Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DTH1B3 - MATEMATIKA
TELEKOMUNIKASI I
Turunan Fungsi
By : Dwi Andi Nurmantris
CAPAIAN PEMBELAJARAN
Mampu memahami definisi turunan, aturan dasar turunan dan mampu mencari turunan dari berbagai bentuk fungsi.
MATERI PEMBELAJARAN
Turunan Fungsi a. Definisi Turunan dan Differensial b. Aturan Dasar Turunan c. Turunan Fungsi d. Turunan Tingkat Tinggi
DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL
x
f(x) P
X+∆x
f(x+∆x) Q
∆x
∆y =f(x+∆x)-f(x)
Kemiringan garis PQ (titik potong pada busur PQ) adalah :
x
xfxxf
x
ymPQ
)()(
Jika ∆x 0 , maka garis PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan
x
xfxxf
dx
dym
x
)()(lim
0
DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL
x
f(x) P
X+∆x
f(x+∆x) Q
∆x
∆y =f(x+∆x)-f(x)
x
xfxxf
dx
dym
x
)()(lim
0
dx
dy • Disebut Turunan Fungsi dari f(x)
• Biasanya ditulis dengan f’(x) (dibaca “f(x) aksen”)
Mencari Gradien Garis Singgung pada suatu titik pada fungsi
Mencari perubahan y terhadap perubahan x
dy = deferensial dari variabel y dx = deferensial dari variabel x
DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Contoh :
Jika f(x) = x2, tentukan f’(x)
Jawab :
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
xfxxf
x
x
x
x
x
2
02
2lim
)2(lim
2lim
2lim
)()(lim
0
0
2
0
222
0
0
2xxf
22
2
2
)(
xxxx
xxxxf
xf '
DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Ilustrasi tambahan
4 2 6
(2,4)
x
y
f’(x)= 2x f(x) = x2
0
4
Luas persegi = f(x) = y = x2
x
x
dx
dx
DEFINISI TURUNAN DAN DIFERENSIAL
Hakekat dari Turunan
4 2 6
(2,4)
x
y
0
4
Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.
f’(a) = m = 4
f’(a) = m = 0
(-2,4)
f(x) = x2
f’(x)= 2x
f’(a) = m = -4
f ’(a) > 0, maka f(x) menaik
f ’(a) < 0, maka f(x) menurun
f ’(a) = 0, titik ekstrim (maksimum/minimum)
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 1
0(x)' f
: maka
konstan k dengan k f(x) Jika
KONSTAN FUNGSI
) (Terbukti 00Limit
x
k-kLimit
x
f(x)-x)f(xLimit(x)' f
:BUKTI
0 x
0 x
0 x
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 2
1(x)' f maka
x,f(x) Jika
IDENTITAS FUNGSI
) (Terbukti 11 Limit
x
xLimit
x
x-xx Limit
x
f(x)x)f(xLimit (x)' f
: BUKTI
0 x
0 x
0 x
0 x
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 3
1-n
n
nx(x)' f
:maka
rasional,bilangan n dan xf(x) Jika
PANGKAT FUNGSI
ATURAN TURUNAN FUNGSI
250xx50.5nx(x)' f maka50,n,5xf(x) c.
100x100xnx(x)' f maka 100,n,xf(x) b.
3x3xnx(x)' f maka 3n ,xf(x) a. : SOLUSINYA
5xf(x) c.
xf(x) b.
xf(x) a.
: berikut fungsi-fungsi dari fungsi Turunan Carilah
491-501-n50
9911001-n100
2131-n3
50
100
3
Contoh :
LATIHAN SOAL
41
xf(x) f. xf(x) c.
xf(x) e. xf(x) b.
xf(x) d. 4f(x) a.
:berikut fungsi-fungsi dariTurunan Tentukan
3-
2-5
10
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 4
(x)' c.f(x)' g
: maka ada, (x)' fdan c.f(x)g(x)oleh kan didefinisi
yang fungsi gdan konstanta,suatu cfungsi,suatu f Jika
FUNGSI DENGANKONSTANTA KALI HASIL
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Contoh :
66x
55x .5
6
(x)' .g5
6(x)' f ,x
5
6f(x) c.
9000x
100.90x
(x)' 100.g(x)' f ,100x f(x) b.
250x x5
6f(x) c.
5.50x 100x f(x) b.
(x)' 5.g(x)' f ,5x f(x) a. :SOLUSINYA 5x f(x) a.
:berikut f(x) fungsiTurunan Tentukan
54
54
55
89
89
90
4955
4990
5050
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 5
(x)V'(x)U'(x)' f'y maka
V(x),U(x)f(x)ydan diturunkandapat yang
x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika
FUNGSIDUA JUMLAH
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 6
(x)V'-(x)U'(x)' f'y
makaV(x),-U(x)f(x)ydan diturunkan
dapat yang x dari fungsi-fungsiadalah Vdan UJika
FUNGSIDUA SELISIH
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Contoh :
7-12x
07.1-6.2x
(2)dx
d(x)
dx
d7)(x
dx
d6
(2)dx
d)7(
dx
d)6(
dx
d(x)' f 276xf(x)
:SOLUSINYA
276xf(x) dari Turunan Tentukan
2
22
2
xxx
x
LATIHAN SOAL
2
2
2
23
x
22xf(x) c.
2x)-(6f(x) b.
524xf(x) a.
