Druˇzba mladih MATKACAˇatika lijepa, zanimljiva i poticajna. Razlozi koji su dovodili i joˇs uvijek dovode do takvih gledanja nisu u matematici sˆamoj: oni su u nedostatcima i

Petar Mladinic

Druzba mladih

MATKACA

Glavni urednik: Zdenka Plantosar

Urednica: Franka Bonacic Kresic

Petar Mladinic:

Druzba mladih

Matkaca

Zagreb, 2016.

Recenzenti:

prof. dr. sc. Vladimir Devide ,

prof. dr. sc. Boris Pavkovic ,

Jelena Gusic, prof.,

mr. sc. Nikol Radovic

Lektorica: Hrvojka Horvat, prof.

Korektori: Nikol Radovic, Renata Svedrec, Tomislav Pejkovic, Hrvoje Horvat

Ilustracije izradila: Zrinka Ostovic

Nakladnik: PROVEN grupa, Zagreb

c©

Ova knjiga se ne smije umnazati, preslikavati

i na bilo koji nacin uporabljivati, bez pismenog

dopustenja nakladnika.

CIP zapis je dostupan u racunalnom katalogu

Nacionalne i sveucilisne knjiznice u Zagrebu pod brojem 000949602.

ISBN 978-953-7369-10-1

Slog i prijelom

Petar Mladinic

Tisak

proven GRUPA, Zagreb

Petar Mladinic

Druzba mladih

MATKACA

PROVEN grupa

Zagreb, 2016.

iv Druzba mladih Matkaca

Sadrzaj

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Zgode i mozgalice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Kako pogoditi odabrani broj? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Kad su rodeni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Koliko su povezane matematika i povijest? . . . . . . . . . . . 51.4. Je li kralj Mrzovolj pravedan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Je li pisanje zadaca velik problem? . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Koliko pojmova ima Juricin jezik? . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7. Tko cita lektiru? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. Koliko tko ima godina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9. Tko je najjaci? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10. Tko je najbolji rukometas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11. Koliko vremena treba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12. Sto pamti Danica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.13. Kako otkriti telefonski broj? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.14. Mogu li stripovi biti razlogom za svadu? . . . . . . . . . . . . 161.15. Tko je razbio prozor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.16. Je li Ante u pravu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.17. Tko voli matematiku? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.18. Kako ispuniti tablicu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.19. Koliko ima “jedanaestica”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.20. Sali li se baka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.21. Koji je najbolji redoslijed udaraca? . . . . . . . . . . . . . . . 231.22. Radi li Ruzica savjesno? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.23. Kako povezati ljude i dijagonale? . . . . . . . . . . . . . . . . 251.24. Je li moguce upoznati sve ljude na Zemlji? . . . . . . . . . . . 261.25. Tko je prvi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.26. Jesu li povezane pjesme i matematika? . . . . . . . . . . . . . 281.27. Tko je bacac kamena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.28. Koliko je sahista na natjecanju? . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.29. Kako treba hodati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.30. Na cemu se zasniva trik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.31. Kako pomoci drugima, a odmoci sebi? . . . . . . . . . . . . . 331.32. Koji je brojevni sustav? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.33. Tko ce uzivati u brbljanju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.34. Kakvi su utezi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.35. Koliko ima pizza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.36. Kako izvagati novce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vi Druzba mladih Matkaca

