Upload
others
View
33
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DYNAMICS OF STRUCTURES
دینامیک سازه ها
دکتر خسرو برگی
عضو هیات علمی دانشکده عمران
دانشگاه تهران
Dynamic of Structures
پیشگفتار
توجه مهم:بصورت می باشد کهسازه هادینامیک در کالس بحثمطالب موردکپیپیوست در حقیقت مجموعه
انشجویانبوده و برای صرفه جویی در وقت کالس و افزایش راندمان آن در اختیار د( کاغذ شفاف)ترانسپران
مطالب از روی نوشتنصرف ویو وقتنمایدقرار می گیرد تا دانشجو با دقت بیشتر به مطالب توجه
.ترانسپران نشود
در کالس و شفاهی اینجانببا مباحثو همراهکلی و کالن بودهبصورتاین مطالبمجموعه بنابراین
.توضیحات تکمیلی کامل می باشد و به تنهایی دارای تمامی جزئیات نخواهد بود
Dynamic of Structures
پیشگفتار
:و کتب تمرینات به کتابهای زیر مراجعه شود( مرجع)جهت کتب رفرنس
دینامیک سازه ها
تالیف دکتر خسرو برگی–پنجم انتشارات دانشگاه تهران چاپ
دینامیک سازه ها و ماشین آالت
مهندس سید هاشم اسالمی -ترجمه دکتر خسرو برگی–دانشگاه تهران
اصول مهندسی زلزله
تالیف دکتر خسرو برگی–چاپ پنجم انتشارات دانشگاه تهران
-هکتاب اول دارای تئوری دینامیک سازه ها و مثال های حل شده و حل نشده است و کتاب دوم نیز دارای مباحث ساز•
.و همینطور تعداد زیادی مساله حل شده و تمرینات می باشد( بسیاری از مباحث جدید و کاربردی)ها
خسرو برگی
Dynamic of Structures
پیشگفتار
واحد3–کارشناسی ارشد –دینامیک سازه ها انتشارات دانشگاه تهران–خسرو برگی –دینامیک سازه ها : کتاب مرجع
اهم مطالب مورد بحث در طول نیمسال
(امور حرفه ای مهندسی و طراحی–امور تحصیلی ) ضرورت آموزش و ارائه درس -1
(با توجه به درس اصول مهندسی زلزله در مقطع کارشناسی)یادآوری اصول دینامیک سازه ها -2
(ارتعاش–تفاوت تحلیل دینامیکی و استاتیکی –متغیر زمان )خصوصیات -الف
(اجزاء محدود–تغییر مکان تعمیم داده شده –جرم متمرکز )درجه آزادی و روش های کاهش -ب
(رفتار و مکانیزم هر یک–االستیک و میرایی )نیروهای مقاوم -ج
سختی و حالتهای مختلف برای سیستم های ساده و پیچیده-د
Dynamic of Structures
پیشگفتارنرژی روش ا–کار مجازی –داالمبر –تعادل دینامیکی )روش های تعیین معادالت حاکم بر رفتار سازه -به
در حالت سیستم های یک درجه آزادی.....(
حالتهای بحرانی و زیر بحرانی و فوق بحرانی–ارتعاش آزاد و حل معادله مربوط -و
انتگرال دوهامل–بررسی معادله حرکت و حل آن در بارگذاری هارمونیکی و نتایج آن -ز
تحلیل سیستم های معادل یک درجه آزادی در برابر بارگذاری ضربه ای و نتایج بحث-3
روش های عددی تحلیل دینامیکی سازه ها برای سیستم های یک درجه آزادی-4
رفتار غیر خطی سازه ها در حالت تحلیل دینامیکی برای سازه های یک درجه آزادی-5
Dynamic of Structures
پیشگفتار
روش رایله در تحلیل دینامیکی سازه ها و کاربرد آن در تعیین خصوصیات دینامیکی-6
یوستهتعیین معادله حرکت برای سیستم های چند درجه آزادی و بررسی ارتعاش آزاد آنها و سیستم های پ-7
تحلیل دینامیکی سازه های چند درجه آزادی به روش آنالیز مودال و نتایج حاصل-8
روش تبدیل فوریه در تحلیل دینامیکی سازه ها و کاربرد نتایج آن-9
یرفتار غیر خط–روش های عددی تحلیل دینامیکی برای سازه های چند درجه آزادی و پایداری آنها -01
Dynamic of Structures
ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول
مقدارنیروهایی که. تحت اثر نیروهای دینامیکی هستند( ابنیه)در رشته مهندسی عمران اکثر سازه ها
ت که پدیدهجهت و احتماال نقطه اثر آنها با زمان تغییر می کنند و البته نرخ تغییرات فوق به حدی اس( شدت)
.ارتعاش که مشخصه اصلی رفتار دینامیکی است در سازه بوجود میآید
tp
Dynamic of Structures
ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول
ابنیه مهم و بارگذاری دینامیکی وارد
-ارتعاش تجهیزات و ماشین( آب–خاک –پدیده اندر کنش سازه )زلزله ، هیدرودینامیک -انواع سدها
های نیروگاه
زلزله ، ترافیک ، ترمز، باد ، ضربه ، جریان رودخانه –انواع پل ها
، زلزله ، حرکت تسمه ها ( تخلیه سریع مواد ذخیره شده )ویدانژ–سیلوها
زلزله ، هیدرودینامیک ، باد–برج آب
Dynamic of Structures
ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول
امواج دریا ، زلزله ، برخورد کشتی ، جریانهای دریایی ، باد–اسکله و موجشکن
زلزله ، باد–دکل ، دودکش ، برج های خنک کننده
، زلزله( برخورد مستقیم–مجاور –نزدیک –دور )انفجار –استحکامات و پناهگاها
برخورد هواپیما–زلزله –انفجار هسته ای –تاسیسات هسته ای
تشویق تماشاچیان ، زلزله–ورزشگاه ها
زلزله ، عبور سیال–لوله ها
Dynamic of Structures
ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول
زلزله ، باد–برج های ساختمانی
عبور و ترافیک قطار ، زلزله–تونل ها
(دینامیکی)تطبیق و سازگاری تحلیل با رفتار واقعی :هدف
به دلیل پیچدگی و سختی حالت معادل:روش برخورد در گذشته
استاتیکی
(یوترهاکامپ)پیشرفت چشمگیر در فن آوری سخت افزاری و نرم افزاری :تغییر و تحول اخیر
Dynamic of Structures
ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول
در حد امکانات ، اصالح آئین نامه هایدینامیکیبکارگیری روش های تحلیل :روش امروزی
طراحی مطابق با نتایج حاصل
تحلیل ، حالت های( اتفاقی و تصادفی)در نظر گرفتن حالتهای واقعی بارگذاری :تغییرات آتی
ی، بارگذاری منفرد و معین طیف بارگذار( تحلیل ریسک و قابلیت اعتماد)تصادفی
Dynamic of Structures
یاد آوری اصول دینامیک سازه ها–فصل دوم
اصل دوم نیوتن:قانون حاکم
درجه آزادی و روش های کاهش آن متناسب با امکانات در دسترس
– Lumpedروش تمرکز جرم–الف Mass - Procedure
umF
u:u:u: شتابسرعتتغییر مکان
Dynamic of Structures
یاد آوری اصول دینامیک سازه ها–فصل دوم
Generalized Displacementروش تغییر مکان های تعمیم داده شده–ب
taiتابع زمانی
xi
(شرایط حدی و سازگاری)تابع مکانی
xtatxui
n
i
i
1
,
tzl
xtxu تشابه مثلث,
تیر صلب:فرض 1n
صلب
Dynamic of Structures
یاد آوری اصول دینامیک سازه ها–فصل دوم
l
xitatxu
n
i
i
sin,
1
+
+
+
l
xta
sin
1
l
xta
2sin
2
l
xta
3sin
3
l
xta
4sin
4
=
txu ,
+.................
Dynamic of Structures
یاد آوری اصول دینامیک سازه ها–فصل دوم
Finite Element Conceptروش اجزاء محدود –ج
(درجه آزادی)مبانی خاص خود در تمرکز خواص رفتاری سازه در تعداد محدود گره -
روش اجزاء مرزی–د
دیگر( سازه)تمرکز خواص رفتاری محیط مورد نظر در نقاطی در مرز با محیط -
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
رویبعنوان نی....( فنر ، ارتجاعی ، االستیک )نیروی سختی –الف
مقاوم در برابر حرکت
sf
از تحلیل سازه ها 33
241
24
h
EIkpu
h
uEIp
cc
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
kufps
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
33
63
h
EI
h
EIk
cc
تعداد ستونها
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
33
63
h
EI
h
EIk
cc
مد نظر است( رفتاری)حالت خطی
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
33
481
48
l
EIku
l
EIup
Dynamic of Structures
نیروهای موثر در رفتار دینامیکی
33
31
3
l
EIku
l
EIup
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
کمک فنر–فنر –سیستم معادل جرم ( تحلیلی)مدل ریاضی
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
(دگی فنرکشی)در سیستم مرتعش روبرو ، وقتی جرم به اندازه جابجا شود ، کش آمدگی ارتجاعی ستون
می باشد ، بنام بکار میآیند تا جرم به موقعیت اولیه برگردد ، این نیرو در ستون یا فنر که تابع تغییر مکان
رم مورد موسوم است ، البته اگر کوچک باشد ، این نیرو تابع خطی است ، ج( سختی)نیروی فنر
رتعش نظر با یک سرعت مشخص به موقعیت اولیه برگشته و به سمت دیگر پرت خواهد شد و بنابراین م
. می شود
بود ،چنانچه سیستم ارتجاعی باشد و اتالف انرژی وجود نداشته باشد ، جرم برای همیشه مرتعش خواهد
ود آمدنولی در عمل ، اصطکاک با هوا ، اصطکاک بین ذرات سیستم یا در اتصاالت ، تسلیم مصالح و بوج
u
u
u u s
f
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
ترکها و اصطکاک بین آنها و غیره ، باعث اتالف انرژی ارتعاش شده ، به نحوی که طی زمان ، ارتعاش
( تهالکاس)مستهلک شده و از بین می رود ، نیروهایی که باعث اتالف انرژی می شوند بنام نیروهای میرایی
Dampingموسوم هستند.
ود ، اگراگر نیروی میرایی متناسب با سرعت حرکت جرم باشد ، به آن نیروی میرایی لزجی گفته می ش
ه دلیل چه در عمل ، میرایی بطور خالص ، لزجی نمی باشد ولی فرض می گردد که چنین باشد که این امر ب
ا کهسهولت حل معادالت حرکت می باشد ، معموال برای میرایی غیر لزجی می توان میرایی لزجی معادل آنر
.دارای تاثیر مشابه در حرکت باشد ، بدست آورد که این امر کامال تجربی است
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
ت ساخت ،همانطور که قبال گفته شد ، میرایی یک سازه بستگی به مصالح آن ، ماهیت اتصاالت ، کیفی
.دارد..... نوع پی و
الح و انتخاب میرایی در یک سیستم ، معموال دلخواه است بویژه به این دلیل که میرایی با کرنش مص
.طبیعت و جزئیات ساخت متغیر است
میرایی در تحلیل دینامیکی سازه ها بصورت درصد میرایی بکار می رود:
ucfD
نیروی میرایی لزجی معادل
crc
c
موجود
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
حدود درصد میرایی برای مصالح مختلف به شرح زیر است:
– 2به دلیل تفاوت زیاد .چوب تغییرات در کیفیت چوب ، مقادیر نامطمئن است10%
%105
%152
%104
%3010
بتن
فوالد
بنایی
خاک
افزایش با کرنش
// // //
// // //
// // //
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
( درجه آزادی)در تعیین سختی ، جهت و نقطه مورد نظر باید معلوم باشد
در حالت چند درجه آزادی ماتریس سختی با عناصر
نیرو در درجه آزادی وقتی تغییر مکان یا چرخش واحد در درجه آزادی اعمال میشود و
.سایر درجات آزادی گرفته می شوند
.مدل سازی و تعیین درجات آزادی خیلی مهم است: در تعیین سختی
ijk
ijkij
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
کتبعنوان نیروی مقاوم در برابر حر( استهالک ) نیروی میرایی –ب
.ناشی می شود( ارتعاش)این نیرو از مکانیزم های مختلف اتالف انرژی در حرکت
.....اصطکاک در اتصاالت ، ترک ها ، مصالح و
روش مناسب لحاظ کردن در معادالت رفتاری آن است مکانیزم های پیچیده و نا معلوم
.که معادل میرایی لزجی فرض شوند
Viscous Damper حالت خطی مد نظر استucfD
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
است ، پدیده میرایی به ابعاد و هندسه سازه ارتباطی ندارد ولی به نوع مصالح و نوع اتصاالت وابسته
تبدیل مکانیزم های واقعی اتالف انرژی به مکانیزم لزجی از طریق آزمایش روی مدل
.یا در صد میرایی در عمل بصورت تجربی تعیین می شودcضریب میرایی
(کمک فنر) Damperمدل
Dynamic of Structures
نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش
از قانون دوم نیوتن بدست می آید( لختی ) نیروی اینرسی –ج.
0 umFumF
مقاوم در برابر حرکت: عالمت منفی
umfI
چون از قانون ناشی می شود ، ارائه مدل فیزیکی بی معنی است
جهت حرکت
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
ای المان ، ضرایب سختی بر( تیر یا ستون ) سازه ای المانبرای محاسبه لنگر و برش در یک:یادآوری
، بطور Eو مدول ارتجاعی Iو ممان اینرسی Lموضوع برای یک المان همگن بطول . مورد نیاز است
. شماتیک ارائه می شود
.به جهت ها و شماره گذاری توجه شود
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
ضرایب سختی برای چرخش گره در شکل الف و برای انتقال گره در شکل ب نشان داده شده است.
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
برای محاسبه ضرایب سختی ، در درجه آزادی مربوط تغییر مکان یا چرخش واحد اعمال می شود در
.حالی که سایر درجات آزادی مقید و گرفته می شوند
. درجه آزادی محوری به دلیل صلبیت زیاد در نظر گرفته نشده است
E
l
EAuP
l
uE
A
P
l
EAkkPu تعریف ضریب سختی1 عدد بزرگ
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
به تغییر مکان های ، مربوطءبنابراین برای المان تیرو با توجه به چهار درجه آزادی نشان داده شده
: وچرخش های و ، لنگر خمشی و نیروی برشی در گره ها برابر خواهد بود با
au
bu
aQ
bQ
تغییر شکل کلی تیر خمشی
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
babaau
l
EIu
l
EIQ
l
EIQ
l
EIM
22
6624
bababu
l
EIu
l
EIQ
l
EIQ
l
EIM
22
6642
babaaQ
l
EIQ
l
EIu
l
EIu
l
EIV
2233
661212
bababQ
l
EIQ
l
EIu
l
EIu
l
EIV
2233
661212
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
رجاتمطلوبست محاسبه سختی جانبی قاب نشان داده شده با توجه به د–مثال
آزادی مورد نظر؟
ازروش های مختلف تحلیل سازه از جمله پخش
در . لنگر و غیره می توان مساله را حل نمود
اینجا از تعریف ضرایب تاثیر سختی استفاده
.می شود
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
برای بدست آوردن ضرایب ستون
اول ماتریس ، در تغییر مکان ،
تغییر مکان واحد اعمال می شود در
حالی که سایر تغییر مکانهای درجات
:آزادی گرفته می شوند یعنی
ل سازهاز تحلی) و تغییر شکل مربوط در شکل نمایش داده شده است ( ضرایب سختی ) نیروهای
(ها و یادآوری ها
.خواهد بود3X3ماتریس سختی سه درجه آزادی داریم
11u0
32 uu و
1u
1ik
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
برای تعیین ضرایب ستون دوم ماتریس سختی
:خواهیم داشت
( ستون سوم ماتریس ) برای ضرایب
:مشابه حالت دو عمل می شود
2ik
12u0و
31 uu
l
EI
h
EIk
bc44
22
3ik
13u0
21 uu و
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
، اگر در حالت خاص و باشد
:ماتریس سختی بصورت زیر خواهد بود
ل قابقرار داشته باشد ، معادله حاکم برای تغییر شک( مثال ) اگر قاب تحت اثر نیروی جانبی
) ( :بصورت زیر خواهد بود
cbII hl 2
22
22
3
66
66
6624
hhh
hhh
hh
h
EIk
c
sf
s
fuk
0
0
66
66
6624
3
2
1
22
22
3
s
c
f
u
u
u
hhh
hhh
hh
h
EI
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
خواهیم داشت 3و 2از معادالت ردیف:
رابطه اخیر در معادله حاکم رفتاری قرار گیرد ، خواهیم داشت:
11
1
22
22
3
2
1
1
7
6
6
6
6
6u
hu
h
h
hh
hh
u
u
1331
166
7
624uhh
hh
EI
h
EIf
cc
s
Dynamic of Structures
محاسبه سختی یک قاب خمشی
این روش که همراه با حذف چرخش های گره هاست ، به عنوان روش حذف استاتیکی معروف است.
137
96u
h
EIf
c
s
kfus
11
سختی جانبی قاب 37
96
h
EIk
c
Dynamic of Structures
معادالت رفتاری
با توجه به مباحث پایه ای مطرح در حالت سازه های معادل یکدرجه آزادی مطالب بعدی در این حالت
( SDOF. ) خواهد بود
Single – Degree – of - Freedom
(معادله حرکت ) نوشتن معادالت رفتاری
کاربرد مستقیم اصل دوم نیوتن–الف umF
umfftPDS
tPffumSD tPkuucum
Dynamic of Structures
معادالت رفتاری
(D’Alembert’s Principle( ) اصل داالمبر ) تعادل دینامیکی –ب
.نیروی از ابتدا نیروی مقاوم است : مشابه حالت اول با بیان متفاوت
ترکیب مولفه های نیروهای سختی ، میرایی و جرم–ج
در حالت رفتار خطی و در اصول مشابه حالتهای الف و ب
um
= + +
Dynamic of Structures
معادالت رفتاری
تصور تغییر مکان کاذب و صفر بودن کار انجام شده :روش کار مجازی –د
....(جنبشی و پتانسیل ) اطل بقای انرژی :اصل انرژی –به
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
کمک فنر–فنر –سیستم جرم
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
مطلوبست تعیین معادله حرکت سیستم داده شده:
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
حل:
:از روش متعارف تعادل استفاده می کنیم
(tمثال ) ، سیستم را در یک لحظه ( رفتار خطی ) ارتعاش در دامنه های کوچک است
( :به همراه نیروهای موثر ) در حالت تغییر شکل نشان می دهیم
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
سیستم معادل یک درجه آزادی نقطه شاخص یا درجه آزادی شاخص را
.انتخاب می کنیم
BBtz
4
ZDD
ZEE4
3
ZFF3
2
ZGG3
1
2
ZSS
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
تعیین نیروهای موثر: tZKEEKfS
4
3111
tZKGGKfS
3
1222
tZCDDCfD
4
1111
tZCfD
22
tZamtZ
mSSmfI
22
111 AB اینرسی انتقالی المان
tZmFFmfI
3
2222
..
