir un sistema te6rico sobre la base de las pern1isioncs, pero los ór­denes nonnativos rcale~; (dcsdc.~cl derecho hasta él ajedrez) sólo ofrecen ut.ilida<\ ·cuando prohíben y porque prohíben. La ausencia de nonna, pues. se parece a la pcnnisión cuando ho existe orden. algu­no, y equivale a la perrnisiónocntro de un orden dado.

BIBLIOCHAFIA

Una de 1.\5 JJ1a)'ort"S dific'lltatl~,s que se le prescnt.m :) quicn Jcsca prohmui1_'u estudios lógicos es la rclaOva t'scaSt.!z de textos en espa­¡,ol. Por esto se hansdcccio,n;HJo algunas de esas ohr:ls a las <¡He

.se pucllé rccu rrir l);m: a 111 pi ¡al los l'{)¡!l t'pl os d(.'~arr(lna dos (~n (!~te libro.

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México, Unam, H116. .

:;

I~

lb 1

•

lNDICE- ALFAB:E:TICO··

A

:l<l¡dón, 91. <le contradicción, 93. . de tautología, 93.

A1chourrón y Dul)'gin, 153, 158. antecedente, 50. Arislóteles, 26. aserción, 35.

. asociatividad de la conjunción, 91, 97. de la disyunción, 92, rn. del' hicondicional, 92, fI1.

autodistrHmtivklacl .Jet condicio­nal, 02.

n hicondicional, 62.

definición del, DI. tautológico, 78.

lluole, 27.

Carnap, 51. C;lrrió. 31~

e

Carron, Lewis, ] 04. casos posibles, 47. coherencia, 145. complet il ud deductiva, 145, 155. conclusión, 21. con.Jici6n

necesaria, 61. . suficiente, 61. condicional, 56 .

definición del. 91. . , paradoja del, 58.

condicicmes .. cxtrasistemáticas de la Mgica deóntica, 148.

cond l1ctasr' 121. complt~jas. 136. jngenuas, 157.

conectivas diádicas o binarias, 42. extens¡nnaJes, 4 J, 94. monádicas. 41, 51.

conjunción, 52. conmut!\tivid:u]

(lo la conjlinci6n, 92. de ]a disyunCión, 92. dd bicondicionaJ, 92.

·:····'consecuente. 56. consistencia, 145.

162

<. onslantcs Mgicas, 41. t'()lltin~cnd;" 71. contrádicci6n, 10 •. 86. 81.

nJética, 114, 115. de6nticn, 121, 132..

(:onlrarícuad, 86; 87. a16tica, 114, 115. dcóntica •. 121 f 160.

Copi, 37. cuauro

de interddinihi}idatl de co .. ne(1ivas. OO.

tle inlerdcfinihiliclad de mo­dalidades aMtlcas, 112, i 13.

<te intcrddinibilidad de mo· daHd:ld~s de6ntkas. 12..3. 12· ..

(1(~ oposición de las modBH· dades íllhic~s. 114.

de oposición e le las rm.xlalida-d . t I t • 1 ')1. es ut;on len!, ~

1)

D(: MOTJ~:ln. 27, 91. ley ,lp.. HI.

cled\H:d,'H\ válida, 21. (~dinicibll. ley de

del hicondicioHal, 91. elel comlicional, 91.

derecho ~latural, doctrina del, 152.

Jistrihui.:ión de la obligaci6n ( teorema) ,

139. d~ la (1p.mlisi6n ( l'lrincipio),

l:u!. ,1 istríll\1tivitJad

de la conjunción rc!;pcdo llc la diSYHnci,)n, 92.

(lu la disyunéibn respcdo de la C:tHljlmcilm. 02.

íNDICE ALF ADÉnro I ,

clisyunci6n, 53. excluyente, 5·j. 55. inclu)'ente, 54, 55.

doble negaci6n, OO. cloctriná del ,'I~recho nat~ral, 152.

J . D()( .• gson, 104.

E

enunci;u.1o. 35, 36. t"quivalencia, 78.

. matmial. 62.

F

fncu1tativo, 120, 13· •. fórmula proposicional. "3.

Tt'gbs ele formaci6n. ,14, -15. fórmulas

:tti)mir:as. 45. conlingentes, 11. u(·6nticas. su lectura, 121, 122. moleculares. 45.

Fr(·~c. 27. (\1 nc¡c>n ti!' v('rd ~(1. ·46.

G

Gonzált:1. C;.\ldcrlm, 153~ Grodü. ]52.

l-I

1 lalC, 150. Hume, 14H, 150.

leyes d~f 149.

1

jd"mpot(:nt"~¡ t1(~ 13 ennjnoc. Ión, 90. tle la disyuncióu, llO.