1.37. Moze li se razdvojiti kocka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.38. Koliko je jaja u kosari? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.39. Gdje je kuna? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.40. Koliko se moze potrositi za knjige? . . . . . . . . . . . . . . . 431.41. Ima li izvrsnih ucenika? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.42. Je li igra postena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.43. Kako otkljucati kasicu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.44. Kako otkriti boju kuglice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.45. Kako rasporediti stapice u Mikadu? . . . . . . . . . . . . . . . 481.46. Kako do sladoleda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.47. Kako podijeliti dobitak? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.48. Postoji li magicni krug? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.49. Zasto je Luka neraspolozen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.50. Tko je bolji trkac, otac ili sin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.51. Gdje su podmornice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.52. Tko je pobjednik “sijavice”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2. Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Kako pogoditi odabrani broj? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Kad su rodeni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Koliko su povezane matematika i povijest? . . . . . . . . . . . . . . 58Je li kralj Mrzovolj pravedan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Je li pisanje zadaca velik problem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Koliko pojmova ima Juricin rjecnik? . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Tko cita lektiru? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Koliko tko ima godina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Tko je najjaci? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Tko je najbolji rukometas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Koliko vremena treba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Sto pamti Danica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Kako otkriti telefonski broj? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Mogu li stripovi biti razlogom za svadu? . . . . . . . . . . . . . . . 66Tko je razbio prozor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Je li Ante u pravu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Tko voli matematiku? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Kako ispuniti tablicu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Koliko ima “jedanaestica”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Sali li se baka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Koji je najbolji redoslijed udaraca? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Radi li Ruzica savjesno? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Kako povezati ljude i dijagonale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Je li moguce upoznati sve ljude na Zemlji? . . . . . . . . . . . . . . 72Tko je prvi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Jesu li povezane pjesme i matematika? . . . . . . . . . . . . . . . . 72Tko je bacac kamena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vii

Koliko je sahista na natjecanju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kako treba hodati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Na cemu se zasniva trik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Kako pomoci drugima, a odmoci sebi? . . . . . . . . . . . . . . . . 77Koji je brojevni sustav? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Tko ce uzivati u brbljanju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Kakvi su utezi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Koliko ima pizza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Kako izvagati novce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Moze li se razdvojiti kocka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Koliko je jaja u kosari? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Gdje je kuna? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Koliko se moze potrositi za knjige? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Ima li izvrsnih ucenika? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Je li igra postena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Kako otkljucati kasicu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Kako otkriti boju kuglice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Kako rasporediti stapice u Mikadu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Kako do sladoleda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Kako podijeliti dobitak? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Postoji li magicni krug? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Zasto je Luka neraspolozen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Tko je bolji trkac, otac ili sin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Gdje su podmornice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Tko je pobjednik sijavice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. Popis mozgalica prema sadrzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

viii Druzba mladih Matkaca

ix

Za vecinu ucenica i ucenika osnovnih i srednjih skola matematika je potradiciji nepopularan predmet. Mnogi je dozivljavaju kao suhoparnu, dosadnu,zamornu i tesku, a razmjerno je malo onih koji vide i osijecaju kako je matem-atika lijepa, zanimljiva i poticajna. Razlozi koji su dovodili i jos uvijek dovodedo takvih gledanja nisu u matematici samoj: oni su u nedostatcima i ne-dorecenosti nastavnih planova i programa, u udzbenicima, a i u pojedinimnastavnicima.

Jedan od najzasluznijih hrvatskih srednjoskolskih nastavnika i autoramatematickih udzbenika Stjepan Skreblin znao je reci da za uspjesno svla-davanje gradiva iz matematike nije potrebna ucenicima posebna nadarenost,vec jedino ne smiju biti izrazito nenadareni. Dobar nastavnik matematike znatce za nju zainteresirati svoje ucenike koji ce uvijek nestrpljivo iscekivati i sradoscu stvaranja sudjelovati u rjesavanju matematickih zadataka i problema.

Na tragu tog pokusaja povecavanja razumijevanja i zainteresiranostiza matematiku je i ova knjiga. Ovo je knjiga matematickih stripova.Nastala je na temelju visegodisnje rubrike na zadnjoj stranici casopisa za mladematematicare Matka. Ona je i u skladu s odlukama 1. kongresa nastavnikamatematike RH o popularizaciji matematike kao i o matematizaciji situacijas kojima ucenici svakodnevno imaju posla. Ova knjiga je i skroman doprinosostvarivanju standarda iznijetih u Standardima za nastavu matematike.