..
.
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
a
Z
a
Z
a
BB
tZmaa
tZamaIM
I
444
3
4
412
44
2
2
01
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
0دسترسی به معادله حرکت از روش تعادل AM
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
0 AM
اینرسی جرمی میرایی
سختی نیروی خارجی تحمیلی
af
MafI
II4
3
22
2
11 +
1
14
1aaf
D
+
af
afS
S4
33
2
1 =
atpaf3
28
Dynamic of Structures
مدل سازی رفتاری
پس از جاگذاری عبارت ها و ساده کردن روابط در نهایت خواهیم داشت:
معادله سیستم معادل یک درجه آزادی با جرم موثر ، میرایی موثر ، سختی موثر و نیروی موثر
tpaftZK
K
tZCC
tZmam
3
16
916
9
169
4
3
4
2
1
2
1
2
tptzktzctzm
Dynamic of Structures
توجه:
با توجه به ارائه درس مهندسی زلزله در نیمسال بعدی ،
حالتهای حرکت زمین بعنوان عامل ارتعاش در سازه ها
در مدل سازی و تحلیل ها در درس دینامیک سازه ها
.ارائه نمی شود
Dynamic of Structures
روش های حل معادالت حرکت
classical solution( مستقیم ) روش کالسیک و متعارف –الف
حل عمومی و جواب خصوصی و اعمال شرایط اولیه –حل معادله دیفرانسیل
رفتار خطیDuhamel’s Integralروش انتگرال دوهامل –ب
رفتار خطیTransform Methodsروش های تبدیل –ج
تحلیل در میدان فرکانس تبدیل الپالس و فوریه
مناسب برای تحلیل های اندر کنش محیط های غیر یکنواخت•
FFTروش های عددی قوی و سریع •
رفتار خطی و غیر خطی الگوریتم های مختلف و پایداری Numerical Methodsروش های عددی –د
روش
Dynamic of Structures
Response پاسخ ، واکنش سازه
از حل معادله حرکتU(t)بدست می آید
مفهوم پاسخ شامل همه نوع مجهول محاسباتی و طراحی می تواند باشد
......تغییر مکان ، سرعت ، شتاب ، تنش ، نیرو و
معموال در طراحیUmax و پاسخ های حداکثر بکار گرفته می شوند.
Dynamic of Structures
Element Forces نیروهای
اجزاء
حاصل می شود و برای تیر و ستونها می توان( دینامیکی ) از حل معادله حرکت
. لنگرخمشی و نیروی برشی حاصل شود
اید و برای طراحی ، از تنش های مجازی استفاده می شود که از آزمایش استاتیکی مصالح بدست می:توجه
.کافی است از برای ارزیابی نیروها استفاده شود
تغییر مکان .استفاده شود ( ترکیب ) برای بدست آوردن پاسخ کامل باید از جواب دینامیکی و استاتیکی
.تحت اثر وزن باید ملحوظ شود
tkutfS
tu
Sf
Dynamic of Structures
(مقیاس ) دستگاه واحد
f=maرابطه اساسی
نیرو= جرم Xشتاب
SIدستگاه واحد نیرو= Nنیوتن
شتاب= 2m/s2متر بر ثانیه بتوان
Kg mass کیلو جرمN.S2/m =kg =جرم
Dynamic of Structures
(مقیاس ) دستگاه واحد
MKSدستگاه kgf =واحد نیرو
m/s2 =شتاب
kgf.S 2/m =جرم
1 kgf = 9.81 N
g=9.81 m/s2=981 cm/s2شتاب ثقل
=386 in/s2 = 32.2
Dynamic of Structures
(مقیاس ) دستگاه واحد
1 kip =1000ibf = 453.4 kgf = 4448.2 N
1 kip/in = 175126 N/m
1 in = 2.54 cm
1 psi = 6894.8 N/m2 = 0.7 t/m2
،m=W/g مناسب است در فرمول ها از(m) برای بکار گیری جرم
( وزن W) استفاده شود
. وزن مانند نیرو است
Dynamic of Structures
معادله حرکت
در جهت شمال جنوب قاب خمشی و در جهت شرقییک ساختمان صنعتی یک طبقه :مثال
. غربی بصورت مهار بندی شده است
وزن در سقف و مهارهای افقی در سقف زیر خرپای
:ممان اینرسی ستونها . سقف است
مهارهای قائم میلگرد به قطر و
غرب و شرق–مطلوبست تعیین معادله حرکت در جهات شمال جنوب
0302
230ft
ib
4
4
3.18
8.82
inI
inI
y
x
1 ksiE 29000
Dynamic of Structures
معادله حرکت
با توجه به ضربدری های افقی سقف می توان عملکرد سقف را بصورت دیافراگم فرض نمود .
in
sibg
Wm
2
63.46386
203030
Dynamic of Structures
معادله حرکت
:جنوب –جهت شمال –الف
سختی جانبی دو قاب خمشی عبارت است از
inkips
h
EIk
x
SN/58.38
1212
2.821029124
124
3
3
0
ukumSN
: معادله حرکتS-N
Dynamic of Structures
معادله حرکت
:غربی –جهت شرقی –ب
ائم معموال وقتی از مهار استفاده می شود ، فرض می گردد که قاب ها صلب بوده و برای انتقال نیروی ق
سختی، بنابراین( با اتصال مفصلی ) هستند و بار جانبی توسط مهارها تحمل می شود ( بار مرده و زنده )
: جانبی جمع سختی هر یک از مهارها خواهد بود که بصورت زیر برآورد می شود
ftl
inA
3.23
785.02
Dynamic of Structures
معادله حرکت
l
AEp
cospfs
cosu
coss
fp
cosu
در معادله
Dynamic of Structures
معادله حرکت
هر قاب دارای دو مهار است ولی یکی در کشش است که مقاومت جانبی را ایجاد می نماید و دیگری در
ت جانبیو بسیار کم در مقاوم( در اثر نیروی محوری ) فشار کار می کند که فرض می شود به کمانش برسد
: مشارکت می نماید ، چون دو قاب مهار بود پس
kufS
2cos
l
AEk و
8575.0
2012
20cos
22
inkipsk /8.598575.0
123.23
1029785.0 2
3
مهار
مهار
Dynamic of Structures
معادله حرکت
غرب –سختی یک ستون در جهت شرق :توجه
. (پس صرفنظر شد ) است که بهر حال از نظر نسبی قابل توجه نمی باشد
inkipskWE
/6.1198.592
0
ukumWE
معادله حرکت
inkipsh
EIk
y/13.2
12
3
ستون
Dynamic of Structures
معادله حرکت
با توجه به سیستم زیر که وزنه :مثالW توسط فنری از انتهای یک تیر طره آویزان است ، معادله
.ود حرکت وزنه را بنویسید ، تیر فلزی است و از جرم تیر و فنر صرفنظر می ش ksiE 29000
Dynamic of Structures
معادله حرکت
tpWfums
ukfes
tpWukume
uus
uu 0
Wkse
s (استاتیکی)تغییر مکان در اثر
u
W
(دینامیکی) "" "" "" tp
tpukume
معادله حرکت باید محاسبه شودe
k
Dynamic of Structures
معادله حرکت
برحسب تغییرمالحظه می شود وقتی معادله
است ، وزن در معادله اثرuمکان دینامیکی
معموال حرکت از حالت استاتیکی به . ندارد
بعد نوشته و حل می شود و سپس اثر حالت
(اگر رفتار خطی باشد)استاتیکی ملحوظ می شود
Dynamic of Structures
آزادی بدون میراییسیستم معادل یک درجهپاسخ ارتعاش آزاد یک
0SI
ff
00 um
kukuum
0
0
0
0
utu
utu
شرایط اولیه
0,02
kmm
k فعال مفهوم فیزیکی ندارد
02uu برای حل پاسخ فرضی st
ectu
st
escu2 در معادله 0
22 sec
st
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی
ترجیح می دهیم ، رابطه از حالت تابع اکسپونانسیل به حالت هارمونیک نوشته شود .
: از رابطه مثلثاتی اولر استفاده می کنیم
iss 022
01 st
eci
پاسخ معادله titiecectu
21
sincos iei
tcitctcitctu sincossincos2211
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی
برای تعیین ضرایب ثابتA وB از شرایط اولیه استفاده می کنیم:
tcicitcctu
BA
sincos2121
tBtAtu sincos
00
010 uABAutu
tBtAtu cossin
uBBAutu 1000
tu
tutu
sincos0
0
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی
ب با فاصله به کمک روابط مثلثاتی پاسخ بصورت تابع هارمونیکی است با دامنه و سیکل تناو
ا، فاصله زمانی عبارت است از مدتی که آرگومان تابع یعنی ب( پریود تابع ) زمانی
:مقدار افزایش می یابد
0
0
2
02
0max
sin
u
uarctg
uuu
ttu
max
u
TT t
2
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی
تعداد سیکل در یک ثانیه: فرکانس
.پس تعداد سیکل تناوب در ثانیه که به فرکانس زاویه ای موسوم است
محاسبه سختی موثر
22 TTtt
ffT
f
2
2
1
2
ukfes
u تیر،عبارت از تغییر شکل انتهای تیر طره است
فنر،عبارت از تغییر شکل انتهای فنر است
فنرتیر
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی
با توجه به شکل:
kkfs
فنر تیرتیر
و بجای ها از قرار می دهیمبجای از در معادله u
k
f
k
f
k
fss
e
s
kk
kkk
e
یا
تیر تیر
تیر
inibkو /20
inib
l
EIk /54.39
1210
4
110293
3
3
46
3
inibke
/28.13
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
بدون میرایی–الف
0 kuum
شرایط اولیه tu
tutuuوu
sincos0
000
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
پریود ، فرکانس و فرکانس زاویه ای طبیعی سیستم
mk
2T
2
1
Tf
s
s
g
s
g
s
gf
2
1
gT s
2
دامنه حرکت
2
02
0max
uuu
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
0SDI
fff
000 um
ku
m
cumkuucum
جواب فرضی: stectu
stsecu
stescu
2 در
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
0
22s
m
csec
st 022
sm
cS
2
2
22
m
c
m
cS سه حالت برای زیر رادیکال متصور است
اگر m
c
2را بحرانی نامندCمقدار mc
cr2
اگر از درصد استهالک استفاده شود 12 S
c
c
cr
crc
c
m
c
m
c
22
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
زیر رادیکال صفر 1 100% یا حالت بحرانی
تابع پاسخ اکسپونانسیلعدد حقیقی Sجواب
زیر رادیکال مثبت 1 حالت فوق بحرانی
تابع پاسخ اکسپونانسیلدو عدد حقیقی Sجواب
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
حرانی دارای میرایی خیلی کمتر از ب( سازه های متعارف عمرانی ) که در عمل ، ارتعاش آزاد کلیه ابنیه
:است ( ارتعاش ) است و تابع پاسخ دارای حالت نوسانی
برای بدست آوردن تابع پاسخ:
crcc
موجود1و یا%100
21 iS
Dو
21 فرض می کنیم
D
iS tittit DD ecectu
21
titit DD ececetu
21
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
ست عبارت داخل پرانتز شبیه پاسخ ارتعاش آزاد بدون میرایی است فقط به تبدیل شده ا .
:پس می توان به کمک رابطه اولر مثلثاتی ، پاسخ را بصورت هارمونیک نوشت
می توان دو تابع هارمونیک را تبدیل به یک تابع نمود:
D
tBtAetuDD
t
sincos
00uوu از شرایط اولیه
D
uuBوuA
00
0
t
uutuetu
D
D
D
t
sincos
00
0
tetetuD
t
D
tcossin
22BA
BAarctan
ABarctan
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
در ساختمان صنعتی مثال های قبل مطلوبست برآورد ، و در دو جهت ؟–مثالTf
sec/73.2804663.0
58.38Rad
mk
SN
sec219.073.28
22
SN
T HzT
fSN
57.4219.0
11
sec/64.5004663.0
6.119Rad
WE
sec124.0
64.50
2
WE
T
HzfWE
06.8124.0
1
WESN
Dynamic of Structures
پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی
مطلوبست تعیین و ( طره با وزنه در انتها ) در مثال های قبل –مثال ،fT
s
gf
2
1
Hzf 56.2494.1
386
2
1
ink
W
e
s494.1
28.13
20
sec391.01
fT
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
حالت میرایی –ب0 kuucum
cr
cr
c
c
uuumcوm
k
02222
1
1
cr
cr
cc
cc
یا1حالت زیر بحرانی( : واقعیت ) در عمل cr
cc
حالت بحرانی
حالت فوق بحرانی
موجود
بحرانی
در صد میرایی
میرایی بحرانی
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
1.0.........برای ساختمانها ، پل ، سد ، تاسیسات هسته ای ، سازه های دریایی و
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
فرکانس زاویه ای میرایی
t
tutuetu
D
D
Dt
sincos
0
0
21
D
21
T
TD
پریود طبیعی میرایی
D
2.0برای
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
دامنه حرکت در ارتعاش آزاد با میرایی در هر سیکل حرکت کاهش می یابد و پوش آنها:
2
002
0
uuuوe
t
21
21 1
2ln
1
2exp
i
i
i
i
u
u
u
u
2112
کاهندگی لگاریتمی
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
فاده شود ،معموال بهتر است بجای دو سیکل متوالی از چند سیکل فاصله برای کاهندگی لگاریتمی است
j
j
j
j
eu
u
u
u
u
u
u
u
u
u
14
3
3
2
2
1
1
1........
2ln1
1
1
j
u
u
j
:دامنه حرکت 50% رابطه بیان کننده تعداد سیکل الزم برای کاهش
11.0%50J
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
ین روش هایکی از ا. تعیین تحلیلی در صد میرایی ممکن نیست لذا از روش های تجربی استفاده می شود
.حالت ارتعاش آزاد سازه واقعی است
ji
i
u
u
J
ln2
1
یا
ji
i
u
u
j
ln
2
1
اگر آزمایش اجازه ثبت شتاب را بدهد
را بدهد uاگر آزمایش اجازه ثبت
.معموال در عمل حالت ثبت شتاب سازه در آزمایش ارتعاش آزاد سهل تر است
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
شتاب نگاشت ارتعاش آزاد سازه
برداز ثبت می توان ارتعاش آزاد را بررسی و پریود واقعی را محاسبه نمود و از روش تحلیلی و کار
.سختی و جرم نیز محاسبه و مقایسه کرد تا دقت تعیین سختی و جرم ارزیابی شود
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
اش آزاد که تحت آزمایش ارتع( مدل ) مطلوبست تعیین پریود طبیعی و در صد میرایی یک قاب –مثال
. نتیجه آزمایش بصورت زیر است . قرار کرفته است
sec273.010
110.1844.3
DT
%96.30396.0
076.0
915.0ln
102
1
g
g
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
وده ویک مخزن آب هوایی که خالی است در نظر گرفته می شود ، یک کابل به مخزن متصل ب–مثال
هانی اینچ تغییر مکان افقی شده است ، کابل بصورت ناگ2اعمال شده که باعثkips16.4نیروی افقی
اینچ می باشد ،1ثانیه و دامنه حرکت 2قطع و ارتعاش آزاد رخ می دهد ، در پایان چهار سیکل کامل ، زمان
:با اطالعات فوق مطلوبست محاسبه
پریود طبیعی بدون میرایی–ب در صد میرایی –الف
وزن موثر سیستم–د سختی موثر سیستم –ج
. اینچ کاهش یابد 0.2تعداد سیکل الزم برای اینکه دامنه حرکت به –و ضریب میرایی -به
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
رسیده1به 2سیکل دامنه از 4در -الف
ب–
ج-
%75.20275.04
11.011.0%50
j
sec5.04
0.2
DT
sec5.0D
TT
in
kipsk 2.8
2
4.16
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
د–
به-
sRad
T57.12
5.0
22
inkips
km /sec0519.0
57.12
2.8 2
22
kipsmgW 03.203860519.0
inkipskmc sec/0359.00519.02.820275.02
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
و-
ju
u
j1
1ln
2
1
1332.13
2.0
2ln
0275.02
1
j سیکل
Dynamic of Structures
SDOF ارتعاش آزاد
80وزن آب الزم برای پر کردن مخزن آب هوایی در مثال قبل برابر –مثال kips، می باشد
مطلوبست تعیین پریود طبیعی و در صد میرایی مخزن پر ؟
kipsW 03.1008003.20
inskipsm /2591.0386
03.100 2
sec12.12.8
2591.022
k
mT
%23.10123.0
2591.02.82
0359.0
2
km
c
Dynamic of Structures
انرژی ارتعاش آزاد
انرژی یک سیستمSDOF در لحظه شروع ( شرایط اولیه و ) در اثر ارتعاش آزاد ،:
زدر هر لحظه از ارتعاش آزاد ، انرژی کل از جمع دو انرژی است ؛ انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل ا
: کرنش
0u
0u
2
0
2
012
1
2
1umukE
kE
sE
tumEk
2
2
1
tkuEs
2
2
1
Dynamic of Structures
انرژی ارتعاش آزاد
بجای از معادلش در حالت ارتعاش بدون میرایی قرار می دهیم:
انرژی کل:
tu
2
0
0sincos
2
1
t
utuktE
s
2
0
0
2cossin
2
1
t
utumtE
k
2
0
2
02
1
2
1umkutEtE
sk
Dynamic of Structures
انرژی ارتعاش آزاد
فنظرمیرایی صر) مقدار کل انرزی در هر لحظه مستقل از زمان بوده و برابر انرژی لحظه ابتدایی است
(.شده
رتعاش آزاداگر میرایی در نظر گرفته شود ، برای محاسبه انرژی جنبشی و پتانسیل باید از حالت ا
.با میرایی استفاده نمود
انرژی کل در این حالت دارای تابع کاهشی در زمان خواهد بود چون از انرژی بصورت لزجی استهالک
:می شود که در مدت زمان صفر تا برابر
. به مرور مستهلک خواهد شد ( لحظه اول شروع ارتعاش ) مقدار انرژی کل اولیه
tu
t u u u
DDdtucduucdutfE
0 0 0
2
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
چرا؟. این بخش از مباحث کالسیک و پایه ای دینامیک سازه هاست
اجامو–نیروی نا متعادل ماشین های چرخان )از یک طرف اکثر بارها بصورت هارمونیکی بیان می شوند
.....(.بارهای پریودیک و –زلزله –دریا
از طرف دیگر درک رفتار سازه ها در برابر نیروهای هارمونیک کمک فراوانی به درک واکنش سازه در
.برابر سایر نیروها می نماید
. در ضمن نوع تابع هارمونیک و نتایج حاصل از تحلیل و تفسیر آنها ساده می باشد
tPtP sin0
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
حالت بدون میرایی–الف:
tpkuum sin0
tk
pt
k
pututu
sin
1
1sin
1cos
2
0
2
00
0
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
اگر شرایط اولیه صفر باشد:
ttk
ptu
sinsin
1
1
2
0
پایدارگذرا
0:00 uu
stu
tutR ضریب رفتار
k
pu
st
0
20
2
0
max
max
1
1sin
1
1
k
p
tk
p
u
tuDtR
st
ضریب بزرگ نمایی تغییر مکان
1
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
(رزونانس)حالت تشدید 0
11 D
tu با رفع ابهام :
tttk
ptu sincos5.0
0
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
حالت با میرایی–الف:
tpkuucum sin0
tNtMtBtAetuDD
t cossinsincos
A وBاز شرایط اولیه بدست می آید
222
2
0
21
1
k
pM
222
0
21
2
k
pN
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
اگر از جواب گذرا صرفنظر شود:
در رزونانس
ttutup
sin
222
0
21
1
k
p
21
2arctan
2220 21
1
k
pD
2
11 D
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
حداکثر : توجهDدر مقادیر قدری کمتر از
برای مثال
(:با شرایط اولیه صفر)اگر از جواب گذرا صرفنظر نشود
ترمsin و ( صرفنظر می شود)در عبارت باال کوچک است:
1
2222210814
d
dD
%15 حداکثرD977.0به ازاءحاصل میشود.
