I~ \nz. ZDENEK P. BA:l:ANT. Dopravoproj2kt Praha DT 624.072.33 624.Q78

Vypocet pficinkovych car sdruzenych ramu 5 vlozenymi klouby

Analogie s i'esenim spojitych l1osniku. 5tupeii pi'etvarne neurcitosti mensi nez staticke pri feseni upravenou deformacni

metodou. Ziklad reseni sta:icky neurcity konzo!ovy prvek tvaru T, na koncich konzol l<yvne ~odepi"eny. Z;ivislost

posouvajicich sil v kJoubech na jejich pruhybech. Kloubova rovnice. Rovnice rozevi'eneho kloubu. Koeficienty pi'enosu

pruhybu kloubu. Pi'icinkove poi'adnice v kloubech a mezilehle pi'icinkove poi"adnice. Vyhodnost metody.

Sdruzene cimy s vlozen)'mi vodorovnc posuvnymi

klouby jsou zajimavym konstrukCnim systemem, uZivanym

dnes casto pro svou ryhodnost u letmo betonovanych nebo

montovanych mosrii. z predpjateho betonu. Otazka vhod­

nych a rychlych zpusobu jejich vYpoetu se prave dnes

stava u nas \'elice aktualni, nebo! tento konstrultcni system

je napr. zvolen pro v)-znamne projeltty mostu pres nuselske

udoll v Praze nebo m05tu pres Vltavu v Praze pod Bulov­

kou, tvoHdho soucast rdeni praZskeho zeleznicniho uzlu.

Staticke schema konstrukce je na obr. 1 ( 5 znaei vodo­

royne posumy kloub), kde ram 'je ukonten kpnzolami

posnvne uloZeni"I11i na operach. Ram muze byt tez ukon­

cen konzolou vetknutou do opery (obr. 2) nebo volnou

(obr. 3). Konstrukce je tvorena linearne serazenymi prvky

tvaru T, spojenymi v kloubeeh jednodueh}<mi vazbami.

Podobnou statiekou skladbu rna tez spojitj nosnik, ktery

je tvoien iadou proste ulozenyeh nosnikU spojeni'ch ;edno­

duchymi vazbami. Z teto anaIogie plyne, ze uVaZovane

ramy lze resit obdobnymi metodami jako spojite nosniky.

Ma-li ram tohoto typu n pimti (obr. 1), tj. (rr -7- 1)

poll, je (n ..L l)kr:it staticky neurotj. PH reseni silovou

metodou je vhodne volit z:ikladni soustavu podle obr. 4,

se statick}r neurcitYmi posouvajicimi silami v kloubech.

To . .. Tn. Rdeni silovou metodou upravil' J. Courbon

podobnym zpusobem jako rdeni spojiteho n~snikti tfi­

momentov)"I11i rovnieemi, nebot jeho podporovym mo­

mentUm. odpovidaji zde posouvajici sil}; kloubU [1]. Ukazal

dale, ze u nezatizenych poll lze posouvajid sily kloubU

poeitat bez ideni systemu melennych rovnic prunym

rekurentnim zpusobem, podobne jako u spojitjch nosniku

pri idem z:ikl~dnimi body pomoci koefieientil piestupu.

Upravemi deformacnf metoda

V tomto pojednani ukazeme, ze stejne, jako existuje

obdoba ideni tfimomentovYmi rovnieemi, existuje zde tez

obdoba du:ilniho ideni spojicych nosniku rovnieemi m

pootoeeni. Dokazeme dale, ze tez toto ieseni je mozno

344 IN:tENYRSKE STAVBY 9 -1961

upravit rekurentnim zpusobem pomod tzv. koeficientil

prenosu prUhybu kloubu a ze tedy neni nutno rdit system

triclennyeh rovnic. Pricinkove cary posouvajidch sil'

