Dùng quy nạp chứng minh đẳng thức tổ hợp

7/29/2019 Dùng quy nạp chứng minh đẳng thức tổ hợp

http://slidepdf.com/reader/full/dung-quy-nap-chung-minh-dang-thuc-to-hop 1/3

Sử quy nạp để chứng minh đẳng thức tổ hợp

Giả sử bạn được yêu cầu tìm một công thức tổng quát cho tổng của n số lẻ đầu tiên. Bạn có thể sẽbắt đầu bằng cách xem xét một bài trường hợp đặc biệt

1 = 11 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

Từ đó bạn có thể sẽ phỏng đoán ra công thức

1 + 3 + 5 + (2n− 1) = n2

Dĩ nhiên, 4 trường hợp đặc biệt này không chứng minh rằng công thức trên là đúng mà chỉ làm chonó có vẻ có lí thôi. Phương pháp dễ dàng nhất để thuyết phục một công thức là đúng cho mọi n là

dùng phương pháp quy nạp toán học.Để chứng minh 1 mệnh đề A đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toánhọc, ta thực hiện 2 bước:

- Bước 1 (bước "khởi tạo"). Kiểm tra tính đúng đắn của A với n = 1

- Bước 2 (bước "di truyền"). Giả sử mệnh đề A đã đúng đến n = k ≥ 1, ta chứng minh A cũngđúng với n = k + 1.

Bài 1: Chứng minh: C nn + C nn+1 + C nn+2 + ... + C nn+k = C n+1n+k+1 (∗)

GiảiTrước hết ta nhớ rằng

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)2

Với k = 1, đẳng thức (∗) có dạng C nn + C nn+1 = C n+1n+2

⇔ 1 +(n + 1)!

n!(n + 1 − n)!=

(n + 2)!

(n + 1)!(n + 2 − n− 1)!

⇔ 1 + n + 1 = n + 2, luôn đúng.Vậy với n = 1 thì đẳng thức đúng.Giả sử đẳng thức đúng với m = k, tức là ta có

C nn + C nn+1 + C nn+2 + ... + C nn+m = C n+1n+m+1 (1)

Ta chỉ cần chứng minh nó đúng với k = m + 1, tức cần chứng minh:

C nn + C nn+1 + C nn+2 + ... + C nn+m + C nn+m+1 = C n+1n+m+2

Thật vậy với kết quả từ (1) ta được:V T = C n+1

n+m+1 + C nn+m+1 = C n+1n+m+2 = V P , đpcm

Bài 2: Cho dãy số an xác định bởi

a1 = 0, a2 = 1, an =1

2.[nan−1 + n(n− 1)an−2 + (−1)n−1n] + (−1)n.

Tìm an + 2C 1nan−1 + 3C 2nan−2 + ... + nC n−1n a1.

1



GiảiĐáp số: 2n! − (n + 1).Đặt bn = an + 2C 1nan−1 + ... + nC n−1n a1. Ta tính vài số hạng đầu tiên. Thử lần lượt n = 1, 2,...8

Bằng quy nạp ta chứng minh được an = nan−1 + (−1)n. Tiếp theo ta chứng minh rằng bn =

nbn−1 + n2 − n− 1. Ta có:

bn − nbn−1 =n−2k=1

(k + 1).C knan−k − n(k + 1)C kn−1.an−k−1

=n−2k=0

C kn(an−k − (n− k)an−k+1) =n−2k=0

(k + 1)C kn(−1)n−k

Do C 0n −C 1nx + C 2nx2 − ... + (−1)nC nnxn = (1 − x)n nên

C 0nx− C 1nx2 + C 2nx3 − ... + (−1)nC nnxn+1 = x(1 − x)n

Lấy đạo hàm 2 vế và đặt x = 1 ta được:

C 0n − 2C 1n − ... + (−1)n−2(n− 1)C n−2n + (−1)n−1nC n−1n + (−1)n(n + 1)C nn = 0

Suy raC 0n − 2C 1n + 3C 2n − ... + (−1)n−1C n−2n = (−1)n(n2 − n− 1).