000 uu
tttek
ptu
DD
t
cossin
1
cos2
1
2
0
D
tek
ptu
t
cos1
2
10
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
برای حالت حذف جواب گذرا:
کمی بزرگتر از یک است و مستقل Dضریب بزرگنمایی ( تغییرات نیرو آهسته است)اگر 1.
.پس رفتار دینامیکی مانند تغییر شکل استاتیکی است–از میرایی
.سختی سیستم کنترل کننده است*
.1.....
به سمت صفر میل می کند و میرایی اثرDبا افزایش مقدار ( تغییرات نیرو سریع است)اگر 2.
:تعیین کننده است و تقریبا داریمDبرای مقادیر بزرگ ترم در بیان عبارت . زیادی ندارد
1
k
pu
0
max
1D
1
4
2
2
2
0
1
k
pD
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
جرم کنترل کننده است*
.1....
.2....
بسیار به درصدDمقدار ( فرکانس بارگذاری و فرکانس طبیعی سیستم تقریبا برابر است)اگر 3.
.تغییر شکل دینامیکی خیلی از تغییر شکل استاتیکی بزرگتر است. میرایی حساس است
.میرایی کنترل کننده است*
2
0
2
2
0
m
p
k
p دامنه حرکت
1
c
pk
p
0
0
2
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
مثال:
یکییک سیستم معادل یک درجه آزادی تحت اثر دو حالت بارگذاری هارمون( با تقریب )دامنه حرکت
مطلوبست تخمین درصد میرایی سیستم؟. بصورت زیر است
5 520.0
: 5
52
10
k
p 5.002.025
10
0
2
0 k
pk
p
k
p
%505.0
Dynamic of Structures
برآورد در صد میرایی از روش تشدید هارمونیکی
نوسان کننده ساده مستهلک شونده با فرکانس زاویه ای: تئوری
tptp sin0
1
tk
ptutu
p
cos2
2
1
2
0
tk
ptu
cos
2
0
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
نیروی در فنر–الف
نیروی در میراگر–ب
Sf tkuf
S
k
pa
20دامنه
tucfD
. Df
umfmcm
cD
222
tatutatu sincos
tamtamfD
sin2sin22
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
takfkmm
kD
sin222
tak
ft
ak
fDD
2
2
sin2
sin2
2
222
1cos1sina
utt
تابع بیضی
2
2
2
2
12 a
u
ak
fD
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
ه دردریک سیکل کامل مقدار انرژی پتانسیل در فنر تماما پس داده می شود ولی انرژی استهالک شد
:میراگر مصرف می شود و مقدار آن برابر سطح زیر بیضی است
رابطه بین مجموع دو نیروی وتغییر
:مکان
kaA2
2ka
A
22
SDff ,
u
شکل بدست آمده برای حالت تئوریک و ایده آل بوده است
Dynamic of Structures
برآورد در صد میرایی از روش تشدید هارمونیکی
محاسبه و درصد میرایی نسبی تخمین زده می شودمقدار –از شکل مساحت بیضی ak ,
kaA
22
4% شدهفوالدی جوش
%7فوالدی پیچ و مهره
5% بتن پیش تنیده
%7بتن مسلح
(منحنی در حالت واقعی) (توصیه سازمان انرژی اتمی آمریکا)
Dynamic of Structures
برآورد در صد میرایی از روش تشدید هارمونیکی
انرژی مستهلک شده یک سیستم مقدارSDOF در یک سیکل تحت اثر tptp sin0
(:جواب پایدار) dtucdtuucdufE
DD
2
0
2
0
2
2
22
0cos
cdttc
:توجه از قبل داشتیم ttutup
sin
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
مثال:
نیروی مقاوم برای حرکت جسمی در یک سیال با توان دو سرعت رابطه دارد
حت اثرمطلوبست تعیین ضریب میرایی معادل لزجی برای چنین نیرویی که بر سیستم مرتعش ت
نیروی هارمونیکی با دامنه حرکت و فرکانس زاویه ای و هم چنین تخمین در حالت
اگر زمان از حالت تغییر مکان حداکثر منفی در نظر باشد: حل:
2ubf
D
eqc
ttu cos
dtuubdtufdtufdufEcDDDDeq
2
0 0 0
222
32
0
333
3
8sin2
btdtb
Dynamic of Structures
در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های
bcbceqeq
3
8
3
8 322
از قبل
c
p0
21
2
0
8
3
p
b
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
انتقال حرکت از تکیه گاه : الف
به سازه
.... زلزله-انفجار-عبور قطار-ماشین آالت
tuututugggg
cossin00
نشان میدهیمرا با برای سادگیt
uu
0gg
uukuucum
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
tuctkukuucumgg
cossin00
tp sin0
...................................
22
2
2
2
2
m
c
m
c
k
c
222
0021
0
kuckugpg
2tank
c
tuctku
k
pu
tpkuucum
gg
cossin
21
1
sin
00222
0
max
0
crc
tuحداکثر تغییر مکان منتقله از پی سازه به خود سازه وقتی پی بصورت ارتعاش می کندg
sin0
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
مساله مهم در کاهندگی ارتعاش:
.حفاظت سیستم از ارتعاشات مزاحم ناشی از حرکت تکیه گاه است
ضریب قابلیت انتقال:
معیاری جهت تعیین میزان انتقال حرکت از پی به دستگاه
222
2
2
0
222
0
max
21
21
21
1
21
1
0
k
p
k
p
u
uTR
g
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
در بارگذاری
sin
21
1
222
D
2
21 DTR
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
حداکثر تغییر )همه منحنی ها از یک نقطه عبور و به ازای
(.ارتعاش پی( دامنه)مکان منتقله به سیستم برابر حداکثر
ییر بزرگتر باشد ضریب انتقال کاهش می کند بنابراین تغهر چه از.مکان منتقله کمتر می شود
ی مهم وتاثیر نیروی میرای! هر چه کمتر باشد ضریب انتقال کمتر می شود
!نقش نیروی میرایی؟ نا مطلوب. هر چه کمتر باشد بهتر است
باید تغییر تغییر مکان حداکثر سیستم است ولی برای نیروی داخلی سازه در اثر حرکت تکیه گاهی
:مکان نسبی معلوم باشد
21TR
2
maxu
ru
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاشgr
uuu
tmuumkuucumggrrr
sin2
0
geffump
222
2
max
21
10
k
muu
g
r
222
2
max2
2
22
210
g
r
u
u
k
m
2
max 0
Duugr
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
مثال:
26/101.2 cmkgE
21450 cmI
%5
?TR
حداکثر تنش موجود در ستونها؟
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
3
6
3500
1450101.26/2.146
6 cmkgf
h
EIk
mNk /1432761008.92.146
cmug
4.00
sRadm
k /84.4106
8.9143276
4
826.084.4
4/4 sRad
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
046.3
826.005.02826.01
1
222
D
056.3826.005.021046.32TR
cmDuugr
83.0826.0046.34.022
max 0
نیروی هر ستون kgf67.602
83.02.146
cmkgfM 3033550067.60max
2
max/3.188
91450
30335cmkgf
h
IM
لنگر حداکثر هر ستون
918 hINP
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
انتقال نیرو از سازه به تکیه گاه: ب
.در طراحی پی های ماشین های مرتعش بکار می رود
سازه مرتعش است و هدف تعیین مقدار نیروی منتقله از سازه به تکیه گاه است
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
ستاتیک در ا. برآیند نیروهای انتقال یافته از سازه به پی برابر مجموع نیروهای فنر و کمک فنر است
.فقط نیروی منتقل می شود اما در دینامیک ، و منتقل می شود
tpkuucum sin0
جواب پایدار ttu sin
D
k
p
k
p
0
222
0
21
1
kukuuc
uckuffRDS
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
tck
tctkR
sin
cossin
222
2arctan
k
c
زاویه فاز
22
2
41
2
tantan1
tantantan
tkt
k
ckR sin21sin1
2
2
222
2
0
max
21
21
pR
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
TR :ه به حداکثر نیرویقابلیت انتقال در این حالت عبارت از نسبت حداکثر نیروی انتقال یافته به تکیه گا
.هارمونیکی وارد بر سازه است
کنند ، انتقال حرکت از تکیه گاه به سازه و انتقال نیرو از سازه به تکیه گاه از یک قانون پیروی می
( .مشابه است TRمنحنی تغییرات )
2
222
2
0
max21
21
21
D
p
RTR شبیه حالت الف
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
مثال:
نیروی انتفال یافته از موتور به تیر ؟
%10
Nttp 40sin1034
44250 cmI
x
26/101.2 cmkgE از وزن تیر صرفنظر می شود ،
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
حل:
cmkgfl
EIk /6694
400
4250101.24848
3
6
3
mNk /65601201008.96694
sRadm
k /77.561020
8.96560120
3
7.07.56
40
cmk
pu
st46.0100
6560120
1034
0
Dynamic of Structures
کاهندگی ارتعاش
89.1
7.01.027.01
1
222
D
cmDk
p87.089.146.0
0 حداکثر تغییر مکان
91.17.01.02189.12122
DTR
NTRpp 44
0max1073.591.1103 تاثیر نیروی دینامیکی
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
نیروی پریودیک نیرویی که تابع آن پس از یک پریود ثابت ، عینا تکرار شود( پریودTp )نیروی ،
یلیپروانه کشتی ، امواج روی سکوهای دریایی ، نیروی گردابی باد بر ساختمانهای بلند و الغر و خ
نیروهای دیگر ، پریودیک یا نزدیک
:به آن هستند
شبیه سازی زلزله و حرکت اتوموبیل
روی دهانه بلند پل ها به دلیل اثر بلند
مدت خزش از آن جمله می باشند ،
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
(.ه خطی رفتار ساز)با کمک بسط سری فوریه ، نیروی پریودیک به ترم های هارمونیک تبدیل می شود
پریودیک
1 1
0sincos
n n
nntnbtnaatp
pT
p
dttpT
a0
0
1در یک پریود P(t)مقدار متوسط
,...3,2,1
2
n
Tp
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
در تئوری ترم ولی در عمل چند ترم اول برای همگرایی کافی است .
pT
p
ndttntp
Ta
0cos
2
pT
p
ndttntp
Tb
0sin
2
1 1
0sincos
n n
nntnbtnaatpkuucum
1
2
2
n
T
nT
T
Tn
p
pn
n1
nn
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
از حل معادله برای هر ترم بارگذاری
یک تابع پریودیک با پریود
یب تاثیر نسبی هر ترم بستگی مستقیم به مقدار و از مولفه نیرو و همینطور ضر
. دارد
tu
tbat
bakk
atu
nnnnnn
n
nnnn
nn
cos21sin
12
21
11
2
1
2
222
0
tup
T
na
nb
n tp
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
مطلوبست تحلیل یک : مثالSDOF تحت اثر نیروی پریودیک
0
0
p
ptp
p
p
p
TtT
Tt
2
20
pT
p
dttpT
a0
00
1
Dynamic of Structures
Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم
0coscos2 2
02
00
pp
p
TT
T
p
ndttnpdttnp
Ta
n
pdttnpdttnpT
b
pp
p
TT
T
p
n 0
2
02
00 4
0sinsin
2 n زوج
n فرد
5,3,1
0sin
14
n
ntn
n
ptptp
222
22
5,3,1
0
21
cos2sin114
nn
nn
n
tntn
nk
ptu
Dynamic of Structures
(انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDFتحلیل دینامیکی
Duhamel’s integral )Response to Arbitrary Force(
ی دیده، تحلیل دینامیکی در برابر بار آن( بدون محدودیت خاص)قبل از پرداختن به بار گذاری کلی
مدت زمان اعمال بار بقدری کوتاه که سیستم . می شود
فرصت عکس العمل ندارد ، بنابراین تغییر مکان در فاز
بارگذاری تقریبا صفر است ، میرایی در این نوع بارگذاری
جواب سیستم در فاز ارتعاش آزاد. اثر بسیار ناچیز دارد
d: خواهد بود tt
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل
دینامیکی
شرایط اولیه در لحظهtd نوشته می شود ( بدون میرایی)برآورد شده و رابطه ارتعاش آزاد .
معموال اگر باشد ، جواب تقریبی فوق ، قابل قبول خواهد بود.
ضربه = اندازه مقدار حرکت dd
d
tt
t
umuumumdttp 00
0#dt
u و
m
dttpu
dt
رابطه ارتعاش آزاد
tm
dttptut
utu
d
d
d
t
t
t
sincossin
0
4
Tt
d
صفر
صفر
Dynamic of Structures
(انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDFتحلیل دینامیکی
یک سیستم –مثالSDF باT=0.4 sec تحت بار ذوزنقه ای شکل است .
?8.1 tu
sRadT
/7.154.0
22
43.0
Tt
d
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل دینامیکی
روش مستقیم یا........
Iفقط فاز
7.1sin2
1.07.1
41.0
0
1m
ptu
Tt
d
IIفقط فاز
6.1sin1.0
6.14
1.00
2m
ptu
Tt
d
IIIفقط فاز
5.1sin2
1.05.1
41.0
0
3m
ptu
Tt
d
سیستم خطی
5.1sin6.1sin27.1sin2
1.08.1
0
321
m
puuutu
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل دینامیکی
tm
dptdu
sin
dtpm
tudutt
sin1
00
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل دینامیکی
انتگرال دوهامل برای حالت بدون میرایی
جواب خیلی دقیق است چون
پاسخ انتگرال دوهامل برای حالت با میرایی
در عمل ،اگر تابع پیچیده باشد یا شکل خاصی نداشته باشد ، از روش برآورد عددی استفاده می شود ،
. روش های عددی انتگرال دوهامل از کارایی خوبی بر خوردار نمی باشند
4
Td
dtep
mtu
D
tt
D
sin1
0
tp
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل
دینامیکی
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل
دینامیکی
مطلوبست تحلیل یک –مثالSDF با روش انتگرال دو هامل برای بار گذاری زیر:
حالت بدون میرایی
dt
tptp 1
0 dtt 0
t
d
dtt
pm
tu0
0sin1
1
Dynamic of Structures
( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل
دینامیکی
( :ارتعاش آزاد)برای
. باید و در لحظه بر آورد شود و در رابطه ارتعاش آزاد قرار گیرد
(:شرایط اولیه صفر فرض شده است )پس از عملیات پر حجم انتگرال گیری
t
tt
t
t
k
ptp
dd
sin1
cos10
dtt 0
dtt
uudt
Dynamic of Structures
در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم
الف–STEP FORCE
در این حالت به ازای لحظه ای که پاسخ حداکثر می شود.
یا انتگرال دوهامل قابل حصول است ( حل معادله دیفرانسیل ) تحلیل باال از روش مستقیم.
0
ptpkuum
جواب بدون میرایی
tk
ptu cos1
0
حالت با میرایی
k
ptu
0
max2
ttek
ptu
DD
t
sin
1
cos12
0
Dynamic of Structures
در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم
ب–RAMP FORCE ( نیروی افزاینده خطی)
r
t
tptp
0
رفتار سازه خطی است و 0:sin
0
rrt
t
t
t
k
ptu
Dynamic of Structures
در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم
ج–STEP FORCE with FINITE RISE TIME ( بدون میرایی)
0
0
p
ttp
tp r
r
r
tt
tt
rrt
t
t
t
k
ptu
sin0
rtt
Dynamic of Structures
در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم
r
r
ttttk
ptu
sinsin
11
0
rtt
220
maxsincos1
11
rr
r
tttk
ptu
r
tt
ضریب بزرگنمایی دینامیکی
T
t
T
t
k
p
uD
r
r
sin
1
0
max
Dynamic of Structures
در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم
طیف جواب برای بارگذاری فوق
حالت بدون میرایی
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
بر سازه ها اثر می کنند...... انواع بار گذاری ضربه ای مثلثی ، مستطیلی ، نصف هارمونیک و.
