Elektrizität und Magnetismus

Elektrizität: Mit elektrischen Ladungen und elektrischen Strömen verknüpfte Effekte und Phänomene.

Maxwell erkannte: Elektrische und magnetische Erscheinungen hängen zusammen.

Theorie des Elektromagnetismus: Elektrodynamik

James Clerk Maxwell (1831-1879)

00

div,1

dε

ρ

ε==⋅∫ EQAE

OF

rrr

0div,0d ==⋅∫ BABOF

rrr

t

BEAB

tlE

OFLINIE ∂

∂−=⋅=⋅ ∫∫

rrrrrr

rot,dd

dd

t

EjBAE

tIlB

OFLINIE ∂

∂+=⋅+=⋅ ∫∫

rrrrrrr

000000 rot,dd

dd εµµεµµ

Elektrische Ladung

Antike: Bernstein zieht nach Reibung mit Wolle Federn und Stroh an. �elektron: griech. Bernstein

Erfahrungstatsache: Haare kämmen

• Reiben: Plastikstäbe an Fell � Plastikstäbe stoßen sich ab.

• Reiben: Glasstäbe an Seide� Glasstäbe stoßen sich ab.

• Aber: Plastikstäbe und Glasstäbe ziehen sich an

Modellvorstellung: Reibungs- oder Berührungselektrizität

+e-

+

e-

neutrales Atom

ein Elektron entfernt � Restatom ist positiv geladen

+++++++- - - - - - - - - - - - - -+++++++

Negative Ladung: ElektronenüberschussPositive Ladung: Elektronenmangel

Bei einem Blitz entladen sich hohe, durch Reibung in den Gewitterwolken aufgebaute elektrostatische Ladungen.

Eigenschaften der elektrischen Ladung:

• Ladungen können positiv oder negativ sein.

• Ladung ist an Masse gekoppelt.

• Positive und negative Ladungen können sich

kompensieren.

• Ladung kann nicht erzeugt oder vernichtet

werden

• Einheit der Ladung ist das Coulomb (C)

• Ladung ist gequantelt: Elementarladung

• Ladungen üben Kräfte aufeinander aus:

C106022,1 19−⋅=e

Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab

Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an

+ +

+ -

y

x

Das Coulomb Gesetz (Charles Augustin de Coulomb, 1736 – 1806):

Q1

r

r

r

QQe

r

QQF r

rrr

2

21

0

2

21

0 4

1

4

1

πεπε==

Q2

-|Q1| Q2

Dielektrizitätskonstante: 21212

0 mNC10854,8 −−−⋅=ε

12

12

2

12

21

04

1

rr

rr

rr

QQF rr

rr

rr

r

−

−

−=

πε

1Q

2Q1rr

2rr

12 rrrr

−

Fr

Fr

Fr

Fr

Fr

Beispiel: Vergleich von Gravitationskraft und elektrostatischer Kraft für zwei Protonen.

Elementarladung:

Masse eines Protons:

Gravitationskonstante:

C106022,1 19−⋅=e

kg1067,1 27−⋅=m2211 /kgNm1067,6 −⋅=γ

2

2

2

2

0

,4

1

r

mF

r

eF Gel γ

πε==

36

2

2

0

1024,14

1⋅=⋅=

m

e

F

F

G

el

γπε

Elektrische Feldstärke

Eine Ladung erzeugt ein elektrisches Feld im ganzen Raum.

Auf eine (Probe)ladung QP, die sich in einem elektrischen Feld befindet wirkt die Kraft:

y

x

1Q

1rr

rr

1rrrr

−

Er

Definition: Das elektrische Feld , das am Ort einer Probeladung herrscht, ist definiert als die Kraft , die auf die Probeladung wirkt, dividiert durch die Größe der Probeladung .

1

1

2

1

1

04

1

rr

rr

rr

QE rr

rr

rr

r

−

−

−=

πε

Er

1

1

2

1

1

04

1

rr

rr

rr

QQEQF P

P rr

rr

rr

rr

−

−

−=⋅=

πε

Er

Fr

PQ

FE

rr

=

+

Q1

+

Q2

+

Q3

+

q

Wichtig: Das Eigenfeld einer Probeladung darf mit dem auszumessenden Feld nicht überlagert gedacht werden weil das Eigenfeld der Probeladung auf diese selbst keine Kraft ausübt!