v k10ubeeh od svisleho zailieni ':pro vodorovne zatizeni je

konstrukee statieky ureita) lze pak veImi ryehle poeitat

jako ohybove cary od jednotkoveho rozevreni kloubu. Pro

naSe reseni uzijeme specialne upravene deformacni me­

tody, kterou je mozno pokladat rovnez ia.t.:o beznou defor­

macni metodu Ostenfeldovu za aplikaci deformaeni metody

v obecnem smyslu. U bezne deformacni metody se zavadi

ve stycnicieh vetknuti, cunZ se konstrukce rozpadne na

vetknute pruty. Pretvarne neurciTjmi pak jsou posuny neb

pootoceni jejieh koncu, pro nez se sestavuji rovnice

rovnovahy. C' uVaZovanyeh ramu je vhodne ZaVeS! daIsi kyvne pod­

pory v kloubech (obr. 5). Tim se konstrukee rozpadne na

zakladni staticky neurCite konzoloye prvky tvaru T, kyvne

podeprene na kondeh konzol (obr. 8). Pretvarne neurci­

tjmi pak budou svisle pruhyby kloubU (obr. 6). Vidime,

ze jich u ramu na obr. 1 je celkem (n - 1). Konstrukce je

tedy (n - l)krat pietvarne neurcita, eoz je 0 dva stupne

mene nei dava neurotost statieka. Podminecnveh rovnic

je proto 0 eve mene, rovnez koeficienru prenos;' pn reku­

rentnim reseni, eoz pnnasi pocetni vYhodu. U mene cas­

!feh ramu podle obr. 2 nebo 3 je stupen staticke a pre­

tv:irne neurCitosti stejn)·.

Konzolovy prvek tvaru T

Napred vypoeteme poiadnice ohybove cary konzol vol­

neho staticky urCiteho i-teho prvku tvaru T pri zatiZeni

bremenem P = 1 na konci jednak leve, jednak prave

konzoly (obr. 7). Zaroven obdrZime pruhyby koneu konzol

ai, bi, Ci, eharakterisujid pruZne vlastnosti prvku

h, d I" ~ d 1,· J Y I J'. X

llj - -, -- - x---- 0 EJ ' 0 EJ

,

, / ~

11 I

'/1----_-_---'

)br. 5. Roznaseci uhel :c a spolupusobici sirka b.

Obr. 6. Prubeh momentu v i'ezu x = 0 pri zatizen! osa­melym bremenem P v bode AI (podminka nuloveho momentu v bode Ai je splnena jen prj­bliine) f r----.---... -Obr.7. Prubeh momentu v re­zu x = 0 pri zadzen! eohoeo rezu primkovym rovnomernym zatizenim p (vlevo)

1 . , I

~ I'P1r !

;:.:!A:l" -4'~~~:::.:....+.m~ .. _ .!. ~r

~ ... ------ - .. J a"

Obr. 8. Nosnik dni­hy kladkoseroJe

:e en jsou koeficienty rmne pro jednotlive zatezovad ipady. Protoze rovruee (8) vyhovuje vsem okrajovYm ldminkam krome podminee nuloveho ohyboveho mo­~ntu na volnem okraji, jsou v [4] vypocreny):oeficienty

tak, ze teto podminee je vyhoveno alespOIl'pro y = a. :'I prakticlty vypocet toto omeze:li staB, nebot moment

ve smeru osy x ryeh1e vyzruva. Koeficienty en jsou ~deny v tab. I. _ \{erne momenty v libovo1nem bode ,fezu x = 0 se uro ')vrue J

ma; ~ - D L en [(1 + tLr"~~s 11J'"ty - 1] n ! a

(9)

mll .. - D ~ en [(1j'tL) eo~ n.:y - f1.] (10)

ma;i = 0 (11) :0 merne momenty mimll' 71h:1I jsou vyCisleny v bodeeh

:0,0), AZ( 0, :), t~( 0, ~), A4 (0, 3:), As (0, a), e 1eZi v rezu x =1')' Protoze v ostamiehrezechjsou vY­na napetf vesmesmensi, nejsou vyCislena. Velikosti tech-10menru v bod.e'ch Al aZ As jsou sestaveny v tab. II, kde

vseehny ho.dnoty vyCisleny pro P = 1000 kg, P = :00 kgjcm, :,ll = 0,3 a pro E = 2100000 kgjem2• ,Jeh teehto"momentti ma;, mll v rezu x = 0 je vvznacen 'r. 6 a 7/ • ~otoze ,max. meme momenty max. 71h: a max. mll vzni-

v ,p6de A3 ( 0, ~) soueasne pro oba druhy zatiZeni, obvykle vyCislit napeti (Jz a (Jy pouze v tomto bode

As. Velikost normalnych napeti v krajnich vIaknech desky: je pritom dana vztahem /' I

/ 6 . 77Z(

(Jt =-r Piik1ad Posouzeni pojezdove dnihy elektrickeho

typu L III - 15: vlastni vaha kladkostroje G = 320 kg max. bremeno Q = 1500 kg rozvor pojezdnych ko1 a = 200 mm