جزئیات تحلیل برای نمونه در مورد بار ضربه ای نصف سینوس ارائه می شود .
موج انفجار ، ترمز جرثقیل های بزرگ ، افزایش ناگهانی
نیروی موتور از جمله بارهای ضربه ای هستند ،
معموال اثر میرایی خیلی کم است ،
IIو فاز Iفاز : تحلیل در دو فاز انجام می شود
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
تحلیل فاز بار گذاری(I )
آیا در فازI است یاII؟
dtt 0
tpkuum sin0
ttk
ptu
sinsin
1
1
2
0
maxu
0coscos
1
1
2
0
tt
k
p
dt
du
tttt coscos0coscos
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
برای اینکه حداکثر در فازIباشد باید
بارگذاری نصفsin پس سیکل اول(n=1)و اگر با عالمت منفی ادامه دهیم خواهیم داشت
. بررسی می کنیم + و عالمت n=1که معنی ندارد پس رابطه شرطی را با
tnt 2 لحظه پاسخ حداکثر
T
t
nnt
d2
1
22max
d
d
t
T
T
t
22
22
dtt
max
1
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
d
d
t
T
tt
21
2
11
2max
d
t1
1
2
d
ddp
tttT
2
22
یا 1یا dt
T
2
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
تحلیل فاز ارتعاش آزاد(II)
برای رابطه ارتعاش آزاد باید تغییر مکان و
(.لحظه یعنی ) سرعت در لحظه تعیین شوند
:مقادیر محاسبه می شوند Iاز رابطه فاز
dtt
ttuttu
tu
cos0sin0
dt0td
tt
dd ttuوu
0sinsin dd
tt
ddd
ttk
ptu
sinsin
1
1
2
0
2
0
1
sin
k
ptu
tt
d
d
d
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
برای محاسبه:
:پس
d
tu
ddd
ttk
ptu
coscos
1
1
2
0
cos1
12
0
k
ptu
d
tt
k
ptu
cossinsincos1
12
0
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
برآورد حداکثر تغییر مکان در فازII :
ttu sin که
2
2
d
d
t
t
uu
tumax که اگر بجای از معادل آنها استفاده شود:
dd ttuوu
IIدر فاز
2cos
1
2
2
0
max
k
pu
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
تهیه طیف پاسخ بار گذاری نصف سینوسی
با توجه به تعیین تغییر مکان حداکثر در فازI وII می توان ضریب بزرگنمایی را محاسبه و بر حسب
.های مختلف ، منحنی مربوط ترسیم شود
T
td
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
0.5پریود طبیعی قاب برابر . قاب یک طبقه مطابق شکل مفروض است –مثال secو ستون ها از
، مطلوبست تعیین پاسخ حداکثر قاب تحت اثر بار (E= 2.1 106 kg/cm2)می باشد IPB 16مقطع
منظور از پاسخ در این مساله حداکثر . td= 0.25 secو ton 1.8ضربه ای نیم سینوس با حداکثر مقدار
تغییر مکان در باالی قاب و حداکثر تنش خمشی در ستونها؟
34311249216 cmWوcmIIPB
xx
5.15.05.0
25.0 D
T
td طیف مربوطه
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
cmkgh
EIk /85.322
10065.3
2492101.233
3
6
3
یک ستون
قاب cmkgk /7.64585.3222
cmk
p79.2
7.645
18000
cmDk
pu 185.45.179.2
0
max
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
برآورد لنگر از روش دیگر:
mt
cmkguh
EIM
93.4
86.493171185.4365
2492101.233
2
6
max2
tonDpkufs
7.25.18.10maxmax
mtonhf
Ms
93.465.32
7.2
2
max
2
5
/1585311
1093.4cmkg
W
M
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
تحت اثر نیروی 80برج آب مثال های قبل با ارتفاع –مثالp(t) ناشی از انفجار قرار می گیرد .
مطلوبست تعیین حداکثر برش و لنگر خمشی در پای برج؟
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
حل مثال:
:استفاده می شود ( مساحت منحنی بارگذاری ) از قانون ذوزنقه برای محاسبه انتگرال
:از مثال های قبل
برج
sec12.1
/2.8
T
inkipsk
پر
25.0071.012.1
08.0
T
td
روش تقریبی
m
I
m
dttput
m
dttpdttp
max
08.0
0sin
Dynamic of Structures
در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم
PULSE EXCITATION
in
Tk
Iu 821.0
12.12.8
22.12max
kipskufs
73.6821.02.8maxmax
برش حداکثر kipsVb
73.6 و
ftkipMb
5388073.6
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
برای انواع بارگذاری دینامیکی بویژه اگر نیرو دارای تابع ریاضی مشخصی نباشد:
شدقت ، همگرایی ، پایداری و نکات برنامه نویسی و اجرا در کامپیوتر در مورد رو:مسائل مهم
عددی مورد نظر
تفاظل محدود در بیان سرعت و –درون یابی تابع نیرو : سه روش کلی عددی :انواع روش
فرض تغییرات مختلف شتاب–شتاب
tp
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش های عددی متکی بر درون یابی در تابع نیرو–الف
Numerical Solution Based on Interpolation of the Excitation
درون یابی ثابت تابع نیرو
ii
ppp ~
یا
یا
1ip
2
1
iipp
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
درون یابی خطی تابع نیرو
i
i
it
ppp
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
1-درون یابی ثابت تابع نیرو
: جواب کلی از دو قسمت تشکیل شده است –از میرایی صرفنظر می کنیم :برای سادگی
جواب سیستم تحت اثر نیروی ثابت در فاصله زمانی بدون شرایط اولیه1.
(ارتعاش آزاد ) جواب سیستم درحالتی که نیرو وجود ندارد و فقط شرایط اولیه وجود دارد 2.
it
k
pupukum
i
pi
~~~~~
cossin~
21AAu
c
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
( :نیرو وجود ندارد)ارتعاش آزاد
cossin
~~
21AA
k
pu
i 00
~0
~ uu
cos1
~~
~,0
21
k
pu
k
pAA
ii
ip~
sincosˆ i
i
uuu
uuu ˆ~
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
cos1
~
sincos k
puuu
ii
i
sin
~
cossink
puuu
ii
i
it
1it
i
i
i
i
iiit
k
pt
utuu
cos1
~
sincos1
i
i
i
i
iiit
k
pt
utuu
sin
~
cossin1
اگر در روابط قبلی قرار گیرد ، تغییر مکان و سرعت در لحظه بدست می آید.
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
2– درون یابی خطی تابع نیرو
:جواب کلی از سه قسمت تشکیل شده است . جزئیات حالت بدون میرایی ارائه می شود
نیروی خطی ( + ارتعاش آزاد ) شرایط اولیه بدون نیرو + نیروی ثابت بدون شرایط اولیه
( :دیده شد و اینجا جزئیات مورد سوم 1جزئیات دو مورد اول در حالت ) بدون شرایط اولیه
i
i
it
ppp
ip
i
i
t
p
i
i
t
pukum
i
tuu 0,000
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
i
i
pt
p
ku
1و cossin
21AAu
c
cossin21
AAtk
puuu
i
i
cp
002 Au و
i
i
tk
pAu
100
sin1
0
i
i
tk
pu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
(: مورد اول نیز لحاظ شده است 2جواب ) اگر پاسخ در لحظات بدست می آیدi
t1i
t
i
i
i
ii
i
iiit
tk
pt
k
pt
utuu
cos1
1sincossin
0
1
ii
i
i
ii
i
iiitt
tk
pt
k
pt
utuu
sin
1cos1sincos
0
1
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روابط مربوط به درون یابی خطی تابع نیرو در حالت میرایی
iiiii
iiiii
uDuCpBpAu
uDCuBpApu
11
11
t
tt
te
tkA
DD
D
t
cos
21sin
1
2121
2
2
t
tt
te
tkB
DD
D
t
cos
2sin
1221
12
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
teDtteCD
D
t
DD
t
sin
1cossin
12
tt
t
t
etk
ADD
t
cos
1sin
11
11
22
ttetk
BDD
t
cossin
1
11
2
tteDteCDD
t
D
t
sin
1
cossin
122
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
دقت روش وابسته به. اگر ثابت فرض شود ، ضرائب تا یکبار محاسبه می شود
ردر حالت جوابها قابل قبول است ، مساله د. است که هر چه کوچکتر باشد ، بهتر است
.حالت خطی صادق است
itAD t
10
Tt
Dynamic of Structures
طیروش عددی استوار بر درون یابی تابع نیرو بصورت خ
یک سیستم معادل یکدرجه آزادی با سختی معادل و وزن–مثال
تحت اثر نیروی هارمونیک بصورت ( سکون ) با شرایط اولیه صفر
.می باشد
(حالت بدون میرایی ) جواب سیستم را برای فاصله زمانی بدست آورید
مساله را برای حالت . و از مبانی درون یابی خطی تابع نیرو استفاده شود
. تحلیل و جوابها را مقایسه کنید ( پاسخ از روش حل معادله دیفرانسیل حرکت ) دقیق
inibk 40
ibW 6.38 tp
ttptp 10cos10cos0
sec2.00 t 0
sec02.0t
Dynamic of Structures
روش عددی استوار بر درون یابی تابع نیرو بصورت خطی
جدول مساله مطابق ضمیمه تهیه و تنظیم می شود .
20
386
6.3840
mk
sRad
310312.1
A
410613.6
B
110211.9
C
210947.1
D
210604.9
A
210868.9
B
788.7C
110211.9
D
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش های عددی تحلیل دینامیکی –بSDFاستوار بر تغییرات
(گام به گام ) مختلف شتاب
Numerical Solution Based on Approximating Derivative
( step – by – step Numerical Integration )
ثابت ،) در یک گام زمانی ، تغییرات شتاب در حالتهای مختلف فرض می شود :اساس روش ها
و با انتگرال گیری از رابطه شتاب ، رابطه تغییر مکان حاصل می شود ، ( متوسط یا خطی
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
1–روش عددی گام به گام با شتاب ثابت ابتدای گام
i
uu انتگرال
Auui 0اعمال شرایط اولیه در
iiii
uuuuAuu 0
iiiutuut
1
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
انتگرال رابطه
برای بدست آوردن و سرشکن کردن خطاها از رابطه اصلی تعادل کمک گرفته می شود:
بجای از و بجای از قرار می دهیم:
iii
uuBuuu 0,02
1 2
2
2
1iiii
uuuuuB
iiii
ut
utuut 2
2
1
1iu
1111
iiiipkuucum
1iu1i
u
iiiiiu
tktcutkckup
mu
2
12
11
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
2–روش عددی گام به گام با شتاب متوسط
1
2
1
ii
uuu
انتگرال iii
uuAuuu
0,02
111
اعمال شرایط اولیه
tuuuuuAiiii
11
2
1
1
2211
i
uut
uuut
uuiiiiii
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
u 2
2
14
1Auuuu
iii
انتگرال از
2
124
100
iiiiiiuuuuuuAuu
1
2
14
iiiiiuu
ttuuut
iii
iiiiiii
ut
ut
tu
uuut
tuuuu
42
4
24
22
1
2
1
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
iiii
utuut
u 24
2
tuut
uut
uut
tuu
iiii
iiii
2
2
4
1
1
2
iii
iiiii
uut
u
tuut
uut
u
22
2
21
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در رابطه بجای و از روابط و استفاده می کنیم:
1111
iiiipkuucum و
iiiipkuucum
iiiipukucum
iu
iu
iiiiiiipukuu
tcutu
tu
tm
2
22
44
22
iiipuk
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
بنابراین از رابطه مقدار و در حقیقت و سپس از روابط و مقادیر
. و که و را ارائه می دهند ، حاصل می شوند
2
42
t
m
t
ckk
i
iiiiumuc
t
mpp 22
4
iu
iu
1iu
1iu
1iu
iu
iu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
برای سرشکن کردن خطاها در هر گام می توان را از رابطه تعادل محاسبه نمود:
روش فوق را روش گویند.
1iu
1111
1
iiii
kuucpm
u
2
1
4
1' SNEWMARK
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
3–روش عددی گام به گام با شتاب خطی
t 0
1
2
2
1A
t
uuu
t
uuu
i
i
i
i
اعمال شرایط اولیه 2
12
0 t
uuuuuAuu
iiii
i
pukucumiii
2
12
1t
t
utuuut
i
iii
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
iiiu
ttuu
2
انتگرال از u 2
3
2
62A
t
uuuu
ii
i
62
0
3
2
2
t
uuuuuuAuu
ii
iiii
62
3
2
1
t
t
ut
utuuut
ii
iii
62
22t
ut
utuuiiii
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در رابطه بجای از
در رابطه یعنی معادله جزئی حرکت بجای و از معادل آنها از و قرار
: می دهیم
از رابطه iiiiuu
tu
tu 3
66
2
iu
iiiiu
tuu
tu
23
3
iu
iu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
به این روش ، روش نیز می گویند .
iiiiiiipuku
tuu
tcuu
tu
tm
12
23
33
66
iipuk~~
ct
mt
kk
36~
2
iiiiiiu
tucuu
tmpp
233
6~
2
1
6
1' SNEWMARK
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در هر گام می توان مقدارc وk ( .برای رفتار غیر خطی ) آن لحظه را قرارداد
.در این روش نیز می توان برای سرشکن کردن خطاها ، مقدار را از معادله حرکت محاسبه نمود
( :از نظر پایداری و دقت )مساله به حساس است
پایداری روش های :اشارهNewmark بصورت زیر بیان می شود:
جزئیات در مباحث پیشرفته دینامیک سازه ها
برای حالت شتاب متوسط
1iu
t
2
1
2
1
T
t
4
1
2
1 551.0
T
t
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
ر یعنی روش شتاب متوسط به ازای هر مقدار ، پایدار است ، البته در عمل مقادیر منطقی در نظ
. گرفته می شود
برای حالت شتاب خطی
اریعنی پایداری روش مشروط است ، البته در عمل ، معموال کوچک فرض می شود و این شرط بر قر
رابربرای مثال در حالت زلزله ، برای در نظر گرفتن تغییرات شتاب زلزله ثبت شده معموال ب. است
0.551در نظر گرفته می شود که با توجه به پریود طبیعی سازه ها ، این کمتر از، 0.01یا 0.02
T معموال مناسب است . خواهد بود .
t
6
1
2
1551.0
T
t
t
t
10
Tt
t
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
خالصه نتایج روش های عددی گام به گام
روش شتاب ثابت ابتدای گام-1
iiiii
iii
iiii
utk
tcutkckupm
u
utuu
ut
utuu
2
1
2
2
11
1
2
1
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
iiiii
iiii
iiiii
uutuut
u
uut
uu
kt
c
t
muu
tu
tmpu
121
11
2211
4
2
2444
روش شتاب متوسط–2
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش شتاب خطی–3
iiiii
iiiii
iiiiiiii
ut
utuut
u
ut
uuut
u
kt
c
t
mu
tuu
tcuu
tu
tmpu
3
6
22
3
36
22
366
2
121
11
2211I
II
III
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش عددی گام به گامWilson –
اساس روش مشابه روش گام به گام شتاب خطی است با
فرض می کند شتاب E.L.Wilsonاین تفاوت که
در فاصله کمی بزرگتر از ، خطی است
این امر برای تضمین پایداری شتاب.
در 2تا 1.4خطی است و مقدار معموال بین
.نظر گرفته می شود
t
t
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روابط اصلی این روابطI ،II ،III از روش شتاب خطی است و فقط بجای از
.و بجای از استفاده شده است
1i
i t
i
iiiii
ut
utuut
u 3
62
2
iiiii
ut
uuut
u 2
23
kt
c
t
m
ut
uut
cuutt
umpu
iiiii
i
ii
36
22
32
66
2
2
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
ین چون فرض شده که شتاب بطور خطی از زمان تا تغییر می کند ، بنابرا
:نیروی موثر هم فرض می شود که در این فاصله زمانی ، خطی تغییر می کند و بصورت
از رابطه مقدار بدست آمده و آنرا در رابطه قرار داده و محاسبه می شود ،
:شتاب در گام زمانی معمولی از رابطه زیر بدست می آید
ti ti
ip
1
11
ii
ii
iippt
t
pppp
iu
iu
t
ii
ii
uuuu
1
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
مقدار را در رابطه
و همینطور در رابطه
. از روابط شتاب خطی قرار داده و سرعت و تغییر مکان در لحظه بدست می آید
1iu
112
iiiiuu
tuu
1
22
163
iiiiiu
tu
tutuu
1it
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش عددی تحلیل دینامیکی –جSDFاستوار بر تفاضل محدود سرعت و شتاب
Central Difference Method (Finite Difference F.D.)
یکی از روش های حل دستگاه معادله دیفرانسیل
آن است که به نحوی شتاب و سرعت را بر
حسب تغییر مکان بیان نمود ، در این حالت
مساله دینامیکی به صورت استاتیکی تبدیل
. می شود
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
x
y
dx
dy
dx
dy
x
yx
0
limریاضیات
در ریاضیات کاربردیdx
dy
x
y
t
tuttu
t
u
dt
dutu
شکل مشکل برای حلشکل آسان برای حل
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
تفاضل محدود پیش روندهForward F.D.
تفاضل محدود پس روندهBackward F.D.
تفاضل محدود مرکزیCentral F.D.
معموال در روش های عددی ، روش تفاضل محدود مرکزی از خطای کمتری نسبت به دو روش دیگر
.برخوردار است
t
tuttu
t
u
dt
du
t
t
ttutu
t
u
dt
du
t
t
ttuttu
t
u
dt
du
t
2
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
جزیات روش عددی تحلیل دینامیکیSDF از طریق تفاضل محدود مرکزی با توجه به اصول
:روش تفاضل محدود مرکزی
Ruut
uiii
11
2
1 خطا
t
uuii
1
1
t
uuii
1
2
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
iu
t
12(سرعت) تغییرات
زمان
شتاب
2
112
t
uuuu
iii
i
Ruuut
uiiii
112
21
iiiipkuucum
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
از خطا صرفنظر و از دو رابطه و در قرار داده و را محاسبه می کنیم:
پس از تعیین از روابط و می توان و را تعیین کرد .