Zgode i mozgalice druzbe Matkaci mogu se uporabiti kao uvodneprice/problemi u razredu prigodom obrade novog gradiva ili na neki druginacin. I u tom smjeru su namijenjene nastavnicima i studentima nastavnickihstudija. Mogu posluziti i roditeljima u pokusaju shvacanja gradiva koje nji-hova djeca uce u skoli. U tu svrhu je na kraju knjige dan popis prica pomatematickim podrucjima: Brojevni sustavi, Djeljivost, Jednadzbe i ne-

jednadzbe, Diofantske jednadzbe, Algebarski izrazi, Logicki zadatci,

Dirichletovo pravilo, Geometrija, Grafovi, Kombinatorika, Vjerojat-

nost, te ostalo.

Citav tekst je, u obliku razgovora, voden tako da ce citatelja voditiod jednog problema do sljedeceg. Zadatci i problemi odabrani su tako da imalaksih i tezih, jednostavnijih i teze formuliranih, rasparavljenih i rjesavanih,cime mladi citatelj moze razviti prvi osjecaj za bogatstvo i raznolikostmatematicke problematike. Nadarenijem citatelju bit ce i poticajem da se isam okusa ne samo u rjesavanju postavljenih zadataka vec i u postavljanju ikonstruiranju vlastitih.

Knjiga je osmisljena kao zgode i mozgalice skupine ucenika u jednojskoli. Autorove zamisli oslikala je i likove “ozivjela” Zrinka Ostovic.

Prof. dr. sc. Ivan Ivansic svojim savjetima, primjedbama i podrskom, teprof. dr. sc. Boris Pavkovic , kao recenzent, na neki nacin su sve ovo uoblicili.

x Druzba mladih Matkaca

Svojim recenzijama i savjetima bitno su pomogli i popravili tekstakademik prof. dr. sc. Vladimir Devide , prof. Jelena Gusic i mr. sc. NikolRadovic.

Mr. sc. Nikol Radovic i prof. Renata Svedrec svojim su korektorskimrjesenjima i prijedlozima bitno poboljsali ovu knjigu, dok je Tomislav Pejkovicprovjerom rjesenja zadataka otklonio veliki dio mogucih nejasnoca.

Svima njima od srca zahvaljujem.Zahvalan sam i citateljima koji ce mi, citajuci i rjesavajuci ove mozgalice,

ukazati na pogrjeske ili bolja i ljepsa rjesenja, a koja cu, ufam se, u nekomsljedecem izdanju ugraditi u Zgode.

[email protected]

“Ljudi vam kazu da mastanje je besmislica. Ne vjerujte im! Toje jedna od siroko rasprostranjenih zabluda.”

George Polya

Ante, Ivan, Luka, Jurica i Danica ucenici su jedne zagrebacke skole iglavni su likovi ove nase price. Sigurno su slicni djevojcicama i djecacima unama i oko nas. Dobri su prijatelji, sportasi su i streberi, mangupi i intelektu-alci. I stalno im se dogadaju neke zanimljive zgode. A ako im se i ne dogode,sami ih smisljaju i izmisljaju. I tako im nikad nije dosadno. A susrest cemoih u razredu, na ulici, u trgovini, u tramvaju, u stanu, na trznici (Dolac), uknjizari, u zracnoj luci (Pleso), na moru. . .

Uz njih cemo upoznati i jos neke ucenike iz razreda: Zdravku, Lovorku,Petra; takoder i profesore: Matka, Vesnu, Miru, Marijana, Vlastu, Ivanu,Bozenu; susjede: Martina, Katicu; trgovce: Jakova, Marka, Josipa, Anu, Bar-icu; Danicinu rodicu Mariju, Ivanova strica Natka i strinu Mary; sluzbenicuRuzicu, ribare Roka i Simuna, Antinu mamu Suncanu i oca Lovru, Ivanovubaku Suzanu. . .

Sigurno cete zajedno s njima uspjeti rijesiti sve matematicke probleme, amozda i sami smisliti neke nove zadatke za neku drugu pricu.

U skoli zna biti sumorno, ali na putu do nje. . .

