Elementary differential equations and boundary value problems

Boyce & DiPrima H2. 1e orde DV

Lineaire DV 1e orde

( ) ( )

(stap 1) Oplosmethode: integreerfactor ( ) ∫ ( )

( ) (

( ) ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

(stap 2)

( ( ) ) ( ) ( )

(stap 3) ( ) ∫ ( ) ( )

(stap 4)

( ) (∫ ( ) ( ) )

Separabele DV 1e orde

( ) ( )

(stap 1) ( ) ( )

∫ ( ) ∫ ( )

(stap 2) ∫ ( ) ∫ ( )

Existentie en Uniciteit Lineaire DV 1e orde heeft een unieke oplossing op elk interval dat de beginvoorwaarde y-

0=y(t0) bevat, waarbij p(t) en g(t) continue functies zijn.

Autonome DV

( )

Functie f hangt alleen af van y.

Exacte DV

( ) ( )

Niet separabel of lineair, heeft oplossingen alleen als geldt:

( )

( )

Oplossingen zijn te vinden voor ψ=C, waarbij:

( ( )) ∫ ( )

( ( ( )) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) en

( )

Oplosmethode: (stap 1) ( ) ∫ ( ) ( )

(stap 2) ( )

( )

( ) ( )

(stap 3) ( ) ( ) ( )

(stap 4) ( ) ∫( ( ) ( )

)

(stap 5) ( ) Integreerfactor μ wordt in speciale gevallen gebruikt om niet exacte DV om te schrijven in een exacte DV. Er geldt:

( ) ( )

( ( ))

( ( ))

Deze μ is ‘makkelijk’ te vinden wanneer μ=μ(x) of μ=μ(y). Dan valt bij het partieel differentiëren nl. dμ/dx of dμ/dy weg. H3. 2e orde DV

Lineaire DV 2e orde ( ) ( ) ( )

Lineaire DV 2e orde met constante coëfficiënten

( )

Homogeen als g(t)=0, inhomogeen als g(t)≠0. Oplosmethode: eerst homogene oplossing zoeken, substitueer y=ert voor karakteristieke vergelijking. HOMOGEEN ( ) (stap 1)

(stap 2) √

2 oplossingen (r1 en r2)

GEVAL 1: r1 ≠ r2, reëel

( )

( ( ) ( )

( ( ) ( ))

en , die alle oplossingen bevatten, geven meervouden van ( ( ) en ( ( ))

GEVAL 2: r1≠r2, complex –> r=λ±iμ

( ) ( )

GEVAL 3: r1=r2=-b/2a, reëel

karakteristieke vg:

INHOMOGEEN Particuliere oplossing vinden: METHODE VAN DE ONBEPAALDE COËFFICIËNTEN Zoek een functie Y(t) die lijkt op g(t).

g(t) Y(t)

cert Aert

csin(t) Asin(t)+Bcos(t)

ccos(t) Asin(t)+Bcos(t)

Y(t) invullen in DV en uitwerken, de constanten naderhand gelijkstellen aan g(t) VARIATIE VAN CONSTANTEN homogene opl: yc=c1y1(t)+c2y2(t) waarbij y1 en y2 oplossingen van karakteristieke vg (stap 1) vervang constanten door u1(t) en u2(t)-> ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) stel

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Reductie v.d. orde: ( ) ( )

Substitueren in DV: ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( )) ( ( ) ) 0 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )=0 v”(t)=0 v’(t)=c1 v(t)=c1t+c2

y(t)=(c1t+c2)ert

y, y’ en y” invullen in DV: (

) (

) ( )

(

) (

)

eerste twee termen zijn oplossingen van homogene opl dus gelijk aan 0:

(2)

Uit (1) en (2) volgt:

en

(stap 2) ∫

, ∫

(stap 3) particuliere opl: yp(t)= u1y1+u2y2

(stap 4) y=yc+yp=c1y1+c2y2+yp

Existentie en Uniciteit Lineaire DV 2e orde heeft een unieke oplossing op elk interval dat de beginvoorwaarden y-

0=y(t0) en y’0=y’(t0) bevat, waarbij p(t), q(t) en g(t) continue functies zijn en minstens tweemaal differentieerbaar.

Wronskiaan

|

|

Als W(t0)≠0, dan bestaat er een unieke oplossing voor de constanten c1 en c2. H5. Machtreeksmethode 2e orde DV

Taylorreeks om punt x0: ∑ (

( ) ( )

)

-Reeks is convergent wanneer er een limiet bestaat. -Absoluut convergent wanneer de som van de absolute functie convergeert. Absoluut convergente reeks is per definitie convergent. (andersom niet) -Ratio test voor absolute convergentie:

(( ) ) (( )

) |

|

Abs conv als <1 -Convergentiestraal ρ=1/L minimale conv straal is de afstand tussen de nullen en de gegeven x0.