با توجه به رابطه و در شروع کار ، نیاز به و می باشد ، روابط و برای
:لحظه نوشته شده و بطور همزمان حل می شوند تا رابطه حاصل شود
1iu
122
12 2
2
2
iii
u
t
m
t
cu
t
mkpu
t
c
t
m
1iu
iu
iu
0u
1u
0t1
u
00
2
01
2utu
tuu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در یک مساله واقعی ، دو پارامتراز سه پارامتر ، و کافی است.
در تمام روش ها ، یکی از سه رابطه اصلی بکار گرفته شده ، رابطه حرکت در لحظه :توجه
.بوده بجز روش تفاضل محدود مرکزی که معادله حرکت در لحظه بکار رفت
روش هایی که معادله حرکت در لحظه را الزم دارند ، روش های ضمنیImplicit گویند.
. کویند Explicitو روش هایی که معادله حرکت در لحظه را دارند ، روش های صریح
0u
0u
0u
1it
it
1it
i
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
وش در تحلیل سیستم های چند درجه آزادی ، عملیات محاسباتی بیشتری در روش ضمنی نسبت به ر
صریح وجود خواهد داشت ، در ضمن روش های صریح فقط بصورت مشروط پایدار خواهند بود در حالی
.که برخی روش های ضمنی بصورت غیر مشروط پایدار می باشند
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
ک ثانیهمطلوبست تحلیل دینامیک برج آب داده شده تحت بار نصف سینوس مطابق شکل در ی–مثال
%10
sec1.0t
kipsW 8.978
inkipsk /100معادل پایه
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش عددی شتاب ثابت ، متوسط ، خطی ، ویلسون و تفاضل محدود مرکزی5برای مقایسه ، از
. استفاده می شود
in
skips
g
Wm
2
533.24.386
8.978
sRadm
k /283.6533.2
100
sec1#283.6
22
T
101.0
Tt
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در فرمول ها مقدار الزم است:
:شرایط اولیه صفر است
:روش به شرح زیر بدست می آید 5روابط اصلی
روش شتاب ثابت ابتدای گام–الف
نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول اول
cinskipmc /183.32
0000 uuu
(a) iiii
uuuu 005.01.01
iiiuuu 1.0
1
iiiii
uuupu 8183.0183.13100533.2
111
(b)
(c)
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش شتاب متوسط–ب
نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول دوم
iiiiiuuupu 533.25.1049.110769.1176
11
(d)
iiii
uuuu 11
20 (e)
iiiii
uuuuu
4040011
(f)
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روش شتاب خطی–ج
نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول سوم
iiiiiuuupu 225.535.1583.16153.1715
11
(g)
iiiii
uuuuu 05.023011
(h)
iiiii
uuuuu 26060011
(i)
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
فرض می کنیم
. از روابط روش که با حروف التین در جزئیات آن بود استفاده می شود
.مقادیر را در رابطه قرار می دهیم
. از رابطه محاسبه می شود
5.1
mckt ,,,,(c)
iiiiiuuupu 305.569.10713.73913.839
1
ip(d)
iiiii
uuuuu 2407.266
(a) رابطه
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
در نهایت رابطه اخیر را در معادالت و قرار داده:
نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول چهارم
(e)از رابطهiii
uuu 3333.06667.01
(f) (g)
11
05.0
iiii
uuuu
1100167.000333.01.0
iiiiiuuuuu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
:مقادیر را در رابطه قرار داده خواهیم داشت
:روابط و
و صفر,چون در مساله . برای شروع از رابطه مقدار محاسبه می شود
توجه شود در جداول )نتایج مراحل گام به گام در یک ثانیه در جدول پنجم . است پس هم صفر است
(.بجای از استفاده شده است
mckt ,,,
1139.2376.40621.269
iiiiuupu
11
5
iii
uuu
11
2100
iiii
uuuu
1u
0u
0u
0u
1u
in
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
روابط مربوط به محاسبه نتایج دقیق تحت اثر بار نصفSin:
. باید شرایط اولیه آن در برآورد شود ( ارتعاش آزاد)برای
sRadtT
dp
/236.56.06.02
2
2
22
kipsp 1000
ttptp 236.5sin100sin0
833.0283.6
6.0t6.0t
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
(میرایی)پاسخ سازه برای حالت بارگذاری
در رابطه قرار داده و تعیین می شود.
sRadD
/2515.61.01283.6122
tte
k
p
ttk
ptu
D
D
D
D
t
sin21cos2
21
cos2sin1
21
1
2
2
2
222
0
2
222
0
6.0t 6.0 tu
Dynamic of Structures
به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم
Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF
از فرمول مشتق گرفته و در لحظه سرعت بدست می آید.
:رابطه ارتعاش بصورت زیر است
.نتایج شتاب متوسط و خطی خوب است ولی شتاب ثابت خوب نیست
.برای شتاب ثابت باید از خیلی کوچکتر استفاده شود
tu6.0t 6.0 tu
6.0cos6.06.0sin6.06.06.0
tutuu
etuDD
D
t
t
Dynamic of Structures
پایداری و خطاهای محاسباتی در روش های عددیStability & Computational Error of Numerical
Proceduresابهای پایداری روش عددی یعنی الگوریتم روش طوری باشد که با تغییر کوچک در گام زمانی جو
اب در روش های ناپایدار به ازای برخی ، جوابها اشتباه و خیلی دوراز جو)مساله زیاد تغییر نکند
(.واقعی خواهد بود
با بررسی معیار خطا بر حسب های مختلف برای یک روش عددی ، می توان شرط پایداری را
(.روش های پایدار مشروط–روش های پایدار غیر مشروط )تعیین نمود
شتاب خطی و تفاضل محدود مرکزی پایدار مشروط–روش عددی شتاب متوسط پایدار غیر مشروط
t
t
t
Dynamic of Structures
پایداری و خطاهای محاسباتی در روش های عددیStability & Computational Error of Numerical
Procedures در سیستم های معادل یک درجه آزادی ، مساله پایداری روش عددی معموال مطرح نیست چون
(.به دلیل کوچک این سیستم ها)بطور محسوسی کوچکتر از حد پایداری خواهد بود
در سیستم های چند درجه آزادی به دلیل نقش پریودهای مودهای باالتر ، مناسب و الزم است از روش های
.غیر مشروط استفاده کنیم
:خطاهای محاسباتی از چند طریق وارد روش عددی می شود
– Round–الف off errorناشی از گرد کردن اعداد تولید شده بوسیله محاسبات تکراری
T
2.05
1 و
....333.03
1
t
Dynamic of Structures
پایداری و خطاهای محاسباتی در روش های عددیStability & Computational Error of Numerical
Proceduresلخطای نچشیدگی تولید شده در اثر جایگزینی معادله دیفرانسیPropagated error–ب
بوسیله تفاضل محدود معادل
تولید شده در اثر بیان یا توسط تعداد محدود عبارتTruncation error–ج
در بسط سری تیلور
، در روش های عددی با توجه به الگوریتم روش. ، و ضرایب ثابت که برخی صفر می شوند
.فقط برخی از سری کلی باال وجود دارد ، پس خطا خواهیم داشت
1iu
1iu
i
kil
i
kil
i
kil
lllllliRuCuBuAu
1 1
1 خطا
lA
lB
lC
Dynamic of Structures
پایداری و خطاهای محاسباتی در روش های عددیStability & Computational Error of Numerical
Procedures
بطور کلی در مسائل متعارف رعایت پایداری و دقت قابل قبول را باعث می شود.10
Tt
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response یکیهندسی و فیز: از دو طریق رفتار سیستم ها از حالت خطی به غیر خطی تبدیل می شود
(.کیغیرخطی فیزی)و عدم پیروی اجزاء و مصالح از قانون هوک ( غیر خطی هندسی)تغییر مکانهای بزرگ
اق دارداساس روش های تحلیل دینامیکی ، صادق بودن قانون جمع آثار قوا بوده است که در رفتار خطی مصد
. و در حال حاضر تنها روش تحلیل دینامیکی برای سیستم های غیر خطی ، روش های عددی می باشد
ر آب ، که تحلیل د–سازه –اندر کنش خاک : دالیل دیگری برای بکار گیری روش های عددی وجود دارد
االکه باعث تحریک مودهای ب( انفجار)میدان فرکانس را ضروری می سازند ، ضربه های خیلی ناگهانی
.می شود و روش مناسب ، روش عددی است
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response معادله حرکت ؟سیستم ساده جرم که توسط دو کابل کشیده نگهداشته شده هست ، –مثال
:کشش اولیه در حالت بدون تغییر مکان ریسمان اجزاء سازه از قانون هوک پیروی می کنند 0T
E
lul 22
تغییر طول کابل
l
EAT
A
Tو
l
umTtpumF sin2
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response
tp
ul
ulul
l
EATum
ul
u
22
21
22
022
2sin
mرابطه غیر خطی هندسی رفتار جرم
رابطه خطی tpl
uTum
02lu اگر
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response م با معموال جر. رفتار غیر خطی فیزیکی از متغیر بودن جرم ، میرایی و سختی وارد مساله می شود
از واقعیتزمان تغییر نمیکند و با توجه به عدم قطعیت در تعیین دقیق میرایی ، خطی در نظر داشتن آن دور
. نخواهد بود
بنابراین منشاء اصلی رفتار غیر خطی در سیستم های
متعارف همانا عدم پیروی از قانون هوک در
.اجزاء ومصالح سازه خواهد بود
:این رفتار توسط مبانی علم تئوری پالستیسیته تعیین می شود
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response در فاصله زمانی و معادله جزئی حاکم:
سختی سکانتSecant Stiffness در فاصله گام زمانی به دلیل اینکه مشخص نمی باشد
ختی اگر فاصله زمانی کوچک باشد ، می توان از س. نمیباشد نمیتواند بکار رود چون معلوم نیست
:مماسی استفاده کرد
iisii
pfucum
i1i
iiis
ukf sec
1iu
t
Tk
iTiis
ukf
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response ام ثابت بنابراین در الگوریتم روش های عددی قبلی تغییر کلی رخ نمی دهد بلکه فقط مقدار در هر گ
.خواهد بود( سختی مماسی ابتدای گام)نبوده و مقدار آن برابر
:در این حالت بیان می شود ( شتاب خطی)برای نمونه کلیات روش نیومارک
ut
ut
utuii
62
22
:از قبل داشتیم
uuuوuuuiiii
11
از رابطه
iiu
tutu
tu
2
62
2
k
Tk
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response
:که با بکار گیری در
:حال اگر ، و را در قرار دهیم
در روش نیو مارک ut
utui
2
iiuuu
1
iiu
tuu
tu
23
3
iii
i
Tu
tucu
t
umpuk
t
c
t
m
233
636
2
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response
ا و بنابراین ب. پس از تعیین از رابطه ، مقدار آن را در قرار داده و محاسبه می شود
مقدار شتاب می تواند از رابطه یا برای. داشتن و می توان و را تعیین نمود
:سرشکن کردن خطای سختی مماسی از رابطه تعادل کلی در زمان تعیین شود
یا
pukT
iii
i
TT
ut
ucut
umpp
kt
c
t
mk
233
6
36
2
که
111
1
isii
ucttfpm
u
uu
uu1iu
1iu
1i
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response برج آب با جرم و میرایی تحت انفجار قرار می گیرد ، منحنی رفتاری –مثال
داده شده است ، مطلوبست واکنش برج در لحظه با روش عددی شتاب متوسط ؟
mcufs
sec8.0
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response از الگوریتم روش شتاب متوسط :حل:
iiu
tutu
tu
2
42
2
pukوuuuut
uii 2202
2
TTkk
t
c
t
mk
44
24
2
iiii
iuupucu
t
umpp
2.04.422
4
Ttوk
mT
7
11.0sec702.02
اولیه
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response :به نکات زیر توجه شود . جدول مربوط تکمیل می شود
برای ، نیروی برابر
.می باشد
تغییر مکان از0.5به 0.4در فاصله زمانی
(1.5بزرگتر از )می رسد 1.7093به 1.1128
تغییر کند ولی8و از رابطه خود به مقدار ثابت
. چون بزرگ است ، محل و زمان دقیق این تغییر نا مشخص است
inu 5.1sf
kips8
sf
t
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی
Analysis of Nonlinear Response سرعت تغییر عالمت داده ،0.6به 0.5در فاصله زمانی ،
یعنی صفر شده سپس تغییر عالمت ، بنابراین سختی از صفر باید
ولی( منحنی رو به پایین است Aپس از نقطه )تبدیل شود 8به
.محل دقیق مشخص نیست
تغییر می کند و نیروی 8، به 0.6در گام های بعد از
:ثانیه 0.7فنر در بخش تنزلی منحنی رفتار قرار دارد ، مثال در
Tk
kipsufs
2328.53459.08888
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
عالوه بر خطاهای رایج روش های عددی ، خطاهای دیگری که مختص حالت غیر خطی است ، بوجود
( :تغییر مکان–در بکار گیری سختی از رابطه و منحنی نیرو )می آید
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
خطای ناشی از استفاده سختی مماسی ابتدای گام به جای سختی واقعی–الف
تغییر مکان–تاخیر در آشکار سازی گذاری رابطه نیرو –ب
ود برای کاهش اثر خطاهای حالت ب می توان در محل های تغییر جهت منحنی ، از کوچکتر استفاده ش
ختی، خطای ناشی از بکار گیری س( کنترل و اعمال توسط کامپیوتر)که معموال از استفاده می شود
.مماسی با بکار گیری روش تکراری در هر گام ، می توان حداقل شود
t
4
t
TTk
t
c
t
mk
36
2
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
با توجه به شکل برای خطای مورد نظر و جهت دسترسی به نقطه واقعی از طریق
( :به شرح زیر)در یک گام بکار می رود Iterationنقطه ، روش تکراری
رابطه روش نیومارک شتاب خطی
ی از تغییردر حالت غیر خطی که سختی فنر با افزایش تغییر مکان ، کاهش می یابد ، نیروی فنر معادل ناش
اقیمکان کمتر از مقداری است که رابطه ارائه می دهد ، بعنوان نتیجه ، یک نیروی اضافی ب
یرویتغییر مکان اضافی در اثر این ن. می ماند که در شکل مالحظه می شود و آنرا با نشان دادهایم
:باقی مانده بصورت زیر است
ufsb
b
puk
T
1
1u
2r
122fpruk
T
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
یابد تا از این تغییر مکان اضافی ، نیروی باقی مانده جدید پیدا شده و مساله به همین ترتیب ادامه می
:مراحل تکرار در یک گام زمانی به شرح زیر است . همگرایی حاصل شود
kk
Truk
kk
i
k
iuuu
1
11
kkk
s
k
s
ku
t
cu
t
mfff
36
2
1 kk ˆ,1
kkkfrr
1
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
از رابطه مشخص است که مرحله تکرار با شروع می شود.
ن کلوقتی مراحل تکرار ، همگرا شد یعنی یا به اندازه کافی کوچک شد ، تغییر مکا
.نموی از رابطه حاصل می شود
شود که نرخ همگرایی می تواند بهتر شود چنانچه بجای سختی مماسی اولیه از جریان مماسی سختی استفاده
. البته بر آورد سختی مماسی جدید مستلزم محاسبات بیشتر است
pr
1
ku
kr
k
k
kuu
ˆ
1
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
فتاربرج آب مثال قبل مورد نظر است تحت اثر همان بار گذاری ، منتحی این بار در منحنی ر–مثال
روش عددی. نیز با دقت بیشتری بررسی شود Aقسمت انتقال . غیر خطی از روش تکراری استفاده شود
.شد شتاب متوسط بکار می رود با که در مرحله تغییر فاز از کوچکتر استفاده خواهد 1.0 tt
kk
i
k
i
kk
Tuuuوruk
1
11
kkk
s
k
s
ku
t
cu
t
mfff
24
2
1
TTTkk
t
c
t
mk
44
24
2که
kkkfrr
1
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
ثانیه و مراحل تکرار در قسمت غیر خطی در جدول ارائه شده است 0.8نتایج .
به شرح زیر خواهد بود 0.4تا 0.3برای نمونه مراحل مربوط به فاصله زمانی:
وiiiii
uupucuut
mpp 2.04.4224
6142.0
0968.51
3839.3111 11
p
kr
ku
TT
پس
1182.16142.03.04.011
uu
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
4330.306142.0448803.32885.7
245040.01182.1
11
2
1
ut
cu
t
mfff
ss
9509.04330.303839.31
2r
1368.10186.01182.14.00186.00968.51
9509.0 22 uu
8831.00186.0442885.73532.7
0186.0441182.11368.12
ss
fff
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
بوسیله عملیات تکراری ، زمان. ثانیه ، سرعت از مثبت به منفی تبدیل می شود 0.7و 0.6بین
.بر می گردد 8ثانیه است ، بعد از این لحظه ، سختی به 0.60339برابر
با انجام شده است 0.60339و 0.6محاسبات بین .
0678.08831.09509.0
223 frr
0013.0
0968.51
0678.03u ......و ادامه
0i
u
in
kips
00339.0 t
Dynamic of Structures
خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها
ثانیه با انجام گردید 0.7و 0.60339بطور مشابه محاسبات بین .
که بعد از لحظه ، نیروی فنر در قسمت تنزلی به طرف پائین می افتد طوری
( . در هر گام زمانی ) نیروی فنر به کاهش می یابد
و نیروبا مقایسه نتایج دو جدول در دو مثال اخیر ، مالحظه می شود اگر در فاصله زمانی که تغییر مکان
درمنحنی رفتار ، غیر خطی است ، از روش تکراری استفاده نشود ،
در اصالح نتایج و ملحوظ داشتن مساله غیر خطی در محاسبات ، اشتباه قابل توجهی خواهیم داشت.
