duong tron.pdf

Võ Tiến Trình – Trường PTNK

toan999.wordpress.com ĐT: 0988270709 1

ĐƯỜNG TRÒN

I. Đường tròn.

1.Nhắc lại về đường tròn.

+ Đường tròn tâm O có bán kính 0R là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng .R

Kí hiệu. đường tròn tâm O bán kính 0R được kí hiệu ;O R hoặc O

+Vị trí tương đối của một điểm M và đường tròn ;O R

Vị trí tương đối Liên hệ giữa OM và R Điểm M nằm trên đường tròn OM = R

Điểm M nằm bên trong đường tròn OM < R Điểm M nằm bên ngoài đường tròn OM > R

2.Cách xác định đường tròn.

+ Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Đường tròn (O) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC ta nói đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC hay tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)

+Định lí. Tập hợp các điểm M sao cho 090AMB trong đó AB là đoạn thẳng cố định cho trước là đường tròn đường kính AB.

II. Tính chất đối xứng của đường tròn.

+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó

+ Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường thẳng nào đi qua tâm (chứa đường kính) cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.



A.Các ví dụ.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H. Chứng minh bốn điểm A, E, H, F và B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó.

Giải.

- Vì BE và CF là các đường cao nên ta có

090HEA E thuộc đường tròn đường kính AH.

090HFA F thuộc đường tròn đường kính AH.

, , ,E F A H cùng nằm trên đường tròn đường kính AH

Gọi I là trung điểm AH ta có bốn điểm E, F, A, H cùng nằm trên đường tròn tâm I,

bán kính 2

AH

- Vì BE và CF là đường cao tam giác ABC nên ta có



090CEB E thuộc đường tròn đường kính BC.

090CFB F thuộc đường tròn đường kính BC.

, , ,E F B C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

Gọi J là trung điểm BC ta có bốn điểm E, F, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm J,

bán kính 2

BC .

Ví dụ 2. Cho hình thang cân ABCD có 060ABC và 2BC AD . Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó.

Giải.

Gọi O là trung điểm của BC 12

CO BC AD và / /CO AD

ADCO là hình bình hành

0/ / 60AO CD AOB DCB

AOB đều (tam giác có 2 góc bằng 060 )

OB OA .

Tương tự ta cũng có tam giác DOC đều nên OC OD



OA OB OC OD O cách đều 4 điểm A, B, C, D

4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD, gọi M là một điểm trên cạnh BC. Đường thẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AM tại H cắt đường thẳng AB tại K. Đường thẳng KM cắt đường chéo AC tại P.

a) Chứng minh H thuộc đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D. b) Chứng minh 4 điểm C, H, M, P cùng nằm trên một đường tròn.

Giải.

a)Vì ABCD là hình vuông nên ta có:

090ABC B thuộc đường tròn đường kính AC.

090ADC D thuộc đường tròn đường kính AC.

A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.

Và 090AHC H thuộc đường tròn đường kính AC



Vậy H thuộc đường tròn đường kính AC là đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D.

b)Trong tam giác ACK ta có ,CB AK AH CK M là trực tâm tam giác ACK

KP là đường cao của tam giác ACK

090MPC P thuộc đường tròn đường kính MC.

và 090MHC H thuộc đường tròn đường kính MC

4 điểm P, C, H, M cùng nằm trên đường tròn đường kính MC.

B. Bài tập.

Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E. BE cắt CF tại H.

a) Chứng minh AH vuông góc với BC. b) Chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác đinh

tâm I của đường tròn đó. c) Chứng minh OE vuông góc với IE, OF vuông góc với IF. d) Chứng minh OI là đường trung trực của EF. e) AH cắt BC tại D. Chứng minh BH.BE + CH.CF = 2BC

Bài 2. Cho đường tròn ;O R có đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA, qua I vẽ đướng thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại C và D.

a) Tính độ dài CD theo R và chứng minh tam giác BCD đều. b) Gọi d là đường thẳng vuông góc với OC tại C, d cắt đường thẳng AB tại E.

Chứng minh DE vuông góc với OD và 4 điểm O, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ECD. d) Chứng minh . .BE AI AE BI

Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E và trên cạnh DC lấy điểm F sao cho 045EAF . Gọi FP và EQ là hai đường cao của tam giác AEF. (P thuộc AE và Q thuộc AF). Gọi H là giao điểm của FP và EQ



a) Chứng minh C, E, P, Q, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi K là giao điểm của AH và EF. Chứng minh 5 điểm A, P, K, F, D cùng

nằm trên một đường tròn. c) Chứng tỏ 4 điểm P, Q, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy 2 điểm C, D (C, D khác AB) sao cho các điểm nằm theo thứ tự A, D, C, B trên nửa đường tròn. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AB.

a) Chứng minh . .AH AC AE AB b) Chứng minh 2. .AH AC BH BD AB c) Gọi F là giao điểm của AD và BC kéo dài. Chứng minh E, H, F thẳng hàng. d) Chứng minh 4 điểm H, D, F, C cùng nằm trên cùng một đường tròn, xác

định tâm I của đường tròn đó. e) Chứng minh ID vông góc với OD, IC vuông góc với OC. Từ đó suy ra 5

điểm I, D, E, O, C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm J của đường tròn đó.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi M là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh BHCD là hình bình hành. b) Chứng minh D thuộc (O) và A, O, D thẳng hàng. c) Chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm

I của đường tròn đó. d) Chứng minh IM là đường trung trực của EF. e) Cho OM R . Tính độ dài cạnh BC theo R.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông ở A. Bên ngoài tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính AC. Qua A vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D và nửa đường tròn đường kính AC tại E .

a/ Chứng minh BDEC là hình thang vuông.



b/Gọi M, Q, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.Chứng minh MQAP là hình chữ nhật.

c/Gọi N là trung điểm của DE. Chứng minh 5 điểm M, P, A, N, Q ở trên cùng một đường tròn.

d/ Đường thẳng xy ở vị trí nào thì đoạn thẳng DE có độ dài lớn nhất ? Vì sao?

Bài 7. Cho nửa đường tròn (O,R) có đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy C sao cho AC = R và đường thẳng Bx vuông góc với AB tại B. Tia phân giác của góc BAC cắt OC tại E, cắt BC tại F, cắt Bx tại D, cắt nửa đường tròn (O) tại H (H không trùng với A)

a) Chứng minh 2 .BD AD DH b) Chứng minh bốn điểm B, D, E, O cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm

của đường tròn này. c) Chứng minh BH là tia phân giác của góc CBD.

d) Đường thẳng AC cắt Bx tại M. Chứng minh 12

DBDM

Documents

duong tron.pdf