Homogene Lineaire DV 2e orde ( ) ( ) ( )

REGULIER PUNT: Als geldt P(x) op het bekeken interval≠0.

Machtreeksmethode (stap 1) ∑

, ∑ , ∑ ( )

invullen in DV

(stap 2) Uitdrukking in termen van an, an+1 en/of an+2 vinden.

(stap 3) y1= ∑ , waarbij alle an meervouden zijn van a0. y2 is idem, waarbij alle

an meervouden zijn van a1.

N.B.

∑ ( )

(( ) )∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

SINGULIER PUNT: Als er een x0 is waarin P(x0)=0 dan is dit een singulier punt.

Speciaal geval: Euler DV

Oplosmethode: substitueer y=xr

( ) ( ) ( )

GEVAL 1: r1≠r2, reëel GEVAL 2: r1≠r2, complex –> r=λ±iμ

( ) ( ) GEVAL 3: r1=r2=r, reëel ( ) Als geldt:

( ) ( )

( ) en

( ) ( )

( ) bestaan, dan regulier singulier punt. Anders

irregulier singulier punt. REGULIER SINGULIER PUNT:

Gegeneraliseerde machtreeksmethode (stap 1) Herschrijf DV met P(x)=x2, Q(x)=x lim xp(x), en R(x)=lim x2q(x) (stap 2) Oplossingen van r berekenen met nieuwe DV (Euler) (stap 3) ∑

, ∑ ( ) , ∑ ( ) (

) invullen in oorspronkelijke DV (stap 4) recurrente betrekking om an te vinden (stap 5) Als r1-r2 is een geheel getal, dan lastig, grootste r wel relatief makkelijk te

berekenen. (stap 6) ( ) ( ∑ ( )

)

GEVAL 1: r1-r2 is positief geheel getal ( ) ( ) ∑ ( )

GEVAL 2: r1=r2 ( ) ( ) ∑ ( )

GEVAL 3: r1≠r2 of geen positief geheel getal ( ) ∑ ( )

Speciaal geval: Bessel DV ( )

H7. Lineaire stelsels 1e orde DV 2e orde DV uitdrukken in 1e orde DV: stel: au”(t)+bu’(t)+cu(t)=d(t) gebruik: x1=u, x2=u’ Stelsel is dan

( )

HOMOGEEN

Homogeen met constante coëfficiënten

(stap 1) det(A-rI)=0 oplossen (stap 2) gevonden r invullen en eigenvectoren ξ vinden. Mbv ξ=(Nul(A-rI)) GEVAL 1:r1≠r2≠…≠rn

x=c1 ξ1er1t+c2 ξ2er2t+…+cn ξnernt

GEVAL 2: r1= is complex (stap 1) eλt eiμ ξ1= eλt ξ1(cos(μt)+isin(μt) (stap 2) uitschrijven voor reële termen en imaginaire termen: eλt ([u](cos(μt),sin(μt))+i [v] (cos(μt),sin(μt))

(stap 3) x=c1eλt[u]+c2eλt[v] GEVAL 3: r1=r2

Oplosmethode: (stap 1) x(1)= ξert (stap 2) (A-rI) vegen naar ξ. Relatie

uitdrukken in de vaste variabele η1. (Geeft een constante [u] plus richtingscoëfficiënt [v] maal η1.)

Ga ervan uit dat er een x(2)(t) is in de vorm van: x=ξtert x’=ξ(ert+trert)=Ax=A(ξtert) Heeft geen oplossing (rechterkant heeft geen ert term). x= ξtert+ηert x’= ξ(ert+trert)+ηrert=A(ξtert+ηert) (tert termen): rξ=Aξ > (A-rI)ξ=0 dit geeft x(1) (ert termen):ξ+rη=Aη > (A-rI)η=ξ

(stap 3) x(2)= [u]ert+[v]tert (stap 4) x= c1ξert +c2([u]ert+[v]tert)

Fundamentele matrix

( ) ( ) ( ) Waarbij x(1)= ξ1er1t, …, x(n)= ξnernt Dan geldt: ( ) c kan worden bepaald door beginvoorwaarde invullen: dan c=Ψ0

-1 x0

( ) want elke kolom van Ψ is een oplossing van de DV

Speciale fundamentele matrix Fundamentele matrix waarvoor geldt: Φ(t0)=I

( ) ( ) ( ) Dus ook ( ) Oplosmethode: (stap 1) Vind de ‘normale’ fundamentele matrix (stap 2) Vul t0 in en veeg naar In om Ψ0