:1

i i

ÍNDICE ALFABF:nOO

imperativi.smo, 158. implicaci6n

de los con juntos, 93. eslTicta, 73. ' formal, 56, 73. 16gica, 56, 73. material, 56.

independencia de los 145.

ingenua, conducta, 151. intercambio, 102. interdefi nihilidad,

de las conectiv3l, 94.

"

axiom.f\s,

,de modalidades alétka.s. 112, lIJ.

de oper.sdores deóntico" 123, 12.4.

iusnaruraJismo, ' 152.

K

'Kcuen, 119. 150, 15.1.

L

Leibniz, ~ 27. J engna jc (liSOS).' 37.

natural, 2.Ó, -10. . objeto, 9<J.

letras I.t' 1')9. esquema leas, v

scntcnciaJes, 39. tey lógica, 81.

leyes , de la Mgica' Vrupolidonal, OO. deóntic3s, 12.'5.

l6gica binaria o hivalcnle, 49. concepto, 20. ro nO i ci unes ~.ttrasistemática5"

145. dctintica, 32., 120.

e ínfonnátIca, 33. fonnaJ, 28. historia de la, 26, 27 t 28. matemática, 28, 38.,

, modal, 29, 109. modal alética, 111. nonnativa, 32. proposicional, 29, 39. s imb61ic:l , 28, 38.

,uUlidad de la, 22., 23.

•

163

y ciencias sociales. 29, 30. y derecho, 31 t 32.

Lu1clsiewicz, 41, 112.

M

Males, 51. Menddson. 51. , meta-lógica, 100. mcta-nonna, 106. metalenguaje, 9'-J. rrwtalc)'es, 99. modalidades, un.

alél kas. 111. cuadro de intcrdefinihilidad •.

112, 113. . cuadro' de oposición, 114,.

deónl icas, cuadro de inlcrddinihilioad,

12.~. cumfro ele oposición, 127.

modali7 ... 1.dnres. 110 .. modus por~, 92..

n·gla. del,. 100. modus lollen.~, 93. mundos posibles, 48.

N

nec(~s:l1"jo. 11.2. ~ ncct!sida.l. ,verdad y posibHidao,

113, J.14.

164 ...... : ., • rO • • ~ •• :" ••• '" .1"" -!. ~' •. *.,' .-'. o-o ••• ,...~ ... " #.

1\l'~aci6n, 51. f·xlern:., J J l. 1 ~5. illlerna, 111.

nflrm~~, \JI ilid:HI l1dcticil d(! las, l:m, 157.

ll(1t;ldnIlC'~

!Il;~'l'~.l () tt~ T\msell. -11. lIo\¡l(·n. 41. l

o obligad,:m "ltern:ltiva (tcoH:rna).

1·10. obligatorio, 119 y ~s.

operadort!s. 41, }07. 110, 120, J34.

deónticos, 119, 1:34. owci6n. 35. Ora yen, 39.

p

paradoja del (.·onJidooa 1. 58, 59, 60.

] C:l Jl(), 27. vermisi6n

conjuntn (teorerna), ) :t2. , "débil", 154.

"fuerte", 154. tninim.\ (teorema) I 1·13.

I)c:rmitido, 119 y S~. Platón, 152. l)osible, 111, 112, 113. predicado tI<: s(~(tllnJo uiveJ, 109. .l)remisas. 21. plincipio

de distribuci6n de b pcrmis;(Jll, 138.

<le i<lentictnd, 83, f\1: 38, 9Ú. de no contradicci6n, 8,t, 88, 89,

OO. de prohihici6n. 153. del tercero exd,,¡do, 8:'), 1)9, OO.

rrineipitts 1.·\·III('lIt:lles llí: la l6gi. (',1. ~'l, ',';,

"tlt:I·~.l:i ti., d"l.:l~iím autOlIl:'ti<a. :n.

p:"bl.it:it',ll. prillnp:o d('. 153.' pr~lhilll'lo. 11 r ss. P!,.!'.;.;ki¡'m . . tí. :)1" 37.

':I1I\U:I"" .1", :10, :37. ,'".n:I:I! ¡\'a' ¡' (h'!\crir~t¡va, 122.

1=)0. prnposicjofW'(

contTaria5 '! l'ontradictoriás, 115. lIonnativils: 122. Sl1haltenulJlte~ )'. subalternas,.

116. !iuhcontrnrins. 115.

I'u(cr.dorf. 1.52.

Q

'Juine. 56, 102.

n flawls, 152. razonamiento, 20. rcgln

de clallsma1154. . de inlt'rr¡1I1 bió, 101, 102, HXJ. dt: s\lslil~ ~n. 100. dd mm/'''"onells. 103.

rq~b~ ,l., r~f1))ndl"II, 4 ... de inferclIl:iil J 98 .

TIollssP':,m. 152. n "5 seU. not~lción de, 41. nU~'ien y \Vhilehead, 28.

s si!,!JlifiC:ltJo. 36. ~ igllos I/)~iros. 41.

