1. Dualni problem (zadatak koji smo radili na času) Preduzeće proizvodi 2 proizvod A i B koristeći dvije sirovine S1 i S2. Za proizvodnju jedne jedinice proizvoda A upotrijebe se 3 jedinice sirovine S1 i 1 jedinica sirovine S2. Za proizvodnju proizvoda B upotrijebe se 3 jedinice sirovine S1 i 1 jedinica sirovine S2. U toku dana moguće je upotrijebiti najmanje 30 jedinica sirovine S1 i 15 jedinica sirovine S2. Odrediti optimalan program proizvodnje proizvoda A i B tako da troškovi proizvodnje budu minimalni ako je poznato da je trošak proizvodnje jedne jedinice proizvoda A 50€, jednje jedinice proizvoda B 100€.

Rešenje zadatka: (Max) V (dualnog problema) = (min )Z (primarnog problema)= 750€

Y3 →X1= -(-15)= 15 (proizvod A=x1) Y1 →X3= -(-15)=15 (X3 – prva dodatna promjenljiva)

U primarnom problemu imamo samo dvije realne promjenljiva X1 i X2. Prva dodatna promjenljiva je X3. Prva dodatna promjenljiva se uvijek nalazi u prvom ograničenju. Što je u našem slučaju sirovina S1.

Komentar zadatka (uvijek posmatrati primarni problem): Minimalna vrijednost troškova proizvodnje u iznosu 750€ će se ostvariti uz angažovanje 15 jedinica proizvoda A (x1=15), odustaje se od proizvodnje proizvoda B (x2=0), pri čemu dolazi do prekoračenja minimalno postavljenog ograničenja sirovine S1 za 15 jedinica Prekoračenje: X3 – prva dodatna promjenljiva (prvo ograničenje se tiče sirovine S1). Ako x1=15 zamijenimo u prvo ograničenje primarnog problema:

3X1+3X2≥30 3*15+3*0= 45 - Razlika između 30 i 45 je 15 jedinica i pokazuje prekoračenje.

2. Zadatak za vježbu:

Za ishranu zaposlenih u jednoj kompaniji dva ključna proizvoda koja se svakodnevno koriste su hleb i meso. Ova dva proizvoda moraju da zadovoljavaju određene standarde koji se odnose na sadržinu vitamina B i bjelančevina. Utvrđeno je da 1kg hleba sadrži 10 jedinica vitamina B i 5 jedinica bjelančevina. 1 kg mesa sadrži 5 jedinica vitamina B i 10 jednica bjelančevina. Standardna dnevna ishrana svih zaposlenih bi morala da sadrži namanje 100 jednica vitamina B i 200 jedinica bjelančevina. Odrediti optimalan dnevni plan nabavke hleba i mesa tako da troškovi nabavke budu minimalni ako je poznato da je trošak nabavke 1kg hleba 10€ a tr nabavke 1kg mesa 15€.

Hleb – x1 Meso – x2

Rješenje zadatka: (max) V= (min)Z=300

X1=0 ,X2= 20 X3= x4=0

Komentar: Minimalna vrijednost troškova nabavke u iznosu 300€ ostvaruje se pri nabavci 20 kg mesa pri čemu se odustaje od nabavke Hleba.

DODATNE PROMJENLJIVE U DUALNOM PROBLEMU POKAZUJU PREKORAČENJA

UPOTREBE ODREĐENIH RESURSA.

DODATNE PROMJENLJIVE U STANDARDNOM PROBLEMU MAXIMUMA

POKAZUJU NEISKORIŠĆENE RESURSE!

Specijalni slučajevi kod rješavanja problema linearnog programiranja primjenom simplex tabele:

1. Problem degeneracije:

ST 2

CJ 45 50 0 0 0

Cb α0 XB X1 X2 X3 X4 X5

0 X2 1500 2 3 1 0 0 1500:3=500

0 X4 1000 3 2 0 1 0 1000:2=500

0 X5 500 1 0 0 0 1 500:0=∞

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj – Zj 45 50 0 0 0

Vektor koji npušta bazu dobijamo kada brojeve iz XB kolone podijelimo sa kritičnim koeficijentom iz kolone vektora koji ulazi u bazu (x2 – najveći pozitivni broj):

1500/3= 500 1000/2= 500

U ovakvom slučaju kažemo da postoji problem degeneracije. Bazu će napustiti promjenljiva čiji imenilac (djeljenik) ima veću vrijednost (3), odnosno u ovom slučaju promjenljiva X5.

2. Problem degeneracije – drugi slučaj

ST 2

CJ 45 50 0 0 0

Cb α0 XB X1 X2 X3 X4 X5

50 X2 500 0,67 1 0,33 0 0

0 X4 0 1,67 0 -6,67 1 0

0 X5 500 1 0 0 0 1

Zj 25000 33,33 50 16,67 0 0

Cj – Zj 11,67 0 -16,67 0 0

Problem degeneracije se javlja kada jedna od baznih promjenljivih u ST ima vrijednost nula (x4=0). To znači da je drugo ograničenje suvišno.

3. Višestruko optimalno rješenje

ST 2

CJ 30 20 0 0 0

Cb α0 XB X1 X2 X3 X4 X5

0 X3 40 0 1,33 1 -0,33 0

30 X5 40 1 0,67 0 0,33 0

0 X1 5 0 0,33 0 -0,33 1

Zj 1200 30 20 0 10 0

Cj – Zj 0 0 0 -10 0

α0 – bazne promjenljive (čine promjenljive X3, X5, X1)

Nebazne – x2 i x4

Kada se desi da jedna nebazna promjenljiva u vrsti (cj – zj) ima vrijednost nula (0) tada kažemo da postoji višestruko optimalno rješenje.