Như vậy ta được bn = nbn−1 + n2 − n− 1.

Đặt cn = bn + n + 1 thì c0 = 2 và cn = ncn. Bằng quy nạp ta chứng minh được cn = 2n! và suyra rằng bn = 2n! − (n + 1).

Bài 3: Chứng minh rằng nếu sn = 1 + q + q 2 + ... + q n và S n = 1 +1+q2 +

1+q22

+ ... +1+q

2n

thì

C 1n+1 + C 1n+1s1 + C 3n+1s2 + ... + C C +1n+1 sn = 2nS n

GiảiChỉ cần chứng minh rằng các hệ số của q k(k = 0, 1, 2, ...n) ở vế trái và vế phải đồng nhất bằng

nhau tức là:C k+1n+1 + C k+2

n+1 + ... + C n+1n+1 = 2n−kC kk + 2n−k−1C kk+1 + ... + C kn (∗)

Ta chứng minh (∗) bằng phép quy nạp n− k.

Với n− k = 0 thì (∗

) hiển nhiên đúng. Giả sử nó thỏa mãn trong cả trường hợp khi hiệu giữa chỉsố trên và chỉ số dưới trong các số hàng đầu và cuối bảng N − 1.Ta chứng minh rằng khi đó (∗) thỏamãn với hiệu các chỉ số n− k bằng N .

Vế trái của (∗) có thể biến đổi thành dạng sau

(C kn + C k+1n ) + (C k+1

n + C k+2n ) + ... + (C n−1n + C nn) + C nn = C kn + 2(C k+1

n + C k+2n + ... + C N n )

Ở các hệ số nhị thức thuộc các dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức cuối này hiệu các chỉ số trên

và dưới không vượt quá n−

(k + 1) < n−

k, do đó theo giả thiết quy nạp ta có thể biến đổi vế traicủa (∗) thànhC kn + 2(2n−k−1C kk + 2n−k−2 + C kk+1 + ... + C n−1k)

Nhưng biểu thức này chính là vế phải của (∗)

2



Bài 4: Cho cấp số cộng u1, u2,...,un, un+1. Chứng minh

nk=0

uk+1

C kn=

u1 + uk+1

2.

n + 1

2n+1.

n+1k−1

2k

k

Giải

Do u1, ...un+1 là một cấp số cộng nên k = 0, n cóu1 + un+1 = uk+1 + un−k+1

Mà C kn = C n−kn ∀k = 0, ...n nên:

2.

nk=0

uk+1

C kn=

nk=0

uk+1

C kn+

un−k+1

C n−kn

=

nk=0

uk+1 + un−k+1

C n−kn

= (u1 + un+1).

nk=0

1

C kn

Đẳng thức cần chứng minh trở thànhn

k=0

1C kn

= n+12n+1

n+1

k=1

2k

k(2)

Ta chứng minh (2) bằng quy nạp.

Với n = 1:1

k=0

1C kn

= 1C 01

+ 1C 11

= 2

V P (2) = 2 = V T (2)

Vậy với n = 1 thì (2) đúng.Giả sử (2) đúng đến n = p. Ta chứng minh nó đúng với n = p + 1.Theo quy tắc hút ta có: C k+1

p+1 = ( p+1)!(k+1)!( p−k)!

= p+1k+1

C k p

Suy ra

p+1k=0

1C k p+1

=1

C 0 p+1

+1

p + 1

+k = 0 p

k + 1C k p

= 1 +1

2( p + 1)

pk=0

k + 1

C k p+

p − k + 1C k−1 p

Theo giả thiết quy nạp ta có:

pk=0

1

C k p+1

= 1 +p + 2

2( p + 1). p + 1

2 p+1.

p+1k=1

2k

k= 1 +

p + 2

2 p+1

p+1k=1

2k

k=

p + 2

2 p+2

p+2k=1

2k

k.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài tập đề nghị Bài 1: Nếu s 2, m 2. ThìC 0s + C 1s + · · ·+ C ms (s + 1)m

3

Documents

Dùng quy nạp chứng minh đẳng thức tổ hợp