2 Druzba mladih Matkaca

Evo nekih spomenutih Matkaca:

Ante i Ivan

Danica

Luka i Jurica

profesorice Vlasta i Bozena

profesorica Vesna

susjedi Katica i Martin

Mate Magicar

1. Zgode i mozgalice

1.1. Kako pogoditi odabrani broj?

Jurica je uvijek dolazio do zanimljivih zamisli ili, kako je govorio, do velikihotkrica. Obicno je time zabavljao prijatelje na putu od kuce do skole.

Pogledajte moje veliko otkrice! Pogodit cu vam broj koji ste zajednickiodabrali u ovoj tablici! Reci cete mi samo u kojim je sve redovima vasbroj.

1.red 23 7 15 11 27 1 21 31 9 17 25 3 29 13 5 192.red 10 23 2 19 6 15 27 11 31 3 22 18 30 7 26 143.red 4 13 7 21 28 23 31 5 20 30 14 6 15 12 29 224.red 9 11 25 14 29 8 27 15 30 12 26 28 24 31 13 105.red 17 31 20 27 29 22 18 25 28 19 23 16 26 30 21 24

Prijatelji su uzeli tablicu i brzo su se dogovorili koji je to broj.

Broj je u prvom retku.

Nas je broj i u trecem retku.

On je i u cetvrtom retku.

Mislim da neces pogoditi koji smo odabrali.

(nagne se i sapne Danici) Vas broj je ...

Pogodio si!!!

Koji broj su prijatelji odabrali i kako ga je Jurica otkrio?

Rjesenje je na stranici 57.

1. Zgode i mozgalice 11

1.9. Tko je najjaci?



1.10. Tko je najbolji rukometas?

Ivan, Luka, Ante, Jurica i Danica, i sami dobri sportasi, razgovarali su nakonsata tjelesnoga odgoja o izboru najboljih hrvatskih rukometasa.

Najbolji je bio Cavar, a drugi Gudelj.

Ne, Peribonio je bio drugi, a Puc cetvrti.

Drugi je bio Cavar, a Puc treci.

Vidim da ne znate redoslijed najboljih!

Ja znam redoslijed. Svaki je pogodio samo jednog igraca.

(iznenada) Sad i ja znam!

Zna li Danica redoslijed najboljih igraca? Tko je bio najbolji? Kakav jenjihov redoslijed?



1.15. Tko je razbio prozor?

Ivan, Luka, Ante i Jurica cesto su igrali nogomet. Jednom su tako, u zaru borbe,razbili prozor susjedi Katici. Susjed Martin bio je slucajni svjedok nemilogdogadaja.

Tko je razbio prozor?

Prozor je razbio ili Vas Jurica ili Luka!

Ja nisam razbio prozor!

To je ucinio Luka!

Ne, Ivane, ti lazes!

Zadali su Vam pravi problem. Mogu Vam reci da trojica djecaka uvijekgovore istinu, a cetvrtog i ne poznajem.

Tko je razbio prozor? Kojeg djecaka susjed Martin ne poznaje?



1.19. Koliko ima “jedanaestica”?

Danica, Ivan, Luka, Ante i Jurica voze se u Zagrebu tramvajem broj 11 odCrnomerca prema Dubravi. Idu u posjet Ivanovoj baki. Tramvaj je na Trgubana Jelacica.

Vidio sam u redu voznje da s Crnomerca svakih 10 minuta polazi jedantramvaj broj 11.

To isto vrijedi i za polaziste u Dubravi.

Prometnik mi je rekao da voznja od Crnomerca do Dubrave traje tocnojednu uru.

Od pocetka voznje brojio sam ‘jedanaestice‘ koje smo sreli. Ova prekoputa je sedma.

Koliko danas ima ‘jedanaestica‘ na pruzi?

Ako ste i vi uspjesno rijesili problem, pozabavite se i ostalim pitan-jima. Jesu li nasi prijatelji blize Crnomercu ili Dubravi? Kad ce sljedeca“jedanaestica” proci pokraj njih?