Überlagerung von elektrischen Feldern:

1Fr

2Fr

3Fr

321 FFFFrrrr

++=

∑∑==

−−

==⇒−−

==3

13

0

3

13

0

)(4

)(4

1

ii

i

i

iii

i

iii rr

rr

QqEqFrr

rr

qQEqF

rrrr

rrrrrr

rr

πεπε

Beispiel:

Die Ladung Q1= 8 nC befindet sich im Ursprung und die LadungQ2= 12 nC befindet sich auf der x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems im Abstand a = 4 m von der Ladung Q1 entfernt. Wie groß ist das elektrische Feld in einem Punkt auf der x-Achse bei x = 7 m?

x1Q 2Q

m7=x

xxx eeax

Qe

x

QEEE

rrrrrr

C

N5,13

4

1

04

12

2

02

1

0

21 =−

+−

=+=πεπε

m4

Feldliniendarstellung:• Feldlinien liefern ein anschauliches Bild von einem elektrischen Feld.

• Feldlinien zeigen in allen Punkten des Raumes in die Richtung des

elektrischen Feldes.

• Sie zeigen in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung, d.h. von

positiven Ladungen weg und zu negativen Ladungen hin.

• In der Nähe einzelner Ladungen verlaufen die Feldlinien geradlinig radial.

positive Punktladung negative Punktladung

• Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen

Ladungen (oder im Unendlichen), ihre Anzahl ist proportional zur jeweiligen

Ladung.

• Auf Leiteroberflächen stehen Feldlinien eines elektrostatischen Feldes stets

senkrecht.

• Feldlinien durchkreuzen sich niemals.

Beispiele:

+ - + +

ungleichnamige Ladungen gleichnamige Ladungen ungleichnamige LadungenQ1 < Q2

1 2

Übung:

Wie groß ist das Verhältnis der Ladungsmengen zueinander?

• 24:8• 4:1• 1:4

Welches Vorzeichen haben die Ladungen?

• Minus Plus• Plus Minus• Plus Plus• Minus Minus

Wo ist das elektrische Feld stark, wo ist es schwach?

Influenz:Änderung der Ladungsverteilung auf einem Körper durch Annäherung eines geladenen Körpers.

-

-------------

-

+

Metallplatte „Spiegelladung oder Bildladung“

-

-------------

-

+ -

Q- +

Feldverzerrung, hervorgerufen durch influenzierte Ladungen auf der kleinen insgesamt ungeladenen Kugel

Übung: Wie ist das Verhältnis der Ladungsmengen der beiden Kugeln?

• 11:5• 1:1• 14:8

• Hüllfläche um Punktladung Q

• Zerlegung in kleine Flächenelemente

durch das Flächenelement :

ist

Q

Der elektrische Fluss:

A∆

A∆NA∆

Er

NEr

α

α Er

A∆

A∆ Er

• Elektrisches Feld am Ort von

NA∆ A∆ Er

: Projektion von senkrecht zu E

E

A

A NN =∆

∆NN AEAE ∆⋅=∆⋅. Es gilt: bzw.:

Ψ A∆ AEN ∆⋅⋅=Ψ 0εElektrischer Fluss

Elektrischer Fluss durch die gesamte Hüllfläche:NN AEAE ∑∑ ∆⋅⋅=∆⋅⋅=Ψ 00 εε

Bzw.: ∫ ⋅=Ψ AdErr

0ε

Wie groß ist der elektrische Fluss durch eine beliebige Hüllfläche?

ρ KA∆ NA∆

Qr

Hüllfläche

NA∆

KA∆

Jedem Flächenelement der Hüllfläche

kann ein Flächenelement der Kugeloberfläche zugeordnet werden.

Es gilt:2

2

ρ

r

A

A

K

N =∆

∆und somit

QAQ

Ar

r

QKK =∆⋅=∆⋅⋅=Ψ ∑∑ 22

2

20

044

1

πρρπεε

∑∑ ⇒∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅=Ψ KNA

rEAE

2

2

00ρ

εε

Maxwell Gleichung: QAdE =⋅=Ψ ∫rr

0ε

Der elektrische Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung.“

Beispiel: Kugelkonduktor

QMetallische Hohlkugel mit dem Radius R, die die Ladung Q trägt:Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Abstand r vom Kugelmittelpunkt?

• Im Gleichgewicht ist die Ladunggleichmäßig auf der Oberflächeverteilt.

• Um die geladene Kugel befindetsich ein radialeskugelsymmetrisches elektrischesFeld.

1. Fall: r > R

Wir legen eine Kugelfläche mit r > R um die Konduktorkugel. Für den elektrischen Fluss gilt:

QrEdAEAdE =⋅⋅=⋅⋅=⋅=Ψ ∫∫2

000 4πεεεrr

2

04

1

r

QE

πε=⇒

Das Feld entspricht dem einer Punktladung, die im Kugelmittelpunkt sitzt.

2.Fall: 0 < r < R

Feldlinien stehen senkrecht auf metallischen Flächen und dürfen sich nicht schneiden. � Im Inneren der Kugel ist kein elektrisches Feld vorhanden.