-1 te vinden. (stap 3) Vermenigvuldig (1) en (2) ( ) INHOMOGEEN

( ) ( ) In alle gevallen, vind eerst homogene oplossing. x=xh+xp (UNITAIRE) DIAGONALISERING Bij normale matrices (symmetrisch, scheefsymmetrisch enz.) Diagonalisering matrix: PDP-1 met P matrix verzameling eigenvectoren, D diagonaalmatrix met eigenwaarden op de diagonaal. Unitaire diagonalisering: TPT-1 T= genormaliseerde P matrix (stap 1) Gebruik substitutie x=Ty (stap 2) Bereken D en T-1 invullen in (stap 3) Resultaat is 1e orde DV

A=PDP-1 P-1A=P-1PDP-1=DP-1 P-1AP=D

METHODE VAN ONBEPAALDE COËFFICIËNTEN Bij constante matrices en g is een polynoom, exponentiële functie of sinus/cosinus. (stap 1) Zoek een functie x die op g(t) lijkt. Dus bijv: a ert+bt+c. (a,b,c vectoren) (stap 2) Invullen in de DV ( ) ( ) en omschrijven voor Aa, Ab, Ac, enz. (stap 3) Vegen van Aa,Ab, enz. VARIATIE VAN PARAMETERS Bij niet diagonaliseerbare matrices en niet constante matrices.

( ) (stap 1) Vervang constante c door u(t) ( ) ( ) Differentieer naar t:

( ) ( ) ( ) ( ) Invullen in DV geeft: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (stap 2) ( ) ∫ ( ) ( )

Of ook ( ) ∫ ( ) ( ) mogelijk als particuliere oplossing. H9. Niet-lineaire DV en stabiliteit

Kritieke punten Kritieke punten bij dy/dt=f(y), f(y)=0. Als x’=Ax+u, dan kritieke punt bij Ax+u=0 In een stelsel moeten alle dxn/dt gelijk zijn aan nul.

Eigenwaarden Type Stabiliteit

r1≠r2>0 Knooppunt (symmetrisch) Niet stabiel

Die ie mor1≠r2<0 Knooppunt (symmetrisch) Asymptotisch stabiel

r2<0<r1 Zadelpunt Niet stabiel

r1=r2>0 Knooppunt (proper/improper(asymmetrisch))

Niet stabiel

r1=r2<0 Knooppunt (proper/improper(asymmetrisch))

Asymptotisch stabiel

Complex, λ>0 Spiraalpunt (rechtsom) Niet stabiel

Complex, λ<0 Spiraalpunt (rechtsom) Asymptotisch stabiel

Puur imaginair Center (ovaal naar links) Stabiel

Stabiliteit van een stelsel

{

( )

( )

want elke kolom van Ψ is een oplossing van de DV

(stap 1) Vind de kritieke punten voor dx/dt=0 én dy/dt=0 (stap 2) Stel Jacobi matrix op en vul kritieke punten in.

(

)

(stap 3) det|J-rI| gebruiken om eigenwaarden te berekenen (stap 4) eigenwaarden beoordelen met tabel PERIODISCHE OPLOSSINGEN VAN EEN X,Y STELSEL df/dx+dg/dy altijd positief/negatief op het interval: geen periodische oplossingen. STABILITEIT POOLCOÖRDINATEN

{

( )

( )

(stap 1) Kritieke punten voor dr/dt=0. Deze punten geven limiet cykel(s) in x,y-

grafiek. Richting bepaald door teken dθ/dt. (stap 2) Bekijk dr/dt tussen de kritieke punten. Stabiel als punten r<rk en r>rk rk

naderen. H10.Partiele DV en Fourierrreeksen

Randwaardeproblemen In DV: y”+λy=0 (stap 1) Vervang λ door μ2 en los beginwaardeprobleem op. y=c1cosμx+c2sinμx (stap 2) Vervang λ door –μ2 en “ y=c1cosh(μx)+c2sinh(μx) (stap 3) Vervang λ door 0 en “

Euler-Fourierrreeks

∑( (

) (

) )

∫ ( ) (

)

∫ ( ) (

)

cosinusreeks voor even functies, sinusreeks voor oneven functies (omdat am/bm termen wegvallen voor elk van beiden)

Warmtevergelijking

Oplosmethode: als u(0,t)=0 en u(xn,t)=0 Oplossing u(x,t)=X(x)T(t), u(x,t) partieel differentiëren naar x en t en invullen

in de warmtevergelijking. Resultaat delen door XT en beide DV’s (α2 X”/X en T’/T) moeten gelijk zijn aan

–λ. (stap 1) Oplossingen van beide DV’s vermenigvuldigen geeft fundamentele

oplossing ∑ (

)

.