09661.0 t
60339.0tsf
u8
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
واهد داشت ،دقت فرکانس زاویه ای بستگی به شکل ارتعاشی مفروض خ( انعطاف پذیر)در حالت تقریبی
صلب :سیستم زیر tzxtxu ,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
مختصات شاخصSDF : می تواند چرخش باشد
تابع تغییر شکل ، چون میله صلب
!یک جرم مشکل است SDFچون دو جرم متمرکز وجود دارد سیتم معادل
(انعطاف پذیر)جرم وسختی متغیر :سیستم روبرو
(اول)فرکانس اصلی –دارای بینهایت درجه آزادی
tz
xx
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
بطور تقریبی می توان–در ارتعاش بسیار مهم
(مود اول)تابع تغییر شکل حالت ارتعاش اصلی
در نظر گرفت و در این حالت( فقط)را
یک مختصات شاخص را انتخاب نمود ،
.مثال انتهای تیر طره
هر دو سیستم حالت تعمیم داده شده دارند چون تغییر مکان هر نقطه با رابطه
. مشخص می شود
x
tz
tzxtxu ,
tpzkzczm
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
حل معادله از روش های متعارف ( عالمت ستاره)جرم ، میرایی ، سختی و نیروی تعمیم داده شده ،
م داده شده امکان پذیر است ، مرحله اصلی تحلیل سیستم جدید تعمیم داده شده ، همانا ارزیابی مشخصات تعمی
.می باشد
سیستم های صلب سر هم بندی شده–حالت الف
جود در این نوع سیستم ، اجزاء صلب همراه جرم گسترده و جرم متمرکز و سختی و میرایی متمرکز و
نیوتن دارند که تحت اثر نیروی دینامیکی قرار می گیرند ، برای تشکیل معادله حرکت ، روش قانون دوم
(.ظ شوندنیروهای اینرسی در پیکره آزاد سیستم لحا)مشکل بوده و بهتر است از روش داالمبر استفاده شود
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
ود ، نیرویمی ش( بیان)نیروی اینرسی گسترده برای یک جسم صلب با جرم گسترده با دو مولفه جایگزین
. اینرسی ونتجه کل جرم در مرکز ثقل و ممان اینرسی جسم
:در سیستم سرهم بندی شده زیر مطلوبست تعیین–مثال
معادله حرکت-1
فرکانس طبیعی -2
در صد میرایی-3
پاسخ سیستم بدون میرایی تحت اثر ناگهانی نیروی -4
.اصالح معادله حرکت وقتی نیروی افقی در میله افقی اثر می کند -5
(. کمانش)نیروی بحرانی -6
.تغییر مکانها کوچک و مختصات شاخص ، چرخش حول نقطه در نظر است
0p
Q
o
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
سیستم صلب :حل–OA وBC بدون جرم-OBدارای
m1جرم گسترده کل
:لنگر می گیریم Oبا توجه به نیروها ، نسبت به نقطه
24
3
4
3
2244
22
22
2
2
2
11
ltp
llk
llc
llmllm
Ill
mI
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
txtxu ,
lmIو12
2
11
128282
2
2
22lmlmI
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
216
9
4128
137
3
22
2
2
2
1l
tpklcl
lmlm
معادله حرکت
lmوm
m2
2
1
128
137
3
وcl
c4
2
وkl
k16
92
2
ltptp
tpkcm
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
از حل معادله حرکت:
وm
k
mk
c
m
c
c
c
cr 22
0
0
22p
lpltptp
tkl
pt
k
pt cos1
9
8cos1
00
txtxuو , txtxu ,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
اگر نیروی افقی باشد :
:در لنگر گیری
نیروی افقی فشاری ، سختی را کاهش می دهد.
Ql tpQlkcm
0
Qlk
16
9kl
l
kQ
cr
Q
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
سیستم های انعطاف پذیر–حالت ب
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
(غیر صلب ) سیستم با بینهایت درجه آزادی با سختی و جرم گسترده در حالت مرتعش
دقت مساله بستگی به تابع شکل دارد که تا چه حدی
و شرایط فیزیکی را ارضاء می نماید( هندسی ) شرایط مرزی
حالت کلی:
کار نیروها برابر صفر:کاربرد اصل کار مجازی
x
tzxtxu ,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
کار مجازی االستیک i
i
iisuukudxtxuxkW
,
نیروی فنر گسترده
zutzu
zxutzxtxu
iiii
,
کار مجازی نیروهای میرایی
zzkdxxxkW
i
iis
22
i
iiiDuucudxtxuxcW ,
zutzu
zxutzxtxu
iiii
,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
zzcdxxxcW
i
iiD
22
:به همین ترتیب ، کار مجازی نیروی اینرسی
zzmdxxxmW
i
iiI
22
:کار مجازی نیروهای خارجی
i
iipupudxxpW
zpdxxxpW
i
iip
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
با توجه به جهت نیروها و جهت تغییر مکان مجازی و عالمت کار ها ، خواهیم داشت:
0z
SDFمعادله حرکت سیستم معادل tpzkzczm
i
iimdxxxmm
22
i
iicdxxxcc
22
i
iikdxxxkk
22
i
iipdxxxpp
تعمیم داده شده با تابع SDFجرم ، میرایی ، سختی و نیروی موثر معادل سیستم x
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
( :انرژی پتانسیل تغییر شکل)برای بیان سختی معادل موثر از اصول مقاومت مصالح k
( :ممان)انرژی یا کار لنگر
l
dxوEI
MV
0
2
2
1
EI
M
dx
txudtxu
2
2,
,
uEIMو tzxu
dxu
EI
EIV
l2
0
2
2
1
dxtzxxEIVl
2
02
1
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
انرژی پتانسیل نیرویNدر اثر افت کم می شود عالمت منفی
2
2
1zkV
که dxxxEIk
l2
0
:سختی هندسی معادل موثر Ne افت راس برج آب (قائم)نیروی محوری
:از مقاومت مصالح l
dxtxute0
2,
2
1
انرژی پتانسیل آن dxtxuN
Vl
N,
2 0
2
te
اگر وزن متغیرپایه مد نظر باشد ، xN
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
که
dxzxxNdxtxuxNVll
N
2
0
2
0 2
1,
2
1
2
2
1zkV
GN
l
GdxxxNk
0
2
l
cr
l
GdxxNdxxxEIkkk
0
22
00
(کمانش)بحرانی
dxx
dxxxEIN
l
l
cr
0
2
0
2
محاسبه فرکانس زاویه ای معادل موثر
mk
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
در برج آب قبلی و در طول ارتفتع ثابت فرض می شود ، مطلوبست–مثال
(.جرم گسترده ) برآورد برای توابع مختلف شکل
اگر از فرمول اولر در پایداری سازه ها استفاده کنیم–الف
xEI xm
xm
l
xx
2cos1
mldxl
xmdxxmm
ll
228.02
cos1
2
00
2
3
42
0 2
2
0
2
322cos
4 l
EIdx
l
x
lEIdxxEIk
ll
m
EI
lmll
EI
mk
23
4653.3
228.032
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
اگر شکل ارتعاش برج را سهمی فرض کنیم –ب:
2
2
l
xx
mlmو 2.0
وl
EIk
3
4
m
EI
lmll
EI
23
472.4
2.0
4
:جواب دقیق از حل سیستم پیوسته
m
EI
l2
517.3
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
، در حالت ب
ثر است پسیعنی لنگر در طول ارتفاع ثابت است در صورتیکه در انتهای برج صفر و در تکیه گاه حداک
. تابع مد نظر یکی از شرایط فیزیکی را ارضاء نکرده و جواب از واقعیت دور است
22
22
lzz
dx
ud
2
2
l
xx
و22
22
lz
EI
M
dx
ud
x
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
در این حالت سعی می شود با ارضاء شرایط مرزی و فیزیکی بیشتر ، به یک تابع شکل–ج
:فرض می کنیم( چند جمله ای)3یک تابع درجه . بهتر دست یابیم
.چهار ضریب پس چهار شرط الزم است
:تغییر مکان در تکیه گاه صفر است -1
:ضریب زاویه در تکیه گاه گیردار صفر است -2
: لنگر در انتهای برج صفر است -3
x
dcxbxaxx 23
000 xu
000 xu
00 lxu
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
( :مختصات شاخص)همیشه در نقطه شاخص -4 1, ltztxu
اعمال شرایط وl
a3
2
1
وl
b2
2
3
0dc
وl
xl
xx 2
2
3
3
23
2
l
x
lx 1
3
2
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
بر آورد سختی هندسی و نیروی
mlmوl
EIk 2357.0
3
3
crN
حالت الف
m
EI
l2
568.3
l
xx
2cos1
dxxNk
l
G
0
2
l
Gl
Ndx
l
x
lNk
0
222
82sin
2
2
467.2l
EIN
cr
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده
Dynamic Analysis of Generalized SDF System
حالت ب 22
2 3
3
4
l
EIN
l
Nk
lxx
crG
حالت ج 22
2
3
3
5.25
6
23
2 l
EIN
l
Nk
lx
lxx
cr
حالت واقعی 267.2
l
EIN
cr
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for ( ارتعاش آزاد)با استفاده از اصل بقای انرژی ، روش ساده برای برآورد 1873در سال
(سختی و جرم موثر معادل)سیستم جرم وفنر –الف
tutu sin0
tutuو cos0
uuو0max
0max
uu
حداکثر انرژی پتانسیل2
0
2
maxmax2
1
2
1kukuV
حداکثر انرژی جنبشی22
0
2
maxmax2
1
2
1muumT
mkVT
2
maxmax
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
سیستم با جرم و سختی گسترده بطول –بL
tzxtxu ,
tztz sin0
تغییر مکان نقطه شاخص
0max0
sin, zxutzxtxu
0max0
cos, zxutzxtxu
0max0
sin, zxutzxtxu
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
خرج قسمت رایلهRayleigh’ quotient
dxxxEIzVdxuxEIVll
0
22
0max
2
0 2
1
2
1انرژی پتانسیل
انرژی جنبشی dxxxmzTdxuxmTll
0
222
0max
2
0 2
1
2
1
maxmaxVT
mkdxxxmdxxxEI
il
0
2
0
2
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for مطلوبست تعیین یک تیر ساده خمشی به روش رایله ؟ مود اصلی مد نظر است –مثال.
الف–
ب-
الف–
l
xx sin
1
l
x
l
xx
وl
x2
2
3
2
0
2
0 2
2
0max
4
2
12
2
1
l
EIzdx
lEIzV
l
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
ب-
302
11
2
1 22
0
2
0
22
0max
mlzdx
l
x
l
xmzT
l
m
EI
lVT
2maxmax
95.10
l
x
lx
l
x
lx
l
xx
sincossin
2
2
ll
dxl
x
lEIzdx
l
x
lEIzV
0
2
4
4
2
0
2
0 2
2
2
0maxsin
2
1sin
2
1
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
پیشنهاد رایله-انتخاب تابع شکل
:تغییر مکان در اثر اعمال نیروی اینرسی :تشریح حاالت
l
dxl
xmzT
0
222
0maxsin
2
1
m
EI
lm
lEIVT
2
2
4
4
maxmax
87.9
x
u
0sI
ff ارتعاش آزاد بدون میرایی
kuum
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
فرض میکنیم شکل تغییر مکان تحت اثر وزن سیستم بوجود می آید :پیشنهاد رایله:
. اثر کرده و شرایط تکیه گاهی نیز ارضاء می شود ( جرم ) با اینکار پارامتر اصلی
اساس روش رایله:
tzxtxu ,
tzxxmfI
sin2
0
.دقت نتایج بستگی به درستی دارد x
نیرو
mg
xuxp تغییر مکانباعث
xxmfI
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
حداکثر انرژی پتانسیل حاصل l
dxxuxpV0
maxmax2
1
uututuو0max0
sin
0max0
cos uututu
حداکثر انرژی جنبشی l l
dxmudxumT0 0
22
max
2
maxmax2
1
2
1
maxmax
VT
l l
dxuxpdxmu0 0
max
22
max2
1
2
1
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
داریم ( قاب های برشی ) در حالت سیستم با جرم های متمرکز:
فرض رایله gxmxp
dxxguxmdxxuxmll
0
2
0
2
2
1
2
l
l
l
l
dxxxmz
dxxxmg
dxxuxm
dxxuxmg
0
2
0
0
0
2
02
n
i
ii
n
i
ii
um
umg
1
2
12
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for ر شکل در فرض رایله ، وزن گسترده یا متمرکز در جهت ارتعاش و بصورتی که باعث تغیی:توجه
.در مود ارتعاشی مورد نظر باشد ، در نظر گرفته می شود
:رعایت شرایط مرزی و سازگاری و شکل ارتعاش
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for مثال:
مطلوبست تعیین اصلی
سیستم سه جرمی روبرو؟
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
k
mg
k
Fu
3
6
3
3
3
k
mguuu
233
صفر
زمین
k
mg
k
Fuuu
2
3
2
2
322
k
mg
k
mg
k
mg
k
mgu 5.3
2
72
2
32
k
mg
k
mg
k
mgu
k
mg
k
Fuuu 5.4
5.31
1
1
211
Dynamic of Structures
تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله
Rayleigh’s Method for
mk
m
k
k
mg
k
mgg
um
umg
ii
ii
312.025.56
5.17
235.325.41
235.325.41
222
23
1
2
3
12
mk56.0
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
یک روش ساده با تکرار مراحل(Iteration) و مناسب برای ساختمانهای برشی
فرض تغییر مکان اولیه برای شکل ارتعاشی یا محاسبه آن از طریق اعمال وزن سازه: txu ,0
یا
یا
00
0
max
0
max
R
VT
معلوم
dxuxEIV
00
max2
1
20
2
1ii
uk
dxuxmdxuxmT
220200
max2
1
2
1
202
2
1um
i
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
نیرویی که باعث ایجاد تغییر مکان می شود.
ل جدیدتحت اثر نیروی اخیر ، تغییر مکان جدید را محاسبه می کنیم و سپس انرژی پتانسی
00
iiiukp
0u
2
iimk
020
iiiump
1
iu
dxupV
101
max2
1یا
10
2
1ii
up
01
0
max
1
max RTV معلوم
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
اگر انرژی جنبشی جدید را نیز از طریق تغییر مکان جدید محاسبه کنیم : 1
u
dxuxmT
211
max2
1 یا
212
2
1ii
um
1
max
1
maxVT 11R
معلوم
121
iiiump
به همین ترتیب
ادامه
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
مثال:مطلوبست تعیین قاب
سه طبقه به روش
رایله اصالح شده؟
(سقف ها صلب )
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
1
0
3
0
2
0
1 uuu
00uu
9002
1
2
1 200
max
2
umTi
3600002
1011111
2
1
2
1
2
3
2
2
2
1
00
max
2
kkk
ukVii
0
max
0
maxVT
sRad
R20400
900
36000000
2
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
برش طبقات:
020
iiiump
20
1200 p و
20
2300 p و
20
3400 p
2
1200 F
و
2
2500 F
و
2
3900 F
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
محاسبه : 1
iu
0
1
3
3
31
3
1
3 u
k
Fuuu
221
30025.0360000900 u
21
2004583.0 u و
21
1006253.0 u
625.32
1
2
1 4101
max ii
upV
sRadTVR
/75.152
900625.3
2
101
240
max
1
max
Dynamic of Structures
روش رایله اصالح شده
برای دقت بیشتر می توان. جوابها به سمت همگرایی میل می کند
01661.02
1
2
1 6121
max
2
iiumT
sRadVTR
/77.14625.32
101661.0
2
111
461
max
1
max
......
121
iiiump
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
طبقهساختمانهای چند) مدل شوند ( در یک یا چند نقطه ) اکثر سازه ها می توانند بصورت جرم متمرکز
( . با کف صلب و ساختمان هایی با اجزاء تیر و ستون با جرم نا چیز
بخش بزرگی از درس به تجزیه و تحلیل این نوع مدل ها پرداخته و می پردازد ، به دو دلیل:
بویژه اول اینکه چنین مدل هایی بصورت بسیار مناسب و موثر رفتار دینامیکی سازه را بیان می دارد
ساختمانهای چند طبقه و
ه هادوم اینکه روش های محاسباتی با کامپیوتر جهت حل معادالت دیفرانسیل معمولی حرکت این ساز
. به تعداد زیاد موجود است
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
ازهبا این حال برای برخی سازه ها با جرم و سختی گسترده نظیر دودکش ها ، سدهای قوسی و س
. ک گرفت روش فوق مناسب نیست و باید از روش تحلیل سیستم های پیوسته کم...... راکتورهای هستهای و
ی شود در این بخش به مسائل یک بعدی با جرم گسترده نظیر تیرها و برج ها و تحلیل آنها پرداخته م.
برای نیروی اعمالی بصورت زیر بیان می شود( حالت بدون میرایی)معادله حرکت:
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
، یک تیر مستقیم با ارتعاش جانبی وبا شرایط تکیه گاهی خود
:از تعادل نیروها در جهت قائم داریم
در رابطه روبرو ، اگر نیروی اینرسی نبود ، رابطه کالسیک
. بین برش و نیروی گسترده در تیرهای تحت بار گسترده حاصل می شد
2
2
t
ump
x
V
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
یم ،به شتاب زاویه ای جزء صرفنظر کن( وابسته ) در مقاومت مصالح اگر از لنگر اینرسی مرتبط
از تعادل چرخشی المان رابطه استاندارد روبرو را داریم
:باز هم در مقاومت مصالح اگر از تغییر شکل های برشی صرفنظر کنیم ، داریم
( ارتعاش ) اگر روابط و را در رابط قرار دهیم ، معادله حاکم بر تغییر مکان
: جانبی تیر حاصل می شود
x
MV
2
2
x
uEIM
txu ,
txpx
uxEI
xt
uxm ,
2
2
2
2
2
2
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
م برای حل معادله نیاز به دو شرط مرزی در هر یک از انتهای تیر و تغییر مکان و سرعت اولیه داری .