128 LÓGICA, rTlOrOSICI6N y NORMA.

contrarios); las verticales, las leyes de subalterna­ción (donde "Op" es subalternantc de "Pp" y "Ph p" 10 es de "P-p") j y las diagonales, las de contradic­ción (que establecen la incompatibilidad entre "Op" y "P-p" y entre "ph p" Y "Pp", así como entre sus respectivas negaciones).

El cuadro I de oposición indica la existencia de cierto repertorio básico de tautologías deónticas que no provienen de la lógica proposicional. Pero en­tonces, ¿de dónde salen, y por qué son tautologias? Esto es lo que tendremos que demostrar ahora.

3. El principio de subcontrariedad

En nuestras demostráciones contaremos con un sólido instrumento: las tautologías "importadas". Pero, además, necesitamos un punto de partida, una cabeza de playa en el territorio deóntico. Es decir, un axioma que nos pennita deducir las demás leyes.

Seguiremos para esto a van Wrighe1 y tomare­mos como axioma el priIlcipio de subcontrariedad: Pp v P-p 32 (por ejemplp, está permitido apostar o bien está pennitido no apostar). Por tratarse de un axioma no corresponde prob1rlo dentro del sis-

31 Wright, Georg H. von, . Un ensayo de l6g1ca deóntica V ÚI leorla general de la Clcc!ón, México, 1916, p. 18; ver también Ver­nengo, Roberto J., Curso de teorla general del clere,.1IO, Bs. As., 1972, p. 82, párr. 2.1.9. . .

32 Nótese que la ley de SlJbcontrarieJad (Pp v P-p) es dife­rente de \a ley "imporladu" del tercero excluido (Pp V -Pp).

LEYES DE6l'ITICAS 1;G~

tema; pero es posible fonnular una justificacióD: ra-cional y hasta intuitiva de tal principio. ..,

En' efecto, 10 que esta ley 'sostiene es que no todo puede estar Hrphibido. Alguna vez se ha vis­to en esta expresi6n el requisit9 de un mínimo de libertad (esto es, dé existencia de actos facultátivos dentro del sistema)'; pero tal cosa no es, en rigor, estrictamente necesaria: nuestro sistema deóntico' nos permitirá simbolizar, del mismo modo, un or­den normativo en que la .libertad brille por su au-' sencia.

Supongamos que me prohíben usar sombrero:' si , el orden conserva un mínimo de racionalidad, me estará permitido andar descubierto;, Y si me pro­híben no usar sombrero (es decir,' me obligan a usarlo), tendrán que 'permitirme que 10 use. Na­turalmente, también' puede ser que un legislador menos proclive a fastidiar a sus semejantes me per­mita tanto usar sombrero como no usarlo (con lo que el acto deviere libre o, para decirlo con mayor propiedad, facultativo). Pero, aunque el legislad~r no desee dejarme' margen alguno de libertad, alme­nas deb~rá permitirme que cumpla con mis obliga­dones y permitirme que no realic~ las conductas prohibidas. Esto· es, sr~que las nO!:!llas motiven mi Cclnd~ menos para dis­tinguir íñis acciones lícitas de mis acciones ilícitas. Tal es, precisamente, el sentido de la ley de sub­contrariedad: dada una acción detenninada (p), o bien está pennitido cumplirla (Pp) o bien está per-

V. L6¡¡:lea.

\ ,J

1"" l

fNDICE Al.F ADÉ'nOO

\ '..:. • f' .. ~ ••• . ., silogismo disyuntivo, 93. síml,ol'os auxiliares, 42, 45, CY¡,"

L:ur;ls. 42. corchetes, 42. naves, 4.2. paréntesis, 42.

simétricas, relaciones, 117. simptific~d6n, 91. s:slemas deductivos, 140, 147,

148. suhallcma, 116. S\Jhalternación

~Il;tica • .114, 116. 'oe(mlic:l, 127, 131.

s~lbaltcrnill1te. ~ 16. subcontraricdacl

a lética, 114, 115: deóntica, 127. 128.

T

tablas de verdad, 47 y ss, tautología, 67, Bl, 82, &1. ta lltologías tlc6nl icas, 12." teorema

Oc distrihudbn tic la" obliga­. ción, 139.

." 1 y •• ' ,

oc" lá' ," obH'gació'J I ·aherllaUva •..

140. <.le 1.1 perÍnhi6n conjunta, 142. de la permisión mínima, 143.

término primitivo, 111. transfonnaci6n, 9l. lr:msitividad del comllcional, 91.

. 6 " tr;Ul~poSJci n, 91.

u usos del Jenv;uaje, 37. \l tilidad práctica de las normas,

156, 157 ..

.V

valores de verdad, 37. varia bIes proposicionales 3~'¡.

Vernt!J1go, 128, 150.

Wittgenstein, 99. Wright, von, 112. 1 ~O, 123. 128..

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