+ -+ -+ -+ -+ -

A

Q

R

QE

0

2

0

1

4

1

επε==

A

Q

Das elektrische Feld auf der geladenen Kugeloberfläche ist :

: Flächenladungsdichte

Beispiel: Plattenkondensator

+ -+ -+ -+ -+ -

Plattenabstand < Plattendurchmesser� homogenes elektrisches Feld

⊥Er

AErr

||

∫ =⋅⋅=⋅=Ψ QAEAdE 00 εεrr

Kondensatorplatte �

Elektrischer Fluss:

Hüllfläche

A

QE ⋅=⇒

0

1

ε

Allgemein gilt: Für beliebige Leiteranordnungen gilt für die Feldstärke E am Ort des Flächenstückes .A∆

A

QE

∆

∆⋅=

0

1

ε

l

P

+Q

-Q

Der elektrische Dipol

+Q l -Q

Elektrische Feldstärke in einem beliebigen Punkt P:

1rr

2rr

1Er

2Er

DipolEr

1

1

2

10

14

1

r

r

r

QE

rr

⋅+

⋅=πε

2

2

2

20

24

1

r

r

r

QE

rr

⋅−

⋅=πε

21Dipol EEErrr

+=

l

+Q

-Q

P

l x

Sonderfall: Elektrische Feldstärke in einem Punkt P, der auf der Verlängerung der Dipolachse (y-Achse) liegt:

1r 2r

⇒

−⋅=

+=

−=

2

2

2

10

Dipol

2

1

11

4

2/

2/

rr

QE

lyr

lyr

πε

y

l

2220

Dipol

22

22

0

Dipol220

Dipol

4

2

4

22

22

4

2

1

2

1

4

−

⋅=⇒

+⋅

−

−−

+

⋅=⇒

+

−

−

=⇒

ly

ylQE

ly

ly

ly

ly

QE

ly

ly

QE

πε

πεπε

In größerer Entfernung: 4/22ly >>

3

0

Dipol2 y

lQE ⋅=⇒

πεP

y

DipolEr

Elektrische Feldstärke in einem Punkt P, der auf der x-Achse liegt:

1rr

2rr

1Er

2Er

DipolEr

11

Dipol

E r

lE=

+Q

-Q

Pl x

y

P x

r1 = r2 und

3

101

2

101

1Dipol44 r

lQ

r

l

r

Q

r

lEE ⋅=⋅=⋅=⇒

πεπεmit 2

1

22)2/( rxl =+ folgt:

( ) 2/3220

Dipol

4/4 xl

lQE

+⋅=

πεIn größerer Entfernung: 4/22

lx >>

3

0

Dipol4 x

lQE ⋅=⇒

πεAllgemein:

1cos34

2

3

0

Dipol +⋅= απε r

lQE

rr

+Q

-Q

α

Übung:

An den Enden eines dünnen Plexiglasstabes von

l = 12 cm Länge sind zwei Metallkugeln befestigt. Die Kugeln werden

entgegengesetzt gleich aufgeladen, es ist Q = 1,12 . 10-10 C. Dieser

Dipol wird in einen flüssigen Isolator getaucht.

Wie ändert sich bei dem Eintauchen der elektrische Fluss durch eine

den Dipol umfassende Hüllfläche?

• Der elektrische Fluss nimmt zu.

• Der elektrische Fluss nimmt ab.

• Der elektrische Fluss bleibt unverändert.

Dipol in einem elektrischen Feld

Der Dipol liegt in Feldrichtung:

11 EQFrr

=

22 EQFrr

−=+Q-Q

Gesamtkraft: 2121 FFFFFF −=⇒+=

rrr

Der Dipol wird in das Feld hineingezogen.

Übung:

1. Was passiert wenn ein ungeladener Pingpong- Ball mit leitenderOberfläche in ein inhomogenes elektrisches Feld gebracht wird?

• Nichts.• Er wird in Richtung größerer Feldstärke beschleunigt.• Er wird in Richtung kleinerer Feldstärke beschleunigt.• Er bewegt sich gleichmäßig senkrecht zu den Feldlinien des elektrischen• Feldes.

2. Was passiert wenn ein ungeladener Pingpong- Ball mit leitender Oberfläche in ein homogenes elektrisches Feld gebracht wird?

• Nichts, es findet keine Ladungstrennung statt.• Nichts, die resultierende Kraft ist Null.• Keine von den beiden obigen Antworten stimmt.

Der Dipol liegt nicht in Feldrichtung eines homogenen Feldes:

αα

Q+

Q−

2sin

l⋅α

EQFrr

−=2

EQFrr

=1

FFF == 21Es gilt:

� Drehmoment mit dem Betrag: αα sinsin2

2 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= lEQl

FM

lQprr

= lr

Elektrisches Moment des Dipols: , wobei von –Q zu +Q zeigt.

EpMrrr

×= αsin⋅⋅= EpM� und