" I 1

(12):

kladkOstroJ I i

rozpeti drahy I = 6,00 m nosnik dr:ihy I 24

Napeti od ohybu celeho nosniku: I I KolovY tlak

'ljJKI = ~ 1,08(320 + 1500) = 492 kg I I i kde 1f' = 1,08 je vyrovnavaci soucinitel pro 1. tr. jerabU:

(CSN 73 1310 - 1958). ' A = 2. 492 (3,05 + 2,85) = 968 k

6,00 g

B = 2 . 492 (2,95 + 3,15) = 1000 k 6,00 g

M = 968 . 2,95 = 2860 kgm Wz = 354 em3

(Jo = 286 000 = 808 kg cm2 354

(obr. 8)

Napeti v krajnich v1aknech dolni pasnice od lokalniho zatizeni kolov)~m tlakem jsme pro nazornost vycislili pro vsechny tfi zatezovaci pnpady.

a) Zatezonini osame1ym bremenem na konci pasnice Mf = 492.5,3 = 2610 kgcm . bs = 2.5,3 = 10,6 cm

Ws =}. 10,6. 1,312 = 3,03 cm3

(JLal = 2610 = 861 kg cm~ 3,03 -

(Jsa) = V8082 -7- 8612 - 808.861 = 835 kg/em2• • I b) Zatezovani osame1ym bfemenem na koncl !

pasnice Merne ohybo"e momenty podle tab. II, v bode A 3, kde : '

vznika souCasne maximum pro oba smery x ay: ' 71h: = 0,492.392,0 = 193 kgemiem my = 0,492.317,5 = 156 kgem!em

6.193 (JLa; = = 6i5 kg/em? 1,312 -

6.156 (JLy = 1,312 = 546 kg:em2

(Jz' = 808 + 6i5 = 1483 kg/em?

(Jsb) = V14832 + 5462 - 1483.546 = 1300 kg,cm2 c k c) Rovnomerne zatizeni po cele sIree pasniee r. Meme ohybove momenty podle tab. II v bode A3, kde

vznik:i maximum pro oba smery x ay:

a = 5,3 em mz = 20,5 . 5,3 = 109 kgem/em o

I It ':i dv bl = I , 1 , I -::.­

~ EJ W~ hi dy ,l':i ~ d:c

Ci = 1 -I l EJ -:- 1 x- EJ

(1)

Zde znac! (obr. 7) [' t, lUi delky konzol a x vzd:ilenost jejich prurezu od kloubu, hi vYsku pilire a y vzdalenost jeho prurezu od paty, J moment setrvacnosti a E modul prui­nosti. Cisla ai, b(, Ci jsou kladmi.

UVaZujeme dale staticky neurcity prvek !Varu T, Ityvne podepreny na koncich konzol (obr. 8). Urceme veUkost reakci Ai a B'i na koncich konzo! pn svish!m prUhybu leve konzoly VI - l = 1 (VI = 0) a velikost reakci BN, C, na koncich konzol pn pruhybu prave konzoly VI = 1 (Vi -1 = 0). Rdenim dvakcit staticky neurcite soustavy obdrZime

Ai =al 'vl-l' B'. =PiVi-l (2)

C, = "II V" Itde je

a,

B". -= Pi t'i

(3)

.£~~--I-~

",' -;:; Obr. 1

I ,r-:l! -,

-Obr. 2

1'0 I -. I

I '1 r

1. L i " i. -

Obr. 4

I

0 r .;,

I ?E

I ..L

Obr.3

- ,r../ "- I "

I~ " I i. .,

" - ' .. : ..L • • 1 "

(' = --------- -.;' at 'i - b[-

Pntom plati ai'i - bI2> 0, aii'l - fJ,~ = 1 a cisla !1.i, i3i> iii

jsou kladna.

J ,·1 "( A~--lr-~Y-~----Z-------~------~-~'~'~I~---

I : __

Kloubova rovnice

~echi dva za sebou jdouci nezatizene prvky i a i--1 tvaru T maji v kloubech pruhybyv£-l' 'i.' i, ~' i - ! (obr, 9), V kloubu i pus obi na prvek i posouvajici sila To' :l na prvek 1+1 sila Tl ", ktere se podle (2) rovnaji

T', = - /3, Vi -! - Ii V., T", = ai.;.! Vi - /3' -1 Vi·"! (-!)