:BERIKUT FUNGSI-FUNGSI TURUNAN CARILAH
xx
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 7
(x)U(x).V'(x).V(x)U'(x)' f maka
U(x).V(x),f(x)dan diturunkandapat yang
x dari fungsi-fungsi Vdan UJika
FUNGSI.DUA PERKALIAN
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Contoh :
29x8x18x
6x6x23x8x12x
x)x)(6()12).(4x(3x
(x).V(x)U'(x)U(x).V'(x)' f
:didapat 7 teoremadalam keMasukan
14x(x)V'dan 6x (x) U'
xx V(x)dan 23xU(x)Misalkan
: SOLUSINYA
x)2)(x(3xf(x) dari pertamarunan Carilah tu
235
25235
432
3
42
42
x
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 8
V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f
maka 0,V(x),V(x)
U(x)f(x)dan
,diturunkandapat yang x dari fungsi-fungsi Vdan UJika
FUNGSI.DUA PEMBAGIAN
2
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Contoh :
23
24
23
244
23
223
2
23
2
9)(x
54x30x-3x-
9)(x
30x9x54x6x
9)(x
)10).(3x(3x-9)(6x)(x
V(x)
(x)U(x).V'-(x).V(x)U'(x)' f
:didapat 8 Teoreman Berdasarka
3x(x)V' 9xV(x)
6x(x) U' 103xU(x)Misalkan
:SOLUSINYA
9x
103xf(x)
darirunan Carilah tu
3
2
LATIHAN SOAL
5x
x
1-3
f(x) b.
25
123xf(x) a.
:berikut fungsi-FungsiTurunan Hitunglah
1
2
x
x
ATURAN TURUNAN FUNGSI
TEOREMA 9
dx
du.
du
dy
dx
dyatau
(x)(g(x)).g'f'(f(g(x))dx
d (x)y'
: maka
diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan f(g(x))y serta
diturunkandapat yang x dari fungsimerupakan g(x)udan
diturunkandapat yangu dari fungsimerupakan f(u) vJika
RANTAI DALIL
xgf
ATURAN TURUNAN FUNGSI
Contoh :
52
52
525
62
62
3)5x)(4x 30-48x(
58x.3)5x6(4x
dx
du.
du
dy
dx
dy 58x
dx
du
3)5x6(4x6Udu
dy
U ymaka 35 4xU
:SOLUSINYA
)35(4x y
: dari Turunan Tentukan
x
x
LATIHAN SOAL
23
13xf(x) b.
52x-7xf(x) a.
:berikut fungsiTurunan Tentukan
2
2
x
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
xdx
dyyxy
xdx
dyyxy
xdx
dyyxy
2sec'tan
sin'cos
cos'sin
xdx
dyyxy
xxdx
dyyxy
xxdx
dyyxy
2seccos'cot
tansec'sec
cotseccos'seccos
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh :
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx 2. f(x) = 2sinxcosx
SOLUSINYA 1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
LATIHAN SOAL
4-x4cosy 5.
xsin x cos y 4.
12sin- y 3.
sin-1 y 2.
4cos2x 2sinx y 1.
:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan
2
22
2
2
x
x
TURUNAN FUNGSI HYPERBOLIC
xhdx
dyyxy
xdx
dyyxy
xdx
dyyxy
2sec'tanh
sinh'cosh
cosh'sinh
xdx
dyyxy
xxdx
dyyxy
xxdx
dyyxy
2cossech'coth
tanhsech'sech
cothcossech'cossech
LATIHAN SOAL
cosh1-x y c.
cosh - sinh y b.
3)-(xsinh y a.
:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan
2
x
xxx
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
xx
xx
edx
dyyey
aadx
dyyay
'
ln'
xdx
dyyxxy
axdx
dyyxy
e
a
1'lnlog
ln
1'log
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
Contoh :
ex-ex- f(x)
:berikut FungsiTurunan Tentukan
x357 x
f’(x) = 7x6 – 5x4 + 0 –1 + ex
= 7x6 – 5x4 –1 + ex
SOLUSINYA
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK
Contoh :
ln100-10 f(x)
:berikut FungsiTurunan Tentukan
3 xx
SOLUSINYA
xx
xxxf
10030
110030)'( 22
LATIHAN SOAL
log6log y c.
10 y b.
lnln y a.
:berikut fungsi-FungsiTurunan Tentukan
52
10
25
xx
x
eex
x
x
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).
Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi turunan pertama, dst.
Turunan Kedua, Ketiga, Keempat dst disebut Turunan Tingkat Tinggi
0/
6/'''
86/''
583/'
754)(
:
44)4(
33
22
2
23
dxydy
dxydy
xdxydy
xxdxdyy
xxxxfy
contoh
Turunan dari turunan
TURUNAN TINGKAT TINGGI
TURUNAN NOTASI f’ NOTASI LEIBNIZ
Turunan Pertama
Turunan Kedua
Turunan Ketiga
Turunan Keempat
.... .... ....
Turunan Ke-n
)(' xf
)(" xf
)('" xf
)(4 xf
)(xf n
dx
dy
2
2
dx
yd
3
3
dx
yd
4
4
dx
yd
n
n
dx
yd
LATIHAN SOAL
y x sin 2 1
y x 2 3 4
yx
x
1
y x cos2
Tentukan turunan kedua dari
1.
2.
3.
4.