برای سادگی: مهمترین بخش حل معادله ، مرحله ارتعاش آزاد آن است
: برای حل فرض می کنیم پاسخ بصورت روبرو باشد
EIm ,
02
2
2
2
2
2
x
u
xm
EI
t
u
tqxtxu ,
tqxt
u
2
2
و tqxt
u
2
2
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
با بکار گیری روابط در: 0
xtq
m
EItqx
0 tqxm
EItqx
IV
2
x
x
m
EI
tq
tqIV
مقدار ثابت
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
رابطه کالسیک ارتعاش آزاد بدون میرایی:
از معادله به ازای هر با توجه به شرایط اولیه ، تابع مشخص خواهد شد:
02
uu
0
02
2
xEI
mx
tqtq
IV
و4
2
EI
m
04
xxIV
یا 02
xmxEI
tqtq
tqii
i
cossin0
0
tq
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
برای حل معادله
دایتبا اعمال شرایط مرزی در تکیه گاه ها به معادالتی مثلثاتی خواهیم رسید که ما را به بینهایت ه
( .سیستم پیوسته پس بینهایت درجه آزادی ) خواهد کرد
044
sxsx
ecsecx
1044
s iوs
xxxixieAeAeAeAx
4321
xBxBxBxBx sincossinhcosh4321
یا
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
بنابراین جواب ارتعاش آزاد جمع کلیه جوابها خواهد بود:
با توجه به شرایط تکیه گاهی و شرایط فیزیکی در انتهای آزاد تیرها:
tqوxiii
tqxtxui
i
ic
1
,
تغییر مکان صفر
شیب صفر
0x
0dx
d
لنگر خمشی صفر
برش صفر
02
2
dx
d
03
3
dx
d
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
کیه گاه در ت–در تکیه گاه گیردار ، تغییر مکان و شیب صفر –در انتهای آزاد ، لنگر و برش صفر
:غلتکی ، تغییر مکان و لنگر صفر پس در هر انتها به هر حال دو شرط مرزی خواهیم داشت
روش ساده شده:shوch sinhcosh
VxxshSSxxch sincos
SxxchTTxxsh cossin
TxxshUUxxch sincos
UxxchVVxxsh cossin
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
رابطه را بصورت روبرو می نویسیم:
با توجه به شرایط مرزی و استفاده از روابط ساده بین ضرایب می توان
.این ضرایب را محاسبه نمود
VCUCTCSCx4321
UCTCSCVCVCUCTCSCdx
d43214321
TCSCVCUCdx
d4321
2
2
2
.....................................
SCVCUCTCdx
d4321
3
3
3
.....................................
1234،C،C،CC
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
طره پیوسته همگن؟( ستون)مطلوبست برآورد فرکانس های طبیعی یک تیر –مثال
00
x
0
0
xdx
d
02
2
hxdx
d
03
3
hxdx
d
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
0از شرایط مرزی باال21 CCو
0cossin
0sincos
43
43
hhchChhshC
hhshChhchC
0
0
cossin
sincos
4
3
C
C
hhchhhsh
hhshhhch
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
نمی توانند صفر باشند چون در آنصورت ارتعاشی وجود نخواهد داشت پس دترمینان
:ماتریس ضرایب صفر است ، از آنجا داریم
34CوC
0sinsincos2
hhshhhshhhch
0sincos2cos2222
hhshhhchhhch
0cos211 hhch
01cos hhch
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
از روش ساده امکان حل معادله باال وجود ندارد پس به کمک روش عددی حل شده و داریم:
,....279.17,137.14,996.10,8548.7,6941.4,8751.1hi
تقریبا4iبرای
2
12
nh
iبا توجه به
m
EI4
2
m
EI
h21
516.3 و
m
EI
h22
03.22 و
m
EI
h23
70.61
وm
EI
h24
9.120
m
EIii
2
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
قرار دهیم و از ( درس) و آنرا در رابطه ( رابطه ) اگر را بر حسب بنویسیم
:روابط بین ضرایب در شرایط مرزی کمک بگیریم ، تابع بصورت زیر خواهد بود
3C
4C
xi
xxsh
hhsh
hchxxchCx
ii
ii
ii
iii
sin
sin
coscos
4
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
2T
m
EI
h
hT
i
i 2
22
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
مطلوبست تعیین فرکانس ها و شکل تغییر مکانی ارتعاش آزاد یک تیر ساده –مثال.
. در دو انته با توجه به تکیه گاه ها ، تغییر مکان و لنگر صفر است
0000013 BBu
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
0000013
2 BBEIM
xshBxBx 24
sin
00 llulx
031 BB
0sin24
lshBlB
00 lEIlM 0sin24
2 lshBlB
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
اگر داریم که معنی ندارد پس
از جمع دو رابطه اخیر 02
lshB در اینحالت lsh نمی تواند صفر شود
0چون صفر میشود که در ارتعاش بی معنی است پس2B 0sin
4lB
04B 0x 0sin l
nl برای ,.....3,2,1n
m
EI
l
nn 2
22
و ,.....3,2,1n
با توجه بهEI
m2
4
:اگر را در رابطه بکار ببریم nl x
l
xnBx
n
sin
4
4که مقدار اختیاری استB
Dynamic of Structures
دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity
m
EI
l2
2
1
12
2
24
4
m
EI
l
12
2
39
9
m
EI
l
نصف سینوس
یک سینوس
یک و نیم سینوس
Dynamic of Structures
رابطه ارتعاش آزاد سیستم بر اساس تئوری تیر تیموشنکو
ظ شود اگر از لنگر اینرسی چرخشی تیر صرفنظر نشود و تغییر شکل حاصل از تنش برشی ملحو
:، معادله ارتعاش آزاد بصورت زیر در می آید ( تئوری تیر تیموشنکو)
مدول ارتجاعی برشی ، شعاع ژیراسیون مقطع ، سطح مقطع و ضریب
طیلی وکه مثال برابر در مقطع مست( مربوط به غیر یکنواخت بودن تنش برشی در مقطع)شکل مقطع
( . مقاومت مصالح)در مقطع دایروی است
014
422
22
4
2
4
4
2
2
t
u
kGA
rm
tx
u
kG
Emr
x
uEI
t
um
G
A
Ir Ak
6
5
10
9
Dynamic of Structures
رابطه تعامد مودال در سیستم های پیوسته
Modal Orthogonalityدر این بخش خاصیت عمود بودن مودهای ارتعاش آزاد در سیستم های پیوسته مالحظه می شود ، برای
ستفاده سهولت بیان از یک تیر یک دهانه با انتهای مفصلی ، گیردار یا آزاد و بدون جرم متمرکز در انتها ا
م بازنویسییرای مود ا( معادله دیفرانسیل تفکیک شده تابع شکلی )میشود ، برای شروع رابطه
می شود
طرفین را در ضرب نموده و از صفر تا انتگرال می گیریم:
r
04
xxIV
4
2
EI
m
xxmxxEIrr
2
2
xn
l
dxxxxmdxxxEIxrn
l
rr
l
n
0
2
0
Dynamic of Structures
رابطه تعامد مودال در سیستم های پیوسته
Modal Orthogonality ( :روش های انتگرال گیری ) طرف چپ را بصورت بخش بخش انتگرال می گیریم
اانتهای تیر بصورت آزاد ، ساده ی) به سادگی مالحظه می شود ، مقادیر داخل آکوالدها در
د داریم برابر صفر هستند ، زیرا اگر گیر دار باشد داریم و و اگر ساده باش( گیر دار
و به دلیل لنگر صفر و اگر آزاد باشد ، لنگر و برش صفر پس و
dxxxxEIxxEIx
xxEIxdxxxEIx
rn
ll
rn
l
rnr
l
n
00
00
lx ,0
00
000 0
Dynamic of Structures
رابطه تعامد مودال در سیستم های پیوسته
Modal Orthogonality در این مرحله مقدار را در قرار می دهیم:
اینک مجددا از ابتدا شروع کرده و رابطه را برای مود ام می نویسیم و طرفین را در
: ضرب کرده و از صفر تا انتگرال می گیریم که مشابه حالت قبل خواهیم داشت
:رابطه را از رابطه تفریق می کنیم
dxxxxmdxxxxEIrn
l
n
l
rn
0
2
0
n
xr
l
dxxxxmdxxxxEIrn
l
r
l
rn
0
2
0
00
22 dxxxxm
rn
l
rn
Dynamic of Structures
رابطه تعامد مودال در سیستم های پیوسته
Modal Orthogonality در نتیجه با توجه خواهیم داشت:
با استفاده از رابطه دررابطه داریم:
روابط و روابط تعامد مودها نامیده می شوند .
rn
00
dxxxxmrn
l
00
dxxxEIxr
l
n
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response (.رابطه ) حرکت سیستم پیوسته را می نویسیم ( معادله)رابطه
(نشواک)اگر سیستم را برای حالت ارتعاش آزاد حل کرده باشیم و و معلوم باشند جواب
( : رابطه ) بصورت روبرو خواهد بود
. ترکیب خطی مودها که در حقیقت جمع جوابهای حاصل از معادله دیفرانسیل است
txpx
uxEI
xt
uxm ,
2
2
22
2
i
i
tqxtxur
r
r
1
,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response ترم ام در سری باال مقدار مشارکت)بنابراین ، پاسخ از جمع آثار هر یک از مودهاست
(.مود ام در کل پاسخ است( تاثیر)
البته مجهول اصلی. را مود و را مختصات مودال می نامند که مجهول است
:را در معادله قرار می دهیم ( رابطه ) جواب مفروض . است
اینک هر ترم را در ضرب و در طول تیر انتگرال می گیریم:
txu ,r
r
q txu ,
txptqxxEItqxxm
r
rrrr
r
,
11
xn
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response
همه ترم ها در ترکیب عبارات سمت چپ( روابط و ) با توجه به خاصیت تعامد مود ها
:برابر صفر است بجز ترم مربوط که خواهیم داشت
l
n
l
n
r
rrn
r
l
r
dxxtxp
dxxxEIxtqdxxxxmtq
0
20
110
,
nr
l
n
l
nnnnndxxtxpdxxxEIxtqdxxxmtq
00
2,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response که به صورت ساده روبرو می نویسیم:
با توجه به روابط بخش خاصیت تعامد مودها:
tptqktqMnnnnn
که l
nndxxxmM
0
2
l
nnndxxxEIxk
0
l
nndxxtxptp
0,
l
nndxxxEIk
0
2
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response و عبارت از جرم و سختی تعمیم داده شده(generalized) برای مود ام می باشد
که رابطه کلی فرکانس میان آنها بر قرار است
رابطه اخیر با نوشتن معادله برای مود ام و ضرب طرفین رابطه در و انتگرال
.بدست مآید ( روابط ) گیری ازصفر تا و استفاده از بیان و
معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی است. نیروی تعمیم داده شده برای مود ام است
.و فقط به مود ام یعنی ارتباط دارد ( SDFمشابه ) که مجهول آن می باشد
nM
nkn
nnn
n
n
nMk
M
k 22
n xn
ln
Mn
k
tpn
n
tqn
n xn
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response قیقت در ح. بنابراین می توانیم بینهایت معادله مشابه معادله برای هر یک از مودها داشته باشیم
بود و مجهول آن است تبدیلPartialکه بصورت ( معادله ) معادله معادله دیفرانسیل اولیه
با مجهول می شود و بصورت مجزا و ( رابطه ) به بینهایت معادله دیفرانسیل معمولی
(.با توجه به نوع بار گذاری ) کالسیک قابل حل می باشند
ا می توان میزان مشارکت مود ام در تغییر مکان ر( مود ام ) وقتی معلوم باشد
:بصورت زیر بدست آورد
txu ,
txu ,
tqn
txp ,
tqnn n
tqxtxunnn
,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response کل تغییر مکان از جمع آثار هر یک از مودها حاصل می شود
زیر لنگر خمشی و نیروی برشی در هر مقطع از تیر ناشی از تغییر مکان نقطه در لحظه بصورت
:می باشد
tqxtxutxun
n
n
n
n
11
,,
tqxxEItxMnn
n
1
,
tqxxEItxVnn
n
1
,
t
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response کان و تغییر م)مطلوبست واکنش تیر . یک تیر ساده تحت بار گذاری داده شده مد نظر است –مثال
وقتی که حالت خاص. وقتی که نیروی متمرکز در فاصله از تکیه گاه سمت چپ اثر می کند ( لنگر خمشی
.نیرو در وسط دهانه اثر می کند
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response قبال ارتعاش آزاد تیر ساده را تحلیل نموده بودیم:
مقدار را در روابط قرار می دهیم:
l
xnx
m
EI
l
n
n
n
sin
2
22
xn
2
mlM
n و 3
44
2l
EInk
n
ax دلتای دیراک axptxp 0
,
متمرکز در
aptpnn
0
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Responseمعادله مودال ام
قبال حل یک سیستمSDF در بار گذاری پله ای(step) مالحظه شده بود فقط پارامتر به
:و حداکثر ، خواهد بود
، رابطه را در معادله قرار داده و توجه شود که از رابطه معلوم است
.پس بدست می آید
n nnnnn
ptqktqM0
tu tqn
nnst
kpu /0
tnEI
lpt
k
ptq
n
n
n
n
no
n
cos1
2cos1
44
3
0
xn
txu ,
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response در حالت خاص ، مقدار را در معادله قرار می دهیم سپس در رابطه:
2
l
l
xnt
n
l
EI
lptxu
n
n
n
sincos1
22,
1
44
3
0
که
,...11,7,3
,....9,5,1
,....6,4,2
1
1
0
2
n
n
nl
n
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response مقدار را در قرار داده:
تغییر مکان در وسط تیر:
ضرایب و بقیه در مخرج کسر نشان می دهد که مشارکت و تاثیر مود
. اول تعیین کننده است و سری سریعا همگرا می شود
gf
l
xt
l
xt
l
xt
l
xt
EI
lptxu
7sin
2401
cos15sin
625
cos13sin
81
cos1sin
1
cos12,
7531
4
3
0
2401
cos1
625
cos1
81
cos1
1
cos12,
2
7531
4
3
0tttt
EI
lpt
lu
1,81,625,2401
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Responseلنگر خمشی از قرار دادن رابطه در بدست میآید:
لنگر خمشی در وسط دهانه:
l
xt
l
xt
l
xt
l
xt
EI
lptxM
7sin
49
cos15sin
25
cos13sin
9
cos1sin
1
cos12,
7531
3
0
49
cos1
25
cos1
9
cos1
1
cos12,
2
7531
2
0ttttlp
tl
M
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic
Response ه در مجموعه اخیر با توجه به در مخرج کسر ، همگرایی کند است البته نسبت به رابطه ک
استمودهای باالتر در نیرو بیشتر( تاثیر ) از این مطلب در می یابیم که مشارکت . در مخرج را دارد
. نسبت به تغییر مکان
ملتوضیح مختصر در خصوص مشکالت تحلیل سیستم های پیوسته در ع
در ارضاء مشکل شرایط مرزی-مشکل متغیر بودن و در روابط و انتگرال گیری مشکل
گره های ارتباطی تیر و ستون در قابها–( امکان پذیر ولی پیچیده و طوالنی ) تیرهای سرتاسری
2n
4n
xm xEI
Dynamic of Structures
اصول تحلیل دینامیکی در حوزه فرکانسDynamic Analysis in the Frequency Domain
به چند دلیل ، تحلیل در حوزه فرکانسی بر تحلیل در حوزه زمانی ترجیح دارد :
(FFT–طیف طرح –مشکل انتگرال دوهامل –تابع غیر مشخص ) در بار گذاری زلزله 1.
(امپدانس خاک–FE ،BE–مدل سازی خاک )اندر کنش خاک و سازه 2.
(تحلیل ریسک –ارتعاشات تصادفی –آمار و احتماالت ) پدیده های تصادفی 3.
Dynamic of Structures
اصول تحلیل دینامیکی در حوزه فرکانسDynamic Analysis in the Frequency Domain
(پریودیک ) شکل نمایی سری فوریه برای بار گذاری دینامیکی
p
n
p
nT
ntb
T
ntaatp
2sin
2cos
11
0
p
p
TT
T
T
2
2
12
2
1
1
22
2
22
p
p
p T
T
T
Tو
TT
Dynamic of Structures
اصول تحلیل دینامیکی در حوزه فرکانسDynamic Analysis in the Frequency Domain
ضرایب مجهول است و مانند
.ضرایب و باید معلوم شوند
1
2
2
n
T
nT
T
Tn
p
pn
n 1
nn
i
eetnt
tintin
n2
sinsin11
1
2coscos
11
1
tintin
n
eetnt
n
tin
neptp 1
np
na
nb
Dynamic of Structures
اصول تحلیل دینامیکی در حوزه فرکانسDynamic Analysis in the Frequency Domain
خاصیت تعامد توابع اکسپونانسیل
با توجه به خاصیت تعامد ، طرفین رابطه را در عبارت ضرب و از صفر تا
:انتگرال می گیریم
mn
mn
Tdtee
p
T
timtin
p 0
0
11
time 1
pT
p
p
T
p
T
tin
p
n
ndttpT
p
ndtetpT
p
0
0
0
01
11 سایر مقادیر
Dynamic of Structures
در حوزه فرکانس SDF تحلیل سیستم
برای سهولت ، جزئیات برای ارائه می شود –از جواب گذرا صرفنظر می شود:
ود پس برای سهولت بیشتر در انتها در نظر گرفته می ش( فاکتور)چون ضریب و ثابت است
tin
neptptkutuctum 1
1n
tiepkuucum 1
1
1p
tiekuucum 1
tieHtu 1
و وti
eiHu 1
1
tieHu 12
1
1
2i
titiekicmHe 11
1
2
1
Dynamic of Structures
در حوزه فرکانس SDF تحلیل سیستم
1
11
1
2
11
2
1
k
ci
k
mk
kcimH 01
tie
1
1
و و
crc
c mc
cr2
12
1111222
m
kc
c
c
kk
ccr
cr
12
1
1
2
1
1
ik
H
Dynamic of Structures
در حوزه فرکانس SDF تحلیل سیستم
در حالت کلی:
ابعبنابراین در حالت کلی با توجه به فاکتور ثابت در تابع نیرو و ترکیب بار از جمالت ت
:اکسپونانسیل ، جواب معادله مورد نظر بصورت زیر خواهد بود
. رفتار سازه باید خطی باشد
n
12
1
1
2
1
21
innk
nHHn
np
tin
n
n
epnHtu 1
1
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
( . امواج تکی–زلزله ) نیروهایی که تابع آنها شکل خاصی ندارد و پریودیک نمی باشند
یک نیروی پریودیک با زمان تناوب :فرض
تغییر متغیر زمان به فرکانس
برای حل معادله دیفرانسیل تعادل دینامیکی از
: تغییر متغیر استفاده می شود ، چند تعریف
t
PT
21 و
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
nn 1
nnnpn
pppTp
22
1
2
nnpp
tin
n
tin
nepeptp 11
2
1
tin
n
neptp2
1
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
برای یافتن عبارت ، طرفین عبارت را که از قبل
:داشتیم در ضرب می کنیم
ی ازبود ، حاال بصورت متغیر پیوسته ا( نقطه ای ) که به ازای های مختلف دارای مقدار منفرد
ه آن در ضمن شکل بیانی که بصورت بود ، به شکل انتگرال در می آید که ب. در می آید
: انتگرال فوریه می گویند
n
p
p
n
Tti
p
ndtetp
Tp
0
1
pT
dtetppTpti
T
T
npn
n
p
p
2
2
pT
2
pT اگر d
nn
tp
depeptptiti
n
n
2
1
2
1
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
که در این انتگرال فوریه مقدار
دو رابطه اخیر و را زوج تبدیل فوریه گویند.