Podminka rovnovahy v kloubu je T"[ - T'. = 0 neboli

Pi V'- l + (i'l - a' '''I}t'i ~ (1i -1 'Z.'i-l = 0 (5)

- '

Obr.5

,.L~ I " .It I

J ~

Obr. 6

coz je rovnice rovnovahy kloubu nebo1i kloubova, ktera uvadi ve vzajemny vztah tfi za sebou jdouci pruhyby kloubu v nezatizenych polich. Svou stavbou i vYznamem ===i'_, __ l2 __

je obdobna rovnici tti za sebou jdoucich podporovYch ? '

pootoceni spojiteho nosniku. Je dualni k rovnid ttl za ~c "

sebou jdoucich posouvajicich sil kloubu, kterou uv:idi a, 1 p . .' ~.l , .

Courbon [1], stejne jako rovnice ttl pootoceni u spoji- ~. h. ~ teho nosniku je dualni ke ttimomentove rovnici. ' .

PHCinkove cary posouvajicich sil Tic kloubU; ktere jsou z:ikladni a z nichl lze ostatni odvodit, vypocreme jako ohybove cary od jednotkoveho rozevreni kloubu k (pole nejsou zamena), Cimz rozumime svisle oddaleni koncii konzol v kloubu 0 jednotku (obr. 10). Tel v tomto kloubu mus! byt posouvajici sily v rovnovaze. OznaCime-li pruhyb

,konzoly (k+l)teho prvku v kloubu k jako Vic, pak se pru­: hyb konzoly k-n!ho prvku rovna vk-I. Na konzolu k-teho , prvku zde pak pusobi posouvajici sila T'le

i T'le = -{3J.;vlc-l- "Idvk -1) (6)

: Rovnice rovnovahy kloubu k tedy je

: Pk Vk-l + "Ik (Vk - I) + ak+l Vk + ih+l Vk+ l = 0 (7)

Obr.7

% I

1 ~- 1 r"Y"J.. , ; . 1

Obr.9

r, i . I

.,

• A. I

Obr.8

Obr.10

; coz je tzv. rovnice rozevreneho kloubu. V kloubove rovnid ! kloubu k-I musime za pruhyb kloubu k tez dosadit ! hOdnotu Vk-I. ~ ~ , . . ~ <::::::::::::::

Koeficienty prenosu pruhybu

Sestavenim kloubovYch rovnic dostaneme u rnmu podle obr. 1 system n - 1 mclennych linearnich rovnic pro Obr. 11

/1,

Xi

i

.~.~ "--'~

B; i

lnoty 'Vi, CoZ jsou primo hodnoty pnCinkovych porad­.:. Je-li rovnic malo, nejv}'se dYe, resime je pnmo. :azeme nyni, ze pri vetsim pom rovnic je mozne a vj­dnejsi vypootat hodnoty 'Vi> amz bychom rdill system :nic. Oznaeme

'Vi-l OJ = ---, - 'Vi

, Vi 0, = --­- 'Vt-l

;::loubove rovnice (5) pak plyne

Pi , ,'/ - = ac T )'1-1 - t'i-l Qi-l Q!

(8)

:to rovnice vyjadIuji rekurentni vztahy mezi hodnotami · resp. (/ ( a muzeme je z nich tedy postupne vypocist · koncu ramu. Vidime, ze jejich hodnoty jsou nezavisle

hodnocich pnihybu 'Vi. Hodnoty ef> resp. e'i nazveme ,eficienty prenosu pruhybu doprava, resp. do­\'a (v nezatiZen)'ch polich). Je-li rlim ukoncen podle obr. 1, vychazime pri vjpoctu dicienni prenosu z hodno!)' Ql = 0 resp. (ll" = O. Je-li :n ukoncen vetknutou konzolou podle obr. 2, muzeme ljm vetknutou konzolu pokladat za prvek T s absolutne hYm pilliem a je pak a1 = b1 = 0, ~1 = PI = 0, )'1 = 1. C1 odtud QI = 0, resp. Q'n = O. Ie-li ram ukoncen volnou :podeprenou konzolou podle obr. 3, plati i'l = 1 ic1 ,

= 0 a odtud (11 = b1 c1, resp. g'lI = bn / a,,'