1.22. Radi li Ruzica savjesno?

U Ivana su bili u gostima strina Mary i stric Natko. Vracaju se kuci u Toronto.U zagrebackoj su zracnoj luci Pleso. U redu za predaju prtljage jedan je putnikispred njih. Na vagi se vidi 105 kg putnikove prtljage. Sluzbenica Ruzica moraga upozoriti na prekoracenje.

Molim Vas 650 kuna za prekoracenje dopustene tezine.

Nakon sto je putnik platio, stric Natko je stavio zeninu i svoju prtljaguna vagu. Vaga opet pokazuje 105 kg.

Vaga pokazuje prekoracenje dopustene tezine vase prtljage.

Znamo! Koliko moram platiti?

Pa, valjda 325 kuna!

Gospoda treba platiti 150, a Vi 100 kuna.

Kako? Vi ste pogrijesili!

Ne, nije pogrijesila. Ona savjesno i tocno radi svoj posao. Nakon storazmislis, i ti ces to zakljuciti.

Radi li sluzbenica Ruzica savjesno i tocno? Kolika je dopustena tezinaprtljage? Koliko je prekoracenje svakog od njih? U cemu je Ivanpogrijesio?



1.35. Koliko ima pizza?

Matkaci su ispred panoa zalogajnice.

Koliko ima vrsta pizza? Mogu li Matkaci biti posebni gosti? Koliko imtreba novaca za to?



1.39. Gdje je kuna?

Nakon sto su obisli trznicu Dolac, Matkaci sjede u kaficu. Piju sokove.

Cijena pica je 30 kuna.

Danice, ti ne placas! Ni Ivan! Jucer nas je castio.

Ante i Jurica: po 10 kuna!

Matkaci odlaze, ali ih zaustavlja konobarica.

Pogrijesila sam. Racun je iznosio 25 kuna. Vracam vam 5 kuna. Opros-tite!

Dobro! Luka, Jurica i ja uzet cemo od toga po 1 kunu, a Vama za usluguostavljamo 2 kune.

Nesto ne valja! Dali smo po 9 kuna. 3 puta 9 je 27, i 2 kune konobarici,daje 29. A na pocetku je bilo 30 kuna. Gdje je 1 kuna?

Gdje je kuna? Zna li Jurica racunati? U cemu je problem?


2. Rjesenja

Kako pogoditi odabrani broj?

Koji su broj odabrali i sto je u “igri” saznat cemo ako poslusamo nastavaknjihova razgovora.

coshfcoihvc

Nije uopce problem pogoditi broj. Moras samo znati napamet tablicu.

To je vrlo tesko i naporno. Nesto drugo je u igri. Sigurno je tablicanacinjena na poseban nacin.

Nas je broj bio trinaest. Ima li sto zajednicko broju i njegovu polozaju utablici? Vjerojatno je u igri zapis broja u nekoj bazi.

Da! Tocno je to, Ivane! Broj 13 se u bazi 2 zapisuje kao 1101. Dakle,zapisuje se s 3 jedinice i zato smo ga nasli u tri retka. Broj 13 nije udrugom retku jer mu je druga znamenka 0. Naslucujem da bi redni brojretka mogao otkriti mjesto znamenke 1 u zapisu naseg odabranog broja.Dakle, radi se o binarnom zapisu brojeva od 1 do 31. Zar ne, Jurice!

Provjerimo to za jos neke brojeve u tablici.

Pogodili ste moje ‘otkrice’.

Morat cu vam reci nesto o zapisu broja u razlicitim bazama. O tomedrugom zgodom.

Kad su rodeni?

Zadatak mozemo rijesiti na nekoliko nacina.

a) Pogledat cemo u stoljetni kalendar i izdvojiti godine koje pocinjuponedjeljkom. Nakon toga uskladit cemo podatke i tako naci godinerodenja.


jdjdj

Jurica i Ante trebaju se dogovoriti oko knjiga B i E.

Vidimo da se zelje Matkaca mogu ostvariti na dva nacina. Ivan je i ovajput postupio kao pravi kavalir.

Koliko tko ima godina?

Pogledajmo faktore broja 72. O tome se radi! Imamo: 72 = 1 ·2 ·2 ·2 ·3 ·3.