(stap 2) ( ) ∑ (

) ( )

Als een beginvw is gegeven in de vorm

van een sinusfunctie bv: 2sin(5πx/L) dan bijbehorende cn bepalen. Hier c5=2.

(

∫ ( ) (

)

als een functie is gegeven die geen sinus is).

(stap 3) cn’s invullen in de fundamentele oplossing.

Steady-state oplossing u(0,t)=v(0), u(xn,t)=v(x) Stel v”(x)=0 want dan is er geen verandering in uxx dus uxx constant. Dan v(x)=c1x+c2. Vul beginvw in. Oplosmethode: als niet geldt u(0,t)=0 en u(xn,t)=0 (stap 1) Substitutie steady-state oplossing, uitdrukking in w(x,t). u(x,t)=v(x)+w(x,t) (stap 2) w(0,t) en w(xn,t) bepalen, dit zijn de nieuwe beginvw. (stap 3) Los op als normale warmtevg v(x) in u(x,t)=v(x)+w(x,t) niet vergeten op te

tellen. Ook geldt: ( ) is steady-state oplossing.

Geïsoleerde randen Geen warmtedistributie aan de randen: du/dx(0,t)=0, du/dx(L,t)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)

(stap 1) Oplossingen u(x,t)=

∑

(

)

∫ ( ) (

)

( )

∑ (

) ( )

Golfvergelijkingen ELASTISCH TOUW

a2=T/ρ (a is snelheid, T is spanning, ρ is massa/lengte-eenheid) ZONDER BEGINSNELHEID Uiteinden vast en geen beginsnelheid: u(0,t)=0, u(L,t)=0, ut(x,0)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)

(stap 1) Oplossingen u(x,t)=∑ (

) (

)

∫ ( ) (

)

( ) ∑ (

)

( )

MET BEGINSNELHEID ut(x,0)=g(x) u(0,t)=0, u(L,t)=0, u(x,0)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)

(stap 1) Oplossingen u(x,t)=∑ (

) (

)

( ) ∑

(

)

( )

∫ ( ) (

)

Laplace vergelijking 2D:

3D:

Dit is het geval wanneer er een steady-state oplossing is (ut=0) voor:

( )

RECHTHOEK u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,b)=0, u(a,y)=f(y) (stap 1) Neem X”/X=-Y”/Y=λ i.p.v. –λ om u(x,y) af te leiden etc. CIRKEL

dan u(r,θ)=R(r)Θ(θ)

u(x,t)=(f(x-at)+f(x+at)) aan te tonen met de gonio-formule:

cosxsiny=2sin(x+y)+sin(x−y)

eis: periodiek met 2π en begrensd u(a,θ)=f(θ) (stap 1) Neem r2R”/R+rR’/R=-Θ”/Θ=λ

R=c1r√λ+c2r-√λ waarbij laatste term wegvalt omdat hij onbegrensd is voor r>0. Θ=c1cos√λθ+c2sin√λθ. Periodiek met 2π dus √λ is geheel getal=n

( )

∑ ( ( ) ( )

)

( )

∑ ( ( ) ( )

)

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Sturm-Liouville randvoorwaardeproblemen HOMOGEEN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (stappen overgeslagen) (L[y],y) uitwerken geeft (y,L(y)) dus ook (rλy,y)=(y,rλy)

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( ) ( )

( )∫ ( ) ( ) ( )

als eigenwaarden niet gelijk dan geldt dus: ∫ ( ) ( ) ( )

EIGENFUNCTIE NORMALIZEREN (stap 1) Eigenfunctie(=y, oplossing van DV) (stap 2) Normalisatieconditie toepassen, qn=kny met kn is de normaliseerfactor.

∫ ( )

(stap 3) ∫ ( ) ( )

. kn berekenen en invullen in φn

N.B. eigenfuncties staan loodrecht op elkaar dus: ∫

als m≠n

( ) ∑

∫ ( ) ( )

( )

INHOMOGEEN

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (afleiding weggelaten) randwaardeprobleem in de vorm van y”+μy=0 oplossen. μ is een willekeurige constante.

(stap 1)

waarbij cn coëfficiënten van de homogene oplossing zijn waarbij μ

vervangen door λ en λn de eigenwaarden. (stap 2) ∑

De andere kant op als y bekend is: bn=∫ ( )

WARMTEVERGELIJKINGEN

( ) ( ) ( ) ( )

(stap 1)

(stap 1) ∫ ( ) ( )

(stap 2) ∫ ( )

(stap 2) ( ) ∫ ( ) ( )

Klopt niet!