را تبدیل فوریه و را تبدیل معکوس فوریه می نامند .
زیکی نظیر شرط الزم وجودی تبدیل فوریه آن است که موجود باشد که البته اکثر توابع فی
.نیروها چنین خصوصیتی را دارند
خالصه نتایج روش برای متغیر فرکانس بصورت زیر می شود:
p dtetppti
p tp tp p
dttp
2
f
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
یا بصورت دیگر:
dfefptp
fti 2
و
dtetpfp
fti 2
dfefpfHtufti 2
dfefutufti 2 که
fpfHfu
Dynamic of Structures
تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم
تعیین انتگرال اخیر احتیاج به محاسبه انتگرال مرزی در صفحه مختلط دارد.
برنامهFREQ-RESP در حالت زلزله برای انتگرال ها از روش عددی–در کتاب
(زلزله ) کاربرد مطالب در تهیه طیف فوریه بار گذاری.......
tp fp
fu tu
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of (قاب برشی دو طبقه ) سیستم ساده
برای سادگی فرض می شود تیرها و کف صلب
. هستند
از تغییر شکل محوری تیرها و ستون ها و از اثر
.نیروی محوری در سختی ستون ها صرفنظر می شود
رفتار خطی است .
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
ofتعداد درجات آزادی مستقل برابر دو است
قانون دوم نیوتن برای حرکت هر یک از جرم ها :
21,uu
iiDiSiiumffp 2,1i
22222
11111
pffum
pffum
DS
DS
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of
معادله برداری حرکتMDF:
ه که نیروی سختی بستگی به بردار تغییر مکان طبقات دارد ، سختی جانبی هر طبق
:بستگی به برش طبقه داشته و رابط بین آن و تغییر مکان طبقه است
باشد برابر سختی جانبی کل ستونهای طبقه می( درقاب برشی ) و سختی هر طبقه :
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
p
p
f
f
f
f
u
u
m
m
S
S
D
D
pffumSD
S
f uik
iV
iiikV
1
iiiuu
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of ز از طبقه باال و ا: نیروی سختی موثر در سقف طبقه اول از دو بخش تشکیل می شود
:طبقه پائین
توجه شود که و هر دو
:پس . بیان کننده برش در طبقه دوم هستند پس در مقدار مساوی ولی مختلف العالمت می باشند
a
Sf
1
b
Sf
2
3
12
h
EIk
c
i
a
S
b
SSfff
211
ستونها
11u و 122
uu 212111
uukukfS
a
Sf
12Sf
1222uukf
S
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of
ین میراییبطور مشابه می توان برای نیروی میرایی نیز اقدام نمود که البته به دلیل مسائل مطرح در تعی
. در عمل ، معموال بصورت در صد میرایی و در معادالت تفکیک شده اعمال می گردد
وده در نهایت معادله حرکت بصورت معادله دیفرانسیل برداری نوشته می شود که مجهوالت و ب
.که بنابراین معادله باید بصورت همزمان حل شود ( coupled)و معادله بصورت وابسنه است
2
1
22
221
2
1
u
u
kk
kkk
f
f
S
S
یا ukfS
ماتریس سختی
1u
2u
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of مدول االستیسیته مطلوبست تعیین معادله حرکت قاب برشی زیر ؟ –مثالE
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of
mmو 21 mm
2
331
482122
h
EI
h
EIk
cc
332
24122
h
EI
h
EIk
cc
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of mmو
10
02
11
1324
3h
EIk
c
tp
tp
u
u
h
EI
u
um
c
2
1
2
1
3
2
1
11
1324
10
02
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of ( . قانون دوم نیوتن ) با استفاده از مدل جرم متمرکز ، ماتریس جرم همیشه قطری خواهد بود
د ، البته دربرای تشکیل ماتریس سختی ، چگونگی استفاده از سختی طبقه در سازه های برشی مالحظه ش
رس ، اشاراتی حالت کلی از ضرایب سختی برای تشکیل ماتریس سختی استفاده می شود که در ابتدای شروع د
:، یاد آوری خالصه ( جلسات اول درس دینامیک سازه ها)به آنها شد
ه نیرو در درجه آزادی وقتی تغییر مکان واحد در اعمال می شود و سایر درجات آزادی گرفت
. شده است ( قفل )
ijij
k
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of
kuukfS
0
تغییر مکان نسبی
Dynamic of Structures
سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree
of
جزئیات تشکیل ماتریس سختی در دروس تحلیل سازه ها تشریح می شود.
2121111ukukf
S
2221212ukukf
S
2
1
2221
1211
2
1
u
u
kk
kk
f
f
S
S
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
شبکه بندی ، عناصر انتخابی ، گره ها ، توابع شکلی :اساس(shape function)
چند جمله ای هرمیتی یا الگرانژی .....( صفحه یا ) با توجه به حالت بار گذاری......
ارضاء شرایط تغییر شکلی مورد نظر در المان مورد بررسی :خواص چند جمله ای ها
جزئیات روش اجزاء محدود در درس مربوط بوده و اینجا فقط به نحوه تعیین و
. پرداخته می شود
x
ijk
ijm
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
32
112311
l
x
l
xxuu
a
32
22231
l
x
l
xxuu
b
11
2
44l
x
l
xxu
b
2
3311
l
xxxu
a
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
در حالت کلی تغییر مکان یک نقطه از تیر بصورت زیر خواهد بود:
برای تعیین ضرایب می توان از روش تعادل ، انرژی ، کار مجازی استفاده کرد .
اینجا کار مجازی:
تساوی کار نیروهای خارجی با نیروهای داخلی در یک تغییر مکان مجازی
نیروی قائم ایجاد شده در گره بر اثر چرخش. برای نمونه جزئیات مراتب برای ضریب ارائه می شود
.واحد در همان نقطه
432211
uxuxuxxu
13ka
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
در تیر چرخش واحد در اعمال شده و یک تغییر مکان قائم مجازی در در نظر می گیریم .
تساوی کار نیروهای داخلی با کار نیروهای خارجیIE
WWk 13
a a
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
انهای در این حالت کار خارجی فقط توسط مولفه قائم نیرو در نقطه انجام می شود زیرا تغییر مک
. مجازی در گره های دیگر صفر است
، کار مجازی داخلی توسط لنگرهای داخلی ناشی از بر روی انحناهای مجازی انجام می شود
انحناء و مقدار چرخش است ، :در یک تیر تحت خمش
. کار مربوطه می باشد
a
131kupuW
aaE
1a
r
1ddx
r
1
Mdوdxds # r
dsd
dx
d
r
1از طرفی
dx
dyd
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
مقدار انحناهای مجازی با صرفنظر کردن
:از اثرات ناشی از تغییر شکل برشی عبارت از
در حالت مورد نظر در اینجا ، تغییر
:مکان مجازی می باشد u
2
21
dx
yd
dx
dy
dx
d
dx
d
r
uy
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
لنگر داخلی ناشی از چرخش با توجه به
11112
2
2
21
uxuxdx
dxu
dx
d
r
1a
yEI
Mو xy
3
xxEIxM3
کار داخلیr
dxMMd
dxxxxEIuWl
I 30
11
EI
WW dxxxxEIkl
30
113
Dynamic of Structures
طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود
در حالت کلی ضرایب سختی مربوط به خمش تیر:
م داشت در حالت کلی با تعیین ضرایب دیگر ماتریس سختی به روش فوق برای تیر مورد نظر خواهی:
ماتریس کل یک سازه از سر هم بندی ماتریس اجزاء
dxxxxEIkj
l
iij 0 dxxxxEIk
j
l
iij 0
22
223
233
233
3366
3366
2
llll
llll
ll
ll
l
EIk
Dynamic of Structures
(پر)تعیین ضرایب ماتریس جرم سازگار Consistent Mass Matrix
(تساوی کارهای داخلی و خارجی ) مشابه حالت عمل می شود
برای نمونه مد نظر است .
ijk
13m
Dynamic of Structures
(پر)تعیین ضرایب ماتریس جرم سازگار Consistent Mass Matrix
اگر تیر تحت اثر شتاب زاویه ای واحد در انتهای چپ قرار گیرد:
شتابهائی در طول تیر ایجاد می شود :
مقاوم در برابر این شتاب ( طبق اصل داالمبر)نیروی اینرسی:
13
a
u (بقیه صفر)
44332211
uuuuxu
00033 uxxu
33uxxu
33
uxxmxuxmxfI
Dynamic of Structures
(پر)تعیین ضرایب ماتریس جرم سازگار Consistent Mass Matrix
می شوند ضرایب تاثیر جرم مربوط به این شتاب به عنوان نیروهای اینرسی گره ای ناشی از آن تعریف .
وند این نیروها به کمک اصل تغییر مکانهای مجازی از نیروی اینرسی گسترده معادله محاسبه می ش .
جی مثال با ایجاد تغییر مکان مجازی قائم و مساوی قرار دادن کار انجام شده توسط نیروی گره ای خار
شوندبا کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی گسترده ، نیروی قائم در انتهای چپ محاسبه می
( :همان )
ap xf
I
13m
dxxuxfupWWi
IaaIE
0
dxuxxxmum
xu
l
xf I
11
03113
1
Dynamic of Structures
(پر)تعیین ضرایب ماتریس جرم سازگار Consistent Mass Matrix
رت زیر با تعیین سایر ضرایب از توابع شکلی خود در نهایت ماتریس جرم سازگار المان تیری بصو:
برای ماتریس میرایی نیز بطور
:مشابه می توان عمل کرد
، می باشد،ولی مشکل ارزیابی که بیانگر مشخصه استهالک ویسکوز پیوسته برای هر المان است
. در عمل اثر میرایی بصورت درصد میرایی در معامالت نهایی در نظر گرفته می شود
l
dxxxxmm0
3113
l
jiijdxxxxmm
0
l
jiijdxxxxmm
0
22
22
432213
341322
221315654
132254156
420
llll
llll
ll
ll
lmm
dxxxxcCl
jiij 0
xc
Dynamic of Structures
بردار بارگذاری
سادهبرای تعیین بردار بارگذاری مربوط به درجات آزادی مربوط ، ساده ترین روش استفاده از اصول
ته میتواناستاتیک است که بار بین گره ها را بطور ساده به درجات آزادی گره ها تقسیم و انتقال می دهد ، الب
اده از اصل کاراز بارهای گره ای سازگار نیز استفاده کرد ، مثال تعیین نیروی سازگار متناظر با با استف
:نتیجه : مجازی
1u
dxxtxptpl
10
1,
dxxtxptpi
l
i
0,
:در حالت کلی
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF معادله حرکت در حالت کلی:
اگر تعداد درجات آزادیN باشد پسN معادله دیفرانسیل هموژن وابستهcoupled خواهیم داشت.
ماتریس میرایی( تعیین)حل معادله ارتعاش آزاد با میرایی امکان پذیر است ولی مستلزم داشتن
. می باشیم
جواب معادله بصورت روبرو در نظر گرفته می شود:
tpukucum
0 ukum معادله ارتعاش آزاد بدون میرایی
c
ii
tqtu
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDFشود بردار تغییر شکل که وابسته به زمان نمی باشد و متغیر زمان با تابع وارد مساله می:
ضرایب ثابت که از شرایط اولیه بدست می آید.
در معادله ( جواب)رابطه . توجه شود که مجهول هستند:
i
tqi
tDtBtAtqiiiiiii
sinsincos
iiAوB
tBtAtuiiii
sincos
ii
و
02
tqkmiiii
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF پس:
مقادیر مشخصه ،: ریشه های معادله مشخصه یعنیEigen Values فرکانس زاویه ای از ،
ادیرالبته مقادیر نسبی دامنه حرکت و نه مق) رابطه می توان بردار را به ازای ها بدست آورد
(. مطلق آنها
0tqi 0
2
iimk یا
iii
mk 2
معادله مشخصه: 0det2
mki
0i
پس:
2
i بر حسب Nچند جمله ای مرتبه i
Ni 1 تا معلوم
i
i
i
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF، بردار مود طبیعی ، شکل مود ارتعاشEigen Vectors ، بردار مشخصه......
Ni
i
i
i
::
2
1
......321
ترتیب شماره گذاری فرکانس ها و پریودها
.......21TT
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF مطلوبست تعیین فرکانس زاویه ای –مثال
و مود شکل های سیستم زیر؟
ماتریس)ابتدا باید معادله حرکت نوشته شود
(:سختی و جرم
اعمال)از روش ماتریس نرمی استفاده می شود
نیروی واحد و محاسبه تغییر مکانهای حاصل در
: از تحلیل سازه ( درجات آزادی
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDFماتریس نرمی
25
516
48
3
EI
lf
165
52
7
48
3
1
l
EIfk
20
04
ml
ml
m 0 ukum
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF2برای سادگی
4
192
7
EI
ml
2165
52
7
48
3
2
l
EImk
02165
52det
07202
2
36319.0و1 6368.9
2
42
41
2580.16
15623.3
ml
EI
ml
I
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF 02
ii
mk
0
00.1
2
2
1
i
mk
3274.021
0
00.1
2
2
i
mk
5274.122
,3274.0
0000.1
1
5274.1
0000.1
2
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF در قاب سه طبقه داده شده مطلوبست تعیین و ؟–مثالi
i
2111
uukfS
2113222
uukuukfS
322333
uukukfS
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF
0,1321 uuu 0,1
312 uuu 0,1
213 uuu
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF kو
520
231
011
101203
0.200
05.10
000.1
200m
برای سادگی600
2
ii
i
i
i
mk
2520
25.131
011
1012032
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF 025.75.5دترمینان ماتریس اخیر صفر
23
iii
351.0و1 61.1و
2 54.3
3
210و2
1 966و
2
2 2124
2
3
sRadو /5.141 1.31و
2 1.46
3
02
ii
mk
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF
0
0
01
2520
25.131
011
3
2
1
ii
i
i
0
0
252
25.131
0
1
3
2
i
i
0
1
252
25.13
3
2
i
i
i
i
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF 351.0
1
0
1
3.42
2475.2
31
21
300.0
644.0
31
21
61.1
2 601.0و
22 676.0
32
54.33
57.2و23
47.233
Dynamic of Structures
ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی
Free Vibration of
MDF
Dynamic of Structures
خاصیت تعامد مودهاOrthogonality of
Modes معادله مشخصه را برای مود شماره می نویسیم:
طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:
حال معادله را برای مودS ام می نویسیم:
02
ii
mk r
02
rrr
mk
T
S
02
r
T
Srr
T
Smk
02
SSS
mk
Dynamic of Structures
خاصیت تعامد مودهاOrthogonality of
Modes طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:
چون متقارن است ، رابطه
T
r
02
S
T
rSS
T
rmk
02
r
T
SSr
T
Smk
kوm
رابطهرابطه 022
r
T
SrSm
0r
T
Sk mو
r
T
S0
رابطه تعامد مودها نسبت به ماتریس سختی و جرم
-
Dynamic of Structures
مقیاس کردن مودهاNormalization of Modes
یاس با تقسیم مولفه های بردار مود بر بزرگترین عدد آنها ، بردار مود به عدد یک مق–الف
.می شود
مقیاس نمودن بر حسب ماتریس جرم به نحویکه-ب
i
5.0
0.1
0.1
0.2
1i
T
im
i
i
i
M
1
ii
T
iMm
'
Dynamic of Structures
مقیاس کردن مودهاNormalization of Modes
N
....,21
2
2
2
2
1
2
0
.
.
0
N
(فرکانس ها ) ماتریس مقادیر مشخصه
ماتریس مودال
Dynamic of Structures
مقیاس کردن مودهاNormalization of Modes
2.3601
'
1
'
1 Mm
T
0158.0
0339.0
0527.0
3.0
644.0
0.1
1
1
1
1
M
M
M
111 m
T
در مثال قبل
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
از تحلیل ارتعاش آزاد مقادیر و معلوم است
تغییر متغیر از مجهول فیزیکی به مجهول مودال:
tpukucum
i
i Ni 1 تا
u
qu
N
i
iitqtu
1
tpqkqcqm
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:
T
i
tpqkqcqmT
i
T
i
T
i
T
i
NNN
N
N
Ni
i
i
NNNN
T
Ni
i
i
q
q
q
m
m
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
0
.
.
2
1
2
1
2
1
2
22
12
1
21
11
22
11
2
1
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
برای در نظر گرفتن میرایی معموال با روش رایله عمل می شود:
بنابراین خاصیت تعامد مودها نسبت به ماتریس میرایی نیز بر قرار می شود:
در نهایت:
i
M
i
T
i
T
i
T
iqmqmqm
i
2211
iqصفرصفر
kmc
cوS
T
r0
ii
T
icc
iiiiiiipqkqcqM
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
با توجه به روابط بین جرم ، سختی و میرایی
مودهای اولیه مهم است ، می توان چند مود اول را در نظر گرفت
kkوii
T
i
i
T
iptp
i
iiiiiii M
pqqq
22 معادله یک درجه آزادی مستقل Ni 1 تا
iq معلوم
N
i
iiqqu
1
r
i
iiqu
1
Nr
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
مطلوبست تحلیل آن ؟. یک سازه دو درجه آزادی بصورت زیر مدل شده است –مثال
kو 1000 5.0m
%2 .واحدها هماهنگ است
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
103.1
وkk
kkk
62
23
30
01mm
0det2
mk 0362
23
2
2
mkk
kmk
وm
k2417.12
1 m
k7584.32
2
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
و
3792.08792.0
0000.10000.1
sRad /32.5103.11
mmMوT
319.3111 mM 4314.1
2
kmkوT
1212.4111 kk 3798.5
2
وtp
tp
cos
0
0
tpptpT
cos8792.0011
tpptpT
cos3792.0022
Dynamic of Structures
تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال
Modal Analysis
i
i
iiiiiiM
pqqq
22
2
1i
iiqqu
0364.0cos0411.0
1084.0
5468.2cos5500.2
9008.2
0
0
2
1
tk
p
tk
p
u
u
اثر مود اول
اثر مود دوم