Kombinirajmo s tim faktorima.

Matkacima je trebalo vrlo malo vremena za sastavljanje sljedece tablice:

godine jednog djeteta 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3godine drugog djeteta 1 2 3 4 6 8 2 3 4 6 3 4godine treceg djeteta 72 36 24 18 12 9 18 12 9 6 8 6zbroj djeljiv sa 7 28 14 14

Ovo su sve mogucnosti?!

Ne zanovijetaj, Luka! Uh, kakvu sam pogrjesku ucinio. Brojevi 3, 4, 6zbrojeni daju 13, a to nije djeljivo sa 7. Mogli smo otkriti godine i bezmojeg pitanja. Stvarno ne znam kako sam to pogrijesio!

Od ove tri mogucnosti, jedino odgovara: 3, 3, 8. Dakle, Krasna i Iskraimaju po tri godine, a Zdeslav osam.

Tko je najjaci?

Vidi se da Ante nije izgubio niti jednom. Mozda je on najjaci?! Takoderse vidi da Ivan nije pobijedio. Mozda je on najslabiji?! Danica ne mozenapamet odrediti tko je najslabiji. Ona to zna od ranije. S dvije nejed-nadzbe i jednom jednadzbom opisat cemo rezultate potezanja konopa. Spocetnim slovima imena a, j, l, i oznacit cemo snagu Ante, Jurice, Lukei Ivana. Potezanja konopa opisana su sljedecim sustavom:

a + j > l + i, (2.1)

a + l > i + j, (2.2)

a + i = l + j. (2.3)

2. Rjesenja 63

Ako zbrojimo (2.1) i (2.2) i sredimo, dobit cemo

a > i. (2.4)

Oduzmemo li od (2.1) formulu (2.3) i sredimo, dobit cemo

j > i, (2.5)

a oduzmemo li od (2.2) formulu (2.3),

l > i. (2.6)

Iz (2.4),(2.5) i (2.6) zakljucujemo da je Ivan naslabiji. Iz zbroja (2.2) i(2.3) slijedi

a > j, (2.7)

a iz zbroja (2.1) i (2.3)

a > l. (2.8)

Iz (2.4), (2.7) i (2.8) vidi se da je Ante najjaci. Ne mozemo odrediti tkoje jaci: Luka ili Jurica.

Tko je najbolji rukometas?

Sapnuo sam Danici da izjave svojih prijatelja prikaze grafom. Ona jeposlusala moj savjet i na grafu njihove izjave oznacila razlicitom vrstomstrjelica. No, poslusajmo nju. Zanimljivije je, zar ne?!

Dobila sam sljedeci graf.

Pa, sto onda! Ovdje se nista ne vidi. Znala si unaprijed redoslijed, pa sesad samo hvalis!

Pusti je neka obrazlozi do kraja! Zasto stalno nesto sumnjas?

Iz grafa se dobiva plan rjesavanja. Kljuc mi je dao Jurica izjavom:’. . . svaki je od vas pogodio jednog igraca.’ Pokazat cu vam toanalizirajuci Ivanove izjave i u skladu s tim ostale.Dva su koraka:


a) Ako je istinita Ivanova izjava: ’ Cavar je bio drugi’, onda se vidida su tad lazne Antine izjave o Cavaru i Gudelju i Lukina o Peri-boniju, pa Ante ne bi pogodio nijednog igraca. Zato je Antina izjavao Cavaru, da je bio prvi, tocna.

b) Neka je istinita izjava: ’ Puc je bio treci.’ Vidi se da je tadLukina izjava o cetvrtom mjestu Puca lazna, pa Luka ne bi pogodionijednog igraca, odnosno da je istinita druga Lukina izjava:’ Peribonio je bio drugi.’ Otkrivsi prvog i drugog vidimo da jePuc bio treci jer je i Ivan jednog pogodio. Iz moje izjave slijedi daje Gudelj bio cetvrti.

Jednostavno i lijepo! Za vjezbu cemo, na isti nacin, sami rasclaniti ko-rake u kojima zapocinjemo s Antinim, odnosno Lukinim izjavama.