Pricinkove poradnice posouvajid sUy kloubu k

Zavedeme-li v rovnici (7) rozevreneho kloubu hodnoty eficienni prenosu, dostaneme hodnoty pnCinkoV)<ch po­dnic posouvajici sily kloubu k jako hodnotu 'V& vpravo : kloubu a 'V,~ - 1 vlevo od kloubu

f'k ak.j.l ,

P... - [!k P- - 9 k.!.l .. k .!.l

---'----, 1.'" - 1 = '--- (9) 1 1 ,

--Ok ---Qk+l !/k - . Ijk+1

-'itom plati 1 > 'VA; > 0, 0 > Vk - 1 > - l. Z techto ,dnot v)'POcteme postupne pomod koeficienni prenosu ,leva, resp. doprava ostatni pnCinkove poradnice v mis­;h kloubu z rovnic

(lOl :e prva rovnice plati vlevo od kloubu k a druha vpravo · k. Mezilehle poradnice pricinkove cary na konzohich do­meme tak, ze z rovnic (4) a (6) vypoaeme zatiZeni na 'ncich konzol prvkii tvaru T, odpovidajici vypoaenym 1dnotam '0(. Jimi pak vynasobime predem vypoaene 1dnOty ohybove cary konzol prvku tvaru T pro zatiZeni inotkou na konci leve nebo prave konzo1y a obe hodnoty lk pro bidy prvek seaeme. Odvodit pncinkove cary ratnich statickjch veliCin je jii mozno znamymi zpiisoby. 'ipomefune jen, ze je vjhocine, jak ukaza1 Courbon [1], isto pnCinkovYch Car momentii M pootat pnCinkove ry hodnot M,'x, kde x je vzdalenost bodu, pro jehoz oment hledame pnCinkovou caru, od kloubu. Vsechny iCinkove cary jednoho pole lze pak tei kreslit do jednoho )cizku (obr. 11). PH vjpoCtu pncinkove cary prUhybu kloubu k dosadime = 1 a postupujeme dale zcela obdobne.

Postup vypoctu je tedy tento: l. Vypoaeme ohybove cary konzo1 prvkii T pro zatiZenf jnotkou na konci jednak Ieve, jednak prave konzoly.

Zaroveil obdrZime hodnoty eli, b" Cl •

2. UrCime a;j, {It, ,It pro staticky neurorY prvek T. 3. PH dvou pretvarne neurcirYch sestavime system dvou

rovnic a vyresime je. PH vetSlm poCtu pretvarne neurci~~ch urCime postupne koeficienty pienosu a z nich postupne hodnoty pncinkovjch poradoic v kloubech.

4. Vypoaeme posouvajici sily v kloubech a jejich po­mod z ohybovych Car konzol pH zatiZem jecinotkou mezi­lehle hodnoty poradnic.

Zaverem muzeme fici, ze uvedene rdem je vjhodne hlavne u ramu, jejichZ krajnf konz01y jsou ulozeny posuvne na opery (obr. 1), nebot tate konstrukce je 0 dvakrat mene pretvarne nei statick-y neurota. Rovnic je zde tedy 0 dve mene (u ramu se tfemi pillri misto ctyf jen dye a se dvema piliH misto tfi jen jedna). PH ramu 0 mooha polich je znaenou vjhodou to, ze system rovnic nem nutno resit a je mozno pootat pIimo pomoci koeficienni prestupu posouvajicich sil podle Courbona. Uvedeny postup umoz­nuje nejrychlejslm zpusobem vypoost pfiCinkove porad­nice v kloubech, a to i u ramii podle obr. 2 nebo 3. Uvedine konkretne, ze se pH projektu zelezoiCniho mostu pres Vltavu v Praze pod Bulovkou, kterj ma tvar podle obr. 1 se tfemi pillri, ukazal uvedeny postup pro vjpocet pnCin­kovjch poradnic v kloubech asi dVakrat rychlejsi a pro vjpocet mezilehlych pfiCinkovjch poradnic asi 0 10 % rychlejsi nei podle Courbona.

Toto rdem a rdem Courbonovo jsou vzajemne dualni, a obe jsou obdobou jim odpovidajicich rdeni spojit)<ch nosniku.

LITERATURA

[1] J. Courbon: Calcul des ponts a poutres consoles reunies par des articulations, Memoires de I'A. I. P. C. 1957, vol. XVII, str. 9, Curych O. Novak: Pfispevek k i'eseni ramu s vlozenymi klouby,

]2] InZen}-rske stavby c. 1'1960.