Koliko vremena treba?

Luka, opet si brzoplet! Znas onu narodnu: ’ skoci, pa reci hop.’Predlozio bih ti slicno: promisli, pa reci.

Svake se minute sve udvostrucuje. Kako pocinjem s dva organizma, toznaci da sam u startu dobio jednu minutu. Dakle, moje ce hraniliste bitiispunjeno za 59 minuta.

Juricinih3

12hranilista isto je kao i

1

4, zar ne?! Zakljucujemo od kraja:

za 60 je minuta citavo hraniliste ispunjeno,1

2hranilista za 59 minuta,

1

4za 58 minuta.

Sto pamti Danica?

Ante je dobro zapamtio Juricinu ideju binarnog zapisa (i zapamcivanja)broja u mozgalici Kako pogoditi odabrani broj?

Rabis Juricin trik koji smo mu nekidan razotkrili. Malo si to ’zapakirala’drukcije: A = 1, B = 2, C = 4, D = 8, E = 16 i F = 32. Jesam li upravu?

Da, zaista! A + C + F = 1 + 4 + 32 = 37. To je moj broj.


i prvi stupac u skladu s time, dobit cemo da je u zutom retku i zelenomstupcu crvena boja. Za ostala mjesta u tablici slicno se zakljucuje. Ispu-njena tablica izgleda ovako:

Pa i nije tesko, Ante!

Igracka je vasa! Zasluzili ste je.

Koliko ima “jedanaestica”?

U ovakvim problemima korisno je voznju prikazati graficki. Kretanje’jedanaestice’ oznaceno je na slici. Nakon dolaska na Crnomerac (ili uDubravu) stoji 10 minuta. U trenutku polaska na Crnomerac dolazi nova’jedanaestica’. To je prva koju su Matkaci sreli. Isto tako ce u trenutkudolaska u Dubravu sresti jednu ’jedanaesticu’ koja odlazi. Na pruzi ce(vide se na slici kao presjeci pravaca) sresti jos 11 ’jedanaestica’. To je, s’jedanaesticom’ u kojoj su Matkaci, ukupno 14 tramvajskih vlakova. Bro-jimo li sedam susreta od pocetka voznje (na slici je sedmi susret oznacenkruzicem), vidjet cemo da su tocno na pola puta do Dubrave i da cesljedeci tramvaj sresti za 5 minuta.


Koliko ima pizza?

Ako svaki od nas proba 2 pizze, a Danica nijednu jer je na dijeti, postatcemo posebni gosti.

Vlasnici se bas ne razbacuju tako lako s nagradama. Mislim da je uoglasu neka zamka.

I meni se cini.

Imamo dva razlicita misljenja. Promotrimo sto se krije u tekstu oglasa.

Pizza moze imati najvise 8 dodataka: sir, sok od rajcice, masline, sunku,feferone, jaje, slane srdele, te zeleni papar. Neobicno je reci, ali moze bitii bez dodataka. Dakle, koliko ima ukupno vrsta pizza koje imaju od 0 do8 dodataka?

Ima samo jedna pizza bez dodataka i samo jedna pizza s 8.

Ima 8 vrsta pizza s jednim dodatkom.

S dva dodatka ima 28 vrsta pizza, s tri 56, s cetiri 70, s pet 56, sa sest28 i sa sedam 8.

To je ukupno 256 razlicitih vrsta pizza. Ako to pomnozimo s 30 kuna,onda dobivamo 7680 kuna. Toliko, i da imamo, ne bismo potrosili zapizze.

Mozda kuhar ne zna ovako dobro matematiku kao mi. Iskusajmo ga!

Ovdje se radi o kombinacijama. Ante je ocito dobro upucen u narav prob-lema. Takoder dobro poznaje binomne koeficijente i racunanje s njima,tj. zna kako treba izracunati broj kombinacija (ili pizza) u svakom odnabrojenih slucajeva.Sto je to kombinacija? Kombinacija k-tog reda n-clanog skupa jest bilokoji k-clan podskup n-clanoga skupa. Broj takvih kombinacija jednak je

(

n

k

)

=n!

k!(n − k)!, gdje je n! = 1 · 2 · . . . · n.

3. Popis mozgalica prema

sadrzaju

Evo vam, na kraju, kao mogucu pomoc u snalazenju ovaj popis zgoda imozgalica prema matematickim podrucjima.

1. Brojevni sustavi:

• 1.1. Kako pogoditi odabrani broj?

• 1.12. Sto pamti Danica?

• 1.32. Koji je brojevni sustav?

• 1.34. Kakvi su utezi?

• 1.40. Koliko se moze potrositi za knjige?

2. Djeljivost:

• 1.8. Koliko tko ima godina?

• 1.16. Je li Ante u pravu?

• 1.30. Na cemu se zasniva trik?

• 1.36. Kako izvagati novce?

• 1.43. Kako otkljucati kasicu?

3. Jednadzbe i nejednadzbe:

• 1.9. Tko je najjaci?

• 1.20. Sali li se baka?

• 1.22. Radi li Ruzica savjesno?

• 1.25. Tko je prvi?

• 1.26. Jesu li povezane pjesme i matematika?

• 1.41. Ima li izvrsnih ucenika?

• 1.46. Kako do sladoleda?

• 1.49. Zasto je Luka neraspolozen?

4. Diofantske jednadzbe:

• 1.26. Jesu li povezane pjesme i matematika?

• 1.38. Koliko je jaja u kosari?


5. Algebarski izrazi:

• 1.3. Koliko su povezane matematika i povijest?

6. Logicki zadatci:

• 1.7. Tko cita lektiru?

• 1.10. Tko je najbolji rukometas?

• 1.15. Tko je razbio prozor?

• 1.17. Tko voli matematiku?

• 1.27. Tko je bacac kamena?

• 1.31. Kako pomoci drugima, a odmoci sebi?

• 1.44. Kako otkriti boju kuglice?

7. Dirichletovo pravilo:

• 1.5. Je li pisanje zadaca veliki problem?

• 1.24. Je li moguce upoznati sve ljude na Zemlji?

• 1.28. Koliko je sahista na natjecanju?

8. Geometrija:

• 1.37. Moze li se razdvojiti kocka?

• 1.45. Kako rasporediti stapice u Mikadu?

9. Grafovi:

• 1.19. Koliko ima “jedanaestica”?

• 1.23. Kako povezati ljude i dijagonale?

• 1.42. Je li igra postena?

• 1.50. Tko je bolji trkac, otac ili sin?

10. Kombinatorika:

• 1.4. Je li kralj Mrzovolj pravedan?

• 1.6. Koliko pojmova ima Juricin jezik?

• 1.13. Kako otkriti telefonski broj?

• 1.20. Sali li se baka?

• 1.28. Koliko je sahista na natjecanju?

• 1.33. Tko ce uzivati u brbljanju?

• 1.35. Koliko ima pizza?


3. Popis mozgalica prema sadrzaju 97

11. Vjerojatnost:

• 1.21. Koji je najbolji redoslijed udaraca?


• 1.47. Kako podijeliti dobitak?

• 1.52. Tko je pobjednik “sijavice”?

12. Ostalo:

• 1.2. Kad su rodeni?

• 1.11. Koliko vremena treba?

• 1.14. Mogu li stripovi biti razlogom za svadu?

• 1.18. Kako ispuniti tablicu?

• 1.29. Kako treba hodati?

• 1.36. Kako izvagati novce?

• 1.39. Gdje je kuna?

• 1.45. Kako rasporediti stapice u Mikadu?

• 1.48. Postoji li magicni krug?

• 1.51. Gdje su podmornice?

Castel delMonte

9 789537 369101

Documents

Druˇzba mladih MATKACAˇatika lijepa, zanimljiva i poticajna. Razlozi koji su dovodili i joˇs uvijek dovode do takvih gledanja nisu u matematici sˆamoj: oni su u nedostatcima i